LIMITES CALCULO.docx

8/17/2019 LIMITES CALCULO.docx

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LIMITES, CONTINI!"! !E LIMITES.

Límite finito

Definición

Intervalo cerrado

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo.

Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo

es cerrado, y se denota por [a,b].

[a,b] ! x perteneciente a R " a


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$s el intervalo abierto %a ' (,a ) (&, esto es, consiste de los valores x para los cuales a

' ( < x < a ) (.

$a,( ! x perteneciente a R " *x ' a* < ( #

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor

que (.

Definición

Entorno reducido de a de radio δ

+o incluye al punto a.$a,( ! x perteneciente a R " - < *x ' a* < ( #

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor

que ( pero mayor que -, es decir, no se incluye a a.

El concepto de Límite

onsideremos la /unci0n /%x&x1.

2bservemos los valores de /%x& para x cercanos a 3.

uando x se aproxima a 3, los valores de /%x& se acercan a 4. Se dice que /%x& tiende a

4 cuando x tiende a 3.

x f(x)

1,5 6,57

1,4 5,78

1,49 5,6-19

1,44 5,47-8

1,444 5,447--8

3,--8 4,--:--8

3,-8 4,-:-8

3,-9 4,3-19

3,8 4,:8

3,1 8-,17


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$n general, una /unci0n /%x& tiende a un l;mite b cuando x tiende a a, si /%x& di/iere

arbitrariamente poco de b para todo x situado su/icientemente cerca de a.

$n s;mbolos, limx'a/%x&b.

$nseguida se expresa más precisamente la de/inici0n de l;mite.

Definición

Límite finito de una función

limx'a /%x&b


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limx'a/%x&b signi/ica que por más peque?o que sea el entorno considerado alrededor

de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x %x C a&, la

/unci0n / da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

$n otras palabras, la /unci0n /%x& tiene l;mite b, cuando x tiende a a, si el valor de la

/unci0n /%x& se Aace arbitrariamente pr0ximo al valor b cuando x se aproxima al valor

a.

+otar que la de/inici0n dice entorno reducido de a. $s decir que /%a& puede no existir, o

puede estar /uera del entorno de b, pero el l;mite de / cuando x tiende a a sigue siendo

b.

/%a& C b, pero limx'a/%x&b

Continuidad


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/%x&x1

Dntuitivamente, la continuidad signi/ica que un peque?o cambio en la variable x implica

s0lo un peque?o cambio en el valor de /%x&, es decir, la grá/ica consiste de un s0lo

troEo de curva.

/%x&sgn x

$n contraste, una grá/ica como la de la /unci0n /%x& sgn x %signo de x& que consiste

de pedaEos de curva separados por un vac;o en una abcisa exAibe all; unadiscontinuidad.

Fa continuidad de la /unci0n /%x& para un valor a signi/ica que /%x& di/iere

arbitrariamente poco del valor /%a& cuando x está su/icientemente cerca de a.

$xpresemos esto en términos del concepto de l;mite...

Definición

Continuidad

Una /unci0n /%x& es continua en un punto a si limx'a/%x& /%a&.

Nota: observar que debe existir /%a& y debe existir el limx'a /%x& y debe ser igual a /%a&.


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Eemplo! de di!continuidad

/%x& 8"x1

@iscontinua en x- %+o existe /%-&&

/%x& x1 si x


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Una /unci0n /%x& es continua por la derecAa en el punto a si existe /%a& y limx'a)/%x&

/%a&.

Fa /unci0n anterior es continua por la iEquierda en x1, pero no por la derecAa.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado %a&b'

Una /unci0n /%x& es continua en un intervalo cerrado [a,b] si>

/ es continua en a por la derecAa

/ es continua en b por la iEquierda

/ es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto %a,b&

Cla!ificación de di!continuidade!

Evitable

Ca!o :

+o existe /%a& pero existe limx'a/%x&.

Eemplo:

/%x& e'8"x1 ) 1

+o existe /%-& pues anula un denominador.

limx'-'/%x& limx'-)/%x& 1 o sea limx'-/%x&1


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Hodemos extender la de/inici0n de la /unci0n, asignándole en el punto a el valor del

l;mite, con lo cual la /unci0n se torna continua. Hor ello este tipo de discontinuidad se

denomina evitable.

Ca!o :

$xiste /%a& y existe limx'a/%x&b pero bC/%a&.

%$xiste /%a& pero es distinto al valor del l;mite&.

Eemplo:

/%x& x1

si xC1 5 si x1

/%1& 5

limx'1 /%x& 7

Isignándole a la /unci0n el valor 7 en x1, se elimina la discontinuidad.

