Limit Terjemahan

8/3/2019 Limit Terjemahan

1/26

4.1. FUNGSI LIMIT

Definisi 4.1.1

A R. Titikc R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap > 0 ada paling

sedikit satu titik di xA, x c sedemikian sehingga | x c | < .

Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :

Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau

ditulis (c) yaitu :

(c) = { x

R ; | xc | < }= - < x c <

= c < x < c +

V(c) = ( c , c + ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda

dengan c.

Catatan : A R, c titik limit dari A jika V(c) A yang berbeda dari c

Teorema 4.1.2

Bilangan real c adalah titik limit dari A, A R, jika dan hanya jika ada barisan

(an) dalam A dan an c, nN sedemikian hingga lim (an) = c

Bukti :

() A R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan

ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hinggalim (an) = c

c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n N, persekitaran

1/n dari c, yaitu V1/n(c) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang

berbeda dengan c. Jika an,n N merupakan titik-titik tersebut, maka an

A, an c, dan lim (an) = c. (terbukti)

() Jika ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hingga

lim (an) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A


2/26

(an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,

artinya untuk sembarang > 0, K N, sehingga jika n K(), maka an

(c). Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, (c) yang memuat

titik-titik an, n K(), an A dan an c. Jadi, c merupakan titik limit

dari A.

DEFINISI LIMIT

4.1.4. Definisi

A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan

limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x A

dan 0 < | xc | < maka | f(x) L | < .

Catatan :

a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga kadang-kadang ditulis dengan ().

b. Ketaksamaan 0 < | xc | adalah ekuivalen dapat dikatakan x cJika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan

ditulis :

)(xfLimLcx atau fLimL

cx

dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c

Teorema 4.1.5

Jika f : A R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.

Bukti :

Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 L2

Pilih > 0, sehingga

L1merupakan limit f di c maka ada 1(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 1(/2) maka

| f(x)L1| < /2

L2merupakan limit f di c maka ada 2(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 2(/2) maka

| f(x)L2| < /2


3/26

Ambil = min{ 1(/2), 2(/2) } maka jika x A dan 0 < | x c | < , dengan

ketaksamaan segitiga didapatkan :| L1L2| | L1f(x) | + | f(x) - L2| < /2 + /2 =

Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1L2 = 0 jadi L1 = L2

Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena

V(c) = ( c, c + ) = { x R ; | xc | < }

Ketaksamaan segitiga 0 < | xc | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan

x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan | f(x)L1 | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa f(x) berbeda ke persekitaran V(L) dari L.

y

x

((((

((((

( ( ( (((((

DiberikanV(L)

L

cadaV(c)

4.1.6 Teorema

Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah

ini :

1. LxfLimcx

)(

2. Diberikan persekitaran- V(L) dari L, ada persekitaran- V(c) sedemikiansehingga jika x c adalah titik V(L) A, x c, maka f(x)V(L).


4/26

Contoh :

1. bbLimcx

Bukti :

Tampak bahwa f(x) = bx R. akan ditunjukkan bbLimcx

Jika > 0, ambil = 1, sehingga jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b|

= 0 < . Terbukti karena > 0 maka dapat disimpulkan bbLimcx

2. cxLimcx

Bukti :

g(x) = x xR. Jika > 0, ambil = , sehingga jika 0 < |x - c| < maka

diperoleh

|g(x)c| = |x -c| < . Karena > 0 maka terbukti bahwa cxLimcx

.

3.22

cxLimcx

Bukti :

h(x) = x2

x R. Untuk menunjukkan22

cxLimcx , maka harus

ditunjukkan : |h(x)c2| = |x

2-c

2| <

Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.

Dimana x2

- c2

= (x+c) (x-c) Jika |x - c| < 1.

Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :

|x| |c| + 1 sehingga |x + c| |x| + |c| 2|c| + 1

jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :

(*) | x2-c2| = |x+c||x-c| (2|c| +1) | xc |

dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .

Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < /(2|c| + 1).

