Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de ... · Il semble que P30 soit confondu...
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LLiimmii ttee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn AApppprroocchhee iinnttuuii ttiivvee ddee llaa nnoottiioonn ddee ll iimmii ttee Dans ce chapitre, nous avons besoin d’un outil mathématique appelé « Limite » qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques. Pour introduire cette notion, je commence par un exemple géométrique : Considérons un polygone régulier de n côtés ( 5≥n ), inscrit dans un cercle C. Soit nP ce
polygone. À l’aide du logiciel « Geogebra », j’ai tracé 5P , 12P et 30P :
Il semble que 30P soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un
polygone et non pas un cercle). Or, si l’on trace 5000P , on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C.
On dit alors que la limite de ces polygones est le cercle circonscrit C et mathématiquement, on écrit : CPnn
=+∞→
lim
EExxeemmppllee ((dd’’ aapppprroocchhee àà ll ’’ aaiiddee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn)) 11::
Soit la fonction f définie sur ℝ { }2−− par ( )2
42
+−=
x
xxf .
f n'est pas définie en x = −2. Evaluons f sur des nombres de plus en plus proches de 2−=x : f (-1,99) = 993,− ; f (-1,999) = 9993,− ; f (-1,9999) = 99993,− ; f (-1,99999) = 999993,− f (-2,01) = 014,− ; f (-2,001) = 0014,− ; f (-2,0001) = 00014,− ; f (-2,00001) = 000014,−
On constate qu’en évaluant f autour de −2, on se rapproche de plus en plus de 4− . Limite de f (x), pour x tendant vers −2, est égale à −4 et on écrit ( ) 4
2−=
−→xflim
x.
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II -- LLiimmii ttee ff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn eenn xx00 ((aavveecc xx00 ff iinnii ))
Soit f une fonction définie sur ℝ ou une partie de ℝ.
Soit x0∈ℝ, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque x se rapproche de x0 (où x0 est une valeur finie).
DDééff iinnii ttiioonn 11:: Un voisinage V d’un réel x0 , est un intervalle ouvert de la forme ] [ fDxx ⊂+− αα 00 ; ou
] [ ] [ fDxxxx ⊂+∪− αα 0000 ;; ( suivant que x0 est inclus dans Df ou non) , avec α > 0.
EExxeemmpplleess ::
11)) Les fonctions 22 −xx֏ et 23 xx −֏ sont définies au voisinage de 0.
22)) Les fonctions 1
22
−+
x
xx֏ et
xx
1֏ sont définies respectivement au voisinage de 1 et de 0,
même si ces deux dernières fonctions sont définies sur ] [ ] [+∞∪∞− ,11, et sur ] [ ] [+∞∪∞− ,00, . II--11-- LLiimmii ttee ff iinniiee eenn xx00 ((aavveecc xx00 ff iinnii))
Soit ℓ∈ℝ et f une fonction définie au voisinage de x0, , sauf peut-être en x0.
DDééff iinnii ttiioonn 22:: On dit que f tend vers ℓ, lorsque x tend vers x0 , si on peut rendre | f(x)− ℓ | «aussi
petit que l’on veut » à condition de prendre x « suffisamment proche de x0 ».On écrit alors : ( ) =
→xf
xx0
lim ℓ.
DDeeuuxxiièèmmee vvaarr iiaannttee ddee llaa ddééff iinnii ttiioonn pprrééccééddeennttee DDééff iinnii ttiioonn 33:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0, sauf peut-être en x0, on
dit que f admet une limite réelle ℓ au point x0 si : ∀ℇ >0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x)− ℓ <ℇ
RReemmaarrqquueess :: 11)) La définition précédente est valable, même si f n’est pas définie en x0 .
22)) ℇ est choisi arbitrairement. II nntteerrpprrééttaattiioonn :: On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, ( ) =
→xf
xx0
lim ℓ signifie que l’on peut
rendre la distance entre f(x) et ℓ aussi petite que l’on veut `a condition de prendre x ”suffisamment proche de x0”.
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EExxeerrcciiccee 11:: Soit f une fonction définie sur ℝ par ( ) 5=xf .
