LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETASVandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas

Statybinių konstrukcijų katedra

Feliksas Mikuckis

MEDŽIAGŲ ATSPARUMASMOKOMOJI KNYGA

KAUNAS, ARDIVA,2008

Feliksas Mikuckis

MEDŽAGŲ ATSPARUMASMokomoji knyga

Recenzavo:doc. Jonas Juodis (LŽŪU Statybinių konstrukcijų katedra)doc. dr. Antanas Pocius (LŽŪU Mechanikos katedra)

Aprobuota:Statybinių konstrukcijų katedros posėdyje 2008 05 29, protokolo Nr. 177Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto tarybos studijų komisijos posėdyje 2008 06 09, protokolo Nr. 27

Kalbą redagavo Laima Jonikienė, Marytė ŽidonienėMaketavo Laurynas ArminasViršelio dailininkas Dainius Radeckas

UDK 539 / 6(075.8)Mi-167

ISBN 978-9955-896-36-4© Feliksas Mikuckis 2008© Lietuvos žemės ūkio universitetas, 2008

3

TURINYS

PRATARMĖ........................................................................................................................51. PAGRINDINĖS SĄVOKOS ..........................................................................................7

1.1. Pagrindiniai medžiagų atsparumo uždaviniai .........................................................71.2. Medžiagų atsparumo raida ......................................................................................71.3. Nagrinėjami objektai ir jų skaičiavimo schemos ....................................................81.4. Apkrovų klasifi kacija ............................................................................................111.5. Vidinės jėgos. Pjūvio metodas. Įrąžos ..................................................................121.6. Įtempiai .................................................................................................................141.7. Deformacijos ir poslinkiai ....................................................................................151.8. Pagrindinės prielaidos ir hipotezės .......................................................................17Kontroliniai klausimai .................................................................................................19

2. TEMPIMAS IR GNIUŽDYMAS .................................................................................202.1. Bendrosios žinios. Ašinių jėgų skaičiavimas ........................................................202.2. Tempiamo ir gniuždomo strypo įtempiai ..............................................................212.3. Tempiamo ir gniuždomo strypo deformacijos ir poslinkiai ..................................222.4. Plastiškų medžiagų mechaninės savybės ..............................................................252.5. Įvairių veiksnių įtaka mechaninėms medžiagų savybėms ....................................302.6. Stiprio atsargos koefi cientas. Leistinieji įtempiai .................................................312.7. Stiprio skaičiavimo metodai .................................................................................332.8. Įtempiai ir deformacijos nuo savojo svorio ..........................................................342.9. Tempiamų ir gniuždomų strypų sistemos .............................................................362.10. Statiškai išsprendžiamų tempiamų ir gniuždomų strypų bei jų sistemų skaičiavimo pavyzdžiai ................................................................................................37Kontroliniai klausimai .................................................................................................46

3. SKERSPJŪVIŲ GEOMETRINIAI RODIKLIAI .........................................................483.1. Bendrosios žinios ..................................................................................................483.2. Skerspjūvio ploto statinis momentas ir jo centras ................................................483.3. Skerspjūvio ploto inercijos ir išcentrinis inercijos momentai ...............................503.4. Inercijos momentai lygiagrečių ašių atžvilgiu ......................................................513.5. Inercijos momentai pasuktų koordinačių ašių atžvilgiu .......................................523.6. Svarbiausiosios ašys ir svarbiausieji inercijos momentai .....................................543.7. Išcentrinio inercijos momento savybės .................................................................563.8. Inercijos spinduliai ir atsparumo momentai..........................................................573.9. Paprasčiausių skerspjūvių geometriniai rodikliai .................................................583.10. Sudėtingo skerspjūvio geometrinių rodiklių skaičiavimo pavyzdys ..................62Kontroliniai klausimai .................................................................................................69

4. LENKIMAS (STIPRUMO SKAIČIAVIMAS) ............................................................714.1. Bendrosios žinios ..................................................................................................714.2. Sijos, atramos, atraminės reakcijos .......................................................................724.3. Sijų įrąžos .............................................................................................................734.4. Lenkimo momento, skersinės jėgos ir išskirstytojo krūvio in tensyvumo ryšys ...754.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas .............................................................................764.6. Sijų įrąžų diagramų savybės .................................................................................80

4

4.7. Normaliniai sijų įtempiai σ4.8. Tangentiniai sijų įtempiai τ ..................................................................................854.9. Normalinių ir tangentinių įtempių sijose palyginimas. Sijų stiprumo skaičiavimas ...894.10. Įtempių būvis skersai lenkiamose sijose. Svarbiausieji įtempiai ........................914.11. Racionalūs sijų skerspjūviai. Vienodo stiprumo sijos .........................................924.12. Sijų skaičiavimo pavyzdžiai ...............................................................................95Kontroliniai klausimai ...............................................................................................103

5. SIJŲ DEFORMACIJOS IR POSLINKIAI(STANDUMO SKAIČIAVIMAS) ..........1055.1. Bendrosios žinios ................................................................................................1055.2. Įlinkiai ir deviacijos ............................................................................................1055.3. Sijos įlinkių kreivės diferencialinė lygtis............................................................1065.4. Kintamo skerspjūvio (vienodo stiprumo) sijų poslinkiai ....................................1095.5. Diferencialiniai ryšiai esant skersiniam lenkimui ...............................................1105.6. Moro metodas sijų poslinkiams skaičiuoti ......................................................... 1115.7. Grafi nis-analitinis metodas poslinkiams skaičiuoti ............................................ 1115.8. Sijų poslinkių skaičiavimo pavyzdžiai ...............................................................1145.9. Tipinės sijų poslinkių formulės ...........................................................................1215.10. Sijų standumo skaičiavimas ..............................................................................125Kontroliniai klausimai ...............................................................................................126

6. SUDĖTINGAS STRYPŲ DEFORMAVIMAS ..........................................................1286.1. Bendrosios žinios ................................................................................................1286.2. Įstrižasis lenkimas ...............................................................................................1306.3. Tempimas arba gniuždymas ir plokščiasis lenkimas ..........................................1326.4. Ekscentrinis gniuždymas (arba tempimas) .........................................................1356.5. Lenkimas ir sukimas ...........................................................................................1396.6. Tempimas arba gniuždymas ir sukimas ..............................................................1416.7. Lenkimas, sukimas ir tempimas arba gniuždymas .............................................1426.8. Laužtinės ašies strypai ........................................................................................1436.9. Laužtinės ašies strypų skaičiavimo pavyzdžiai ..................................................147Kontroliniai klausimai ...............................................................................................158

7. GNIUŽDOMŲ STRYPŲ STABILUMAS..................................................................1607.1. Bendrosios žinios ................................................................................................1607.2. Oilerio formulė ...................................................................................................1627.3. Oilerio formulės galiojimo ribos.........................................................................1647.4. Skerspjūvių formos racionalumas .......................................................................1677.5. Praktinis gniuždomųjų strypų (kolonų) stabilumo skaičiavimas ........................167Kontroliniai klausimai ...............................................................................................175

PRIEDAI .........................................................................................................................176LITERATŪRA ................................................................................................................181

5

PRATARMĖ

Projektuojant įvairius inžinerinius statinius nustatomi atskirų konstrukcijų elementų matmenys. Tai atliekama atitinkamų skaičiavimų metu, kurių tikslas – parinkti tokius ma-tmenis, kad elementas kartu su visa konstrukcija, o galutinai – ir visas statinys būtų stiprus, standus, stabilus, ekonomiškas bei ilgai ir patikimai naudojamas.

Šiuos klausimus nagrinėja keletas mokomųjų dalykų, iš jų pagrindinis – medžiagų atsparumas (konstrukcijų elementų mechanika). Šis dalykas plačiai taikomas inžinerinė-je praktikoje, todėl dėstomas visose aukštosiose mokyklose, kurias baigusių absolventų įgyta kvalifi kacija susijusi su inžinerija. Taigi, medžiagų atsparumas traktuojamas kaip būsimojo inžinieriaus „abėcėlė“. Jis iš esmės pradeda formuoti inžinerinį mąstymą ir nuovoką. Ypač šis dalykas svarbus statybinių specialybių, kartu ir būsimiems hidrotech-nikos specialybės, studentams. Mokantis šio dalyko būtinos elementarios matematikos, fi zikos, teorinės mechanikos žinios.

Kitose Lietuvos aukštosiose mokyklose medžiagų atsparumo mokymui skiriami ne mažiau kaip 6 kreditai. Pagal LŽŪU patvirtintas programas, inžinerinių specialybių stu-dentų šio dalyko mokymui skiriama tik 3–4 kreditai, todėl tikslinga turėti mokomąją kny-gą, kurioje glaustai būtų pateikta pagrindinė šio mokomojo dalyko medžiaga.

Knygą sudaro septyni skyriai, kiekvienas iš jų pagal reikalą suskirstytas į atitinkamą skaičių poskyrių. Medžiagos pateikimo forma – nuo paprasto iki sudėtingo: pagrindinės są-vokos, tempimas ir gniuždymas, skerspjūvių geometriniai rodikliai, lenkimas, sijų deforma-cijos ir poslinkiai, sudėtingas strypų deformavimas, gniuždomų strypų stabilumas.

Kiekvienas skyrius pradedamas poskyriais „Bendrosios žinios“, kuriuose pateikiami ele-mentarūs teiginiai nagrinėtina tema, trumpai primenama jau anksčiau išnagrinėta medžiaga, kuria bus remiamasi. Vėlesniuose poskyriuose glaustai supažindinama su teorine medžiaga ir su kon-krečiomis formulėmis, metodiniais patarimais ir uždavinių sprendimo pavyzdžiais. Tikimasi, kad taip pateikta medžiaga, gausiai iliustruota autoriaus rankiniu būdu braižytais paveikslais, padės geriau atsiminti, suprasti ir įsisavinti pagrindines teorines žinias, apmąstyti atitinkamo tipo užda-vinio sprendimo metodiką, taip sukaupiant pakankamai žinių savarankiškai atlikti skaičiavimo-projektavimo užduotis. Kiekvieno skyriaus pabaigoje pateikiami kontroliniai klausimai teorinių žinių įvertinimui. Studentai gali pasitikrinti ar jau sugeba į juos atsakyti.

Medžiagų atsparumo neįmanoma išmokti nesprendžiant uždavinių. Visi uždaviniai, kurių nuosekli sprendimo eiga pateikiama kiekvieno skyriaus (išskyrus pirmąjį) pabaigoje, parinkti pagal šio dalyko programoje nurodytą skaičiavimo-projektavimo darbų tematiką. Sprendžiant uždavinius kai kur praleisti tarpiniai aritmetiniai veiksmai, tačiau įterpti žodiniai paaiškinimai. Visi dydžiai pateikiami tarptautinės matavimo sistemos (SI) vienetais.

Per semestrą studentai atlieka tris individualias skaičiavimo-projektavimo užduotis (dar-bus). Pirmąją ir trečiąją užduotis sudaro po du atskirus uždavinius. Kiekvienas uždavinys atlie-kamas per dvi savaites nuo jo galutinio išsiaiškinimo pabaigos. Darbai atliekami A4 formato popieriaus lapuose rašant tik vienoje jų pusėje bet kokia rašymo priemone, – minkštu pieštuku, tušinuku ir t.t. Sudėtingesni brėžiniai, schemos bei diagramos gali būti braižomos skirtingų spalvų linijomis ir ant milimetrinio popieriaus lapų. Kiekvieną darbą (darbo uždavinį) sudaro pagal žinomus reikalavimus įrėminti susegti lapai. Pirmojo lapo viršuje braižoma antraštinė lentelė, kurioje įrašomi dėstytojo nurodomi duomenys. Žemiau jos įklijuojama studentui įteikta

6

individuali užduotis. Jos apačioje turi būti užrašomi bendri papildomi duomenys, jeigu dėsty-tojas tokius pateikia.

Kiekvieno uždavinio sprendimas pradedamas nuo skaičiuojamosios schemos nubraižymo: 1-os užduoties uždaviniams schemos perbraižomos iš užduočių, tik padidintos; 2-os užduoties sche-ma braižoma ant atskiro lapo masteliu M 1:1 arba M 1:2 (priklausomai nuo užduoties duomenų); 3-ios užduoties uždavinių schemos braižomos masteliu M 1:50, M 1:100 arba M 1:200 (priklauso-mai nuo užduoties duomenų). Skaičiavimo metu įrąžų diagramoms sudaryti bei poslinkiams nusta-tyti masteliai turi būti užrašomi taip: ilgių mastelis – mL = 1 m/cm, jėgų mastelis – mf = 10 kN/cm, momentų mastelis – mm = 20 kN·m/cm, įtempių mastelis – mσ = 50 MPa/cm, poslinkių mastelis – m∆ = 0,1·10-3 m/cm ir pan. (skaitinės jų reikšmės priimamos priklausomai nuo duomenų).

Žemiau pateikiami atitinkami skaičiavimai su jų etapų pavadinimais, trumpu aiškinamuoju tekstu, priklausančiomis schemomis, diagramomis ir kt.

Apskaičiuojant reikalingus dydžius pirmiausia užrašoma atitinkama algebrinė išraiš-ka, po to jos simbolių vietoje įrašomi skaičiai ir po to – skaitmeninis atsakymas laikantis dėstytojo nurodyto reikšmingų ženklų tikslumo. Kiekvienas rezultatas (fi zikinis dydis) už-rašomas nurodant jo matavimo vienetus (dimensijas).

Suprantama, svarbu gauti teisingą galutinį skaičiavimo rezultatą, tam užtektų panaudoti šiuo metu projektavimo praktikoje plačiai taikomas kompiuterines programas. Tačiau studentams būtina suvokti elemento patikimumo priežastis, svarbius įvairių parametrų santykius, suprasti fi -zikinę-mechaninę šių reiškinių prasmę, o tai neįmanoma neturint tarpinių skaičiavimo rezulta-tų. Vadinasi studentas palyginti labai paprastų skaičiavimo algoritmų uždavinius privalo mokėti spręsti rankiniu būdu. Tarpiniams rezultatams, kurie suderinti su individualių darbų užduotimis, patikrinti LŽŪU Statybinių konstrukcijų katedroje sukurta originali kompiuterinė programa. Ją sudaro 4 skaičiuojamieji moduliai, skirti tempiamiems ir gniuždomiems strypams projektuoti, skerspjūvių geometriniams rodikliams nustatyti, lenkiamiems ir klupdomiems elementams pro-jektuoti. Programos modulius galima modifi kuoti pateikiant spausdinti užduočių tekstus ir visų tarpinių skaičiavimo rezultatų lenteles (dėstytojui) arba tik kai kuriuos tarpinių skaičiavimų rezul-tatus savarankiškai studentų savikontrolei. Tarpinių skaičiavimo rezultatų dažnis dėstytojo gali būti reguliuojamas priklausomai nuo studentų pasiruošimo studijuoti šį dalyką lygio.

Priimant paruoštą darbą dėstytojas, pažymi jo įteikimo datą, patikrina ir įvertina pažy-miu, užrašomu kartu su parašu. Pažymys priklauso ne tik nuo uždavinio sprendimo teisingu-mo ir įteikimo termino, bet ir nuo sprendimo nuoseklumo, tvarkingumo bei techninio įformi-nimo. Jei darbas atliktas neteisingai (visiškai ar dalinai neatlikti tarpinių rezultatų tikrinimai), jis grąžinamas studentui taisyti ir vėl atiduodamas dėstytojui tikrinti. Klaidos taisomos šva-rioje lapo pusėje, greta taisytinos vietos. Įvertinti darbai laikinai grąžinami studentams.

Semestro pabaigoje visi individualūs darbai ir laboratoriniai darbai susegami titu-liniame lape užrašant „Medžiagų atsparumo skaičiavimo-projektavimo ir laboratoriniai darbai“. Atsiskaitymo metu darbai turi būti ginami.

Ši knyga parengta pagal Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto hidrotechnikos inžine-rijos ir vandens apsaugos inžinerijos ir valdymo programą, skirtą pagrindinių universitetinių studijų bakalaurams, bet ja gali naudotis ir Žemės ūkio inžinerijos fakulteto bakalaurai. Ypač ji turėtų būti naudinga neakivaizdininkams ir tęstinių bei nenuosekliųjų studijų studentams.

Autorius

7

1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

1.1. Pagrindiniai medžiagų atsparumo uždaviniai

Dauguma atitinkamą tūrį užimančių žmogaus kūrybos produktų vadinami inžineri-niais statiniais (pastatai, tiltai, paminklai, mašinos ir kt.). Pastatus (pagal paskirtį skirs-tomus į gyvenamuosius, visuomeninius ir gamybinius) sudaro konstrukcijos – pamatai, sienos, perdenginiai, stogai). Kiekvieną konstrukciją savo ruožtu sudaro atskiri elementai, pvz., perdenginius – plokštės, pamatus – blokai, banketės ir t.t.

Elementus veikia įvairios ardantį poveikį turinčios išorinės apkrovos. Reikia, kad elementai bei visa konstrukcija sugebėtų priešintis tam poveikiui ir užtikrintų patikimą (ilgaamžį ir neavarinį) pastato naudojimą. Dėl to elementui keliami šie reikalavimai:

– stiprumas – savybė nesuirti veikiant jį išorinėms apkrovoms;– standumas – savybė priešintis deformuojamam apkrovų poveikiui, t.y. deformuotis

(keisti matmenis ir formą) neviršijant nustatytų ribų;– stabilumas – savybė išlaikyti jam gamybos metu suteiktą pusiausvyros formą per

visą naudojimo laiką. Be to, elementai turi būti pigūs, lengvi ir ekonomiški. Patikimumas ir ekonomišku-

mas yra priešybės, nes pagal pirmą sąlygą reikia elemento skerspjūvio matmenis didinti, o pagal antrą – mažinti. Apskritai nėra absoliučiai stipraus, standaus ir stabilaus elemento, todėl medžiagų atsparumas kelia tokius uždavinius: nagrinėti ir tobulinti elementų stipru-mo, standumo ir stabilumo skaičiavimo metodus, pagal kuriuos būtų galima parinkti pa-kankamai patikimus ir ekonomiškus elementų skerspjūvių matmenis; rekomenduoti jiems atitinkamas medžiagas; nustatyti jų laikomąją galią ir spręsti kitus klausimus.

Medžiagų atsparumas susijęs su matematika, fi zika, teorine mechanika, tačiau, skir-tingai nei pastarasis, nagrinėja ne absoliučiai kietus, o realius deformuojamus kūnus. Iš tikrųjų deformacijos metu kūno viduje vyksta procesai, kurių medžiagų atsparumas ne-tiria, – jie yra fi zikos tyrimų objektas. Medžiagų atsparumui svarbesnės ne fi zikinės, bet mechaninės medžiagų savybės nustatomos laboratoriniais bandymais. Be to, jais patikri-namos medžiagų atsparumo teorinės išvados.

Nustatant medžiagų atsparumą naudojami tiksliaisiais mokslais grindžiami, bet supa-prastinti skaičiavimo metodai, kurių visiškai pakanka inžinerinei praktikai. Supaprastinti metodai gaunami įvertinus atitinkamas prielaidas bei hipotezes.

1.2. Medžiagų atsparumo raida

Sudėtingus statinius žmonės statė jau gilioje senovėje, todėl jau tada domėtasi kie-tųjų kūnų savybėmis. Tačiau avarijos ir net katastrofos (žinomos istorijai) rodo, kad nebuvo bendrai priimtų statinių konstravimo-skaičiavimo principų. Kaupiama patirtis buvo perduodama iš kartos į kartą.

Neskaitant Archimedo (apie 287–212 m. pr. Kr.), tyrinėjusio svertus ir kūrusio kėlimo mechanizmus, taip pat genialaus italų mokslininko Leonardo da Vinči (1452–1519), savo darbuose išreiškusio teisingas mintis apie medžiagų atsparumą, pirmuoju medžiagų atsparu-

8

mo mokslo pradininku yra laikomas italų mokslininkas Galilėjas Galilėjus (1564–1642). Jis 1638 m. paskelbė veikalą, kuriame dialogo forma nagrinėjo elementarius medžiagų atspa-rumo klausimus. Leonardo da Vinči darbai buvo surasti vėliau nei buvo pripažintas Galilėjo Galilėjus. Prie tolesnio šio mokslo vystymosi prisidėjo įvairių šalių mokslininkai: anglas R.Hukas (1635–1703), prancūzas E.Mariotas (1620–1684), šveicarai broliai Bernuliai; vieno iš jų sūnus D.Bernulis (1700–1782) Peterburge įkurtoje Rusijos mokslų ir dailės akademijoje 1724 m. išvedė diferencialinę lygtį, kurią pritaikė lenkiamų sijų deformacijoms skaičiuoti. Vėliau ją tobulino Leonardas Oileris.

XVIII a. jau buvo steigiamos inžinerijos mokyklos, kuriose nagrinėti medžiagų at-sparumo mokslo dėsniai; jas baigę inžinieriai, naudodami įgytas žinias praktikoje, pradėjo išsamiau tirti medžiagų savybes, tobulinti medžiagų atsparumo teorijos pagrindus.

1826 m. prancūzų mokslininkas Anri Navjė (1785–1836) išleido pirmą susistemintą medžiagų atsparumo vadovėlį.

XIX a. intensyviai vystėsi pramonė, ir imta domėtis matematine tamprumo teorija. Šio-je srityje dirbo prancūzai O.L.Koši (1789–1857), D.Puasonas (1781–1840), Barė Sen Venanas (1797–1886). Labai svarbūs rusų inžinieriaus tiltų statytojo Dmitrijaus Žuravskio (1821–1991) darbai, kuriuose pagrindžiamas lenkiamų sijų tangentinių įtempių skaičiavimo metodas (naudo-jamas iki šiol). Peterburgo kelių institutą baigęs Vilniaus miesto inžinierius Feliksas Jasinskis (1856-1899) aprašė klupdomų strypų stabilumą.

XX a. pradžioje formavosi naujos mechanikos kryptys; spartėjo ir medžiagų atspa-rumo mokslo raida, – buvo tiriama įtempių koncentracija, trapių medžiagų irimas, di-naminiai, smūginiai, kontaktiniai įtempiai, stabilumas, nuovargis, valkšnumas, sukurtos plokščių santvarų, kevalų teorijos ir kt.

Medžiagų atsparumo srityje nemažai nuveikė ir Lietuvos mokslininkai: 1935 m. pir-mąjį vadovėlį lietuvių kalba parašęs akademikas Kazimieras Vasiliauskas, Kauno politech-nikos instituto profesoriai J.Baušys, M.Daunys, J.Slavėnas ir VISI mokslininkai A.Čyras, A.Čižas, A.Kudzys, tyrę medžiagų savybes, statybinių konstrukcijų atsparumą.

1.3. Nagrinėjami objektai ir jų skaičiavimo schemos

Konstrukcijų elementai yra įvairių geometrinių formų. Sukurti paprastą skaičiavi-mo metodą, kuris tiktų bet kokios formos elementui, neįmanoma, todėl medžiagų atspa-rumas nagrinėja schematinius supaprastintos formos elementus, kurie skirstomi į stry-pus, kevalus ir masyvus (1.1 pav.).

Elementai, kurių skerspjūvių matmenys (matmuo) yra maži, palyginus su jų ilgiais, vadinami strypais. Jie būna tiesūs, kreivi, vienodo ir kintamo, simetriško ir nesimetriško skerspjūvio. Dažniausiai naudojami vienodo simetriško įvairių skerspjūvio formų (kva-drato, stačiakampio, skritulio, žiedo, trikampio ir kt.) strypai. Linija, jungianti visų strypo skersinių pjūvių centrus, vadinama strypo ašimi.

Elementai, kurių vienas matmuo (storis) yra mažas, palyginus su kitais matmenimis, vadinami kevalais. Kevalai, apriboti plokštumomis, vadinami plokštėmis. Kevalo pavyz-dys – skliautinė perdanga, lėktuvo sparnas; plokštės pavyzdys – pastato perdanga ir kt.

Elementai, kurių matmenys visomis kryptimis yra vienos eilės dydžiai, vadinami masyvais (pamatai po aukštais bokštais, hidroelektrinių užtvankos ir kt.).

9

1.1 pav .

Elementariame medžiagų atsparumo kurse dažniausiai nagrinėjami vienodo skers-pjūvio strypai, iš tokių strypų sudarytos konstrukcijos ir nesudėtingos formos plokštės.

Konstrukcijos, sudarytos iš kelių strypų, vadinamos strypų sistemomis. Jos būna vienaašės (laiptuoti strypai), bendraašės (g/b kolonos) ir sistemos, kuriose atskirų strypų ašys neina viena tiese (žr. 2.9 poskyr.).

Pradedant skaičiuoti elementus pirmiausia sudaroma ir nubraižoma jų skaičiuo-jamoji schema, – tai sutartinis supaprastintas realaus objekto (elemento), jo atramų ir apkrovų grafi nis atvaizdas (arba aprašymas).

Schematizuojama:1) konstrukcijos elemento geometrinė forma, tai yra jie vaizduojami viena linija

– jų geometrine ašimi, o kreivi elementai – linija, einančia per jų skerspjūvių vidurį;

2) atramos (1.2 pav.).

1.2 pav.

3) konstrukcinės medžiagos. Elementams gaminti naudojamos įvairios medžiagos: akmuo, medis, metalas, betonas, plastikai ir įvairūs kompozitai. Visos jos pasi-žymi skirtingomis savybėmis, kurias, taikant tuos pačius skaičiavimo metodus, įvertinti sunku. Todėl daromos atitinkamos prielaidos, neturinčios žymesnės įta-kos galutiniams rezultatams. Svarbiausios iš jų – medžiagos vientisumas, viena-lytiškumas (homogeniškumas) ir izotropiškumas. Nors žinoma, kad tarp medžia-gos mikrodalelių yra tarpų, priimama, kad medžiaga visiškai užpildo tūrį, yra vientisa, t.y. neatsižvelgiama į atominę medžiagos sudėtį. Ši prielaida leidžia iš deformuojamo kūno (elemento) tariamai išpjauti be galo mažą medžiagos gaba-lėlį, jį atskirai nagrinėti ir gautas išvadas taikyti visam elementui.

10

Medžiagos laikomos vienalytėmis, t.y. priimama, kad jų savybės visuose kūno taškuose yra vienodos, nors iš tikrųjų netgi plieno kristalinė sandara nėra visur vi-siškai vienoda.

Medžiagos taip pat laikomos izotropinėmis, t.y. visomis kryptimis turinčiomis vie-nodas fi zikines-mechanines savybes (el. laidumas, šilumos laidumas, temperatūrinis plė-timasis ir kt.). Medžiagos, nepasižyminčios tokiomis savybėmis, vadinamos anizotropi-nėmis (mediena, sluoksniuoti plastikai ir kt.).

Apibendrinus galima teigti, kad medžiagų atsparumo objektas – tai bet kokios kons-trukcijos elementas, kurio geometrija yra schematizuota, jis pagamintas iš schematizuotos medžiagos, remiasi į schematizuotas atramas ir yra veikiamas schematizuotų apkrovų.

Dažniausiai medžiagų atsparumas nagrinėja elementus, pagamintus iš idealiai tamprių medžiagų, – pašalinus elementą deformavusią priežastį, dalis deformacijos arba visa defor-macija išnyksta. Dauguma konstrukcijų elementų yra veikiami gana sudėtingai. Pirmiausia medžiagų atsparumo kurse susipažįstama su „grynaisiais“ deformavimo atvejais: tempimu, gniuždymu, kirpimu, paprastuoju lenkimu bei sukimu (1.3 pav.).

1.3 pav.

1.4 paveiksle pateikiami kai kurių skaičiuojamųjų schemų sudarymo pavyzdžiai.

1.4 pav.

11

a/2

Nepaisant schematizacijos, medžiagų atsparumo metodais gauti skaičiavimo rezulta-tai yra teoriškai pagrįsti ir pakankamai tikslūs taikyti realiems elementams bei konstruk-cijoms projektuoti.

1.4. Apkrovų klasifi kacija

Išorinių apkrovų prigimtis labai įvairi – gravitacija, vėjas, vandens slėgis, judančių kūnų inercija, temperatūros pokyčių įtaka ir t.t.

Apskritai visos išorinės apkrovos skirstomos į tūrines ir paviršines. Tūrinėms priskiria-mos tos, kurios veikia kiekvieną konstrukcijos elemento tašką: inercijos jėgos, magnetinės jėgos, savasis svoris (N/m3; kN/m3).

Paviršinės apkrovos – tai jėgos, veikiančios atitinkamą konstrukcijos elemento plotą. Jos skirstomos į koncentruotąsias ir išskirstytąsias (1.5 pav.).

Koncentruotoji (taškinė) jėga veikia vieną konstrukcijos elemento tašką. Tokių realių jėgų nėra, tačiau jomis priimta laikyti jėgas, veikiančias nedidelį elemento plotelį, pvz., traukinio ratas taip veikia bėgį (1.5 pav., a). Koncentruotoji jėga žymima F raide ir matuo-jama niutonais (N), kiloniutonais (kN) ar meganiutonais (MN).

Prie koncentruotųjų apkrovų taip pat priskiriamas jėgų momentas M, kurį su-daro išorinių jėgų pora (1.5 pav., b). Matuojamos kiloniutonmetrais (kN·m), tai pat N·m arba MN·m.

Išskirstytosios (linijinės) apkrovos – tai jėgos, išdėstytos vienoje linijoje (dažniausiai – tiesėje). Realių tokių jėgų taip pat nėra (išskyrus peilio ašmenų poveikį), tačiau jeigu jėgos veikia ilgą ir siaurą elementą ar jo ruožą (pvz., vėjas – stulpą), jų pridėties taškus (be žymesnės paklaidos skaičiavimo rezultatams) galima suvesti į vieną liniją – to elemento ar jo ruožo ašį. Išskirstytąją apkrovą apibūdina jos intensyvumas q, t.y. jėga, tenkanti ele-mento ar jo ruožo ilgio vienetui (N/m; kN/m; MN/m). Išskirstytoji apkrova būna tolygaus (vienodo) ir netolygaus (kintamo) intensyvumo (1.5 pav., c).

