Liouville , Strahlung und Selbst-Effekte

Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte

Liouvillesches Theoremlineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)normierte EmittanzSynchrotron SchwingungEin-Teilchen Synchrotron-Strahlungkohärente und inkohärente Synchrotron-StrahlungSektormagnet mit StrahlungBeispielDämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theoremnatürliche StrahlemittanzSelbsteffekte (Raumladung und Wakes)

Liouvillesches Theoremlineare Abbildung im Phasenraum: aabb XTX

Volumen im Phasenraum: aabb dVdV Tdet

Liouvillesches Theorem:

keine Singularitäten,keine Teilchen-Teilchen Streuung,keine inkohärente Synchrotron Strahlung

kanonische Koordinaten:

tpqpqpq 332211X mit

ii q

tqqLp

,,

Volumen im Phasenraum ist invariantsymplektische Abbildung TtST = Sfür glatte elektromagnetische Felder und kanonische Koordinaten

glatte elektromagentische Felder:

Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion

Liouvillesches Theorem

Beschleuniger Koordinaten

lyyxx

X sind nicht kanonisch!

aber die Orts- und Momentum-Koordinaten

z

y

x

pzpypx

~~~~~~

sind es, wenn das

Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet;z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden

111

1

~~~

22

,

,

,

yx

pyx

yx

p

ppp

refref

z

y

x

lyx

vlt

zyx

0~~~

r

Koordinatentransformation für Drift:

Liouvillesches TheoremPhasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten:

aass XTX

s

s

s asasaas XM

TTXTX 1

sslsysxsysx

s

sRsk

sRsk

sslsysysxsx

dsd

y

x

M

000000100001

00000001000

10000000010

2

asas s TMT

s

sdsd

as

asasas

asasasas

MTTMTT

TTTT

spurdetspurdet

spurdetdet

1

1

magnetisches System, ebene Trajektorie,entkoppelte Ebenen:

0spur sM

für das bisher betrachtete magnetische System bleibt die Phasenraumdichteauch in Beschleuniger Koordinaten erhalten;

Liouvillesches Theorem

Konsequenz:

die Phasenraumdichte kann nicht erhöht werdendie Quelle bestimmt die Phasenraumdichteman kann in ein Bucket nur einmal injizieren

Bilder aus [K.Wille]

erweiterter linearer Formalismus

Transport mit zusätzlicher konstanter Anregung

VTXX ab

ab XTV0

X111

kann durch erweiterte Matrix Schreibweise berücksichtigt werden

umlaufendes System VTXX nn 1

stationäre Lösung VTIX 1s

Differenz Lösung snn XXY

dafür gilt wieder die homogene Rekursion nn TYY 1

wichtig für stationäre Lösung: Invertiebarkeit von ITwichtig für Stabilität: Eigenwerte von T

bisher

100000100

00000000

000000

565251 sRsRsRsSsCsSsC

sDsSsCsDsSsC

syy

yy

xx

xx

T

magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen:

0det TI

keine Phasefokusierung;Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichungwird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immerweiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal(siehe Übung 6d);

wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung

mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren

Bilder aus [K.Wille]

lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)

gap

E(t)

gStrahlrohr

p1

p2

12

0

1201

cmpcm tegE 12

12 xx pp

12 yy pp

relativistische Näherung (p1/m0c >>1):

diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld:

c

tegEpp zz 12

cl

cEeg

cegEpp zz

112

00 Linearisierung des zeitabhängigen Feldes:


gap

E(t)

gStrahlrohr

p1

p2

1121

1 zzx pxxclpppp

clpppp 1

ref,11ref,22 11

12 yy

ref,2

ref,2ref,11

ref,2ref,2

ref,112 p

pppl

cpp

pp

12 xx

dxpp

px

clppp

pxxz

z1

1,ref

1,ref1

11

112

dyy 12

12 ll

ppp

d

1,ref

1,ref


gap

E(t)

gStrahlrohr

p1

p2

1,ref2,ref pp

100000

100000100000000000010000000000001

1

ref,11

ref,12

dw

d

d

XX ref,11

ref,22

00000100000000000010000000000001

XX

ddw

d

d

ppp 1,ref2,ref

ppp

d

1,ref

1,ref

gleiches Referenz-Momentum: angepaβtes Referenz-Momentum:

