Lineas de Influencia (Unidad 2) Estructuras II

Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL

21

UNIDAD 2

LNEAS DE INFLUENCIA

La lnea de influencia de una solicitacin es un diagrama tal, que su ordenada en un punto i

mida, en una determinada escala, el valor de la solicitacin en una seccin determinada (o de la

deformacin), cuando en el punto i de referencia acta una carga de valor unitario P=1.

Desempean un papel importante en el diseo de puentes, vigas carrilera de gras-puente, cintas

transportadoras, y cualquier otro tipo de estructura en las que el punto de aplicacin de las cargas se

mueve a lo largo de su luz. Estas cargas se denominan cargas mviles. Un ejemplo tpico es el peso

de un vehculo que circula por un puente.

La lnea de influencia representa la variacin de las reacciones de momento o cortante en un

punto especfico de un miembro a medida que una fuerza concentrada se desplaza a lo largo del

miembro. Una vez que esta lnea es construida se puede determinar fcilmente cul es la posicin

de la carga en la estructura que provocara la mayor influencia en un punto especificado. Adems a

partir de los datos del diagrama de influencia podemos calcular la magnitud de los esfuerzos de

momento y cortante, e incluso el valor de la deformacin en ese punto.


22

2.1 CONSIDERACIONES GENERALES

Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la

generalizacin a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los

necesarios en nuestro tratamiento.

La posibilidad de cargas mviles implica la necesidad de obtener:

a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas)

para distintos puntos de aplicacin de la misma.

b) El estado ms desfavorable de aplicacin de la carga, que trae aparejada las mayores

solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una seccin dada

Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo

menos, en varias secciones caractersticas segn las circunstancias.

El trazado de diagramas o Lneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las

dos necesidades y su utilizacin es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes

gra, etc., donde las cargas mviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o

carga permanentes (g).

2.2 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTTICOS

Recordemos algunos elementos bsicos aplicados en sistemas isostticos simples a fin de

apreciar las similitudes y diferencias con el tratamiento que daremos a las vigas hiperestticas. Nada

mejor para esto que la aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales, en el mtodo de la Cadena

Cinemtica en una viga isosttica de dos tramos para distintos casos de solicitaciones, o Mtodo

Analtico.

carga unitaria aplicada en i, donde 1

se puede incorporar como factor de escala.

LNEA DE INFLUENCIA DE UNA REACCIN


23

En claro ejemplo, determinemos la lnea de influencia para la reaccin en A de la siguiente viga:

Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA.

LNEA DE INFLUENCIA DE UN MOMENTO

LNEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE


24

Otro mtodo es encontrando la ecuacin de la variacin de la reaccin en A, a medida que se mueve

una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reaccin en funcin de la posicin x de la carga P=1,0.

Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reaccin por proporciones tenemos:

Notemos que la ecuacin tiene pendiente negativa y con una variacin lineal para RA.

Para obtener el valor de la reaccin en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la

lnea de influencia por el valor de la carga.

Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A, el valor de la reaccin sera:

La Lnea de influencia para el cortante en A: Se determina la variacin del cortante en A por el

mtodo de las secciones:

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en

funcin de la posicin x y despus se aplica el mtodo de las secciones partiendo por el punto al

cual se le quiere determinar la lnea de influencia:


25

Haciendo equilibrio en la seccin y localizando la carga en x>0 tenemos:

En este caso concluimos que la lnea de influencia del cortante en A es igual a la de la reaccin en

A; Note que la lnea de influencia se hacer para la convencin positiva de los esfuerzos internos.

Lnea de influencia para la reaccin en B:

Lnea de influencia para el momento en A: Para cualquier posicin de la carga unitaria el momento

en A ser cero.

Lnea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2. Siempre comenzamos

encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:


26

Para x < L/2 , se puede tomar la seccin C-B y los clculos se facilitan ya que en ella no est

actuando la carga unitaria:

, de donde

Para x>L/2 se toma la seccin A-C para equilibrio:

Lnea de influencia para el cortante en C:

Momento en C:


27

P = 1

EJEMPLO 1.-

E F

5 m

A D

B C

6 m 6 m 6 m

Solucin:

Se pone en evidencia la Fuerza Axial que ejerce la tensin en el elemento EF:

Diagrama Cartesiano de Corrimiento 5 5/2 E F NEF NFE

5 m /2

CIR

A O2 O1, O12, O2

O1 O12 B C

6 m 6 m 6 m

O12

6 3 CIR CIR O1 O2 = /2 Diagrama Cartesiano de Corrimiento

Hallar la Lnea de Influencia que ejerce la Tensin

entre el elemento EF cuando una carga P=1 se

mueve paralelamente en s misma sobre la

estructura.

