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L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA GLOBALIZZAZIONE:
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Transcript of L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA GLOBALIZZAZIONE:
L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA
GLOBALIZZAZIONE:GLOBALIZZAZIONE:
IL CURRICOLO VERTICALE DI IL CURRICOLO VERTICALE DI MATEMATICA MATEMATICA
Anna Maria Benini
Perugia 25 maggio 2011
Nodi da approfondire per Nodi da approfondire per l’attivazione di proposte l’attivazione di proposte didattichedidattiche
Contemperare matematica come oggetto di conoscenza
e matematica come atteggiamento e strumento per la conoscenza
Matematica come oggetto di studio, come linguaggio per descrivere,
definire, spiegare, argomentare, dimostrare,
come strumento di lettura e interpretazione del reale
Mediare un rapporto equilibrato fra i vari aspetti dell’apprendimento della matematica: algoritmico, concettuale, di strategie, di comunicazione e di gestione delle rappresentazioni
Creazione di ambienti funzionali all’apprendimento, attività di tipo laboratoriale
Uso degli strumenti matematiciUso degli strumenti matematiciLa capacità d’uso degli strumenti matematici è
potenziata da diversi punti di vista: Saper usare in modo appropriato il
linguaggio matematico Saper eseguire semplici calcoli, riconoscere
operazioni e procedimenti Saper formalizzare mediante simboli
opportuni, saper interpretare un formalismo in un contesto
Fare ed esprimere deduzioni riconoscendo i collegamenti logici
Saper rappresentare matematicamente diverse situazioni problematiche, saper “leggere” diverse forme di rappresentazione
Ruolo degli strumenti di calcolo
Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici.
L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico.
Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline
Raggruppamenti di processi Raggruppamenti di processi cognitivicognitivi (Spunti da OCSE-PISA) (Spunti da OCSE-PISA)
Riproduzione: esecuzione di calcoli, procedure di routine, applicazione di algoritmi standard, abilità tecniche,..
Connessione: interpretazione, collegamenti, mobilitazione di competenze della riproduzione per la risoluzione di problemi familiari ma non di routine,…
Riflessione: pianificazione di strategie, giustificazione di scelte, argomentazioni
Operare per gruppi disciplinari (orizzontali o, ove possibile, verticali)
Analizzare quesiti proposti (prove di classe o prove standardizzate) per comprendere bene i processi sottesi
Riproporre alla classe i quesiti ( INVALSI, PISA e/o elaborate dal docente) con lo scopo di discutere con gli alunni e farsi spiegare il motivo delle varie scelte (attivazione di processi metacognitivi, fondamentali per il miglioramento degli apprendimenti).
Idee e piste di lavoroIdee e piste di lavoro
individuare gli ambiti tematici in cui gli studenti hanno conseguito i risultati migliori
individuare gli ambiti tematici in cui si rileva il numero più elevato di risposte errate e/o omesse
definire proprietà e obiettivi valutativi degli ambiti individuati
formulare ipotesi sulle possibili cause
EsempiEsempiRisultati di una verifica (A. Orlandoni)Risultati di una verifica (A. Orlandoni)
Analisi prova nel quadro di riferimento OCSE-PISA
Tipo di quesito: risposta aperta articolata
Competenza: connessioni Area di contenuto: incertezza Contesto: scolastico Livello di difficoltà: 5
STIMOLO
In base a questo grafico, l’insegnante sostiene che, nella verifica, il Gruppo B è andato meglio del Gruppo A.Gli studenti del Gruppo A non sono d’accordo con l’insegnante. Essi cercano di convincere l’insegnante che il Gruppo B non è necessariamente andato meglio.Con l’aiuto del grafico, suggerisci agli studenti del Gruppo A una spiegazione matematica che potrebbero usare..
