Li̇neer cebi̇r 01
-
Upload
matematikcanavari -
Category
Education
-
view
396 -
download
2
description
Transcript of Li̇neer cebi̇r 01
KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR
DERS ÖĞRETMENİ:
MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ
BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...
LİNEER CEBİR
• MATRİSLER
• DETERMİNANTLAR
tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. ∈∈
TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;
N+∈ a ij
......
::::::
......
::::::
......
......
21
21
222221
111211
↓
→
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
mnmjnn
inijii
nj
nj
i. satır
j. sütun
Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ijelemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir.
elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
[ ]n*maij
.A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları;
elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
aaaa inij2i1i,,,
aaaa mjijj2j1,,,
a ij
B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
. . . . . . . . . . . .Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)
A matrisi satır matrisine bağlı olarak,
m
2
1
B
.
.
B
B
A= [aA= [aijij]]m x n =m x n = şeklinde şeklinde gösterilir.gösterilir.
Satır MatrisSatır Matris
TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her satırına, matrisinin her satırına, satır matrisisatır matrisi denir.denir.
• A1 :1.satır matrisi
• A2 : 2.satır matrisi
• ...• ...• An : n.satır matrisi
=
=
=
mn
n
n
n
mm a
aa
A
a
aa
A
a
aa
A....
,......,....
,....
2
1
2
12
12
2
1
21
11
1
A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.
Sütun MatrisSütun Matris
TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her sütununa, matrisinin her sütununa, sütun matrisisütun matrisi denir. denir.
Kare MatrisKare Matris
Tanım:Tanım: n x n tipindeki A= [a n x n tipindeki A= [aijij]]m x nm x n matrisine, n. basamaktan matrisine, n. basamaktan kare kare
matrismatris denir denir..
matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
−51
43
Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir.
Sıfır MatrisiSıfır Matrisi
matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
32000
000
x
TanımTanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisisıfır matrisi denir ve denir ve OO harfi ile gösterilir. harfi ile gösterilir.
Asal Köşegen , Yedek KöşegenAsal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım :Tanım : A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisine akare matrisine a1111,a,a2222,a,a3333,...,a,...,annnn elemanlarının elemanlarının
oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, asal köşegenasal köşegen; a; an1n1,a,a(n-1)2(n-1)2,...,a,...,a1n 1n terimlerinin terimlerinin
oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, yedek köşegenyedek köşegen denir. denir.
a11,a22,a33 : asal köşegen
a31,a22,a13 :yedek köşegen
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Yedek köşegen Asal köşegen
Köşegen MatrisKöşegen Matris
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, matrise, köşegen matrisköşegen matris denir. denir.
matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.
−
000
040
003
Skalar MatrisSkalar Matris
matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.
50
05
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n köşegen matrisinde aköşegen matrisinde a1111 = a = a2222 = a = a3333 ...= a ...= annnn = k ise, = k ise,
(k(k ∈∈ R) bu matrise, R) bu matrise, skalar matrisskalar matris denir. denir.
Birim MatrisBirim Matris
Tanım:Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları
sıfır olan kare matrise, sıfır olan kare matrise, birim matrisbirim matris denir. n x n tipindeki bir denir. n x n tipindeki bir birim matrisbirim matris IInn ile gösterilir. ile gösterilir.
matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir.
=
1000
0100
0010
0001
4I
(asal köşegen)
Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİİKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
ÖRNEK:ÖRNEK:
==
2
4
y
xBveA
+
+
52
235
ba
bab
a
olmak üzere, A = B ise kaçtır ?y
x
Tanım:Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrislereşit matrisler denir. denir.
∀ (i, j) ∈ M x N için, aij = bij ⇔ [aij]m x n = [bij]m x n
+
+
52
235
ba
bab
a
=
2
4
y
x matrislerinineşitliğinden,
ÇÖZÜMÇÖZÜM : A = B ⇒
5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan
5a = 22
5b = 2 ⇒ 52b = 22
⇒ 5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa;
bulunur.24
8
22
2)2(3
2
23 ==+
+=++=
b
b
bb
bb
ba
ba
y
x
?x
ise 21
016
241-
01yx :Örnek
3232
=
−−=
+
xx yx
5 x 102x 4y- x
6y x:Çözüm
=⇒==
=+
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİMATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]m x n m x n ve B= [bve B= [bijij]]m x n m x n matrisleri verilmiş olsun.matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [aA + B = [aijij]]m x n m x n + [b+ [bijij]]m x nm x n= A= [a= A= [aij+ ij+ bbijij]]m x nm x n matrisine, matrisine, A ve B A ve B
matrislerinin toplamı denir.matrislerinin toplamı denir.
O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
ÖRNEK:ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
ÇÖZÜM:ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.Buna göre;
m+1 = n+1 ∧ p-2 = 2 ⇒ m = n ∧ p = 4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 ∧ k = 2
m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.
