MATRİSLERİN TANIMI

SATIR MATRİS

SÜTUN MATRİS

KARE MATRİS

SIFIR MATRİS

KÖŞEGEN MATRİS VE

SKALER MATRİS

BİRİM MATRİS

İKİ MATRİSİN

EŞİTLİĞİ

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

MATRİSİN SKALARLA ÇARPIMI

MATRİSLERDE ÇARPMAİŞLEMİ

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

TANIM: n,m Є N+ için, (i=1,2,3,....,m; j=1,2,3,....,n) olmak üzere, aij reel sayılarından oluşturulan;

tablosuna mxn biçiminde(tipinde) bir matris denir. j sütun

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

i satır

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına ikinci indis denir.aij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile, j sütununun kesim noktasında bulunur.Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A=[aij]mxn şeklinde gösterilir.Burada, m matrisinin satır sayısını,n de sütun sayısını gösterir.A matrisinin, ai1, ai2, ..., aij, ..., ain elemanlarına i. Satır elemanları;

a1j, a2j, ..., aij, ..., amj elenanlarına da j. sütun elemanları denirMATRİSLER

Tanım:A=[aij]mxn matrisinin her satırına, satır matrisi(satır vektörü) denir.B1=[a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)

B2=[a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)

Bm=[am1 am2 ...amn] (m.satırmatrisi)

A matrisi satır matrisine bağlı olarak,

A=[aij]mxn= şeklinde gösterilir

4

3

2

1

B

B

B

B

MATRİSLER

Tanım:A=[aij]mxn matrisinin her sütununa, sütun matrisi(sütun vektörü)denir

A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A=[aij]mxn=[A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.

n

n

n

n

a

a

a

A...2

1

1

21

11

1 ...

ma

a

a

A

2

22

12

2 ...

ma

a

a

A, ,...,A1:birincisütun matrisi

A2:ikinci sütun matrisi

...

An:n. Sütun matrisi

MATRİSLER

Tanım:Nxn tipindeki[aij]nxn matrisine, n.sırada kare matris denir.

Örneğin;

51

43Matrisi,2.sıradan bir kare matristir.

MATRİSLER

Tanım:Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir

Örneğin;

32000

000

X

O

Matrisi. 2x3 tipinde sıfır matrisidir.

Tanım:[aij]nxn kare matrisinde a11 , a22 , a33 , ... , ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1 , a(n-1)2 , ... , a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Asal köşegenYedek köşegen

MATRİSLER

Tanım: A=[AİJ]nxn kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip matrise, köşegen matris denir.

000

040

003

matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.

Tanım: A=[aij]nxn köşegen matrisinde a11=a22=...=ann=k ise,(kЄR) bu matrise, skalar matris denir.

50

05Matrisi, 2.sıradan bir skalar matrisidir.

MATRİSLER

Tanım:Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir.In şeklinde gösterilir.

1000

0100

0010

0001

4I matrisi, 4.sıradan bir birim matrisidir.

Asal eksen

MATRİSLER

Tanım:asal köşegen üzerindeki elemanları eşit olan matrislere, eşit matrisler denir.

Örnek:

b

a

ba

baA

52

235

2

4

y

xBve olmak üzere, A=B

ise, kaçtır?y

x

y

x

Çözüm:A=B

b

a

ba

baA

52

235

2

4

y

xB= matrisinin eşitliğinden,

5a=4, 5b=2, 3a+2b=x, a+2b=y olduğundan

5a=22

5b=2 52b=22 5a=52b den, a=2b olur. Bulunan değer de

yerine yazılırsa;

y

x=

ba

ba

2

23

bb

bb

22

2)2(3

2

4

8

b

b= =

MATRİSLER

Tanım:A=[aij]mxn veB=[bij]mxn matrisleri verilmiş olsun.

A+B=[aij]+[bij]mxn=[aij+bij]mxn matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir.

Örnek:

814

1311

421

213

43

12

a

b

b

a olması için (a,b) ikilisi ne olmalıdır?

814

1311

824

133

ba

ba

Çözüm: Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak,

elde edilir. Bu eşitlikten,

A-2b=-11

2a+b=-1Denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse, (a,b)=(-2,3) bulunur

MATRİSLER

1.Değişme özelliği vardır.

A+B=B+A

2. Birleşme özelliği vardır.A+(B+C)=(A+B)+C

3. Sıfır matris, etkisiz elemandır.

A+0=A4.A=[aij]mxn matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, -A=[-aij]mxn matrisidir.

5. İki matris farkı;

A-B=A-(B)

MATRİSLER

C bir sayı olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir.

Tanım: k skalar sayısı ve a=[aij]mxn matrisi verilmiş olsun.

k.A=k[aij]mxn=[kaij]mxn matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin

çarpımı denir.

Örnek:

14

32Matrisi v ek=2 saysı için, k.A matrisini bulalım.

Çözüm:

28

64

2.12.4

2.32.2

14

32.2.Ak

MATRİSLER

Tanım: A matrisi mxn türünde, B matrisi nxp türünde olsun. A.B matrisi mxp türünde bir matristir. cij, A.B nin bir elemanı ise, bu eleman, A’nın i. satır vektörü ile B’nin j.sütun vektörünün skaler çarpımına eşittir.

Örnek:

24

13A ve

412

502B ise A.B çarpımını bulunuz.

3222412

502.

24

13

xx

Çözüm:

322.45.40.42.1)2(22.4

4.13.51.103)2(13.2

x

2824

1914

MATRİSLER

1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur.