Domanda 1: RISULTATI DI UNA VERIFICA
Indicazioni per la correzionePunteggio pieno (codice 1)LTATI DI UNA VERIFICA:
INDICAZIONI PER LA CORREZIONE D1
Suggerisce una spiegazione valida. Spiegazioni valide potrebbero riguardare il numero di studenti che hanno superato la verifica, l’influenza negativa sulla media dell’unico studente che va molto male, oppure il numero di studenti con punteggi molto alti. :
• Più studenti del Gruppo A hanno superato la verifica rispetto a quelli del Gruppo B.
• Se si ignorano gli studenti meno bravi del Gruppo A, gli studenti del Gruppo A vanno meglio di quelli del Gruppo B.
• Più studenti del Gruppo A rispetto agli studenti del Gruppo B hanno ottenuto un punteggio di 80 o superiore.
RISULTATI DI UNA VERIFICA: INDICAZIONI PER LA CORREZIONE D1
Risposte prive di spiegazione matematica o con spiegazioni matematiche errate, oppure risposte che descrivono semplicemente alcune differenze ma non sono argomenti validi da giustificare che il Gruppo B potrebbe non essere andato meglio.Ad esempio:• Normalmente gli studenti del gruppo A vanno meglio degli studenti del Gruppo B in scienze. I risultati di questa verifica sono solo una coincidenza.• Perché la differenza tra i punteggi più alti e quelli più bassi è minore per il gruppo B rispetto al Gruppo A.• Il Gruppo A ha migliori risultati nell’intervallo di punteggio 80-89 e in quello 50-59.• Il Gruppo A ha un maggiore intervallo interquartile rispetto al Gruppo B.
Nessun punteggioAltre risposte (Codice 0)Non risponde (Codice 9)
Analisi prova rispetto ai risultati
% Risposte corrette:
PISA 2003
Italia 15,3%
OCSE 31,3%
Omissioni Italia 54,7%
Omissioni OCSE 34%
Analisi della domanda
Si tratta di
• Leggere e interpretare correttamente la consegna
• Leggere correttamente un grafico
• Utilizzare informazioni date in formato diverso (numerico e grafico)
• Scrivere un’argomentazione valida e coerente
Analisi risposte errate (da Stefania Pozio)
Sbagliano a leggere il grafico Danno riposte del tipo “Potrebbero dire che nel punteggio 50-
59 e 80-89 loro hanno fato meglio” (errore più frequente: 26,7%);
Fanno calcoli complessi (medie,….) arrivando spesso a dimostrare il contrario o che i due gruppi sono alla pari (20%)
Il gruppo B è andato meglio: nonostante fosse chiesto loro di trovare motivazioni per il contrario cercano motivazioni a sostegno di questa ipotesi (19%)
Altro circa il 14%
Intervista da S. Pozio(Ististuti tecnici)
Spesso gli studenti invece di capire bene lo scopo della domanda e di stabilire di conseguenza un piano di risoluzione, cominciano a fare calcoli utilizzando i numeri presenti nella prova in modo assolutamente casuale.
Alessandro: Si potrebbero fare dei calcoli, secondo me, non so se sono giusti..prendere tutti i massimi punteggi…cioè 69…79…no, no…mi sono un po’ confuso…no perché io prima ho pensato di fare tutti i massimi e vedere quanto viene…perché io ho visto che qui è l’unico che sta da questa parte… cioè 9, mentre gli altri sono 49, 59, 69, 79, 89 però se io vado a fare i calcoli massimi di questi qui viene che il gruppo B ha il punteggio massimo…. cioè se io faccio 49 + 59 + 69 + 79 + 89 e mi viene 345…mentre se io faccio il calcolo del gruppo A… 9 + 59 + 69 + 79 + 89 e mi viene 305…e quindi… secondo me questo è il calcolo matematico, secondo me…tutti i massimi valori che sono indicati nella tabella…e fare la somma di questi qui…quindi lo devo scrivere….(Scrive) “La spiegazione matematica che il gruppo A potrebbe prendere in considerazione è quella di sommare i massimi punteggi che sono riportati nella tabella”
A partire dal grafico si possono porre molte domande:
• E’ possibile ricavare le tabelle di partenza? Come?