No evitable

*+ e!pecie:

limx'a'/%x& C limx'a)/%x&.

%Fos l;mites laterales son distintos&.

Eemplo:


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/%x& x"%x ' 1&

limx'1'/%x& 'in/

limx'1)/%x& )in/

,+ e!pecie:

+o existe limx'a'/%x& o no existe limx'a)/%x&.%+o existe por lo menos uno de los l;mites laterales&.

Eemplo:

______

f(x) = \|x2 - 4

$n x'1 y x1 la /unci0n presenta discontinuidades no evitables de 1J especie. +o

existe limx''1)/%x& y no existe limx'1'/%x&.

-peracione! con funcione! continua!

Si / y g son /unciones continuas en xa, la suma, multiplicaci0n y cociente de / y g

%con g%a& C -& son /unciones continuas en xa.


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K& /%x& es continua en xa.

g%x& es continua en xa.

L& /%x& ) g%x& es continua en xa.

Demo!tración

Hor de/inici0n de continuidad,

existe /%a& y existe limx'a/%x& /%a&

existe g%a& y existe limx'ag%x& g%a&

por teo. l;mite de la suma de /unciones, el l;mite de una suma de /unciones es igual

a la suma de los l;mites de cada /unci0n, si éstos son /initos.

limx'a /%x& ) g%x& /%a& ) g%a&

por de/. de continuidad /%x& ) g%x& es continua en xa.

Inálogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

.eorema

Continuidad de la función compue!ta

K& / es continua en xa.

g es continua en x/%a&.

L& g o / es continua en xa.

Demo!tración:

Mueremos demostrar que limx'a g[/%x&]g[/%a&], o sea, por de/inici0n de l;mite,

queremos probar que, dado =- existe (- tal que para todo x perteneciente al $a,(

g[/%x&] perteneciente al $g[/%a&],=.

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Hor Aip0tesis g es continua en /%a& por de/. de continuidad limx'/%a& g%x&g[/%a&]

por de/. de l;mite, dado =- existe (- tal que...

para todo x perteneciente al $/%a&,( g%x& pertenece al $g[/%a&],= %8&

Hor Aip0tesis / es continua en a por de/. de continuidad limx'a/%x& /%a&, es decir

que %por de/. de l;mite& si tomamos el nBmero ( de %8&, existe N- tal que...

para todo x perteneciente al $a,N /%x& pertenece al $/%a&,( %1&

@e %8& y %1& se deduce que>

@ado =- existe N- " para todo x perteneciente al $a,N g[/%x&] pertenece al $g[/%a&],=.

Leoremas sobre l;mitesLeorema

Unicidad del l;mite de una /unci0n

Si una /unci0n tiene l;mite es Bnico.

K& $xiste limx'a/%x&b

L& b es Bnico

Demo!tración

Fa demostraci0n se Aace por reducci0n al absurdo.

Suponemos que /%x& tiene dos l;mites distintos b y c, cuando x tiende a a.

Suponemos que b c.

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limx'a/%x&b %por de/. de l;mite& para todo $b,= existe un $a,(8 " para todo x

perteneciente al $a,(8 /%x& pertenece al $b,=.

limx'a/%x&c %por de/. de l;mite& para todo $c,= existe un $a,(1 " para todo x

perteneciente al $a,(1 /%x& pertenece al $c,=.

onsideremos un = tal que $b,= ∩ $c,= O.

Mueremos que c)= < b'= = < %b ' c&"1

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente al $a,( se cumple

• /%x& pertenece a $b,=

• /%x& pertenece a $c,=

Ibsurdo, pues /%x& no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.

Ibsurdo de suponer b C c.

Hor lo tanto b c.

@e/inici0n

F;mites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derec$a :

limx'a)/%x&b


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Límite de f(x) en el punto a por la i"#uierda :

limx'a'/%x&b


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Directo:

limx'a/%x&b %por de/. de l;mite& para todo = - existe ( - " para todo x

perteneciente al $a,( /%x& pertenece al $b,=.

para todo = - existe ( - " para todo x perteneciente a %a ' (,a& /%x& pertenece

al $b,= %por de/. de l;mites laterales& limx'a'/%x&b.

y para todo = - existe ( - " para todo x perteneciente a %a,a ) (& /%x& pertenece al

$b,= %por de/. de l;mites laterales& limx'a)/%x&b.

