Limites de Funciones de Varias Variables
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109
3.2 Limites de Funciones de Varias Variables.
En la recta real R, la distancia entre los puntos x1 y x2 es el valor absoluto de
su diferencia ( )21212 xxxx = . En R2, la distancia entre dos puntos
( ) ( ) , Py , 222111 yxyxP es 212212 )()( yyxxd += y en R3. Tenemos que para
( ) ( ) ,, Py ,, 2221111 zyxzyxP la distancia es
212
212
212 )()()( zzyyxxd ++=
Definicin 3.2.1:
Si ),...,,( 21 nxxxP y ),...,,( 21 naaaA pertenecen a Rn entonces la distancia
entre esos dos puntos es 22222
11 )(...)()( nn axaxaxAP +++= .
Ejemplo:
- Si P = x y A = a tenemos que 2)( axAP = por definicin del
valor absoluto tenemos que axAP = .
- Si ),( yxP = y ),( 00 yxA = entonces 2020 )()( yyxxAP += .
Definicin 3.2.2:
Si nRA y r es un nmero positivo, entonces una bola abierta );( rAB se
define como todo los puntos P en Rn tal que rAP
-
110
Definicin 3.2.3:
Si nRA y r es un nmero positivo, entonces una bola cerrada [ ]rAB ; se define como todos los puntos P en Rn tal que rAP .
Ejemplo:
En R, tenemos que la bola abierta );( raB es el conjunto de todos los puntos
en el intervalo abierto (a r , a + r ) y se representa
( ) a - r a a + r
La bola cerrada [ ]raB ; es el conjunto de todos los puntos en el intervalo cerrado [a r , a + r ] y se representa
[ ] a - r a a + r
En R2, tenemos que la bola abierta B((x0 , y0 ); r) es el conjunto de todos los
puntos (x ,y ) tal que
ryxyxAP
-
111
La bola cerrada B[( x0 , y0 ) ; r] es el conjunto de todos los puntos tal que
ryxyxAP = ),(),( 00
En R3, la bola abierta B( (x0 ,y0 ,z0 ) ; r ) es el conjunto de todos los puntos tal
que rzyxzyxAP
-
112
y la bola cerrada B[( x0 , y0 ,z0 ) ; r ] es el conjunto de todos los puntos tal que
rzyxzyxAP = ),,(),,( 000
Definicin 3.2.4: ( No rigurosa de limite de una funcin de dos variables).
Sea f una funcin de dos variables que esta definida en una bola abierta
B(A; r)que contiene al punto (x0 , y0 ) ,excepto posiblemente en el mismo punto.
Diremos que el limite de f(x,y) cuando (x , y) tiende a (x0 , y0 ) es el nmero L y se
denota por
Lyxfyxyx
=
),( lim),(),( 00
Significa que se pueden hacer los valores ),( yxf = de la funcin
suficientemente prximos a L eligiendo un punto suficientemente prximo a
),( 00 yx pero distinto de l.
Ejemplo:
1) 4)2)(1(22lim)2 ,1(),(
==
xyyx
-
113
2) 54
108
1926
13)1(2)3(2
yxy2x2lim 22
2
22
2
)1,3()y,x(==
+
+=
+
+=
+
+>
Ahora resolviendo con la asistencia del software MAPLE V, solo se usa un
comando limit(funcin,{x=a,y=b}) y se puede observar que el paquete lo resuelve
directamente.
> limit((x*2+2*y^2)/(x^2+y^2),{x=3,y=1});
45
Tambin se puede realizar con la instruccin Limit(funcin,{x=a,y=b})=
limit(funcin,{x=a,y=b}), si se escribe Limit con mayscula significa que lo va
escribir y con minscula es que lo ejecuta.
>
Limit((x*2+2*y^2)/(x^2+y^2),{x=3,y=1})=limit((x*2+2*y^2)/
(x^2+y^2),{x=3,y=1});
=
Limit , + 2 x 2 y2
+ x2 y2{ }, = x 3 = y 1 45
Definicin 3.2.5:
Sea f una funcin en n variable )( pf definida en alguna bola abierta
);( rAB , excepto posiblemente en el punto A, entonces el lmite de )( pf cuando p
se aproxima a A es L y se denota por
-
114
LpfAP
=
)(lim
Si para cualquier 0> , existe un 0> tal que
-
115
iv.- Regla del cociente.
ML
yxg
yxfyxgyxf
yxyx
yxyx
yxyx==
),(),(
),(),(),(),(
00
00
00 ),(lim),(lim
),(),(lim si M 0.
Ejemplo:
a) 13)4()4)(3(3lim 2222)4,3(),(
=++=++
yxyxyx
b) 54
21)2)(1(2
)lim(2lim2
lim 22)2 ,1(),(
22)2 ,1(),(
22)2 ,1(),(=
+=
+=
+
yx
yx
yx yx
xy
yxxy
c) ( ) ( ))4,2(),(
3
)4,2(),(
3
)4,2(),(2limlim2lim
+=+yxyxyx
yxyyxy
( ) [ ] 004)4(224 3 ==
+=
Otro ejemplo usando el software MAPLE V.