• Qual è la probabilità che uno studente si trovi nel gruppo A? e nel gruppo B?
• Qual è il gruppo più omogeneo? Qual è il gruppo migliore? Perché?
• Quanti alunni per gruppo hanno meritato la sufficienza?
• ….
•….
Riconsideriamo la situazione problematica come occasione didattica per approfondimenti a livelli diversi
EsempiEsempiCaramelle colorate (A. Orlandoni)Caramelle colorate (A. Orlandoni)
Analisi prova nel quadro di riferimento OCSE-PISA
Tipo di quesito: a scelta multipla Competenza: riproduzione Area di contenuto: incertezza Contesto: personale Livello di difficoltà: 4
Perché livello 4 e riproduzione?
STIMOLO
Domanda 1: CARAMELLE COLORATE
Qual è la probabilità che Roberto prenda una caramella di colore rosso?A 10%B 20%C 25%D 50%
INDICAZIONI PER LA CORREZIONE
Punteggio pieno
Codice 1: B - 20%
Nessun punteggio
Codice 0: Altre risposte
Codice 9: Non risponde
Analisi prova rispetto ai risultati
% Risposte corrette:
PISA 2003
Italia 33,7%
OCSE 49,7%
Omissioni Italia 3,1%
Omissioni OCSE 1,8%
Analisi della domanda
Si tratta di passare dalle frequenze alla probabilità
quindi
di conoscere (inconsciamente o consciamente) la definizione frequentista
ma
praticamente mai a scuola si parte dalla statistica per introdurre la probabilità (solo definizione classica)
Il numero di risposte corrette deve fare riflettere sul fatto che “l’intuizione” ha senz’altro aiutato
Analisi risposte errate (da Stefania Pozio)
Argomento che non rientra nelle prassi didattiche
Molti studenti si sono concentrati sull’altezza relativa delle colonne e in questo modo hanno dato le risposte più disparate .
Interviste da S. Pozio(Ististuti tecnici)
Antonio: … Secondo me il 50 per cento perché sono maggiori… ha più probabilità di prendere quelle rosse…Intervistatore: E quindi secondo te è 50% perché la colonna è più alta?Antonio: Sì, ha più probabilità di prendere queste.Francesco: Eh sì non mi ricordo il calcolo …. . Quella che mi sembra più ovvia diciamo io direi il 25... Beh il 10 mi sembra un po’ troppo poco visto che... Sì…ci stanno certi ancora più bassi….20... Sono indeciso tra il 20 e il 25.Intervistatore: E il 50 perché lo escludi?Francesco: Beh mi sembra troppo grande... Ci sta pure il marrone e gli arancioni che sono sempre 5….. Quindi... Diciamo... 25%.... Eh, non mi ricordo il calcolo (ride).
Carolina: i rossi sono maggiori.. e poi ci sono altri…(conta le altre colonnine del grafico) uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette diversi tipi di caramelle.. ed essendo in maggioranza…. ma, diciamo, non assoluta perché ci sono altre buona parte di caramelle..Intervistatore: ..ma perché dici 20 e non 25 o non 50 o 10…comehai escluso le altre tre risposte….in base a quale ragionamentoCarolina: sinceramente non lo so, credo soltanto che sia la più logica.
LIVELLO 4Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in
modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie interpretazioni, argomentazioni e azioni.
15,8%
69,9%
5,2%
8,5%
NON risp. 0,6%
Capacità di leggere e interpretare un grafico, derivandone la probabilità di un evento
Prova nazionale - I Grado17 giugno 2008
È analogo al quesito PISA anche se qui entrano in gioco le frazioni anziché le percentuali
Spesso nella prova d'esame il quesito di statistica è da un lato separato da quello di probabilità (in genere si fa o statistica o probabilità, lamentava un insegnante) e, raramente, si richiede ai ragazzi di assegnare un valore di probabilità a partire da una valutazione statistica, privilegiando l'approccio classico alla probabilità.
