Linguaggi Regolari - automi, espressioni regolari, grammatiche...

Linguaggi Regolariautomi, espressioni regolari, grammatiche lineari destre

Nicola FanizziCorso di Linguaggi di ProgrammazioneDipartimento di InformaticaUniversità degli Studi di Bari17 marzo 2014

Sommario

1 Automi a Stati FinitiAutomi DeterministiciRappresentazione di DFAConfigurazioni e TransizioniFunzione di transizione perstringheClasse dei Linguaggi a StatiFinitiAutomiNon-deterministiciLinguaggio accettato da NFAClasse dei LinguaggiNon-deterministiciEquivalenza tra DFA eNFAEsercizi

2 Espressioni RegolariDefinizioniCorrispondenzaLinguaggi/EspressioniRegolariProprietà delleEspressioni RegolariEsercizi3 Teorema di Kleene

L3 ⊆ LdfLdf ⊆ L3Ldf ⊆ LregLreg ⊆ L3L3 ⊆ LregEsercizi

N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 2 / 69

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Automi a Stati FinitiAutomi a Stati Finiti I

qq00●

qq11 qq22 qq33 qq44 qq55

aa bb aa aa bb aa aa bb aa aa bb aa

ControlControlUnitUnit

schema di automa a stati finiti



Automi a Stati FinitiAutomi a Stati Finiti II

Definizione (Automa deterministico)Dato un alfabeto Σ, un automa a stati finiti deterministico (DFA)è una n-plaM = (Σ,Q, δ, q0, F)

Σ è l’alfabeto d’ingressoQ è un insieme finito e non vuoto di statiδ è la funzione di transizione:

δ : Q× Σ −→ Q

q0 è lo stato inizialeF ⊆ Q è l’insieme degli stati finali o d’accettazione



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciRappresentazione I

Un DFAM = (Σ,Q, δ, q0, F) è rappresentabile mediante:. un grafo detto diagramma di transizione in cui:

uno stato q ∈ Q è rappresentato da un cerchio con etichetta qlo stato iniziale q0 ha un arco entrante liberoogni stato finale viene denotato da un cerchio doppioper ogni q ∈ Q ed ogni a ∈ Σ, se ∃q′ = δ(q, a)allora si descrive un arco da q in q′ etichettato con a

q0 q q′aa′



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciRappresentazione II. una matrice tavola di transizione con:

sulle righegli stati qi ∈ Q, i = 1, . . . ,msulle colonnei simboli dell’alfabeto d’ingresso aj ∈ Σ, j = 1, . . . ,nin ogni casella: qji = δ(qi,aj)

δ a1 a2 · · · an→ q0 q10 q20 · · · qn0∗q1 q11 q21 · · · qn1... ... ... . . . ...qm q1m q2m · · · qnm

Nota→ stato iniziale; ∗ stati finaliN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 6 / 69


Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciRappresentazione III

q0 q1 q201 0

1 0,1

M = ({0, 1}, {q0, q1, q2}, δ, q0, {q2})

δ 0 1→ q0 q1 q0q1 q1 q2∗q2 q2 q2



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciRappresentazione IV

Osservazione δ potrebbe essere una funzione parziale:i.e. indefinita per qualche coppia (q,a)

Per ottenere una funzione δ totale si considera uno statoaggiuntivo (stato pozzo qP 6∈ F)nel quale far confluire le transizioni mancanti edal quale non si possano raggiungere stati finali

M = (Σ,Q, δ, q0, F) trasformato inMt = (Σ,Q ∪ {qp}, δt, q0, F)con δt : Q ∪ {qp} × Σ→ Q ∪ {qp} totale equivalente:∀(q, a) ∈ Q ∪ {qp} × Σ

δt(q, a) ={q′ ∃q′ = δ(q, a) ∈ Qqp altrimenti



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciConfigurazioni e TransizioniDatoM = (Σ,Q, δ, q0, F)una configurazione diM è una coppia

(q, x) ∈ Q× Σ∗

(stato corrente, stringa da leggere)(q, x) è detta:

iniziale se q = q0;finale se x = �;accettante se x = � e q ∈ F

δ associa ad ogni configurazione la successiva:si definisce una (relazione di) transizione tra configurazioni diM:

(q, x) `M (q′, y) sse ∃a ∈ Σ: x = ay ∧ δ(q, a) = q′N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 9 / 69


Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciFunzione di transizione estesa

La funzione di transizione estesa1 generalizza δ avendo iningresso uno stato ed una stringa su ΣDefinizione (funzione di transizione estesa)Dato un automa a stati finitiM = (Σ,Q, δ, q0, F)Si definisce per induzione la funzione di transizione estesa

δ̂ : Q× Σ∗ −→ Q

∀q ∈ Q, ∀w ∈ Σ∗ :