ref,1cppw

normierte Emittanz

1111

11111, det

xxxxxxxx

x

dxxxxxxxx

xxx 1,121,12t

1111

1111122, TdetTTdet

d0

01T 12 pp

pd

1,ref

1,ref

11,22, pp xx

relativistische Näherung (p1/m0c >>1):

nxxx

nx 2,22,11,1,

cmpp 01,1||1

cmpp 02,2||2

mit

vor dem Gap:

dahinter:

wir brauchen ein rückstellende Kraft!im linearisierten Modellgibt es nur den Typ “Schwingung”

Synchrotron Schwingung

zwei Typen von Lösungen

“Schwingung”“Rotation”separatrix

longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung:

tEtE cos0

zeitharmonisches longitudinales Feld

tEEtE pa


100000100

00000000

000000

565251 RRRSCSC

DSCDSC

yy

yy

xx

xx

T

wRwRRR

SCSC

DSCDSC

w

yy

yy

xx

xx

56

565251

10000100

00000000

000000

10000010000001000000100000010000001

T

magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf:

wo ist die Phasenfokusierung gebleiben?wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste

horizontale Betatron Schwingung vertikale Betatron Schwingung

longitudinale Synchrotron SchwingungGap im Nulldurchgang

vereinfachte Theorie: Kopplung durch D, D’, R51, R52 vernachlässigt


e

i

ei

iei

ei ll

wRwR

56

56

11

Eigenwerte des longitudinalen Systems:

e21 mit

21arccos 56wR

Frequenz der Synchrotron Schwingung:

2

1

us T

f mit der Umlaufdauer Tu

im Gegensatz zu den transversalen (Betatron) Schwingungen ist die Wellenlängegroβ gegen die Umlauflänge; (nur ein longitudinaler Kick pro Umlauf!)

bei Ringen mit starker Fokussierung enthält der transversale Phasenvorschub einVielfaches von 2;

U

yxyx ds

s0

1

zur Erinnerung:

Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung

courtesy T. Shintakehttp://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm


“retardiertes” Teilchen

aktuelle Position

2

4

0

2

0 61

RceP

abgestrahlte Leistung

Kausalitätskreise


einige runde Maschinen

(aus K. Wille)

kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung

2

4

0

2

0 6 RceNP

02

4

0

22

6NP

RceNPf

34320

22

CSR028.0

6 RceNP

inkohärente Strahlung von N Teilchen:

kohärente Strahlung:

unabhängig von der Energie aber abhängig von der Bunchlänge

voll-kohärent; Bunch strahlt wie ein Teilchen mit der Ladung (Ne)

kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung

30 R

Bunch Länge

abgestrahlte Leistung

Sektormagnet mit Strahlung

0R

w

Änderung des longitudinalen Momentums

mit , undxRR 00

1Rx

dsdw

01

1|| refpp

relative Momentum-Abweichung

cmpref

00 Referenz Energie

dsdw

cP

dsdp

20||

ecm

BeBpR 0

2

4

0

2

0 61

RceP

2

0000

PP

dsdw

cP

dsdp

20||

0R

w

Änderung des longitudinalen Momentums

2

02

00

02

00 1111

Rx

cP

Rx

cP

konstantes B-Feld:

Änderung der relativen Momentum-Abweichung (in 1ter Ordnung)

211

02

00||

Rx

pcP

dsdp

pdsd

refref



die Strahlung ist immer in Vorwärts Richtung; deswegen ändert sich nur dieGleichung für

gsslsysxsysx

s

gRgR

R

sslsysysxsx

dsd

00000

20000100001

000000001000

100000000010

0

200

0

M

refpc

Pg 200

mit

das Volumen im Phasenraum ist nicht mehr konstant: aabb dVdV Tdet

sdsd

asas MTT spurdetdet

refpc

Pgs 2002spur

M

das ist eine gute Nachricht, denn wir haben einen Dämpfungsmechanismusgefunden!