La prova nazionale di III media
Riconsideriamo la situazione problematica come occasione didattica
• indici centrali: media, moda mediana: che significato hanno? Quando ha senso utilizzarli?
• dalla statistica alla probabilità: come e perche’ e sotto che condizioni si può passare?
•….
Tratto da Prova Ocse 2000 - Matematica
Idea chiave:Spazio e formaIdea chiave:Spazio e forma
(Prof. G. Grassi)
Risposta: D
Percentuale risposte esatte:
Italia 54,8%
Ocse: 55,3%
Le risposte
Un ragazzo non ha trovato alcuna figura corrispondente alla descrizione
Alcuni non hanno scelto D perchè non hanno riconosciuto l’angolo retto poichè i cateti non erano nella classica posizione orizzontale e verticale
Pochi ragazzi hanno segnato la risposta E (il triangolo era evidentemente non rettangolo)
Tra le risposte errate quella scelta dal maggior numero di ragazzi è stata la A
____________________________________________ COSA E’ LECITO LEGGERE IN UN DISEGNO?COSA E’ LECITO LEGGERE IN UN DISEGNO?
COME VIENE GESTITA LA CONVERSIONE TRA REGISTRO VERBALE E COME VIENE GESTITA LA CONVERSIONE TRA REGISTRO VERBALE E REGISTRO GRAFICO?REGISTRO GRAFICO?
ASPETTI PERCETTIVI E OGGETTI MATEMATICIASPETTI PERCETTIVI E OGGETTI MATEMATICI
Come è proseguito il lavoro ……(1)
QUESITODescrivi la figura disegnata qui di seguito:
Come è proseguito il lavoro ……(2)
Si voleva indagare:
La capacità di argomentare le risposte, giustificando le proprie scelte, anche con il ricorso a strumenti di misura (riga graduata, squadra, goniometro)
La conoscenza di un lessico specifico (mediana, altezza …)
Processi cognitivi in esame:
1) Saper risolvere i problemi;2) Saper riconoscere ed utilizzare le diverse forme di rappresentazione;3) Acquisire progressivamente le forme tipiche del pensiero matematico.
Docente: Soverini
• Lo studente deve individuare la regola che genera la sequenza di figure
• 2n + 2
- Pochissime le omissioni: gli alunni della primaria sono in controtendenza rispetto ad altre fasce di età?
- I colleghi della primaria in generale ritengono i quesiti coerenti con il percorso didattico
Osservazioni di carattere generale
.... torniamo al quesito D3
Risposte errate tra il 20% e il 40% con una punta di 72%
La risposta errata più frequente è la A, che corrisponde alla figura 4 della sequenza
Suggerimenti:
Lavorare maggiormente con le sequenze numeriche
Favorire la generalizzazione richiedendo di esplicitare i processi cognitivi (spiega a parole il tuo ragionamento...)
Richiedere un “salto” (quanti quadrati avrà la figura 15? E la figura 50?)
