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Linguaggi Liberi dal Contesto


Grammatiche e Linguaggi Liberi da Contesto

Data una stringa w ∈ L(G ), dove G e’ un CGF, possonoesistere diverse derivazioni di w (che tipicamente differisconoper l’ordine di applicazione delle produzioni)

Esistono vari modi per risolvere il problema1 fissare un ordine nell’applicazione delle produzioni2 astrarre dall’ordine di applicazione delle produzioni, tramite un

parse tree (o albero sintattico)


Derivazioni a sinistra o a destra

Derivazione a sinistra ⇒lm

: rimpiazza sempre la variabile piu’

a sinistra con il corpo di una delle sue regole.

Derivazione a destra ⇒rm

: rimpiazza sempre la variabile piu’

a destra con il corpo di una delle sue regole.


Esempio: espressioni

Espressioni (semplici) in un tipico linguaggio di programmazione.Gli operatori sono + e *, e gli operandi sono identificatori, cioe’stringhe in L((a + b)(a + b + 0 + 1)∗)Le espressioni sono definite dalla grammatica

G = ({E , I},T ,P,E )

dove T = {+, ∗, (, ), a, b, 0, 1} e P e’ il seguente insieme diproduzioni:

E → I E → E + EE → E ∗ E E → (E )

I → a I → bI → Ia I → IbI → I0 I → I1


Derivazione a sinistra

Una derivazione di w = a ∗ (a + b00) da E nella grammatica delleespressioni:

E ⇒ E ∗ E ⇒ I ∗ E ⇒ a ∗ E ⇒ a ∗ (E ) ⇒

a ∗ (E + E ) ⇒ a ∗ (I + E ) ⇒ a ∗ (a + E ) ⇒ a ∗ (a + I ) ⇒

a ∗ (a + I0) ⇒ a ∗ (a + I00) ⇒ a ∗ (a + b00)


Derivazione a destra

A destra:E ⇒

rmE ∗ E ⇒

rm

E ∗ (E ) ⇒rm

E ∗ (E + E ) ⇒rm

E ∗ (E + I ) ⇒rm

E ∗ (E + I0)

⇒rm

E ∗ (E + I00) ⇒rm

E ∗ (E + b00) ⇒rm

E ∗ (I + b00)

⇒rm

E ∗ (a + b00) ⇒rm

I ∗ (a + b00) ⇒rm

a ∗ (a + b00)


Forme Sentenziali

Sia G = (V ,T ,P,S) una CFG, e α ∈ (V ∪ T )∗.

Se S∗⇒ α diciamo che α e’ una forma sentenziale.

Se S ⇒lm

α diciamo che α e’ una forma sentenziale sinistra,

Se S ⇒rm

α diciamo che α e’ una forma sentenziale destra

Nota: L(G ) contiene le forme sentenziali che sono in T ∗.


Esempio

Nella grammatica delle espressioni

E ∗ (I + E ) e’ una forma sentenziale perche’

E ⇒ E ∗ E ⇒ E ∗ (E ) ⇒ E ∗ (E + E ) ⇒ E ∗ (I + E )

Questa derivazione non e’ ne’ a sinistra ne’ a destra

a ∗ E e’ una forma sentenziale sinistra, perche’

E ⇒lm

E ∗ E ⇒lm

I ∗ E ⇒lm

a ∗ E

E ∗ (E + E ) e’ una forma sentenziale destra, perche’

E ⇒rm

E ∗ E ⇒rm

E ∗ (E ) ⇒rm

E ∗ (E + E )


Alberi sintattici

astraendo dall’ordine di applicazione delle produzioni si ottieneuna struttura ad albero, l’albero sintattico (o parse tree)

gli alberi sintattici sono una rappresentazione alternativa allederivazioni

il parse tree rappresenta la struttura sintattica della stringa ede’ usato nelle applicazioni delle grammatiche CGF di cuiabbiamo parlato

w potrebbe essere un programma, una query SQL, undocumento XML, ...


Ambiguita’

Idealmente dovrebbe esistere un solo albero sintattico (la”vera” struttura) che rappresenta tutte le derivazioni di unastringa

Tuttavia, una grammatica puo’ essere ambigua, ovveropossono esistere diversi alberi sintattici per la stessa stringa

Sfortunatamente, non sempre possiamo rimuoverel’ambiguita’.


Definizione di Albero Sintattico

Sia G = (V ,T ,P,S) una CFG. Un albero e’ un albero sintatticoper G se:

1 Ogni nodo interno e’ etichettato con una variabile in V .

2 Ogni foglia e’ etichettata con un simbolo in V ∪ T ∪ {ε}.Ogni foglia etichettata con ε e’ l’unico figlio del suo genitore.