Por el Mtodo de la

cadena cinemtica

hallamos los centros

instantneos

de rotacin (CIR).

Aplicando el principio de los trabajos virtuales:

Tv = 0

NEFx5 NFEx5/2 = 0

El Valor de la Lnea de Influencia axial en el elemento

X = NEF =


28

EJEMPLO 2.-

D C

4m

P = 1 B

2m

A 2m

2m 2m

O3 O3

O23 O2

III O2 II

II III

O3 O12 O12

I 4

O1 I

O12 O1

I=III II

4

O1 O2

Determinar la Lnea de Influencia del Momento en

A cuando una carga P=1 se mueve paralelamente

sobre AB.

Solucin:

Evidenciando el momento en A (MA) se determina la

Lnea de Influencia a travs de los Diagramas de

Desplazamientos.

Tv = 0

x = = 2

El Valor de la Lnea de Influencia del Momento en A

X = MA =

=

4

LIMA= 2


29

EJEMPLO 3.-

B

4m 1

A

3m

C D

3m 4m 5m

Solucin:

Se pone en evidencia el Momento en B que ejerce la Flexin:

012

M M Sistema Primario

I 01

II

03

02 023 III

II

III

0.57 1.33 7 12 2.40

3 5.14 LI MB 02 01 1.028 03 2.33


B cuando una carga P=1 se mueve sobre el sistema

mostrado.

(Tv =0)

-1x m + M x M x 0.57 = 0

m = 0.43 = 1 = 2.33


30

2.3 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS HIPERESTTICOS

PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU

La lnea de influencia en un punto dado para la cortante o momento est dada por la

deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado, retirando la

capacidad de la viga para aguantar esa funcin.

Para la determinacin de la lnea de influencia de cualquier incgnita (fuerza axial, cortante,

momento o reaccin) en un punto de una estructura hiperesttica, se aplica el principio de Mller-

Breslau. Las lneas de influencia de estructuras hiperestticas son lneas curvas, a diferencia de las

correspondientes a sistemas isostticos, las cuales conforman lneas rectas.

Debido a que las solicitaciones de la estructura primaria estn constituidas por cargas

concentradas o momentos concentrados, el diagrama de momentos de ese sistema es lineal. Es

decir, este diagrama estar constituido por lneas rectas, para un elemento recto genrico ij. La viga

conjugada tendr un diagrama de cargas de la siguiente forma:

Mij

.

i j j

i i j

Mji

.

Diagrama de Momentos Viga Conjugada

Por superposicin, la viga conjugada puede descomponerse en los tres casos que a

continuacin se muestran

.

.

.

+ +

i j

i j

= i j i j i j

.

-

-

-


31

El momento en un punto genrico de abscisa , es decir, la componente vertical de la

elstica en ese punto de la viga real es:

Caso I:

.

i j = . + 12

.

. . . 1

3

=

6 . . 2 . ( 3)

Ri Rj

6

3 haciendo: D = (

3) y K = (I /L) / cos tenemos:

= .

. I Ecuacin

Caso II:

.

i j = . + 12

.

. . . 1

3

Similarmente al caso I, el Momento viene dado por:

Ri Rj

3

6 haciendo: D = (

3) y K = (I /L) / cos tenemos:

= .

. II Ecuacin

Caso III:

i j

i j

donde:

= + .

Ri Rj

= + . III Ecuacin


32

Las expresiones de las ecuaciones I, II y III permiten determinar las ordenadas de la elstica

para desplazamientos verticales de un elemento cualquiera ij de un sistema la misma forma un

ngulo con el eje x, para cada dcima parte de la longitud del elemento, obteniendo la forma

elstica de tal manera:

= .

.

.

. + + . Con Desplazabilidad

= .

.

.

. Sin Desplazabilidad

Las constantes para valores de de 0.1 en 0.1 de la dcima parte del valor de la

longitud del elemento, viene dado por lo siguiente:

D 'D

0 0 0

0.1 0.099 0.171

0.2 0.192 0.288

0.3 0.273 0.357

0.4 0.336 0.384

0.5 0.375 0.375

0.6 0.384 0.336

0.7 0.357 0.273

0.8 0.288 0.192

0.9 0.171 0.099

1.0 0 0

Ahora bien, dividiendo la elstica (v) entre el desplazamiento x correspondiente a la

incgnita x en el sistema primario se obtiene la lnea de influencia de X:

=


33

EJEMPLO 4.-

1

1.5EKr 1.5EKr EKr EKr

A B C D E

5m 5m 6m 6m

Solucin:

L a Viga de grado hipergeomtrico 4 sin desplazabilidad. Se pone en evidencia el Momento

en C.

