Lineare Mehrschrittverfahren (MSV) · Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl fu¨r Numerische...

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Lineare Mehrschrittverfahren (MSV)

Idee: Verwende zur Bestimmung von yi+1 nicht nur den zuletzt zuruckliegendenWerte yi und fi, sondern zusatzlich noch weiter zuruckliegende Werte.

yi+1 =s

∑

k=0

akyi−k +s

∑

k=−1

bkfi−k

Es existieren zwei große Klassen:

• Adams–Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration

• BDF–Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation

Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren

• sind MSV nicht automatisch stabil.

• steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an.

Mehrschrittverfahren (msv01) 1



Konsistenz + Stabilitat = Konvergenz

y′ = y, y0 = 1, y1 = eh

konsistent und stabil

yi+1 = yi−1 + 2hfi−1

yi

ti h = 0.2 h = 0.1 exakt

0 1 1 1

0.2 1.2214 1.2214 1.2214

0.4 1.4886 1.4909 1.4918

0.6 1.8168 1.8204 1.8281

0.8 2.2153 2.2227 2.2255

1.0 2.7029 2.7139 2.7183

konsistent, NICHT stabil

yi+1 = −3yi−1 + 4yi − 2hfi−1

yi

ti h = 0.2 h = 0.1 exakt

0 1 1 1

0.2 1.2214 1.3416 1.2214

0.4 1.4856 3.0862 1.4918

0.6 1.7896 15.8534 1.8281

0.8 2.1075 – 2.2255

1.0 2.3454 – 2.7183




Mehrschrittverfahren: Adams–Bashforth Methoden (1)

Idee: y′ = f(t, y) ⇐⇒ y(ti+1) = y(ti) +

∫ ti+1

ti

f(t, y) dt

Approximiere∫

mittels einer Quadraturformel unter Verwendung der bekanntenStutzpunkte (ti, fi), . . . , (ti+1−s, fi+1−s).

t(i−3) t(i−2) t(i−1) t(i) t(i+1)

f(t,y)P³(t)

t(i) t(i+1)

Fehler

f(t,y)P³(t)




Adams–Bashforth Methoden (explizit) (2)

s : Schrittzahl, p : Ordnung

s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,

s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (3fi − fi−1) ,

s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,

s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .

Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.

Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.




Andere Klasse von MSV: Adams–Bashforth Methoden


s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,

s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (3fi − fi−1) ,

s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,

s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .

Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.

Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.




Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB2AB3AB4

AB2: Adams–Bashforth Verfahren 2ter Ordnung






Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen

Arenstorforbit (vierblattrig)

105

106

10−10

10−5


AB2AB3AB4







Adams–Moulton Methoden (implizit)

s = 0, p = 1 : yi+1 = yi + hfi+1,

s = 1, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (fi+1 + fi) ,

s = 2, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (5fi+1 + 8fi − fi−1) ,

s = 3, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + 1fi−2) .

Bei impliziten AM–Methoden gilt: Schrittzahl+1 = Ordnung.

Adams–Bashforth–Moulton– / Pradiktor–Korrektor–Methoden

explizit

s = 2, p = 3

y(P )i+1 = yi +

1

2h (3fi − fi−1) ,

yi+1 = yi +1

12h(

5f(

ti+1, y(P )i+1

)

+ 8fi − fi−1

)

.




Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5


AB4AM4ABM4

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Funktionsauswertungen

AB4AM4ABM4


AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung




Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren


104

105

10−5

100


AB4AM4ABM4

104

106

10−5

100


AB4AM4ABM4


AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung





ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−15

10−10

10−5


ABM2ABM3ABM4







ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen


105

106

10−10

10−5


ABM2ABM3ABM4







Vergleich mit Einschrittverfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5


ABABMRK

102

103

10−10

10−5


ABABMRK

AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM: Adams–Bashforth–Moulton Pradiktor–Korrektor Verfahren 4ter Ordnung

RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung




Vergleich mit Einschrittverfahren

vierblattriger Arenstorforbit

104

106

10−10

10−5

100


ABABMRK

104

106

10−10

10−5

100


ABABMRK

AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung




Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (1)

Idee: Ersetze y(t) durch ein Interpolationspolynom Ps(t) der Ordnung s mit denStutzstellen (ti+1, yi+1), (ti, yi), . . . , (ti−s+1, yi−s+1), und lose

P ′s(t) = f(t, y(t)).

Dies liefert ein Verfahren der Gestalt

a−1yi+1 + a0yi + a1yi−1 + · · ·+ as−1yi−s+1 = hf (ti+1, yi+1),

oders−1∑

j=−1

ajyi−j = hf (ti+1, yi+1).




Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (2)


1, 1 : hfi+1 = yi+1 − yi,

2, 2 : hfi+1 =3

2yi+1 − 2yi +

1

2yi−1,

3, 3 : hfi+1 =11

6yi+1 − 3yi +

3

2yi−1 −

1

3yi−2,

4, 4 : hfi+1 =25

12yi+1 − 4yi + 3yi−1 −

4

3yi−2 +

1

4yi−3,

5, 5 : hfi+1 =137

60yi+1 − 5yi + 5yi−1 −

10

3yi−2 +

5

4yi−3 −

1

5yi−4

6, 6 : hfi+1 =147

60yi+1 − 6yi +

15

2yi−1 −

20

3yi−2 +

15

4yi−3 −

6

5yi−4 +

1

6yi−5.

Fur s > 6 sind die Verfahren instabil.




BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

10−10

10−5


BDF2BDF3BDF4

BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung






BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen


105

106

10−6

10−4

10−2


BDF2BDF3BDF4







Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5


AB4ABM4BDF4

102

103

10−10

10−5


AB4ABM4BDF4



BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung




Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren


104

105

10−5

100


AB4ABM4BDF4

105

106

10−5

100


AB4ABM4BDF4



BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung




Einfluss der Anlaufrechnung

y′ = −5t(2 + 3t)y, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

102

103

10−10

10−5


BDF2BDF3BDF4

RK3–Verfahren

102

103

10−10

10−5


BDF2BDF3BDF4

Heun

102

103

10−8

10−6

10−4


BDF2BDF3BDF4

expliziter Euler




⇒ Fur MSV der Ordnung p Anlaufrechnung mit Ordnung p− 1 notig




Was gibt es noch?

Ausblick (stiff01) 22



A ”Stiff” Beam (Hairer, Wanner II, p. 8)

Wir betrachten die Schwingung einesStabes der Lange l = 1 unter derEinwirkung einer außeren Kraft

F (t) =

(

Fx(t)

Fy(t)

)

=

(

−α(t)

α(t)

)

mit

α(t) =

{

1.5 sin2(t) fur 0 ≤ t ≤ π,

0 fur t ≥ π

am Stabende s = 1.

Fur die Koordinaten gilt in Abhangigkeit vom Winkel θ = θ(s, t)

x(s, t) =

s∫

0

cos θ(σ, t)dσ, und y(s, t) =

s∫

0

sin θ(σ, t)dσ.




Sei T die kinetische Energie und U die potenzielle Energie des Systems, dann erhalt man mittels

der Lagrange–Funktion L = T − U eine partielle Differentialgleichung fur θ(s, t), welche

Ableitungen zweiter Ordnung nach s und t beinhaltet.

1∫

0

G(s, σ) cos(θ(s, t) − θ(σ, t))θ(σ, t) dσ =

θ′′(s, t) + cos(θ(s, t))Fy(t) − sin(θ(s, t))Fx(t)−

1∫

0

G(s, σ) sin(θ(s, t) − θ(σ, t))(

θ(σ, t))2

dσ

Wie behandelt man solche Gleichungen?(⇒ Finite Differenzen, Finite Elemente,...)

Als erste Idee konnten wir im Ort ebenso wie in der Zeit diskretisieren.




Angenommen man hat folgende Ortsdiskretisierung

1∫

0

f (θ(σ, t)) dσ =1

S

S∑

k=1

f(θk) mit θk = θ

((

k −1

2

)

1

S, t

)

fur k = 1, . . . , S und integriert bezuglich der Ortsvariablen s.Das liefert ein System von S gewohnlichen Differentialgleichungen:

S∑

k=1

alk

··

θk =S4 (θl−1 − 2θl + θl+1) + S

2 (cos θlFy − sin θlFx)−

S∑

k=1

glk sin (θl − θk)·

θ2

k

Fur k = 1, . . . , S mit θ0 = −θ1, θS+1 = θS und den Koeffizienten

alk = glk cos (θl − θk) mit glk = S +1

2− max(l, k).

Dies sollte doch nun problemlos losbar sein...

Ausblick (stiff02b) 25



A ”Stiff” BeamVergleich: Explizites/Implizites Eulerverfahren (Newton),

Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

Explizit: 30000 Zeitschritte Implizit: 500 Zeitschritte

Beobachtung: Implizites Verfahren stabiler

Ausblick (stiff03a) 26



A ”Stiff” BeamVerfahren von Heun, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

2200 Zeitschritte

2400 Zeitschritte2600 Zeitschritte




A ”Stiff” BeamKlassisches RK4–Verfahren, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

421 Zeitschritte425 Zeitschritte 430 Zeitschritte

Beobachtung: Quantitativ hangt die Qualitat stark von der Ordnung abAber: Qualitativ haben all diese expliziten Verfahren StabilitatsproblemeAusweg: Implizite Verfahren




A ”Stiff” BeamImplizites RK4 (Hammer & Hollingsworth), Newton Iteration, S = 8, T = 5

10 Zeitschritte30 Zeitschritte 50 Zeitschritte

Bemerkung: Bei steifen Problemen mussen implizite Verfahren in Kombination mitder Newton–Iteration verwendet werden




⇒ Neue Stabilitatsbegriffe⇒ Behandlung steifer Differentialgleichungen

⇒ Behandlung partieller Differentialgleichungen

Numerik von Differentialgleichungen im Wintersemester 12/13


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