Dämpfungs Ringe

ILC

SLC


einfaches Modell für kurzen Sektormagnet (L/R <<1):

hhRh00000

1

210000010000001000000100000010000001

2

0

3 XX

erst Sektormagnet ohne Strahlung

1

56

1

2

100000100cos1sin

00100000100

sin000cossincos1000sincos

XX

DRLRRL

LRLRLRLR

RLRRLRRL

RLRLLD sin2056

dann diskrete Verluste

Lpc

Phref

200

längere Magnete durch Stückelung in kurze Magnete

VTXX nz

nz 00

1

stationäre Lösung VTIX 10

sz

(siehe auch Übungsaufgabe)

kompletter Umlauf

Beispiel

an einem festen Punkt: z = z0

stationäre Lösung entlang eines Umlaufs:

Momentumverlustin den Magneten

Gewinn im Gap

dafür gilt wieder die homogene Rekursion 11

00

nz

nz TYY

(siehe auch Übungsaufgabe)Beispiel

an einem festen Punkt: z = z0

Differenz Lösung sz

nz

nz 000

XXY

100 Umläufe Synchrotron Schwingung 10000 Umläufe Dämpfung

Startwert tz 001.0000000

0Y

Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem

naives Modell:

kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlungdiskrete Strahlungsveluste des ganzen UmlaufsAusgleich der Verluste in Gap

1 2 3 4 X X X X

hh00000

1

2100000010000001000000100000010000001

23 XX

12 UXX

100000

1000000100000000000010000000000001

1

34

d

d

d

XX

1 1 0d h

refrefref cpdL

pcPh

20

Energieverlust pro Umlauf E


naives Modell:

kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlungdiskrete Strahlungsveluste des ganzen UmlaufsAusgleich der Verluste in Gap

1 2 3 4 X X X X

14

2100000010000001000000100000010000001

UXX

h

h

h

1d h

also ist die Dämpfungskonstante für transversale Schwingungen:

hT yxu 12exp refuu

yx TTh

21

2

und für longitundinale Schwingungen:

hTu 212exp || refuu TT

h

122

||


das naives Modell ergibt die richtige Dämpfung y für die vertikale Ebene, da diese

vollständig von entkoppelt ist; die Gesamtdämpfung x+|| für die anderen Ebenen

ist auch richtig, doch teilt sie sich anders auf; (siehe Übung 9);

das Robinson Theorem beschreibt die Aufteilung der Dämpfungskonstanten:

refu

x T

211

refuy T

21

refuT

212||

ds

R

dsR

kR

Dp

2

2

1

12mit

und Dp der periodischen Dispersion

kann die Phasenraumdichte beliebig klein werden?

Körnigkeit: Anregung durch Abstrahlung in Photonen (Quanten)

Kohärenz: falls die Dichte gro genug ist; dafür gilt wieder Liouville!

kann die Phasenraumdichte gröer werden ?

Körnigkeit: …

Nicht-Linearitäten: zwar bleibt die (lokale) Dichte konstant, doch die (globale) Verteilung nimmt dennoch mehr Raum ein; z.B: Filamentierung


courtesy T. Shintakehttp://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

3~ Rt

Spektrum der abgestrahlten Leistung

kritische Frequenz

Rc

c

3

23

natürliche Strahlemittanz

kritische FrequenzR

cc

3

23

19 -13.5 10 sc

22.8 keVc



sRx 2

61047.1

normierte natürliche Strahlemittanz

Rnx

3

, ~ Rc

3

~ und

DD

DDs

hängt von der periodischen Dispersion und den periodischen Twiss-Parametern ab

Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)

Felder = externe Felder + Selbst-Felder

1-Teilchen Dynamik kollektive Effekte

Selbst-Felder

Raumladungs-Effekte Modell = lineare gleichförmige BewegungKraft ~ 1/ 2

Wake-Felder Wechselwirkung mit geometrischen Objekten(Resonatoren, Strahlrohr, ... ) für gleichförmige Bewegung(meist v c)

kurze Reichweite: verkoppelt Teilchen im gleichen Paketlange Reichweite: multi-Bunch Effekte (auch “beam loading)

kohärente Strahlung Bewegung auf gekrümmten Bahnen (meist ohnelongitudinale Beschleunigung)


“Wakes”


“Wakes”

…


“Beam-Loading” tnIInTtqti bbb cos2)( 00Strahl-Strom

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