Oleh karena itu, pilih () = inf (1||2

,1c

)

sehingga jika 0 < |x - c| < () maka memenuhi:

|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh

| x2

-c2

| /(2|c| + 1) |x - c| < .


5/26

Karena nilai () > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai > 0,

maka terbukti bahwa

22

cxLimcx

4. tunjukkan 15)2(2

3

xxLimx

Bukti :

Ambil f(x) = x2+2x, Rx

Maka 15)(xf

Akdib : 35)3)(5(1522 xxxxxx

Misal =1 13 x atau )4,2(x

Jadi )9,7(5x atau 95 x

9)3)(5(1522 xxxx jika 30 x

Ambil sebarang > 0, pilih min

9,1

Jadi, 351522 xxxx

5.5

5

Jadi terbukti

Kriteria Barisan Untuk Limit

4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)

f : A R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :

(i) LxfLimcx

)(

(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga

xn c, n N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L

Bukti :

(i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam

A dengan lim(xn) = c dan xn c, n N. Kita harus menunjukkan bahwa


6/26

barisan (f(xn)) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4),

jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x A memenuhi

0 0, K() N, sehingga untuk n

K() berlaku |xnc |. Tetapi setiap xn memenuhi |f(x) - L| < . Jadi, jika n

K() maka berlaku |f(xn) - L| < artinya barisan (f(xn)) konvergen ke L.

(ii) (i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan

mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.Andaikan LxfLim

cx

)( maka akan ada persekitaran-0 dari L, V0(L) sehingga

untuk setiap persekitaran- dari c, V0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit

satu nilai x A V0(c) dengan x c, f(x) V0(L). Oleh karena itu, n

N, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

0 < | xn - c| < 1/n dan xn A Tetapi, |f(xn) - L| 0, n N.

Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A{c}

yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.

Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat

kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.

Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit

fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.

Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu

bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan

Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2

mempunyai limit :2

)( cxhLimcx

Kriteria Divergensi


7/26

Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari

suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada

suatu titik.

4.1.9 Kriteria Divergensi

A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A.

a. Jika L R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika adabarisan (xn) dalam A, xn c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c,

tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke L.b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, xn

c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di

R.

Contoh :

1. x

xLim 1

0tidak ada di R.

Bukti :

Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n N, maka lim (xn) = 0,

tetapi (xn) = 1/ (1/n) = n, dan barisan ((xn)) =(n) merupakan barisan yang

tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9

(b) disimpulkan bahwa x

xLim 1

0tidak ada di R.

2. )sgn(0

xLimx

tidak ada.

Bukti :

Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :

01

00

01

)sgn(

xuntuk

xuntuk

xuntuk

x

Ingat bahwa sgn(x) = x / |x| untuk x 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan

ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan

ditunjukkan )sgn(0

xLimx

tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)

dan lim (xn) = 0, tetapi (sgn(xn)) tidak konvergen.


8/26

(

)

1

-1

Fungsi signum

Ambil xn = (-1)n /n untuk n N, maka lim (xn) = 0 dan

sgn(xn) = (-1)n untuk n N,

Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(xn) tidak konvergen. Jadi, )sgn(0

xLimx

tidak ada.

3. x

xLim 1

0sin

tidak ada di R.

Bukti :

Jika g(x) = sin(1/n), untuk x 0. (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan

bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan

(xn) dan (yn), dimana xn 0 dan yn 0, n N sedemikian hingga lim (xn)

= 0 dan lim (yn) = 0 tetapi lim (g(xn)) lim (g(yn)), hal itu menunjukkan

bahwa gLimx 0

tidak ada.

1

-1

1/3

1/2

1/

Fungsi g(x) = sin (1/x) (x 0)


9/26

Ingat : sin t = 0 jika t = n, dan sin t = + 1 jika t = + 2n untuk n Z.