δ̂(q,w) ={q sew = �δ(δ̂(q, z), a) sew = za

1Altrove indicata anche con δ∗ o δ̄ [Linz(2012), Hopcroft et al.,(2009)].N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 10 / 69


Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciLinguaggi accettati da DFA

Una parolaw ∈ Σ∗ si dice accettata (o riconosciuta) daM se,partendo da q0,M porta ad uno stato q finaleδ̂(q0,w) = q ∈ F

ossia, dalla config. iniziale ad una di accettazione:(q0,w)

∗`M (q, �) ∧ q ∈ F

Il linguaggio accettato2 (o riconosciuto) daM è dato da:L(M) = {w ∈ Σ∗ | δ̂(q0,w) ∈ F}

Due DFAM1 eM2 si dicono equivalenti quando:L(M1) = L(M2)

2denotato spesso anche con T(·)N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 11 / 69


Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciEsempioDFA che riconosce parole con un numero pari di a o di b

q0 q1

q2 q3

a

ba

bba

b

aaab è accettata: δ̂(q0, aab) = δ(δ̂(q0, aa), b) =δ(δ(δ̂(q0, a), a), b) = δ(δ(δ(δ̂(q0, �), a), a), b) =δ(δ(δ(q0, a), a), b) = δ(δ(q1, a), b) = δ(q0, b) = q2 ∈ Fovvero: (q0, aab) ` (q1, ab) ` (q0, b) ` (q2, �)



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciClasse dei Linguaggi a Stati Finiti

Definizione (linguaggio a stati finiti deterministico)Un linguaggio L su un alfabeto Σ è un linguaggio a stati finitideterministico sse esiste un automa deterministicoM,con alfabeto di ingresso Σ, tale che L = L(M)Risulta così definita la

Classe dei Linguaggi a Stati Finiti deterministici:Ldf = {L ∈ ℘(Σ∗) | ∃M L = L(M)}



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciEsempi I

L(M) = {u01v | u, v ∈ {0, 1}∗}

q0 q1 q201 0

1 0,1



Automi a Stati Finiti Automi DeterministiciEsempi II

Σ ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}M = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ DFAQ = {q0, q1, q2}

q0: classe resto 0q1: classe resto 1q2: classe resto 2

F = {q0}

q0start

q1 q2

0,3,6,9

1,4,7

2,5,8

0,3,6,9

1,4,7

2,5,80,3,6,9

1,4,7

2,5,8

δ̂(q0, 1234) = q1 6∈ F 1234 = 3× 137+ 1δ̂(q0, 7290) = q0 ∈ F 7290 = 3× 810+ 0



Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciAutomi Non-deterministici

Definizione (automa non-deterministico)Un automa a stati finiti non-deterministico (NFA) è una tuplaM = (Σ,Q, δ, q0, F)dove:

Σ alfabeto di ingressoQ è un insieme finito e non vuoto di statiq0 è lo stato inizialeF ⊆ Q è l’insieme degli stati finali o d’accettazioneδ è la funzione di transizione

δ : Q× Σ −→ ℘(Q)

Per ogni (q,a) si ha un insieme di stati in cui è possibile transitareN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 16 / 69


Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciEsempio NFA

q0 q1

q2

q3

a,bb

aa,b

a

δ a b→ q0 {q0} {q0, q1}q1 {q2, q3} {q3}q2 {q3} ∅∗q3 ∅ ∅



Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciFunzione di transizione estesa per NFA

Nel corso della computazione non-deterministica per ogni simbololetto, l’automa assume un insieme di stati attuali e transita, adogni nuovo simbolo, da un insieme di stati ad un insieme di statiLa funzione δ̂ estesa alle stringhe si definisce:

δ̂ : Q× Σ∗ → ℘(Q)

∀(q,w) ∈ Q× Σ∗ :

δ̂(q,w) =

{q} sew = �⋃

q̂∈δ̂(q,z)

δ(q̂,a) sew = za, a ∈ Σ



Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciNFA – Accettazione di stringhe I

Una stringa si dice accettata (o riconosciuta) dal NFAM se,partendo da q0 con una stringa in ingressow,M raggiunge uno stato finale in almeno un cammino

δ̂(q0,w) ∩ F 6= ∅

ovvero (computazione non-deterministica)({q0},w)

∗` (Q̄, �) ∧ Q̄ ∩ F 6= ∅



Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciNFA – Accettazione di stringhe II

Esempioq0 q1 q2 q3

a,bb a

a,ba

w = bba ∈ L(M) ?({q0}, bba) ` ({q0, q1}, ba) ` ({q0, q1, q3}, a) ` ({q0, q2, q3}, �)e {q0, q2, q3} ∩ F = {q3} 6= ∅ quindiM accettaw

(q0, bba)(q1, ba) (q3, a) bloccato

(q0, ba)(q0, a) (q0, �) NO

(q1, a)(q3, �) OK

(q2, �) NO



Automi a Stati Finiti Automi Non-deterministiciLinguaggi Non-deterministici

Il linguaggio accettato (o riconosciuto) daM è dato da:L(M) = {w ∈ Σ∗ | δ̂(q0,w) ∩ F 6= ∅}

Due NFA sono equivalenti se accettano lo stesso linguaggioRisulta così definita la

Classe dei linguaggi a stati finiti non deterministici:Lnf = {L ∈ ℘(Σ∗) | ∃M ∈ NFA : L = L(M)}



Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFAEquivalenza tra DFA e NFA I

Teorema (Equivalenza)Le classi di linguaggi Ldf e Lnf coincidono

Dim.