Soit x0 un nombre appartenant à ℝ. Montrons que ( ) 50
=→
xfxx
lim
SSoolluuttiioonn::
II--22-- LLiimmii ttee àà ddrrooii ttee,, ll iimmiittee àà ggaauucchhee ddee xx00 II--22--11-- LLiimmii ttee àà ddrrooii ttee Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] [bx ,0 , où b est un nombre réel ou +∞.
DDééff iinnii ttiioonn 44:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à droite de x0 si : ∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ] [bx ,0 , <−< 00 xx α ⇒ f(x)− ℓ <ℇ
On écrit alors : ( ) =
>
→xf
xx
xx
0
0
lim ℓ, ou encore ( ) =+→
xfxx0
lim ℓ.
RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant supérieur à x0.
II--22--22-- LLiimmii ttee àà ggaauucchhee Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] [0; xb , où b est un nombre réel ou −∞.
DDééff iinnii ttiioonn 55:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à gauche de x0 si : ∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ] [bx ,0 , −α 00 <−< xx ⇒ f(x)− ℓ <ℇ
On écrit alors : ( ) =
<
→xf
xx
xx
0
0
lim ℓ, ou encore ( ) =−→
xfxx0
lim ℓ.
RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant inférieur à x0.
TThhééoorrèèmmee 11 ((aaddmmiiss)):: Soit f une fonction définie au voisinage V du réel x0 , alors on a l’équivalence
suivante : ( ) =→
xfxx0
lim ℓ ⇔⇔ ( ) =
>
→xf
xx
xx
0
0
lim ℓ = ( )xf
xx
xx
0
0<
→lim
II --33-- LLiimmii ttee iinnff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition Df .
DDééff iinnii ttiioonnss 66:: -- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de −− ∞∞, s’il existe un réel a tel que ] [ ⊂∞− a, Df.
-- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de ++ ∞∞, s’il existe un réel a tel que ] [ ⊂∞+;a Df.
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EExxeemmpplleess ::
11)) Les fonctions x
x1
֏ , 2
12 −x
x֏ et 42 −xx֏ sont définies au voisinage de −− ∞∞ et de ++ ∞∞
.22)) Les fonctions xx −3֏ et 4−xx֏ sont définies respectivement au voisinage de −− ∞∞ et de ++ ∞∞, II --33--11--LLiimmii ttee iinnff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn àà ll ’’ iinnff iinnii
DDééff iinnii ttiioonn 77:: 11)) On dit que ( ) =+∞→
xfxlim ∞+ si et seulement si:
∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx > ⇒ f(x)>A) 22)) On dit que ( ) =
+∞→xf
xlim ∞− si et seulement si:
∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx > ⇒ f(x)<−A)
f tend vers +∞ en +∞
DDééff iinnii ttiioonn 88:: 11)) On dit que ( ) =∞−→
xfxlim ∞+ si et seulement si:
∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx −< ⇒ f(x)>A) 22)) On dit que ( ) =
∞−→xf
xlim ∞− si et seulement si:
∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx −< ⇒ f(x)<−A)
TThhééoorrèèmmeess 22 ((aaddmmiiss)):: Les fonctions, 2xx֏ , nxx 2֏ (avec n entier naturel non nul) , ont pour
limite ∞+ en ∞+ ou ∞− .
Les fonctions, xx֏ xx֏ , 3xx֏ 12 +nxx֏ ont pour limite ∞+ en ∞+ et xx֏ , 3xx֏ 12 +nxx֏ ont pour limite ∞− en ∞− .
EExxeemmpplleess ddee ffoonnccttiioonnss qquuii nn’’ oonntt ppaass ddee ll iimmii ttee eenn ++∞∞ oouu eenn --∞∞..
Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞ ou -∞. EExxeemmpplleess :: Les fonctions xx sin֏ et xx cos֏ dont les courbes sont données ci-dessous
n’admettent pas de limite, lorsque x tend vers +∞ ou -∞:
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II --33--22--LLiimmii ttee ff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn eenn ++∞∞ oouu eenn --∞∞....
