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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CCEN-Departamento de Matemática

1aLista

Disciplina:  Analise Funcional, Data:   13/04/2015  Prof:   Everaldo

1.  Prove que o espaço  E  = C ([0, 1],R) munido com a norma

x∞ = max0≤t≤1

|x(t)|

é um espaço de Banach.

2.   Prove que  c0, c , l∞ são espaços de Banach.

3.  Verifique que

T  = supxE≤1

T xF   = supxE 0 : T x ≤ C x}.

4.   Seja  E   um e.v.n não trivial. Mostre que  E   é Banach se, e somente se,S ∞ = {x ∈ E   : x = 1}  é completo.

5.   Seja   E   um espaços de Banach e   M, N   subespaços fechados de   E .Suponha que   E   =   M 

 ⊕ N   (soma direta). Se  z   =   x +  y, com  x

 ∈  M 

e   y ∈   N   então o espaço   E   munido com a norma z 1   = x + y   éBanach.

6.   Mostre que   E    =   C ([0, 1], R) munido com a norma   u∞   =maxt∈[0,1] |u(t)|   é um espaço de Banach. Mostre que E   não é completoquando munido com a norma u1  =

 10 |u(t)|dt.

7.   Mostre que as normas .∞   e .1   definidas no exerćıcio anterior nãosão equivalentes e conclua que o operador linear   I    : (E, .1)   →(E, .∞)(identidade) não é limitado.

8.  Mostre que duas normas quaisquer em um espaço de dimensão finita sãoequivalentes.

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9.   Sejam  E   e  F   evn com dim E

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Mostre que estas normas são equivalentes. Mostre que  E  × F   munidocom uma destas normas é Banach se, e somente se,  E, F   são Banach.

19.   Seja   E  Banach e   T  ∈ L(E, E ) com T    <   1. Mostre que o operadordefinido pela série

S  =∞

 j=0

T  j

pertence a L(E, E ) e que   S   = (Id − T )−1. Use isto, para estudar oproblema

T u =  λu + h.

20.   Seja  E  Banach e  T  ∈ L(E, E ). Mostre que para todo  t ∈  R  o operadoretT  definido pela série

etT  =∞

 j=0(tT ) j

 j!

pertence a L(E, E ). Além disso, etT  ≤ e|t|T .21.   Prove que não existe norma em   C ∞([0; 1],R]) que torne o operador

derivação   ddx

f   limitado. Dica:   f (x) = exp(λx).

22.   Fixado  a = (an) ∈ l∞ defina T   : l2 → l2 pondo  T x = (a1x1,...,anxn,...).Mostre que  T   é limitado e T  = a.

23.   Seja  T n :  l2 → l2 definido por:

T nx = (ξ 1,

 ξ 22 , ...,

 ξ nn , 0,...).

Mostre que  T n → T x = (ξ 1,  ξ22 , ...,  ξnn ,  ξn+1n+1 ,...) em L(l2, l2).24.   Seja   K   ∈   C ([0, 1] ×   [0, 1],R) e considere o operador linear   T    :

C ([0, 1],R) → C ([0, 1],R) definido por:

T (f )(t) =

   10

K (s, t)f (s)ds.

Mostre que  T   é limitado.

25.   Seja  T   :  C [0, 1] →  C [0, 1] definido por  T x(t) =  t0 x(s)ds. Encontre aimagem  R(T ) e  T −1 : R(T ) → C [0, 1].   T −1 é linear e limitado?

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26.   Considere o espaço   E   =   C ([0, 1],R) com a norma do supremo. Dadaξ  ∈   E , mostre que a transformação linear   T ξ   :   E  →   E , dada porT ξ(f ) =  ξ.f , é contı́nua e sua norma é ξ . Mostre que T ξ  possui umainversa cont́ınua se, e somente se,  ξ (x) = 0 para todo  x ∈ [0, 1].