3 Se un nodo interno e’ etichettato A, e i suoi figli (da sinistra adestra) sono etichettati

X1,X2, . . . ,Xk ,

allora A → X1X2 . . .Xk ∈ P.


Esempio

E → I E → E + EE → E ∗ E E → (E )

il seguente e’ un albero sintattico:

E

E + E

I

La radice e’ E , le etichette delle foglie (non terminali), lette dasinistra a destra formano la stringa I + E .L’albero sintattico rappresenta le derivazioni E

∗⇒ I + E


Esempio

Nella grammatica

P → ε P → 0 P → 1P → 0P0 P → 1P1

il seguente e’ un albero sintattico:

P

P

P

0 0

1 1

ε

La radice e’ P, le etichette delle foglie (terminali), lette da sinistraa destra formano la stringa 0110.L’albero sintattico rappresenta la derivazione P

∗⇒ 0110


Prodotto

Il prodotto di un albero sintattico e’ la stringa di foglie da sinistraa destra.Importanti sono quegli alberi sintattici dove:

1 Il prodotto e’ una stringa terminale.

2 La radice e’ etichettata dal simbolo iniziale.

L’insieme dei prodotti di questi alberi sintattici e’ il linguaggio dellagrammatica.


Esempio: nella grammatica delle espressioni

E

E E*

I

a

E

E E

I

a

I

I

I

b

( )

+

0

0

Il prodotto e’ a ∗ (a + b00).


Teorema: equivalenza

Sia G = (V ,T ,P,S) una CFG. Per ogni stringa α ∈ (T ∪ V )∗ eper ogni variabile A ∈ V , le seguenti affermazioni sono equivalenti:

A∗⇒ α

C’e’ un albero sintattico di G con radice A e’ prodotto α.

Nota: il teorema vale in particolare per le stringhe di terminaliw ∈ T∗ e per le derivazioni dal simbolo iniziale S . Quindiw ∈ L(G ) sse c’e’ un albero sintattico di G con radice S e’prodotto w .


Schema della Prova

dagli alberi alle derivazioni: facciamo vedere che si puo’costruire una derivazione sinistra o simmetricamente unaderivazione destra

dalle derivazioni facciamo vedere in modio induttivo come sipuo’ costruire un albero.


Corrispondenza tra derivazioni ed alberi sintattici

per ogni albero sintattico esiste una ed una solo derivazionesinistra corrispondente

per ogni albero sintattico esiste una ed una solo derivazionedestra corrispondente


Corrispondenza tra derivazioni

Sia G = (V ,T ,P,S) una CFG. Per ogni stringa α ∈ (T ∪ V )∗ eper ogni variabile A ∈ V , le seguenti affermazioni sono equivalenti:

A∗⇒ α

A⇒lm

∗α

A ⇒rm

∗α

Prova Se A⇒lm

∗α allora banalmente A∗⇒ α (analogo per il caso

simmetrico)

Se A∗⇒ α allora esiste un albero sintattico con radice A e prodotto

α. Prendiamo come A⇒lm

∗α la derivazione sinistra corrispondente

(analogo per il caso simmetrico).


Ambiguita’

Definizione: Sia G = (V ,T ,P,S) una CFG. Diciamo che G e’ambigua se esiste una stringa in T ∗ che ha piu’ di un alberosintattico.Se ogni stringa in L(G ) ha al piu’ un albero sintattico, G e’ dettanon-ambigua.


Esempio

Consideriamo la grammatica delle espressioni

1. E → I

2. E → E + E

3. E → E ∗ E

4. E → (E )· · ·

la grammatica e’ ambigua


Esempio

La forma sentenziale E + E ∗ E ha due derivazioni:

E ⇒ E + E ⇒ E + E ∗ E

e E ⇒ E ∗ E ⇒ E + E ∗ E

Questo ci da’ due alberi sintattici:

+

*

*

+

E

E E

E E

E

E E

EE

(a) (b)


Esempio

Di conseguenza la stringa di terminali a + a ∗ a ha due alberisintattici:

I

a I

a

I

a

I

a

I

a

I

a

+

*

*

+

E

E E

E E

E

E E

EE

(a) (b)


Ambiguita’

l’esistenza di vari alberi sintattici rovina la grammatica

esempio: i due alberi sintattici della stringa a + a ∗ acorrispondono a due semantiche differenti, (a + a) ∗ a oa + (a ∗ a)?

bisogna rimuovere l’ambiguita’ dalle grammatiche

va fatto a mano, non esiste nessun algoritmo per farlo inmodo sistematico

Ancora cattive notizie: alcuni CFL hanno solo CFG ambigue


Esempio

Studiamo la grammatica

E → I | E + E | E ∗ E | (E )

I → a | b | Ia | Ib | I0 | I1

Ci sono due problemi:

1 Non c’e’ precedenza tra * e +

2 Non c’e’ raggruppamento di sequenze di operatori: E + E + Ee’ inteso come E + (E + E ) o come (E + E ) + E?


Soluzione

Introduciamo piu’ variabili, ognuna che rappresenta espressioni conlo stesso grado di ”forza di legamento”

1 Un fattore e’1 Identificatori2 Un’espressione racchiusa tra parentesi.

Non puo essere spezzata da un + o per ∗ adiacente.