DDééff iinnii ttiioonn 99:: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de ∞− . On dit que f admet une limite
réelle ℓ en ∞− , si : ∀ℇ>0 , ∃ A 0> tel que ∀x∈V, ( −<x A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ). On écrit alors : ( ) =
∞−→xf
xlim ℓ,
DDééff iinnii ttiioonn 1100:: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de ∞+ . On dit que f admet une
limite réelle ℓ en ∞+ , si : ∀ℇ>0 , ∃A 0> tel que ∀x∈V, ( >x A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ). On écrit alors : ( ) =
∞+→xf
xlim ℓ.
f tend vers ℓ en +∞
EExxeerrcciiccee 22:: Soit f une fonction définie sur ℝ* par ( )x
xf1= .
Montrer que ( ) 0=∞+→
xfxlim .
SSoolluuttiioonn::
TThhééoorrèèmmeess 33 ((aaddmmiiss)):: * Les fonctions x
x1
֏ , 2
1
xx֏ ,
3
1
xx֏ ,
nxx
1֏ (avec n entier naturel
non nul) , x
x1
֏ ont pour limite 0 en ∞+ .
* Les fonctions x
x1
֏ , 2
1
xx֏ ,
3
1
xx֏ ,
nxx
1֏ (avec n entier naturel non nul), ont pour
limite 0 en ∞− .
* Plus généralement , si une fonction f a une limite infinie en ∞+ ou ∞− , alors f
1 a pour limite 0
en ∞+ ou en ∞− .
[email protected] PPaaggee 66 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
II --44--AAssyymmppttoottee hhoorr iizzoonnttaallee
DDééff iinnii ttiioonn 1111:: On dit que la droite d’équation D : y= ℓ est une aassyymmppttoottee hhoorr iizzoonnttaallee à la courbe de f lorsque ( ) =
+∞→xf
xlim ℓ ou ( ) =
∞−→xf
xlim ℓ.
EExxeemmppllee :: On sait que : 01 =
∞+→ xxlim et 0
1 =∞−→ xx
lim donc 31
3 =
++∞→ xx
lim et 31
3 =
+∞−→ xx
lim , d’où
la droite d’équation 3=y représente une asymptote horizontale à la courbe de la fonction
xx
13+֏ .
f tend vers 3 lorsque x tend vers +∞
TThhééoorrèèmmee 44 ((aaddmmiiss)):: Soit f une fonction définie au voisinage V de x0 (nombre fini ou non) Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est uunniiqquuee. II --55-- LLiimmii ttee iinnff iinniiee eenn uunn rrééeell xx00 DDééff iinnii ttiioonn 1122:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0.
( ) +∞=→
xfxx0
lim , si et seulement si :
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x) >ℇ
DDééff iinnii ttiioonn 1133:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0. ( ) −∞=
→xf
xx0
lim si et seulement si :
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x) <−ℇ
II nntteerrpprrééttaattiioonn :: On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, ( ) +∞=→
xfxx0
lim ou ( ) −∞=→
xfxx0
lim
signifie que l’on peut rendre f(x) aussi grand en valeur absolue que l’on veut à condition de prendre x ” suffisamment proche de x0 ”.
f tend vers +∞ lorsque x tend vers x0
[email protected] PPaaggee 77 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
EExxeerrcciiccee 33:: Soit f une fonction définie sur ℝ* par ( )x
xf1= . Montrer que ( ) +∞=
+→
xfx 0
lim .
SSoolluuttiioonn::
TThhééoorrèèmmeess 55 ((aaddmmiiss)):: * Les fonctions, 2
1
xx֏ , ,
nxx
2
1֏ (avec n entier naturel non nul) , ont
pour limite ∞+ , lorsque x tend vers 0 .
* La fonction x
x1
֏ a pour limite ∞+ , lorsque x tend vers +0 .
* Les fonctions x
x1
֏ , , 3
1
xx֏ ,
12
1+nx
x֏ (avec n entier naturel non nul), ont pour
limite ∞− , lorsque x tend vers −0 et ont pour limite ∞+ , lorsque x tend vers +0 .
* Plus généralement , si une fonction f a une limite −0 ou +0 , lorsque x tend vers x0, alors f
1 a
pour limite respectivement ∞− ou ∞+ .
