TUGAS KALKULUS

NILAI HAMPIRAN DAN LIMIT TAK HINGGA

KELOMPOK 5

IMAROTUL AMALIAH

MEGA PUSPITA DEWI

MUSTOFA KAMAL SYARIFUDIN

NURUL FAUZIAH RISKIANI

SHINTYA INDAH PERMATASARI

FKIP/ PENDIDIKAN MATEMATIKA 1B

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. Dr. HAMKA JAKARATA 2011

NILAI HAMPIRAN DAN LIMIT TAK HINGGALIMIT FUNGSI

Limit Fungsi. Limit fungsi f(x) merupakan nilai hampiran dari f(x) untuk nilai x mendekati nilai tertentu misal x=a. Bentuk umum : Lim f(x)

x->a

Jika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut juga mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :

1. Limit penjumlahan fungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

2. Limit selisih fungsi merupakan selisih limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

3. Limit perkalian fungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

4. Limit pembagian fungsi merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.

lim =

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit hingga adalah limit yang mempunyai nilai hampiran, dan nilai ini menghampiri nilai tersebut. spt X 0 atau X 1 dan lain-lain.

Contoh :

Limit Tak HinggaLimit tak hingga adalah limit yang tidak memiliki nilai hampiran. Dan limit tersebut tidak terbatas nilainya. spt limit x

Contoh:

1. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai TertentuMenentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a. SubtitusiPerhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai

EMBED Equation.3 !

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 8 dekat pada 32 8 =9 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:a) Jika f (a) = c, maka

b) Jika f (a) =

EMBED Equation.3 , maka

c) Jika f (a) = , maka

b. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

Jadi, =

=

= 3 + 3 = 6

c. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Penyelesaian:

=

=

=

=

=

= 1 . 0

= 0

d. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !Penyelesaian:

= .

=

=

=

= =

= = =

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak BerhinggaBentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

dan

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:a. Membagi dengan pangkat tertinggiCara ini digunakan untuk mencari nilai. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

a.

b.

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

=

=

=

=

=

= 2

b. Perhatikan fungsi h (x) = ! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 2. jadi, untuk menentukan nilai maka fungsi 4x + 1 dan x2 2 harus dibagi dengan x2 .

=

=

=

=

=

= 0b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan . Jika kita dimitai menyelesaikan maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:

.

= ataupun sebaliknya.Contoh:

Tentukan nilai dari

Penyelesaian:

= .

=

= =

= =

B. TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:1.

2.

3. f (x) = kf (x)4. [f (x) g (x)] = f (x) g (x)5. v [f (x) . g (x)] = f (x) . g (x)

6. , dimana g(x) 07. [f (x) ]n = [f (x)]n8. dimana

f (x) 0 untuk n bilangan genap

f (x) 0 untuk n bilangan ganjilContoh:

Carilah a. !b.

Penyelesaian:

a) = (teorema 4)

= 3

(teorema 3)

= 3

(teorema 7)

= 3. (4)2 4 (teorema 2)

= 3. 16 4 = 44b) =

(teorema 6)

=

(teorema 8 dan 3)

=

(teorema 4)

=

(teorema 7)

=

(teorema 1 dan 2)

= = =

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri:

a. Limit fungsi sinus

1.

2.

3.

4.

b. Limit fungsi tangens

1.

2.

3.

4.

Contoh:Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!a.

b.

Penyelesaian:a. =

=

= 1 . =

b. =

=

= 1. 1 . =

Daftar Pustaka

Robiyatun, Alifah, Sinar(Siswa Rajin Belajar) (Sinar Mandiri: Klaten. tt)Sudrajat, Asep, Prestasi Matematika 2 (Ganeca Axact: Bandung. 2000)http://opanlab.com/matematika/limit/limit-fungsi-aljabar-tak-terhingga.php

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

14

_1291786779.unknown

_1291867374.unknown

_1291867651.unknown

_1291867963.unknown

_1291868284.unknown

_1291868354.unknown

_1291868454.unknown

_1291868507.unknown

_1291868541.unknown

_1386491377.unknown

_1386491529.unknown

_1386491376.unknown

_1291868524.unknown

_1291868477.unknown

_1291868402.unknown

_1291868429.unknown

_1291868386.unknown

_1291868319.unknown

_1291868337.unknown

_1291868301.unknown

_1291868179.unknown

_1291868249.unknown

_1291868265.unknown

_1291868229.unknown

_1291868034.unknown

_1291868053.unknown

_1291868004.unknown

_1291867806.unknown

_1291867864.unknown

_1291867894.unknown

_1291867840.unknown

_1291867707.unknown

_1291867731.unknown

_1291867679.unknown

_1291867506.unknown

_1291867557.unknown

_1291867575.unknown

_1291867603.unknown

_1291867564.unknown

_1291867519.unknown

_1291867527.unknown

_1291867512.unknown

_1291867440.unknown

_1291867454.unknown

_1291867464.unknown

_1291867446.unknown

_1291867416.unknown

_1291867431.unknown

_1291867393.unknown

_1291787897.unknown

_1291788349.unknown

_1291788559.unknown

_1291867270.unknown

_1291867351.unknown

_1291867227.unknown

_1291788410.unknown

_1291788446.unknown

_1291788372.unknown

_1291788054.unknown

_1291788217.unknown

_1291788290.unknown

_1291788150.unknown

_1291787927.unknown

_1291787974.unknown

_1291787430.unknown

_1291787732.unknown

_1291787869.unknown

_1291787799.unknown

_1291787638.unknown

_1291787672.unknown

_1291787609.unknown

_1291787055.unknown

_1291787195.unknown

_1291787235.unknown

_1291787144.unknown

_1291786840.unknown

_1291786948.unknown

_1291786822.unknown

_1290095494.unknown

_1291786002.unknown

_1291786228.unknown

_1291786346.unknown

_1291786518.unknown

_1291786579.unknown

_1291786272.unknown

_1291786121.unknown

_1291786148.unknown

_1291786084.unknown

_1290159947.unknown

_1290183928.unknown

_1291785949.unknown

_1291785962.unknown

_1291785780.unknown

_1290183963.unknown

_1290160047.unknown

_1290181757.unknown

_1290182114.unknown

_1290183902.unknown

_1290182098.unknown

_1290181737.unknown

_1290159981.unknown

_1290097638.unknown

_1290158042.unknown

_1290159860.unknown

_1290097697.unknown

_1290095768.unknown

_1290097417.unknown

_1290095649.unknown

_1290071937.unknown

_1290094869.unknown

_1290095355.unknown

_1290095467.unknown

_1290094882.unknown

_1290072017.unknown

_1290094756.unknown

_1290094806.unknown

_1290071988.unknown

_1290069443.unknown

_1290070943.unknown

_1290071899.unknown

_1290069899.unknown

_1290068423.unknown

_1290069060.unknown

_1222664054.unknown