Limit Terjemahan

download Limit Terjemahan

of 26

  • date post

    06-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    243
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Limit Terjemahan

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    1/26

    4.1. FUNGSI LIMIT

    Definisi 4.1.1

    A R. Titikc R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap > 0 ada paling

    sedikit satu titik di xA, x c sedemikian sehingga | x c | < .

    Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :

    Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau

    ditulis (c) yaitu :

    (c) = { x

    R ; | xc | < }= - < x c <

    = c < x < c +

    V(c) = ( c , c + ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda

    dengan c.

    Catatan : A R, c titik limit dari A jika V(c) A yang berbeda dari c

    Teorema 4.1.2

    Bilangan real c adalah titik limit dari A, A R, jika dan hanya jika ada barisan

    (an) dalam A dan an c, nN sedemikian hingga lim (an) = c

    Bukti :

    () A R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan

    ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hinggalim (an) = c

    c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n N, persekitaran

    1/n dari c, yaitu V1/n(c) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang

    berbeda dengan c. Jika an,n N merupakan titik-titik tersebut, maka an

    A, an c, dan lim (an) = c. (terbukti)

    () Jika ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hingga

    lim (an) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    2/26

    (an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,

    artinya untuk sembarang > 0, K N, sehingga jika n K(), maka an

    (c). Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, (c) yang memuat

    titik-titik an, n K(), an A dan an c. Jadi, c merupakan titik limit

    dari A.

    DEFINISI LIMIT

    4.1.4. Definisi

    A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan

    limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x A

    dan 0 < | xc | < maka | f(x) L | < .

    Catatan :

    a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga kadang-kadang ditulis dengan ().

    b. Ketaksamaan 0 < | xc | adalah ekuivalen dapat dikatakan x cJika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan

    ditulis :

    )(xfLimLcx atau fLimL

    cx

    dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c

    Teorema 4.1.5

    Jika f : A R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.

    Bukti :

    Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 L2

    Pilih > 0, sehingga

    L1merupakan limit f di c maka ada 1(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 1(/2) maka

    | f(x)L1| < /2

    L2merupakan limit f di c maka ada 2(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 2(/2) maka

    | f(x)L2| < /2

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    3/26

    Ambil = min{ 1(/2), 2(/2) } maka jika x A dan 0 < | x c | < , dengan

    ketaksamaan segitiga didapatkan :| L1L2| | L1f(x) | + | f(x) - L2| < /2 + /2 =

    Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1L2 = 0 jadi L1 = L2

    Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena

    V(c) = ( c, c + ) = { x R ; | xc | < }

    Ketaksamaan segitiga 0 < | xc | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan

    x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan | f(x)L1 | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa f(x) berbeda ke persekitaran V(L) dari L.

    y

    x

    ((((

    ((((

    ( ( ( (((((

    DiberikanV(L)

    L

    cadaV(c)

    4.1.6 Teorema

    Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah

    ini :

    1. LxfLimcx

    )(

    2. Diberikan persekitaran- V(L) dari L, ada persekitaran- V(c) sedemikiansehingga jika x c adalah titik V(L) A, x c, maka f(x)V(L).

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    4/26

    Contoh :

    1. bbLimcx

    Bukti :

    Tampak bahwa f(x) = bx R. akan ditunjukkan bbLimcx

    Jika > 0, ambil = 1, sehingga jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b|

    = 0 < . Terbukti karena > 0 maka dapat disimpulkan bbLimcx

    2. cxLimcx

    Bukti :

    g(x) = x xR. Jika > 0, ambil = , sehingga jika 0 < |x - c| < maka

    diperoleh

    |g(x)c| = |x -c| < . Karena > 0 maka terbukti bahwa cxLimcx

    .

    3.22

    cxLimcx

    Bukti :

    h(x) = x2

    x R. Untuk menunjukkan22

    cxLimcx , maka harus

    ditunjukkan : |h(x)c2| = |x

    2-c

    2| <

    Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.

