LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

UVOD

Sistemi linearnih jednačina spadaju među najstarije matematičke probleme, i imaju mnoge primene, kao što su obrada digitalnih signala, procene, predviđanje, kao i linearno programiranje, i aproksimacija nelinearnih problema u numeričkoj analizi. Postoji mnogo načina da se reši sistem linearnih jednačina kao što su Gausov postupak , Kramerova metoda itd...

Uopšteno, sistem sa m linearnih jednačina i n nepoznatih se zapisuje na sledeći način:

gde su nepoznate, a brojevi su koeficijenti sistema.

DEFINICIJE I REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Definicija:

Jednačinu sa n promenljivih

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

gde koeficijenti ai nisu svi istovremeno 0, nazivamo linearnom algebarskom jednačinom; njena leva strana je linearna forma sa n promenljivih.

Skup rešenja ove jednačine je skup svih n–torki brojeva (x1, x2, ... , xn) koje tu jednačinu identički zadovoljavaju.

1

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Definicija:

Sistem od m ³ 2 linearnih algebarskih jednačina sa n ³ 2 promenljivih x1, x2, ... , xn

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

...................................................am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni članovi bi nisu svi istovremeno 0, u suprotnom je homogen.

Skup rešenja ovog sistema jednačina je skup svih n–torki brojeva (x1, x2, ..., xn) koje identički zadovoljavaju sve jednačine sistema.

Zapisi sistema:

Skraćeni zapis sistema:

Matrični zapis sistema: , odnosno AX=B.

Matrica A je matrica sistema, a matrica

je proširena matrica sistema.

Postoje sledeće mogućnosti u smislu rešavanja sistema:

1. Sistem nema ni jedno rešenje – nesaglasan je;2. Sistem ima jedinstveno rešenje – saglasan je.3. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja

KRAMEROVA TEOREMA

Ako je determinanta D sistema od n nehomogenih jednačina sa n promenljivih različita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rešenje xj = Dj/D , gde je Dj determinanta koja se

2

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

dobija tako što se koeficijenti uz xj u determinanti D zamene redom slobodnim članovima bj , j=1, … , n.

Dokaz:

Da bi dobili xj množimo jednačine kofaktorima

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 / А1ј

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 / А2ј

...................................................an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn / Аnј

kad saberemo jednačine i grupišemo koeficijente uz odgovarajuće promenljive, dobija se

(a11A1j +a21A2j +…+an1Anj)x1++(a12A1j+a22A2j+…+an2Anj)x2+..................................................+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj)xn = (b1A1j +b2A2j+…+bnAnj).

Pri tome je

a na desnoj strani

prema tome dobija se тј.

Posledica:

Uočimo da je , тако да је

Kako iz matričnog zapisa sistema AX=B, sledi da je X = A-1B, to je

3

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Adjungovana matrica adj A se dobija tako što se prvo matrica A transponuje, pa se za AT

odredi matrica koja se sastoji od kofaktora njenih elemenata.

KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA

Sistem linearnih algebarskih jednačina je saglasan (ima rešenja) ako i samo ako je rang A = rang A*.

Posledica:

Sistem nema rešenja ako je rang A ¹ rang A*.

Dokaz:

1. Ako je rangA=rangA*=n (n je broj promenljivih), sistem sadrži saglasan podsistem kod kojeg je D ¹ 0, pa po Kramerovoj teoremi ima jedinstveno rešenje. Podsistem ne moraju obrazovati prvih n jednačina sistema, pa ćemo ga zapisati:

2. Ako je rangA=rangA*=r, r < n,tada postoji saglasan podsistem od r jednačina sa r nepoznatih

4

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

u kome su na desnoj strani tzv. slobodne promenljive , pa se rešenja (beskonačno

mnogo) dobijaju u obliku

3. Pretpostavimo rangA¹rangA*. Kako je matrica A sadržana u A*, svaki njen minor pripada istovremeno i A*, pa je rangA < rangA*.

Ako pretpostavimo da postoji rešenje primenom elementarnih transformacija matrica

što je suprotno sa pretpostavkom rangA¹rangA*.

Fundamentalni sistem rešenja:

Ako je rang A = rang A* = r, r < n imamo n–r slobodnih promenljivih koje mogu da uzimaju sve realne vrednosti. Odaberimo rešenja

.

Ona obrazuju fundamentalni sistem rešenja, a ako je onda se svako rešenje može napisati u obliku X = X0 + C1 X1 + C2 X2+ ... +Cn-r Xn-r – opšte rešenje.

5

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Homogeni sistem uvek ima bar jedno rešenje – trivijalno: x1 = x2 = ... = xn = 0, u ovom slučaju opšte rešenje je oblika X = C1 X1 + C2 X2 + ... + Cn-r Xn-r, jer je X0 = (0, ... , 0).

GAUSOV ALGORITAM

Neka je u sistemu a11¹0, (u suprotnom, menjamo mesta jednačinama i promenljivim)

Isključujemo x1 iz svih jednačina osim prve, množenjem prve jednačine sa –ai1/a11 i dodavanjem i-toj (i=2, 3, ..., m). Tako se dobija

gde je .