Recíproco:

limx'a)/%x&b %por de/. de l;mites laterales& para todo = - existe (8 - " para

todo x perteneciente a %a,a ) (8& /%x& pertenece al $b,=.

limx'a'/%x&b %por de/. de l;mites laterales& para todo = - existe (1 - " paratodo x perteneciente a %a ' (1,a& /%x& pertenece al $b,=.

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente a $a,( /%x& pertenece al $b,=.

%por de/. de l;mite& limx'a/%x& b.

Eemplo: en la /unci0n del ejemplo anterior, no existe limx'1/%x&, pues limx'1'/%x& C

limx'1)/%x&.

Leorema

onservaci0n del signo

Hara valores de x su/icientemente pr0ximos al valor de tendencia, la /unci0n tiene el

mismo signo que su l;mite.

K& limx'a/%x&b -

L& $xiste ( - " para todo x perteneciente al $a,( /%x& -

Demo!tración:


perteneciente al $a,( /%x& pertenece al $b,=.

$s decir, b ' = < /%x& < b ) =.

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onsideremos = < b - < b ' = < /%x& /%x& -.

Is;, basta considerar un = menor que b, para tener un entorno de a donde /%x& es

mayor que -.

Nota: $l teorema también se cumple para valores negativos.Si la /unci0n tiene distinto signo en la mitad iEquierda del entorno de a que en la mitad

derecAa, entonces su l;mite en a vale -.

Leorema de la /unci0n comprendida

Si una /unci0n está comprendida entre otras dos que tienen igual l;mite cuando x

tiende a a, entonces tiene el mismo l;mite.

K& limx'a/%x& limx'ag%x& b

$xiste (8 - " para todo x perteneciente al $a,(8 /%x&


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Leorema de la acotaci0n

Si una /unci0n tiene l;mite /inito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un

entorno reducido de a.

K& limx'a/%x&bL& $xiste ( - y existen A y P reales " para todo x perteneciente al $a,( A < /%x& < P

Demo!tración/


perteneciente al $a,(

b - ε < f(x) < b + ε

--^-- --^--

h k

cota inferior cota suerior

Nota: también podemos expresar la tesis como>

$xiste (- y existen A y P reales positivos " para todo x perteneciente al $a,(

A < */%x&* < P.

F;mite in/inito

2bservemos la /unci0n /%x&8"x1 para valores de x positivos muy grandes.

x f(x)

8-- 8,-x8-'7

8.--- 8,-x8-':

8-.--- 8,-x8-'5

8--.--- 8,-x8-'8-

8.---.--- 8,-x8-'81

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Si tomamos x cada veE mayor, /%x& está cada veE más cerca de -. Si x es

su/icientemente grande podemos conseguir que /%x& se acerque a - tanto como

queramos. @ecimos que /%x& tiende a - cuando x tiende a in/inito.

Qeamos a continuaci0n las de/iniciones precisas de cada uno de los l;mites que

involucran al in/inito.

@e/inici0n

F;mite in/inito

aso 8>

limx'a/%x& )in/


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aso 1>

limx'a/%x& 'in/


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decir que /%x& puede ser mayor que cualquier nBmero, si x es lo su/icientemente

grande.

aso 7

limx')in/ /%x& 'in/


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aso 6>

limx')in/ /%x& b


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$l l;mite de una suma es igual a la suma de los l;mites de cada término, siempre que

estos l;mites sean /initos.

K& limx'a/%x&b, limx'ag%x&c

L& limx'a/%x& ) g%x& b ) c

Demo!tración:

Mueremos probar que, dado = -, existe ( - tal que para todo x perteneciente al

$a,( *%/%x& ) g%x&& ' %b)c&* < =.

Sea = ="1

limx'a/%x&b %por de/. de l;mite& para todo = - existe (8 - " para todo x

perteneciente al $a,(8 */%x& ' b* < =.

limx'ag%x&c %por de/. de l;mite& para todo = - existe (1 - " para todo x

perteneciente al $a,(1 *g%x& ' c* < =.

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente al $

a,( se cumple>

• */%x& ' b* < =

• *g%x& ' c* < =

*/%x& ' b* ) *g%x& ' c* < 1= =

*%/%x& ) g%x&& ' %b)c&* *%/%x& ' b& ) %g%x& ' c&* *a ) b*


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limx'1 x1 7

limx'1 x 1

limx'1 x1 ) x :

.eorema

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& )in/

L& limx'a/%x& ) g%x& )in/

Demo!tración:

limx'a/%x&b %por de/. de l;mite& para todo $b,= existe un $a,(8 " para todo x

perteneciente al $a,(8 b ' = < /%x& < b ) =.

limx'ag%x& )in/ %por de/. de l;mite in/inito& para todo I - existe un $a,(1 " para

todo x perteneciente al $a,(1 g%x& I.