10000 Kg/m 10000 Kg/m

A B C D E

10000

1428

B D

A C E

2500 2855

Diagrama de Momentos (M)

Elemento AB BA BC CB CD DC DE ED

Rij 0.50 0 0 0.50 0.50 0 0.50 0

Dij 0 0.500 0.500 0 0 0.429 0.571 1

Mij

+5000

+10000

-10000

-5000

-2500 -2500 +2145 +2855 +1428

Mt 0 -2500 +2500 +10000 -10000 -2855 +2855 +1428


C de la Viga Hiperesttica, para carga vertical

movindose de A a E

+

-

-


34

Aplicando el Mtodo de la Viga Conjugada a travs de los diagramas de Momentos, se tiene:

10000

10000

1428

B D

E

A 2500

C

2855

A continuacin se analizan los casos de cada elemento, suponiendo las cargas con sentido positivo (las

dirigidas hacia arriba) y con sentido negativo (dirigidas hacia abajo).

Determinamos los momentos genricos en las abscisas, componente vertical elstica en los puntos de la

viga real.

Tramo AB:

2500

.

A B :

5 m

v = .

6 . v =

2500 . 5

6 . 1.5 . v =

.

.

Tramo BC:

2500

. 10000

.

B C B C

:

5 m 5 m

v = .

6 .

.

6 .

v =2500 . 5

6 . 1.5 .

10000 . 5

6 . 1.5 .

v =.

.

.

.

-

-


35

Tramo CD:

10000

. 2855

.

C D C D

:

6 m 6 m

v = .

6 . +

.

6 .

v = 10000 . 6

6 .

2855 . 6

6 .

v =

. +

.

Tramo DE:

2500

. 10000

.

D E D E

:

6 m 6 m

v = .

6 .

.

6 .

v =2855 . 6

6 .

1428 . 6

6 .

v =

.

.

Determinacin de la Rotacin Relativa:

Tramo BC:

2500

. 10000

.

B C B C

:

xMCB xMCB

QCB =2500

6 .1.5

10000

3. 1.5 =

.

()

Tramo CD:

10000

. 2855

.

C D C D

QCD = 10000

3+

2855

6 =

.

()

xMCD xMCD


36

Entonces:

Mc = = (QCB + QCD )

Mc = = 1944.44 2857.50 =

.

El valor de la lnea de influencia vendr dado por:

= =

=

.

De forma tal, que cuando la carga P=1 se mueve paralelamente entre A y E para el Momento en C,

la lnea de influencia se obtiene a travs de:

AB: v =1388 .89

4801 .94 . = . .

BC: v =1388 .89

4801 .94 .

5555 .56

4801 .94 . = . . . .

CD: v = 10000

4801 .94 . +

2855

4801 .94 . = . . + . .

DE: v =2855

4801 .94 .

1428

4801 .94 . = . . . .

Usando los valores de D y D , obtenemos los valores definitivos de la Lnea de Influencia por elemento

AB BC CD DE

0.2892D 0.2892 D -1.1569 D X -2.0825 D 0.5946 D X 0.5946 D -0.2974 D X

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.0286 0.0495 -0.1145 -0.065 -0.3561 0.0589 -0.297 0.1017 -0.0294 0.072

0.2 0.0555 0.0833 -0.2221 -0.139 -0.5998 0.1142 -0.486 0.1712 -0.0571 0.114

0.3 0.0790 0.1032 -0.3158 -0.213 -0.7435 0.1623 -0.581 0.2123 -0.0812 0.131

0.4 0.0972 0.1111 -0.3887 -0.278 -0.7997 0.1998 -0.600 0.2283 -0.0999 0.128

0.5 0.1085 0.1085 -0.4338 -0.325 -0.7809 0.2230 -0.558 0.2230 -0.1115 0.111

0.6 0.1111 0.0972 -0.4442 -0.347 -0.6997 0.2283 -0.471 0.1998 -0.1142 0.086

0.7 0.1032 0.0790 -0.4130 -0.334 -0.5685 0.2123 -0.356 0.1623 -0.1062 0.056

0.8 0.0833 0.0555 -0.3332 -0.278 -0.3998 0.1712 -0.229 0.1142 -0.0857 0.029

0.9 0.0495 0.0286 -0.1978 -0.169 -0.2062 0.1017 -0.104 0.0589 -0.0509 0.008

1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C

LI MC E

A B D


37

2EKr

EKr 3EKr

0.5EKr 2EKr

EKr = 240.54

EJEMPLO 5.-

B C D

1m

3m

A Considrese

E F

3m 3m 4m 3m

Solucin:

Se pone en evidencia el Momento en B. y aplicando el Mtodo de Distribucin de

momentos determinamos las solicitudes de cargas en sus extremos

10000 Kg/m 10000 Kg/m 10000 10000 192

C D C D

B B 4103 2217

A

A 5000

F E F

E

Diagrama de Momentos

3 B C D 3/2 10000

10000

A C 192

E F A B D

5000

4103

2217

Estructura Conjugada

AB 5000 CB -4103 DC 192

BA 10000 CE 1886 DF -192

BC -10000 CD 2217 FD -97


B para carga vertical movindose paralelamente

sobre A a D

VA = - 240.54

76.12

VB = -3 721.62

228.36

VD =3/2 2360.81

90.20


38

Determinacin de la Rotacin Relativa:

Tramo AB:

5000

. 10000

.