Risposte errate tra il 40% e il 60% Le risposta errata D, la più frequente, presuppone
il calcolo 100 cm – 20 cm = 80 cmEsempio di quesito non standard, legato ad
aspetti concreti, non ancora sufficientemente integrato nella prassi didattica
Scarsa familiarità con questo genere di problemi
Superficialità nella lettura del testo
Applicazione acritica di algoritmi
“Smontare” in classe quesiti analoghi, discutendone collettivamente
Parafrasi del testo, schematizzazione, esplicitare per iscritto i propri ragionamenti …
Attività pratiche, di manipolazione
RISOLVERE PROBLEMI CON
L’USO DI STRUMENTI MATEMATICI
DIFFICOLTA’ RISCONTRATE:
• LETTURA FRETTOLOSA DEL TESTO E SCARSA RIFLESSIONE SUL SIGNIFICATO DEI DATI
• SCARSA DIMESTICHEZZA NEL FORMALIZZARE DATI E SCHEMATIZZARE PROBLEMI
• CALCOLO IN TEMPI BREVI ED ESECUZIONE DI UNA STIMA APPROSSIMATA DEL RISULTATO SCARSO SENSO PRATICO
risposte corrette ITALIA E-R
39,7 % 43,8%
•Lettura frettolosa del testo•Scarso senso pratico•Errori di calcolo
• LAVORARE SULLA COMPRENSIONE DEL TESTO ANCHE ATTRAVERSO RAPPRESENTAZIONI DIVERSE DEL PROBLEMA INESAME (GRAFICA, SCHEMATICA, SIMBOLICA, NUMERICA, ECC.)
• MIGLIORARE IL CALCOLO ATTRAVERSO IL CONCETTO DI STIMA E APPROSSIMAZIONE
• AFFRONTARE PROBLEMI CALATI NELLA QUOTIDIANITA’ – MIGLIORARE IL SENSO PRATICO ANCHE SENZA ESPLICITARE TUTTO IL PROCEDIMENTO
• INSISTERE SULLA SCELTA DELLE OPERAZIONI, SOLITAMENTE CONSIDERATO UN PREREQUISITO
CHE COSA SI PUO’ FARE ?
CONOSCERE E PADRONEGGIARE
DIVERSE FORME DI RAPPRESENTAZIONE
DIFFICOLTA’ RISCONTRATE:
• PASSAGGIO DA UN CODICE LINGUISTICO AD UN ALTRO• INTERPRETAZIONE DEI DATI ATTRAVERSO UNO SCHEMA E LETTURA DI UNA TABELLA
• MANCANZA DI VISIONE GEOMETRICA OVVERO DIFFICOLTA’ A RAGIONARE SU FIGURE GEOMETRICHE RAPPRESENTATE IN MODO NON CONVENZIONALE
risposte corretteITALIA E-R
45,7 % 51,7%
Difficoltà a passare da un tipo di rappresentazione ad un altro: dal grafico alla percentuale
• CAMBIARE CONTINUAMENTE REGISTRO ESPRESSIVO
• ATTIVITA’ INTERDISCIPLINARI PER LA LETTURA E L’INTERPRETAZIONE DI GRAFICI E TABELLE
• NON ABBANDONARE ATTIVITA’ LABORATORIALI PER MIGLIORARE LA MANUALITA’ NELLA COSTRUZIONE DI FIGURE GEOMETRICHE
SU COSA INSISTERE?
• FORNIRE UNA VISIONE DINAMICA DELLA GEOMETRIA PER INDIVIDUARE RELAZIONI, PROPRIETA’ E INTERPRETARE LE FIGURE
ACQUISIRE FORMETIPICHE DEL PENSIERO
MATEMATICO
DIFFICOLTA’ RISCONTRATE:
• ARGOMENTAZIONI FRETTOLOSE ATTRAVERSO L’UTILIZZO DI DIMOSTRAZIONI NUMERICHE
• SPIEGAZIONI INCOERENTI CON LE SCELTE FATTE
•CONGETTURE INCOERENTI CON UN’EVENTUALE VERIFICA DEL RISULTATO
risposte corrette ITALIA E-R
53,5 % 57,5%
•Difficoltà a procedere per congetture e verifiche•Difficoltà a motivare la scelta effettuata•Difficoltà ad eseguire calcoli rapidamente
ANNO SCOLASTICO 2009/2010PROVA NAZIONALE
ESAME DI STATO
ANALISI DI ALCUNI QUESITI(prof. Silvana)
SAPER RISOLVERE PROBLEMIAMBITO: NUMERI
RISPOSTA CORRETTA: a) 10 euro (23%)(23%)
La risposta b) , spesso errata (65,5%)errata (65,5%) o mancante (8,9%),mancante (8,9%), evidenzia la difficoltà dei ragazzi nell’ esprimere in parole i procedimenti seguiti
AMBITO: SPAZIO E FIGURE
RISPOSTA CORRETTA :
4 cm (34,7%)(34,7%)Questo quesito ha avuto un’alta percentuale di risposte omesse sia in a) (34%)(34%) che, soprattutto, in b) (42,5%):(42,5%): i ragazzi non hanno pensato di tracciare la diagonale BD e di ragionare sulle proprietà del rettangolo!!