Ambil xn = 1/n untuk nN, maka lim (xn) = 0 dan g(xn) = sin n = 0

n N, sehingga

lim (g(xn)) = 0 Ambil nny 21

2

1

untuk n N, maka lim (yn) = 0

dan 12sin)(21 nyg n n N sehingga lim (g(yn)) = 1

maka x

xLim 1

0sin

tidak ada di R.


10/26

4.2 TEOREMA LIMIT

4.2.1 Definisi

Diberikan RA , RAf : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Kita

katakan bahwa f terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran

, )(cV dan konstanta 0M seperti yang kita miliki Mxf )( untuk semua

)(cVAx .

4.2.2 Teorema

Jika RA dan RAf : mempunyai sebuah limit di Rc , maka f

terbatas pada suatu persekitaran pada c

Bukti :

Jika fLcx lim: , maka untuk 1e , terdapat 0 sedemikian hingga jika

cx0 , kemudian 1)( xf ( oleh corollary 2.2.4(a)),

1)()( LxfLxf

Karena itu, jika cxcVAx , , maka 1 Lxf . Jika Ac , kita

ambil 1 LM , sementara jika Ac kita ambil 1,sup: LcfM . Maka

bila ada cVAx , kemudian Mxf . Ini menunjukkan bahwa

f terbatas pada suatu persekitaran pada c.

Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian

dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.


11/26

4.2.3 Definisi

Diberikan RA , f dan g fungsi yang terdefinisi pada A ke R . Didefinisikan

jumlah gf , selisih gf dan perkalian fg pada A ke R dengan fungsi

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxfg

untuk semua Ax . Selanjutnya jika Rb didefinisikan perkalian bf dengan

fungsi xbfxbf untuk semua Ax .

Akhirnya, jika 0xh untuk Ax , kita definisikan pembagi hf / dengan

fungsi xhxf

xh

f

untuk semua Ax

4.2.4 Teorema

Diberikan RA , diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R , dan

diberikan Rc tertimbun dari A . Lebih lanjut diberikan Rb .

a. Jika Lfcx

lim dan Mg

cx

lim , maka :

MLgfcx

lim , MLgf

cx

lim

LMfgcx lim bLbfcx lim

b. Jika RAh : , jika 0xh untuk semua Ax , dan jika 0lim

Hhcx

,

maka

H

L

h

f

cx

lim


12/26

Bukti

Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat

dibuktikan dengan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Sebagai contoh,

biarkan nx menjadi urutan apapun di A sehingga cxn untuk Nn , dan

nxc lim . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa

Lxf lim , Mxg lim

Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa

nnn xgxfxfg untuk Nn

Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya

nnn xgxfxfg limlim

= LMxgxf nn limlim

Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan

rincian untuk pembaca.

Komentar

1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa0lim

hHcx

dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit

xhxf

cxlim

mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat

menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.

2. Diberikan RA , dan nfff ,........, 21 dengan fungsi A ke R , dan diberikanc titik timbun dari A . Jika


13/26

kcx

k fL lim untuk nk .,.........1

Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa

ncx

n fffLLL .....lim..... 2121

Dan

n

cxn

fffLLL .....lim...... 2121

Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika fLcx lim dan Nn , maka

ncx

nxfL

lim

4.2.5 Contoh

i. Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakanteorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa cx

cx

lim ,

kemudian22

lim cxcx

dan jika 0c , maka

cxcx

cx

1

lim

11lim

ii. 2041lim 322

xxx

Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa

4lim1lim41lim 32

2

2

32

2

xxxxxxx

= 4212 32

= 4814

= 45

= 20


14/26

iii.5

4

1

4lim

2

3

2

x

x

x

Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka

54

1lim

4lim

1

4lim

2

2

3

2

2

3

2

x

x

x x

x

x

x

Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e 51lim 22

x

x) tidak sama dengan 0,

maka teorema 4.2.b berlaku.

iv.3

4

63

4lim

2

2

x

x

x,

Jika diberikan 42 xxf dan 63 xxh untuk Rx maka tidak dapat

digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi xhxfx 2lim

karena

)63(limlim22

xxhH

xx

= 062.36lim32

x

x

Bagaimanpun, jika 2x , maka

)2(3

1

)2(3

)2)(2(

63

42

x

x

xx

x

x

Maka dari itu

3

42lim

3

1)2(

3

1lim

63

4lim

22

2

2

xx

x

x

xxx

Catatan bahwa fungsi )63()4()( 2 xxxg mempunyai limit di 2x

meskipun tidak ada definisinya.


