0

2limx x

2Consideramos la f (unción ) 1f x x

Si damos a x valores próximos a 2 por la izquierda, los valores de la función se acercan cada vez más a 5

x

f(x)

Si lo hacemos por la derecha, las imágenes también se acercan cada vez más a 5

Decimos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 5

Se expresa de la siguiente forma:

2

2lim( 1) 5x

x

25

x

f(x)

25

Tomamos un punto cerca de 2:

Valor de la función en dicho punto:

Nos acercamos un poco más a 2, por la derecha o por la izquierda:

Valor de la función en dicho punto:

Un poco más cerca:Valor de la función en este caso:

Cuanto más nos acercamos a 2, el valor de la función se acerca más a 1

Decimos que cuando x tiende a 2, la función tiende a 12

lim ( ) 1x

f x

1

2

1 2 3

( )y f x

A la hora de calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que vale la función en ese punto sino a su alrededor.

Cuando nos acercamos a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2

Cuando nos acercamos a 3 por la derecha, la función se aproxima a 2

Sin embargo, el valor de la función en el punto 3 es 4

3lim ( ) 2x

f x

(3) 4f

ES MUY IMPORTANTE DESTACAR LO SIGUIENTE:

En general, para calcular límites sustituiremos la variable por el valor donde queremos calcular el límite.

3

5lim

2 xx

532

5

2

1x2

5lim

x

x

x

50

3

625

25

155 2

La condición para que exista el límite de una función en un punto es que existan sus límites laterales y que sean iguales

NOTA: Aunque el límite de la función en un punto no es el valor de la función en dicho punto, muchas veces coinciden

2

8Consideremos la función ( )f x

x

Valor de la función en las proximidades de 0:

0,3 :x 2

8 8(0,3) 8,8888....

0,3 0,09f

0,1:x 2

8 8(0,1) 800

0,1 0,01f

0,002 :x 2

8 8(0,002) 2000000

0,002 0,000004f

Cuando x toma un valor muy cerca de 0, la función toma un valor muy grande, y mayor cuanto más nos acerquemos a 0.Cuando esto sucede, decimos que el límite es infinito. Se expresa así:

20

8limx x

El símbolo se utiliza para expresar una cantidad que aumenta sin cesar, superando cualquier valor. No es un número.

LÍMITES DEL TIPO k/0

xx

1lim

0 xx

1lim

0 0

1

Como sabemos, no se puede dividir por 0. Pero, en realidad no es una operación numérica. Se trata de dividir 1 entre algo que se hace cada vez más pequeño. El resultado es cada vez mayor ∞

Si observamos la gráfica de la función:

Para saber si tiende a +∞ o -∞ calculamos los límites laterales

0

11lim

0 xx

0

11lim

0 xx

xexisteno

x

1lim

0

20

3lim

xx

0

3

0

33lim

20 xx

0

33lim

20 xx

20

3lim

xx

EJEMPLO

xx 3

5lim

3 0

5

0

5

3

5lim

3 xx

0

5

3

5lim

3 xx

EJEMPLO

xexisteno

x

3

5lim

0

Es el valor al que se aproxima una función cuando x toma valores cada vez mayores en valor absoluto. Podríamos decir, cuando x tiende a + o a -

Se expresan así: lim ( )x

f x l

5Sea la función ( )

xf x

x

Si damos a x valores muy grandes, la función se acerca cada vez más a 1

x

f(x)

1

DEDUCIMOS ENTONCES QUE:5

lim 1x

x

x

OPERACIONES CON ∞

En los productos y los cocientes se ha de tener siempre en cuenta la regla de los signos.

k

00 k

k k

0k

0

00

k

0

k

00

En las divisiones por cero hay que tener en cuenta el “signo del cero”.

INDETERMINACIONES

0

0

0

En algunos casos las operaciones obtenidas no están perfectamente determinadas, sino que la misma operación pueden dar lugar a distintos resultados

Por ejemplo:

xxx

lim 0lim

x

xxx

2lim

xx

lim

0

xxx

2lim

xx

lim

El resultado es distinto cada vez, depende de las expresiones que nos den el ∞

Este tipo de expresiones se llaman indeterminaciones y son 7.

0001

LÍMITE INFINITO DE UN POLINOMIO

El límite infinito de un polinomio lo da el término de mayor grado

xxx

23lim

23lim xx

23

4653lim 23

xxxx

53lim xx

53

LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

43

365lim

25

x

xxx x

xx 3

5lim

5

4

3

5lim xx

4

3

5

43

365lim

5

25

x

xxx 5

5

3

5lim

x

xx

3

5lim

x 3

5

543

2337lim

65

34

xx

xxxx 6

4

4

7lim

x

xx

24

7lim

xx

24

7

70

LÍMITE 0/0 DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

x

xxxx

365lim

25

0

0

03

2

6lim

2

2

x

xxx

Cuando en una función racional se obtiene una indeterminación 0/0 debemos simplificarla

x

xxxx

365lim

4

0

365lim 4

0

xx

x

Si no se puede extraer factor común habrá que factorizar y simplificar.

0

0

Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado

062 xx

3

2

12

61411 2

x

xx

La factorización se hace multiplicando x menos una raíz por x menos la otra

2

6lim

2

2

x

xxx

2

32lim

2

x

xxx

3lim2

xx

5

22

1lim

2

1

x

xx

Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado o se aplican los productos notables

EJERCICIO

0

0

22

1lim

2

1 x

xx

1112 xxx

Podemos sacar factor común en el denominador

1222 xx

22

1lim

2

1

x

xx

12

11lim

1

x

xxx

2

1lim

1

xx

12

2

3

5 2Calcular lim

7 4 2 1x

x x

x x

El límite de una suma es igual a la suma de los límites de los sumandos.