Prova nazionale - I Grado17 giugno 2008
Risposte esatte: 57%
Quali problemi sono presentati nella pratica didattica?
Quale è il ruolo assegnato ai problemi?
CONOSCERE E UTILIZZARE DIVERSE FORME DI RAPPRESENTAZIONE E PASSARE DA UNA ALL’ALTRAAMBITO: RELAZIONI E FUNZIONI
Gli errori e le omissioni (dal 22,4% al 57,6%dal 22,4% al 57,6% nei diversi quesiti) evidenziano scarsa dimestichezza con l’interpretazione del grafico spazio-tempo. Di solito in scienze, trattando il moto, se ne fanno a iosa e di tutti i tipi!!
ACQUISIRE PROGRESSIVAMENTE FORME TIPICHE DEL PENSIERO MATEMATICOAMBITO: RELAZIONI E FUNZIONI
Bassa percentuale di risposte a) corrette (49,3%):49,3%): la stragrande maggioranza non ha giustificato la risposta (53,9% (53,9% errata e 31,7% errata e 31,7% mancante),mancante), anche se aveva capito che la risposta a) era no.
AMBITO: MISURA, DATI E PREVISIONI
RISPOSTA CORRETTA:
C (71,5%)71,5%)
Le misurazioni non standard restano problematiche! Difficoltà nelle stime.
COSA POSSIAMO FARE? ABITUARE I RAGAZZI AD ANALIZZARE
MEGLIO I TESTI DEI QUESITI, evidenziando i dati inutili e quelli necessari
RICHIEDERE IL PIU’ POSSIBILE DI ESPLICITARE LE PROCEDURE SEGUITE sia a parole (scritte o orali) che con i calcoli
PROPORRE SPESSO ESERCIZI NON IN FORMA CONVENZIONALE: dai dati (con o senza figura) o dalle operazioni, ricostruire il testo del quesito
RIPRENDERE I CONTENUTI DEGLI ANNI PRECEDENTI inserendoli in esercizi sugli argomenti che si stanno trattando
USARE LA MANIPOLAZIONE IL PIU’ POSSIBILE: se costruisco, capisco meglio e ricordo di più!!
DISCUTERE CON I RAGAZZI sui procedimenti da loro seguiti, cercando di trovare varie maniere per risolvere lo stesso quesito
ABITUARLI FIN DALLA PRIMARIA A PASSARE DAL LINGUAGGIO VERBALE A QUELLO FORMALE E VICEVERSA
POTENZIARE L’ABILITA’ DI CALCOLO: il calcolo rapido orale lo hanno acquisito in pochi! Le divisioni restano uno scoglio quasi insormontabile per molti
USARE TABELLE E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE il più possibile, perché imparino a leggerle con facilità e a passare da una all’altra
DI ALCUNI CONTENUTI A VOLTE DICIAMO CHE NON SONO STATI AFFRONTATI APPROFONDITAMENTE PERCHE’ E’ MANCATO IL TEMPO: E’ VERO CHE IL TEMPO E’ POCO E LE COSE DA FARE SONO TANTE….E ALLORA? ELIMINIAMO IL SUPERFLUO E CONCENTRIAMOCI SUI CONTENUTI FONDAMENTALI….
Il lavoro da fare è lungo e impegnativoIl lavoro da fare è lungo e impegnativo ...