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente al $a,( se cumple>

• /%x& b ' =

• g%x& I

/%x& ) g%x& I ) b ' = T

%por de/. de l;mite in/inito& limx'a /%x& ) g%x& )in/.

.eorema

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& 'in/

L& limx'a/%x& ) g%x& 'in/

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Demo!tración:

Ináloga a la anterior.

.eorema

K& limx'a/%x& )in/, limx'ag%x& )in/

L& limx'a/%x& ) g%x& )in/

Demo!tración:

Sea I -.

onsideremos I"1.

Hor de/. de l;mite in/inito, existe (8 - " para todo x perteneciente al $a,(8 /%x& I"1

Hor de/. de l;mite in/inito, existe (1 - " para todo x perteneciente al $a,(1 g%x& I"1

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente al $a,( /%x& ) g%x& I

%por de/. de l;mite in/inito& limx'a/%x& ) g%x& )in/.

.eorema

K& limx'a/%x& 'in/, limx'ag%x& 'in/

L& limx'a/%x& ) g%x& 'in/

Demo!tración:

Ináloga a la anterior.

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uando limx'a/%x& 'in/ y limx'ag%x& )in/, el limx'a/%x& ) g%x& no puede

determinarse, se dice que es D+@$L$VD+I@2 de la /orma in/ ' in/.

.eorema

Límite del producto

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& c

L& limx'a/%x&.g%x& b.c

Demo!tración:

Mueremos probar que, dado = -, existe ( - " para todo x perteneciente al $a,( *

/%x&.g%x& ' b.c* < =.

limx'a/%x& b %por de/. de l;mite& para todo $b,=8 existe $a,(8 " para todo x

perteneciente al $a,(8 /%x& pertenece al $b,=8.

limx'ag%x& c %por de/. de l;mite& para todo $c,=1 existe $a,(1 " para todo x

perteneciente al $

a,(1 /%x& pertenece al $c,=1.

limx'a/%x& b %por teo. de la acotaci0n& existe (3 - y P - " para todo x

perteneciente al $a,(3 */%x&* < P.

ε ε

!ea ε1 = --- " ε2 = ---

2|c| 2k

ε ε

|f(x) - b| < --- => |c||f(x) - b| < --- (1)

2|c| 2

ε ε

|#(x) - c| < --- => k|#(x) - c| < --- (2)

2k 2

ε

|f(x)| < k => ($e 2) |f(x)||#(x) - c| < --- (%)

2

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25/46

Sea ( min !(8,(1#

@e 8& y 3&> para todo x perteneciente al $a,(

*c**/%x& ' b* ) */%x&**g%x& ' c* < =

*/%x&g%x& ' bc* */%x&g%x& ' bc ) /%x&c ' /%x&c* *c%/%x& ' b& ) /%x&%g%x& ' c&* *a ) b* in/ denota el in/inito, positivo o negativo.

Ca!o *:

K& limx'a/%x& b -, limx'ag%x& )in/

L& limx'a/%x&g%x& )in/

Ca!o ,:

K& limx'a/%x& b -, limx'ag%x& 'in/

L& limx'a/%x&g%x& 'in/

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Ca!o 0:

K& limx'a/%x& b < -, limx'ag%x& )in/

L& limx'a/%x&g%x& 'in/

Ca!o 1:

K& limx'a/%x& b < -, limx'ag%x& 'in/


Demo!tración ca!o *:

Muiero probar que para todo R - existe ( - " para todo x perteneciente al $a,(

/%x&g%x& R.

limx'a/%x& b %por teo. de la acotaci0n& existe (8 - y P - " para todo x

perteneciente al $

a,(8 /%x& P.

limx'ag%x& )in/ %por de/. de l;mite in/inito& para todo I - existe (1 - " para

todo x perteneciente al $a,(1 g%x& I.

Sea ( min !(8,(1#

Hara todo x perteneciente al $a,(

• /%x& P

• g%x& I

/%x&g%x& PI R

Rasta elegir I R"P.

Fos demás casos se demuestran en /orma análoga.

Si b - el limx'a/%x&g%x& no puede determinarse. Se dice que es una

D+@$L$VD+ID0+ de la /orma -.in/.

