TANIMTANIM Karmaşık düzlemde, bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktasının başlangıç nokta-sına olan uzaklığa, bu karmaşık sayının modülü veya mutlak değeri denir ve ile gösteri-lir.

z

dirbabiazbiaz 22

Karmaşık düzlemde, sayısına karşılık gelen nokta z olsun. zOA dik üçgeninde, ve

bia

222baOz

a

b

z

22 baz dir

Rba , İçin, 022 ba olduğundan, 0z olur.

z

0 a

b

x

y

ÖrneklerÖrnekler

Czzz 21,, Czzz 21,, için;

a) zzz b)

c)d)

2121 .. zzzz Nn için,

nn zz 022

1

2

1 zz

z

z

z bağıntıları vardır.

İSPAT

a) 22 bazbiaz

2222 babazbiaz

2222 babazbiaz

olduğundan, zzz bulunur.

b)

Ana sayfaAna sayfa

diczbiaz 21 ,

ibcadbdaczz 21.

olsun

dir.Bu durumda,

2221. bcadbdaczz

22222222 22 cbabdcdadbacbdca 22222222222222 dcbdcacbdadbca

2122222222 ... zzdcbadcba olur.

O halde : 2121 .. zzzz dir.

c) Cz ve Nn için :

nn zz dir.

d) Czz 21, ve 02 z için :

2

1

2

1

z

z

z

z

Ana sayfa

Czz 21,Czz 21, için ;

a) 2121 zzzz b) 2121 zzzz bağıntıları vardır.

İSPAT biaz 1 ve dicz 2 olsun.

a) 221 baz ve 22

2 dcz dir.2222

21 dcbazz

222222222

21 .2 dcbadcbazz dir.

idbcazz 21 dir. 22

21 dbbazz

bddbaccazz 22 22222

21

bdacdcbazz 222222

21 dir.

deki ifadenin , deki ifadeden büyük veya eşit olabilmesi için ,olmalıdır.

dbacdcba 2.2 2222

Ana sayfaAna sayfa

Bu eşitliğin , her iki yanının karesini alırsak ,

0. 22

2222 bdacdcba olur.

Şimdi , eşitsizliğinin doğru olduğunu gösterelim :

22

2222 . bdacbcba abcddbcadcba 2. 22222222

acbddbcadbcbdaca 2222222222222 02 22222 adbcbcaddacb

Eşitsizliği doğrudur.O halde , dir.Dolayısıyla olur

2

21

2

21 zzzz

2121 zzzz

b) olduğunu da siz gösteriniz2121 zzzz

Ana sayfaAna sayfa ÖrneklerÖrnekler

Ana sayfaAna sayfa

1) Aşağıdaki karmaşık sayıların modüllerini bulalım.

a) b) c) d) iiz 3143 i

iz

1

125 2022 iz iz 223

çözüma)

dur

iiiiz

104.2531.43

31433143

2222

b) diri

i

i

iz

2

13

11

125

1

125

1

12522

22

c) dir

iiz

2020

20222020

222

222222

d)

288

222222

63

22333

iiz

2)

2,0

x

xxx

xxxxx

xxz

cos2cos41cos212

2cos122cos222sin2cos2cos21

2sin2cos1

22

22

22

bulunur.

olmak üzere , z=1 + cos2x+i sin2x ise , değerini bulalım.z

çözüm

3) izz 42 eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayısını bulalım.

çözüm alınırsa , olur.biaz 22 baz

Bu değerler verilen denklemde yerine yazılırsa ,

ibabiaibabia 4242 2222 bulunur . İki karmaşık sayının eşitliğinden ,

222 baa ve 4b yazılır.

222222 16216242 aaaaaa

31644 22 aaaa bulunur.

O hâlde , z=+bi=3-4i elde edilir.

4) Her z karmaşık sayısı için , olduğunu gösterelim.2

. zzz

Ana sayfaAna sayfa

çözümbiaz alınırsa ve olur.biaz 22 baz

22. babiabiazz

222

222babaz ise , olur.

2. zzz

Ana sayfaAna sayfa

5)i

iz

41

32

ise , çarpımının eşitini bulalım.zz.

çözümdir

i

i

i

izzz

17

13

161

94

41

32

41

32.

2222

Ana sayfaAna sayfa

1.Aşağıdaki karmaşık sayıların modüllerini bulunuz.

a) b) c)d) e)

iz 43iz 3

iz 31iz 32

2z

çözüm

a) 5254343 22 ziz tir.

b) 103143 22 ziz

c)

d)

e)

202022 22 ziz

330303 22 ziiz

532323222

ziz

Ana sayfa

b)