2. A ve B 0’a eşit olmadığı halde , A.B=0 olabilir.

3. A.0=0.A=0’dır. Buna göre sıfır matrisi yutan elemandır.

4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. A.I=I .A=A

5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A.(B.C)=(A.B).C

6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.

a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği;

b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği;

A ve B matrisleri mxn türünde , C matrisi nxp türünde iseler

(A+B).C=A.C+B.C olur.

7. A ve B birer matris , k bir sayı ise ; k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir.

8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.

dir. A.CA.BC)A.(B , üzereolmak cC , bB , a A nxpjknxpjkij

mxn

MATRİSLER

Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.

Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri

1. olmak üzere , n. Sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa,

1-1- A . k

1 k.A)(

0-Rk

1-11- A.BA.B)(

2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve ise;

1A 1B

ac

bd

bcad

1A 1

3. ise, dır.

Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.1A

dc

baA

MATRİSLER

Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle

mxnijaA

nxmjiaelde edilen matrisine A matrisinin devriği denir ve veya ile gösterilir.

TA dA

65

14

23

AA dT

612

543A

Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;

1. 2. 3.A)(A TT TT BAB)A( TT A.k)A.k(

Teorem: ve matrisleri için, dir.

Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir.

mxnijaA nxpjkbB

TTT A.B)B.A( T11T )A()A(

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal

1. =A ise, A matrisine simetrik matris denir.

2. =-A ise A matrisine antisimetrik matris denir.

3. = ise A matrisine ortogonal matris denir.

TATATA 1A

MATRİSLER

DETERMİNANTIN TANIMI

MİNÖR VE KOFAKTÖR ÇARPIMI (EŞ ÇARPAN)

DETERMİNANT FONKSİYONU

DETERMİNANT ÖZELLİKLERİ

EK MATRİS

EK MATRİSİN ÖZELLİKLERİ

A-1 MATRİSİN EK MATRİS YARDIMIYLA BULUNUŞU

Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. a11A a11

A

Örneğin; A=[7] matrisi için dir.7A Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı

aaaa

2221

1211A

aaaaaaaa

211222112221

1211 ..A

dir.

Tanım: 3x3 biçimindeki matrisinin determinantı;

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

A

)......(A aaaaaaaaaaaaaaaaaa

312231133221332211

333231

232221

131211

)......( aaaaaaaaa 211233113223312213

Bu kısımda, elemanları gerçek sayı olan kare matrislere ait determinant kavramını vereceğiz.

A kare matris olmak üzere, A matrisinin determinantı | A| veya det(A) biçiminde gösterilir. A matrisi nxn biçiminde ise, A’nın determinantı n. mertebedendir, denir.

DETERMİNANTLAR

Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir.

a ij ijM

ijji

ij M.)1(A

3MTanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun. 3M

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

A

olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.

131312121111AAAdet(A) aaa RM:D 3

Örnek: determinantını hesaplayalım.29992997

30033001A

1a3a

3a1a

29992997

30033001A

A

Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, açılımını

=(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8

DETERMİNANTLAR

n1n112121111A...AAAdet(A) aaa

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun.

n

nn2n1n

n22221

n11211

M

aaaaaaaaa

olmak üzere

ile tanımlı

fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir.

RM:D 3 A

Örnek: değerini bulalım.

4231

1210

1011

0201

A

431

110

111

.)1.(2

423

121

101

.)1.(1A 42

Çözüm:

A =-1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur. A

DETERMİNANTLAR

TAA 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

A karesel matris ise, dir.

0A

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

0-R cb,a,

111

cba

c22b2a

A determinantı verilmiş olsun. Bu

determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

043

01-4

02-4

A =0 dır.

DETERMİNANTLAR

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

aaaaaaaaa

332211

33

2322

131211

..

00

0A (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

6ba

d c 6

dc

ba ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.)

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

dc

kbkaAk.

dc

baA ise olur.

DETERMİNANTLAR

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

kbdkac

ba

dc

ba

dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra

eklenmiştir.)

8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

cbacbacba zyx

A

333

222

111

Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;

cbacba

cbacbacba zyx

A

333

222

333

222

111

olur.

DETERMİNANTLAR

9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.

3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.

BABA .. 10. N. Mertebeden A ve B matrisleri için,

dir.

4dc

baA 7

tz

yxBve 287.4.. BABA

DETERMİNANTLAR

Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir

nnijaA

*

TijA

aaaaaaaaa

A

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

T

A

332313

322212

312111

333231

232221

131211

Matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.

Ek(A) , matrisek için matrisi A

ac

bd

dc

ba

İşaretleri değişir. Yerleri değişir.

DETERMİNANTLAR

A.Ek(A)=Ek(A).A= A .I

Yukarıdaki özelliği, A=

dc

baMatrisi için gösterelim:

adbc

bcad

adbdcdcd

ababbcad

ac

bd

dc

ba

0

0.

=(ad-bc) dııIA '.10

012

DETERMİNANTLAR

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:

0ATeorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere,

A

AEkA )(1

dır.

İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:

11111 .)(..)(..)(..)(.. AAAEkAAAEkAAAEkAAAEkAA

A

AEkA

)(1

DETERMİNANTLAR

814

312

201

A matrisinin tersini bulalım.Örnek:

;0-

,

dA 1

c

ba

bc

1

c

ise

adır.

-det(A)

Ek(A)

bcaddet(A)matrisinde

-

d:Sonuç

a

bd

)det(

)(1

A

AEkA

olur.

1-1-6

104-

2211-

det(A)

Ek(A) A halde, O bulunur.olarak

1-1-6

104-

2211-

Ek(A) dıırvarA , olduğlduğu 01

814

312

201

)det(

1-

1-

A

Çözüm: olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.

DETERMİNANTLAR