Ldf ≡ Lnf ⇔ Ldf ⊆ Lnf ∧ Lnf ⊆ Ldf



Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFAEquivalenza tra DFA e NFA II

Tesi Ldf ⊆ LnfSi consideri un DFAM = (Σ,Q1, δ, q0, F)quindi L(M) ∈ LdfDefiniamo l’NFAM′ = (Σ,Q, δ′, q0, F), dove:

δ′ : Q× Σ −→ ℘(Q)

∀(q, a) ∈ Q× Σ δ′(q, a)={δ(q, a)}Per induzione sulla lunghezza delle parole si dimostra facilmenteche: L(M′) = L(M)



Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFAEquivalenza tra DFA e NFA IIITesi Lnf ⊆ LdfSiaMN = (Σ,QN , δN , qN0 , FN) un NFAAlgoritmo di costruzione dell’DFA equivalenteMD = (Σ,QD, δD, qD0 , FD):1 QD = ℘(QN)2 qD0 = {qN0 }3 FD = {Q′ ⊆ QN | Q′ ∩ FN 6= ∅}4 δD : QD × Σ −→ QD

∀Q′ = {q1, q2, . . . , qk} ∈ QD ∀a ∈ ΣδD(Q′, a) = δD({q1, q2, . . . , qk}, a) =

=

k⋃j=1

δN(qj, a) = ⋃q∈Q′

δN(q, a) (1)



Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFAEquivalenza tra DFA e NFA IVDim. Per L(MN) = L(MD) si dimostra che∀w δ̂D(qD0 ,w) = δ̂N(qN0 ,w) per induzione su |w|base w = �. Allora δ̂D(qD0 , �) = qD0 = {qN0 } = δ̂N(qN0 , �)passo w = va.Ipotesi di induzione: δ̂D(qD0 , v) = δ̂N(qN0 , v) (H)

δ̂D(qD0 ,w) = δ̂D(qD0 , va) =def. δ̂D

= δD(δ̂D(qD0 , v), a) =(H)= δD(δ̂N(qN0 , v), a) =(1)=

⋃q∈δ̂N(qN0 ,v)

δN(q, a) =def. δ̂N

= δ̂N(qN0 , va) = δ̂N(qN0 ,w)N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 25 / 69


Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFATrasformazione NFA→ DFA I

Nel caso peggiore: 2|QN | stati necessariEsempioLn = {w ∈ {0, 1}∗ | w ha n-esimo bit dalla fine acceso}

q0 q1 q2 · · · qn−1 qn

0,11 0,1 0,1 0,1 0,1



Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFATrasformazione NFA→ DFA IINella pratica1QD := {q0};2 elaborato[{q0}] := false;3 while ∃Q ∈ QD : ¬elaborato[Q] do4 begin { lavora su Q }5 for each a ∈ Σ6 begin7 Qa := ∪q∈Q δN(q, a);8 if Qa /∈ QD then9 begin10 QD := QD ∪ {Qa};11 elaborato[Qa] := false12 end13 δD(Q, a) := Qa14 end15 elaborato[Q] := true16 endN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 27 / 69


Automi a Stati Finiti Equivalenza tra DFA e NFAEsempio Trasformazione NFA→ DFA

q0 q1

q2

q3

a,bb

aa,b

a

{q0} {q0, q1}

a

b

{q0, q2, q3}

{q0, q1, q3}

a

b

{q0, q3}a

b a ba

b



Automi a Stati Finiti EserciziEsercizi I

1 Costruire un DFA che accetti il linguaggio:L = {w ∈ {a, b}∗ | w ha un numero pari di b e dispari di a}

2 Costruire un DFA che accetti il linguaggio:L = {w ∈ {a, b}∗ | w 6= uaav, u, v ∈ {a, b}∗}

3 Trasformare in DFA questo NFA:

q0 q1

0,10 1

1



Automi a Stati Finiti EserciziEsercizi II

4 Determinare L(M) e trasformare in DFA questo NFA:

q0 q1 q2ba,b

a5 determinare un automa per i seguenti linguaggi:

ling. L1 su {a, b} delle stringhe che finiscono con aa:w ∈ L1 ssew = zaa, con z ∈ {a, b}∗ling. L2 su {0, 1} delle stringhe con tre 0 consecutivi:w ∈ L2 ssew = u000v, con u, v ∈ {0, 1}∗ling. su {0, 1} delle stringhe con 011 come sottostringaling. L4 su {a, b} delle stringhe che cominciano o finiscono conab:w ∈ L4 ssew = aby ∨w = yab, con y ∈ {a, b}∗



