L'intégrale de chemins selon Richard...
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L'intégrale de cheminsselon
Richard Feynman
Il y a trois sortes d'hommes : les vivants, les morts, et ceux qui vont sur la mer
Aristote
Optique géométrique : La lumière prend toujours le
plus court chemin
L'optique géométrique n'explique pas tout
Intensité lumineuse = probabilité d'arrivée d'un photon
capteursource
« clic ...... clic..clic ....clic »
La lumière est faite de particules !?
La lumière prend les virages
« clic ...... clic .. clic .... »
Probabilité p
1 + 1 = 4
« clic..clic..clic..clic »
probabilité 4p
1 + 1 = 0
« ......... »
Intensité 0
1 + 1 = oscillation
4p0
On pense à des ondes qui interfèrent
Particule ou onde selon les jours
Onde
Huygens (milieu XVII)
Maxwell, Faraday... (milieu XIX)
Onde
Huygens (milieu XVII)
Maxwell, Faraday... (milieu XIX)
Particule
Atomiste Grec
Newton (milieu XVII)
Einstein (début XX)
Particule
Atomiste Grec
Newton (milieu XVII)
Einstein (début XX)
Intégrale de chemin
Feynman (milieu XX)
Intégrale de chemin
Feynman (milieu XX)
A chaque trajectoire on associeUne ''flèche'' tournante et décroissante
ei
Appelée « vecteur amplitude »
c.à.d. un complexe
Probabilité =
(longueur du vecteur amplitude)2
=
module(ρei θ)2=ρ2
Les vecteurs amplitudes tournent très vite.ex : 15 000 tours par centimètre
pour la lumière rouge
Je négligerais souvent la diminution de la longueur
« clic..clic..clic..clic »
2 trajectoires possibles ⇒ on additionne les vecteurs amplitudes
Interaction négative
« ......... »
Plus court chemin = une simplification
+ +
+
≃
+
=
Σn∈ℤ (−1)n
∣n∣
écran
Angle d'incidence = angle de réflection
Un petit miroir diffracte
miroir
Gros trou ⇒ virages peu probable
+
+
+
+
=
petit trou
+
+
+
+
=
Réseau de petit trous
On bouge un peu le détecteur
On bouge un peu le détecteuret on change de couleur
Réflexion partielle
eiei e i 2...e i 8=ei −ei 9
1−ei
⇔
+ + + + + + +-=
+ ++In
tens
ité r
éflé
chie
épaisseurNewton 34 000 cyclesaujourd'hui 100 millions de cycles = 50 mètres de verre
L'eau savonneuse s'épaissiten allant vers le bas
- --
??
?
1 % 8 %7 %
⇔
+ + + + + + + + + + ... +
etc.
+
++ +
OU = + +
ET = *
* * * * * * *
+ )* (
et ∗ =
Plusieurs photons
et
+
∗ =
ou
Effet Hanbury-Brown-Twist. Détection des étoiles doubles
Décomposer chaque trajectoire en trajectoire élémentaire.
Décomposer chaque trajectoire en trajectoire élémentaire.Sommer (intégrer) sur toutes les trajectoires possibles.
3
1
2
Discrétisation de l'espace et des trajectoires
Trajets de 1 à 3 :
1 ⇢ 3
1 ⇢ 1 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 31 ⇢ 3 ⇢ 3
1 ⇢ 1 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 3 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 3 ⇢ 3 etc
Vecteur amplitude associée
A(1,3) (amplitude élémentaire)
A(1,1) A(1,3) +A(1,2) A(2,3) +A(1,3) A(3,3)
Trajets de 1 à 3 :
1 ⇢ 3
1 ⇢ 1 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 31 ⇢ 3 ⇢ 3
1 ⇢ 1 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 3 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 3 ⇢ 3 etc
∑y1, y2
A1, y1 A y1, y2 A y2 ,3
12
9
10
11
8
5
6
7
4
1
2
3
Vecteur amplitude pour un trajet de x à z en n étapes
∣An∣2 x , z=An x , z An x , z
∑y1 ... yn−1
A x , y1 A y1, y2 ... A yn−1 , z
=
Probabilité que le photon issu de x soit en z en n étapes
A A ... A x , z =An x , z
Matrice très creuse
AT=A−1Ou encore
Au bout de n étapes, le photon est forcément quelque part :
∑z
An x , z An x , z =A...A AT ... AT x , x= I x , x =1
∑z
A x , z A x ' , z = I x , x '
Pour que ça marche on prend A qui vérifie :
A AT=I
∑z
An x , z An x , z =1
On aura alors
Ou bien
Z2
On prend comme discrétisation :
{ }
A(↓ x , ↓ y )=a
A(→ x ,← y)=bei θ
y
x
a cei3b ei
x y
x y
A(→ x , ↓ y)=c eiϕ
x
y
Amplitudes élémentaires :
Exemple
A(→ x ,→ y)=a
Théorème :
acosbcos−=0
A AT=I
a2b22c2=1
abcosc2=0⇔
ddt t=i t
t1 y=∑x
t x A x , y
t x
Ce qui peut-être vu comme une discrétisation de
Si à l' étape t, le vecteur amplitude en chaque x est donné par :
t1= t AOu bien :
A l' étape t+1, le vecteur amplitude est donc :
Autre écriture
t1− t= t A− I
x
y
P x , y= 14
Parallèle avec la marche aléatoire :
x
y
P x , y= 14
xy
P x , y= 14
x y
P x , y= 14
ddt t= t
t1 y=∑x
t xP x , y
t x
Ce qui peut-être vu comme une discrétisation de
Si à l' étape t, la probabilité en chaque x est donné par :
t1= t POu bien :
A l' étape t+1, la proba est donc :
Autre écriture
t1− t= t P−I
Avec
ddt t= t
Intégrale de chemin
∑y
P x , y =1
t=0Pt
Equation de la chaleur
DISCRÉTISATION
ddt t=i t t=0 A
t
Equation de Schroninger
A AT=I
Avec
Marche aléatoire
Bibliographie
Discrete quantum mechanics, Stanley P. Gudder, J. Math. Phys. 27 (7), July 1986