Kai nustatyta kiekvienos jėgos veikimo vieta, kryptis ir didumas ir sudaryta skaičiuo-jamoji schema, jėgų prigimtis nesvarbi.

a b c

1.5 pav.

Pagal veikimo laiką apkrovos skirstomos į pastoviąsias ir laikinąsias, o pagal veiki-mo pobūdį – į statines ir dinamines.

12

Statine vadinama tokia apkrova, kuri lėtai ir tolygiai didėja nuo nulinės iki galutinės savo reikšmės, kurią pasiekusi tampa pastovia (pvz., statomų pastatų svoris, veikiantis pamatą). Statinių apkrovų veikiami konstrukcijų elementai pagreičio neįgyja. Statinės lai-kinosios apkrovos pavyzdys – sniegas ant stogo.

Dinaminė apkrova ta, kurios didumas, kryptis arba pridėties vieta greitai kinta ir dėl to konstrukcijos elementui suteikia pastebimą pagreitį. Dėl šių pagreičių atsiranda papildomų inercijos jėgų.

Dinaminės apkrovos skirstomos į staigiąsias (transporto priemonės užvažiavimas ant tilto) ir smūgines (atsirandančias dėl laisvai krintančių kūnų pagreičio). Dėsningai kin-tančios dinaminės apkrovos vadinamos ciklinėmis, pvz., dujų slėgis, veikiantis alkūninio veleno guolius vidaus degimo variklyje.

Dinaminės apkrovos labai pavojingos konstrukcijai, nes jų poveikis, palyginus su statinėmis, būna nuo kelių iki keliasdešimt kartų didesnis.

Visos išorinės apkrovos (jėgos) dar vadinamos aktyviosiomis. Kadangi visi ele-mentai įtvirtinami arba remiasi į kitus kūnus (elementus) konstrukcijoje, juose sukelia pasyviąsias jėgas (reakcijas).

Teorinėje mechanikoje taip pat buvo nagrinėjamos išorinės jėgos, tačiau jos veikė absoliučiai standų, nesideformuojantį kūną. Todėl medžiagų atsparume negalima taikyti kai kurių teorinėje mechanikoje priimtų teiginių:

– negalima jėgos perkelti jos veikimo linijoje iš vieno taško į kitą;– negalima momento perkelti jo veikimo plokštumoje;– negalima jėgų sistemos pakeisti kita (ekvivalentine) ar viena atstojamąja.Atliekant šiuos veiksmus pasikeistų deformuojamo kūno deformacijos vaizdas ir dydžiai.

1.5. Vidinės jėgos. Pjūvio metodas. Įrąžos

Iš fi zikos žinoma, kad kietasis kūnas (konstrukcijos elementas) išlaiko savo formą dėl to, kad tarp jo mikrodalelių (atomų, molekulių, kristalų ir t.t.) egzistuoja vidinės sąveikos jėgos.

Paveikus kūną išorinėmis apkrovomis, jis deformuojasi, – nuotoliai tarp mikrodalelių pasikeičia (didėja ir mažėja, – kartu kinta ir vidinių sąveikos jėgų tarp jų didumas).

Taigi, vidinėmis jėgomis vadinamos ne natūraliai egzistuojančios sąveikos jėgų reikš-mės tarp mikrodalelių, o jų pokyčiai, kuriuos sukelia išoriniai poveikiai (išor. apkrovos, tem-peratūros pokyčiai ir kt.). Intensyvėjant išoriniams poveikiams vidinės jėgos taip pat didėja, tačiau ne iki begalybės: joms pasiekus atitinkamas reikšmes, elementas suyra (iš trapių me-džiagų) arba neleistinai deformuojasi (iš plastiškų medžiagų). Todėl nagrinėjant elemento stiprumą, kai yra žinomos jį veikiančios išorinės apkrovos, svarbu nustatyti atsirandančias vidines jėgas. Jos nustatomos pjūvio metodu.

Išorinių apkrovų veikiamą ir pusiausvirąjį elementą tariamu (sąlyginiu) plokščiu pjū-viu (statmenu ašiai) perpjauname į dvi dalis, pvz., K ir D (kairiąją ir dešiniąją) (1.6 pav., a). Kadangi elementas yra pusiausviras, tai ir atskiros jo dalys turi atitikti pusiausvyros sąlygas. Kad taip būtų, dalių pjūviuose turi veikti vidinės jėgos, pagal III Niutono dėsnį (veiksmo ir atoveiksmio) tarpusavyje lygios, bet priešingų krypčių.

Vieną dalį, pvz., D atmetame. Kairiosios dalies pjūvio kiekvieną tašką veikiančias vi-dines jėgas (1.6 pav., b parodyta tik dalis tų jėgų) galima suvesti į pjūvio ploto centrą. Taip

13

gaunamas vidinių jėgų svarbiausiasis vektorius F0 ir svarbiausiasis momentas M0 (1.6 pav., c). Išskaidome juos į komponentus pagal tris erdvi-nės koordinačių sistemos ašis.

Skerspjūvyje veikiančių vidinių jėgų svar-biausiojo vektoriaus ir svarbiausiojo momento komponentai koordinačių ašių atžvilgiu vadi-nami įrąžomis.

Bendruoju atveju gaunamos šešios įrąžos (1.6 pav., d), kurios atitinkamai žymimos ir turi savo pavadinimus:

Nz – elemento išilginės ašies z (skerspjū-vio normalės) kryptimi veikianti įrąža vadina-ma ašine jėga;

Qx, Qy – skerspjūvio plokštumoje esančių ašių x ir y (skerspjūvio tangenčių) kryptimis veikiančios įrąžos vadinamos skersinėmis jė-gomis;

Mx, My – skerspjūvio ašių x ir y atžvilgiu veikiantys vidinių jėgų momentai, vadinami lenkimo momentais;

Tz – skerspjūvio plokštumoje išilginės ašies z atžvilgiu veikiantis vidinių jėgų mo-mentas vadinamas sukimo momentu.

Skerspjūvyje veikiančioms įrąžoms nustatyti naudojamos šešios statinės pusiausvyros lygtys:

00

0

x

y

z

FF

F

⎫=⎪

= ⎬⎪= ⎭

∑∑∑

…(1.1) 00

0

x

y

z

MM

M

⎫=⎪

= ⎬⎪= ⎭

∑∑∑

…(1.2)

Pagal (1.1) lygtis apskaičiuojama ašinė jėga Nz ir skersinės jėgos Qx ir Qy, pagal (1.2) – lenkimo momentai Mx ir My ir sukimo momentas Tz.

Plokščioje (dviašėje) koordinačių sistemoje galima parašyti tik tris statinės pusiaus-vyros lygtis: 0xF =∑ ; 0yF =∑ ; 0iM =∑ .

Jeigu nežinomųjų įrąžų skaičius mažesnis arba lygus galimoms parašyti ir išspręsti statinės pusiausvyros lygtims, uždavinys laikomas statiškai išsprendžiamu, o jei nežinomų-jų skaičius didesnis – uždavinys statiškai neišsprendžiamas.

Teigiamas ašių kryptis dažniausiai nagrinėjamose elemento padėtyse rekomenduoja-ma pasirinkti pagal dešininę Dekarto koordinačių sistemą. Elemento išilginė ašis visuomet sutapatinama su ašimi z. Vertikaliajame elemente teigiama ašies z kryptis – iš apačios į viršų, horizontaliajame – iš kairės į dešinę arba į žiūrovą. Skersinės ašys x ir y statmenos ašiai z. Teigiamos jų kryptys taip pat – iš kairės į dešinę, į viršų arba į žiūrovą. Pasukant x ašį y ašies kryptimi galioja dešinio sraigto taisyklė: įsivaizduojamasis sraigtas (elementas) slenka teigiama ašies z kryptimi (1.7 pav.).

1.6 pav.

14

1.7 pav.

Apskritai koordinačių sistema yra susitarimo dalykas, pvz., ašis y patogumo dėlei gali būti nukreipta ne aukštyn, o žemyn, – skaičiavimo rezultatai nuo to nepriklauso.

1.6. Įtempiai

Vidinės jėgos, kurios bendruoju atveju išreiškiamos šešiomis įrąžomis, nusako tik bendrą jų poveikį nagrinėjamo elemento skerspjūvyje. Vidinių jėgų intensyvumui paly-ginti vartojama įtempio sąvoka.

Įtempiu vadinamas vidinės jėgos, tenkan-čios nagrinėjamo skerspjūvio elementaraus plote-lio vienetui, santykis. Tai yra vektorius, matuoja-mas paskaliais (1 Pa = 1 N/m2; 1 kPa = 1 kN/m2; 1 MPa = 1 MN/m2).

Nustatome įtempį elemento bet kuriame jo pjūvio taške B (1.8 pav.). Jo aplinkoje išskiriame elementarų (labai mažą) plotelį ∆A, kurį veikia labai maža vidinių jėgų atstojamoji ∆R. Vidutinis plotelio įtempis:

vid /p R A= ∆ ∆ . (1.3)

Norint tiksliau nustatyti vidinių jėgų intensy-vumą mažinamas plotelis ∆A. Jam artėjant prie nu-lio mažėja ir jį veikianti vidinė jėga ∆R. Taip gau-namas tikrasis įtempis, kurio vektorius vadinamas pilnuoju įtempiu:

0

lim /A

p R A∆ →

= ∆ ∆ . (1.4)

Pilnasis įtempis yra baigtinis dydis, nes tai dviejų, nykstamai mažėjančių dydžių santykio riba.

Skaičiavimuose dažniausiai naudojamasi ne pilnuoju įtempiu, o jo komponentais. Dėl to vidinių jėgų atstojamąją išskaidome į du komponentus ∆N ir ∆T atitinkamai pagal ašis z ir y.

�N

�

xp

1.8 pav.

15

Įtempio komponentas, statmenas elemento skerspjūviui, vadinamas normaliniu įtempiu σz , nes jo kryptis sutampa su normalės kryptimi:

0

lim / /A

N A dN dA∆ →

= ∆ ∆ =σ . (1.5)

Įtempio komponentas, esantis skerspjūvio plokštumoje ir lygiagretus y ašiai, vadi-namas tangentiniu įtempiu τzy (indeksas z rodo pjūvio normalės kryptį, indeksas y – pa-ties įtempio kryptį):

0

lim / /A

T A dT dA∆ →

τ = ∆ ∆ = . (1.6)

Normalinis įtempis statmenas tangentiniui, todėl pilnasis įtempis gali būti išreiškia-mas taip:

2 2p = σ + τ . (1.7)

Tempiantis strypą (elementą) normalinis įtempis laikomas teigiamu, gniuždantis – neigiamu.

Tangentinis įtempis laikomas teigiamu, kai jis teigiamoje pusėje esančiame pjūvyje vei-kia teigiama ašies kryptimi (arba neigiamoje pusėje esančiame pjūvyje – neigiama kryptimi).

Įtempių matavimo vienetas – paskalis (1Pa = 1N/m2). Kadangi vieno paskalio įtem-pis yra labai mažas, skaičiavimuose įtempiai dažniausiai išreiškiami kilopaskaliais arba megapaskaliais (1 MPa = 1 MN/m2 = 106 Pa).

1.7. Deformacijos ir poslinkiai

Elementui deformuojantis keičiasi jo matmenys ir forma. Deformuotąjį elementą ga-lima apibūdinti dviem parametrais – deformacijomis ir poslinkiais.

Elemento forma ir matmenys keičiasi kintant jo dalelių tarpusavio padėčiai, todėl deformacija yra kūno dalelių tarpusavio padėties pokyčių intensyvumo matas.

Deformacija, kuri elementą nukrovus išnyksta, vadinama tampriąja, o nukrauto kūno (elemento) savybė atgauti pradinę formą ir matmenis vadinama tamprumu.

Deformacija, kuri kūną nukrovus lieka, vadinama plastine, o nukrauto kūno savybė išlikti deformuotam vadinama plastiškumu.

Ta pati medžiaga įvairiomis sąlygomis (temperatūros, slėgio atžvilgiu) gali būti tampri arba plastiška. Deformuojant metalinius strypus dažniausiai vienu metu pasireiškia abi deformacijos.

Geometriniu požiūriu deformacijos būna linijinės ir kampinės. Linijinė deformacija – kūno arba jo dalies linijinių matmenų pasikeitimas, o kampinė deformacija – kampinių matmenų pasikeitimas.

Nedeformuoto kūno bet kuria kryptimi nubrėžta S ilgio tiesės atkarpa AB po kūno deformacijos atsiduria padėtyje A1B1 (1.9 pav., a). Atstumas tarp taškų A ir B padidėja dy-džiu ∆S, kuris vadinamas tos atkarpos absoliutine deformacija. Jos santykis su pradiniu at-karpos ilgiu vadinamas vidutine linijine santykine atkarpos AB deformacija vid /S Sε = ∆ . Mažinant atkarpos ilgį, t.y. artinant tašką B prie taško A, ties nykstamai mažėjančių dydžių riba gaunamas šio santykio baigtinis dydis:

0limS

SS→

∆= ε . (1.8)

16

1.9 pav.

Linijinė santykinė deformacija – nykstamai mažos atkarpos pokyčio ir jos pradinio ilgio santykio riba. Kadangi ji išreiškiama ilgių santykiu, yra santykinis, bematis dydis. Teigiama deformacijos reikšmė gaunama tada, kai nagrinėjama atkarpa ilgėja, neigiama – kai trumpėja. Linijinė deformacija nustatoma ties konkrečiu tašku ir konkrečia kryptimi, kuri dažniausiai nusakoma indeksais pagal koordinačių ašis – , ,x y zε ε ε . Apskritai elemen-tuose deformacijos yra labai mažos, neviršijančios 0,001 (arba 0,1%).

Kampinė deformacija – kampo tarp dviejų tarpusavyje statmenų nykstamai trum-pų atkarpų pokytis (1.9 pav., b). Ji matuojama radianais ir žymima γ:

00

1 1 1lim BAC xyABAC

CAB C A B→→

∠ − ∠ = γ = γ( ) . (1.9)

Kampo pokytis γxy yra taško A kampinė deformacija plokštumos xy atžvilgiu. To paties taško kampinės deformacijos kitų erdvinės sistemos plokštumų atžvilgiu yra skir-tingos, todėl nustatomos ir žymimos atitinkamai γxz ir γyz.

Kadangi, atsiradus kampinių deformacijų, bet koks stačiakampis elementas pašly-ja (pasidaro ne stačiakampis), kampinė deformacija dar vadinama šlyties deformacija, o kampas γ – šlyties kampu.

Iš (1.9) formulės matyti, kad kampinė deformacija yra teigiama, kai status kampas tarp atkarpų susmailėja, ir neigiama, – kai pasidaro bukas.

Taigi deformacijų būvį bet kuriame kūno taške visiškai apibrėžia šeši – linijinių ir kampi-nių – deformacijų komponentai: , , , , ,x y z xy yz xzε ε ε γ γ γ .

Vektorius, kurio pradžia yra nedeformuoto kūno taške, o pabaiga – tame pačiame, bet jau deformuoto kūno taške, vadinamas linijiniu poslinkiu. Linijinis poslinkis yra taško nu-eitas kelias kūnui deformuojantis. Matuojamas ilgio vienetais. Jo projekcijos į koordinačių

ašis x, y ir z vadinamos ašiniais poslinkiais ir žy-mimos raidėmis atitinkamai u, v ir w.

Kartais patogiau naudotis kampiniais po-slinkiais.

Atkarpos kampinis poslinkis yra kampas (radianais) tarp atkarpos krypties nedefor-muotame kūne ir tos pačios atkarpos krypties jau deformuotame kūne.

1.10 paveiksle ištisine linija pavaizduota kūno padėtis po deformacijos: atkarpa ab at-sidūrė padėtyje a1b1; tuomet vektorius aa1 yra 1.10 pav.

17

taško a linijinis poslinkis, vektorius bb1 – taško b linijinis poslinkis, kampas bob1 (vektorius) – atkarpos ab kampinis poslinkis.

Dažnai deformacijų ir poslinkių sąvokos painiojamos. Žinotina, kad atitinkamoje defor-muojamo elemento vietoje gali būti deformaci-jų, bet nebūti poslinkių, ir atvirkščiai, – gali būti poslinkių, bet nebūti deformacijų. 1.11 paveiksle pavaizduoto strypo ruožas a veikiamas jėgos F nesideformuoja, bet visas pasislenka dydžiu ∆b, kuriuo deformuojasi (pailgėja) ruožas b, tačiau šio ruožo viršutinis galas nepasislenka.

Apskritai gali būti kalbama apie taško, pjūvio ar net viso elemento poslinkį, o deformacija gali būti tiktai ties tašku, ties pjūviu, tik tam tikra kryptimi, tam tikroje plokštumoje.

1.8. Pagrindinės prielaidos ir hipotezės

1.3 poskyryje buvo aptarti supaprastinimai, lengvinantys elementų parametrų skaičiavi-mą. Jie susiję su elementų geometrinės formos, apkrovų bei medžiagų schematizacijos prielai-domis. Jų sąrašas papildomas prielaidomis, susijusiomis su pačiu elementų deformavimu.

Proporcingumo prielaida (Huko dėsnis). Tariama, kad apkrovimo metu įtempiai yra pro-porcingi deformacijoms: normalinis įtempis – linijinei deformacijai, tangentinis – kampinei:

Eσ = ε ⋅ arba / Eε = σ ; (1.10)

Gτ = γ ⋅ arba / Gγ = τ , (1.11)

čia E ir G – atitinkamai tamprumo ir šlyties moduliai MPa.

Moduliai nusako proporcingumą tarp įtempių ir deformacijų, ir kaip įtempiai matuojami megapaskaliais. Įvairių medžiagų jie yra skirtingi ir nustatomi eksperimentiniais metodais.

Pirmasis šį dėsningumą nustatė anglų mokslininkas R.Hukas (1635–1703) sufor-mulavęs jį ne įtempių ir deformacijų, bet jėgos ir elemento ištįsimo (ilgio pokyčio) at-žvilgiu: „ut tensio sic vis“ (lot. „koks ištįsimas, tokia jėga“).

Huko dėsniu išreiškiamas tiesinis ryšys tarp įtempių, deformacijų ir kūno medžiagos tam-prumo savybių. Dėl šio ryšio, pašalinus apkrovas, kūnas atgauna savo pradinius matmenis ir formą. Atlikus tikslius eksperimentus gauta, kad tarp įtempių ir deformacijų ryšys nėra tiesinis, tačiau nuo jo nedaug skiriasi, todėl sprendžiant uždavinius yra taikomas Huko dėsnis.

Sistemos, kurioms Huko dėsnis galioja, taip pat atitinka ir superpozicijos principą, kuris teigia, kad tampriame kūne visų veiksnių (apkrovų, temperatūros pokyčių) ben-dra pasekmė (įrąža, įtempis, deformacija, poslinkis) yra lygi pasekmių, kurias sukelia kiekvienas atskiras veiksnys, sumai. Kai nagrinėjama tik apkrovų (jėgų) veikimo pase-kmė, šis principas vadinamas nepriklausomo jėgų veikimo principu. Pvz., 1.12 paveiksle pavaizduoto dviejų jėgų F1 ir F2 tempiamo strypo absoliutinė linijinė deformacija lygi deformacijų nuo kiekvienos jėgos atskirai sumai: ∆L = ∆a1 + ∆b1 + ∆b2.

1.11 pav.

18

1.12 pav.

Poslinkių mažumo prielaida. Tariama, kad apkrauto elemento visų taškų poslinkiai, atsiradę dėl tampriųjų deformacijų, yra labai maži palyginus su elemento matmenimis,

todėl rašant statinės pusiausvyros lygtis jų nepai-soma, t.y. naudojamasi nedeformuoto elemento geometrija. Pvz., 1.13 paveiksle pavaizduoto ele-mento (sijos) lenkimo momentas įtvirtinime užra-šomas taip: MA = F · L, t.y. nepaisomas peties su-trumpėjimas dydžiu wB. Ši prielaida taikoma, kai vB << H ir wB << L.

Sen Venano principas teigia, kad įtempių pa-siskirstymo po-būdis nuo išo-rinių apkrovų veikimo būdo

pastebimai priklauso tik arti tų apkrovų pridėjimo vietų (atstumu, ne didesniu kaip strypo didžiausias skerspjūvio matmuo). Tik čia pastebimas netolygus deformavimasis ir skerspjūvių išsikraipymas (žr. stry-po galus po deformacijos 1.14 paveiksle). Visur kitur kūno deformavimasis tolygus ir priklauso tik nuo ap-krovos didumo.

Plokščiųjų pjūvių (J.Bernulio) hipotezė teigia, kad elemento ašiai statmeni plokštieji pjūviai prieš deformaciją (1.14 pav., a) išlieka tokie ir po defor-macijos (1.14 pav., b): jie gali pasisukti, pasislink-ti, tačiau neišsikreivina. Ši hipotezė nepasitvirtina tuose elemento ruožuose, kuriems negalioja ir Sen Venano principas. 1.14 pav.

1.13 pav.

wB

vB

19

Taikant šias prielaidas kartais gana sudėtingos priklausomybės tarp apkrovų, įtempių, deformacijų ir kitų parametrų išreiškiamos paprastomis formulėmis, pagal kurias atlikti skaičiavimai yra pakankamai tikslūs.

Kontroliniai klausimai

Ką nagrinėja medžiagų atsparumo dalykas? Kokie jo uždaviniai?1. Kas laikomas medžiagų atsparumo mokslo pradininku? Vėlesni šio mokslo vys-2. tytojai.Kaip medžiagų atsparumas vertina kietąjį kūną? Medžiagų atsparumo nagrinėji-3. mo objektas.Kokie pagrindiniai reikalavimai keliami konstrukcijos elementui? Apibūdin-4. kite juos.Kokius supaprastintų geometrinių formų elementus nagrinėja medžiagų atsparu-5. mas? Apibūdinkite juos. Pavyzdžiai.Kas yra konstrukcijos elemento skaičiuojamoji schema? Schemos sudarymo pa-6. vyzdžiai.Kaip klasifi kuojamos išorinės paviršinės apkrovos? Kokie jų žymėjimo simboliai 7. ir matavimo vienetai?Kokios jėgos vadinamos vidinėmis? Kaip jos nustatomos?8. Kokios vidinės jėgos vadinamos įrąžomis? Kiek ir kokių irąžų bendruoju atveju 9. gali veikti? Jų matavimo vienetai.Kaip užrašomos statinės pusiausvyros lygtys įrąžoms apskaičiuoti. Koks uždavi-10. nio sprendžiamumo kriterijus?Kas yra ašinė ir skersinė jėgos? Jų matavimo vienetai.11. Kas yra lenkimo ir sukimo momentai? Jų matavimo vienetai.12. Kas yra įtempis, pilnasis įtempis?13. Koks įtempis vadinamas normaliniu ir koks tangentiniu? Kokie jų žymėjimo 14. simboliai ir matavimo vienetai?Kaip išreiškiamas atstojamasis (pilnasis) įtempis elemento skerspjūvio taške?15. Kas yra tamprioji (grįžtamoji) ir plastinė (liekamoji) deformacijos?16. Kas yra linijinė ir kampinė deformacijos? Kokiais vienetais jos matuojamos? 17. Pavyzdžiai.Kas yra linijinis ir kampinis poslinkiai? Kokiais vienetais jie matuojami? Pavyzdys.18. Ką teigia proporcingumo prielaida? Huko dėsnio išraiškos normaliniams ir tan-19. gentiniams įtempiams. Simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai.Kas yra tamprumo modulis, šlyties modulis? Matavimo vienetai.20. Ką teigia superpozicijos principas? Pavyzdys.21. Ką teigia poslinkių mažumo prielaida? Pavyzdys.22. Ką teigia Sen Venano principas? Plokščiųjų pjūvių (Bernulio) hipotezė. Pavyzdys. 23.

20

2. TEMPIMAS IR GNIUŽDYMAS

2.1. Bendrosios žinios. Ašinių jėgų skaičiavimas

Ašiniu tempimu arba gniuždymu vadinama tokia deformacija, kai dėl strypą vei-kiančių išorinės apkrovos jėgų jo atitinkamame skerspjūvyje atsiranda vienos rūšies įrą-ža – ašinė jėga (N).

Ši jėga tempimo atveju yra teigiama (N>0), o gniuždymo – neigiama (N<0).

2.1 pav.

2.1 pav. pavaizduoti du strypai, kurių vienas tempiamas (a), o kitas gniuždomas (b). Išorinės jėgos Fa ir Fb strypų skerspjūviuose sukelia priešingos krypties ašines jėgas Na ir Nb, kurios surandamos pjūvio metodu (atliekant sąlyginius pjūvius 1a-1a ir 1b-1b) pagal vienintelę šiuo atveju galimą parašyti atpjautų dalių statinės pusiausvyros lygtį ∑Fz = 0:

a) Fa – Na = 0; Na = Fa; b) Nb – Fb = 0; Nb = Fb .

Kai strypą veikia kelios išorinės tempimo ir gniuždymo jėgos, ašinių jėgų dydžiai, priklausomai nuo strypo būdingų tarpų (ruožų), keičiasi. Tai vaizduojama ašinių jėgų (N) kitimo diagrama. Jos sudarymui bet kuriuose ruožų vietose atliekami sąlyginiai (ta-riamieji) pjūviai (2.2 pav., a).

2.2 pav.

21

Ašinių jėgų skaičiavimas pradedamas nuo strypo laisvojo galo, nes nėra žinoma strypo įtvirtinime veikianti ašinė jėga (šiuo atveju ji taip pat ir reakcijos jėga). Taigi, mūsų atveju atmetamos strypų viršutiniosios dalys, o apatiniosioms parašomos statinės pusiausvyros lygtys ir apskaičiuojamos charakteringuose ruožuose veikiančios ašinės jėgos. Vienintelė šiam atvejui galima lygtis ∑Fz = 0. Tarkim, kad F1 = 20kN; F2 = 30kN; F3 = 35kN, tuomet ašinės jėgos lygios:

pjūvis 1-1 (2.2 pav., b) : N1-F1=0; N1=F1=20 kN (ruožas tempiamas, nes buvo pasi-rinktas tempimas);

pjūvis 2-2 (2.2 pav., c): N2+F2-F1=0; N2=-F2+F1=-30+20=-10 kN (ruožas gniuždo-mas, nes buvo pasirinktas tempimas);

pjūvis 3-3 (2.2 pav., d): F2+N3-F3-F1=0; N3=-F2+F3+F1=-30+35+20=25 kN (ruožas tem-piamas, nes buvo pasirinktas tempimas).

Gautos ašinių jėgų reikšmės pasirinktu masteliu atidedamos nuo atskirai nubrėž-tos strypo ašies atitinkamų ruožų pusėse, pvz., teigiamos – į dešinę, neigiamos – į kairę. Per gautus taškus nubrėžiamos tiesės, lygiagrečios ašiai. Koncentruotųjų jėgų veikimo vietose gaunami šuoliai lygūs veikiančioms jėgoms. Ašinių jėgų diagrama baigiama skrituliukuose pažymėjus teigiamas ir neigiamas ordinates ir užbrūkšniavus statmenais ašiai brūkšniais. Teigiamos ordinatės žymi tempiamus strypo ruožus, o nei-giamos, – gniuždomus (2.2 pav., e).

Iš šio pavyzdžio galima padaryti išvadą (ašinės jėgos nustatymas): bet kurio strypo pjūvio ašinė jėga yra lygi visų veikiančių vienoje pjūvio pusėje išorinių jėgų projekcijų į strypo ašį algebrinei sumai.

2.2. Tempiamo ir gniuždomo strypo įtempiai

Pagal įtempių apibrėžimą, ašinė jėga N yra įtempių visame skerspjūvyje atstoja-moji (2.3 pav., b). Kadangi /dN dAσ = (1.6 poskyr.), tad elementari jėga dN, veikianti strypo skerspjūvio elementarų plotelį dA, yra dN = σ ⋅ dA.

Susumavę visas skerspjūvyje veikiančias elementariąsias jėgas gauname atstojamąją ašinę jėgą N, kurią galima išreikšti integraline pusiausvyros lygtimi:

N =A

dN dA= σ ⋅∫ ∫ . (2.1)

Šią lygtį galima išspręsti žinant normalinių įtempių kitimo visame skerspjūvyje dėsnį, kuriam nustatyti aptariama geometrinė uždavinio dalis. Tarkime, kad turime bet kokio skerspjūvio (mūsų atveju – apvalų) strypą, kurio vienas galas įtvirtintas, o kitas laisvas (2.3 pav., a). Strypo paviršiuje nubrėžiame kelias ašiai statmenas linijas a-a, b-b, c-c. Strypą tempiant ašine jėga F tos linijos pasislenka į brūkšninėmis linijomis pažy-mėtas padėtis a1-a1; b1-b1 ir c1-c1. Atliekant matavimus galima įsitikinti, kad brūkšninės linijos yra lygiagrečios ištisinėms, todėl taip pat statmenos ašiai. Nesunku įsivaizduoti, kad ir strypo viduje vaizdas toks pat, t.y. kad strypo skersiniai pjūviai nekreivėja. Tai patvirtina, kad šiuo atveju tinka Bernulio plokščiųjų pjūvių hipotezė (elemento ašiai sta-tmeni plokštieji skerspjūviai, deformavus kūną, išlieka plokšti ir statmeni ašiai).