> Limit(((x^2-2*x*y+y^2)/(x-y)),{x=0,y=0})=limit(((x^2-
2*x*y+y^2)/(x-y)),{x=0,y=0});
=
Limit ,
+ x2 2 x y y2
x y { }, = x 0 = y 0 0
Definicin 3.2.7:
Sea f una funcin de dos variables definida en un disco abierto ( )ryxB );,( 00 excepto posiblemente en el punto ),( 00 yx , entonces.
Lyxfyxyx
=
),(lim),(),( 00
-
116
),( que tal0 ,0 > Lyxf
siempre que > tal que
-
117
Ejemplo:
Si 1S es el conjunto de todos los puntos en el lado positivo del eje x. Se
tiene que.
) ()0,( lim),(lim
1
0)0,0(),(
SP
xfyxfxyx
=
Si 2S es el conjunto de todos los puntos de la recta y = x tenemos que
) (),( lim),(lim
2
0)0,0(),(
SP
xxfyxfxyx
=
Si 3S es el conjunto de todos los puntos en la parbola y = x2 tenemos que
) (),( lim),(lim
3
2
0)0,0(),(
SP
xxfyxfxyx
=
Teorema 3.2.10:
Supongamos que f es la funcin definida en un disco abierto );( 0 rpB , con
centro en ),( 000 yxp = , excepto posiblemente el mismo ),( 00 yx y
Lyxfyxyx
=
),(lim),(),( 00
. Entonces si 2 RS y ),( 00 yx es su punto de
acumulacin.
SP
yxfyxyx
),( lim ),(),( 00
existe y tiene valor L.
-
118
Demostracin:
Lyxfyxyx
=
),(lim),(),( 00
entonces por definicin tenemos que
0)( ,0 >> tal que
-
119
Supongamos que el ),( lim ),(),( 00
yxfyxyx
existe entonces por teorema
anterior se tiene que L1 es igual a L2 y la hiptesis 21 LL se tiene una
contradiccin )( por lo tanto ),(lim),(),( 00
yxfyxyx
no existe.
Ejemplo:
Si 222
),(yx
yyxf+
= determinar si el ),(lim)0,0(),(
yxfyx
existe no existe.
Solucin:
Sea S1 el conjunto definido por y = 0. entonces 000)0,( 22
2
=
+=
xxf . por
lo tanto 1
00)0,0(),(
00lim)0,(lim),(limSP
xfyxfxxyx
===
.
Si S2 se define como todos los puntos de la recta y = x. Entonces
21
2),( 2
2
22
2
==
+=
x
x
xx
xxxf
Ahora 2
0)0,0(),(
21
21lim),(lim
SP
yxfxyx
==
Como 21 LL por teorema el limite no existe.
Ejemplo:
Dado 2224),(yxyxyxf
+= encontrar ),(lim
)0,0(),(yxf
yx si existe.
-
120
Solucin:
Pues queremos dos conjuntos para hacer el estudio de trayectoria.
Si S1 es el conjunto de todos los puntos en el eje x tal que
000
)0(4)0,( 2222
==
+=
xx
xxf
por lo tanto.
11
)0,0(),()0,0(),(
en en
00lim)0,(limSS
xfyxyx
==
Si S2 es el conjunto de rectas cuando mxy = tenemos que
222
3
222
2
14
)1(4))((4),(
m
mx
mx
mx
xmx
mxxmxxf
+=
+=
+=
22
2)0,0(),()0,0(),(
en en
01
4lim)0,(limSS
m
mxxf
yxyx=
+=
como las dos trayectorias son iguales el limite es cero ahora probemos que.
0 ,0 >> tal que
-
121
ahora podemos concluir que para todo
4=
)()(4
4 222222
yxyxyx
+
++
> f:=(x,y)->(6*x*y^2)/(x^2+y^4);
:= f ( ),x y 6 x y2
+ x2 y4
Sean las trayectorias para determinar el lmite si existe:
> f(x,0); # Sustituyendo a y = 0 (para la trayectoria 1)
0
> f(0,y); # Cuando se sustituye a x = 0 (para la trayectoria 2)
0
-
122
> f(x,x^(1/2)); # Cuando se sustituye a xy = , en la funcin. (para la
trayectoria 3)
3
Comparando las trayectorias dos y tres el lmite no existe.
Definicin 3.2.12: (Continuidad en funciones de dos variables).
La funcin ),( yxf es continua en el punto ),( 00 yx si y solo si se cumple
las siguientes condiciones:
i.- ),( 00 yxf esta definida
ii.- El ),(lim),(),( 00
yxfyxyx
existe.
iii.- ),(lim),(),( 00
yxfyxyx
= ),( 00 yxf
Definicin 3.2.13: (Continuidad en n variable).
Si f es una funcin de n variable y A es un punto en Rn.
Entonces f es continua si y solo si las siguientes tres condiciones se cumplen:
i. )(Af existe.
ii. )(lim pfAp
existe.
iii. )()(lim AfpfAp
=
Nota: si una de las tres fallan la funcin es discontinua en A.
