-40-

LINGKARAN

PENDAHULUAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik) yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama tersebut sering disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan dengan r.

1. LINGKARAN DENGAN PUSAT (0,0) Y

r P(x , y) OP = r 0 X

Dengan menggunakan rumus jarak ;

ryxrOP =+= 22 atau 222 ryx =+

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari r.

Contoh 1 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 1022 =+ yx

Jawab : .

Contoh 2 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan melalui titik (-2,4)

Jawab : ..

LATIHAN SOAL

1. Gambarlah pada bidang Cartesius daerah dari himpunan berikut :( ){ }( ){ }( ){ }16,.

16,.

16,.

22

22

22

>+

-41-

4. Tentukan jari-jari lingkaran :

3622.32.

22

22

=+

=+

yxbyxa

5. Tentukan nilai m jika titik (-2,m) terletak pada lingkaran 1322 =+ yx !

6. Tentukan nilai m jika titik (m,m) terletak pada lingkaran 20022 =+ yx !

7. Sisi-sisi persegi panjang mempunyai persamaan : y = 8, y = -8, x = 8 dan x = -8. Tentukan persamaan lingkaran :a. yang menyinggung semua sisi persegi tersebutb. yang melalui semua titik sudut persegi tersebut

8. Tentukan koordinat titik potong lingkaran 10022 =+ yx dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah panjang tiap tali busur yang terpotong dari :a. x = 8b. y = -6

2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI TITIK (a,b)

Y r P(x,y) M(a,b)

0 X

Dengan menggunakan rumus jarak akan didapat :

222 )()( rbyax =+

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r.Rumus di atas bisa juga didapat dari pergeseran persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) sebesar

ba

.

Contoh 1 : Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran ( ) ( ) 10053 22 =++ yxJawab : .

Contoh 2 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,3) dan melalui titik (4,5)

Jawab : ..

Matematika kls XI IPA

-42-

3. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Pada persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r jika diuraikan maka akan didapat persamaan umum lingkaran.

022)()( 22222222 =+++=+ rbabyaxyxrbyaxMisal : CrbadanBbAa =+== 2222,2 maka persamaan di atas menjadi :

022 =++++ CByAxyx

Yang merupakan persamaan umum lingkaran dengan pusat ( )BA 2121 , dan berjari-jari ( ) ( ) CBAr += 221221

Contoh 3 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 0881022 =++ yxyx

Jawab : ..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-5,2) dan berjari-jari 6 !

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-2,0) dan melalui titik (4,3) !

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran :( ) ( )( ) 25.

2531.22

22

=+

=++

yxbyxa

4. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y serta mempunyai jari-jari 5 !

5. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,-5) dan menyinggung sumbu Y !

6. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 2 dan menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y positif !

7. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran :

06.0584.

22

22

=++

=++

xyxbyxyxa

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(3,1), B(-2,6) dan C(-5,-3) !

9. Diketahui segitiga ABC dengan A(0,-1), B(2,3) dan C(1,6). Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga ABC !

Matematika kls XI IPA

-43-

4. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

4.1Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik Pada Lingkaran

Y

),( 11 yxP

0 X

g

Garis g menyinggung lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari r.

Gradien garis OP adalah 1

1

xy

, sehingga gradien garis g karena tegak lurus dengan OP adalah -1

1

yx

.

Jadi persamaan garis g dengan gradien -1

1

yx

dan melalui titik ),( 11 yxP adalah :

21

21111

1

11 )( yxyyxxxxy

xyy +=+=

Karena 2212

1 ryx =+ maka persamaan garis singgung g adalah :

211 ryyxx =+

Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 1022 =+ yx di titik (3,1)

Jawab : .

Persamaan garis singgung pada lingkaran 222 )()( rbyax =+ di titik ),( 11 yxP adalah :

( ) ( ) ( ) ( ) 211 rbybyaxax =+

4.2Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

g Y Persamaan garis g misalnya y = mx + c

disubstitusikan ke persamaan lingkaran 222 ryx =+ maka dengan syarat garis

menyinggung kurva yaitu D = 0 akan didapat

0 X 12 += mrc

Matematika kls XI IPA

-44-

Jadi persamaan garis singgung g adalah : 12 += mrmxy

Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 1622 =+ yx yang sejajar garis 12 = xy

Jawab : Gradien 12 = xy adalah =1m 2 maka gradien garis singgung pada lingkaran adalah 212 == mm

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1622 =+ yx dengan gradien 2 adalah : 1242 2 += xy atau 542 = xy

4.3 Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Contoh 3 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 1322 =+ yx yang melalui titik (5,1)

Jawab : Misal titik singgungnya ( )11, yx pada lingkaran 1322 =+ yx , maka persamaan garis singgungnya adalah 1311 =+ yyxx .Persamaan garis singgung tersebut melalui titik (5,1) maka 135 11 =+ yx (1)Titik ( )11, yx pada lingkaran 1322 =+ yx maka 132121 =+ yx (2)Substitusi (1) ke (2) :

( ) ( ) 3203213)513( 21112121 ====+ xatauxxxxxSubstitusi 21 =x dan 32 =x ke 11 513 xy = sehingga didapat titik singgung (2,3) dan (3,-2).Persamaan garis singgung di titik (2,3) adalah 2x + 3y = 13Persamaan garis singgung di tiitk (3,-2) adalah 3x 2y = 13

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 1022 =+ yx di titik (-3,-1) !

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 16922 =+ yx yang berabsis 5 !

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 2532 22 =++ yx di titik (2,6) !4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 454622 =++ yxyx di titik (2,6) !

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang bergradien 34

!

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang tegak lurus garis 4x 3y = 6 !

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 1051 22 =++ yx yang bergradien 3 !

Matematika kls XI IPA

-45-

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 062622 =++ yxyx yang bergradien 21

!

9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang melalui titik (7,1) !

10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 020422 =+ yyx yang melalui titik (-2,4) !

Matematika kls XI IPA

LINGKARANPENDAHULUANLATIHAN SOALLATIHAN SOALLATIHAN SOAL