8/3/2019 Limit Terjemahan

1/26

4.1. FUNGSI LIMIT

Definisi 4.1.1

A R. Titikc R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap > 0 ada paling

sedikit satu titik di xA, x c sedemikian sehingga | x c | < .

Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :

Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau

ditulis (c) yaitu :

(c) = { x

R ; | xc | < }= - < x c <

= c < x < c +

V(c) = ( c , c + ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda

dengan c.

Catatan : A R, c titik limit dari A jika V(c) A yang berbeda dari c

Teorema 4.1.2

Bilangan real c adalah titik limit dari A, A R, jika dan hanya jika ada barisan

(an) dalam A dan an c, nN sedemikian hingga lim (an) = c

Bukti :

() A R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan

ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hinggalim (an) = c

c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n N, persekitaran

1/n dari c, yaitu V1/n(c) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang

berbeda dengan c. Jika an,n N merupakan titik-titik tersebut, maka an

A, an c, dan lim (an) = c. (terbukti)

() Jika ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hingga

lim (an) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

8/3/2019 Limit Terjemahan

2/26

(an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,

artinya untuk sembarang > 0, K N, sehingga jika n K(), maka an

(c). Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, (c) yang memuat

titik-titik an, n K(), an A dan an c. Jadi, c merupakan titik limit

dari A.

DEFINISI LIMIT

4.1.4. Definisi

A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan

limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x A

dan 0 < | xc | < maka | f(x) L | < .

Catatan :

a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga kadang-kadang ditulis dengan ().

b. Ketaksamaan 0 < | xc | adalah ekuivalen dapat dikatakan x cJika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan

ditulis :

)(xfLimLcx atau fLimL

cx

dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c

Teorema 4.1.5

Jika f : A R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.

Bukti :

Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 L2

Pilih > 0, sehingga

L1merupakan limit f di c maka ada 1(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 1(/2) maka

| f(x)L1| < /2

L2merupakan limit f di c maka ada 2(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 2(/2) maka

| f(x)L2| < /2

8/3/2019 Limit Terjemahan

3/26

Ambil = min{ 1(/2), 2(/2) } maka jika x A dan 0 < | x c | < , dengan

ketaksamaan segitiga didapatkan :| L1L2| | L1f(x) | + | f(x) - L2| < /2 + /2 =

Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1L2 = 0 jadi L1 = L2

Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena

V(c) = ( c, c + ) = { x R ; | xc | < }

Ketaksamaan segitiga 0 < | xc | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan

x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan | f(x)L1 | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa f(x) berbeda ke persekitaran V(L) dari L.

y

x

((((

((((

( ( ( (((((

DiberikanV(L)

L

cadaV(c)

4.1.6 Teorema

Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah

ini :

1. LxfLimcx

)(

2. Diberikan persekitaran- V(L) dari L, ada persekitaran- V(c) sedemikiansehingga jika x c adalah titik V(L) A, x c, maka f(x)V(L).

8/3/2019 Limit Terjemahan

4/26

Contoh :

1. bbLimcx

Bukti :

Tampak bahwa f(x) = bx R. akan ditunjukkan bbLimcx

Jika > 0, ambil = 1, sehingga jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b|

= 0 < . Terbukti karena > 0 maka dapat disimpulkan bbLimcx

2. cxLimcx

Bukti :

g(x) = x xR. Jika > 0, ambil = , sehingga jika 0 < |x - c| < maka

diperoleh

|g(x)c| = |x -c| < . Karena > 0 maka terbukti bahwa cxLimcx

.

3.22

cxLimcx

Bukti :

h(x) = x2

x R. Untuk menunjukkan22

cxLimcx , maka harus

ditunjukkan : |h(x)c2| = |x

2-c

2| <

Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.

Dimana x2

- c2

= (x+c) (x-c) Jika |x - c| < 1.

Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :

|x| |c| + 1 sehingga |x + c| |x| + |c| 2|c| + 1

jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :

(*) | x2-c2| = |x+c||x-c| (2|c| +1) | xc |

dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .

Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < /(2|c| + 1).

Oleh karena itu, pilih () = inf (1||2

,1c

)

sehingga jika 0 < |x - c| < () maka memenuhi:

|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh

| x2

-c2

| /(2|c| + 1) |x - c| < .

8/3/2019 Limit Terjemahan

5/26

Karena nilai () > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai > 0,

maka terbukti bahwa

22

cxLimcx

4. tunjukkan 15)2(2

3

xxLimx

Bukti :

Ambil f(x) = x2+2x, Rx

Maka 15)(xf

Akdib : 35)3)(5(1522 xxxxxx

Misal =1 13 x atau )4,2(x

Jadi )9,7(5x atau 95 x

9)3)(5(1522 xxxx jika 30 x

Ambil sebarang > 0, pilih min

9,1

Jadi, 351522 xxxx

5.5

5

Jadi terbukti

Kriteria Barisan Untuk Limit

4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)

f : A R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :

(i) LxfLimcx

)(

(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga

xn c, n N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L

Bukti :

(i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam

A dengan lim(xn) = c dan xn c, n N. Kita harus menunjukkan bahwa

8/3/2019 Limit Terjemahan

6/26

barisan (f(xn)) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4),

jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x A memenuhi

0 0, K() N, sehingga untuk n

K() berlaku |xnc |. Tetapi setiap xn memenuhi |f(x) - L| < . Jadi, jika n

K() maka berlaku |f(xn) - L| < artinya barisan (f(xn)) konvergen ke L.

(ii) (i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan

mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.Andaikan LxfLim

cx

)( maka akan ada persekitaran-0 dari L, V0(L) sehingga

untuk setiap persekitaran- dari c, V0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit

satu nilai x A V0(c) dengan x c, f(x) V0(L). Oleh karena itu, n

N, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

0 < | xn - c| < 1/n dan xn A Tetapi, |f(xn) - L| 0, n N.

Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A{c}

yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.

Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat

kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.

Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit

fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.

Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu

bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan

Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2

mempunyai limit :2

)( cxhLimcx

Kriteria Divergensi

8/3/2019 Limit Terjemahan

7/26

Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari

suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada

suatu titik.

4.1.9 Kriteria Divergensi

A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A.

a. Jika L R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika adabarisan (xn) dalam A, xn c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c,

tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke L.b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, xn

c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di

R.

Contoh :

1. x

xLim 1

0tidak ada di R.

Bukti :

Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n N, maka lim (xn) = 0,

tetapi (xn) = 1/ (1/n) = n, dan barisan ((xn)) =(n) merupakan barisan yang

tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9

(b) disimpulkan bahwa x

xLim 1

0tidak ada di R.

2. )sgn(0

xLimx

tidak ada.

Bukti :

Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :

01

00

01

)sgn(

xuntuk

xuntuk

xuntuk

x

Ingat bahwa sgn(x) = x / |x| untuk x 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan

ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan

ditunjukkan )sgn(0

xLimx

tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)

dan lim (xn) = 0, tetapi (sgn(xn)) tidak konvergen.

8/3/2019 Limit Terjemahan

8/26

(

)

1

-1

Fungsi signum

Ambil xn = (-1)n /n untuk n N, maka lim (xn) = 0 dan

sgn(xn) = (-1)n untuk n N,

Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(xn) tidak konvergen. Jadi, )sgn(0

xLimx

tidak ada.

3. x

xLim 1

0