II --66--AAssyymmppttoottee vveerrttiiccaallee DDééff iinnii ttiioonn 1144:: On dit que la droite d’équation D : x= a est une aassyymmppttoottee vveerrttiiccaallee à la courbe de f lorsque ( ) +∞=
→xf
xx0
lim ou ( ) −∞=→
xfxx0
lim .
RReemmaarrqquuee :: Une asymptote verticale n’existe que pour x tendant vers un nombre fini. EExxeemmpplleess ::
+∞=→ 20
1
xxlim +∞=
<→ 200
1
xxxlim +∞=
>→ 200
1
xxxlim
La droite d’équation x=0 représente une asymptote verticale à la courbe de la fonction 2
1
xx֏
[email protected] PPaaggee 88 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
II II -- OOppéérraattiioonnss ssuurr lleess ll iimmii tteess
a désigne soit un réel, soit ∞+ , soit ∞− . ℓ et ℓ’ désignent des réels. On admet les théorèmes suivants : II II --11°° LLiimmiittee ddee ff ++ gg
Si ( ) =→
xfax
lim ℓ ℓ ℓ ∞+ ∞− ∞+
et ( ) =→
xgax
lim ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞−
alors ( )( ) =+
→xgf
axlim ℓ+ ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞−
CC..II .. ((ccaass iinnddéétteerrmmiinnéé))
II II --22°° LLiimmiittee ddee ff ×× gg
Si ( ) =→
xfax
lim ℓ ℓ>0 ℓ>0 ℓ<0 ℓ<0 ∞+ ∞+ ∞− 0
et ( ) =→
xgax
lim ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞− ou ∞+
alors ( )( ) =×
→xgf
axlim
ℓℓ’ ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞+ CC..II ..
II II --33°° LLiimmiittee ddee ff // gg
Si ( ) =
→xf
axlim
ℓ ℓ>0
ℓ>0 ou ∞+
ℓ>0 ou ∞+
ℓ<0 ou ∞−
ℓ<0 ou ∞−
∞+ ∞− ∞+ ∞− 0 ∞−
ou ∞+
et ( ) =
→xg
axlim
ℓ’0
∞+ ou
∞−
+0 −0 +0 −0 ℓ’<
0
ℓ’<
0
ℓ’>
0 ℓ’>
0 0
∞− ou ∞+
alors
( ) =
→
xg
fax
lim
ℓ
ℓ
′ 0 ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞+ ∞− CC..II .. CC..II ..
RReemmaarrqquuee :: D’après les tableaux précédents, les cas indéterminés (C.I.) sont
∞−∞ , ∞×0 , 0
0 et
∞∞
En aucun cas ces écritures ne doivent être utilisées dans une rédaction, sur une copie. AAtttteennttiioonn :: Une indétermination ne signifie en aucun cas que la limite n’existe pas. Ces cas nécessiteront une étude particulière, chaque fois qu’ils se présenteront.
[email protected] PPaaggee 99 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
II VV-- DDéétteerrmmiinnaattiioonn ddee ll iimmii tteess TThhééoorrèèmmee 66:: Lorsque x tend vers ∞+ ou ∞− , une fonction polynôme a la même limite que son
terme de plus haut degré.
DDéémmoonnssttrraattiioonn ::
EExxeerrcciiccee 44:: Déterminer la limite suivante : ( )132 23 −−
∞+→xx
xlim .
SSoolluuttiioonn::
TThhééoorrèèmmee 77:: Lorsque x tend vers ∞+ ou ∞− , une fonction rationnelle a la même limite que le
rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
DDéémmoonnssttrraattiioonn ::
[email protected] PPaaggee 1100 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
EExxeerrcciiccee 55:: Déterminer les limites ∞+ de f, g et h définies respectivement par :
23
23
52
423)(
xx
xxxxf
+−+−= ,
32
13)(
3
2
+−−=
x
xxxg et
342
54)(
2
25
−+−+−−=
xx
xxxxh
SSoolluuttiioonn::
EExxeerrcciiccee 66:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }4,2− par ( )86
32 +−
−=xx
xxf .
Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 2 et au voisinage de 4 puis interpréter graphiquement ces résultats. SSoolluuttiioonn :: Étudions d’abord le signe de 862 +− xx :
x ∞− ∞+ 862 +− xx
[email protected] PPaaggee 1111 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
AAssyymmppttoottee oobbll iiqquuee DDééff iinnii ttiioonn 1155:: On dit que la droite d’équation : baxy += est une aassyymmppttoottee oobbll iiqquuee à la
courbe de f au voisinage +∞ ( resp.-∞ ) , si et seulement si :
( ) ( )[ ] 0=+−+∞→
baxxfxlim ( resp. ( ) ( )[ ] 0=+−
∞−→baxxf
xlim ).
RReemmaarrqquueess :: – Une courbe et son asymptote peuvent se couper (même une infinité de fois) avant que la courbe et l’asymptote deviennent voisines. – Pour tout fDx∈ , le signe de ( ) ( ) ( )baxxfx +−=φ , donne la position relative de
C f par rapport à D.
EExxeerrcciiccee 77:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }2− par 2
32)(
2
−−+=
x
xxxf et C f sa
représentation graphique.
1) Déterminer les réels a, b et c tels que 2
)(−
++=x
cbaxxf pour tout fDx∈ .
En déduire que la droite D, d’équation baxy += (avec les réels a et b définis précédemment) est
asymptote oblique à C f au voisinage de +∞ et de -∞ 2) Étudier la position relative de C f et de D. SSoolluuttiioonn ::
[email protected] PPaaggee 1122 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn ∞∞−− ∞∞ ??
EExxeerrcciiccee 88:: Soit f une fonction définie sur ℝ par : ( ) 422 ++= xxxf .
1) Déterminer ( )xfx +∞→lim et ( )xf
x ∞−→lim .
2) Démontrer que pour 0>x la droite D, d’équation 1+= xy est une asymptote oblique à C f . 3) Étudier la position relative de C f et de D. SSoolluuttiioonn ::
[email protected] PPaaggee 1133 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn 0
0 ?
PPooiinntt mméétthhooddee :: Pour lever l'indétermination 0
0 en un point a :
- on commence par factoriser le numérateur et le dénominateur par ax − et ainsi on peut
simplifier le quotient par ax − (quand cela est possible).
- dans le cas des fonctions comportant des expressions racines, on utilise la multiplication du numérateur
et du dénominateur de la fonction par son expression conjuguée.
- l’utilisation du nombre dérivé.
EExxeerrcciiccee 99:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }4,2− par ( )86
232
2
+−+−=
xx
xxxf .Étudier le
comportement de la fonction f au voisinage de 2, puis interpréter graphiquement ce résultat. SSoolluuttiioonn ::
La courbe précédente a été réalisée à l’aide du logiciel « Geogebra ». On constate que le trou n’apparaît pas sur la courbe. La raison de cette absence est due à la façon dont le logiciel se charge à tracer la courbe, en effet, le logiciel calcule par exemple les images de plusieurs nombres compris dans l’intervalle d’étude, par exemple les images des nombres, comme :
23,0,77,0,1 −− etc, mais si l’une de ces valeurs choisie n’est pas le nombre 2, alors le trou n’apparaîtra pas sur la courbe ( ce qui se passe dans la majorité des cas) sauf si la chance nous sourit.
[email protected] PPaaggee 1144 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
EExxeerrcciiccee 1100:: Soit f la fonction définie sur [ [ ] [+∞∪= ,44,3fD par 4
13)(
−−−=
x
xxf et C f
sa représentation graphique. Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 4, puis interpréter graphiquement ce résultat. SSoolluuttiioonn ::
CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn ∞×0 ? EExxeerrcciiccee 1111:: Déterminons les limites de f et de g définies respectivement par :
( )xx
xxxf
23)(
32
−×−= , ( )
1
32)(
2 −×−=
xxxg en ∞+ .
SSoolluuttiioonn ::
[email protected] PPaaggee 1155 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
VV-- LLiimmii ttee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn ccoommppoossééee
TThhééoorrèèmmeess 88 ((aaddmmiiss)):: Soient f, g et h trois fonctions telles que ( ) ( )( ) ( )( )xhgxhgxf == � . Soient a, b et c trois réels de valeurs finies ou +∞ ou encore -∞ . Si ( ) bxh
ax=
→lim et si ( ) cXg
bX=
→lim alors ( ) cxf
ax=
→lim .