Automi a Stati Finiti Esercizi

Esercizio 1. Costruire un DFA che accetti il linguaggio:L = {w ∈ {a, b}∗ | w ha un numero dispari di a e pari di b}Soluzione: SiaM = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ DFA

Q = {q0, q1, q2, q3} doveq0 stato per un numero pari di a e di bq1 stato per un numero dispari di a e pari di bq2 stato per un numero pari di a e dispari di bq3 stato per un numero dispari di a e di bfunzione di transizione δ definita:δ(q0, a) = δ(q3, b) = q1δ(q0, b) = δ(q3, a) = q2δ(q1, a) = δ(q2, b) = q0δ(q1, b) = δ(q2, a) = q3

q0 stato inizialeF = {q1}




q0 q1

q2 q3

a

ba

bba

b

a




Esercizio 2. Costruire un DFA che accetti questo linguaggio:L = {w ∈ {a, b}∗ | w 6= uaav, u, v ∈ {a, b}∗}Soluzione: SiaM = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ DFA

Q = {q0, q1, q2} doveq0 stato per parole non contenenti due o più a consecutive eterminanti con bq1 stato per parole non contenenti due o più a consecutive eterminanti con aq2 stato pozzo per parole contenenti due o più a consecutive

q0 stato inizialeF = {q0, q1}




funzione di transizione δ definita:δ a b

→ ∗q0 q1 q0∗q1 q2 q0q2 q2 q2

q0 q1 q2

ab

ba a.b




Esercizio 3. Trasformare in DFA questo NFA:

q0 q1

0,10 1

1Soluzione: SiaM′ = (Σ,Q′, δ′, q′0, F′) ∈ DFA

Q′ = {∅, {q0}, {q1},Q}{q0} stato inizialeF′ = {{q1},Q}funzione di transizione δ′ definita:




{q0} {q1} Q ∅1

0

01

0,1

0,1

∅ stato pozzo per definire δ′ totale



Espressioni Regolari DefinizioniLinguaggi Regolari

Definizione (linguaggio regolare)Dato un alfabeto finito Σun linguaggio L su Σ è un linguaggio regolare sse:

L è finitooppureL può essere ottenuto induttivamente mediante leoperazioni:1 L = L1 ∪ L2 con L1,L2 regolari2 L = L1 · L2 con L1,L2 regolari3 L = L∗1 con L1 regolare

Definiamo l’insieme di tali linguaggi, denotato con Lreg,la classe dei linguaggi regolariOsservazione ∅ ∈ Lreg e {�} ∈ Lreg



Espressioni Regolari DefinizioniEspressioni Regolari

Definizione (espressione regolare)Dato un alfabeto finito Σ, una stringa R sull’alfabeto ampliatoΣ ∪ {�,+, ∗, ·, ∅, (, )} è una espressione regolare (ER) di alfabetoΣ sse vale una delle seguenti condizioni:

R = ∅R = �R = a con a ∈ ΣR = (R1+R2) con R1,R2 espressioni regolari di alfabeto ΣR = (R1 · R2) con R1,R2 espressioni regolari di alfabeto ΣR = (R1)∗ con R1 espressione regolare di alfabeto Σ

L’insieme delle espressioni regolari di alfabeto Σverrà denotato conRΣ o semplicementeRN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 38 / 69


Espressioni Regolari Corrispondenza Linguaggi/Espressioni RegolariLinguaggi ed Espressioni RegolariAd ogni espr. regolare R corrisponde un ling. regolare L(R):

espressione regolare linguaggio regolare∅ ∅� {�}a {a}

(R1 + R2) L(R1) ∪ L(R2)(R1 · R2) L(R1) · L(R2)

(R)∗ (L(R))∗

Risulta così definita la funzione3 L : R −→ ℘(Σ∗).Osservazioni

� non strettamente necessaria perché {�} = L(∅∗)Data l’associatività e assumendo che ∗ preceda · e questopreceda+ , si possono eliminare le parentesi

3Denotata, su alcuni testi, anche con SN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 39 / 69


Espressioni Regolari Corrispondenza Linguaggi/Espressioni RegolariProprietà

ProposizioneUn linguaggio su Σ è regolare sse esso corrisponde ad unaespressione regolare di alfabeto ΣSi definisce la classe dei linguaggi regolari

Lreg = {L ∈ ℘(Σ∗) | ∃R ∈ R : L = L(R)}

OsservazioniUn linguaggio regolare può essere descritto da più di unaespressione:la funzione L non è iniettivaDue espressioni regolari R1 e R2 si dicono equivalenti,e si scrive R1 = R2, sse