.eorema

Límite del cociente

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27/46

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& c %c distinto de -&

L& limx'a/%x&"g%x& b"c

Demo!tración:

limx'a/%x& b %por de/. de l;mite& para todo $b,=8 existe un $a,(8 " para todo x

perteneciente al $a,(8 */%x& ' b* < =8.

limx'ag%x& c %por de/. de l;mite& para todo $c,=1 existe un $a,(1 " para todo x

perteneciente al $a,(1 *g%x& ' c* < =1.

Muiero probar que limx'a/%x&"g%x& b"c, o sea que para todo $ b"c,= existe un $a,( " para

todo x perteneciente al $a,( */%x&"g%x& ' b"c* < =.

|f(x)c - #(x)b| |f(x)c - #(x)b - bc + bc|

|f(x)(x) - b&c| = --------------- = ------------------------- =

|#(x)c| |#(x)c|

|c(f(x) - b) + b(c - #(x))| |c||f(x) - b| + |b||c - #(x)|

---------------------------


28/46

|#(x) - c| < εk|c| |b||#(x) - c| < εk|c| (%)

----- => ----

2|b| 2

Sea ( min !(8,(1#

@e 1& y 3&> para todo x perteneciente al $a,(

*c**/%x& ' b* ) *b**g%x& ' c* < =P*c*

|c||f(x) - b| + |b||c - #(x)| εk|c|

=> |f(x)(x) - b&c| < ----------------------------- < ----- = ε

or 1) k|c| k|c|

Eemplo

ex 1

i ----- = --

x->* x + 2 2

-tro! cociente!

Ca!o *:

K& limx'a/%x& b -, limx'ag%x& -)

L& limx'a/%x&"g%x& )in/ %'in/ si b < -&

$l l;mite -) indica que, en un entorno de a, /%x& se aproxima a - por la derecAa, es

decir, - < /%x& < =.

Ca!o ,:

K& limx'a/%x& b -, limx'ag%x& -'

L& limx'a/%x&"g%x& 'in/ %)in/ si b < -&

Ca!o 0:

K& limx'ag%x& b -, limx'ag%x& )in/

L& limx'a/%x&"g%x& -) %-' si b < -&

Ca!o 1:

K& limx'a/%x& b -, limx'a/%x& 'in/

L& limx'a/%x&"g%x& -' %-) si b < -&


29/46

Si limx'a/%x& - y limx'ag%x& -, limx'a/%x&"g%x& no puede determinarse. Se dice que

es D+@$L$VD+I@2 de la /orma -"-.

Si limx'a/%x& in/ y limx'ag%x& in/, limx'a/%x&"g%x& no puede determinarse. Se dice

que es D+@$L$VD+I@2 de la /orma in/"in/.

Límite exponencial

Ca!o *:

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& c %cC-&

L& limx'a/%x&g%x& bc

Ca!o ,:

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& -

L& limx'a/%x&g%x& 8

Ca!o 0:

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& )in/


Ca!o 1:

K& limx'a/%x& b, limx'ag%x& 'in/

L& limx'a/%x&g%x& -

Si limx'a/%x& - y limx'ag%x& in/, limx'a/%x&g%x& no puede determinarse. Se dice que es

D+@$L$VD+I@2 de la /orma -in/ .

Si limx'a/%x& - y limx'ag%x& -, limx'a/%x&g%x& no puede determinarse. Se dice que es

D+@$L$VD+I@2 de la /orma --.

Si limx'a/%x& in/ y limx'ag%x& -, limx'a/%x&g%x& no puede determinarse. Se dice que es

D+@$L$VD+I@2 de la /orma in/ -.

Si limx'a/%x& 8 y limx'ag%x& in/, limx'a/%x&g%x& no puede determinarse. Se dice que es

D+@$L$VD+I@2 de la /orma 8in/ .


30/46

.eorema

K& limx'a /%x& 8, limx'a g%x& in/

L& limx'a /%x&g%x& eP, P lim/%x&'8, g%x&'in/ g%x&%/%x& ' 8&

Demo!tración:

Sea A%x& /%x& ' 8

lim A%x& - por l;mite de la suma

/%x& 8 ) A%x&

i (1 + h(x))#(x) = i (1 + h(x))#(x)(h(x)&h(x)) =

h(x)->*" #(x)->inf h(x)->*" #(x)->inf

h(x),*

e

-------^------- (1)

i (1 + h(x))1&h(x)#(x)h(x) = ei #(x)h(x) =

h(x)->*" #(x)->inf

h(x),*

i #(x)(f(x) - 1)e #(x)->inf" f(x)->1

8& por l;mite tipo 1 y l;mite exponencial.