2 Un termine e’ un’espressione che non puo’ essere spezzata daun +. Ad esempio, a ∗ b puo’ essere spezzata da a1∗ o ∗a1.Non puo’ essere spezzata da +, perche’ ad esempio a1 + a ∗ be’ (secondo le regole di precedenza) lo stesso di a1 + (a ∗ b), ea ∗ b + a1 e’ lo stesso di (a ∗ b) + a1.

3 Il resto sono espressioni, cioe’ possono essere spezzate con * o+.


La grammatica modificata

Usiamo F per i fattori, T per i termini, e E per le espressioni.Consideriamo la seguente grammatica:

1. I → a | b | Ia | Ib | I0 | I12. F → I | (E )

3. T → F | T ∗ F

4. E → T | E + T


Esempio

Ora l’unico albero sintattico per la stringa a + a ∗ a e’:

F

I

a

F

I

a

T

F

I

a

T

+

*

E

E T

Dalla radice E applichiamo la produzione E −− > E + T , lasemantica dell’espressione e’ a + (a ∗ a)


Esempio

Se alla radice applicassimo la produzione E −− > T ,dovremmo derivare a + a ∗ a da T . Ma a + a ∗ a non e’ unfattore (non e’ derivabile da F ), e non e’ derivabile da T ∗ F .Infatti, a + a non e’ derivabile da T .

La stringa (a + a) ∗ a che rappresenta l’altra interpretazionesemantica e’ invece derivabile da T ∗ F perche’ (a + a) e’ unfattore.


Perche’ la nuova grammatica non e’ ambigua?

Spiegazione intuitiva:

Un fattore e’ o un identificatore o (E ), per qualcheespressione E .

L’unico albero sintattico per una sequenza

f1 ∗ f2 ∗ · · · ∗ fn−1 ∗ fn

di fattori e’ quello che da’ f1 ∗ f2 ∗ · · · ∗ fn−1 come termine e fncome fattore, come nell’albero del prossimo lucido.

Un’espressione e’ una sequenza

t1 + t2 + · · ·+ tn−1 + tn

di termini ti . Puo’ essere solo raggruppata cont1 + t2 + · · ·+ tn−1 come un’espressione e tn come untermine.


Albero sintattico per una sequenza di ∗

*

*

*

T

T F

T F

T

T F

F

.. .


Ambiguita’ inerente

Un CFL L e’ inerentemente ambiguo se tutte le grammatiche per Lsono ambigue.Esempio: Consideriamo un linguauggio unione di due linguaggiL = L1 ∪ L2

L1 = {anbncmdm : n ≥ 1,m ≥ 1}

L2 = {anbmcmdn : n ≥ 1,m ≥ 1}.


Il linguaggio L

Il linguaggio L contiene tutte le stringhe del tipo a+b+c+d+ chesoddisfano una delle seguenti condizioni

ci sono tante a che b e ci sono tante c che d

ci sono tante a che d e ci sono tante b che c

Esempio abccdd ∈ L1 ma abccdd 6∈ L2; viceversa aabcdd ∈ L2 maaabcdd 6∈ L1.


Una Grammatica per L

Una grammatica CGF per L1 e’

S → ABA → aAb | abB → cBd | cd

Una grammatica CGF per L2 e’

S → CC → aCd | aDdD → bDc | bc

Mettendole insieme troviamo una grammatica CGF per L.


La grammatica e’ ambigua

Il problema sono le stringhe che appartengono a tutti e due ilinguaggi

L1 ∩ L2 = {anbncndn : n ≥ 1}

queste stringhe hanno due alberi sintattici (o derivazionisinistre): una ottenuta da S applicando le regole dellagrammatica di L1, l’altra ottenuta da S applicando le regoledella grammatica di L2


Esempio

I due alberi sintattici per la stringa aabbccdd

S

A B

a A b

a b

c B d

c d

(a)

S

C

a C d

a D d

b D c

b c

(b)


In conclusione

puo’ essere provato che ogni grammatica per L si comportacome questa. Il linguaggio L e’ quindi inerentemente ambiguo

intuitivamente, le derivazioni di L1 ed L2 devono esserederivate da simboli non terminali differenti, produzionidifferenti

i due linguaggi devono infatti accoppiare i simboli in mododiverso


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