22

Remiantis šia hipoteze ir atliktais mata-vimais galima teigti, kad tempiamo ir gniuž-domo strypo visų sluoksnių poslinkiai yra lygūs, o jų deformacija – pastovus dydis. Ge-ometrine prasme tai galima užrašyti taip:

constL∆ = arba const.LL

∆= ε =

Fizikine prasme iki tamprumo ribos deforma ciją su įtempiais sieja Huko dėsnis (1.8 poskyr.):

const.Eσ = ε =⋅Iš čia daroma išvada: kai deformacija

pastovi, normaliniai įtempiai visame skers-pjūvyje taip pat yra pastovūs. Kitaip tariant, tempimo ir gniuždymo atveju vienalyčio strypo skerspjūvyje normaliniai įtempiai pa-siskirsto vienodai ( constσ = ). Šiuo atveju skers pjū vyje tangentinių įtempių nėra (τ = 0), nes nėra šlyties deformacijos.

Taigi integralinės lygties (2.1) normalinis įtempis, kaip pastovus dydis, iškeliamas prieš integralo ženklą. Tuomet ašinė jėga (2.3 pav., b) yra tokia:

A A A

N dA E dA E dA E A A= σ ⋅ = ⋅ ε ⋅ = ⋅ ε = ⋅ ε ⋅ = σ ⋅∫ ∫ ∫ . (2.2)

Iš čia gaunama tempiamo ir gniuždomo strypo normalinių įtempių formulė:

NA

σ = . (2.3)

Ji nusakoma taip: tempimo ir gniuždymo atveju normaliniai įtempiai lygūs elemento skerspjūvyje veikiančios ašinės jėgos ir to skerspjūvio ploto santykiui.

Remiantis Sen Venano principu, ši formulė negalioja tik apkrovos aplinkoje, kur įtempiai pasiskirsto sudėtingai. Tyrimais nustatyta, kad tokie pjūviai yra maždaug strypo skersmens atstumu nuo įtvirtinimo ir nuo strypo laisvojo galo skerspjūvio, jei jame veikia koncentruota jėga.

2.3. Tempiamo ir gniuždomo strypo deformacijos ir poslinkiai

Strypo matmenų pokytis įrąžos veikimo kryptimi vadinamas linijine išilgine deformacija.Bandymais nustatyta, kad tempiant strypas ilgėja, jo skerspjūvis siaurėja, o gniuždant

– atvirkščiai: strypas trumpėja, o skerspjūvis platėja (2.4 pav.). Taigi, yra prasmės nagrinė-ti ne tik išilgines, bet ir skersines strypo deformacijas.

2.3 pav.

23

Absoliutinė deformacija (išilginė ir skersinė) nusako, kokiu dydžiu deformuojasi duotų matmenų strypas.

Absoliutinė išilginė deformacija:

1 -L L L∆ = , (2.4)

čia L – strypo ilgis prieš deformaciją; L1 – strypo ilgis po deformacijos.

Absoliutinė skersinė deformacija:

12 2b bb b b∆ ∆

∆ = + = − , (2.5)

čia b – strypo skersinis matmuo prieš deformaciją; b1 – strypo skersinis matmuo po deformacijos.

Santykinė deformacija (išilginė ar skersinė) nusako, ko-kia absoliutinės deformacijos dalis tenka strypo atitinkamo matmens vienetui. Tai santykinis, bematis dydis, žymimas graikiška raide ε (epsilon).

Santykinė išilginė deformacija:

1L L LL L− ∆

ε = = , (2.6)

Santykinė skersinė deformacija:

1q

b b bb b− ∆

ε = = . (2.7)

Išorinei jėgai nustojus veikti anksčiau negu pasiekiamas kiekvienai medžiagai būdin-gas proporcingumo ribos įtempis, minėtos deformacijos dėl strypo medžiagos tamprumo savybių išnyksta.

Pagal bandymų duomenis, εq visuomet mažesnė už ε. Be to, pastebėta, kad kiekvienai konkrečiai medžiagai santykinės skersinės ir santykinės išilginės deformacijų santykis yra pastovus dydis, charakterizuojantis tos medžiagos tamprumo savybes. Pagerbiant pran-cūzų mokslininką šis proporcingumo koefi cientas (ν) vadinamas Puasono koefi cientu. Jo kitimo ribos 0<ν≤0,5, tačiau daugumos konstrukcinių medžiagų jis kinta nuo 0,25 iki 0,33. Šis koefi cientas išreiškia proporcingumą tarp skersinės ir išilginės deformacijų.

Sprendžiant uždavinius būtina žinoti ryšį tarp įtempių ir deformacijų. Jis sužinomas iš (2.2) formulės (į kurią įeina įtempiai), išreiškus deformaciją ir jos išraišką įrašius į (2.6) formulę:

N =E⋅ ε ⋅A; NE A

ε =⋅

; L NL E A

∆=

⋅.

Iš čia absoliutinė išilginė strypo deformacija

N LLE A

⋅∆ =

⋅, (2.8)

čia ∆L – strypo ar atitinkamo jo ruožo absoliutinė išilginė deformacija m;

2.4 pav.

24

N – strypo ar jo atitinkamo ruožo skerspjūvyje veikianti ašinė jėga MN; L – strypo ar atitinkamo jo ruožo ilgis m; E – strypo ar atitinkamo jo ruožo medžiagos tamprumo modulis MPa; A – strypo ar jo atitinkamo ruožo skerspjūvio plotas m2.

Kadangi kiekvieno strypo ruožo pastovus skerspjūvio plotas (netgi laiptuoto strypo) ir ašinė jėga (2.5 pav.), tai ir įtempių reikšmė yra pastovi visame ruože.

Įtempių diagramai nubraižyti (ji identiška ašinių jėgų diagramai) užtenka apskai-čiuoti įtempius charakteringų strypo ruožų pjūviuose. Tarkime, kad nagrinėjamo strypo (2.5 pav., a) per visą jo ilgį yra pastovus skerspjūvio plotas A = 20 cm2 = 0,002 m2 = 2⋅10-3m2, tuomet šie įtempiai yra tokie:

31

1 1 3

20 10 102 10

NA

−

− −

⋅σ = = =

⋅MPa;

32

2 2 310 10 52 10

NA

−

− −

− ⋅σ = = =

⋅MPa;

33

3 3 3

25 10 12,52 10

NA

−

− −

⋅σ = = =

⋅MPa.

Pagal šiuos duomenis įtempių pasiskirstymo strypo ilgyje diagrama pavaizduota 2.5 pav., c.

2.5 pav.

Strypui ar jo atskiriems ruožams deformuojantis kinta atstumai tarp atskirų jo skerspjūvių. Kelias, kurį deformavimo metu nueina skerspjūvis strypo ašies kryptimi, vadinamas linijiniu skerspjūvio poslinkiu (w). Jo dydis priklauso nuo atskirų strypo ruožų, esančių tarp nagrinėjamojo ir atraminio (nejudančio) skerspjūvių, deformacijų. Dažnai tikslinga nubraižyti strypo skerspjūvių poslinkių diagramą, iš kurios lengvai nustatomas bet kurio skerspjūvio poslinkis. Dėl to paprasčiau poslinkius pradėti skai-čiuoti nuo atraminio skerspjūvio pagal formulę:

1 1 1n n n i i

i i ii i ii i

N Lw L LE A= = =

⋅= ∆ = ε ⋅ =

⋅∑ ∑ ∑( ) ( ) . (2.9)

Strypo, pagaminto iš plieno (E = 2⋅105MPa), skerspjūvių poslinkiai skaičiuojami taip:

w µm

25

Atraminis skerspjūvis nepasislenka, todėl wA = 0;3

3 11 5 3

25 1,1 10 0,00006872 10 2 10B

N Lw LE A

−

−

⋅ ⋅ ⋅= ∆ = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ m = 0,0687 mm = 68,7µm.

Bet kuris ruožo BA skerspjūvis pasislenka žemyn proporcingai atstumui nuo atramos, todėl poslinkių diagrama yra tiesinė ir jai nubrėžti užtenka žinoti dvi koordinates, t.y. wA ir wB.

32 2

1 2 5 3

10 3,2 100,0687 0,06872 10 2 10

0,0687 0,08 0,0113 mm 11,3 m.

CN Lw L LE A

−

−

⋅ ⋅ ⋅= ∆ + ∆ = − = − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − = − µ

1 31 2 3

3

5 3

0,0687 0,08

20 0,8 100,0113 0,0113 0,042 10 2 100,0287 mm 28,7 m.

DN Lw L L LE A

−

− −

⋅= ∆ + ∆ + ∆ = − + =

⋅

⋅ ⋅= − + = + =

⋅ ⋅ ⋅= = µ

Iš diagramos matyti, kad yra du skerspjūviai (išskyrus atraminį), kurie deformuojan-tis strypui nepasislenka (5 pav., d): wE = wG = 0.

2.4. Plastiškų medžiagų mechaninės savybės

Konstrukcinių medžiagų mechaninės savybės (stipris, tamprumas, plastiškumas ir kt.) nustatomos specialiomis ar universaliomis mašinomis apkraunant ir deformuojant standartinius tiriamų medžiagų bandinius. Dažnai pagrindinės mechaninės savybės nu-statomos tempiant bandinius statine apkrova mechaninėmis ar hidraulinėmis mašinomis, turinčiomis įrenginius bandiniui įtvirtinti, bandiniui apkrauti, apkrovos jėgai matuoti ir tempimo diagramai brėžti.

Tempimo bandymai dažniausiai atliekami naudojant minkštojo anglinio plieno bandinius, nes jų diagramose aiškiausiai matomi būdingieji ruožai ir taškai. Dažniausiai naudojami (L0 = 200 mm; d0 = 20 mm; A0 = 314 mm2) arba proporcingai sumažinti ar padidinti bandiniai. Jie ištekinami iš bandomos medžiagos strypų, tačiau naudojami ir plokštieji – išpjauti iš bandomos medžiagos lakštų. Atliekant bandymą mašina brėžia tiesioginę priklausomybės tarp jėgos F ir absoliutinės išilginės deformacijos ∆L diagra-mą (2.6 pav., a). Pradinis diagramos ruožas 0A yra tiesė, vadinasi, strypo ilgio pokytis proporcingas tempiančiai jėgai.

26

2.6 pav.

Tokia priklausomybė galioja, kol pasiekiama proporcingumo (pr – proportion (angl.) jėga Fpr (taškas A). Po to proporcingumo nelieka, nors deformacija vis dar tampri (taškas B – tamprumo (e – elastic (angl.) jėga Fe. Nukrovus apkrovą deforma-cija išnyksta. Toliau didinant jėgą prasideda iš pradžių nežymus, o pasiekus takumo (y – yield (angl.) jėgą Fy (taškas C) – intensyvus plastinis deformavimas. Būdinga tai, kad virš taško C bandinys deformuojasi beveik nedidinant apkrovos: sakoma plienas „teka“. Šį būvį diagramoje atitinka beveik horizontali linija, vadinama takumo zona (bandinio paviršiuje atsiranda 45° kampu į bandinio ašį pasvirusios linijos, vadinamos šlyties linijomis: jos susijusios su šlyties poslinkiais medžiagos kristalinėje gardelėje). Toliau didinant apkrovą už takumo zonos, prasideda medžiagos stiprėjimo ruožas: bandinys labiau priešinasi plastinei deformacijai. Deformacija dar vyksta visame stry-po ilgyje, o mašina brėžia lanksčią kreivę.

Kai apkrova pasiekia stiprumo (u – ultimate (angl.) – maksimalus) jėgos reikšmę Fu (taškas D), atsiranda vietinės deformacijos požymių. Silpniausia bandinio vieta (idealiuoju atveju – bandinio vidurys) pradeda siaurėti, susidaro vadinamasis kaklelis, bandiniui de-formuoti pakanka vis mažesnės jėgos, kuri mažėja iki vadinamosios trūkimo (fr – fracture (angl.) jėgos Ffr (taškas M), ir įtempiai pasidaro tokie dideli, kad bandinys nutrūksta.

Diagramos ruožas DM vadinamas vietinio takumo zona. Kreive ABCDM vaiz-duojama tiesioginė tempimo diagrama. Užbrūkšniuotas plotas po šia kreive nusako darbą, sunaudotą bandiniui nutraukti.

Norint išvengti bandinio matmenų įtakos medžiagų mechaninėms savybėms, tie-sioginė tempimo diagrama transformuojama jos ordinačių ašyje pažymint įtempius (σ = N/Ao), o abscisių ašyje – išilginę santykinę deformaciją (ε = ∆L/Lo). Gauta diagrama, išreiškianti normalinių įtempių priklausomybę nuo išilginės santykinės deformacijos, vadinama sąlygine tempimų diagrama (2.6 pav., b).

Šios diagramos charakteringų taškų įtempiai (ordinatės), apibūdinantys medžiagos mechanines savybes, vadinami tokiomis ribomis:

1) proporcingumo riba – didžiausio įtempio reikšmė, iki kurios deformacijos kinta proporcingai įtempiams, t.y. iki jos galioja Huko dėsnis (σ = ε · E):

27

0

prpr

FA

σ = ; (2.10)

2) tamprumo riba – įtempis, iki kurio bandinyje nelieka liekamųjų deformacijų ban-dinį nukrovus:

0

ee

FA

σ = ; (2.11)

3) takumo riba – mažiausias įtempis, kurį pasiekus plastinė deformacija didėja esant beveik pastoviai apkrovai:

0

yy

FA

σ = ; (2.12)

4) stiprumo riba (stipris) – didžiausios apkrovos, kurią gali atlaikyti bandinys, sąly-ginis įtempis:

0

uu

FA

σ = ; (2.13)

5) trūkimo riba – sąlyginis įtempis, kurį pasiekus bandinys nutrūksta:

1

frfr

FA

σ = . (2.14)

čia A0 – nedeformuoto bandinio skerspjūvio plotas m2; A1 – nutrūkusio bandinio kaklelio skerspjūvio plotas m2.

Kreivės dalis BM yra sąlyginė, nes apskaičiuojant įtempius nepaisomi bandinio skerspjūvio ploto pasikeitimai, – todėl ši diagrama ir vadinama sąlygine. Tikroji dia-grama (2.6 pav., b), pavaizduota brūkšnine linija, nuo taško D staigiai kyla aukštyn, nes, susidarius kakleliui, ima vyrauti vietinė deformacija: kaklelio skerspjūvio plotas mažėja, o įtempiai didėja.

Tarp išvardintų ribų yra du pagrindiniai medžiagos stiprumo rodikliai: stiprumo riba (stipris) σu , rodanti, kokius didžiausius sąlyginius įtempius medžiaga gali atlaikyti nesuir-dama, ir takumo riba σy , rodanti, kokius didžiausius įtempius medžiaga gali atlaikyti ne-sideformuodama plastiškai. Būtent šių rodiklių pagrindu nustatomi norminiai medžiagos stiprumo rodikliai (projektinis stipris, leistinasis įtempis ir kt.)

Iš taško G (esančio tarp takumo ir stiprio ribų) nuleidus statmenį į deformaci-jų (abscisių) ašį gaunamas taškas K (2.6 pav., b). Atstumas OK yra bendra bandinio ilgio deformacija ε, gaunama iki tašką G atitinkančio įtempio. Šiame taške nuėmus apkrovą, mašina nubrėžia tiesei OA lygiagrečią pasvirusią tiesę GL, susikertančią su abscisių ašimi taške L. Tai rodo, kad dalis deformacijos išnyksta, t.y. bendrą bandi-nio ilgio deformaciją sudaro išnykstanti tamprioji deformacija εe, atitinkanti atstumą KL, ir liekanti plastinė deformacija εp, atitinkanti atstumą LO. Pakartotinai apkrovus bandinį, mašina brėžia pasvirusią tiesę LG, artimą nukrovimo tiesei GL. Kadangi tiesė LG ilgesnė už tiesę OA, vadinasi, pakartotinai apkrautas bandinys atlaiko didesnę ap-

28

krovą, t.y. padidėja jo proporcingumo riba ir sumažėja plastiškumas (diagramos dalis OABCG nesikartoja).

Medžiagos tamprumo savybių kitimas (proporcingumo ribos padidėjimas ir plastiš-kumo sumažėjimas) iš anksto apkraunant elementą, pagamintą iš tos medžiagos, vadina-mas medžiagos kietinimu (stiprinimu). Metalo sukietinimas praktikoje gali būti pageidau-jamas (iš anksto įtempiant armatūrą g/b elementų gamyboje) ir nepageidaujamas (kerpant plieno lakštus, gaminant štampuotas detales, tempiant vielą pro kalibruotus lizdus).

Apskritai medžiagos savybę deformuotis apibūdina jos tamprumo modulis E, nusta-tomas tempiant bandinį iki proporcingumo ribos. Pagal Huko dėsnį, tamprumo modulis išreiškia tiesaus tempimo diagramos ruožo kampo tangentą (2.6 pav., b):

/ tgE = σ ε = α . (2.15)

Tamprumo modulis nustatomas laboratoriniu būdu tempiant tiriamos medžiagos ban-dinį: matuojant jo išilgines ir skersines deformacijas (tenzometrais) ir tas deformacijas atitinkančias apkrovas.

Įvairių markių plienams charakteringas pastovus tamprumo modulis E, nors propor-cingumo bei stiprio ribos žymiai skiriasi ir priklauso nuo anglies kiekio jame (2.7 pav.). Daugumai medžiagų, tarp jų ir legiruotųjų plienų, bronzų, duraliuminio įtempių diagramo-se nėra takumo zonos, todėl nustatoma šių medžiagų vadinamoji sąlyginė takumo riba, t.y. įtempis, atitinkantis 0,2% liekamosios deformacijos (2.8 pav.).

Trapios medžiagos, pvz, pilkasis ketus, tempiamas suyra esant labai mažoms lieka-mosioms deformacijoms. Tempimo diagramoje (2.8 pav.) matomas nuokrypis nuo Huko dėsnio: nėra ryškių proporcingumo ir takumo ribų. Paprastai vietoje kreivės brėžiama pa-svirusi tiesė. Nustatomas tik šių medžiagų stipris σu, nes nesusidaro bandinio kaklelis.

Nustatyti, ar medžiaga plastiška ar trapi, galima tik suardžius (nutraukus) jos bandinį. Apskritai medžiagų skirstymas į trapias ir plastiškas yra sąlyginis, nes pasikeitus bandymo są-lygoms trapi medžiaga gali suirti kaip plastinė ir atvirkščiai, pvz., minkštasis anglinis plienas, kuriam būdingos tempimo diagramos, pavaizduotos 2.6 pav., žemoje temperatūroje suyra kaip ketus, o pastarasis didelio slėgio aplinkoje nutrūksta susidarant kakleliui.

2.7 pav. 2.8 pav.

29

Trapios medžiagos netinkamos tempiamiems elementams gaminti, nes jų stipris tempiant σut yra nedidelis; o gniuždomos trapios medžiagos atlaiko žymiai didesnius įtempius. Todėl šios medžiagos daugiausia ir bandomos gniuždymu. Tai statybinės medžiagos: akmenys, betonas, plytos, ketus, legiruotasis plienas, mediena (gniuždoma išilgai ir skersai sluoksnių) ir kt. Gniuždy-mas nuo tempimo skiriasi bandinį veikiančių jėgų kryptimi. Iki proporcingumo-tamprumo ribos šių medžiagų pasipriešinimas tiek tempimui, tiek gniuždymui yra maždaug vienodas.

Gniuždymu gali būti bandomos ir plastiškos medžiagos (minkštasis anglinis plienas, spalvotieji metalai, įvairių rūšių plastmasės ir kt.), tačiau tik tam, kad būtų galima palyginti šių medžiagų tempimo ir gniuždymo diagramas. Deja, nustatyti stiprio ribos neįmanoma, nes plastiškos medžiagos gniuždomos nesuyra, o dėl didėjančios skersinės deformacijos išsiplečia bandinio skerspjūvis ir dėl to didėja bandinio laikomoji galia. Bandinys palaips-niui įgauna statinaitės formą, nes jo galuose atsirandanti trintis trukdo skersinei deforma-cijai. Didinant jėgą iki begalybės bandinys suplojamas iki didelių matmenų plono lakšto. Šiuo bandymu galima fi ksuoti nebent medžiagos gniuždomąjį takumo įtempį σyc, kuris daugelio medžiagų panašus į tempiamąjį takumo įtempį σyt:

0

ycyc

FA

σ = . (2.16)

Minkštojo anglinio plieno sąlyginė gniuždymo diagrama pavaizduota 2.9 paveiksle. Matome, kad iki taško A diagrama yra tiesė, taigi gniuždant, kaip ir tempiant, galioja Huko dėsnis. Takumo zona neryški.

Daugiausia gniuždomos trapios medžiagos. Gniuždymo bandymai atliekami laikantis standartų reikalavimų. Naudojami trumpi bandiniai, kad deformuojami neišlinktų. Ketaus gniuždymo diagrama pavaizduota 2.10 paveiksle. Proporcingumo tiesės joje nėra, nes plas-tinė deformacija vyksta tada, kai bandinį jau veikia nedidelė jėga. Diagramoje nėra takumo aikštelės, o svarbiausias ypatingasis taškas yra bandinio suirimo taškas, atitinkantis didžiausią ordinatę, kurios reikšmė vadinama stipriu gniuždant σuc:

0

ucuc

FA

σ = , (2.17)

čia Fuc – stiprio gniuždant jėga MN; A0 – pradinis bandinio skerspjūvio plotas m2.

2.9 pav. 2.10 pav.

30

2.5. Įvairių veiksnių įtaka mechaninėms medžiagų savybėms

Mechaninės medžiagų savybės nėra pastovios. Joms poveikį turi įvairūs veiksniai: temperatūra, radioaktyvusis švitinimas, gamybos technologija, deformavimo greitis ir tru-kmė (senėjimas), įtempių koncentracija, cheminė aplinka ir kt.

Temperatūra. Laikantis standartų reikalavimų mechaniniai medžiagų savybių ro-dikliai nustatomi vadinamojoje kambario temperatūroje (≈20ºC). Tačiau daug kons-trukcijų dirba labai aukštoje arba žemoje temperatūroje. Atliekant bandymus įvairiose temperatūrose, galima nustatyti mechaninių savybių priklausomybę nuo jų. Daugu-mos konstrukcinių medžiagų stipris temperatūrai kylant mažėja, o jai krintant didėja. Tuo tarpu medžiagų plastiškumas – atvirkščiai, temperatūrai kylant didėja, o krintant – mažėja. Tačiau tai nėra vienareikšmiška temperatūros dydžio bei laikymo trukmės joje atžvilgiu; be to, kai kurios medžiagos, pvz., daugumos anglingųjų plienų rodiklių ekstremumai yra ties 300 ºC.

Radioaktyvusis švitinimas. Jo įtaka daugiausia atvejų tokia pati, kaip žemos tem-peratūros: didėja stipris, mažėja plastiškumas, be to, labai padidėja tamprumo modulis E. Ši įtaka reikšminga branduolinių reaktorių konstrukcijoms.

Gamybos technologija. Dažnai metalai termiškai apdirbami specialiu tikslu – pakeisti mechanines medžiagų savybes, nes kaitinimo ir aušinimo procesais pakeičiama jų struktūra.

Procesas, kai plienas ilgai laikomas įkaitintas iki tam tikros temperatūros, o pas-kui lėtai ataušinamas, vadinamas atkaitinimu, – taip pašalinami dėl šaltojo štampavi-mo atsiradę įtempiai, bet sumažinamas jo stipris. Analogiškas procesas, kurio pabaiga – staigus aušinimas, vadinamas grūdinimu: sumažinamas plastiškumas, bet padidina-mas stipris bei kietumas.

Plastinio deformavimo kryptimi medžiaga sustiprėja, todėl valcuotų plieno lakštų stipris įvairiomis kryptimis yra nevienodas.

Deformacijos greitis ir trukmė (senėjimas). Didėjant apkrovimo greičiui (nuo lėtai didinamos apkrovos iki smūgio), plastinė deformacija nespėja vykti, todėl plastiškos me-džiagos pasidaro trapesnės.

Medžiagai senstant joje vyksta struktūriniai pokyčiai, todėl keičiasi jos mechaninės sa-vybės: blogėja plastiškų medžiagų savybės, o tokių trapių medžiagų kaip betonas – gerėja.

Pastovios apkrovos veikiama, nepakitus kitoms aplinkos sąlygoms, medžiaga ilgainiui deformuojasi. Toks reiškinys vadinamas valkšnumu. Plienai pasidaro valkš-nūs aukštoje temperatūroje, o kitos medžiagos (akmuo, betonas, mediena, gruntas, spalvotieji metalai) – ir normaliomis sąlygomis. Ilgalaikis valkšnumas gali sąlygoti medžiagų suirimą. Tai sudėtingas reiškinys, kuriam nagrinėti susiformavo atskira deformuojamo kūno mechanikos šaka – valkšnumo teorija. Su valkšnumu susijęs ir kitas reiškinys, kai išlaikoma pastovi deformacija, o įtempiai ilgainiui mažėja. Šis procesas vadinamas relaksacija.

Įtempių koncentracija. Konstrukcijose dažniausiai naudojamos kintamo skers-pjūvio detalės, todėl tose vietose, kur skerspjūvis keičiasi (mažėja), įtempiai nuo ap-krovos susikoncentruoja, t.y. padidėja. Pvz., tempiant pragręžtą plieno juostą, įtem-piai ties skyle (vietiniai įtempiai) yra daug didesni už įtempius bet kuriame kitame skerspjūvyje (2.11 pav.).

31

Vidutiniai įtempiai ties skyle, apskaičiuoti nepaisant koncentracijos:

vidneto

; ;F N F NA b d t

σ = = =−( )

2.11 pav.

Maksimalių vietinių įtempių (nustatomų atliekant eksperimentą arba pagal skaičiuo-jamuosius tamprumo teorijos metodus) santykis su vidutiniais įtempiais vadinamas teoriniu įtempių koncentracijos koefi cientu:

max

vidσ

σα =

σ. (2.18)

Bandant konstrukcijų elementus bei tikrinant jų stiprį (ypač numatant atlikti jų rekons-trukcijos, remonto darbus, kai galimi jų skerspjūvių sumažėjimai), nustatomas efektyvusis įtempių koncentracijos koefi cientas Kσ:

u

uk

Kσ

σ=

σ, (2.19)

čia σu – elemento medžiagos stiprio riba MPa; σuk – koncentruotųjų įtempių veikiamo bandinio stipris MPa.

Skaičiuojant konstrukcijas, šio koefi ciento reikšmės imamos iš žinynų. Veikiant pa-stovioms apkrovoms, į šį koefi cientą atsižvelgiama tik esant trapioms medžiagoms, nes plastiškų medžiagų Kσ = 1. Veikiant kintamoms apkrovoms, šis koefi cientas įvertinamas ir trapioms ir plastiš koms medžiagoms.

Cheminė aplinka reiškiasi greitesniu medžiagos irimu, t.y. korozija. Dėl metalo korozijos sumažėja konstrukcijos elemento skerspjūvio plotas (galima įtempių koncen-tracija), o, pvz., betonas dėl korozijos darosi poringas, pleišėja ir dėl to silpnėja. Metalo koroziją spartina viršijantys atitinkamą lygį įtempiai, o dar labiau – pasikartojantis ap-krovimas ir kartotinis cheminis poveikis.

2.6. Stiprio atsargos koefi cientas. Leistinieji įtempiai

Bet kuris konstrukcijos elementas tinkamas naudoti tada, kai yra pakankamai sti-prus, standus ir stabilus (apie pastaruosius du reikalavimus bus kalbama vėlesniuose skyriuose). Aplinka elementą veikia visokeriopai. Mechaninio poveikio (apkrovos)

32

įtaka elementui sužinoma atlikus atitinkamus bandymus, kurių metu gautos charak-teristikos pirmiausia panaudojamos stipriui apskaičiuoti. Žinome, kad pasiekus ati-tinkamas įtempių reikšmes strypas iš trapios medžiagos gali suirti arba per daug de-formuotis, jei jis iš plastiškos medžiagos. Tokie įtempiai, kuriems esant vyksta minėti neleistini reiškiniai, vadinami ribiniais įtempiais. Plastiškų bei plastiškai trapių me-džiagų ribiniu įtempiu laikomi takumo ribos įtempiai σy arba sąlyginiai įtempiai σ0,2, o trapių medžiagų – stiprio ribos įtempiai σu.

Naudojant konstrukciją reikalaujama, kad bet kuriame jos elemente sukeliami maksimalūs (vadinamieji nominalieji σ = σmax) įtempiai visada būtų mažesni už ribi-nius σlim (σy ar σu). Ribiniai įtempiai, padalinti iš patikimumo ( atsargos) koeficiento (n > 1), vadinami leistinaisiais įtempiais σadm (adm – admissible (angl.) – leistinas). Taigi stipriui skaičiuoti naudojami leistinieji įtempiai, kurie už ribinius mažesni n kartų (2.1 lentelė):

y

y

u

u

n

n

σ ⎫⎪⎪⎬

σ ⎪⎪⎭

= admσ , (2.20)

čia ny, nu – atitinkamai plastiškų ir trapių medžiagų atsargos koefi cientai.

Kadangi σu > σy, nes pasiekus takumo ribą elementas dar nesuyra, tai ir nu > ny. Rekomen duo tinos orientacinės atsargos koefi cientų reikšmės yra šios: plastiškų medžiagų ny = 1,4…2,0, plastiškai trapių n2,y = 1,6…2,5, trapių – nu = 2,5…5,0.

Įprasta atsargos koefi cientus išreikšti kaip dalinių atsargos koefi cientų sandaugas:

n = n1 ⋅ n2 ⋅ n3 , (2.21)

čia n1 – koefi cientas, įvertinantis apkrovų skaičiavimo netikslumus (1,2…3,0); n2 – koefi cientas, įvertinantis medžiagos nevienalytiškumą, paviršiaus nelygumus ir

kt.: kai skaičiuojama pagal takumo ribą (plastiškų ir plastiškai trapių medžiagų), n2 = n2, y = 1,2…2,2 (priklausomai nuo santykio σy /σu), kai skaičiuojama pagal stiprio ribą (trapioms medžiagoms), n2 = n2,u = 2,0…6,0);

n3 – koefi cientas, įvertinantis elemento darbo sąlygas konstrukcijoje ar visos kons-trukcijos svarbą (1,0…1,5).