15/26

v.xx

1lim

0tidak terdapat di R

Tentu saja 11lim1

xdan 0lim

0

xH

x. Bagaimanapun, ketika 0H , tidak

dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi )1(lim0

xx

. Dalam

faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi xx 1)( tidak mempunyai sebuah

limit di 0x . Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi

xx 1)( tidak terbatas dipersekitaran 0x

vi. Jika p adalah sebuah fungsi polynominal, maka )()(lim cpxpcx Biarkan p menjadi fungsi polynominal diR maka

01

1

1 ....)( axaxaxaxpn

n

n

n

untuk semua Rx . Berdasarkan

teorema 4.2.4 dan fakta bahwakk

cxcx

lim , maka

01

1

1 ......[lim)(lim axaxaxaxpn

n

n

ncxcx

= 011

1 lim)(lim.....)(lim)(lim axaxaxacxcx

n

ncx

n

ncx

= 011

1 ..... acacacan

n

n

n

= )(cp

Karenanya )()(lim cpxpcx

untuk setiap fungsi polynominal p

vii.Jika p dan q adalah fungsi polynominal di R dan jika 0)( cq maka

)(

)(

)(

)(lim

cq

cp

xq

xp

cx

Ketika )(xq adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah

teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real

m ,.....1 [bilangan real nol di )(xq ] maka 0)( jq dan jika


16/26

),.....( 1 mx , maka 0)( xq . Karenanya, jika ),.....( 1 mx kita dapat

definisikan

)(

)()(

xq

xpxr

Jika c tidak nol di )(xq , maka 0)( cq , dan mengikuti dari bagian vi bahwa

0)()(lim

cqxqcx

. Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b

untuk menyimpulkan bahwa

)(

)(

)(lim

)(lim

)(

)(lim

cq

cp

xq

xp

xq

xp

cx

cx

cx

Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6

4.2.6 Teorema

Diberikan RA , RAf : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Jika

bxfa )( untuk semua cxAx , dan jika terdapat fcx

lim , maka

bfacx

lim .

Bukti

Memang, jika fcx

lim , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika )( nx

adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa Axc n untuk semua Nn

dan jika barisan )( nx konvergen ke c , maka barisan xf konvergen ke L .

Ketika bxfa )( untuk semua Nn , berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa

bLa .

Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7. untuk

membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca.


17/26

4.2.7 Teorema Squeeze

Diberikan RA , RAhgf :,, , dan Rc titik limit di A . Jika

)()()( xhxgxf untuk semua cxAx , , dan jika hLfcxcx limlim , maka

Lgcx

lim

4.2.8 Contoh

0lim 23

x

cx )0( x

Diberikan 23

)( xxf untuk 0x sejak ketidaksamaan 121

xx memegang

untuk 10 x . Hal berikut bahwa xxxfx 23

2)( untuk 10 x . Maka

0lim2

0

x

xdan 0lim

0

x

x

Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa 0lim 23

x

cx

4.2.9 Teorema

Diberikan RA , RAf : dan diberikan Rc cmempunyai sebuah limit di A ,

jika 0lim

fcx

[masing-masing, 0lim

fcx

]. Maka terdapat sebuah

persekitaran )(cV di c sehingga 0)( xf [masing-masing, 0)( xf ] untuk

semua cxcVAx , .

