Limite finito di una funzione per x che tende all'infinito
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13
3. Limite finito per x che tende all’infinito
Un altro comportamento delle la funzioni che può essere espresso con rigore tramite una operazione
matematica, è quello della stabilizzazione attorno ad un valore finito ℓ quando la variabile indipendente x
assume valori positivi infinitamente grandi. La situazione è schematizzata nella figura seguente:
Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato superiormente; si dice che:
lim ( )x
f x→+∞
= ℓ
se:
0 0k tale che se x kε ε
ε∀ > ∃ > >
allora:
( )f x ε− <ℓ
1) Dal punto di vista dell’andamento della funzione, tendere ad un limite finito all’infinito significa che
il grafico si confonde con quello della retta orizzontale y = ℓ a mano a mano che si procede verso
valori infinitamente grandi delle ascisse.
2) Osserviamo che ha senso eseguire il calcolo del limite per x che tende ad infinito positivo
solamente se il dominio è illimitato superiormente, cioè se, in un certo senso, ci si può avvicinare
quanto si vuole a +∞ .
3) Il modulo nella disuguaglianza ( )f x ε− <ℓ indica, proprio come nel caso di limite finito in un
punto, che l’avvicinamento alla retta y = ℓ può avvenire indifferentemente da sopra, da sotto, od
anche da entrambi i versi, come nelle figure che seguono.
ℓℓ
kε
x
( )f x
ε+ℓ
ℓ ℓ
14
In maniera analoga si può definire rigorosamente il comportamento di una funzione che si approssima ad un
valore ℓ quando la x tende verso valori infinitamente negativi.
Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato
inferiormente; si dice che:
lim ( )x
f x→−∞
= ℓ
se:
0 0k tale che se x kε ε
ε∀ > ∃ > <−
allora:
( )f x ε− <ℓ
Esempio 1
Verificare il limite:
3 1 3lim
2 3 2x
x
x→+∞
−=
+
Si tratta di provare che la disuguaglianza:
3 1 3
2 3 2
x
xε
−− <
+
è soddisfatta in un intorno di +∞ , cioè in un insieme della forma ( );kε+∞ . Risolviamo:
3 1 3 11
2 3 2 4 6
x
x xε ε ε ε
− −− < − < ⇒ − < <
+ +
Si perviene al sistema:
11 4 6 110 0
4 6 4 611 4 6 11
0 04 6 4 6
x
x x
x
x x
ε ε
ε
ε ε
ε
− − − − − < < + + ⇒ − + − + > > + +
Risolviamo la prima disequazione facendo il prodotto del segno del numeratore per quello del
denominatore:
6 11
4 6 11 04 6 11 40
34 64 6 0
2
x xx
xx x
ε
ε ε
ε ε ε
− −− − − > ⇒ <
− − −< ⇒
++ > ⇒ >−
ℓ
kε
−x
( )f x
ε−ℓ
segno di:
4 6 11
4 6
x
x
ε ε− − −
+
32−
+
+
−
−
+
−−
3 11
2 4ε− −
−
−
15
Analogamente risolviamo la seconda:
3 11
4 6 11 04 6 11 2 40
34 64 6 0
2
x xx
xx x
ε ε
ε ε ε
+ − > ⇒ >− ++ −
> ⇒+
+ > ⇒ >−
Prendiamo l’intersezione delle due soluzioni:
Il limite è senz’altro verificato in quanto la soluzione complessiva comprende al suo interno un intorno di
infinito positivo, cioè un insieme della forma ( ; )kε+∞ , dove in questo caso è
3 11
2 4kε
ε
= − + (od un valore
positivo più grande di esso se per qualche ε viene 0kε< ).
Nel particolare caso proposto, il grafico della
funzione è noto, si tratta di una funzione
omografica, la cui forma generica è:
( )ax b
f xcx d
+=
+
Ora, voi non ci crederete, ma abbiamo
studiato in terza questa classe di funzioni,
imparando che esse hanno un asintoto
verticale in d
xc
= − ed un asintoto
orizzontale di equazione a
yc
= . Nel presente
caso si ha 32x =− ed 3
2y = . Trovando le
intersezioni con gli assi 1(0; )3A − e 1( ;0)3B
è possibile rappresentarla graficamente.
Come del resto si intuisce dal grafico, la nostra verifica ha mostrato pure che 3 1 3
lim2 3 2x
x
x→−∞
−=
+. Difatti la
disequazione 3 1 3
2 3 2
x
xε
−− <
+ è verificata anche in un intorno di −∞ , cioè un insieme della
forma( ; )kε
−∞ − , ma stavolta con 3 11
2 4kε
ε
− = − − .
Studiare Tomo C1 pp 45-47, es p326 da 65 a 75 ad libitum.
4 6 110
4 6
x
x
ε ε− − −<
+
4 6 110
4 6
x
x
ε ε+ −>
+
32−
3 11
2 4ε− +
3 11
2 4ε− −
x
( )f x32 ε−
A
B
32
32−
3 11
2 4kε
ε
= − +
+
+
+
−
−
+
−
−
+
3 11
2 4ε− +3
2− segno di:
4 6 11
4 6
x
x
ε ε+ −
+