A B A B

:

6

3

B =5000

6 .2

10000

3. 2+

76.12

=

.

()

Tramo BC:

10000

. 4103

.

B C B C

3

6 B =

10000

3+

4103

6+

228.36

=

.

()

MB = = (QBA + QBC )

MB = = 1173.88 2421.14 =

El valor de la lnea de influencia vendr dado por:

= =

=

Usando el principio de superposicin:

Tramo AB: v = .

6 .

.

6 .

v =

5000 . 3.16

6 .2 .

10000 . 3.16

6. 2 .

240.54

=.

.

.

.

.

Tramo BC: v = .

6 . +

.

6 .

v =

10000 . 3.16

6 . +

4103 . 3.16

6 .

721.62

= .

. +

.

.

.

Tramo CD: v = .

6 .

.

6 . +

v =

2217 . 4

6. 3 .

192 . 4

6 . 3 . +

360.81

=.

.

.

. +

.


39

Sustituyendo los valores encontrados y simplificando cuando la carga se mueve, se tiene:

= =

=

= . . + . . . ( )

= . . . . . ( )

= . . . . . ( )

AB BC CD

-0.7325D 0.3663 D -0.0668(1-) X 0.6011 D -1.465 D -0.2007() X -0.0118 D 0.0342 D 0.1004() X

0 0 0 -0.0668 -0.067 0 0 0 0 0 0 0.1004 0.1004

0.1 -0.0725 0.0626 -0.06012 -0.070 0.0595 -0.2505 -0.0201 -0.211 -0.0012 0.0058 0.0100 0.015

0.2 -0.1406 0.1055 -0.05344 -0.089 0.1154 -0.4219 -0.0401 -0.347 -0.0023 0.0098 0.0201 0.028

0.3 -0.2000 0.1308 -0.04676 -0.116 0.1641 -0.5230 -0.0602 -0.419 -0.0032 0.0122 0.0301 0.039

0.4 -0.2461 0.1407 -0.04008 -0.146 0.2020 -0.5626 -0.0803 -0.441 -0.0040 0.0131 0.0402 0.049

0.5 -0.2747 0.1374 -0.0334 -0.171 0.2254 -0.5494 -0.1004 -0.424 -0.0044 0.0128 0.0502 0.059

0.6 -0.2813 0.1231 -0.02672 -0.185 0.2308 -0.4922 -0.1204 -0.382 -0.0045 0.0115 0.0602 0.067

0.7 -0.2615 0.1000 -0.02004 -0.182 0.2146 -0.3999 -0.1405 -0.326 -0.0042 0.0093 0.0703 0.075

0.8 -0.2110 0.0703 -0.01336 -0.154 0.1731 -0.2813 -0.1606 -0.269 -0.0034 0.0066 0.0803 0.083

0.9 -0.1253 0.0363 -0.00668 -0.096 0.1028 -0.1450 -0.1806 -0.223 -0.0020 0.0034 0.0904 0.092

1.0 0 0 0 0 0 0 -0.2007 -0.201 0 0 0.1004 0.100

LI MB


40

2EKr

EKr

0.5EKr

1.5EKr

EKr

EKr

EKr

EKr

EKr

EKr

EKr

2EKr

3EKr

Ejercicios Propuestos.-

1m B

E A C

2m

B D 3m

2m C

A F B

4m 3m 2m 4m 4m

E

C

3m

1.5m

A D

B

1.5m 4m

A B C

2m

5m

D E F F

2m 2m 2.5m 2.5m 2.5m

3m 2.5m .5m 3m

1.-Hallar la Lnea de Influencia del

Momento en D (MDC) para carga vertical

movindose paralelamente sobre C a E

2.-Determinar la Lnea de Influencia del

Momento en B (MB) para carga vertical

movindose paralelamente sobre ella.

3.-Calcule los valores de la Lnea de

Influencia que genera el sistema para el

Momento en C (MC) cuando se tiene una

carga vertical movindose entre A a F

4.-Determine la Lnea de Influencia para

una carga vertical movindose entre A a D.

considerando la Desplazabilidad de la

Estructura.

Lineas de Influencia (Unidad 2) Estructuras II

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