2.1 lentelė. Plačiau naudojamų medžiagų leistinieji įtempiai

Medžiagos pavadinimasLeistinieji įtempiai σadm MPa

tempimo gniuždymoPilkasis ketus 20…30 70…110Plienas CTO, CT2 140Plienas CT3 160Anglingasis konstrukcinis plienas 60…250Legiruotasis konstrukcinis plienas 100…400 ir daugiauVaris 30…120Aliuminis 30… 80Duraliuminis 80…150

plastiškų medžiagų

trapių medžiagų

33

Medžiagos pavadinimasLeistinieji įtempiai σadm MPa

tempimo gniuždymoTekstolitas 15…30 30…40Pušis išilgai sluoksnių 7…10 10…12Pušis skersai sluoksnių – 1,2…2,0Ąžuolas išilgai sluoksnių 9…13 13…15Ąžuolas skersai sluoksnių – 2…3,5Plytų mūras > 0,2 0,6…2,5Betonas 0,1…0,7 1…9

2.7. Stiprio skaičiavimo metodai

Medžiagų stiprio skaičiavimams, kurie reikalingi elementų optimaliems matmenims nustatyti, pastaruoju metu naudojami du – leistinųjų įtempių ir ribinių būvių – metodai.

Leistinųjų įtempių metodu skaičiuojami tie konstrukcijų elementai, kuriuose nau-dojimo metu leidžiamos tik nedidelės tampriosios deformacijos (liekamųjų būti negali). Tokių elementų patikimumo kriterijus yra leistinieji įtempiai. Būtina, kad bet kuriame elemento skerspjūvyje atsiradę įtempiai neviršytų to elemento medžiagos nustatytų leis-tinųjų įtempių. Taigi paprasčiausia leistinųjų įtempių metodo stiprumo (stiprio) sąlyga tempimo ir gniuždymo atveju yra tokia:

max admσ ≤ σ arba maxmax adm

NA

σ = ≤ σ , (2.22)

čia σ – pavojingo strypo pjūvio normaliniai (nominaliniai) įtempiai MPa; |N| – absoliutinės ašinės jėgos, veikiančios pavojingame strypo pjūvyje, reikšmė MN; A – skaičiuojamojo skerspjūvio plotas m2; σadm – strypo medžiagos leistinieji įtempiai MPa.

Atsižvelgiant į skaičiavimo tikslą, išskiriami tikrinamasis, projektinis ir leistino-sios apkrovos skaičiavimai.

Atliekant tikrinamąjį skaičiavimą, žinoma apkrova (ašinė jėga), elemento medžiaga ir jo skerspjūvio matmenys. Pagal kairiąją stiprio sąlygos pusę (2.22) apskaičiuojami di-džiausi skaičiuojamieji įtempiai σmax ir palyginami su leistinaisiais.

Projektinis skaičiavimas atliekamas tada, kai pagal žinomą elemento medžiagą jos leistinuosius įtempius ir pavojingojo pjūvio ašinę jėgą apskaičiuojamas skerspjūvio plotas naudojantis stiprio sąlygos dešiniosios pusės nelygybe:

max maxadm

adm

;N N

AA

≤ σ ≥σ

. (2.23)

Leistinoji apkrova tikrinama, kai žinoma medžiaga, jos leistinieji įtempiai ir ele-mento skerspjūvio matmenys. Pagal stiprio reikalavimus, naudojantis stiprio sąlygos dešiniąja puse, apskaičiuojama leistinoji apkrova Nadm:

maxadm adm adm;

NN A

A≤ σ ≤ ⋅σ . (2.24)

34

Skaičiuojant konstrukcijų elementus ribinių būvių metodu, į stiprio sąlygą įrašomi ne tie įtempiai, kurie atsiranda dėl nominalinių apkrovų, bet vadinamieji projektiniai įtem-piai, t.y. įtempiai, kai tampriai plastiškų medžiagų elementų visuose skerspjūvio taškuose jie pasiekia ribinių būvių reikšmes.

Konstrukcijos ribiniu būviu vadinamas toks būvis, kai ji nebegali priešintis išorinėms apkrovoms arba nebeatitinka naudojimo sąlygų.

Suprantama, kad elemento ir visos konstrukcijos ribiniai būviai neleistini veikiant ne tik nominalinėms, bet ir visoms kitoms (net atsitiktinėms) apkrovoms. Todėl įtempiai skaičiuojami pagal ribines (projektines) įrąžas, kai žinomos ribinės (projektinės) ap-krovos – atliekant projektinį skaičiavimą arba pagal ribines (projektines) apkrovas, kai žinomos ribinės (projektinės) įrąžos – atliekant tikrinamąjį skaičiavimą.

Konstrukcinės medžiagos stiprio rodiklis, kaip ir leistinųjų įtempių metodo atveju, nustatomas pagal stiprio ribą σu, arba takumo ribą σy ir vadinamas projektiniu stipriu R. Kadangi šis rodiklis įvertina ne visą atsargą (dalis jos išreikšta projektinės apkrovos ir kitais koefi cientais), tos pačios medžiagos stipris dažniausiai yra didesnis negu leistina-sis įtempis (R > σadm).

2.8. Įtempiai ir deformacijos nuo savojo svorio

Nedidelių matmenų tempiamų ar gniuždomų strypų savasis svoris yra mažas paly-ginus su išorinių apkrovų jėgomis, todėl dažniausiai neįvertinamas. Tačiau skaičiuojant ilgus konstrukcijų elementus arba elementus iš nestiprių medžiagų, į jų svorį būtina atsižvelgti, nes kartais jis sudaro pagrindinę, esminę apkrovos dalį.

2.12 pav.

Nagrinėjame L ilgio vienodo skerspjūvio vertikalų viršutiniame gale įtvirtintą stry-pą (2.12 pav., a). Reikia apskaičiuoti ašinę jėgą, įtempį ir ilgio pokytį bet kuriame stry-po pjūvyje i-i, kai strypą veikia vien savasis svoris. Ašinė jėga, veikianti skerspjūvyje, esančiame atstumu z nuo laisvojo galo, yra lygi strypo dalies, tariamai atpjautos ties nagrinėjamu skerspjūviu, svoriui:

z zN G g A z= = ρ ⋅ ⋅ ⋅ , (2.25)

w

35

čia ρ – medžiagos tankis kg/m3; g – laisvojo kritimo pagreitis m/s2; A – skerspjūvio plotas m2; z – atstumas nuo strypo laisvojo galo iki nagrinėjamojo pjūvio i-i m.

Įtempiai šiame pjūvyje:

/z zG A g zσ = = ρ ⋅ ⋅ . (2.26)

Didžiausi įtempiai yra strypo įtvirtinimo pjūvyje:

max g Lσ = ρ ⋅ ⋅ . (2.27)

Vadinasi, strypo savojo svorio sukelti įtempiai priklauso tik nuo medžiagos tankio ir atstumo z ir nepriklauso nuo strypo skerspjūvio ploto. Ši priklausomybė yra tiesinė (2.12 pav., c).

Išskirtos nykstamai mažos strypo dalies dz ilgio pokytis nuo svorio jėgos Gz yra ∆dz, kuris apskaičiuojamas pagal formulę (2.8):

∆ zN dz g A zdz gdz zdzE A E A E

⋅ ρ ⋅ ⋅ ⋅ ρ ⋅= = =

⋅ ⋅. (2.28)

Tuomet strypo dalies z deformaciją ∆z gauname integravę šį reiškinį nuo 0 iki z:

∆2

0 2

z g g zz zdzE E

ρ ⋅ ρ ⋅ ⋅= =∫ . (2.29)

Analogiškai gaunama viso strypo absoliutinė deformacija:

2

2g LLE

ρ ⋅ ⋅∆ = . (2.30)

Šią išraišką galime gauti ir kitokio pavidalo įvertinę pagal (2.25) formulę visą strypo svorį G g A L= ρ ⋅ ⋅ ⋅ , t.y. Gg L

Aρ ⋅ ⋅ = ir įrašę gautą išraišką į (2.30) gauname:

2G LLE A

⋅∆ =

⋅ . (2.31)

Iš pastarosios matome, kad pastovaus skerspjūvio strypo pailgėjimas nuo savojo svo-rio yra perpus mažesnis negu nuo lygaus didumo savajam svoriui išorinės jėgos, pridėtos jo laisvajame gale.

Bet kurio skerspjūvio poslinkis wz įtvirtinimo atžvilgiu lygus strypo dalies L-z pailgėjimui, kuris apskaičiuojamas integruojant nuo z iki L išraišką (2.28):

2 2

2

L

zz

g gw zdz L zE E

ρ ⋅ ρ ⋅= = −∫ ( ) . (2.32)

Taigi, viso strypo ilgyje poslinkiai nuo savojo svorio jėgos kinta pagal parabolės dėsnį (2.12 pav., d).

Skaičiuojant savojo svorio jėgos veikiamų ilgų strypų stiprį naudojamasi šia sąlyga:

admg Lσ = ρ ⋅ ⋅ ≤ σ . (2.33)

36

Iš šios sąlygos dešiniosios pusės nelygybės galima apskaičiuoti didžiausią strypo ilgį Lmax, kuriam esant įtempiai pavojingiausioje vietoje (įtvirtinime) neviršija leistinųjų:

admmaxL

gσ

≤ρ ⋅

. (2.34)

Jeigu nagrinėjamą strypą be nuosavojo svorio jėgos veikia dar ir išorinė apkrova, tai pri-taikius superpozicijos (nepriklausomą jėgų veikimo) principą gauname tokią stiprio sąlygą:

admF g LA

σ = + ρ ⋅ ⋅ ≤ σ . (2.35)

Iš čia galima apskaičiuoti reikiamą skerspjūvio plotą:

adm

FAg L

≥σ − ρ ⋅ ⋅

. (2.36)

Strypo deformacija, įvertinus išorinę jėgą kartu su strypo svorio jėga, apskaičiuojama taip:

2

.2 2

F L g L F L G LLE A E E A E A

⋅ ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = + = +

⋅ ⋅ ⋅ (2.37)

2.9. Tempiamų ir gniuždomų strypų sistemos

Konstrukcijose yra atskirų tempiamų ar gniuždomų elementų (strypų), tačiau daž-niausiai naudojamos konstrukcijos, sudarytos iš kelių ar daugelio strypų ir todėl vadina-mos strypinėmis sistemomis.

Paprasčiausios strypinės sistemos yra tos, kuriose visų strypų išilginės ašys sutampa. Dažnai tokiomis sistemomis vadinami laiptuoti strypai, kur vienas strypas (laiptas) nuo kito gali skirtis skerspjūviu, medžiaga, skirtingai pridėtomis išorinėmis apkrovomis, kartu ir jų skerspjūviuose atsirandančiomis įrąžomis – ašinėmis jėgomis (2.13 pav., a).

2.13 pav.

Yra sistemų (strypų), kurios turi bendras ašis (su centrine šerdimi ir iš kitos medžiagos pagamintais apvalkalais) (2.13 pav., b). Joms priklauso ir gelžbetoninė kolona (2.13 pav., c): jos armatūros viso ploto centras sutampa su kolonos skerspjūvio centru.

37

Jeigu sistemas sudarančių strypų ašys eina ne viena tiese, strypai vienas su kitu ir su atramomis jungiami šarnyrais, o apkrovos pridedamos prie tų šarnyrinių sandūrų (mazgų) – tokios sistemos vadinamos šarnyrinėmis strypinėmis sistemomis (2.13 pav., d).

Šių sistemų strypuose atsiranda tik vienos rūšies įrąžos – ašinės jėgos, t.y. strypai yra tik centriškai tempiami ar gniuždomi.

Idealių šarnyrų pasitaiko retai, tačiau netgi tokios konstrukcijos kaip santvaros, kurių strypai sujungiami standžiai (suvirinimu, varžtais, kniedėmis), dažniausiai nagrinėjamos kaip šarnyrinės strypinės santvaros, nes gaunama didesnė stiprio atsarga.

2.10. Statiškai išsprendžiamų tempiamų ir gniuždomų strypų bei jų sistemų skaičiavimo pavyzdžiai

Dažniausiai atliekamas projektinis skaičiavimas, kai pagal žinomą strypą veikiančią išorinę apkrovą ir jo konstrukcinę medžiagą parenkamas nurodomos formos skerspjūvis apskaičiuojant charakteringus jo matmenis. Šiuo atveju ašinių jėgų, įtempių bei poslinkių diagramos nesu daromos (2.1 ir 2.3 poskyriai).

Tokiu atveju užtenka sužinoti pavojingo strypo ruožo ašinę jėgą ir, naudojant stiprio sąlygą tempimo ir gniuždymo atveju, apskaičiuoti skerspjūvio plotą, o pagal jį susirasti nurodomo skerspjūvio matmenis.

Bendruoju atveju skaičiavimas pradedamas nuo strypo laisvojo galo, atliekant kie-kvieno charakteringo ruožo bet kurioje vietoje tariamąjį pjūvį. Atmetus įtvirtintąsias strypo dalis, likusių dalių pusiausvyrai palaikyti pjūviuose pridedama tempianti ašinė jėga Ni. Ašinės jėgos surandamos projektuojant į strypo ašį kiekvieną ruožą veikiančias išorines jėgas, t.y. naudojant vienintelę galimą šiuo atveju parašyti statinės pusiausvy-ros lygtį. Gautas teigiamas ašinės jėgos ženklas patvirtina pasirinktos krypties teisingu-mą (tempimas, jeigu buvo pasirinktas tempimas ir gniuždymas, jeigu buvo pasirinktas gniuždymas), o neigiamas – esant priešingai (gniuždymas, jeigu buvo pasirinktas tempi-mas ir tempimas, jeigu buvo pasirinktas gniuždymas).

Skerspjūvio plotas apskaičiuojamas naudojant dešiniąją stiprio sąlygos (2.22 formulė) tempimo ir gniuždymo atveju pusę:

admmax/A N≥ σ .

Kadangi daugumos konstrukcinių medžiagų atsparumas tempimui ir gniuždy-mui iki proporcingumo ribos maždaug vienodas, skaičiuojant skerspjūvį naudojama didžiausia pagal modulį ašinė jėga, t.y. neatsižvelgiama į jos ženklą.

Suradus skerspjūvio plotą, pagal nurodytų skerspjūvių fi gūrų plotų išraiškas, ap-skaičiuojami atitinkami tų fi gūrų matmenys. Bendruoju atveju paskui jie apvalinami didėjimo kryptimi (kad nesumažėtų skerspjūvio plotas) ir, naudojant kairiąją stiprio są-lygos pusę, patikrinami įtempiai.

2.14 pav. pavaizduoti visi vienodo skerspjūvio strypų apkrovimo dviem išorinė-mis jėgomis atvejai, o 2.2 lentelėje – dešimt variantų pradinių duomenų.

38

2.14 pav.

2.2 lentelė. Pradiniai duomenys

Variantas F1kN

F2kN

σadmMPa

Apskai-čiuoti

1 100 40 20 a2 50 50 25 d3 50 80 18 a4 65 25 12 d5 45 45 15 a6 30 90 22 d7 110 55 17 a8 60 95 10 d9 100 100 24 a

10 145 35 30 d

1 PAVYZDYS

Vienodo skerspjūvio strypą (2.15 pav., a) veikia jėgos F1=85kN ir F2=175kN; Kons-trukcinės medžiagos leistinieji įtempiai σadm = 35 MPa; Reikia apskaičiuoti strypo skers-pjūvio plotą A′ ir pagal jį surasti: 1) kvadrato kraštinę a′, 2) skritulio skersmenį d ′ .

39

SPRENDIMAS

Pjūvis 1-1 (2.15 pav., b):

1 10; 0;yF N F= − =∑ 1 1 85N F= = kN (temp.).

2.15 pav.

Pjūvis 2-2 (2.15 pav., c):

2 2 1 2 1 20; 0; 85 175 90yF N F F N F F= + − = = − = − = −∑ kN (gniužd.).

maxmax adm

NA

σ = ≤ σ ; 2max90N N= = kN;

2adm

NA

≤ σ ; 3

2 90 10 0,002571435adm

NA

−⋅≥ = =

σm2 =25,714 cm2 = 2571,4 mm2;

1) kai skerspjūvis – kvadratas (2.16 pav.):

A = 2571,4 mm2; A = a2;

a 2571,4 50,71A= = = mm;

Suapvalinę gauname a′ = 51mm;Tuomet parinkto skerspjūvio plotas

A′ = (a′)2 = 512 = 2601 mm2 = 26,01 cm2 = 0,002601 m2;

Tikriname parinkto skerspjūvio įtempius:3

2sk

90 10 34,6´ 0,002601

NA

−⋅σ = = = MPa < σadm = 35 MPa.

Išvada: parinktas skerspjūvis ir jį atitinkantis kvadrato kraštinės matmuo apskaičiuo-tas teisingai (įtempiai nedaug mažesni už leistinuosius);

2) kai skerspjūvis – skritulys (2.17 pav.):

A = 2571,4mm2; 2

4A dπ

=⋅ ;

2.16 pav.

40

4 4 2571,4 57,233,14

Ad ⋅ ⋅= = =

πmm;

Suapvalinę gauname 58d ′ = mm;

2 23,14 58 2640,794 4dA

′π ⋅′ = = =( )

mm2 = 26,4079 cm2 =

= 0,002641 m2;

32

sk90 10 34,08

0,002641NA

−⋅σ = = =

′MPa < adm 35MPaσ =

(skaičiavimai teisingi).

2 PAVYZDYS

Statiškai išsprendžiamų tempiamų ir gniuždomų strypinių sistemų skaičiavimas

Duota strypinė konstrukcija (2.18 pav.). Reikia:

1) nustatyti strypų įrąžas;2) parinkti strypų skerspjūvius:

AB – stačiakampio formos 12

bh

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

medinį strypą

4adm,m m10MPa, 1 10 MPaEσ = = ⋅( );

BC – žiedo formos 1,6Dd

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

strypą iš du-raliuminio

5adm,d d100 MPa, 0,7 10 MPaEσ = = ⋅( );

AC (ar CD) – apvalų plieninį strypą5

adm,pl pl140 MPa, 2 10 MPaEσ = = ⋅( ) ;

BD – lygiašonio kampuočio profi lio (GOST 8509-72) plieninį strypą

5adm,pl pl160 MPa, 2 10 MPaEσ = = ⋅( );

3) apskaičiuoti visų strypų išilgines defor-macijas;4) rasti taško B poslinkį grafi niu ir analitiniu būdais.

2.17 pav.

2.18 pav.

B

41

SPRENDIMAS

a = 4,5 m; b = 2,5 m; c = 1,5 m;

Iš pradžių apskaičiuojame pasvirusių strypų ilgius L ir jų pasvirimo kampus:

4,50m;ACL = =a

2 2 2 24,50 4,50 2,50 8,322ABL b= + + = + + =a a( ) ( ) m;

2 2 2 24,50 2,50 5,148BCL b= + = + =a m;

2 2 2 22,50 1,50 2,915BDL b c= + = + = m.

Kampus, kurių skaičius atitinka pasvirusių strypų skaičių, skaičiavimo patogumui tikslinga pasižymėti vienos kurios nors ašies atžvilgiu plokščioje koordinačių sistemoje. Pvz., mūsų atveju kampus α, β ir γ pažymime x ašies atžvilgiu.

4,50 2,50sin 0,84118,322

4,50cos 0,54078,322

AB

AB

bL

L

+ + ⎫α = = = ⎪⎪⎬⎪α = = =⎪⎭

a

a

α = 57°15′

2,50sin 0,48565,1484,50cos 0,87415,148

BC

BC

bL

L

⎫β = = = ⎪⎪⎬⎪β = = =⎪⎭

a β = 29°03′

1,50sin 0,51462,9152,50cos 0,85762,915

BD

BD

cL

bL

⎫γ = = = ⎪⎪⎬⎪γ = = =⎪⎭

γ = 30°57′

1. Strypų įrąžoms nustatyti naudojame mazgų išpjovimo metodą. Pradedama nuo maz-go, kuriame yra ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų įrąžos ir kurio atžvilgiu gautą lygčių sistemą (parašius atitinkamas statinės pusiausvyros lygtis) įmanoma išspręsti. Mūsų atveju tai mazgas C (2.19 pav.).

Pasirenkame tempiančias strypus CB ir CA įrąžas, t.y. jų rodykles brėžiame nukreiptas iš mazgo ir rašome dvi šiuo atveju galimas statinės pusiausvyros lygtis:

42

0;xF =∑ cos 0;CBF N+ ⋅ β =

0;yF =∑ sin 0;CB CAN N⋅ β − =

Iš pirmosios lygties:

100 114,40 kNcos 0,8741CB

FN − − −= = =β

(gniužd.).

Tuomet iš antrosios lygties:

sin 114,40 0,4856 55,55kNCA CBN N −= ⋅ β = − ⋅ = (gniužd.).

Gauti minuso ženklai rodo, kad strypai CB ir CA yra gniuždomi, nes buvo užsiduotas tempimas.

Likusioms nežinomoms strypų įrąžoms surasti tikslinga pjauti mazgą B (2.20 pav.).

0; cos cos cos 0;0; sin sin sin 0;

x BD BA

y BD BC BA

BCF N N NF N N N

−= ⋅ β − ⋅ γ − ⋅ α =

= ⋅ γ − ⋅ β − ⋅ α =∑∑

114,40 0,8741 0,8576 0,5407 0;0,5146 114,40 0,4856 0,8411 0;

BD BA

BD BA

N NN N− − − − =⎧

⎨ − − − =⎩

( )( )

99,997 0,8576 0,5407 0;0,5146 55,552 0,8411 0;

BD BA

BD BA

N NN N− − =⎧

⎨ + − =⎩

Galimi visi algebroje žinomi lygčių sistemos sprendi-mo būdai. Pavyzdžiui, išsprendžiame keitimo būdu: iš an-trosios lygties

55,552 0,5146 66,047 0,612 .0,8411

BDBA BD

NN N+= = +

Gautą išraišką įrašome į pirmąją lygtį:

99,997 0,8576 66,047 0,612 0,5407 0;54,09kN temp.

BD BD

BD

N NN

− − + ==( )

( )

Gautą NBD reikšmę įrašome į NBA išraišką ir gauname:

66,047 0,6112 54,09 99,11 kN temp.BAN = + ⋅ = ( )

Patikrinimas (gautas įrąžų reikšmes įrašome į pirmąją lygtį):

99,997 0,8576 0,5407 0BD BAN N− − = ;

99,997 0,8576 54,09 0,5407 99,11 0− ⋅ − ⋅ = ;

99,997 99,975 0− ≈ .

2.19 pav.

2.20 pav.

43

2.22 pav.

2. Strypų skerspjūviai parenkami pagal stiprio sąlygą tempimo ir gniuždymo atveju:

admi

ii

NA

σ = ≤ σ ,

čia σi – skaičiuojamojo strypo medžiagos įtempiai MPa; Ni – atitinkamą strypą sistemoje veikianti ašinė jėga kN; Ai – skerspjūvio plotas m2; σadm – strypo medžiagos leistinieji įtempiai MPa.

Strypas AB parenkamas stačiakampio (2.21 pav.) skerspjūvio (h = 2b) iš medžio ( adm,m 10σ = MPa).

Iš dešiniosios stiprio sąlygos pusės šiuo atveju gauname:2

adm,madm,m

; 2AB ABAB

AB

N NA b h bA

≤ σ = ⋅ = ≥σ

;

3

adm,m

99,11 10 0,0704 m 7,042 2 10

ABNb−⋅

≥ = = =σ ⋅

cm;

2 2 7,04 14,08h b= = ⋅ = cm.Bendruoju atveju apvalinama didėjimo kryptimi 0,5 cm

tikslumu (kad skerspjūvio plotas nesumažėtų).Šiuo atveju skerspjūvio plotas nesumažėja vieną jo

matmenį apvalinant mažėjimo, o kitą – didėjimo kryptimi:7,0b′ = cm = 0,07 m;

4,5h′ = cm = 0,145 m;Tada parinkto skerspjūvio plotas

0,07 0,145 0,01015ABA b h′ ′ ′= ⋅ = ⋅ = m2,ο įtempiai

399,11 10 9,760,01015

ABAB

AB

NA

−⋅σ = = =

′MPa < σadm,m = 10 MPa.

Strypas BC parenkamas žiedo (2.22 pav.) formos (D = 1,6d) iš duraliuminio ( adm,d 100 MPaσ = ).

2 2adm,d ; ;

4BC

BCBC

N A D dA

π≤ σ = −( )

3

adm,d

4 4 114,40 10 0,030561,56 3,14 1,56 100

BCNd−⋅ ⋅

≥ = =π σ ⋅ ⋅

m =

= 30,56 mm;

1,6 1,6 30,56 48,496D d= = ⋅ = mm.

d apvaliname mažėjimo, o D – didėjimo kryptimi 1,0 mm tikslumu:

2.21 pav.

44

2.24 pav.

d′ = 30,0 mm = 0,030 m;

49,0D′ = mm = 0,049 m.

Parinkto skerspjūvio plotas2 2 2 2 20,785 0,049 0,030 0,001178m

4BCA D dπ′ ′ ′⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦( ) ( ) ( ) ,

o įtempiai3

adm,pl114,40 10 97,11 MPa 100 MPa

0,001178BC

BCBC

NA

−⋅σ = = = < σ =

′.

Strypas AC parenkamas apvalaus skerspjūvio (2.23 pav.) iš plieno adm,pl 140 MPaσ =( ).2

adm,pl ; ;4

ACAC

AC

N dAA

π≤ σ =

⋅

3

adm,pl

4 4 55,55 10 0,022483,14 140

ACNd−⋅ ⋅

≥ = =π ⋅ σ ⋅

m 22,48= mm.

Suapvalinę gauname 23,0d ′ = mm = 0,023 m.Parinkto skerspjūvio plotas

2 23,14 0,023 0,0004154 4ACdA

′π ⋅′ = = =( )

m2,

o įtempiai3

adm,pl55,55 10 133,85 MPa 140 MPa0,000415

ACAC

AC

NA

−⋅σ = = = < σ =

′.

Strypas BD parenkamas lygiašonio kampuočio (2.24 pav.) profi lio adm,pl 160 MPaσ =( ).3

adm,pladm,pl

54,09 10; 0,000338160

BD BDBD

BD

N NAA

−⋅≤ σ ≥ = =

σm2 = 3,38 cm2.

Iš valcuoto plieno sortimento lentelės (GOST 8509-72) paren-kame lygiašonį kampuotį Nr. 4,5 (45x45x4), kurio 3,48BDA′ = cm2 = = 0,000348 m2.

Įtempiai3

adm,pl54,09 10 155,43 MPa0,000348

BDBD

BD

NA

−⋅σ = = = < σ

′= 160 MPa.

3. Strypų absoliučiąsias išilgines deformacijas apskaičiuojame pagal (2.8) formulę:

i ii

i i

N LLE A

⋅∆ =

′⋅,

čia Ni– atitinkamą sistemos strypą veikianti ašinė jėga MN;

2.23 pav.

45

2.25 pav.

Li – nagrinėjamo strypo ilgis m; Ei – strypo medžiagos tamprumo modulis MPa; iA′ – strypo skerspjūvio plotas pagal apskaičiuotus matmenis m2.

3

499,11 8,322 10 0,008131 10 0,01015

AB ABAB

m AB

N LLE A

−⋅ ⋅ ⋅∆ = = =

′⋅ ⋅ ⋅m = 8,13 mm (ilgėja);

3

5

114,40 5,148 10 0,007140,7 10 0,001178

BC BCBC

d BC

N LLE A

−−−

⋅ ⋅ ⋅∆ = = =

′⋅ ⋅ ⋅m = –7,14 mm (trumpėja);

3

5

55,55 4,50 10 0,002892 10 0,000415

AC ACAC

pl AC

N LLE A

−−−

⋅ ⋅ ⋅∆ = = =

′⋅ ⋅ ⋅m = –2,89 mm (trumpėja);

3

5

54,09 2,915 10 0,002262 10 0,000348

BD BDBD

pl BD

N LLE A

−⋅ ⋅ ⋅∆ = = =

′⋅ ⋅ ⋅m = 2,26 mm (ilgėja).

4. Taško B poslinkį grafi škai randame nagrinėdami atremtųjų strypų (AB ir BD) deformacijas. Tam iš laisvai pasirinkto popieriaus lape taško B pakankamai stambiu masteliu atidedame minėtų strypų de-formacijas (∆LAB ir ∆LBD) jų vyksmo kryptimis ir iš gautų taškų keliame statmenis. Tiesė, gauta sujungus statmenų susikirtimo tašką B′ su tašku B, ir atitinka taško B poslin-kį plokštumoje. Jis surandamas išmatavus tiesės B B′ ilgį ir padauginus iš pasirinkto mastelio. Toks taško poslinkio geometrinis vaizdas vadinamas poslinkių diagrama (2.25 pav.).

8,39∆ = mm

Apskaičiuojant poslinkį analitiniu būdu ∆ išskaidomas į komponentes ∆x ir ∆y. Iš brėži-nio matyti, kad

cos sinABL BC CD x y∆ = + = ∆ ⋅ α + ∆ ⋅ α ;

cos sinBDL BE GE x y∆ = − = ∆ ⋅ γ − ∆ ⋅ γ .

Išsprendę šią lygčių sistemą gau-name

6,087x∆ = mm,5,753y∆ = mm.

Analitiškai taško B poslin-kis apskaičiuojamas naudojantis Pita-goro teorema:

2 2 2 26,087 5,753 8,38x y∆ = ∆ + ∆ = + = mm.