2unción compue!ta

Si / es una /unci0n tal que />I'R y g es una /unci0n tal que g>'@, y R es

subconjunto de %el dominio de g contiene al rango de /&, podemos de/inir una nueva

/unci0n A>I'@ como sigue> para cada x en I, se aplica / resultando un valor /%x& en

R. Fuego a este valor /%x& se aplica g, obteniéndose g[/%x&]. @e/inimos A como la

/unci0n que mapea x en g[/%x&]. Se dice que A es la composici0n de g y /> A%x& %g o

/&%x& g%/%x&&

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31/46

.eorema

Límite de la función compue!ta

K& limx'a/%x&b, limx'bg%x&c

L& limx'ag[/%x&]c

Demo!tración:

Mueremos demostrar que limx'a g[/%x&]c, o sea, por de/inici0n de l;mite, queremos

probar que, dado =- existe (- tal que para todo x perteneciente al $a,( g[/%x&]

perteneciente al $c,=.

Hor Aip0tesis limx'bg%x&c por de/. de l;mite, dado =- existe (- tal que...

para todo x perteneciente al $b,( g%x& pertenece al $c,= %8&

Hor Aip0tesis limx'a/%x& b por de/. de l;mite si tomamos el nBmero ( de %8&,

existe N- tal que...

para todo x perteneciente al $a,N /%x& pertenece al $b,( %1&

@e %8& y %1& se deduce que>

@ado =- existe N- " para todo x perteneciente al $a,N g[/%x&] pertenece al $c,=.

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32/46

C3lculo de límite!

4olinomio!

Qer página sobre l;mites de polinomios por detalles.

limx'a H%x& H%a&

Eemplo: limx'1 x1 ' 3x ) 7 1

limx'in/ H%x& limx'in/ anx

n

Eemplo: limx')in/ '3x3 ) x1 ' 1x ) 8 limx')in/ '3x3 'in/

(x) | (.)

i ---- = | 1) ---- si /(.),*

x->. /(x) | /(.)

| 2) inf si /(.)=* 0 (.),*

| %) 356738 $e a fora *&*

| si /(.)=* 0 (.)=*

Eemplo!:

x2 - 1 %

1) i ------- = --

x->2 %x - 4 2

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33/46

x2 - 1 %

2) i -------- = -- = +inf

x->2 x - 2 *

-2x2 + 9x - 2 *

%) i -------------- = -- 356738

x->2 %x2 - 2x - : *

Hara resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y simpli/icamos los

/actores comunes. Hara ello, bajamos cada polinomio por u//ini.

'1 9 '1

1 '7 1

'1 8 -

'1x1 ) 9x ' 1 %x ' 1&%'1x ) 8&

3 '1 5

1 : 5

3 7 -

x1 ' 1x ' 5 %x ' 1&%3x ) 7&

-2x2 + 9x - 2 (x - 2)(-2x + 1) -%

i -------------- = i ---------------- = ---

x->2 %x2 - 2x - : x->2 (x - 2)(%x + 4) 1*

(x) anxn

i ---- = i ----

x->inf /(x) x->inf bx

Eemplo:

%x% + 2x2 - 9 %x% %

i -------------- = i ----- = --

x->+inf 2x% - :x2 x->+inf 2x% 2


34/46

Raíce! de polinomio!

Si el l;mite da indeterminado, aplicar el siguiente truco>

____ ____ ;(x) - (x)

i \|;(x) - \|(x) = i ----------------

____ ____

\|;(x) + \|(x))

Se llama expresi0n conjugada de

__ __ __ __

\|a - \|b a \|a + \|b

Vultiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la di/erencia de las cantidades

subradicales.

____ ____

____ ____ ____ ____ (\|;(x) + \|(x))

i \|;(x) - \|(x) = i \|;(x) - \|(x) ----------------- =

____ ____

(\|;(x) + \|(x))

;(x) - (x)

i ----------------

____ ____

\|;(x) + \|(x))

Eemplo:

(3 inf - inf)

___________ __________ |

i \|x2 + 2x - % - \|x2 + x - 1 =

x->-inf

__________ __________

___________ __________ (\|x2 + 2x - % + \|x2 + x - 1)

i \|x2 + 2x - % - \|x2 + x - 1 ---------------------------- =

x->-inf __________ __________

(\|x2 + 2x - % + \|x2 + x - 1)

x2 + 2x - % - (x2 + x - 1) x - 2


35/46

i ----------------------------- = i ---------------------- =

x->-inf __________ __________ __________ __________

\|x2 + 2x - % + \|x2 + x - 1 \|x2 + 2x - % + \|x2 + x - 1

x x x -1

i ----------- = i ------- = i --- = --

x->-inf __ __ x->-inf -x - x x->-inf -2x 2

\|x2 + \|x2

Raí" c5bica

% ____ % ____

i \|;(x) - \|(x) =

% ____ % ____ % _______

% ____ % ____ ( \|;(x)2 + \|(x)2 + \|;(x)(x) )

i \|;(x) - \|(x) -------------------------------- =

% ____ % ____ % _______

( \|;(x)2 + \|(x)2 + \|;(x)(x) )

