Lista 3
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA ´ IBA CCEN-Departamento de Matem´ atica 3 a Lista Disciplina: Analise Funcional, Data: 21/05/2015 Prof: Everaldo 1. Sejam E, F espa¸ cos de Banach e T : E → F linear com a seguinte propriedade: ∀(x n ) tal que x n → 0 ⇒ Tx n 0. Mostre que T ´ e cont´ ınuo. 2. Seja E um espa¸ co de Banach. Prove que todo conjunto K ⊂ E compacto na topologia fraca σ(E,E )´ e limitado. 3. Seja E um espa¸ co de Banach separ´ avel. Mostre que para cada x ∈ E existe uma sequencia (x n ) n˜ ao constante em E tal que x n x. 4. Mostre que um espa¸ co m´ etrico ´ e compacto se, e s´ o se, ´ e sequencialmente compacto. Verifique que o conjunto B = {x ∈ l 2 : x 2 =1} ´ e fechado, limitado, mas n˜ ao ´ e compacto. 5. Seja (X, τ ) um espa¸ co topol´ ogico compacto e metriz´ avel. Mostre que toda sequencia (x n ) em X possui uma subsequencia que converge na topologia τ . 6. Seja E um espa¸ co de Banach tal que E seja separavel. Mostre que toda sequencia limitada em E possui uma subsequencia que converge na topologia σ(E ,E). 7. Dˆ e exemplo de uma sequencia (x n ) tal que x n x mas, x < lim inf x n . 8. Fixado a ∈ E defina F : E → R pondo F (f )= f (a) para todo f ∈ E . Mostre que F ´ e cont´ ınua com respeito a topologia σ(E ,E). 9. Verifique que l p ´ e reflexivo para 1 <p< ∞. O que podemos afirmar quando p = 1 ou p = ∞?
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA
CCEN-Departamento de Matematica
3a Lista
Disciplina: Analise Funcional, Data: 21/05/2015 Prof: Everaldo
1. Sejam E, F espacos de Banach e T : E F linear com a seguintepropriedade: (xn) tal que xn 0 Txn 0. Mostre que T econtnuo.
2. Seja E um espaco de Banach. Prove que todo conjunto K E compactona topologia fraca (E,E ) e limitado.
3. Seja E um espaco de Banach separavel. Mostre que para cada x Eexiste uma sequencia (xn) nao constante em E tal que xn x.
4. Mostre que um espaco metrico e compacto se, e so se, e sequencialmentecompacto. Verifique que o conjunto B = {x l2 : x2 = 1} e fechado,limitado, mas nao e compacto.
5. Seja (X, ) um espaco topologico compacto e metrizavel. Mostre quetoda sequencia (xn) em X possui uma subsequencia que converge natopologia .
6. Seja E um espaco de Banach tal que E seja separavel. Mostre quetoda sequencia limitada em E possui uma subsequencia que converge natopologia (E , E).
7. De exemplo de uma sequencia (xn) tal que xn x mas, x
