Lmite en un puntoEl lmite de la funcin f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imgenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imgenes cuando los originales tienden a x0.Vamos a estudiar el lmite de la funcin f(x) = x2 en el punto x

= 2.x f(x)!," #,$!!,"" #,"$!!,""" #,""$!... ...% %2 &x f(x)2,! &.&!2,! &,&!2,! &,&!... ...% %2 &'anto si nos acercamos a 2 por la i(quierda o la derec)a las imgenes se acercan a &. Se dice que la funcin f(x) tiene como lmite el nmero L , cuando x tiende a x0, si fijado un nmero real positivo , mayor que cero, existe un numero positivodependiente de , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condicin!x " x0! #, se cumple que !f(x) " L! # $ 'am*i+n podemos definir el concepto de lmite a trav+s de entornos,si y slo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por peque%o que sea su radio , existe un entorno de x0, &

(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus im'(enes dentro del entorno de L, &(L)$Limite laterales.)iremos que el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende *acia a por la i+quierda es L, si y slo si para todo , 0 existe, 0 tal que si x(a " , a) , entonces !f (x) " L! # $)iremos que el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende *acia a por la derec*a es L , si y slo si para todo , 0 existe, 0 tal que si x(a, a - ), entonces -f (x) . /- 01 .&l lmite de una funcin en un punto si existe, es nico$ E2emplos !. En este caso vemos que el lmite tanto por la i+quierda como por la derec*a cuando x tiende a . es /. El lmite de la funcin es & aunque la funcin no tenga imagen en x = 2.0ara calcular el lmite de una funcin en un punto, no nos interesa lo que sucede endic*o punto sino a su alrededor$ 2. 3omo no coinciden los lmites laterales, la funcin no tiene lmite en x = .Lmite infinito1na funcin f(x) tiene por lmite -2 cuando x 3 a, si fijado un nmero real positivo 4 , 0 se verifica que f(x) , 5 para todos los valores prximos a a$ E2emplo Lmite menos infinito1na funcin f(x) tiene por lmite 62 cuando xa, si fijado un nmero real ne(ativo 4 # 0 se verifica que f(x) # 5 para todos los valores prximos a a$ E2emplo Lmite cuando x tiende a infinito Lmite cuando x tiende a menos infinito &jemplosLmite de una constanteLmite de una sumaLmite de un productoLmite de un cocienteLmite de una potenciaLmite de una funcin( puede ser una ra+, un lo(, sen ,cos, t(, etc$ Lmite de una razLmite de un logaritmo4e*emos se5alar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dic*as, sino simplemente un recurso para a6udarnos a resolver lmites.4e*emos tener claro que infinito no es un nmero.7o distinguimos entre 89 6 :9 para no alargar excesivamente la lista. 7os *asta con sa*er,La re(la de los si(nos y que a6n 7 89a n Sumas con infnitoInfnito ms un nmeroInfnito ms infnitoInfnito menos infnitoProductos con infnitoInfnito por un nmeroInfnito por infnitoInfnito por ceroCocientes con infnito y ceroCero partido por un nmeroUn nmero partido por ceroUn nmero partido por infnito Infnito partido por un nmeroCero partido por infnitoInfnito partido por ceroCero partido por ceroInfnito partido por infnitoPotencias con infnito y ceroUn nmero elevado a ceroCero elevado a ceroInfnito elevado a ceroCero elevado a un nmeroUn nmero elevado a infnito Cero elevado a infnitoInfnito elevado a infnitoUno elevado a infnito:'lculo del lmite en un punto;i f(x) es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) 6 est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que,Es decir, para calcular el lmite se sustitu6e en la funcin el valor al que tienden las x.7o podemos calcularporque el dominio de definicin est en el intervalo , s podemos tomar valores del dominio tan prximos a # como queramos.:'lculo del lmite en una funcin definida a tro+osEn primer lugar tenemos que estudiar los lmites laterales en los puntos de unin de los diferentes tro(os.;i coinciden, este es el valor del lmite.;i no coinciden, el lmite no existe..En x = :!, los lmites laterales son,?or la i(quierda,?or la derec)a,3omo en am*os casos coinciden, el lmite existe 6 vale !.En x = !, los lmites laterales son,?or la i(quierda,?or la derec)a,3omo no coinciden los lmites laterales no tiene lmite en x = !.?ara calcular el lmite de una funcin cuando x @ 9 se sustitu6en las x por 9.Lmite de funciones polinmicas en el infnito&l lmite cuando x 3 2 de una funcin polinmica es -2 o "2 se(n que el t;rmino de mayor (rado sea positivo o ne(ativo$Ejemplos!. 2. Lmite de la inversa de un polinomio en el infnitoSi 0(x) es un polinomio, entonces,.Ejemplo Clculo de lmites cuando! "#Ejemplos !. 2. #.&.