;(x) - (x)

i ------------------------------

% ____ % ____ % _______

\|;(x)2

+ \|(x)2

+ \|;(x)(x)

Eemplo:

(3 inf - inf)

% ____________ % ___________ |

i 2 + \|x% - %x2 + 1 - \|x% - 4x + 1 =

x->-inf

x% - %x2 + 1 - x% + 4x - 1

2 + i ----------------------------------------------------- =

x->-inf % __________ % _________ % ___________________

\|(x%-%x2+1)2 + \|(x%-4x+1)2 + \|(|x%-%x2+1)(x%-4x+1)

-%x2

2 + i ---- = 2 - 1 = 1


36/46

x->-inf %x2

Indeterminación 676

• Si se trata de un cociente de polinomios, aplicar u//ini como se explic0 antes.

• Iplicar l;mites tipo.

Eemplo:

(1 + 9x) 9x 9

i --------- = i -- = --

x->* 2x | x->* 2x 2 |

3 *&*

ite tio? (1 + f(x)) e@uiA f(x)

f(x)->*

• Iplicar FKWpital>

K& limx'a /%x& limx'a g%x& -

$xiste limx'a/%x&"g%x&

L& limx'a/%x&"g%x& limx'a/%x&"g%x&

Eemplo:

2x - 2

i ------ 356738 *&*

x->1 x

2 2x - 2

Beaos i ---- = 2 => i ------ = 2

x->1 1&x x->1 x

Indeterminación *inf

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37/46

#(x) i #(x)(f(x) - 1)

i f(x) = e x->a

x->a

Eemplo:

(3 1inf)

| x + 9

x + 2 | i (x + 2)(----- - 1)

i ((x + 9)&(x - %)) = e x->+inf x - % =

x->+inf

: :x

i (x + 2)---- = i -- = :

e x->+inf x - % e x->+inf x e

Indeterminacione! 66 e inf 6

#(x) i #(x)f(x)

i f(x) = e x->a

x->a

Eemplo:

(3 **) (3 *inf) (or Cr$enes $e infinitos)

| | x |

2x | i 2xx | i ----- | *

i x = e x->*+ = e x->*+ 1&2x = e = 1

x->*+

(3 inf*)

|

1&x |i ((1 + x + 2x2)&(x - 1)) =

x->+inf (3 inf&inf)

|

i (1&x)((1 + x + 2x2)&(x - 1)) | *

e x->+inf = e = 1

|

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38/46

(or Cr$enes $e infinitos)

Indeterminacione! inf 8 inf e inf7inf

• Iplicar l;mites tipo

Eemplo:

e@uiA a 1&x + 1

--^--

1&x (2x - 1)(1 + x) - 2x2

i (2x - 1)e - 2x = i -------------------- =

x->+inf x->+inf x

x - 1 x

i ----- = i --- = 1

x->+inf x x->+inf x

• Iplicar 0rdenes de in/initos. $quivalente al de mayor orden.

orden Fx < orden xn < orden ax < orden xnx %x')in/&

Eemplo:

(3 inf - inf)

|

i (x)2 - (x - 1)2&x = -inf

x->*+

ues or$en (x - 1)2&x > or$en (x)2

(3 inf&inf)

ex |

i ---- = +inf ues or$en ex > or$en x

x->+inf x

Indeterminación 6/inf

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39/46

• Hasar la expresi0n que tiende a - al denominador del denominador. Mueda una

indeterminaci0n in/"in/. esolverla aplicando 0rdenes de in/initos.