?z)y,(x, ise
2
1
4
5
x
1
2-
:Örnek =
−=
−+
z
y
3z z52-
-2y -1y1
6 x 24- x:Çözüm
=⇒=+=⇒=+=⇒=
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ
1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.
[ ] [ ]
AB BA
için, matrisleri bB veaA ijij
+=+
==mxnmxn
2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
[ ] [ ] [ ]
olur. C B)(A C)(BA
için, matrisleri cC , bB , aA ijijij
++=++
===mxnmxnmxn
3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
[ ] [ ]
olur.A A0
için, matrisleri 0,0 aA mxnij
=+
==mxn
4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
matrisidir.
[ ]mxnijaA =
[ ]mxnija-A- =
A+(-A) = [ ] mxn 0
Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi
=
6-54
312-A
65-4-
3-1-2
Örneğin:Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi,
matrisidir.
[ ]mxna ij
A = [ ] A - a ij mxn=
[ ]mxna ij
A =
Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine ,
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
İKİ MATRİSİN FARKI
Tanım : matrislerinin farkı, [ ] [ ] bB , aA ijij mxnmxn==
[ ] [ ]mxnmxn ijij b-a (-B) A B-A +=+= [ ] olur.ba
ijij mxn−=
MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
bulunur. 312
96
14
3-23. k.A :ÇözümÇözüm
matrisinik.A
3k vematrisi 14
3-2 :ÖrnekÖrnek
−=
=
=
sayısı için
bulalım.
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denirÖrneğin: k=5 bir reel skalar dır.
Skalarla Çarpmanın Özellikleri
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun.
Her ve [ ]mxnijaA = [ ] için matrisleri bB ij mxn
=
1. k.(A+B) = k.A + k.B
2. (k1+ k2).A = k1.A + k2.A
3. k1.(k2.A) = (k1.k2).A
?232
101).4(
13-2-
021-3. :Örnek =
−−
−+
32112114
467
8128
404
39-6-
063- :Çözüm
x
−−
−=
−−
−+
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
[ ] [ ]nxpjkmxnij ba B A ==
babababac nkink22ik1i1jk
n
1jijik
....... +++== ∑=
[ ]mxpikcC =
BAC nxpmxnmxp.=
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2.
matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.
olmak üzere; elemanları
toplamıyla bulunan matrisine A ve B
matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde
gösterilir.
=
=
10
43B
03
12AÖrnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı
bulalım.
Çözüm:
=
++++
=
=
129
96
1.04.30.03.3
1.14.20.13.2
10
43 .
03
12A.B
=
++++
=
=
03
318
0.11.03.12.0
3.12.03.42.3
03
12 .
14
03B.A
Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
22. . A A ≠≠ O ve B O ve B ≠≠ O olduğu halde, A . B = O olabilir. O olduğu halde, A . B = O olabilir.
−
−=
12
12A
=
22
11Bve olup;
=
+−+−
−−=
00
00
2222
2222.BA dır.
11.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B .Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B ≠≠ B . A B . A
33. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde . A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır.yutan elemandır.
44. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.
5.5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]p x r p x r olmak üzere ;olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir. A.(B .C) = (A .B) . C dir.
6.6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
a.a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; dağılma özelliği;
A = [aA = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]n x p n x p olmak üzere ;olmak üzere ;
A.(B +C) = A .B + A . C dir.A.(B +C) = A .B + A . C dir.b.b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; dağılma özelliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.(A +B) C . = A .C + B . C olur.
7.7. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.
(k.B)=(k.A).B dir.(k.B)=(k.A).B dir.
8.. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.
Örnek: veriliyor.A.B=B.C
olduğunu gösterelim.
=
=
=
41
13C ,
14
31B ,
46
23A
=
=
=
22
11 .11
2222
1111
14
31 .
46
23A.B
=
=
=
22
11 .11
2222
1111
41
13 .
46
23A.C
O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir.
Çözüm:
KARE MATRİSİN KUVVETİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k∈N+ olmak üzere
A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.
A.A-1 = A-1.A =In dir.
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri
1. olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa, 1-1- A . k
1 k.A)( =
{ }0-Rk ∈
1-11- A.BA.B)( −=
=
dc
baA
−
−−
=−
ac
bd
bcad
1A 1
2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri,
ve ise; 1A− 1B−
3. ise, dır.
Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.1A−
BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)
Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları
sütun haline getirmekle elde edilen matrisine
A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
[ ]mxnijaA =
[ ]nxmjia
−
−==
65
14
23
AA dT
−
−=
612
543A matrisinin transpozu,
Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;
1. 2. 3.A)(A TT = TT BAB)A( +=+ TT A.k)A.k( =
Teorem: ve matrisleri için,
dir.
[ ]mxnijaA = [ ]nxpjkbB =
TTT A.B)B.A( =
Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir.T11T )A()A( −− =
..,543
211. bulalımmatrisleriniABiseBA TT
−=
( ) .