    Dimana x2

    - c2

    = (x+c) (x-c) Jika |x - c| < 1.

    Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :

    |x| |c| + 1 sehingga |x + c| |x| + |c| 2|c| + 1

    jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :

    (*) | x2-c2| = |x+c||x-c| (2|c| +1) | xc |

    dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .

    Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < /(2|c| + 1).

    Oleh karena itu, pilih () = inf (1||2

    ,1c

    )

    sehingga jika 0 < |x - c| < () maka memenuhi:

    |x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh

    | x2

    -c2

    | /(2|c| + 1) |x - c| < .

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    5/26

    Karena nilai () > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai > 0,

    maka terbukti bahwa

    22

    cxLimcx

    4. tunjukkan 15)2(2

    3

    xxLimx

    Bukti :

    Ambil f(x) = x2+2x, Rx

    Maka 15)(xf

    Akdib : 35)3)(5(1522 xxxxxx

    Misal =1 13 x atau )4,2(x

    Jadi )9,7(5x atau 95 x

    9)3)(5(1522 xxxx jika 30 x

    Ambil sebarang > 0, pilih min

    9,1

    Jadi, 351522 xxxx

    5.5

    5

    Jadi terbukti

    Kriteria Barisan Untuk Limit

    4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)

    f : A R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :

    (i) LxfLimcx

    )(

    (ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga

    xn c, n N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L

    Bukti :

    (i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam

    A dengan lim(xn) = c dan xn c, n N. Kita harus menunjukkan bahwa

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    6/26

    barisan (f(xn)) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4),

    jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x A memenuhi

    0 0, K() N, sehingga untuk n

    K() berlaku |xnc |. Tetapi setiap xn memenuhi |f(x) - L| < . Jadi, jika n

    K() maka berlaku |f(xn) - L| < artinya barisan (f(xn)) konvergen ke L.

    (ii) (i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan

    mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.Andaikan LxfLim

    cx

    )( maka akan ada persekitaran-0 dari L, V0(L) sehingga

    untuk setiap persekitaran- dari c, V0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit

    satu nilai x A V0(c) dengan x c, f(x) V0(L). Oleh karena itu, n

    N, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

    0 < | xn - c| < 1/n dan xn A Tetapi, |f(xn) - L| 0, n N.

    Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A{c}

    yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.

    Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat

    kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.

    Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit

    fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.

    Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu

    bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan

    Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2

    mempunyai limit :2

    )( cxhLimcx

    Kriteria Divergensi

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    7/26

    Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari

    suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada

    suatu titik.

    4.1.9 Kriteria Divergensi

    A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A.

    a. Jika L R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika adabarisan (xn) dalam A, xn c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c,

    tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke L.b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, xn

    c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di

    R.

    Contoh :

    1. x

    xLim 1

    0tidak ada di R.

    Bukti :

    Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n N, maka lim (xn) = 0,

    tetapi (xn) = 1/ (1/n) = n, dan barisan ((xn)) =(n) merupakan barisan yang

    tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9

    (b) disimpulkan bahwa x

    xLim 1

    0tidak ada di R.

    2. )sgn(0

    xLimx

    tidak ada.

    Bukti :

    Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :

    01

    00

    01

    )sgn(

    xuntuk

    xuntuk

    xuntuk

    x

    Ingat bahwa sgn(x) = x / |x| untuk x 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan

    ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan

    ditunjukkan )sgn(0

    xLimx

    tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)

    dan lim (xn) = 0, tetapi (sgn(xn)) tidak konvergen.

  • 8/3/2019 Limit Terjemahan

    8/26

    (

    )

    1

    -1

    Fungsi signum

    Ambil xn = (-1)n /n untuk n N, maka lim (xn) = 0 dan

    sgn(xn) = (-1)n untuk n N,

    Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(xn) tidak konvergen. Jadi, )sgn(0

    xLimx

    tidak ada.

    3. x

    xLim 1

    0