EExxeerrcciiccee 1122:: Soit f la fonction définie par :1
734)(
2
2
−+−=
x
xxxf . Déterminer ( )xf
x ∞+→lim .
SSoolluuttiioonn ::
VVII -- TThhééoorrèèmmee ddee dd’’ eennccaaddrreemmeenntt ((oouu tthhééoorrèèmmee ddeess ggeennddaarrmmeess))
TThhééoorrèèmmee 99:: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou ∞+ ou ∞− , et ℓ un nombre réel. Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ et si ( ) ( ) ==
→→xhxg
axaxlimlim ℓ, alors ( ) =
→xf
axlim ℓ.
DDéémmoonnssttrraattiioonn::
[email protected] PPaaggee 1166 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
VVII II -- TThhééoorrèèmmeess ddee ccoommppaarraaiissoonn àà ll ’’ iinnff iinniiee
TThhééoorrèèmmee 1100:: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou ∞+ ou ∞− . • Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( )xfxg ≤ et si ( ) +∞=
→xg
axlim , alors ( ) +∞=
→xf
axlim .
• Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( )xhxf ≤ et si ( ) −∞=→
xhax
lim , alors ( ) −∞=→
xfax
lim .
DDéémmoonnssttrraattiioonn::
EExxeerrcciiccee 1133:: 1) Prouvez que la fonction f définie sur ℝ par ( )x
xfsin35
1
+= est bornée.
2) Déduisez-en la limites suivante :
++
∞+→ x
xxx sin35
sinlim .
SSoolluuttiioonn ::
[email protected] PPaaggee 1177 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
TTaabblleeaauu rrééccaappii ttuullaattii ff
HHyyppootthhèèssee 11
iinnééggaall ii ttéé ppoouurr xx pprroocchhee ddee xx00
HHyyppootthhèèssee 22
CCoommppoorrtteemmeenntt ppoouurr xx→ xx00
CCoonncclluussiioonn
( ) ( )xgxf ≤ f tend vers +∞ g tend vers +∞
( ) ( )xfxg ≤ f tend vers -∞ g tend vers -∞
( ) ( )xfxg ≤− ℓ f tend vers 0 g tend vers ℓ
( ) ( ) ( )xhxgxf ≤≤ f et h ont la même limite ℓ g tend vers ℓ
( ) ( )xgxf ≤ f et g admettent des limites en x0 ( ) ( )xgxf
xxxx00
→→≤ limlim
On retrouve les mêmes théorèmes avec les suites.
[email protected] PPaaggee 1188 CCoouurrss :: LLiimmii tteess
EExxeerrcciiccee 1144:: Déterminez les limites suivantes :
1) 352
391752
23
3 −−++−
→ xx
xxxxlim
2) 2
2
4 16
472
x
xxx −
+−−−→
lim
3) 5103
1175 −+
−−+→ x
xxxlim
4) ( )13199 2 +−+−∞+→
xxxxlim
5) ( )xxxxx
2223 +−∞+→
lim
EExxeerrcciiccee 1155:: Soit f la fonction définie par : ( )3
sin22
2
+−=
x
xxxf
a) Montrer que pour tout x on a : ( )3
12
3
122
2
2
2
++≤≤
+−
x
xxf
x
x
b) En déduire la limite de f lorsque x tend vers + ∞.
EExxeerrcciiccee 1166:: Soient f et g deux fonctions définies par : ( ) xxxf cos2 2 += et ( ) xxxg 22 cos+−= .
Calculer : ( )xfx +∞→lim et ( )xg
x +∞→lim
EExxeerrcciiccee 1177::
On considère la fonction f définie ( ) 452 ++= xxxf .
1) Démontrer la courbe (Cf) admet un axe de symétrie.
2) a) Déterminer la limite en ∞− de ( )( )xxf + puis en déduire l’équation d’une asymptote
Oblique à (Cf).
b) Déterminer l’équation de l’autre asymptote.
EExxeerrcciiccee 1188::
Soit ( )6116
13323 +−+−
+−+=xxx
xxxf .
1) Déterminer l’ensemble de f.
2) Déterminer les limites en 1 puis en 2.