46

Palyginame abiem atvejais gautus poslinkių rezultatus:

8,39 ≈ 8,38.

Kontroliniai klausimai

Koks elemento deformavimo atvejis vadinamas ašiniu tempimu arba gniuždy-1. mu? Pavyzdžiai.Kas yra elemento pjūvio ašinė jėga? Žymėjimo simboliai, matavimo vienetai, 2. ženklai.Kam yra lygūs ir kaip pasiskirsto normaliniai įtempiai tempiamų ir gniuždomų 3. strypų skerspjūviuose?Kaip išreiškiamos absoliutinė išilginė ir absoliutinė skersinė deformacijos tempi-4. mo ir gniuždymo atveju? Pavyzdys, išraiškos, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai.Kaip išreiškiamos išilginė ir skersinė santykinės deformacijos tempimo ir gniuž-5. dymo atveju? Pavyzdys, išraiškos, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai. Kas yra Puasono koefi cientas? Išraiška, simbolių apibūdinimas. Kokios jo 6. kitimo ribos?Kaip apskaičiuojama absoliutinė išilginė deformacija tempimo ir gniuždymo 7. atveju? Išraiška, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai. Kas yra strypo skerspjūvio linijinis poslinkis? Žymėjimo simbolis, matavimo 8. vienetai.Kokių dydžių ryšį nusako tiesioginė tempimo diagrama? Jos schema, dydžių 9. simboliai, matavimo vienetai.Kokių dydžių ryšį nusako sąlyginė tempimo diagrama? Kaip ji gaunama? Jos 10. schema, dydžių simboliai, matavimo vienetai. Ką apibūdina ypatingų taškų reikšmės tiesioginėje ir sąlyginėje tempimo diagra-11. mose? Dydžių simboliai, matavimo vienetai.Kokias pagrindines mechanines savybes (charakteristikas) galima nustatyti pa-12. gal faktinę (tiesioginę) tempimo diagramą? Dydžių simboliai, jų apibūdinimas, matavimo vienetai. Kokios deformacijos vyksta įvairiose tempimo bandymo stadijose? Apibūdin-13. kite jas.Ką teigia ir iki kokios ribos galioja Huko dėsnis? Schema, išraiška, simbolių 14. apibūdinimas, matavimo vienetai.Kas sąlyginėje tempimo diagramoje išreiškia medžiagos tamprumo modulį 15. E ? Schema, išraiška, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai.Kas yra medžiagos stiprėjimo ruožas? Kaip apibūdinamas medžiagos sustipri-16. nimas (sukietinimas)? Schema, deformacijos kaita bandinį nukrovus stiprėjimo ruože.Kas yra santykinis liekamasis bandinio ilgio pokytis ir santykinis liekamasis 17. bandinio skerspjūvio ploto pokytis? Schema, išraiškos, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai.

47

Kuo tempimas skiriasi nuo gniuždymo? Pavyzdžiai.18. Kokių medžiagų savybės nustatomos tempimo bandymu, ir kokių medžiagų – 19. gniuždymo bandymu?Kokios medžiagos laikomos plastinėmis ir kokios trapiomis?20. Kuo būdingos plastinių medžiagų sąlyginės tempimo ir gniuždymo diagramos? Pa-21. vyzdžiai, dydžių simboliai, matavimo vienetai.Kas būdinga trapių medžiagų sąlyginėms tempimo ir gniuždymo diagramoms? Pa-22. vyzdžiai, dydžių simboliai, matavimo vienetai.Kokie įtempiai laikomi ribiniais plastinėms ir trapioms medžiagoms? Simboliai, 23. matavimo vienetai.Kokie įtempiai vadinami leistinaisiais plastinėms ir trapioms medžiagoms? Išraiškos, 24. simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai.Kokia yra tempiamų ir gniuždomų elementų stiprumo sąlyga? Išraiška, simbolių 25. apibūdinimas, matavimo vienetai.Kokie yra stiprumo skaičiavimo uždavinių tipai? Jų apibūdinimas naudojant sti-26. prumo sąlygą.Kurie tempiamo ir gniuždomo strypo skerspjūviai laikomi pavojingais? Kodėl?27. Kokios būna strypinės sistemos? Pavyzdžiai. 28.

48

3. SKERSPJŪVIŲ GEOMETRINIAI RODIKLIAI

3.1. Bendrosios žinios

Pagrindinė centriškai tempiamų ir gniuždomų elementų skerspjūvio charakteristika, vi-siškai apibrėžianti jų atsparumą, yra jų plotas A (nepriklausomai nuo konfi gūracijos). Tačiau kai elementas lenkiamas, sukamas, klupdomas ar sudėtingai deformuojamas, jo įtempiams bei deformacijoms išreikšti prireikia naujų skerspjūvio geometrinių rodiklių: statinių, iner-cijos, išcentrinio ir atsparumo momentų bei inercijos spindulių. 3.1 pav. pavaizduota dvia-tramė stačiakampio skerspjūvio sija, ant atramų uždėta dvejopai (a ir b). Veikiama to paties dydžio jėgos F, sija išlinksta nevienodai (fa < fb), – vadinasi, jos standumas priklauso ne tik nuo skerspjūvio ploto, bet ir nuo jo padėties išorinės apkrovos atžvilgiu.

3.1 pav.

3.2. Skerspjūvio ploto statinis momentas ir jo centras

Rodiklis, su kuriuo susiduriama nustatant sudėtingo skerspjūvio fi gūros centrą, – sta-tinis momentas. Plokščiosios fi gūros (skerspjū-vio) ploto statinis momentas kurios nors ašies, esančios to skerspjūvio plokštumoje, atžvilgiu yra tos fi gūros elementarių plotelių dA ir jų atitinkamų koordinačių (teigiamų ar neigiamų atstumų nuo konkrečios ašies) sandaugų suma (3.2 pav.).

Stačiakampėje koordinačių sistemoje ašių x ir y atžvilgiu statiniai momentai užra-šomi taip:

,xA

S y dA= ⋅∫ yA

S x dA= ⋅∫ . (3.1)3.2 pav.

C

49

Statinis momentas matuojamas kubiniais ilgio vienetais (cm3, m3) ir gali būti teigia-mas, neigiamas arba lygus nuliui.

Pritaikius teorinėje mechanikoje žinomą atstojamosios momento (Varinjono) teoremą („dedamųjų jėgų momentų pasirinktos ašies atžvilgiu suma yra lygi tų jėgų atstojamosios momentui tos pačios ašies atžvilgiu“), formules (3.1) galima parašyti taip:

x c

A

S y dA A y= ⋅ = ⋅∫ , ,y cA

S x dA A x= ⋅ = ⋅∫ (3.2)

čia A – viso skerspjūvio plotas cm2; xc ir yc – skerspjūvio centro koordinatės cm.

Iš formulių (3.2) galima apskaičiuoti skerspjūvio ploto centro koordinates pasirinktų ašių atžvilgiu:

,xc

SyA

= yc

Sx

A= . (3.3)

Iš formulių (3.2) ir (3.3) matome, kad jei koordinačių ašys eina per skerspjūvio ploto centrą, t.y. kai xc = yc = 0, tai ir statiniai momentai tų ašių atžvilgiu yra lygūs nuliui Sx = Sy = 0.

Ašys, kurių atžvilgiu statiniai momentai lygūs nuliui, vadinamos centrinėmis. Centri-nių ašių susikirtimo taškas C vadinamas skerspjūvio ploto centru.

Sudėtingo skerspjūvio ploto centro koordinatės apskaičiuojamos tokia tvarka:1) sudėtingas skerspjūvis suskirstomas į paprastas geometrines fi gūras;2) skaičiavimui pasirenkamos pagalbinės ašys x ir y ;3) apskaičiuojamas kiekvienos paprastos fi gūros plotas Ai ir centrų koordinatės xi ir yi

pasirinktųjų pagalbinių ašių x ir y atžvilgiu;

4) apskaičiuojamas visas sudėtingo skerspjūvio plotas 1

n

ii

A A=

= ∑ .

5) apskaičiuojami viso sudėtingo skerspjūvio ploto statiniai momentai pasirinktųjų ašių atžvilgiu:

x xiS S= ∑ ir .y yiS S= ∑

Taigi sudėtingo skerspjūvio ploto centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formu-les:

1

1

n

i iy i

c n

ii

Á xSx

A A

=

=

⋅= =

∑

∑, 1

1

n

i ix i

c n

ii

A ySyA A

=

=

⋅= =

∑

∑. (3.4)

Įsidėmėtina, kad simetriškos fi gūros centras yra simetrijos ašyje. Dėl to simetrijos ašies atžvilgiu statinis momentas taip pat yra lygus nuliui.

50

3.3. Skerspjūvio ploto inercijos ir išcentrinis inercijos momentai

Plokščiosios fi gūros (skerspjūvio) ploto inercijos momentas bet kurios ašies, esančios to skerspjūvio plokštumoje atžvilgiu, yra tos fi gūros elementarių plotelių dA ir jų atstumų nuo atitinkamos ašies kvadratų sandaugų suma (3.3 pav.).

3.3 pav.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje ašiniai inercijos momentai ašių x ir y atžvilgiu užrašomi taip:

2x

A

I y dA= ⋅∫ , 2x

A

I x dA= ⋅∫ . (3.5)

Inercijos momentas, nustatytas kurio nors taško (vadinamojo poliaus), esančio to skerspjūvio plokštumoje atžvilgiu, vadinamas poliniu inercijos momentu. Dažniausiai jis užrašomas priimtos koordinačių sistemos ašių susikirtimo taško atžvilgiu (3.3 pav.):

2p

A

I dA= ρ ⋅∫ . (3.6)

Iš (3.5) ir (3.6) formulių matome, kad inercijos momentai nuo statinių skiriasi tik tuo, kad koordinatės keliamos kvadratu, tačiau dėl to jie visuomet yra tik teigiami ir nelygūs nuliui. Dimensija – ketvirtojo laipsnio ilgio vienetai (cm4, m4).

Iš 3.3 pav. (užbrūkšniuotas statusis trikampis) matome, kad2 2 2y xρ = + .

Įrašę šią išraišką į formulę (3.6) gauname:

2 2 2 2 2p y x

A A A A

I dA y x dA y dA x dA I I= ρ ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫( ) . (3.7)

Galima įsivaizduoti, kad polinio inercijos momento reikšmė nepasikeis, jeigu sta-tmenas tarpusavyje ašis x ir y pasuksime apie tą polių (ašių susikirtimo tašką) bet kuria kryptimi. Iš to daroma išvada, kad sukant bet kurios koordinačių sistemos, esančios nagri-nėjamosios fi gūros plokštumoje, ašis bendro jų susikirtimo taško (poliaus) atžvilgiu, ašinių

51

inercijos momentų suma nepakinta (nors vienos ašies atžvilgiu inercijos momentas didėja, o kitos – mažėja, t.y. Ip = const.

Inercijos momentai, apskaičiuoti fi gūros centrinių ašių atžvilgiu, vadinami centri-niais inercijos momentais.

Ašiniai inercijos momentai Ix ir Iy naudojami skaičiuojant lenkiamų ir klupdomų, o polinis inercijos momentas – sukamų elementų atsparumą.

Skaičiuojant inercijos momentus, kai ašys yra pasuktos, naudojamasi kitu rodikliu –skerspjūvio išcentriniu inercijos momentu.

Plokščiosios fi gūros (skerspjūvio) ploto išcentrinis inercijos momentas kurių nors dviejų tarpusavy statmenų ašių, esančių to skerspjūvio plokštumoje atžvilgiu, yra tos fi -gūros elementarių plotelių dA ir jų abiejų atstumų (teigiamų ar neigiamų koordinačių) iki duotųjų ašių sandaugų suma:

xyA

D x y dA= ⋅ ⋅∫ . (3.8)

Išcentrinis inercijos momentas taip pat matuojamas ketvirtojo laipsnio ilgio viene-tais (cm4, m4). Jis gali būti teigiamas, neigiamas ir lygus nuliui.

3.4. Inercijos momentai lygiagrečių ašių atžvilgiu

Tarkime, kad duoto elemento skerspjūvio ploto centriniai inercijos momentai Ixc ir Iyc yra žinomi. Reikia nustatyti inercijos momentus ašių x1 ir y1, lygiagrečių centrinėms skerspjūvio ašims xc ir yc, atžvilgiu. Iš 3.4 pav. matome, kad elementaraus plotelio dA ko-ordinatės ašių x1 ir y1 atžvilgiu yra tokios:

1 cx x b= + , 1 cy y= + a .

Pagal inercijos momento apibrėžimą,

2 2 21 1

2 22 2

x c cA A A

c xc xcA A

I y dA y dA y dA

y dA A I S A

= ⋅ = + = ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )a

a a a a . (3.9)

3.4 pav.

52

Analogiškai spręsdami gauname :

21 2y yc ycI I b S b A= + ⋅ + ⋅ . (3.10)

Išcentrinis inercijos momentas perkeliamų lygiagrečių ašių atžvilgiu

1 1 1 1

.

x y c cA A

c c c cA A A A

xcyc yc xc

D x y dA x b y dA

x y dA x dA b y dA b dA

D S b S b A

= ⋅ ⋅ = + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

a

a a

a a

( )( )

(3.11)

Kadangi skerspjūvio ploto centrinių ašių atžvilgiu Sxc = Syc = 0, formulės (3.9), (3.10) ir (3.11) įgauna tokias išraiškas:

21x xcI I A= + ⋅a , (3.12)

21y ycI I b A= + ⋅ , (3.13)

1 1x y xcycD D b A= + ⋅ ⋅a . (3.14)

Iš šių formulių matyti, kad mažiausios inercijos momentų reikšmės gaunamos skers-pjūvio centrinių ašių atžvilgiu. Išcentrinis inercijos momentas kinta tik tuomet, kai lygia-grečiai perkeliamos abi ašys, nes antrasis (3.14) formulės narys neprisideda (lygus nuliui), jei vienas iš dauginamųjų (a ar b) lieka lygus nuliui. Formulės (3.12), (3.13) ir (3.14) naudojamos skaičiuojant sudėtingų skerspjūvių geometrinius rodiklius.

3.5. Inercijos momentai pasuktų koordinačių ašių atžvilgiu

Žinant skerspjūvio ploto inercijos momentus x ir y ašių atžvilgiu, galima apskaičiuoti to paties skerspjūvio inercijos momentus ašių x1 ir y1, pasuktų bet kuriuo kampu α, atžvilgiu (3.5 pav.). Pažymime elementaraus plotelio dA koordinačių susikirtimo su ašimis taškus B ir C. Plotelio koordinatės pasuktų ašių atžvilgiu x1 ir y1. Iš taško B nulei-džiame statmenį į x1 ašį. Pažymime statmens susikirtimo taškus D ir E. Gavome du sta-čiuosius trikampius GDB ir BEO.

3.5 pav.

53

Koordinatės pasuktų ašių atžvilgiu

1x GH HD DG OE DG= = + = + ;

1y DE BE BD= = − ;

BEO∆ sinOE OEBO y

= = α ; sinOE y= ⋅ α ;

cosBE BEBO y

= = α ; cosBE y= ⋅ α ;

GDB∆ cosDG DGBG x

= = α ; cosDG x= ⋅ α ;

sinBD BDBG x

= = α ; sinBD x= ⋅ α .

1 sin cosx y x= ⋅ α + ⋅ α ; 1 cos siny y x= ⋅ α − ⋅ α .

Pagal inercijos momento apibrėžimą pasuktos x1 ašies atžvilgiu, gauname:

2 21 1

2 2 2 2

2 2

2 2

cos sin

cos 2 sin cos sin

cos 2sin cos sin

cos sin sin 2 .

xA A

A A A

x xy y

x y xy

I y dA y x dA

y dA x y dA x dA

I D I

I I D

= ⋅ = α − α =

= ⋅ α ⋅ − ⋅ ⋅ α ⋅ α ⋅ + ⋅ α ⋅ =

= ⋅ α − α ⋅ α + ⋅ α =

= ⋅ α + ⋅ α − ⋅ α

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

(3.15)

Sprendžiant analogiškai y1 ašies atžvilgiu gauname:

2 21 sin cos sin 2y x y xyI I I D= ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α . (3.16)

Išcentrinis inercijos momentas pasuktų x1 ir y1 ašių atžvilgiu

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2

sin cos cos sin

sin cos sin cos

1cos sin sin 2 cos sin2

1 1sin 2 sin 22 2

x yA A

A A A

x xyA

y x y

D x y dA y x y x dA

y dA x y dA x y dA

x dA I D

I I I

= ⋅ ⋅ = ⋅ α + ⋅ α ⋅ α − ⋅ α =

= ⋅ α ⋅ α ⋅ − ⋅ ⋅ α ⋅ + ⋅ ⋅ α ⋅ −

− ⋅ α ⋅ α ⋅ = ⋅ α + α − α −

− ⋅ α = α −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

( )( )

( )

( cos2 .xyD+ ⋅ α) (3.17)

54

Sudedame inercijos momentus pasuktų ašių atžvilgiu (tretieji nariai susiprastina):

2 2 2 21 1

2 2 2 2

cos sin sin cos

cos sin sin cos

const.

x y x y x y

x y

x y p

I I I I I I

I II I I

+ = ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α =

= α + α + α + α =

= + = =

( ) ( )

(3.18)

Tai dar kartą patvirtina 3.3 poskyryje įrodytą teiginį, kad nors sukant ašis inercijos momentų reikšmės kinta, tačiau jų suma lieka pastovi, nes ji lygi poliniam inercijos mo-mentui, kuris nepriklauso nuo pasuktų ašių padėties.

3.6. Svarbiausiosios ašys ir svarbiausieji inercijos momentai

Sukant centrines ašis skritulio, kvadrato, stačiakampio, lygiakraščio trikampio bei lovinio profi lio fi gūrų inercijos momentų reikšmės nekinta. Tačiau sukant analogiškas kitų fi gūrų ašis, inercijos momentų reikšmės proporcingai didėja ir mažėja. Vadinasi, egzistuo-ja kampas, kuriuo pasukus ašis inercijos momentai įgauna ekstremaliąsias reikšmes; jas dažniausiai ir reikia žinoti atliekant praktinius skaičiavimus.

Iš matematikos žinome, kad norint nustatyti kurios nors funkcijos ekstremalio-sios reikšmės vietą, randama tos funkcijos pirmoji išvestinė, kuri prilyginama nuliui. Taigi minėtam kampui surasti nagrinėjama ašinio inercijos momento pirmoji išvestinė kampo α atžvilgiu:

2 21 cos sin

sin 2 2 sin cos

2 sin cos 2 cos2

sin 2 sin 2 2 cos 2

sin 2 2 cos2 .

xx y

xy x

y xy

x y xy

y x xy

dI d I Id dD I

I D

I I D

I I D

−

−

= ⋅ α + ⋅ α −α α

− ⋅ α = ⋅ α ⋅ α +

+ ⋅ α ⋅ α − ⋅ α =

= ⋅ α + α − ⋅ α =

= − α − ⋅ α

(

)

( )

2cos 2sin cosdd

−α

= α ⋅ αα

2sin 2sin cosdd

α= α ⋅ α

αsin 2 2cos2dd

α= α

α1sin cos sin 22

α ⋅ α = α

Gautą reiškinį prilyginame nuliui, kampą α, kaip vienintelį nagrinėjamosios fi gūros, kuriuo pasukus ašis gaunamos ekstremaliosios inercijos momentų reikšmės, pažymime kampu α0, gauname:

0 0

0 0

1sin 2 2 cos2 0 ;2

1 sin 2 cos2 0;2

y x xy

y x xy

I I D

I I D

−

−

⎛ ⎞− α − ⋅ α = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− α + ⋅ α =

( )

( )

0 01 sin 2 cos2 02 x y xyI I D− α + ⋅ α =( ) . (3.19)

55

Gautos lygties kairioji pusė sutampa su (3.17) lygtimi, išreiškiančia išcentrinį iner-cijos momentą pasuktose ašyse. Taigi išcentrinis inercijos momentas apie tas ašis, kurių atžvilgiu gaunamos ekstremaliosios ašinių inercijos momentų reikšmės, yra lygus nuliui.

Dvi viena kitai statmenos ašys, kurių atžvilgiu inercijos momentai turi ekstremines reikšmes (arba kurių atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui), vadinamos svarbiausiosiomis ašimis, o ašiniai inercijos momentai tų ašių atžvilgiu – svarbiausiai-siais inercijos momentais.

Svarbiausiosios ašies krypties kampą galima surasti padauginę (3.19) lygtį iš (– 2):

0 0

0 0

sin 2 2 cos2 0,

sin 2 2 cos2 .y x xy

y x xy

I I D

I I D

− α − ⋅ α =

− α = ⋅ α

( )

( )

Sukeitę narius gauname:

0

0

2sin 2cos2

xy

y x

DI I

α=

α −, arba 0

2tg2 xy

y x

DI I

α =−

. (3.20)

Svarbiausiosios ašys, kurių centras sutampa su nagrinėjamo skerspjūvio centru, va-dinamos svarbiausiosiomis centrinėmis ašimis, o inercijos momentai tų ašių atžvilgiu – svarbiausiaisiais centriniais inercijos momentais.

Gautas teigiamas kampas nuo skerspjūvio centrinės xc ašies teigiamos krypties pažymimas prieš laikrodžio rodyklę (taip pasukus ašis gauta formulė kampui surasti), ir priešingai.

Ašį, kurios atžvilgiu inercijos momentas didžiausias, priimta žymėti raide U, o ašį, kurios atžvilgiu inercijos momentas mažiausias, – raide V.

Svarbiausiuosius inercijos momentus galima apskaičiuoti pagal inercijos mo-mentų formules (3.15 ir 3.16) pasuktų ašių atžvilgiu, kampą α juose pakeitus žino-mu kampu α0:

2 2max 0 0 0

2 2min 0 0 0

cos sin sin 2

sin cos sin 2u x y xy

v x y xy

I I I I D

I I I I D

⎫= = ⋅ α + ⋅ α − ⋅ α ⎪⎬

= = ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α ⎪⎭

(3.21)

Atlikus šiose formulėse atitinkamus trigonometrinius pertvarkymus, gaunama api-bendrinta formulė ekstremaliųjų inercijos momentų reikšmėms apskaičiuoti, į kurią neįei-na kampas α0:

2 2min

1 4 ,2 2

x yu x y xy

I II I I I D

+= = ± − +( ) (3.22)

Gautas kampas α0 visuomet mažesnis už π/4 = 45°, todėl turi būti įvykdytos tokios sąlygos:

jeigu ,xc ycI I> tai Imax ,xcI> o Imin < Iyc ,

ir jeigu ,xc ycI I< tai Imax ,ycI> o Imin < Ixc .

56

3.7. Išcentrinio inercijos momento savybės

1. Svarbiausiųjų ašių atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui (3.19 for-mulė).

2. Skerspjūvio dalių, esančių I ir III koordinačių sistemos kvadrantuose, išcentrinio inercijos momento ženklas teigiamas, o dalių, esančių II ir IV kvadrantuose, – neigiamos (3.6 pav.).

xcycA

D x y dA= ⋅ ⋅∫ .

I x⋅y⋅dA > 0;II (-x)y⋅dA < 0;III (-x)(-y)dA > 0;IV x(-y)dA < 0.

Matome, kad nagrinėjamo skerspjū-vio ploto išcentrinio inercijos momento ženklas yra neigiamas, nes akivaizdus neigiamų sandaugų perviršis (II ir IV kvadrantuose).

3. Jeigu skerspjūvis turi bent vieną simetrijos ašį, tai ši ir bet kuri kita jai statmena ašis yra to skerspjūvio svarbiausiosios ašys, t.y. šių ašių atžvilgiu išcentriniai inercijos momentai lygūs nuliui (3.7 pav., a, b, c)

0.I II III IV

xyA A A A

D x y dA x y dA x y dA x y dA= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Stačiakampio fi gūros, pavaizduotos 3.7 pav., d, ašys x ir y nėra svarbiausiosios, nes

nė viena iš jų nėra simetrijos ašis, todėl ši fi gūra tų ašių susikirtimo taško atžvilgiu turi visai kitas svarbiausiąsias ašis.

3.7 pav.

4. Bendruoju atveju, kai didesnė nagrinėjamos fi gūros ploto dalis išsidėsčiusi pirma-me ir trečiame kvadrantuose, jos išcentrinio inercijos momento ženklas yra teigiamas, ir atvirkščiai (3.8 pav.).

3.6 pav.

57

Lygiašonio ir nelygiašonio kampuočių bei sta-čiojo trikampio fi gūrų išcentrinio inercijos momento ženklas nustatomas kaip ir bendruoju atveju pagal jų padėtį centrinių ašių atžvilgiu arba gali būti nusta-tomas taip: jei svarbiausioji ašis U, kurios atžvilgiu inercijos momentas turi maksimalią reikšmę, eina per II ir IV kvadrantus, tokios padėties fi gūros išcentrinis inercijos momentas Dxcyc > 0 (3.8 pav., a, d), ir prie-šingai, t.y. Dxcyc < 0, jei minėta ašis eina per I ir III kvadrantus (3.8 pav., b,c).

3.8. Inercijos spinduliai ir atsparumo momentai

Ašinio inercijos momento išraiškoje 2x

A

I y dA= ⋅∫ (3.5 formulė) dydis y yra kintantis

nuo nulinės reikšmės (taškų x ašyje) iki didžiausios reikšmės, atitinkančios labiausiai nutolusį nuo x ašies nagrinėjamos fi gūros tašką.

Inercijos momentas nepasikeičia vietoj kintamo dydžio y2 įrašius vidutinę jo reikšmę, kurią priimta žymėti 2

xi . Šią reikšmę, kaip pastovų dydį, galima iškelti prieš in-tegralo ženklą:

2 2 2 .x x x xA A

I i dA i dA i A= ⋅ = = ⋅∫ ∫Iš čia

2 xx

IiA

= , arba xx

yy

IiAI

iA

⎫= ⎪

⎪⎬⎪= ⎪⎭

(3.23)

čia ix ir iy – geometriniai rodikliai, vadinami skerspjūvio inercijos spinduliais atitinkamai x ir y ašių atžvilgiu (cm, m).

Lenkiamų ir sukamų elementų stiprumui skaičiuoti naudojamas dar vienas skerspjū-vio geometrinis rodiklis – atsparumo momentas.

Skerspjūvio ašiniu atsparumo momentu vadinamas skerspjūvio centrinio inercijos mo-mento ir labiausiai nutolusio nuo ašies skerspjūvio taško atstumo (koordinatės) santykis.

Kadangi vienos ašies atžvilgiu galima nustatyti du labiausiai nutolusius skerspjūvio taškus (į vieną ir į kitą pusę nuo ašies), galimos ir dvi atsparumo momento reikšmės vienos ašies atžvilgiu (3.9 pav.):

3.8 pav.

Analogiškai gauname

58

( ) ( )

( ) ( )

min maxmax min

min maxmax min

,

,

xc xcxc xc

yc ycyc yc

I IW Wy y

I IW W

x x

⎫= = ⎪⎪⎬⎪= = ⎪⎭

(3.24)

Atsparumo momentai matuojami kubi-niais ilgio vienetais (cm3, m3) ir yra visuomet teigiami. Ašiniai atsparumo momentai papras-tai skaičiuojami skerspjūvių centrinių ašių (for-mulės 3.24) arba svarbiausiųjų centrinių ašių atžvilgiu (WU(max), WU(min) ir WV(max), WV(min)).

Sukamų elementų stiprumui skaičiuoti dažniausiai naudojamas skerspjūvio polinis at-sparumo momentas – tai polinio inercijos mo-

mento ir labiausiai nutolusio skerspjūvio taško atstumo nuo poliaus santykis:

max

pp

IW =

ρ. (3.25)

3.9. Paprasčiausių skerspjūvių geometriniai rodikliai

1. Stačiakampio ploto inercijos momentui išreikšti atstumu y nuo ašies xc išskiriame dy pločio elementą, kurio plotas dA=b⋅dy (3.10 pav.). Pagal inercijos momento apibrėžimą

322 2 2 2

22

3

hh

xc hhA A

yI y dA y b dy b y dy b+

+

−−

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫

3 3

3 3 3

3

2 23 3 24 24 12

12yc

h hh h b hb b

b hI

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎢ ⎥= − = + =⎜ ⎟ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎝ ⎠ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪

⎪⋅ ⎪=⎪⎭

(3.26)

Dxcyc= 0 (3.7 poskyris)

3

3 2

2

21212 6

2

6

xcxc

max

yc

b hI b h b hW hy h

b hW

⎫⋅⎪⋅ ⋅ ⋅

= = = = ⎪⎪⋅⎬⎪⎪⋅

= ⎪⎭

(3.27)

3.9 pav.

Analogiškai sprendžiant gauname

Analogiškai gauname

3.10 pav.

59

2. Kvadratas – tai stačiakampis, kurio kraštinės lygios, t.y. h = b = a, todėl

4

12xc ycI I= =a . (3.28)

3

6xc ycW W= =a . (3.29)

3. Skritulio skerspjūviui patogiau pirmiausia surasti polinį inercijos momentą cen-tro atžvilgiu. Tam spinduliu ρ (3.11 pav., a) išpjauname dρ storio žiedą, kurio plotas

2A d= π ρ ⋅ ρ⋅ .

3.11 pav.