3

5 2lim

7 4 2 1x

x x

x x

3

5 2lim lim

7 4 2 1x x

x x

x x

Calculamos el primer límite

Calculamos el segundo límite

lim7 4x

x

x

1

7

3

5 2lim

2 1x

x

x

3

5 2 1lim

7 4 2 1 7x

x x

x x

x

xx 7lim

32

5lim

x

xx

22

5lim

xx

5

0

3. La función f (x) = 2 /(x - 2)2 , cuando x2,a) Tiene límite 0b) Tiene límite c) No tiene límite.

Se trata de hallar 22

2lim

( 2)x x

En este caso, a pesar de ser un límite k/0, no hace falta calcular los límites laterales ya que el denominador siempre será positivo por el cuadrado

22

2lim

( 2)x x

2,Si x 2 0,x

Entonces,

02 2x Ya que el cuadrado siempre es positivo

0

2

2

22x

Si es f (x) = 3/(2x – 1), cuando x1/2, se cumple:a)lim f (x) = 3b)lím f (x) = c)No existe límite.

3( ) 3 / (2 1)

2 1f x x

x

1

por la derecha,2

Si x 1

2. 1 02

(con valores positivos)

1por la izquierda,

2Si x

12. 1 0

2 (con valores negativos)

No existe límite porque los límites obtenidos por la izquierda y por la derecha no son iguales

0

3

12

3lim

2/1 xx

0

3

12

3lim

2/1 xx

2 21 1Cuando 0, la función ( ) tiene límite:

a) 1

b) 0

c) 1

x x xx f x

x x

Y ahora calculamos el límite:

2 21 1=

x x x

x x

2 2( 1) ( 1)

x x x

x

2 21 1

x x x

x

x

x

1

2 2

0

1 1lim x

x x x

x x

0lim( 1) x

1

En estos casos se debe simplificar la función:

Calculando límites directamente:

x

x

x

xxx

11lim

22

0 Indeterminación

Cuando 1, ( ) ( 1) / ( 1) tiende a:

) 1

) 1

) 0

x f x x x

a

b

c

Se trata de hallar el límite de la función cuando x 1:

( ) ( 1) / ( 1)f x x x 1

1

x

x

1

1lim

1x

x

x

1 1

1 1

0

2 0

La función tiende a 0

2 31 1Cuando 0, la función ( ) tiende a:

) 1

) 0

) 1

x x xx f x

x xa

b

c

Se trata de hallar el límite de la función cuando x 0 pero antes de calcular el límite debemos hacer las operaciones que se observen y simplificar todo lo posible:

2 31 1=

x x x

x x

2 3( 1) ( 1)=

x x x

x

2 31 1=

x x x

x

2 3

= x x x

x

2( 1 )=

x x x

x

21 x x

Y ahora calculamos el límite:

2

0lim( 1 )= x

x x

20 1 0 1

Una función es continua en un punto a si se verifica:

1. Existe límite de la función en dicho punto, es decir, existe: lim ( )x a

f x

2. Existe valor de la función para x = a, es decir, existe:

( )f a

3. Ambas cosas son iguales: lim ( ) ( )x a

f x f a

Esta función no es continua en el punto 3.

3lim ( ) 2x

f x

(3) 4f

3lim ( ) (3)x

f x f

2( ) 2 3 1f x x x

3 2( ) 3 5g x x x

( ) 4 7h x x

(es continua en cualquier punto)

EJEMPLOS:

(siempre es continua)

(también es continua)

Funciones polinómicas son aquellas cuya expresión analítica viene dada por un polinomio.

Funciones racionales son aquellas cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios

EJEMPLOS:

5 1( )

3

xf x

x

Es continua en cualquier punto menos en el punto 3 porque si damos a x el valor de 3, el denominador se anula.

2

7( )

4

xg x

x

Es continua en cualquier punto porque el denominador no se anula nunca.

4La función ( )

16) Es continua en todos los puntos

) Es discontinua en 0

) Es discontinua en 2

xf x

xa

b x

c x

3 2La función ( ) ( ) / ( 9)

) No tiene discontinuidades

) Tiene una única discontinuidad

) Tiene dos discontinuidades

f x x x x

a

b

c

Observando el denominador, vemos que no se anula nunca porque el exponente de x es par y entonces x4 + 16 siempre es mayor que 0

La función es continua en todos los puntos.

2 9 0x 2 9x

9x 3x

Hay dos puntos que anulan al denominador. La función tiene dos discontinuidades

2

La función definida por

( 3 9)( 3)( ) , con ( 3) 3 y (3) 9 / 2

( 3)( 3)

a) No tiene discontinuidades

b) Tiene una única discontinuidad

c) Tiene dos discontinuidades

x x xf x f f

x x

Los posibles puntos de discontinuidad son 3 y – 3, puntos en los que el denominador se anula.

Punto x = 3: Hallamos el límite de la función en dicho punto:

2

3

( 3 9)( 3)lim

( 3)( 3)x

x x x

x x

2

3

3 9lim

3x

x x

x

23 3.3 9

3 3

27

6

9

2

Como f (3) = 9/2, la función es continua.

Punto x = - 3: Hallamos el límite de la función en dicho punto: 2

3

( 3 9)( 3)lim

( 3)( 3)x

x x x

x x

2

3

3 9lim

3x

x x

x

3

3

si x por la izquierda

si x por la derecha

No existe límite, luego la función es discontinua.

EJERCICO PROPUESTO EN UN EXAMEN DE BACHILLERATO