Bukti

Diberikan fLcx lim dan menduga bahwa 0L . Kita ambil 0

2

1 L di

definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah 0 sehingga jika cx0 dan

Ax , maka LLxf2

1)( . Oleh karena itu berikut bahwa jika


18/26


19/26

4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit

4.3.1 Definisi

Diberikan RA dan RAf :

i. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( cxAxcA maka kitakatakan bahwa RL adalah limit kanan f di c dan kita tulis

Lfcx

lim Lxf

cx

)(lim

Jika diberi 0 terdapat sebuah 0)( sehingga untuk semua Ax

dengan cx0 maka Lxf )( .

ii. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( cxAxcA maka kitakatakan bahwa RL adalah limit kiri f di c dan kita tulis

Lfcx

lim Lxf

cx

)(lim

Jika diberi 0 terdapat sebuah 0 sehingga untuk semua Ax dengan

cx0 maka Lxf )( .

4.3.2 Teorema

Diberikan RA dan RAf : dan diberikan Rc titik limit di ),( cA .

Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :

i. Lfcx

lim

ii. Untuk setiap barisan )( nx konvergen ke c sehingga Axn dan cxn untuksemua Nn . Barisan )(xf konvergen ke L


20/26

4.3.3 Teorema

Diberikan RA , RAf : dan diberikan Rc merupakan titik limit dari

himpunan ),( cA dan ),( cA . Maka fLcx lim jika dan hanya jika

fLfcxcx limlim

BUKTI :

4.3.4 Contoh

(a).Diberikan )sgn()( xxf Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.

Jelas bahwa 1)sgn(lim0 xx dan 1)sgn(lim0 xx . Karena limit ini satu sisi

yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa )sgn(x tidak

mempunyai limit di 0.

(b).Diberikan 21)( exg untuk 0x ( lihat gambar 4.3.1)

Gambar 4.3.1 grafik 21

)( exg untuk 0x

Kami pertama menunjukkan g tidak mempunyai sebuah limit kanan

berhingga di 0c karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan


21/26

),0( di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) tet0 untuk

0t

Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)

bahwa jika 0x , kemudian xex1

10 . Maka jika kita mengambil

nx

n1 , kemudian nxg n )( untuk semua Nn . Maka dari itu

x

xe

1

0lim

tidak terdapat di R .

Namun, 0lim

1

0 x

x e . Memang jika 0x dan kita ambil xt 1 di (1)

kita mendapatkan xex

110

. Ketika 0x , ini berarti xe x 1

0

untuk semua 0x . Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa 0lim1

0

x

xe .

4.3.5 Definisi

Diberikan RA dan RAf : dan diberikan Rc titik limit di A .

(i) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai cx , dan ditulis

f

cxlim

Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua Ax

dengan cx0 , maka )(xf

(ii) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai cx , dan ditulis

f

cxlim

Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua Ax

dengan cx0 , maka )(xf


22/26

4.3.6 Contoh

(a).

)1(lim 20 xx

Jika 0 diberikan

1 maka bila ada x0 , maka

12 x

sehingga 21x

.

4.3.7 Teorema

Ambil A R dan ambil f,g : A R. dan ambil cR menjadi titik limit dari A.diduga f(x) g(x) untuk xA, x c :

1. Jika

fLimcx

maka

gLimcx

2. Jika

gLimcx

maka

fLimcx

Bukti :

a. Jika

fLimcx

dan R diberikan, maka ada () > 0 sedemikian

sehingga jika 0 < | xc | < () dan xA maka f(x) > a. tetapi karenaf(x) g(x) untuk semua x A, x c, berarti jika 0 < | xc | < () dan xA maka g(x) > . Terbukti

gLim

cx

b. Bukti sama seperti (a)4.3.8. Definisi

Ambil A R dan f : A R. Jika cR adalah titik limit dari himpunan A (c,) = { xA; x>c), maka dikatakan f cenderung ke seperti xc+ danditulis

fLimcx

(masing-masing

fLimcx

)


23/26

Jika untuk setiap R ada = () > 0 sedemikian sehingga untuk semua xA dengan 0 < x-c (masing-masing f(x) < )

Contoh :

1. Ambil g(x) = 1/x untuk x 0. Kita mempunyai catatan dari contoh4.3.6(b) bahwa gLim

x 0tidak ada. Contoh ini menunjukkan :

)/1(0 xLimx dan )/1(0 xLimx

2. Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g(x) = e1/xuntuk x 0 adalah tidakterbatas di interval (0,). Limit kanan dari e1/xseperti x 0+ tidak ada

definisi, karena

1/x 0

Maka

xeLimx

1

0dari definisi 4.3.8.