27.  Considere o espaço  E  = C ([0, 1],R) com a norma do supremo. Verifiqueque

A = {x ∈ E  : x(0) = 0 e   10

x(t)dt = 1}é um subconjunto fechado e convexo de  E .

28.   Considere o espaço  E   =  C ([a, b],R) com a norma do supremo. DefinaT   : E  → E  pondo, para cada  f  ∈  E 

T (f )(x) =

   xa

f (t)dt x ∈ [a, b]

Mostre que se (f n) for uma seqüencia limitada em  E   então  T f n  possuiuma subseqüência uniformemente convergente em  E . Dica: Use Ascoli-Arzelá.

29.   Dada  ξ  ∈  E , mostre que a transformação linear  T ξ   :  E  →  E , dada porT ξ(f ) =  ξ.f , é contı́nua e sua norma é ξ . Mostre que T ξ  possui umainversa cont́ınua se, e somente se,  ξ (x) = 0 para todo  x ∈ [0, 1].

30.   Seja  M  um subespaço fechado de um espaço normado  E . Verifique queT   : E  → E/M  definida por  T (x) = [x] é linear e limitada com T  ≤ 1.

31.   Sejam  E, F   espaços vetoriais normados e  T  ∈ L(E, F ). Se  N   = ker(T )verifique que   T   induz uma aplicação natural   T  :   E/N  →   F   tal queT  = T .

30)   Sejam E  e F   espaço vetoriais sobre o mesmo corpo. Se  E  tem dimensãoinfinita e F  = {0}, mostre que existe uma transformação linear T   : E  →F  que não é limitada.

32.  Sejam (E, .E ), (F, .F ) espaços normados. Uma aplicação T   : E  → F é dita uma isometria quando T xF    = xE   para todo   x ∈   E . Dêexemplo de uma isometria. Os espaços  E , F   são ditos isomorfos quando

existe uma isometria linear e sobrejetiva de   E   em   F . Se   E, F   sãoisométricos então  E   é Banach se, e somente se,  F   for Banach.

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33.  Mostre que todo espaço normado E   é isomorfo a um subespaço denso deum espaço de Banach E . O espaço E   é chamado de completamento deE .

34.   Seja  M  um espaço métrico completo, e (F n) uma seqüencia decrescente

de subconjuntos fechados e não vazio de M  tais que diam(F n) → 0 então∩∞n=1F n = ∅. Mostre que ∩∞n=1F n = ∅ = { p}. Veja Elon para um contra-exemplo  F n = {en, en+1, ..}, diam(F n) =

√ 2 e ∩∞n=1F n = ∅ = ∅

35.  Seja (M, d) um espaço métrico e  T   : M  → M  uma aplicação. Um pontox0 ∈  M   é dito   um ponto fixo  de  T   se  T (x0) =  x0. Mostre que todaaplicação cont́ınua   T   : [a, b] →   [a, b] tem um ponto fixo. Veja o queafirma o teorema do ponto fixo de Brouwer.

36.   [Kakutani]   Seja   B1   := {x ∈   l2   : x2  ≤   1}   a bola fechada de   l2.Verifique que a aplicação  f   : B1

 → B1  definida por

f (x) = ( 

1 − x2, x1, x2,...),

é uma aplicação cont́ınua que não tem ponto fixo, ou seja, em geral oteorema de Brouwer não é válido em dimensão infinita.

37.   (Ponto fixo para contrações) Seja (M, d) um espaço métrico completoe  T   : M  → M   uma  contração, ou seja, existe  k  T   e  f  ∈  E , mostre que a equação:

T u + λu =  f,

tem uma única solução.

39.   Seja X  um espaço de Banach e  f n  :  X  → X , n ∈ N contrações com suasconstantes de contrações 0

 ≤ kn  < k <  1, n

 ∈ N. Suponha que f n

 → f 

pontualmente. Mostre que  f   é contração e, se x̄n  e x̄ são os pontos fixosde  f n  e  f , respectivamente, então x̄n → x̄.