L(R1) = L(R2)N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 40 / 69


Espressioni Regolari Corrispondenza Linguaggi/Espressioni Regolari

Esempidata R = (a∗(a + b)):L(R) = L(a∗(a + b)) = L(a∗) · L(a + b) =(L(a))∗ · (L(a) ∪ L(b)) = {�, a, aa, aaa, . . .} · {a, b} ={a, aa, aaa, aaaa, . . . , b, ab, aab, aaab, . . .}espressione regolare per il ling. delle stringhe d’ognilunghezza su Σ = {0, 1} con 0 e 1 alternati (in qualsiasiordine):

R = (01)∗ + (10)∗ + 0(10)∗ + 1(01)∗




espressione regolare per L = {a2ib2j+1 | i ≥ 0 ∧ j ≥ 0}:R1 = (aa)∗b(bb)∗Ma considerando anche R2 = (aa)∗(bb)∗b si ha

L(R1) = L(R2) = L

espressione regolare perL = {w ∈ {0, 1} | w non ha coppie di 0 consecutivi}Si osservi che

dopo uno 0 può seguire solo un 1le sottostringhe possono essere precedute o seguite da unnumero di 1 arbitrario:si possono denotare con: (1∗011∗)∗la stringhe possono essere composte di soli 1la stringhe possono terminare anche con uno 0




Una soluzione è R = (1∗011∗)∗(0 + �) + 1∗(0 + �)Oppure, osservando che le stringhe

si ottengono concatenando 1 o 01terminano eventualmente anche con uno 0si ottiene R′ = (1 + 01)∗(�+ 0) che è equivalente



Espressioni Regolari Proprietà delle Espressioni RegolariProprietà dei Linguaggi Regolari I

1. (R1 + R2) + R3 = R1 + (R2 + R3) prop. associativa di+2. R1 + R2 = R2 + R1 prop. commutativa di+3. R+ ∅ = ∅+ R = R ∅ elem. neutro per+4. R+ R = R prop. di idempotenza5. (R1 · R2) · R3 = R1 · (R2 · R3) prop. associativa di ·6. R1 · R2 6= R2 · R1 non commutatività di ·7. R · � = � · R = R � elem. neutro per ·8. R · ∅ = ∅ · R = ∅ ∅ elem. assorbente per ·9. R1 · (R2 + R3) = (R1 · R2) + (R1 · R3) prop. distributiva di · risp. a+10. (R1 + R2) · R3 = (R1 · R3) + (R2 · R3) prop. distributiva di · risp. a+



Espressioni Regolari Proprietà delle Espressioni RegolariProprietà dei Linguaggi Regolari II

11. (R)∗ = (R)∗ · (R)∗ = ((R)∗)∗ = (�+ R)∗12. (∅)∗ = (�)∗ = �13. (R)∗ = �+ R+ . . .+ Rn + (Rn+1 · R∗)14. (R1 + R2)∗ = (R∗1 + R∗2)∗ = (R∗1 · R∗2)∗ =

= (R∗1 · R∗2)∗ · R∗1 = R∗1 · (R∗1 · R∗2)∗15. (R1 + R2)∗ 6= R∗1 + R∗2 in generale16. R · R∗ = R∗ · R17. R1 · (R2 · R1)∗ = (R1 · R2)∗ · R118. (R∗1 · R2)∗ = �+ (R1 + R2)∗ · R219. (R1 · R∗2)∗ = �+ R1 · (R1 + R2)∗20. R1 = R2 · R1 + R3 sse R1 = R∗2 · R3 con R2 6= �R1 = R1 · R2 + R3 sse R1 = R3 · R∗2



Espressioni Regolari EserciziEsercizi – Espressioni regolari

1 Quali linguaggi sono denotati da (∅∗)∗ e a∅ ?2 Elencare le stringhe di L ((a + b)∗b(a + ab)∗) di lunghezzaminore di 63 Scrivere un’espressione regolare per i seguenti linguaggia) L = {uwu ∈ {a, b}∗ | |u| = 2}b) L = {w01 | w ∈ {0, 1}∗}c) L = {z 6= wab | z,w ∈ {a, b}∗}d) delle stringhe su {a, b, c} tali che contengano almeno una a edalmeno una b;e) delle stringhe binarie che abbiano come quinto simbolo dadestra un 1f) delle stringhe binarie con al più una coppia di 1 consecutivig) delle stringhe su {a, b} che contengano un numero di adivisibile per 3



Teorema di KleeneTeorema di Kleene

Teorema (Kleene)Vale l’equivalenza:

L3 ≡ Ldf ≡ Lreg

Dim. [schema]Tesi da provare1 L3 ⊆ Ldf (ed anche Ldf ⊆ L3)2 Ldf ⊆ Lreg3 Lreg ⊆ L3 (ed anche L3 ⊆ Lreg)

come pronunciare ”Kleene”: Kleene pronounced his last name: /’kleini/ as in ”clay-knee”. /’kli:ni/ and /’kli:n/are common mispronunciations. (His son, Ken Kleene, wrote: ”As far as I am aware this pronunciation is incorrect in allknown languages. I believe that this novel pronunciation was invented by my father.”)da http://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Cole_Kleene


http://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Cole_Kleenehttp://www.di.uniba.it/~fanizzihttp://www.di.uniba.it/~fanizzi/corsi/lp

Teorema di Kleene L3 ⊆ LdfTesi L3 ⊆ Ldf / I

Dim. Sia L ∈ L3 cioè ∃G = (Σ,V , S,P),G di tipo 3: L(G) = LSi deve costruire un DFAM = (Σ,Q, δ, q0, F) tale cheL(M) = L(G)

Algoritmo (dalle grammatiche agli automi)Input: G = (Σ,V , S,P),G di tipo 3Output: M = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ DFA1 Σ alfabeto di ingresso perM2 Q = V ∪ {q}, q 6∈ V3 q0 = S4 F = {q} ∪ {B | B −→ � ∈ P}5 δ : Q× Σ −→ ℘(Q)

1 ∀B −→ aC ∈ P : C ∈ δ(B, a)2 ∀B −→ a ∈ P : q ∈ δ(B, a)

B Ca

B qa



Teorema di Kleene L3 ⊆ LdfTesi L3 ⊆ Ldf / II

Osservazione l’algoritmo può generare NFA (passi 5.1 e 5.2)Occorre dimostrare anche la correttezza dell’automa:L(G) = L(M)

L(G) ⊆ L(M): siaw = a1a2 · · · ak ∈ L(G)w può essere generata con una derivazione:S =⇒ a1X2 =⇒ a1a2X3 =⇒ · · · =⇒ a1a2 · · ·Xk =⇒a1a2 · · · akPer sua def.,M, prendendo in inputw, compie una serie ditransizioni che portano da S a X1,X2, . . . ,Xk fino a qL(M) ⊆ L(G): analogamente



Teorema di Kleene Ldf ⊆ L3Tesi (alt.) Ldf ⊆ L3

Dim. datoM si deve costruire G di tipo 3 tale che L(G) = L(M)Algoritmo (dagli automi alle grammatiche)Input: M = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ NFAOutput: G = (Σ,V , S,P) lineare1 Σ alfabeto di ingresso perM2 V = {A0, . . . ,A|Q|−1} |V | = |Q|3 S = A04 P = {Ai −→ aAj | qj ∈ δ(qi, a)} ∪

{Ai −→ a | δ(qi, a) ∈ F}

L(G) = L(M) per esercizio



Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregTesi Ldf ⊆ Lreg / I

Dim. Sia L ∈ Ldf.Per def. ∃M = (Σ,Q, δ, q0, F) ∈ DFA tale che: L(M) = LSupponiamo Q = {q0, q1, . . . , qn}Si definiscono (∀i, j ∈ {0, . . . ,n}) i linguaggi:

Rij = {w ∈ Σ∗ | δ̂(qi,w) = qj}

contenenti le stringhe che fanno transitareM da qi a qjPer def. di linguaggio accettato da DFA, risulta:

L(M) =⋃qj∈F

R0j

quindi si deve dimostrare che ogni linguaggio Rij sia regolareN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 51 / 69


Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregTesi Ldf ⊆ Lreg / IISi definiscono:Rkij = {w ∈ Σ∗ | δ̂(qi,w) = qj senza transitare in qk, qk+1, . . . , qn}Osservato che: Rn+1ij = Rij, si dimostra per induzione su k che

Rkij ∈ Lreg ∀i, j ∈ {0, . . . ,n}

(k = 0) R0ij = {w ∈ Σ∗ | δ(qi,w) = qj} ∈ Lreg perché finito(k > 0) Per ipotesi induttiva: Rkij ∈ Lreg ∀i, j ∈ {0, . . . ,n}Dimostriamo che Rk+1ij ∈ LregSiaw ∈ Rk+1ij .Per definizione di Rk+1ij , la lettura diw non fa transitare

M in nessuno degli stati qk+1, qk+2, . . . , qnN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 52 / 69


Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregTesi Ldf ⊆ Lreg / III

qi qj

qk

transito per stati da q0 a qk−1

w1 wm

wk

I casi sono due:1 w non fa transitareM nemmeno attraverso qk,quindiw ∈ Rkij (e Rkij è regolare per ipotesi ind.)2 w fa transitareM in qk e risulta concatenazione dim > 1 sottostringhe:

w = w1w2 · · ·wm−1wm

con:w1 ∈ Rkik wt ∈ Rkkk 1 < t < m wm ∈ Rkkj



Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregTesi Ldf ⊆ Lreg / IV

Si può scrivere: w ∈ Rkik · (Rkkk)m−2 · Rkkj (m > 1)per cui: w ∈ Rkik · (Rkkk)∗ · RkkjNe consegue allora che: Rk+1ij ⊆ Rkij ∪ Rkik · (Rkkk)∗ · Rkkjma ovviamente vale anche: Rkij ∪ Rkik · (Rkkk)∗ · Rkkj ⊆ Rk+1ijDa Rk+1ij = Rkij ∪ Rkik · (Rkkk)∗ · Rkkj segue Rk+1ij ∈ Lregin quanto espresso attraverso unione, prodotto e iterazione dilinguaggi che sono regolari (per ipotesi induttiva)Risulta dimostrato che ∀k ∈ {0, . . . ,n} : Rkij ∈ Lreg perciò