422 3

02 2 2

4

r

pA A A

I dA d dρ

= ρ ⋅ = ρ π ⋅ρ ⋅ ρ = π ρ ⋅ ρ = π =∫ ∫ ∫

4

4 422 2 32

dr d

⎛ ⎞π⎜ ⎟π ⋅ π ⋅⎝ ⎠= = = . (3.30)

Skritulys – fi gūra visapusiškai simetriška, todėl Ixc = Iyc.Kadangi 2 2 ,p xc yc xc ycI I I I I= + = =

tai iš čia 4 4/ 32

2 2 64p

xc yc

I d dI I π π= = = =

⋅ ⋅ . (3.31)

Αtsparumo momentai:

4

3

max

3216

2

pp

dI dW d

ππ

= = =ρ

⋅⋅ . (3.32)

4

3

max

6432

2

xcxc yc

dI dW W dy

ππ

= = = =

⋅⋅ . (3.33)

60

4. Žiedo inercijos momentus randame kaip dviejų skritulių su skirtingais skersmeni-mis D ir d (3.11 pav., b) inercijos momentų skirtumą:

4 2

4 4

32 32 32pD dI D dπ π π

= − = −⋅ ⋅ ( ). (3.34)

4 4

4 4

64 64 64xc ycD dI I D dπ π π

= = − = −⋅ ⋅ ( ). (3.35)

Atsparumo momentai surandami pagal šio rodiklio apibrėžimą:

4 4

4 4

max

3216

2

pp

D dIW D dD D

π− π

= = = −ρ

( )( ). (3.36)

4 4

4 4

max

6432

2

xcxc yc

D dIW W D dDy D

π− π

= = = = −( )

( ). (3.37)

5. Stačiajam trikampiui patogiau pirmiausia surasti inercijos momentą x ašies, einan-čios per jo viršūnę ir lygiagrečios centrinei xc ašiai, atžvilgiu (3.12 pav., a). Tam atstumu y nuo jos išskiriame dy pločio elementą, kurio ilgį by surandame iš trikampių panašumo:

; ;yy

b y bb yb h h

= =

Išskirto elemento plotas ybdA b dy y dyh

= ⋅ = ⋅ .

3.12 pav.

C

61

Tuomet 2 2 3x

A A A

b bI y dA y y dy y dyh h

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

4 3 3

04 4 4

hb y b h b hh h⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅

. (3.38)

Centrinį inercijos momentą xc ašies atžvilgiu randame naudodami inercijos momento perkėlimo lygiagrečios ašies atžvilgiu (3.12) formulę 2

1x xcI I A= + ⋅( )a :

2321

3 2 3 3

3 3 3

3

24 3 2

4 24 9 2 4 9

9 836 36

36

xc x

yc

b h h b hI I A

b h h b h b h b h

b h b h b h

h bI

⋅ ⋅⎛ ⎞= − ⋅ = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − =

⎫⋅ − ⋅ ⋅= = ⎪⎪

⎬⋅ ⎪= ⎪⎭

a

(3.39)

Dažnai tenka naudoti inercijos momentą trikampio pagrindo, t.y. ašies x1 atžvilgiu

23 3 22

1 2

3 3 3 3

36 3 2 36 9 22 3 .

36 36 12

x xcb h h b h b h h b hI I A

b h b h b h b h

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= + ⋅ = + = + =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= = =

a

(3.40)

Išcentrinį inercijos momentą x ir y ašių atžvilgiu nustatome pagal šio rodiklio apibrė-žimą, nagrinėjant elementarų plotelį apie tašką, esantį elemento by viduryje, t.y. laikant

/ 2 ;

2 2y

b yb yhx b

h

⋅⋅

= = =

23

2

42 2 4 2 2

2 20

2 2

0 .4 82 2 4

xyA A A

h

b b bD x y dA y y y dy y dyh h h

yb b h b hh h

− −

−−

= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

⋅ ⋅= = − =

∫ ∫ ∫( ) ( )

( ) (3.41)

Išcentrinis inercijos momentas centrinių xc ir yc ašių atžvilgiu nustatomas pagal (3.14) formulę:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

;

2 28 3 3 2 8 18

9 8 .72 72

xy xcyc xcyc xyD D b A D D b A

b h h b b h b h b h

b h b h b h

− −

−−

−

= + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ + ⋅ ⋅= =

a a

(3.42)

Analogiškai gauname

62

Skaičiavimuose dažnai tenka naudoti paprastojo (ne stačiojo) trikampio inercijos mo-mentą jo aukštinės h, neinančios per centrą atžvilgiu (3.12 pav., b). Šiuo atveju duotąjį tri-kampį reikia nagrinėti kaip sudarytą iš dviejų stačiųjų trikampių, turinčių bendrą vertikalų statmenį h ir skirtingus horizontalius statmenis c ir d:

2 2

1 23 2 3 2y y yd d h c c hI I I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (3.43)

3.10. Sudėtingo skerspjūvio geometrinių rodiklių skaičiavimo pavyzdys

Reikia nustatyti duoto sijos skerspjūvio (3.13 pav.):1. centro koordinates (xc , yc); 2. ašinius ir išcentrinį inercijos momentus (Ixc , Iyc , Dxcyc);3. svarbiausiųjų ašių kryptį (α0);4. svarbiausiuosius inercijos momentus (Imax , Imin);5. svarbiausiuosius inercijos spindulius (imax , imin);6. atsparumo momentus svarbiausiųjų ašių atžvilgiu (Wu(min) , Wu(max) , Wv(min) , Wv(max)).

SPRENDIMAS

Pagrindinio stačiakampio plotis bst = 7,0 cm. Kiti skerspjūvio matmenys nustatomi taip: a) pagrindinio stačiakampio (jo trūkstami kontūrai sche-

moje parodyti punktyrais) aukštis hst = 2 bst;b) trikampio didesnysis matmuo htr=bst, o mažesnysis

matmuo btr = bst/ 2;c) skritulio centras sutampa su pagrindinio stačiakampio

centru. Skritulio skersmuo d = 0,5 bst .

Iš valcuotų profi lių sortimento lentelių išrenkame reika-lingus skaičiavimui duomenis:

a) nelygiašonio kampuočio profi liui (GOST 8510-93) – Nr. (56x36x4): A = 3,58 cm2; Bk = 5,6 cm; bk = 3,6 cm; dk = 0,4 cm; x0 = 0,84 cm; y0 = 1,82 cm; Ix = 11,40 cm4; Iy = 3,7 cm4, tgα = 0,406.

b) loviniam profi liui Nr.8 (GOST 8240-89): A = 8,98 cm2; hL =8,0 cm; bL = 4,0 cm; dL = 0,45 cm; Ix = 89,4 cm4; Iy = 12,8 cm4; z0 = 1,31 cm.

1. Duotą skerspjūvį (3.13 pav.) nusibraižome masteliu 1:1 ar 1:2 milimetriniame ar languotame A4 ar A3 formato popieriaus lape (priklausomai nuo matmenų). Sudėtingą skerspjūvį (3.14 pav.) sudarančias fi gūras sunumeruojame. Apskaičiuojame jų plotus:

A1 = 3,58 cm2 (iš sort. lentelės);

A2 = 8,98 cm2 (iš sort. lentelės);

3.13 pav.

63

v

v

A3 = hst ⋅ bst = 14,0 ⋅ 7,0 = 98,0 cm2;2 2

24

3,14 3,5 9,62cm4 4dA π ⋅ ⋅

= = = ;

25 6

3,5 7,0 12,25cm .2 2

tr trb hA A ⋅ ⋅= = = =

3.14 pav.

64

Apskaičiuojame viso skerspjūvio plotą:

1 2 3 4 5 623,58 8,98 98,0 9,62 12,25 12,25 100,94cm .

iA A A A A A A A= Σ = + + − + − =

= + + − + − =

Parenkame pagalbines x ir y ašis taip, kad visas skerspjūvis būtų teigiamame kva-drante. Šių ašių atžvilgiu apskaičiuojame kiekvienos skerspjūvį sudarančios fi gūros centrų koordinates atskirai xi ir yi:

1 0 3,6 0,84 2,76cm;kx b x= − = − =

2 / 2 3,6 8 / 2 7,60cmk lx b h= + = + = ;

3 / 2 3,6 7 / 2 7,10cmk stx b b= + = + = ;

4 3 7,10cmx x= = ;

5 / 33,6 7,0 3,5 / 3 11,77cm

k st trx b b b= + + == + + = ;

6 / 3 3,6 7 / 3 5,93 cmtrkx b h= + = + = .

1 0 14 1,82 12,18cm;sty h y= − = − =

2 0 14 1,31 15,31cm;sty h z= + = + =

3 / 2 14 / 2 7,00cmsty h= = = ;

4 3 7,00cmy y= = ;

5 2 / 3 2 7 / 3 4,67cmtry h= = ⋅ = ;

6 / 3 3,5 / 3 1,17cmtry b= = = .

(atliekant šiuos skaičiavimus, reikia turėti galvoje, kad nuo kampuočio padėties gali susi-keisti jo centro koordinačių reikšmės).

Pagal formules (3.3) apskaičiuojamos viso skerspjūvio centro koordinatės:

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

3,58 2,76 8,98 7,60 98,0 7,10 9,62 7,10 12,25 11,77 12,25 5,93100,94

9,881 68,248 695,8 68,302 144,182 72,642 7,70cm;100,94

y i ic

i

S A x A x A x A x A x A x A xxA A A

Σ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= = = =

Σ

⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= =

+ + − + −= =

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

3,58 12,18 8,98 15,31 98,0 7,00 9,62 7,00 12,25 4,67 12,25 1,17100,94

x i ic

i

S A y A y A y A y A y A y A yyA A A

Σ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= = = =

Σ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= =

43,604 137,484 686,0 67,34 57,208 14,332 8,35cm.100,94

+ + − + −= =

Pažymime gautas koordinates ir nubrėžiame per gautą centrą viso skerspjūvio cen-trines ašis xc ir yc.

65

2. Apskaičiuojame atskirų fi gūrų centrų atstumus ai ir bi nuo centrinių ašių xc ir yc atitinkamai:

1 1 12,18 8,35 3,83cmcy y= − = − =a ;

2 2 15,31 8,35 6,96cmcy y= − = − =a ;

3 3 7,00 8,35 1,35cmcy y −= − = − =a ;

4 3 1,35 cm−= =a a ;

5 5 4,67 8,35 3,68cmcy y −= − = − =a ;

6 6 1,17 8,35 7,18cmcy y −= − = − =a .

1 1 2,76 7,70 4,94cmcb x x −= − = − = ;

2 2 7,60 7,70 0,1cmcb x x −= − = − = ;

3 3 7,10 7,70 0,6cmcb x x −= − = − = ;

4 3 0,60cmb b −= = ;

5 5 11,77 7,70 4,07cmcb x x= − = − = ;

6 6 5,93 7,70 1,77cmcb x x −= − = − = .

Kaip matyti, atskirų fi gūrų koordinatės viso skerspjūvio centrinių ašių atžvilgiu gali būti teigiamos ir neigiamos.

Apskaičiuojame kiekvienos fi gūros atskirai centrinius inerci-jos momentus (reikia turėti galvoje, kad skerspjūvį sudarančių profi liuotų fi gūrų inercijos momentų reikšmės gali susikeisti pri-klausomai nuo jų padėties):

Ix1 = 11,4 cm4;

Iy1 =3,7 cm4.

Ix2 = 12,80 cm4;

Iy2 = 89,40 cm4.

Stačiakampio (3.17 pav.), skritulio (3.18 pav.), trikampių (3.19 pav., a, b) inercijos momentai apskaičiuojami atitinkamai pagal (3.26), (3.31) ir (3.39) formules:

3 34

37 14 1600,67cm

12 12st st

xb hI ⋅ ⋅

= = = ;

3 34

37 14 400,17cm

12 12st st

yb hI ⋅ ⋅

= = = .

4 44

4 43,14 3,5 7,36cm

64 64x ydI I π ⋅

= = = =⋅ .

3.17 pav.

3.15 pav.

3.16 pav.

(nelygiašonio kampuočio inercijos momentų reikšmės, parinktos iš atitinkamos sortimentų lentelės, pagal šios fi gūros (3.15 pav.) padėtį nesusikeičia);

(lovinio profi lio (3.16 pav.) inercijos momentų reikšmės, parinktos iš atitinkamos sortimentų lentelės, pagal savo padėtį susikeičia);

3.18 pav.

66

3 34

53,5 7 33,35cm

36 36tr tr

xb hI ⋅ ⋅

= = = ;

5 5x yI I>3 3

45

3,5 7 8,34cm .36 36

tr try

b hI ⋅ ⋅= = =

3 34

6 53,5 7 8,34cm

36 36tr tr

x yb hI I ⋅ ⋅

= = = = ;

6 6x yI I>3 3

46 5

3,5 7 33,35cm36 36

tr try x

b hI I ⋅ ⋅= = = = .

Viso skerspjūvio inercijos momentus jo centrinių ašių atžvilgiu (centrinius inercijos momentus) apskaičiuojame pagal inercijos momentų perkė-limo lygiagrečių ašių atžvilgiu (3.12) ir (3.13) formules:

2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3

2 2 2 24 4 4 5 5 5 6 6 6

2 2 2

11,4 3,83 3,58 +

+ 12,80 6,96 8,98 1600,67 1,35 98,0 7,36 1,35 9,62

33,35 3,

xc xi i i x x

x x x

I I A I A I A I A

I A I A I A

= + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ −

− + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ = + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ +

+ +

Σ a a a a

a a a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( 2 2

4

68 12,25 8,34 7,18 12,25 63,91 447,81

1779,28 24,89 199,24 639,86 1825,49cm ;−

⋅ − + ⋅ = + +

+ + − =

) ( )

2 2 21 1 2 2 2

2 2 22 3 3 4 4 4 5 5 5

2 2 26 6 6

2 2

3,7 4,94 3,58 89,40 0.1 8,98

400,17 0,6 98,0 7,36 0,6 9,62

8,34

yc yi i i y i y

y y y

y

I I b A I b A I b A

I b A I b A I b A

I b A

= + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ +

+ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ −

− + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ +

+ + ⋅ − + ⋅ +

+

Σ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( 2 2

4

4,07 12,25 33,35 1,77 12,25

91,06 89,49 435,45 10,82 211,26 71,73 744,71cm .

+ ⋅ − + ⋅ =

= + + − + − =

) ( )

Αpskaičiuojame kiekvienos fi gūros atskirai išcentrinius inercijos momentus jų cen-trinių ašių atžvilgiu.

Skritulio, kvadrato, stačiakampio bei lovinio profi lio išcentriniai inercijos momentai jų centrinių ašių atžvilgiu yra lygūs nuliui, nes šios ašys kartu yra ir svarbiausiosios tų fi gūrų ašys.

Taigi 2 2 0;x yD = 3 3 0x yD = ; 4 4 0x yD = .

3.19 pav.

67

Nelygiašonio kampuočio (3.20 pav.) išcentrinį inercijos momentą apskaičiuojame pagal formulę:

1 tg2 .2xy x yD I I= ± − α( ) (3.44)

(ženklas priklauso nuo fi gūros padėties koordinačių ašių atžvil-giu)

tg 0,406;α = o22 6′α = ;o otg2 tg2 22 6 tg44 12 0,9725;′ ′α = ⋅ = =

41 1 1 1

1 1tg2 11,40 3,70 0,9725 3,74cm2 2x y x yD I I− − −= − α = − =( ) ( ) .

Stačiųjų trikampių (3.21 pav.) išcentrinius inercijos momentus apskaičiuojame pagal (3.42) formulę:

2 2

72tr tr

xyb hD ⋅

= ± (ženklas priklauso nuofi gūros padėties);

2 2 2 24

5 53,5 7 8,34cm

72 72tr tr

x yb hD ⋅ ⋅

= = = ;

2 2 2 24

6 63,5 7 8,34cm

72 72tr tr

x yb hD − − −

⋅ ⋅= = = .

Viso skerspjūvio išcentrinį inercijos momentą jo centrinių ašių atžvilgiu apskaičiuojame pagal išcentrinio inercijos momento perkėlimo lygiagrečių ašių atžvilgiu (3.14) formulę:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 3,74 3,83 4,94 3,58

0 6,96 0,1 8,98

xcyc xiyi i i i x y x y

x y x y x y

x y

D D b A D b A D b A

D b A D b A D b A

D b A −

= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

+ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ −

− + ⋅ ⋅ = + − +

+ + − +

Σ a a a

a a a

a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ]

[ ( ) ] [

4

0 1,35 0,6 98,0

0 1,35 0,6 9,62 8,34 3,68 4,07 12,25

8,34 7,18 1,77 12,25 71,47 6,25

79,38 7,79 175,14 147,34 79,38 407,99

328,61cm .

−

− − −

− − − −

−

+ − −

− + + + ⋅ −

− + = − +

+ − − − = − =

=

( )( ) ]

[ ( )( ) ] [ ( ) ]

[ ( )( ) ]

Gautas minuso ženklas rodo, kad duotojo skerspjūvio svarbiausia ašis eina per I-III kvadrantus.

3.20 pav.

3.21 pav.

68

3. Viso skerspjūvio svarbiausiųjų ašių kryptį nustatome pagal (3.20) formulę:

0

2 2 328,61 657,22tg2 0,6080978744,71 1825,49 1080,78

xcyc

yc xc

DI I

− −

−α = = = =

− −( ) ;

oo o

0 031 192 31 19 ; 15 39 .

2′

′ ′α = α = =

Gautas teigiamas kampas α0 pažymimas nuo teigiamos xc ašies krypties prieš laikro-džio rodyklės judėjimo kryptį (taip pasukus ašis išvesta formulė kampui surasti) ir brėžia-ma svarbiausioji ašis U, kurios atžvilgiu skerspjūvio inercijos momentas turi maksimalią reikšmę. Statmena jai ašis žymima raide V, ir jos atžvilgiu skerspjūvio inercijos momentas turi minimalią reikšmę (kai Ixc > Iyc).

Gautas neigiamas kampas nuo teigiamos xc ašies krypties pažymimas pagal laikro-džio rodyklę ir t.t.

Pastaba: svarbiausiosios ašys nubrėžiamos naudojantis paprasta liniuote, matlankiu ir stačiuoju trikampiu.

4. Skerspjūvio svarbiausieji inercijos momentai apskaičiuojami pagal (3.22) formulę:

IU = Imax =2 21 4

2 2xc yc

xc yc xcyc

I II I D

+± − +( ) ;

2 2max

1825,49 744,71 1 1825,49 744,71 4 328,612 2UI I −+

= = + − + ⋅ =( ) ( )

411285,1 1168085,4 431938,12 1285,1 632,46 1917,56cm2

= + + = + = ;

4min 1285,1 632,46 652,64cmVI I= = − = .

Šiuo atveju turi būti gauta max xcI I> ir min ycI I< .Be to, atliekama aritmetinių veiksmų kontrolė, – tikrinama, ar polinis inercijos mo-

mentas sukant ašis nekinta:

max minp xc ycI I I I I= + = + ;

1825,49 + 744,71 = 1917,56 + 652,64 ;

2570,2 = 2570,2 .

Skaičiavimo teisingumas tikrinamas nustatant, ar skerspjūvio išcentrinis inercijos momentas svarbiausiųjų ašių atžvilgiu yra lygus nuliui (3.19 formulė):

0 0

o o

sin 2 cos22

1825,49 744,71sin 2 15 39 328,61 cos 2 15 392

540,39 0,5195 328,61 0,8545 0.

xc ycUV xcyc

I ID D

−

−= α + ⋅ α =

− ′ ′= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ − ⋅ =

( )

(Jei būtų α0 < 0, tai 0sin 0,α < o 0cos 0α > ).

69

5. Svarbiausiuosius skerspjūvio inercijos spindulius apskaičiuojame pagal (3.23) for-mulę:

maxmax

1917,56 18,99 4,36cm100,94U

Ii iA

= = = = = ;

minmin

652,64 6,46 2,54cm100,94V

Ii iA

= = = = = .

6. Naudodami paprastą liniuotę ir statųjį trikampį surandame į abi puses labiausiai atokių skerspjūvio taškų atstumus nuo svarbiausiųjų ašių. Lyginame juos tarpusavyje (di-desnįjį laikome maksimaliu, mažesnįjį – minimaliu):

min6,0cmu = ;

max6,5cmu = ;

min8,9cmv = ;

max10,7cm.v =

Skerspjūvio atsparumo momentus (po du vienos svarbiausiosios ašies atžvilgiu) ap-skaičiuojame pagal atsparumo momento (3.24) formules:

maxmax

minU

IWv

=( ); min

maxmin

VIWu

=( ).

3max

1917,56 215,46cm8,9UW = =( ) ; 3

min1917,56 179,21cm

10,7UW = =( ) ;

3max

652,64 108,77cm6,0VW = =( ) ; 3

min652,64 100,41cm

6,5VW = =( ) .

Kontroliniai klausimai

Koks žinomos medžiagos strypo skerspjūvio rodiklis visiškai apibrėžia jo atspa-1. rumą tempimo ir gniuždymo deformacijai? Žymėjimo simbolis, matavimo vie-netai.Kas vadinama skerspjūvio ploto statiniu momentu? Schema, išraiškos, simbolių 2. apibūdinimas, matavimo vienetai, ženklai.Kaip apskaičiuojamos skerspjūvio ploto centro koordinatės? Schema, išraiškos, 3. simbolių apibūdinimas. Kokios skerspjūvio ašys vadinamos centrinėmis?Kas yra skerspjūvio ploto ašinis ir polinis inercijos momentai? Koks ryšys tarp 4. ašinių ir polinio inercijos momentų? Schema, išraiškos, simbolių apibūdinimas, ženklai.Kas yra skerspjūvio ploto išcentrinis inercijos momentas? Schema, išraiška, sim-5. bolių apibūdinimas, ženklai.Koks ryšys tarp skerspjūvio ploto inercijos momentų dviejų lygiagrečių ašių at-6. žvilgiu? Schema, išraiška, simbolių apibūdinimas.

70

Koks ryšys tarp skerspjūvio ploto išcentrinių inercijos momentų dviejų lygiagrečių 7. ašių atžvilgiu? Schema, išraiška, simbolių apibūdinimas.Kokios skerspjūvio ašys vadinamos svarbiausiosiomis? Pavyzdys, ašių žymėji-8. mo simboliai, apibūdinimas.Kas yra ir kuo ypatingi svarbiausieji skerspjūvio inercijos momentai? Pavyzdys, 9. išraiškos, simbolių apibūdinimas.Kaip apskaičiuojamas skerspjūvio svarbiausiųjų ašių krypties kampas? Pavyz-10. dys, išraiška, simbolių apibūdinimas.Kaip apskaičiuojamos skerspjūvio svarbiausiųjų inercijos momentų reikšmės? 11. Bendroji formulė, simbolių apibūdinimas. Kokios skerspjūvio išcentrinio inercijos momento savybės? Pavyzdžiai. 12. Ką vadiname skerspjūvio ploto inercijos spinduliu? Pavyzdys, išraiškos, simbo-13. lių apibūdinimas, matavimo vienetai, ženklai. Ką vadiname skerspjūvio ploto ašiniu ir poliniu atsparumo momentu? Pavyzdys, 14. išraiškos, simbolių apibūdinimas, matavimo vienetai, ženklai.Kaip išreiškiami stačiakampio, kvadrato ir skritulio ašiniai inercijos bei atsparu-15. mo momentai? Pavyzdžiai, išraiškos, simbolių apibūdinimas.Kaip išreiškiami žiedo ir trikampio ašiniai inercijos bei atsparumo momentai? 16. Pavyzdžiai, išraiškos, simbolių apibūdinimas.

71

4. LENKIMAS (STIPRUMO SKAIČIAVIMAS)

4.1. Bendrosios žinios

Tiesūs tempiami, gniuždomi (trumpi) ar sukami strypai išlieka tiesūs ir po atitin-kamos deformacijos. Strypas išlinksta tada, kai jo skerspjūviuose veikia lenkimo momen-tai Mx ir My (4.1 pav., a, b).

4.1 pav.

Dėl keliose plokštumose skerspjūvio atžvilgiu veikiančių lenkimo momentų strypo ašis gali tapti erd vine kreive. Šiame sky riuje nagri nėjami tik tiesūs simet riškų skersp jūvių strypai, kuriuos lenkia apkro vos, veikiančios vie noje iš simetrijos plokš tumų. Strypo išil-ginės ašies z ir skersp jūvio simetrijos ašies y su sikirtimo plokštuma vadinama svar biausi-ąja inercijos plokštuma. Taigi strypo ašis, išlinkdama svarbiau siojoje inercijos plokštumo-je, tampa plokščia (ne erdvine) kreive.

Deformacija, dėl kurios strypas išlinksta tik jėgų veikimo plokštumoje, sutam pančioje su svarbiausiąja inercijos plokštuma, vadinama paprastuoju (plokščiuoju) lenkimu.

Lenkiamus tiesius strypus įprasta vadinti sijomis. Paprastojo lenkimo atvejis, kai sijų skerspjūviuose (vienoje iš sijos svarbiausiųjų inercijos plokštumų) išorinės apkrovos sukelia dviejų rūšių įrąžas – lenkimo momentą M ir skersinę jėgą Q, vadi namas skersiniu lenkimu (4.2 pav., a, b, c, d). Toks paprastojo lenkimo atvejis, kai kiekviename sijos skerspjūvyje vei-kia tik viena įrąža – pastovus lenkimo momentas, – vadi namas grynuoju lenkimu (4.1 pav.).

4.2 pav.

Kai sijos skerspjūvyje veikia koncentruota jėga ar išorinis lenkimo momentas (jėgų pora) statmenai jos simetrijos ašiai z, bet sudarantys su svarbiausiosiomis skerspjūvio iner-

x

72

cijos plokštumomis smailų kampą, toks lenkimas vadinamas įstri žuoju skersiniu lenkimu ir grynuoju įstrižuoju lenkimu atitinkamai.

Čia nagrinėjamas paprastasis skersinis ir paprastasis grynasis len kimas.

4.2. Sijos, atramos, atraminės reakcijos

Skaičiuojamojoje schemoje sija vaizduojama kaip jos geometrinė ašis. Kon struk cijose naudojamos sijos gali būti veikiamos koncentruotųjų jėgų, išskirstytųjų jėgų ir lenkimo momentų (aktyviųjų apkrovų). Praktikoje kiekviena reali sija pare miama (atitin kamai pri-tvirtinama) ant atramų, kurios perima aktyviąją apkrovą. Dėl to judesio su varžymo krypti-mis atramose veikia reakcijos, t.y. pasyviosios sijų ap krovos.

Žinoma, kad bet koks kūnas (elementas) plokščioje sistemoje turi tris nevaržo mas judė jimo galimybes (laisvumo laipsnius), t.y. jis gali judėti horizontalia bei vertikalia kryptimis ir suktis (4.3 pav., 1, 2 ir 3 atitinka mai).

Sijų atramos pagal tai, kiek yra neteku sios lais-vumo laipsnių, arba pagal tai, kiek jose yra atrami-nių ryšių (gali veikti reakcijų), skirstomos į tris tipus: šarnyrinė paslankioji, šarnyrinė nepaslankioji, stan-džioji (4.4 pav.).

Šarnyrinė paslankioji atrama (4.4 pav., a) ne-leidžia sijai pasislinkti vertikaliai – nete kusi vieno laisvumo laipsnio (turinti vieną atraminį ryšį), – joje gali veikti viena Fry reakcija (Frz = 0, Μr = 0).

Šarnyrinė nepaslankioji atrama (4.4 pav., b) – netekusi dviejų laisvumo laipsnių (tu-rinti du atraminius ryšius), – joje gali veikti dvi Fry ir Frz reakcijos (Mr = 0).

Standžioji atrama (4.4 pav., c) – netekusi visų galimų laisvumo laipsnių (turinti tris atrami nius ryšius), – joje gali veikti trys Fry, Frz ir Mr reakcijos.

4.4 pav. pateiktas supaprastintas minėtų atramų vaizdas (dažniausiai naudoja mas) ir galimos jose atsirasti (veikti) reakcijos.

4.4 pav.

Kad sija būtų kinematiškai stabili, ji privalo turėti ne mažiau kaip tris atrami nius ryšius. Priklausomai nuo atramų skaičiaus, jų ryšių pobūdžio sijos skirstomos į: a) gem-

ry

ry

ry

r

rz

rz

4.3 pav.

73

bines, kurių vienas galas laisvas, o kitas įtvirtintas standžioje atramoje (4.5 pav., a); b) dviatrames, kai sija remiasi į dvi atramas, iš kurių viena šarnyrinė nepaslankioji, o kita – šarnyrinė paslankioji (4.5 pav., b); c) dviatrames su gembe ar gembėmis (4.5 pav., c).

4.5 pav.

Šios sijos (turinčios tris atraminius ry šius) yra statiškai išsprendžiamos, nes jose veikian čias atramines reakcijas galima ap skaičiuoti pagal statines pu siausvyros lygtis

0; 0; 0x y iF F M= = =∑ ∑ ∑( ) .Sijos, turinčios daugiau kaip tris atrami nius ry-

šius, – statiškai neišspren džiamos, nes jų atra minėms reakci joms surasti statinės pusiausvy ros lyg čių neuž-tenka. 4.6 pav. pavaiz duotos vie nąkart (a, c) ir dukart (b) statiškai neišspren džiamos sijos.

Šarnyrinėje nepaslankiojoje ir standžiojoje (4.4 pav. b ir c atitinkamai) at ra mose horizontali reakcija Frz neveiks, jeigu sijos neveiks horizontalioji ar pasvi-ru sioji sijos ašies atžvilgiu jėga.

Gembinėms sijoms atraminių reakcijų atskirai skaičiuoti nereikia, – jos gauna mos nuosekliai apskai-čiuojant sijų skerspjūviuose nuo išorinės apkrovos veikiančias įrąžas.