52
41
31
543
211... dirABiçinABBA
T
TTTTT
−=
−
==
Örnek:Örnek:
Çözüm:Çözüm:
Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal
1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir.
3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir.
TATATA 1A−
Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
Örnek:
−−−=
=
064
603
430
,53
32BA matrislerinin hangisinin
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
Çözüm:
=
53
32A simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
−−=064
603
430
B matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.
DETERMİNANTLAR
Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir.
Örneğin; A=[7] matrisi için dir.
[ ]a11A = a11
A =
7A =
Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı
=
aaaa
2221
1211A
aaaaaaaa
211222112221
1211 ..A −== dir.
)......(A
tııdeterminan matrisinin A ibiçimindek 33:
231231133221332211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaa
aaaaaa
aa
aaaaaaaaaaa
aaa
a
++==
=×Tanım
. )......(211233113223312213diraaaaaaaaa ++−
82
63AÇözüm:
82
63A:Örnek
=
−
−=
−
−= olduğuna göre , yı hesaplayalım. A
3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur.
ım.hesaplayal yı A göre, olduğldu
4-50
012
301-
A :Örnek
=
[ ] [ ]
bulunur. 34)000()0304(
2.0).4()1.(5.00.1.30.0.03.5.2)4.(1).1(
4-50
012
301-
A:Çözüm
=++−++=
−+−+−++−−=
=
MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir.
ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir.
a ij
ijM
ijji
ij M.)1(A +−= a ij
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun.
olmak üzere,
3M
=
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
A 3M∈
ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.
131312121111AAAdet(A) aaa ++= RM:D 3 →
Örnek: determinantını hesaplayalım.29992997
30033001A =
1a3a
3a1a
29992997
30033001A
−−++
==
A
Çözüm: 3000=a dersek, olur.
Buna göre, açılımını yapalım:
=(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.
DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.
ile tanımlı
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir.
aaa
n
nn2n1n
n22221
n11211
M
aaaaaa ∈
olmak üzere
n1n112121111A...AAAdet(A) aaa +++== RM:D 3 →
A
Örnek: değerini bulalım.4231
1210
1011
0201
A
−
−−
=
431
110
111
.)1.(2
423
121
101
.)1.(1A 42
−
−−+
−−−=Çözüm:
A = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16
bulunur.
⇒ A
DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ
1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
TAA =A karesel matris ise, dir.
{ }0-R cb,a,
111
cba
c22b2a
A ∈=
0A =
determinantı verilmiş olsun.
Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.
043
01-4
02-4
A = =0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.
4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
aaaaaaaaa
332211
33
2322
131211
..
00
0A == (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)
6ba
d c 6
dc
ba−== ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer
değiştirmiştir.)
5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
dc
kbkaAk.
dc
baA == ise olur.
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.
kbdkac
ba
dc
ba
++= dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
eklenmiştir.)
7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.
cbacbacba zyx
A
333
222
111+++
= Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;
cbacba
cbacbacba zyx
A
333
222
333
222
111
+= olur.
8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır.
9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
4==dc
baA 7==
tz
yxBve 287.4.. ===⇒ BABA
BABA .. =10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir.
EK MATRİS
Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş
olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A
matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
[ ]nnijaA
*=
[ ]TijA
=
aaaaaaaaa
A
333231
232221
131211
=
=
AAAAAAAAA
AAAAAAAAA
T
A
332313
322212
312111
333231
232221
131211
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma
göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.
Örneğin;
Ek(A) , matrisek için matrisi A
−
−=
=
ac
bd
dc
ba
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.
Ek Matris Özelliği
Yukarıdaki özelliği, A=
dc
bamatrisi için gösterelim:
+−
−=
+−−+−−
=
−
−
adbc
bcad
adbdcdcd
ababbcad
ac
bd
dc
ba
0
0.
=(ad-bc) dııIA '.10
012=
A .IA.Ek(A)=Ek(A).A=
A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:
0≠ATeorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere,
A
AEkA )(1
=−
‘dır.
İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:
A
AEkA
AAAEkAAAEk
AAAEkAAAEkAA
)(
.)(..)(
..)(..)(..
1
11
111
=
=⇒Ι=⇒
Ι=⇒Ι=
−
−−
−−−
−=
814
312
201
A matrisinin tersini bulalım.
olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.
Örnek:
Çözüm:)det(
)(1
A
AEkA =−
olur.
1-1-6
104-
2211-
det(A)
Ek(A) A halde, O bulunur.olarak
1-1-6
104-
2211-
Ek(A) dıırvarA , olduğlduğu 01
814
312
201
)det(
1-
1-
==
=≠=−=A
dıır bc-ad
1
det(A)
Ek(A) A
; ise 0 bc- ad det(A) , matrisinde dc
ba:Sonuç
1-
−
−==
≠=
ac
bd