L(M) =⋃qj∈F

R0j =⋃qj∈F

Rn+10j

è regolare perché unione di linguaggi regolariN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 54 / 69


Teorema di Kleene Ldf ⊆ Lreg

Algoritmo alternativo per Ldf ⊆ Lreg[Hopcroft et al.,(2009), Linz(2012)]eliminando uno stato alla volta, occorre preservare icammini che portano dallo stato iniziale a stati finalisi considerano gli (immediati) predecessori q1, . . . , qk esuccessori p1, . . . , pm dello stato s da eliminarearchi etichettati con espr. regolari anziché con simboli:infinite parole possono portare da uno stato ad un altro




q1 p1

qk pm

sS

Q1

Qk

P1

Pm

R11

R1m

Rk1

Rkm




eliminando s, per ogni (qi, pj), si etichetta l’arco con:Rij + QiS∗Pj

(un arco assente nel DFA originario sarebbe etichettato con ∅)q1 p1

qk pm

R11 + Q1S∗P1R1m + Q1S ∗Pm

Rk1+QkS∗P1

Rkm + QkS∗Pm



Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregAlgoritmo (dagli automi alle espressioni regolari)

per ogni stato finale q ∈ Fsi eliminano tutti gli stati tranne q0 e q:applicando l’algoritmo si produce un automa con archietichettati da espr. regolariif q 6= q0 allora risulta un automa a due stati⇒ soluzione: (R∗ + SU∗T)∗SU∗else risulta un automa ad un stato⇒ soluzione: R∗

return somma di tutte le espr. regolari ottenute, al variare di q

q0 q

RS

U

Tq0

R



Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregEsempio

A B C D

0,11 0,1 0,1

A B C D

0 + 11 0 + 1 0 + 1

A C D

0 + 11(0 + 1) 0 + 1

A D

0 + 11(0 + 1)(0 + 1)

RAD = (0 + 1)∗1(0 + 1)(0 + 1)

A C

0 + 11(0 + 1)

RAC = (0 + 1)∗1(0 + 1)R = RAC + RAD = (0 + 1)∗1(0 + 1)(0 + 1) + (0 + 1)∗1(0 + 1)



Teorema di Kleene Ldf ⊆ LregEsempio

q0 q1

q2 q3

a a

b

b

a b b//////

//////

q0

q2 q3

a a

b

ab b + bb

q0

q3

ab∗ab

ab + bb

(R∗ + SU∗T)∗SU∗

R = ab∗ab S = aT = b + bb U = ∅

R03 = ((ab∗ab)∗ + a(b + bb))∗aN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 60 / 69


Teorema di Kleene Lreg ⊆ L3Tesi Lreg ⊆ L3 / I

Sia L ∈ Lreg quindi vale una delle seguenti condizioni:L è finitoL = L1 ∪ L2 con L1,L2 regolariL = L1 · L2 con L1,L2 regolariL = (L1)∗ con L1 regolare



Teorema di Kleene Lreg ⊆ L3Tesi Lreg ⊆ L3 / II

Dim. per induzione sulla costruzione di Lbase L finito L = {w1,w2, . . . ,wn} allora si può scrivere comeunione di linguaggi lineari Li che generano ognuno unastringa diwi e la classe L3 è chiusa rispetto all’unione:

L =n⋃i=0Li

Si può facilmente dimostrare che ∀i ∈ {0, . . . ,n} : Li ∈ L3passo In tutti i tre casi i linguaggi L1 e L2 sono lineari per ipotesidi induzioneAnche la loro unione/concatenazione/iterazione è in L3 perla chiusura di L3 rispetto a queste operazioniQuindi L ∈ L3N. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 62 / 69


Teorema di Kleene L3 ⊆ LregTesi (alt.) L3 ⊆ Lreg / I

Sia L ∈ L3 e sia G tale che L(G) = L.Supponiamo4 per semplicità che � 6∈ Lsi trasforma ogni produzione in una equazione lineare destra:A −→ a1B1| · · · |anBn|b1| · · · |bmdiventaA = a1B1 + · · ·+ anBn + b1 + · · ·+ bmsi risolve il sistema usando le regole:

sostituzioneeliminazione della ricorsione:A = α1A+ · · ·+ αnA+ β1 + · · ·+ βmdiventaA = (α1 + · · ·+ αn)∗(β1 + · · ·+ βm)

l’espressione regolare sarà quella corrispondente ad S4Se � ∈ L allora calcolare R′ per L \ {�} e poi R = R′ + � per L.