Dviatramių sijų atraminės reakcijos skaičiuojamos teorinės mechanikos kurse naudo-jamais metodais tokia tvarka:

pažymimos abiejose atramose vertikalių reakcijų kryptys (aukštyn, žemyn);1. rašomos pusiausvyros lygtys 2. 0 ir 0A BM M= =∑ ∑ (4.5 pav., b, c) ir ap skai-čiuojamos FrB ir FrA reakcijos atitinkamai. Jei gaunama teigiama reakcijos reikš-mė, patvirtinama pasirinktoji kryptis, jei nei giama, – reakcijos kryptis yra prie šinga pasi rinkta jai;patikrinamas reakcijų skaičiavimo teisin gu mas pa-3. gal pusiausvyros lygtį 0;yF =∑kai siją veikia tolygiai išskirstytoji ap krova, re-4. akcijoms (paskui įrąžoms) apskaičiuoti pastaroji pakeičiama atstojamąja ,qF q L= ⋅ vei kiančia iš-skirstytosios apkrovos centre (4.7 pav.).

4.3. Sijų įrąžos

Išorinė apkrova siją veikia nevienodai: sker sai veikiančios koncentruoto sios ir iš-skirstytosios jėgos jos skerspjūviuose sukelia skersinių jėgų (Q) ir jėgų mo mentų (M) įrą-žas, o koncentruotieji lenkimo momentai – tik momento įrąžą (grynasis len kimas). Abi įrą-

4.6 pav.

4.7 pav.

74

žos (išskyrus grynojo lenkimo atvejį) nėra pastovios (ypač len kimo momentas), kinta išilgai sijos, todėl svarbu nustatyti, kuriuose skerspjūviuose įrąžų po-veikis yra pavojingiausias.

Sijų įrąžos, panašiai kaip tempimo, gniuždymo ar sukimo atvejais, nusta tomos pjūvių metodu.

Nagrinėjame dviatramę siją, kurios atramose nuo vertikalios išorinės ap kro vos veikia aukštyn nukreip-tos reakcijos (4.8 pav., a). Horizontalios reakcijos atra moje A nėra. Atstumu z nuo atramos A sąlyginiu, statmenu jos ašiai, pjūviu siją pa daliname į dvi dalis. Kad kairioji dalis (kaip ir dešinioji) liktų pusiausvira, pagal teori nės mecha nikos dėsnius pjūvyje turi veikti vidinių jėgų atstojamosios Q ir M.

Statmena sijos ašiai vidinių jėgų at stojamoji vadinama skersine jėga Q(z).

Vidinių jėgų atstojamosios mo men tas pjūvio centro atžvilgiu vadi namas lenkimo momentu M(z).

Šiai sijos daliai (4.8 pav., b) galima sudaryti tik dvi statinės pusiausvyros lyg tis:

00; 0;yF M= =∑ ∑

Iš pirmosios lygties gau nama:

1 2 ( ) 0;Ar zF F F Q− − − =

1 2( )z rAQ F F F= − − . (4.1)

Remiantis (4.1) lygybe, da roma išvada, kad sijos pjū vio skersinė jėga (įrąža) yra lygi visų, veikiančių vienoje pjūvio pusėje išori nių jėgų (aktyviųjų ir pasy viųjų) pro jekcijų, statmenų sijos ašiai, algebrinei su mai.

Iš antrosios lyg ties, taikant teorinės me chanikos ženklų taisyklę, gaunama:

1 1 2 2 0;rA zF z F z F z M− ⋅ + − + − + =( )( ) ( )a a

1 1 2 2Az rM F z F z F z⋅= − − − −( ) ( ) ( )a a . (4.2)

Remiantis (4.2) lygybe, daroma išvada, kad sijos pjūvio lenkimo momentas (įrąža) yra lygus iš vienos kurios nors pusės iki to pjūvio veikiančių išorinių jėgų (aktyviųjų ir pa-syviųjų) momentų algebrinei sumai.

Bet kurio sijos pjūvio įrąžų Q ir M reikšmės ir ženklai gaunami vienodi nepri klausomai nuo to, iš kurios pusės (kairės ar dešinės) skaičiuojama, jeigu lai komasi tų pačių medžiagų atsparumo kurse priimtų taisyklių (grafi škai jos pavaiz duotos 4.9 paveiksle).

4.8 pav.

75

Skersinė jėga lai koma teigiama, jei visų jėgų, esančių vienoje pjūvio pusėje, atstoja moji kreipia tą sijos dalį pagal lai-krodžio rodyk lės judėjimo kryptį, ir neigia-ma, – jei prieš laikrodžio rodyklės judėjimo kryptį (4.9 pav., a).

Lenkimo momentas laikomas teigia-mu, kai sija išsigaubia žemyn ir nei giamu, – kai sija išsi gaubia aukštyn (4.9 pav., b).

Abi įrąžos (Q ir M) skirtinguose sijos skerspjūviuose yra ne vienodos, todėl jų kitimo pobūdis per visą sijos ilgį vaiz duojamas diagramomis. Norint teisingai jas nubraižyti, rei-kia žinoti šių įrąžų tar pusavio ryšį.

4.4. Lenkimo momento, skersinės jėgos ir išskirstytojo krūvio in-tensyvumo ryšys

Nagrinėjame dviatramę siją, apkrau-tą kin tamo intensyvumo krūviu q ir kito mis aktyvio siomis jėgomis (4.10 pav.) Atstumu z nuo atra mos A dviem statmenais si jos ašiai pjūviais iš pjauname dz ilgio elementą. Ka-dangi ele mentas labai mažas, jo krūvio in-tensyvumą q galima lai kyti pastoviu (q(z) = const).

Pavaizduojame šį elementą padi dintą nuro dy dami jį veikiančią ap krovą (4.10 pav., b). Kai riajame ele mento pjūvyje pridedame veikiančias teigiamas įrąžas Q(z) ir M(z), o deši niajame pjū vyje – analo giškas įrą žas su prieaugiais dQ ir dM.

Teigiant, kad elementas yra pusiau sviras, jam galima taikyti dvi statinės pu siausvy ros lygtis .0 ir 0y iF M= =∑ ∑

Suprojektavus visas elementą vei kiančias jėgas į ašį y, gaunama:

( ) ( ) ( ) 0z z zQ q dz Q dQ− − + =( ) ; – q(z)dz – dQ = 0; dQ qdz

= − . (4.3)

Jei išskirstytojo krūvio kryptis priešinga priimtajai, tai dQ/dz = q.Bet kurio sijos pjūvio skersinės jėgos pirmoji išvestinė pagal kintamąjį sijos ilgį z yra

lygi to pjūvio išskirstytojo krūvio intensyvumui.Dešiniajame pjūvyje (ašyje) pažymime tašką K, kurio atžvilgiu parašome stati nės

pusiausvyros lygtį 0KM =∑ :

( ) ( ) ( ) ( )/ 2 0z z z zM Q dz q dz dz M dM− − ⋅ + ⋅ ⋅ + + = ;2( ) ( ) / 2 0z zQ dz q dz dM− ⋅ + ⋅ + = ;

4.9 pav.

4.10 pav.

76

Atmetus antrąjį narį, kaip labai mažą dydį (dviejų be galo mažų dydžių san daugą), gaunama:

( ).zdM Qdz

= (4.4)

Bet kurio sijos pjūvio lenkimo momento pirmoji išvestinė pagal kintamąjį sijos ilgį z yra lygi tame pjūvyje veikiančiai skersinei jėgai.

Apskaičiavus lenkimo momento antrąją išvestinę (diferencijavus 4.4 formulę dar kartą) gaunama:

2

2

2

2

d M dQ qdz dz

d M dQ qdz dz

⎫ = = − ⎪

⎪⎪⎬⎪⎪ = =⎪⎭

(4.5)

Vadinasi, išskirstytojo krūvio intensyvumas lygus lenkimo momento ant rajai išvesti-nei sijos ilgio atžvilgiu.

Pagal įrąžų didumą nustatoma, kuris sijos skerspjūvis gali būti pavojingas, t.y. kuriame skerspjūvyje medžiaga gali suirti arba atsirasti pernelyg didelės plasti nės deformacijos. Tokį si-jos skerspjūvį galima numatyti tik nesudėtingo jos apkro vimo atvejais, – tuomet įrąžos apskai-čiuojamos tik tame pavojingame skerspjūvyje ir pa gal jas parenkami skerspjūvio matmenys.

4.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas

Visais sudėtingesnio apkrovimo atvejais įrąžos dažniausiai apskaičiuojamos bū din guose sijos skerspjūviuose (charakteringų pjūvių metodas). Gautos skirtingų žen klų įrąžų reikšmės pagal susitarimą pažymimos nuo atskirai nu brėžtos sijos ašies vertikaliose ordinatėse: pliusinės

sker sinių jėgų reikšmės pažymimos virš ašies, minusinės – že miau ašies (4.11 pav., a); pliusinės lenkimo momentų reikš mės pažymi-mos žemiau ašies, o minusinės – virš ašies (4.11 pav., b).

Paskui įrąžų reikšmių taškai sujungiami atitinka mo mis, ryšį tarp M, Q ir q nusakančiomis (4.3), (4.4) ir (4.5) išraiš komis. Taip sudaromos įrąžų Q ir M diagra mos, nusakan čios įrąžų kitimą pri-klausomai nuo sijos ilgio. Tikrinant jų sudarymo tei singumą (4.4) išraišką tikslinga turėti tokią:

( )zdM Q dz= ⋅ , (4.6)

čia dM – sijos ruožo momento pokytis; ( )zQ dz⋅ – sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas.

Atitinkamo sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas lygus momento poky čiui tame ruože.

Pateikiame sijų su viena apkrova įrąžų skaičiavimo ir diagramų sudarymo pa-vyzdžius:

4.11 pav.

arba

77

1. Gembinė sija apkrauta viena koncentruota jėga (4.12 pav.).0k

AQ = (taško A kairėje pu sėje); d kA BQ F Q= − = (skersi-

nė jėga, veikianti taško A dešinėje pu sėje, yra pa-stovi per visą sijos ilgį iki taško B kairės pusės);

0d kB B rBQ Q F F F= + = − + = .

0 0AM F= ⋅ = ;

;kBM F L= − ⋅

0.d kB B BrM M M= + =

Šiuo atveju atramoje B veikiančios reakcijos FrB ir MrB neskaičiuojamos: jos ly gios gautoms įrą žoms su priešingais ženklais.

2. Gembinė sija apkrauta vienu koncentruotu lenkimo momentu (4.13 pav.).

0.A BQ Q= =

0kAM = (taško A kairėje pusėje);d kA BM M M= = ;

0d kB B BrM M M= − = (lenkimo momentas, vei-

kian tis taško A dešinėje pusėje ir bet kuria-me sijos pjūvyje iki taško B).

Šiuo atveju atramoje B veikianti reakcija MrB yra lygi gautai įrąžai k

BM , tik su kanti priešingai.

3. Gembinė sija apkrauta išskirstytuoju krūviu (4.14 pav.).

AQ = q⋅ 0 = 0;

QB = – q · L.

MA = 0;2/ 2 / 2BM q L L q L− −= ⋅ ⋅ = ⋅ .

Matome, kad momento išraiška netiesinė, to dėl skaičiuojame momentą dar vie name, pvz., si jos vidurio pjūvyje (taške C):

2/ 2 / 4 / 8.cM q L L q L− −= ⋅ ⋅ = ⋅

Čia reakcijos:

rBF q L= + ⋅ ; 2 / 2rBM q L= + ⋅ .

4.12 pav.

4.13 pav.

4.14 pav.

78

4. Dviatramė sija, apkrauta koncentruota jėga (4.15 pav.)

0; AM = +∑ (kad reakciją BrF būtų pato giau skaičiuoti pasiren kama ro dykle pa rodyta teigiama apkrovų sukimo kryptis).

0; ;rB rBFF L F FL

⋅ − ⋅ = =a a

0;BM =∑ 0;ArF L F b+ ⋅ − ⋅ =

;rAFF bL

=

Reakcijų skaičiavimo patikrinimas

0;

0;

y rA rBF F F F

F F Fb F b FL L L

= − + =

= − + = + − =

∑

a a( )

Skersinių jėgų skaičiavimas

0;kAQ =

;Ad kA r C

FQ F b QL

= = =

;d k kC C B

F F b F L FQ Q F b F QL L L

⋅ − ⋅ ⋅= − = − = = − =

a

0.Bd KB B r

F FQ Q FL L⋅

= + = − + =a

a

Lenkimo momentų skaičiavimas0 0;A ArM F= ⋅ =

;C rAFM F bL

= ⋅ = ⋅a a

0.B rAFM F L F b b L F bL

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

Tie patys rezultatai gaunami skaičiuojant įrąžas iš dešinės pusės į kairę, pvz.,

;C rBAM F b bL

= ⋅ = ⋅a

5. Dviatramė sija apkrauta išskirsty tuoju krūviu (4.16 pav.)Galima numatyti ir be skaičiavimo, kad šiuo atveju atramose vei kiančios reakcijos

tar pusavyje lygios, o reikšmė atitinka pusę iš skirstytojo krūvio at stojamosios jėgos, t. y.

/ 2;rA rBF F q L= = ⋅

4.15 pav.

79

0;

/ 2;

/ 2 / 2;

0;

kAdA rk dB Ad kB B r

A

B

QQ F q LQ Q q L q L q L q LQ Q F

=

= = ⋅

= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅

= + =

Kad būtų aiškiau, apskaičiuo jame ir / 2 / 2 / 2 0;C rAQ F q L q L q L= − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

2

2 2 2

0 0;

/ 2 0;/ 2 / 2 / 4

/ 4 / 8 / 8.

A rA

B rA

C rA

M F

M F L q LM F L q L L

q L q L q L

= ⋅ =

= ⋅ − ⋅ == ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ − ⋅ = ⋅

6. Dviatramė sija apkrauta koncentruotuoju momentu (4.17 pav.).

0; 0;A r rB BMM F L M FL

= + ⋅ + = = −∑ ;

(gautas neigiamas žen klas rodo, kad reakcija FrB nu-kreipta žemyn).

0; 0; ;B rA rAMM F L M FL

= + ⋅ − = =∑

Reakcijos lygios, tik priešingų krypčių, todėl sija pusiausvira.

0;

/ ;

kAd kA r C BA

QQ F M L Q Q

=

= = = =

/ ( / ) 0dB C rBQ Q F M L M L= + = + − = .

(koncentruotasis momentas skersinei jėgai neturi įta-kos).

0 0;

;

;

0.

A r

kC r

d kC C

B r

A

A

A

M FMM FL

M M M L MM M M M bL L L

MM F L M L ML

= ⋅ =

= ⋅ =

⋅ − ⋅= − = − = = −

= ⋅ − = − =

a a

aa

4.16 pav.

4.17 pav.

80

4.6. Sijų įrąžų diagramų savybės

1. Neapkrautuose sijos ruožuose (4.12, 4.15 ir 4.17 pav.) skersinė jėga Q pastovi (diagrama – tiesė, lygiagreti sijos ašiai), lenkimo momentas M kinta (diagrama – pa svirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė).

2. Sijos ruožuose, apkrautuose tolygiai išskirstytuoju krūviu (4.14 ir 4.16 pav.), sker-sinė jėga Q kinta (diagrama – pasvirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė), lenkimo mo mentas taip pat kinta (diagrama – kvadratinė pa rabolė).

3. Jei gembinės sijos laisvąjį galą veikia tik koncentruotas momentas, jis skersi nės jėgos nesukelia (Q = 0), o lenkimo momentas per visą sijos ilgį – pasto vus (M = const). Toks lenkimo atvejis vadinamas grynuoju lenkimu (4.13 pav.).

Apibendrinus 1, 2 ir 3 savybes, padaroma tokia išvada: ati tinkamo sijos ruožo lenkimo momentų diagrama visuomet vienu laipsniu už skersinių jėgų diagramą aukštesnė kreivė. Šis nuo seklumas grafi škai vaizduojamas 4.18 paveiksle (1 – tiesė, su tampanti su ašimi x; 2 – tiesė, lygiagreti x ašiai; 3 – pasvirusi tiesė; 4 – kvadratinė parabolė).

4. Jei sijos ruože Q > 0, tai M didėja (lenkimo mo-mentų diagramos kreivė, braižant ją iš kairės į dešinę, brėžiama ati tinkama kreive teigiamos lenkimo momentų krypties pusėn, t.y. žemyn ašies atžvilgiu); jei Q < 0, tai M mažėja (diagramos kreivė braižant nukreipiama aukštyn ašies atžvilgiu) (4.15, 4.16, 4.17 pav.).

5. Jei sijos pjūvyje veikia koncentruotoji jėga F (4.15 pav.), toje skersi nių jėgų diag ramos vietoje susida-ro šios jėgos dydžio šuolis, o lenkimo momentų diagra-ma (pasvirusi tiesė) keičia kryptį (lūžis). Skersinė jėga skaičiuojama abiejuose to pjūvio (taško) pusėse.

6. Jei siją veikia koncentruotasis momentas (4.17 pav.), jis skersi nių jėgų diagra mai įtakos neturi, o lenkimo momentų diagramoje susidaro koncen truotojo momento dydžio šuolis. Lenkimo momentas skaičiuojamas abiejose to taško pusėse.

7. Tame sijos pjūvyje, kur Q diagrama kerta ašį, M diagramoje toje vietoje mo mento reikšmė yra ekstreminė (4.15 pav.). Jei toks kirtimas gaunamas nuosekliai kei čiantis skersi-nės jėgos reikšmei (išskirstytojo krūvio ruože), ekstremi nei lenkimo mo mento reikšmei ap-skaičiuoti nustatoma to pjūvio vieta: iš trikampių panašumo Q diag ramoje (žr. 4.12 poskyrį) arba išsprendus prilygintą nuliui skersinių jėgų kitimo lygtį.

8. Jei dviatramių sijų apkrovoje nėra koncentruotojo momento, pliusiniai Q diag-ramos plotai lygūs minusiniams. Bet kuriame sijos pjūvyje prieš laikrodžio ro dyklę vei-kiantis momentas pliusinius Q diagramos plotus didina, ir atvirkščiai.

4.7. Normaliniai sijų įtempiai σ

Kaip žinoma, skersinio lenkimo atveju skerspjūviuose veikia dvi įrąžos: sker sinė jėga Q ir lenkimo momentas M. Norint išsiaiškinti įtempių būvį, patogiau iš pradžių na-

4.18 pav.

81

grinėti grynojo lenkimo atvejį, kai veikia tik vie-na įrąža – lenkimo mo-mentas, o skersinė jėga lygi nuliui. 4.19 paveiksle pavaizduotos dviatra mės stačia kampio skerspjūvio sijos, kurios šone nubrai-žytas kvadratinis tinklas, vi durinėje dalyje – plokš-čiasis grynasis lenkimas. Norint nustatyti šiuo atve-ju vei kiančius įtem pius ir jų pasiskirstymo dėsnį, statinės pusiausvy ros są-lygų (lygčių) neužtenka, – reikia sudaryti papildomas lygtis nagri nėjant išlenk-tos sijos sluoksnių defor-macijas (4.19 pav., d).

Pastebima, kad sijai deformuojantis išilginės kvadratėlių tinklo lini-jos iš linksta o skersinės pasisuka atitinkamais kampais, tačiau lieka tiesios ir statmenos išilginėms (kvadratėliai tampa rombais). Galima spėti, kad plokštieji skerspjūviai, ku rių kontū rus žymi tos skersi-nės linijos, po deformavimo lieka plokšti ir statmeni išlin kusiai iš ilginei ašiai, t.y. galioja plokščiųjų pjūvių hipotezė. Išliekantis kampų statu mas po deformacijos rodo, kad grynojo lenkimo atveju nėra šlyties deformacijų kartu ir tan gentinių įtempių. Išlinkusios sijos iš-gaubtojoje pusėje atstumai tarp skersinių linijų didėja, o įgaubtojoje – mažėja. Taigi, vieni sluoksniai ilgėja (tem piami), kiti trumpėja (gniuždomi). Taigi sijos aukščio viduryje turi būti sluoksnis, ku rio ilgis nesikeičia.

Sijos sluoksnis, kurio ilgis lenkimo metu nekinta, vadina mas neutraliuoju sluoksniu. Neu-traliojo sluoksnio susikirtimo su skerspjūvio plokštuma linija vadi nama neutra liąja li nija (aši-mi) (4.19 pav., d).

Papras tojo len kimo atveju neut ralusis sluoks nis lieka stat menas jėgų plokš tumai, o neut ralioji linija – stat mena jėgų li ni jai.

Nagrinėjame grynojo len kimo ruože dviem statmenais sijos ašiai pjūviais išskirtą dz il gio ele mentą (4.19 pav., a). Nu braižome jį padidintą atskirai prieš ir po deformacijos (4.20 pav., atitinkamai a ir b). Taria mojo neutraliojo sluoksnio ab il gis nepakinta:

' 'ab a bL L dz d= = = ρ ⋅ ϕ ;

Sluoks nio cd ilgis pakinta: ' 'c dL y d= ρ + ϕ( ) ;

4.19 pav.

a

b

c

d

82

Absoliutusis šio sluoksnio pailgėji-mas:

' 'c ddz L dz y d y d∆ = − = ρ + ϕ = ⋅ ϕ( ) ;

Santykinė šio sluoksnio deformacijadz y d y

dz d∆ ⋅ ϕ

ε = = =ρ ⋅ ϕ ρ

. (4.7)

Ši geometrinė lygtis teigia, kad bet kurio sluoksnio santykinė linijinė de-for macija tiesiogiai proporcinga jo ats-tumui y nuo neutraliojo sluoksnio.

Remiantis prielaida, kad sijos ar jos ruožo grynojo lenkimo atveju išilginiai

sluoksniai vieni kitų nespaudžia, t.y. nėra normalinių įtempių veikiančių statmenai šiems sluoks niams, linijiniam įtempių būviui pritaikomas Huko dėsnis: yE Eσ = ⋅ ε =

ρ. (4.8)

Taigi gauname, kad grynojo lenkimo atveju visų sijos sluoksnių įtempių būvis yra vienašis: sijos skerspjūviuose veikiantys normaliniai įtempiai pasiskirsto pagal tiesės dėsnį proporcingai atstumui y nuo neutraliosios ašies.

Nustatant priklausomybę tarp normalinių įtempių ir lenkimo momento ak sono metriškai pavaizduoto elemento dz profi linėje plokštumoje, išskiriame nyksta mai mažą plotelį dA. Elemento kairėje nubraižome veikiantį lenkimo momentą M (4.21 pav., a), o dešinėje pu-sėje jį pakeičiame elementarius plotelius veikiančiomis jėgo mis σ · dA (nes dN/dA = σ → dN = σ · dA). Erdvinės koordinačių sistemos ašį y, kuri yra ir skerspjūvio simetrijos ašis, su-tapatiname su jėgų veikimo plokštuma, ašys x ir z nubrai žomos tariamajame neutraliajame sluoksnyje. Skerspjūvio apati nėje dalyje veikia tem pimo įtempiai, todėl elementari jėga dN

nukreipta iš pjūvio (4.21 pav., a).Išskirtajam elementui iš šešių

erdvinės pusiausvyros lygčių gali-ma parašyti tik tris:

1. 0zF =∑ ;

2. 0yM =∑ ;

3. 0xM =∑ .

1. 0A

dAσ ⋅ =∫ ;

2. 0A

x dA⋅ σ ⋅ =∫ ;

3. A

M y dA= ⋅ σ ⋅∫ .

a b

4.20 pav.

4.21 pav.

83

Į šias lygtis paeiliui įstatome σ iš raišką iš (4.8) formulės:

1. 0A A

y EE dA y dA= ⋅ =ρ ρ∫ ∫ ;

Kadangi 0E≠

ρ, tai 0x

A

y dA S⋅ = =∫ .

Išvada: ašis x eina per skerspjūvio centrą (statinio momento savybė). Ka dangi x ašis buvo nubrėžta tariamajame neutraliajame sluoksnyje, – neutralusis sluoksnis eina per skerspjūvio centrą.

2. 0A A

y EE x dA x y dA⋅ = ⋅ ⋅ =ρ ρ∫ ∫ ; 0E

≠ρ

;

0xyA

x y dA D⋅ ⋅ = =∫ .

Išvada: skerspjūvio išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui tik svar biausiųjų ašių atžvilgiu arba kai bent viena ašis yra skerspjūvio simetrijos ašis – taigi nagrinė jimas teisin-gas, kai svarbiausioji skerspjūvio ašis y sutampa su jėgų veikimo plokš tuma.

3. A

yM E y dA= ⋅ρ∫ ; 2

xA

E EM y dA I= ⋅ =ρ ρ∫ ; x

EM I=ρ

.

Iš pastarosios išraiškos gauname

1

x

ME I

=ρ ⋅

, (4.9)

čia 1ρ

– sijos kreivis, esant grynajam lenkimui;

E · Ix – standumo modulis (lenkiamasis skerspjūvio standis) lenkimo atveju – charak-teristika, nusakanti atitinkamos medžiagos ir skerspjūvio formos sijos pasiprie-šinimą tampriajai deformacijai.

Į įtempių formulę (4.8) įrašę gautą sijos kreivio išraišką (4.9) gauname:

1

x

y ME E y E yE I

σ = = ⋅ = ⋅ρ ρ ⋅

; x

M yI

σ = , (4.10)

čia Ix – skerspjūvio inercijos momentas neutraliosios linijos atžvilgiu; y – atstumas nuo neutraliosios linijos iki skerspjūvio taško, kuriame skai čiuojami

normali niai įtempiai (4.21 pav., a).

Ši formulė patvirtina išvadą, kad sijos skerspjūvyje normaliniai įtempiai kinta pagal tiesės dėsnį (4.21 pav., b). Didžiausios jų absoliutinės reikšmės yra toliau siuose neutralio-sios linijos atžvilgiu skerspjūvių taškuose (4.22 pav.).

Kadangi santykis max

xx

I Wy

= (atsparumo momentas), tai maksimalūs skerspjū vio

normaliniai įtempiai max

x

MW

σ = . (4.11)

84

4.22 pav.

Kai sijos skerspjūvis nesimetriškas neutraliosios linijos atžvilgiu, jo centras nėra vi-duryje (4.22 pav., b), tuomet gniuždomosios ir tempiamosios zonų ekstreminės įtempių reikšmės nevienodos: jei tempiamosios zonos aukštis yt mažesnis už gniuždomosios yc, tai σc > σt, nes xc x c xt x tW I / y W I / y= < = :

max,c

min,t

xc

xt

MWM

W

⎫σ = ⎪⎪⎬⎪σ =⎪⎭

(4.12)

Skaičiuoti (ar tikrinti) įtempius skerspjūvio kraštiniuose pagal aukštį taš kuose būtina tokių sijų, kurios pagamintos iš medžiagų, nevienodai atsparių tem pimo ir gniuždymo po-veikiams. Pvz., trapių medžiagų sijas, mažiau atsparias tem pimui, tikslinga gaminti nesi-metriškų skerspjūvių ir orientuoti jas taip, kad tem pia mosios zonos aukštis būtų mažesnis už gniuždomosios, t.y. tempiama turi būti pla tesnioji sijos skerspjūvio pusė (4.23 pav.)

4.23 pav.

y t

y t

85

Formulės (4.10, 4.11, 4.12) normaliniams įtempiams skaičiuoti gautos pa prastojo grynojo lenkimo atveju, tačiau tinka ir esant paprastajam skersiniam lenki mui, nes sker-sinės jėgos įtaka normaliniams įtempiams nežymi (žr. 4.9 poskyrį). Formulės netaiko-mos, kai skersinė jėga yra labai didelė, o lenkimo momentas ma žas, pvz., kai trumpą siją veikia didelės apkrovos. Šiuo atveju normaliniai įtempiai apskai čiuojami tamprumo teorijos metodais. Tačiau kai L > 5h (L – sijos ilgis, h – sijos skerspjūvio aukštis), nor-malinių įtempių skaičiavimo rezultatai pagal tamprumo teoriją beveik sutampa su rezul-tatais, gautais pagal (4.10) ir (4.11) formules.

4.8. Tangentiniai sijų įtempiai τ

Paprastojo skersinio lenkimo atveju, kai sijos skerspjūvyje veikia lenkimo mo mentas M ir skersinė jėga Q, įvairiuose skerspjūvio taškuose veikia ne tik nor mali niai, bet ir tan-gentiniai įtempiai.

Normaliniai įtempiai, atsiradę dėl lenkimo momento, gali būti skaičiuo jami pa gal (4.10) ir (4.11) formules.

Pirmasis tangentinių įtempių (dėl skersinių jėgų) skaičiavimo teoriją pa grindė rusų inžinierius – kelių ir tiltų projektuotojas bei statytojas Dmitrijus Ivanovi čius Žurav skis. 1844–1850 m. projektuodamas medinius tiltus geležinkeliui Peterburgas – Maskva, iš pra-džių padarydamas atitinkamas prielaidas, jis nu statė:

tangentinių įtempių veikimo kryptis sutampa su sker sinės jė gos kryptimi;1. tangentiniai įtempiai vienodai pasiskirsto sijos skerspjū vio plotyje, tačiau ne-2. vienodai – priklausomai nuo jos aukščio;tangentinių įtempių dualumo dėsnio galiojimą: jeigu tangenti niai įtempi ai veikia 3. skersiniame sijos pjūvyje, tai tokie patys įtempiai vei kia ir išilginiame.

Šių teiginių patvirtinimui galima atlikti bandymą su len kiama trumpa gem bine sta-čiakampio skerspjūvio sijele, kurios šone pagal aukštį nubraižomi kvadratu kai (4.24 pav.).

Po deformacijos labiausiai nutolę nuo neutraliojo sluoksnio kvadratukai tik il gėja (viršutinis) ar siaurėja (apatinis). Artėjant prie neutraliosios ašies, pastebimas nukrypimas nuo plokščiųjų pjūvių hipotezės: kvadratėlio, esančio sijos aukščio vidu ryje, ly-giagrečios kraštinės viena kitos atžvilgiu pašlyja (4.24 pav., b). Tai liudija apie nevienodą šlyties nuo tangentinių įtempių defor-maciją priklausomai nuo sijos aukščio: krašti niuose pagal sijos aukštį sluoksniuose tangentinių įtempių nėra (šie sluoksniai vei-kiami didžiausių normalinių įtempių) ir atvirkš čiai – neutraliaja-me sluoksnyje, kur normalinių įtempių nėra, tangentiniai įtem-piai turi didžiausią reikšmę.