Eemplo:

(3 *inf) (3 inf&inf)

| 1&(x - %) |

1&(x - %) | e |

i (% - x)e = i -------- = -inf

x->%+ x->%+ 1&(x - %)

(or Cr$enes $e infinitos)

• Iplicar l;mites tipo

Límite! tipo

Sustituir una expresi0n por su l;mite o su equivalente, cuando>

• es un término que multiplica o divide a toda la expresi0n

• es una cantidad subradical aunque apareEcan suma de radicales

• es una expresi0n a/ectada por una /unci0n trascendental %e, F, sen, cos, tg,

etc.&

i (1 + 1&x)x = e

x->inf

i (1 + x)1&x = e

x->*

(1 + x)

i -------- = 1 => (1 + x) e@uiA x

x->* x x->*

5abiDn? x e@uiA x - 1

x->1

ex - 1

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40/46

i ------- = 1 => ex - 1 e@uiA x

x->* x x->*

ax - 1

i ------ = a (a erteneciente aR

+

) => ax

- 1 e@uiA xax->* x x->*

sen x

i ----- = 1 => sen x e@uiA x

x->* x x->*

t# x

i ---- = 1 => t# x e@uiA x

x->* x x->*

1 - cos x 1

i ---------- = -- => 1 - cos x e@uiA x2&2

x->* x2 2 x->*

(1 + x) - 1

i ------------- = 1 => (1 + x) - 1 e@uiA x

x->* x x->*

n ______ n _____

\|1 + x - 1 1 \|1 + x - 1

i ------------- = -- => i ------------ = 1

x->* x n x->* x&n

n _____

=> \|1 + x - 1 e@uiA x&n


41/46

F;mites de polinomios

F;mite de un polinomio

H%x& anxn ) an'8xn'8 ) ... ) a8x ) a-

8& limx'b H%x& H%b&

Eemplo: limx'8 x1 ) 1x ' 8 1

1& limx'in/ H%x& limx'in/ anxn

ix->inf ;(x) = ix->inf anxn + an-1x

n-1 + + a1x + a* =

* * * *

--^-- --^-- --^-- --^--

anxn(1 + an-1 + an-2 + + a1 + a* ) = i anxn

i --- --- --- --- x->inf

x->inf anx anx2 anx

n-1 anxn

Eemplo: limx')in/ x1 ' 1x ' 8 limx')in/ x1 )in/

F;mite del cociente de polinomios


42/46

I%x& anxn ) an'8xn'8 ) ... ) a8x ) a-

R%x& bnxn ) bn'8xn'8 ) ... ) b8x ) b-

(x) | (.)

i ---- = | 1) ---- si /(.) $istinto $e *

x->. /(x) | /(.)

| 2) inf si /(.)=* 0 (.) $istinto $e *

| %) 356738 $e a fora *&*

| si /(.)=* 0 (.)=*

Eemplo:

2x2 + x + 1 4

i ----------- = -- = 2

x->1 x2 + 2x - 1 2

x2 + 1

i ------------ = +inf

x->1 x2 + x - 2

x2 - 1

i ----------- 356738 $e a fora *&*

x->1 x

2

+ x - 2

0mo resolver la indeterminaci0n -"-

R%N& - N es ra;E de R%x& %por teo. de @escartes& %x ' N& * R%x&

% %x ' N& divide a R%x& & existe R8%x& " R%x& %x ' N&R8%x&

I%N& - N es ra;E de I%x& %por teo. de @escartes& %x ' N& * I%x& existe

I8%x& " I%x& %x ' N&I8%x&

(x) (x - .)1(x) 1(.)=> i ---- = i ------------ = ------

x->. /(x) x->. (x - .)/1(x) /1(.)

Eemplo

x2 - 1 (x - 1)(x + 1) 2

i ----------- = i -------------- = --


43/46

x->1 x2 + x - 2 x->1 (x - 1)(x + 2) %

Is;ntotasSe llama as;ntota de una /unci0n /%x& a una recta t cuya distancia a la curva tiende a

cero, cuando x tiende a in/inito o bien x tiende a un punto a.

@e/inici0n

Is;ntota vertical

Fa recta xa es as;ntota vertical %IQ& de /%x& si limx'a) /%x& in/ o limx'a' /%x& in/.

@e/inici0n

Is;ntota AoriEontal

Fa recta yb es as;ntota AoriEontal %IK& de /%x& si limx'in/ /%x& b.

$jemplo


44/46

/%x& x"%x'8&

limx'8) /%x& )in/

limx'8' /%x& 'in/

x8 es IQ de /%x&

limx'in/ /%x& 8

y8 es IK de /%x&

@e/inici0n

Is;ntota oblicua

Fa recta y mx ) n es as;ntota oblicua %I2& de /%x& si limx'in/ /%x& ' %mx ) n& -.

$jemplo

/%x& x ) 8"x

limx'in/ /%x& ' x limx'in/ x ) 8"x ' x -

yx es I2 de /%x&

Idemás,

limx'-) /%x& )in/

limx'-' /%x& 'in/

x- es IQ de /%x&

Leorema


45/46

y mx ) n es as;ntota oblicua de /%x&


46/46

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