Teorema di Kleene L3 ⊆ LregEsempioS −→ aS|bA|�A −→ aA|bS|�eliminando subito la produzione A −→ �:S −→ aS|bA|b|�A −→ aA|bS|aSi costruisce il sistema:{S = aS+ bA+ b + �A = aA+ bS+ aeliminando la ricorsione su A:{S = aS+ bA+ b + �A = a∗(bS+ a)sostituendo A nella def. di S, si ha:S = aS+ b(a∗(bS+ a)) + b + �

= aS+ ba∗bS+ ba∗a + b + �= (a + ba∗b)S+ ba∗a + b + �

A = a∗(bS+ a)eliminando la ricorsione su S:{S = (a + ba∗b)∗(ba∗a + b + �)A = · · ·Quindi la soluzione è RS = (a + ba∗b)∗(ba∗a + b + �)



Teorema di Kleene EserciziEsercizi I

1 Data la grammatica lineare G = (Σ,V , S,P) conΣ = {a,b,c}, V = {S,A,B} eP = {S −→ bA|aS|b,

A −→ aB|cS|a,B −→ bA|cB|c}determinare una espressione regolare per L(G)

2 Sia L = L(R) ove R = (aa + aaa)∗costruire un automa che riconosce Ltrasformare l’NFA del punto 1. in DFA

3 Sia L = L(R) ove R = ab(bb)∗ctrovare un automa (NFA) per riconoscere Ltrasformare l’automa NFA nell’DFA equivalente



Teorema di Kleene EserciziEsercizi II

4 Data la grammatica lineare G = (Σ,V , S,P) conΣ = {a,b}, V = {S,B} eP = {S −→ aB, B −→ aB|bS|a}determinare un automa DFAM tale che: L(M) = L(G)



Teorema di Kleene EserciziEsercizi III

Esercizio 2. Sia L = L(R) ove R = (aa + aaa)∗1. costruire un automa che riconosce L2. trasformare l’NFA del punto 1. in DFA1. Dato Σ = {a}, determiniamo le grammatiche G1 perL1 = {aa} e G2 per L2 = {aaa}:G1 = (Σ,V1, S1,P1) con V1 = {S1,A} eP1 = {S1 −→ aA, A −→ a}G2 = (Σ,V2, S2,P2) con V2 = {S2,B,C} eP2 = {S2 −→ aB, B −→ aC, C −→ a}Sia G3 = (Σ,V3, S3,P3) la grammatica per L3 = L1 ∪ L2:con V3 = V1 ∪ V2 ∪ {S3} = {S3, S1, S2,A,B,C} eP3 ={S3 −→ w | S1 −→ w ∈ P1}∪

{S3 −→ w | S2 −→ w ∈ P2} ∪ P1 ∪ P2={S3 −→ aA | aB} ∪ P1 ∪ P2(contiene produzioni inutili e quindi NT superflui: S1,S2)



Teorema di Kleene EserciziEsercizi IV2. L’automa a stati finiti si ottiene mediante l’algoritmo dato nelladimostrazione del teorema di Kleene:

Q = V ∪ {q} = {S,A,B,C, q}q0 = SF = {q, S}δ definita da:

S

A q

B C

a

a

aa

a

a aδ a

→ ∗S {A,B}A {S, q}B {C}C {S, q}∗q ∅

Per esercizio: trasformare l’NFA in un DFAN. Fanizzi Linguaggi di prog.+Lab Linguaggi Regolari 17 marzo 2014 68 / 69


RiferimentiAusiello G.; D’Amore F.; Gambosi G. 2003.Linguaggi, Modelli, Complessità.FrancoAngeli.Cohen D. I. 1996.Introduction to Computer Theory.Wiley.Hopcroft J. E.; Motwani R.; Ullman J. D. 2009.Automi, Linguaggi e Calcolabilità.Pearson Italia, 3a edizione.Linz P. 2012.An Introduction to Formal Languages and Automata.Jones & Bartlett, 5a edizione.Moll R. N.; Arbib M. A.; Kfoury A. J. 1988.An introduction to formal language theory.Springer.Sipser 2005.Introduction to the theory of computation.Thomson, 2a edizione.Sudkamp 2006.Languages and Machines.Addison-Wesley, 3a edizione.

Automi a Stati FinitiAutomi DeterministiciAutomi Non-deterministiciEquivalenza tra DFA e NFAEsercizi

Espressioni RegolariDefinizioniCorrispondenza Linguaggi/Espressioni RegolariProprietà delle Espressioni RegolariEsercizi

Teorema di KleeneL3LdfLdfL3LdfLregLregL3L3LregEsercizi

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