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40.   [Picard]  Seja  E   um espaço de Banach e  f   :  R × E  →  E   lipschitizianaem relação a segunda variável, ou seja, existe  C >  0 tal que f (t, x) −f (t, y) ≤ C x−y ∀x, y ∈ E . Se x0 ∈ E  e  t ∈ R use o teorema do pontofixo de Banach para estabelecer a existência e unicidade de solução parao problema de Cauchy:

x(t) = f (t, x), x(t0) = x0,

em algum intervalo aberto contendo o ponto  t0.

41.   Seja  E   Banach,  T  ∈ L(E, E ) e  h ∈  C (R, E ). Use o exerćıcio anteriorpara estudar o problema

x = T x + h(t), x(t0) = x0.

42)   Seja  H   um espaço pré-Hilbertiano. Fixado   y ∈   H   defina  f   :   H  →   Rpor   f (x) = x, y. Mostre que   f  ∈   H  e f    = y. Mostre que sedimH

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0.1 Hahn-Banch

43.   Seja E  um espaço de Banach e  G  um subespaço fechado de  E . Dizemosque  L, um subespaço de  E , é um suplementar topológico  de  E   se:

(i)   L  é fechado;(ii)   L ∩ G = ∅ e  G  + L =  E .Mostre que todo subespaço de dimensão finita admite um suplementartopológico.

44.  Prove que todo subespaço de codimensão finita admite um suplementartopológico.

45.   Seja  N  ⊂ E  um subespaço de dimensão  p e defina

G := {x ∈ E ; f (x) = 0∀f  ∈  N }.Prove que  G  é fechado e codimensão de  G  é  p.

46.   Sejam  E  um espaço vetorial e  F   um subespaço. Mostre que existe umsubespaço  W   de  E  tal que

E  = F  + W, F  ∩ W  = {0}.Sug: Use o Lemma de Zorn.

47.   Seja   E   um espaço de Banach e   M   um subespaço de   E . Dada   T   ∈L(M, l∞), use o Teorema de Hahn-Banach para mostrar que existe umaextensão T  ∈ L(E, l∞) tal que T  = T .

48.   Sejam E, F   espaços normados e T  ∈ L(G, F ) onde G   é um subespaço deE . Se dim F

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1   Seja  E  um espaço vetorial real e  f, g   funcionais lineares em  E . Mostreque f −1(0) = g−1(0) se, e somente se, existe  λ > 0 tal que  f  = λg. (Sug.Defina

F   : E  → R2

pondo  F (x) = (f (x), g(x)). Observe que o ponto  a  = (1, 0) ∈  Im(F ) euse o Teorema de Hahn-Banach geométrico.49.  Use a mesma idéia do exerćıcio anterior para mostrar que se  f, f 1, ...f n

em  E ∗ são tais que

[f i(x) = 0, i = 1,...,n ⇒ f (x) = 0]então existem λ1,...,λn ∈ R  tais que  f  = Σλif i.

50.   Seja E  um espaço vetorial normado e M  um subespaço vetorial fechado.Seja  xo ∈ E  satisfazendo a seguinte condição: Para cada  ϕ ∈ E  tal queϕ |M ≡

 0 implique que  ϕ(xo) = 0. Mostre que  x

o ∈ M .

51.   Seja  E  um espaço vetorial normado. Se  M   é um subespaço de  E   e  N   éum subespaço de  E . Defina

M ⊥ = M 0 := {f  ∈  E  : f (x) = 0,   ∀x ∈ M }   N ⊥ = {x ∈ E  : f (x) = 0,   ∀f  ∈  N }.Mostre que  M  = (M ⊥)⊥.

0.2 Dual

52.  Mostre que o dual de  l p com  p > 1 e 1/p + 1/q  = 1 é isométrico a  lq.

53.  Mostre que o dual de (l1) = l∞.

54.   Seja  M  um subespaço fechado de  E . Prove que

(E/M ) = M 0.

Boa sorte meus jovens!!!

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