Pod pretpostavkom da je a22 ¹0, ponavljamo postupak radi eliminacije promenljive x2 iz poslednjih m-2 jednačina. Slično dobijamo

Ako u navedenom postupku dobijemo sistem kod kog je leva strana (svi koef.) jednaka 0, a desna strana različita od 0, polazni sistem je nesaglasan.

U suprotnom, ako je k broj koraka, dobijamo 1. Za k = n

6

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Iz poslednje jednačine xn se dobija jednoznačno; zamenom u prethodnu jednačinu dobija se xn-1 i t.d. Rešenje je jednoznačno.

2 . Za k < n

Promenljive xk+1,...,xn su slobodne, pa ih prenosimo na desnu stranu, a zatim se kao u prethodnom slučaju određuju vezane promenljive xk, xk-1,..., x1, (u zavisnosti od slobodnih). Ima beskonačno mnogo rešenja.

Praktični primeri rešavanja sistema linearnih jednačina

Primer 1:

Neka je dat štap (greda, ploča, štapna konstrukcija). Pod delovanjem sila štap doživi ugib. Interesuje nas iz zadanog ugiba naći sile koje koje su uzrokovale taj ugib.

Rešenje:Odredimo n tačaka na štapu, koje ćemo zvati čvorovi. Posmatraćemo štap kao da je

njegova masa koncentrisana u tih n tačaka. Prema tome pretpostavljamo da sile mogu delovati samo u čvorovima. Shodno tome i ugib posmatramo samo u čvorovima. Pri tome polazimo od dve osnovne pretpostavke, koje u fizici predstavljaju princip superpozicije sila, a u matematici se to zove svojstvo linearnosti.

1. Pri istovremenom delovanju dve sila ugibi se sabiraju. 2. Koliko puta povećamo silu, toliko puta se poveća ugib.

Označimo sa ugib u čvoru usled delovanja jedinične sile u čvoru (sl. 1).

Slika 1. Pomak štapa pod delovanjem jedinične sile u čvoru

7

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Označimo s ukupne ugibe, a sa sile u čvorovima (sl. 2).

Slika 2. Pomak štapa pod delovanjem različitih sila u čvorovima

Tada vrede sledeće jednačine:

…..

      

 Vidimo da se problem nalaženja sila iz zadanih ugiba vodi na rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Pretpostavimo sada da u čvoru deluje sila takva da poništava uticaj jedinične sile u čvoru k na čvor

Slika 3. Pomak štapa pod delovanjem jedinične sile u čvoru k, nakon uravnoteženja u čvoru 1.

U ovoj situaciji označimo s ugib u čvoru i usled delovanja jedinične sile u čvoru k (sl. 3).

Tada vredi:

, za .

8

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Specijalno u čvoru 1 imamo:

.

Odatle sledi :

,

pa je :

, za .

Ako tako učinimo za svaki dobijemo koeficijente nakon prvog koraka u Gaussovoj metodi. Slično bi se moglo pokazati da se koeficijenti nakon drugog koraka dobiju kad u prva dva čvora deluju sile koje poništavaju ugibe usled delovanja jedinične sile u ostalim čvorovima, itd.

Primer 2:

Izračunati potencijale u električnoj mreži:

Rešenje:

Iz Omovog zakona jačina struje koja teče od tačke i do tačke j jednaka je:

,

pri čemu je potencijal u tački i, a potencijal u tački j, ( , {A,B,C,D,E,F,G,H}).

Sa druge strane, prema Kirhofovom zakonu, suma jačina struja koje završavaju u jednom čvoru mora biti jednaka nuli, i to vrijedi za svaki čvor mreže.

Primjenjujući ta dva zakona na čvor B, dobijamo:

Odnosno:

9

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

tj.

Sređivanjem dobijamo jednačinu:

Primenom istih zakona na preostalih pet čvorova, dobijamo još pet jednačina. Nepoznate potencijale vi dobijamo rešavajući sistem od šest jednačina sa šest nepoznatih koji ima oblik:

Čije je rešenje dato sa:

(75.33, 71.18, 66.82, 66.09, 64.63, 41.12).

10

LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina

Literatura:

- Cvetković D., Lacković I., Merkle M., Radosavljević Z. , Simić S., Vasić P., Matematika I - Algebra, VIII izdanje, Beograd, 2004.

- Vasić P.,  Iričanin B.,  Jovanović M.,  Madžarević T.,  Mihailović B., Radosavljević Z.,Simić S.,  Cvetković D., Zbirka zadataka iz algebre (drugi deo),  IV ispravljeno izdanje,  Beograd,  2004.

- Milan Merkle: Matematička analiza-teorija, Beograd 2002.

Sadržaj:

- Uvod ........................................................................................................................1- Definicije i rešavanje sistema linearnih jednačina..................................................1- Kramerova teorema...............................................................................................3- Kroneker-Kapelijeva teorema.................................................................................4- Gausov algoritam.................................................................................................. .6- Praktični primeri rešavanja sistema linearnih jednačina..................................8- Literatura........................................................................................................... ...12

11