INFINITI LIMIT

4.3.10. Definisi

Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aR.dikatakan bahwa LR adalah limit dari f seperti x dan ditulis

LfLimx

atau LxfLim

x

Jika diberikan > 0 maka ada K = K() > a sedemikian sehingga untuk x > K

maka |f(x)L | <

4.3.11 Teorema

Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aR.maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :


24/26

1. LfLimx

2. Untuk barisan (xn) di A (a,) sedemikian sehingga limit (a,), barisan (f(xn))konvergen ke L.

Contoh :

1. Ambil g(x) = 1/x untuk x 0Jawab :

Ditunjukkan xLimxLimxx

/10/1

lihat 4.3.4

2. Ambil f(x) = 1/x2 untuk x 0Ditunjukkan bahwa 22 /10/1 xLimxLim

xx (lihat 4.3.3). Jika x 1

maka 0 1/x21/x. dari bagian (1) terbukti bahwa 0/1 2

xLim

x

4.3.13 Definisi

Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.dikatakan bahwa f cenderung ke seperti x dan ditulis

fLim

x(masing-masing

fLim

x)

Jika diberikan R maka ada K = K() > a sedemikian sehingga untuk x > Kmaka f(x) > .

4.3.14 Teorema

Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.pernyataan dibawah ini ekuivalen :

1. LfLimx

2. Untuk barisan (xn) di (a,), sedemikian sehingga lim (xn) = maka lim (f(xn)) =


25/26

4.3.15. Teorema

Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.dimana g(x) > 0 untuk x > a dan untuk LR. L 0 maka

Lxg

xfLimx

)(

)(

1. Jika L > 0 maka fLim

x jika dan hanya jika

gLim

x

2. Jika L < 0 maka

fLimx

jika dan hanya jika

gLimx

Bukti :

Karena L > 0. Hipotesisi ini ada a1 > a maka :

Lxg

xfL

23

21

)(

)(0

untuk x > a1

Karena ( L)g(x) < f(x) < (3L/2) g(x) untuk x > a1 dari kesimpulan ini maka

terbukti.

Contoh :

1.

n

xxLim Untuk nN

Jawab :

Ambil g(x) = xn

untuk x(0,). Diberikan R, ambil K = sup [1,].Kemudian untuk semua x > K. maka g(x) = x

n

x > . Karena R maka

n

xxLim

2.

n

xxLim Untuk nN, n genap dan

n

xxLim Untuk nN, n ganjil

Jawab :

Karena n ganjil maka n = 2k+1 dengan k = 0,1,..

Diberikan R, ambil K = inf{,-1}. Untuk x


26/26

xn

= (x2)k x < . Karena R maka

n

xxLim

3. Ambil p : R R adalah fungsi polinomial :p(x) = anx

n +an-1x

n-1 + + a1x + a0

kemudian pLim

xjika an

> 0 dan

pLim

x jika an

< 0

ambil g(x) = xn

dan gunakan teorema 4.3.15 karena

nnnnx

ax

ax

aaxg

xp 11...

1

)(

)(0111

sedemikian sehingga nx

axgxpLim

))(/)(( karena gLim

xberlaku

teorema 4.3.15

4. Ambil p fungsi polinom dari bagian (3). Ada pLim

x(masing-masing -)

Jika n genap dan an > 0.

Limit Terjemahan

Documents

Transcript of Limit Terjemahan