-
123
Ejemplo: a) Sea
+=
0
2
),(22
2
yxyx
yxf
)0,0(),( si
)0,0(),( si
=
yx
yx
Determina si f es continua en )0,0( .
Solucin:
Tomemos la definicin de continuidad para funciones de dos variables y
probemos las tres condiciones.
i. 0)0,0( =f existe y se cumple.
ii. 222
)0,0(),()0,0(),(2lim),(lim
yxyxyxf
yxyx +=
mtodo de la trayectoria.
Si S1 es el conjunto formado por todo los )0,(x tenemos que 00)0(2)0,( 22
2
=
+=
x
xxf
11
)0,0(),()0,0(),(
en en
00lim)0,(limSS
xfyxyx
==
Si S1 es el conjunto formado por y = x Se tiene xxx
x
xx
xxxxf ===
+=
1222),( 2
3
22
2
en
0lim),(lim
2
)0,0(),()0,0(),(
S
xyxfyxyx
==
Aunque obtiene el mismo limite cero. Se puede probar (para el estudiante) que
0 ,0 >> , tal que
-
124
iii. )0,0(2lim 222
)0,0(),(f
yxyx
yx=
+ por lo tanto la funcin es continua en )0,0( .
b) Sea
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 24
2
yxsisi
yxsiyx
yxyxf Determine si f es continua en (0,0)
Solucin:
Verificando las condiciones para funciones de dos variables se tiene que,
i) f(0,0)=0 se cumple la condicin.
ii) Si S1= {(x,y)R2 / y=mx} ( ) mxmx
mxx
mxxmxxf
+=
+= 224
2
),(
0lim),(lim),(lim 200)0,0(),( =+== mxmx
mxxfyxfxxyx
S2= {(x,y)R2 / y=x2} ( ) 21
2),( 4
4
224
222
==
+=
x
x
xx
xxxxf
21
21lim),(lim),(lim
0
2
0)0,0(),(===
xxyxxxfyxf
Ya que ),(lim),(lim)0,0(),()0,0(),(
yxfyxfyxyx
=
Por lo tanto el ),(lim)0,0(),(
yxfyx
no existe
Conclusin la funcin es discontinua en (0,0).
-
125
EJERCICIOS PROPUESTOS.
A .- Hallar los siguientes limites:
1.- 7 Resp. 7lim 322)0,1(),(
++
yxyxyx
2.- 2- Resp. lim
)3,1(),( yxyx
yx
+
3.- 1 Resp. lim 3xy)0,1(),(e
yx
4.- [ ] 0 Resp. )ln(lim 22x)0,1(),(
yx
yxee +
5.- 1 Resp. )(lim)0,0(),( yx
yxsenyx +
+
6.- 18 Resp. lim 2244
)3,3(),( yxyx
yx
7.- 4 Resp. 24lim
22
)1,2(),( yxyx
yx
8.- 0 Resp. cos
lim)0,0(),( senyx
ee yx
yx +
9.- 2 Resp. 5lim 222
)2,1(),( yxyx
yx +
10.-( )
pi Resp. 1
4 lim)0,0(),( xy
xsenarc
yx +
B) Realizar los ejercicios de la parte A), con ayuda del software MAPLE V.
-
126
C) Encontrar un 0> para un 0> para que la definicin se cumpla.
1) 7 Resp 1)43(lim )2,3(),( == yxyx
2) ( )4,1min Resp 4)2(lim 2)4,2(),( ==+ yxxyx 3) 5 Resp 2
5lim 222
)2,1(),( ==
yxyx
yx
D) Determine si el limite si existe no existe.
1) existe. Resp. lim)0,0(),( yx
yxyx
+
2) existe. no Resp. lim 222
)0,0(),( yxyx
yx +
3) existe. no Resp. lim 4422
)0,0(),( yxyx
yx +
4) existe. no Resp. 2lim 2222
)0,0(),( yxyx
yx +
+
5) existe. Resp. lim22)0,0(),( yx
xyyx +
6) existe. Resp. lim 2233
)0,0(),( yxyx
yx +
+
7) ( ) existe. no Resp. lim 34244
)0,0(),( yx
yxyx +
8) existe. no Resp. lim 42423
)0,0,0(),,( zyxyzx
zyx ++
+
-
127
9) existe. no Resp. lim 666222
)0,0,0(),,( zyxzyx
zyx ++
10) existe. Resp. lim 22223
)0,0,0(),,( zyxxzy
zyx ++
+
E. - Discutir la continuidad de f.
1) Si
=
+
+
=
)0,0(),(0)0,0(),(
),( 222
yxsi
yxsiyxyx
yxf Resp: Discontinua.
2) Si
=
+=
)0,0(),(0)0,0(),(4
),( 222
yxsi
yxsiyxyx
yxf Resp: Continua.
3) Si
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yxsi
yxsiyx
xy
yxf Resp: Continua.
4) Si
=
+
=
)0,0(),(0)0,0(),(
),( 2222
yxsi
yxsiyxyx
yxf Resp: Discontinua.
5) Si
=
+=
)0,0(),(0)0,0(),(
),( 222
yxsi
yxsiyx
xyyxf Resp: Continua.