Pagal dualumo dėsnį tangentiniai įtempiai, veikiantys lygiagrečiai sijos sluoks-niams, verčia gretimus išilginius sijos sluoksnius pasislinkti vienas kito atžvil giu, nors medžiagos dalelių sąveikos jėgos tam ir priešinasi. Tai lengvai įro doma kelias vienodo ilgio ir stačiakampio skerspjū vio sijas uždėjus vieną ant kitos ir pa dėjus ant dviejų atra-mų (4.25 pav., a).

4.24 pav.

86

Apkrautos jėga F sijos išlinksta: apatiniai jų sluoksniai tempiami, viršutiniai – gniuždomi. Abie-jų sijų lietimosi plokštumos deformuojasi skirtingai: vir šutinės sijos apatiniai sluoksniai ilgėja, apatinės si jos viršutiniai sluoksniai trumpėja (4.25 pav., b). Sijos lietimosi plokštumoje slysta viena kitos atžvil-giu. Jei sija būtų vientisa minė tame sąlyčio pjūvyje, tangen tiniai įtempiai trukdytų išilginei deformacijai, be to, to kios sijos įlinkis būtų daug mažesnis už tokį patį skerspjūvį sudarančių dviejų sijų įlinkį v.

Tangentiniams įtempiams nu statyti lenkiamoje dviatramėje trape cijos skerspjūvio sijoje išpjauname dz ilgio elementą (4.26 pav., a). Jį veikia pastovi sker sinė jėga (4.26 pav., b) ir kintamas lenkimo momentas (4.26 pav., c), kurie yra tangen tinių ir nor malinių įtempių at-stojamosios ati tinkamai.

Atskirai nubraižytą dz ilgio ele-mentą su jo abiejose pusėse vei kiančiomis įrąžomis ir su jomis su sijusius įtempius matome 4.27 pav., a. Nagrinėjame pu-siausvyrą apati nę šio elemento dalį abcd, nu tolusią nuo neutraliosios linijos at-stumu yK (4.27 pav., b).

Šios dalies kairiąją ir dešinią-ją skerspjūvių plokštumas veikia vie-nodo dy džio tangentiniai įtempiai yτ ir skirtingų dydžių normaliniai įtempiai ( 1 2σ < σ ).

Remiantis dualumo dėsniu galima teigti, kad plokštumoje ab taip pat veikia tangentiniai įtempiai τz. Kadangi pagal dualumo dėsnį τy = τz, juos įprasta žymėti tiesiog τ. Išorinėje plokš-tumoje dc nėra jokių vidinių jėgų, todėl nėra ir įtempių.

Elementą abcd veikiančių normalinių ir tangentinių įtempių atstojamą sias N1, N2 ir dT (4.27 pav., b) parašome pagal 4.28 paveiksle pavaizduotą aksonometrinį šio elemento vaizdą naudodami (4.10) formulės išraišką:

1 1( ) ( ) ( )

K K K

K K Kx x xA A A

z z zM M MN dA y dA y dA SI I I

= σ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ;

2 2( )

( ) ( )

K K

K

KxA A

K Kx xA

z

z z

M dMN dA y dAI

M dM M dMy dA SI I

+= σ ⋅ = ⋅ =

+ += ⋅ =

∫ ∫

∫ ;

v

4.25 pav.

4.26 pav.

87

dT Kb dz= τ ⋅ ⋅ .

čia AK – skerspjūvio dalies, esan-čios žemiau nagrinėja-mojo taško K, plotas;

SK – to paties ploto AK sta-tinis momentas neutra-liosios lini jos atžvilgiu;

bK – skerspjūvio plotis ties nagrinė jamuoju tašku K;

τ – tangentiniai įtempiai.

Elementas pusiausviras, to-dėl taikoma statinės pusiausvyros lygtis 0zF =∑ .

2 1N N− − dT = 0,

( ) ( ) 0K K Kx x

z zM dM MS S b dzI I+

− − τ ⋅ ⋅ = ,

( ) ( ) ,K K K Kx x x

z zM dM MS S S b dzI I I

+ − = τ ⋅ ⋅

,K x Kb dz I dM Sτ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

K

K x

dM Sdz b I

⋅τ =

⋅ ⋅.

Kadangi dM Qdz

= , gauname tangenti-

nių įtempių išraišką:

K

K x

Q Sb I

⋅τ =

⋅, (4.13)

čia Q – sijos skerspjūvyje veikianti skersinė jėga; Ix – viso skerspjūvio inercijos momentas neutraliosios linijos atžvilgiu (dydžiai Q

ir Ix nepriklauso nuo taško K padėties skerspjūvyje); bK – skerspjūvio plotis ties nagrinėjamuoju tašku;

SK – skerspjūvio dalies, esančios žemiau (ar aukščiau) tiesės, nubrėžtos per tašką K (lygiagrečios neutraliajai linijai) statinis momentas neutraliosios linijos atžvil-giu. Priimamas šio dydžio absoliutinis didumas, nes tangen tinių įtempių ženklą nusako skersinės jėgos ženklas.

4.27 pav.

4.28 pav.

88

Išvesta formulė išilginiuose sluoksniuose veikiantiems tangentiniams įtempi ams (kaip normalinių įtempių skirtumas gretimuose skersiniuose pjūviuose sker sinio lenkimo atveju) nustatyti va-dinama Žuravskio formule. Remiantis dualumo dėsniu pagal šią formulę ga-lima apskaičiuoti tangentinius įtem-pius, veikiančius bet kuriame skers-pjūvio taške tiek išilgai, tiek skersai sluoksnių.

Surandant tangentinių įtempių ki timo dėsnį pagal skerspjūvio aukštį, tiks linga nagri nėti stačiakampį skers-pjūvį (4.29 pav.), kuriam šio dėsnio nustatymą sąlygoja tik statinio mo-mento SK kitimas, nes kiti dydžiai yra pastovūs. Taikant (4.13) formulę, gaunamos tokios geomet rinių dydžių išraiškos:

constKb b= = ;

/ 22 2

KK K c K K

h yhS A y y b y −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = − ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 4 2 2K

K K Kyh h hb y y b y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2

2 ;4 2 2 2 2 2 4

KK K K

yh b h h b hy y y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞× + = − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 /12xI b h= ⋅ .

Surašę šias reikšmes į (4.13) formulę gauname:

2 2

2 23 3

12 6 .4 42K K K

Q b h Q hy yb b h b h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅τ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.14)

Matome, kad pagal stačiakampio skerspjūvio aukštį tangentiniai įtempiai kinta kva-dratine parabole. Įtempių diagramą galima nubraižyti turint trijų taškų reikš mes. Krašti-niuose pagal skerspjūvio aukštį taškuose ( / 2Ky h= ) tangentiniai įtem piai yra mažiausi, t.y. lygūs nuliui. Didžiausių įtempių reikšmė yra neutralio sios linijos taškuose ( 0Ky = ):

2 2

max vid.3 36 6 3 3 30

4 2 2 24Q h Q h Q Q

b h Ab h b h⎛ ⎞ ⋅

τ = − = = = = τ⎜ ⎟ ⋅⋅ ⋅⎝ ⎠, (4.15)

čia A – viso skerspjūvio plotas.

4.29 pav.

89

4.31 pav.

Įsimintina, kad (4.13), (4.14) ir (4.15) formulės tinka tik siauriems skerspjūviams, kuriems galioja prielaida apie tangentinių įtempių lygiagretumą sker-sinei jėgai. Tangentinių įtempių veikimas pagal siau-ros sijos aukštį ir plotį, įvertinant jų dua lumo ypaty-bę, paro dytas 4.30 paveiksle.

Žuravskio formulė (4.13) tangentiniams įtem-piams skaičiuoti, įvertinant atitin kamą paklaidą, gali būti taikoma ir kitokių skerspjū vių sijoms. Pvz., atli-kus analogiškus skaičiavimus esant apvaliam skers-pjūviui pagal y ašį, maksimalių įtem pių išraiška taip pat gaunama ties neutraliąja ašimi (4.31 pav.):

max vid4 43 3

QA

τ = = τ . (4.16)

Šiuo atveju pagal Žuravskio formulę gali būti apskaičiuojami tangentiniai įtempi ai τy, nes jie lygiagretūs skersinei jėgai. Tačiau jie sudaro tik vertikaliąją sudeda mąją tikrųjų įtempių τ dalį, kurie kiekvie name skerspjūvio kontūro taške nukreipti liestinės kryptimi.

Skaičiavimai tamprumo teorijos meto-dais įrodė, kad horizontalioji sudedamoji tik-rųjų įtempių dalis τx yra nedidelė.

Taigi esant apvaliam skerspjūviui tan-gentiniai įtempiai τy taip pat kinta pagal pa-rabolės dėsnį.

4.9. Normalinių ir tangentinių įtempių sijose palyginimas. Sijų stiprumo skaičiavimas

Nagrinėjame stačiakampio skerspjūvio dviatramę siją, centriškai apkrautą kon-centruota jėga F (4.32 pav.): A = b ⋅ h; Wx=b ⋅ h2/6; Mmax= Mc = F ⋅ L / 4; Q = F/2.

4.32 pav.

4.30 pav.

90

Pritaikę (4.11) ir (4.15) formules gauname:

max 26

4c

x

M F LW b h

σ = =⋅ ⋅⋅

;

max3 3 32 2 2 4

Q F FA A b h

τ = = =⋅ ⋅

.

Iš čia

max2

max

3 4 22 3F L b h L

hb h Fσ ⋅ ⋅

= =τ ⋅

. (4.17)

Kadangi normaliniai įtempiai yra daug kartų didesni už tangentinius (pvz., pri ėmus sijos ilgį L = 6,0 m, o jos aukštį h = 0,2 m – 60 kartų), tai sijų stipru mas skai čiuojamas lyginant pavojingojo sijos skerspjūvio didžiausius normalinius įtempius su leistinaisiais sijos medžiagos įtempiais naudojant tokią stiprumo sąlygos išraišką:

maxmax adm ,

x

MW

σ = ≤ σ (4.18)

čia Mmax – maksimalus lenkimo momentas, nustatomas pagal lenkimo momentų diagramą; Wx – sijos skerspjūvio atsparumo momentas (rodiklis, nusakantis duoto skerspjūvio

sijos pasipriešinimą lenkimui).

Stiprumo sąlyga sieja tris dydžius, todėl naudojantis ja galima spręsti trijų tipų už-davinius, t.y. nustatyti vieną dydį, kai žinomi kiti du. Svarbiausias iš jų – pro jektinis stipru-mo uždavinys, kai pagal didžiausią lenkimo momentą pavojingame si jos skerspjūvyje ir žinomus numatomos naudoti medžiagos leistinuosius įtempius ap skaičiuojama reikalinga skerspjūvio atsparumo momento reikšmė. Pagal ją iš sorti mento lentelių parenkamas atitin-kamo numerio profi lis (kai sija projektuojama iš val cuotųjų profi lių) arba apskaičiuojami atitinkami parenkamo skerspjūvio matme nys.

Parenkant sijos skerspjūvį stiprumo sąlygos išraiška (dešinė pusė) pertvar koma taip:

max adm .xW M /≥ σ (4.19)

Parenkant medžiagą sijoms, kreipiamas dėmesys į sijos skerspjūvio profi lį. Si joms iš plastiškų medžiagų, kurių leistinieji įtempiai gniuždant ar tempiant iki tam prumo ribos yra maždaug vienodi, tikslinga naudoti skerspjūvius, turinčius dvi simet rijos ašis. Sijoms iš trapių medžiagų, kurių leistinieji įtempiai gniuždant yra didesni už leistinuosius tempiant, parenkami nesimetriški neutraliosios linijos atžvil giu skerspjūviai: pjūvio simetrijos (ver-tikalioji) ašis turi būti statmena neutraliajam sluoksniui, o tempiami sijos sluoksniai turi būti platesni už gniuždomų (skerspjūvis platėja į apačią) (4.23 pav., a; 4.33 pav.).

Projektuojant trapių medžiagų sijas būtina tikrinti įtempius kraštiniuose skerspjūvio taškuose pagal tokias stiprumo sąlygas:

adm,c ,A A I

x x

M MyI W

σ = = ≤ σ (4.20)

91

adm,t ,B B IIx x

M MyI W

σ = = ≤ σ (4.21)

čia adm,cσ ir adm,tσ – medžiagos leisti nieji įtem-piai gniuždant ir tempiant atitinkamai.

Kai sijos trumpos arba jų skerspjūvio plotis ties neutraliuoju sluoksniu nedide lis, jų stipru-mas tikrinamas ir pagal tangentinius įtempius:

max admK

x K

Q SI b

⎛ ⎞⋅τ = ≤ τ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

. (4.22)

4.10. Įtempių būvis skersai lenkiamose sijose. Svarbiausieji įtempiai

Grynojo lenkimo atveju sijų skerspjūviuose veikia tik normaliniai tempimo ir gniuž-dymo įtempiai. Tangentinių įtempių nėra, todėl skerspjūvių plokštumos yra svarbiausio-sios plokštumos, o jose veikiantys normaliniai įtempiai – svarbiausieji įtempiai. Taigi bet kuriame tokių sijų skerspjūvio taške yra vienašis (linijinis) įtem pių būvis.

Skersinio lenkimo atveju skerspjūvyje, be normalinių, veikia ir tangentiniai įtempiai. Jų kitimo dėsniai pavaizduoti 4.34 paveiksle b ir c diagramomis atitinka mai. Kadangi statmena plokštumai (kurioje veikia minėti įtempiai) kryptimi įtem pių nėra, vadinasi, bet koks ne kontūre esantis skerspjūvio elementas yra dviašio (plokštuminio) įtempių būvio.

4.34 pav.

Nuo bendro normalinių ir tangentinių įtempių atitinkamuose skerspjūvio taš kuose poveikio pasvirusiose plokštumose veikia didžiausi normaliniai įtempiai (4.34 pav., d).

Plokštumos, kuriose tangentinių įtempių nėra, vadinamos svarbiausiosiomis plokštu-momis, o jose veikiantys normaliniai įtempiai vadinami svarbiausiaisiais įtempiais.

Svarbiausieji įtempiai ir jų veikimo kryptis apskaičiuojami pagal formules:

2 21/3

1 42

σ = σ ± σ + τ( ) . (4.23)

4.33 pav.

92

02tg2 τ

α =σ

. (4.24)

Apskaičiavus penkiuose pagal sijos aukštį skerspjūvio taškuose (4.34 pav., a) svar-biausiųjų įtempių dydžius ir kryptis gaunama:

1. 3 0;σ = σ < σ1 = 0; τ = 0 (gniuždymas – vienašis įtempių būvis);2. 1 3 1 3; ; ;0 0σ < σ σ > σ < τ >0 (dviašis įtempių būvis);3. 1σ = τ; 3σ = -τ; 0 45α = (ypatingas dviašis įtempių būvis – gryno sios šlyties atve-

jis);4. 1 3 1 3; 0; 0σ > σ σ > σ < (dviašis įtempių būvis);5. 1 30; 0;σ = σ > σ = τ = 0 (tempimas – vienašis įtempių bū vis).

Svarbiausiųjų įtempių kitimo pobūdis skerspjūvyje pavaizduotas 4.34 pa veikslo e diagramose.

Konstruojant lenkiamus gelžbetoninius elementus svarbu žinoti ne tik svar biau siųjų įtempių dydžius, bet ir jų kryptis (ypač tempimo įtempių), pagal ku-rias iš dėstomi armatūros strypai, nes betonas blogai atlaiko tempi-mo įtempius.

4.35 pav., a pavaizduotos dviatramės sijos, apkrautos iš-skirstytuoju krūviu svarbiausių-jų įtempių trajektorijos, gautos nuosekliai sujungus gretimų taš-kų svar biausiųjų įtempių kryptis. Būdinga, kad maksimalių norma-linių įtempių σ1 (tempimo) tra-jektorijos lygiagrečios labiausiai tempiamiems sluoksniams (sijos viduryje), į gniuždomą pakraštį eina stačiu kampu, o įtempių σ3 (gniuždymo) – sta čiu kampu į tem piamą pakraštį.

4.11. Racionalūs sijų skerspjūviai. Vienodo stiprumo sijos

Lenkiamų elementų (sijų) stiprumo sąlygoje (4.18) geometrinis rodiklis – atspa rumo momentas W priklauso nuo skerspjūvio matmenų ir formos. Kuo jis di desnis, tuo mažesni ekstreminiai normaliniai įtempiai. Ties neutraliuoju sluoksniu normali niai įtempiai lygūs nuliui. Vadinasi, toje vietoje sija mažiausiai apkrauta, ir me džiagos kiekį galima mažinti.

4.35 pav.

93

Palyginame lygiapločių (pvz., A = 100 cm2) skerspjūvių (kvadrato, stačiakam pio ir dvitėjo profi lio) atsparumo momentus.

Kvadrato, kurio kraštinė a, atsparumo momentas apskaičiuojamas taip:

10,0A= =a cm; 3 310,0 166,67

6 6xW = = =a cm3.

Stačiakampio, kurio kraštinės b = 8,0 cm ir h = 12,5 cm, atsparumo momen tas 2 28,0 12,5 208,33

6 6xb hW ⋅ ⋅

= = = cm3.

Stačiakampio, kurio kraštinės b = 6,25 cm ir h = 16,0 cm, atsparumo mo mentas2 26,25 16,0 266,67

6 6xb hW ⋅ ⋅

= = = cm3.

Dvitėjo profi lio, atitinkančio 100 cm2 plotą pagal GOST 8239-89 Nr. 50, at sparumo momentas Wx = 1589 cm3.

Iš skaičiavimo duomenų matyti, kad kvadrato atsparumo momentas 9,5, pla tesnio stačiakampio 7,6, siauresnio stačiakampio 5,9 karto mažesni už dvitėjo profi lio. Taigi skerspjūvio formos racionalumas tiesiogiai priklauso nuo atsparumo momento dydžio. Kita vertus, kuo didesnis skerspjūvio plotas, tuo sija mažiau ra cionali, nes jai pagaminti reikia daugiau medžiagos (atvirkštinis proporcingumas). Todėl skerspjūvio racionalumą patogu įvertinti skerspjūvio formos racionalumo koe fi cientu:

3

xf

WKA

= . (4.25)

Dažniau naudojamų skerspjūvių formos racionalumo koefi cientai patei kiami lentelė-je. Iš jų matyti, kad ekonomiškiausia sijų skerspjūvio forma – lovinis ir dvitėji s profi liai.

Lentelė. Skerspjūvių formos racionalumo koefi cientai

Skerspjūvio forma Koefi cientas Kf

Kvadratas 0,17Stačiakampis (b = 6,25 cm; h = 16,0 cm) (b = 4,0 cm; h = 24,0 cm) 0,27…0,41Skritulys 0,14Žiedas (c = d / D = 0,7) (c = 0,9) 0,29…0,58Lovinis profi lis (GOST 8240-89) 0,59…1,58Dvitėjis profi lis (GOST 8239-89) 0,96…1,56

Kadangi sijos dažniausiai gaminamos vienodo skerspjūvio per visą ilgį, tai ir ra-cionaliausių skerspjūvių formų sijų medžiagos stiprumas visiškai panaudo jamas tik pa-vojingiausiuose sijų pjūviuose (pagal jį įprasta parinkti skerspjūvį). Kituose pjū viuose, kuriuose veikia mažesni lenkimo momentai, medžiagos stiprumas panau dojamas nevisiš-kai. Sijos medžiaga būtų panaudojama racionaliau (sija būtų ma žesnio tūrio), jei jos skers-pjūvis per visą ilgį kistų taip, kad visuose pjūviuose būtų vienodi maksimalūs normaliniai įtempiai (geriausia, kai jie lygūs leistiniesiems):

94

max adm( )

( )

z

z

MW

σ = = σ . (4.26)

Turint lenkimo momentų diagramą, nustatoma, kaip keičiasi optimalus atspa rumo momentas per visą sijos ilgį:

adm

( )( ) .

zz

MW =

σ (4.27)

Pagal kintančias atsparumo momentų reikšmes ga lima apskaičiuoti skerspjū vio ma-tmenis bet kuriame sijos pjūvyje.

Sijos, kurių kiekviename skerspjūvyje veikia vienodo dydžio maksimalūs normaliniai įtempiai, vadinamos vienodo stiprumo sijomis.

Lengviausia konstruoti stačiakampio skerspjūvio vienodo atsparumo sijas. Pvz., nagrinėjamos stačiakam pio skerspjūvio gembinės sijos (4.36 pav., a), kurios bet kurio z pjūvio lenkimo momentas ( )zM F z= ⋅ , o atsparumo momentas 2( ) ( ) ( ) / 6z z zW b h= , ga-

limi du minėto dėsningumo tipai (variantai):1. b(z) = const = b, h(z) ≠ const (kinta);

2. b(z) ≠ const (kinta), h(z) = const = h.Pirmojo dėsningumo atveju iš (4.27) lygy-

bės gauname:

adm adm

2 ( )( ) ( )

6zz z Mb h F z⋅ ⋅

= =σ σ

,

arba

adm( )

6z

F zhb

⋅=

⋅ σ. (4.28)

Taigi, šiuo atveju vienodo at sparumo si-jos aukštis kinta pagal parabolės dėsnį (4.36 pav., b). Tokiai sijai reikia mažiau medžia-gos, tačiau ją pagaminti sudėtinga.

Praktikoje dažniausiai nau dojamos antro-jo tipo sijos. Šiuo atveju iš tos pačios (4.27) lygybės gauname:

2adm

( )6 .z

F zbh

⋅=

⋅ σ (4.29)

Matome, kad pastovaus aukščio sijos plo-tis kinta pagal tiesę (4.36 pav., c).

Abiejų tipų sijų galų skerspjūvių atitin-kami matmenys turėtų artėti prie nu lio, ta čiau yra konstruktyviai storinami ar platinami (priklausomai nuo sijos tipo) dėl tan gentinių įtempių (nuo skersinės jėgos) veikimo.

4.36 pav.

95

Taigi kintamo skerspjūvio sijų normaliniams įtempiams skaičiuoti naudo jama ta pati formulė kaip ir pastovaus skerspjūvio sijų, tačiau pastovaus skerspjūvio sijų tangentinių įtempių formulė (4.22) netinka kintamo skers-pjūvio sijų tangenti niams įtempiams skai čiuoti (išskyrus vienodo atsparumo gembinių sijų lais-vųjų galų bei paprastų dviatramių sijų atraminių galų skerspjūviams skaičiuoti).

Supjausčius pastovaus aukščio siją vieno-do pločio juostomis ir tas juostas sudėjus vieną ant ki tos, kaip parodyta 4.37 paveiksle, gaunama sluoks ninė sija, pri menanti vienodo atsparumo sijos, pa vaizduotos 4.36 pav., b, konstrukciją. Jeigu sijos juostos tarpusavyje nesutvirtintos (dirba atskirai), tai veikiamos apkrovos daugiau išlinksta. Taigi taip pagaminta sija panaši į lingę – jos vienodo stiprumo gaminamos ne tik dėl me-džiagos taupymo, bet ir dėl geresnės amortizaci-jos išsilenkiant, ypač nuo smūginės apkrovos.

4.12. Sijų skaičiavimo pavyzdžiai

Iš pradžių pagal žinomas (duotas) veikiančių apkrovų (F, M ir q) reikšmes sijos charakteringuose skerspjūviuose apskaičiuojami atsirandančių įrąžų (Q ir M) dy džiai. Jei sijos gembinės, jie visuomet pradedami skaičiuoti nuo laisvojo galo, o jei dviatra-mės, – prieš tai turi būti surandamos atraminės reakcijos (žr. 4.2 poskyrį). Tada įrąžos gali būti skaičiuojamos pasirinktinai nuo bet kurio sijos galo.

Nubraižomos Q ir M diagramos pagal apskaičiuotas reikšmes ir sijos ruo žuose įrąžų kitimo pobūdį, nusakomą diferencialine priklausomybe tarp M, Q ir q (4.5 for mulė) ir įrą-žų diagramų savybėmis (4.6 poskyris).

Duotos trys sijos (F = 20,0 kN; M = 30,0 kN⋅m; q = 10,0 kN/m).Reikia:

1) charakteringų pjūvių metodu sudaryti skersinių jėgų Q ir lenkimo momentų M diagramas;

2) parinkti skerspjūvius:a) gembinei – medinę stačiakampio profi lio ( / 1 / 2b h = ; adm,m 15σ = MPa);b) paprastai dviatramei – plieninę dvitėjo profi lio ( adm,pl 160σ = MPa);c) dviatramei su gembe – siją, sudarytą iš dviejų vienodų plieninių lovinių profi lių

( adm,pl 160σ = MPa).

4.37 pav.

96

a) gembinė sija (4.38 pav.) 1,0 m; 1,5m; 0,5mb c= = =a .

QG = 0;

0 10,0 1,0 10,0 kN;dE GQ Q q= − ⋅ = − ⋅ = −a

10,0 20,0 10,0 kN;k dE EQ Q F= + = − + =

10,0 kN;kD EQ Q= =

10,0 10,0 0,5 15,0kN;dc DQ Q q c= + ⋅ = + ⋅ =

15,0 20,0 5,0kN;k dc cQ Q F= − = − = −

5,0 10,0 1,5 10,0kN;kB cQ Q q b= + ⋅ = − + ⋅ =

10,0dA BQ Q= = kN = FrA;

10,0 10,0 0k dA A rAQ Q F= − = − = .

0BM = ;/ 2 10,0 1,0 0,5 5,0EM q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =a a kN·m;

/ 2 10,0 1,0 1,0 20,0 0,5 0DM q c F c= ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =( )a a ;

= / 2 2 2 / 2 10,0 1,0 1,520,0 1,0 10,0 0,5 0,5 / 2 6,25 kN m;

CM q c F c q c c ⋅ + − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅

a a( )

4.38 pav.

97

4.39 pav.

/ 2 2 2 / 210,0 1,0 3,0 20,0 2,5 20,0 1,5 10,0 1,5 0,5 1,0

10,0kN m;

dBM q c b F c b F b q b c b c= ⋅ + + − + + ⋅ − + + =

= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − + == − ⋅

a a( ) ( ) ( )( )( )

10,0 30,0 20,0k dB BM M M= + = − + = kN·m;

/ 2 2 2/ 2

10,0 1,0 4,0 20,0 3,5 20,0 2,510,0 2,0 2,0 30 10,0 kN m;

AM q c b F c bF b q b c b c M

= ⋅ + + + − + + +

+ + − + + + + =

= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ + = ⋅

a a a a

a a

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Braižant skersinių jėgų diagramą gaunamas dar vienas charakteringas pjū vis K, ku-riame 0Q = . Galimi du šio pjūvio vietos suradimo būdai, tačiau šiuo at veju pa togiau nau-dotis trikampių panašumu skersinių jėgų diagramoje, nes gaunama sunkiau išsprendžiama Q kitimo lygtis.

;10,0 5,0b z z−

= 10,0 1,5 5,0 5 ;z z= ⋅ − 15,0 7,5;z = 7,5 0,5

15,0z = = m;

Tuomet/ 2 2 2 / 2KM q c z F c z q c z c z F z= ⋅ + + − + − + + + ⋅ =( ) ( ) ( )( )a a

10,0 1,0 2,0 1,5 10,0 1,0 0,5 20,0 0,5 5,0= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = − kN·m.

b) paprasta dviatramė sija (4.39 pav.) 1,0 m; 2,0m; 3,0mb c= = =a .

98

0;AM =∑

/ 2 / 2 0;rBF c b q c c b M p b b F+ + + ⋅ + + − − ⋅ + − ⋅ =( ) ( ) ( )a a a a

6,0 10,0 3,0 4,5 30,0 10,0 2,0 2,0 20,0 1,0 0;rBF + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ =

13,5 30,0 40,0 20,0 7,5 kN.6,0rBF − + + +

= = −

Gau tas neigiamas ženklas reiškia, kad ši reakcija nukreipta ne į viršų (kaip užsi-duota), bet į apačią. Tolesniuose skaičiavimuose operuojame gautu reakcijos ženklu (ne-keičiama jos kryptis).

0;BM =∑

/ 2 / 2 0 ;rAF b c F b c q b b c M q c c+ + − + − ⋅ + + + ⋅ ⋅ =( ) ( ) ( )a

6,0 20,0 5,0 10,0 2,0 4,0 30,0 10,0 3,0 1,5 0 ;rAF ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

100,0 80,0 30,0 45,0 17,5 kN.6,0rAF + − −

= =

Reakcijų skaičiavimo patikrinimas0;yF =∑

0;BA rrF F q b q c F− − ⋅ + ⋅ + =

17,5 20,0 10,0 2,0 10,0 3,0 7,5 0;− − ⋅ + ⋅ + − =( )

47,5 – 47,5 = 0 (Reakcijos apskaičiuotos gerai).

Irąžų skaičiavimą galima atlikti iš abiejų sijos galų.

0kAQ = ;

17,5 kNdA rAQ F= = ;

17,5 kNk dC AQ Q= = ;

17,5 20,0 2,5 kNd kC CQ Q F= − = − = − ;

2,5 10,0 2,0 22,5 kNdD CQ Q q b= − ⋅ = − − ⋅ = − ;

22,5 10,0 3,0 7,5 kNkB DQ Q q c= + ⋅ = − + ⋅ = ;

7,5 7,5d kB B rBQ Q F= + = + −( ) =0.

0AM = ;

17,5 1,0 17,5 kN m;C rAM F= ⋅ = ⋅ = ⋅a

/ 217,5 3,0 20,0 2,0 10,0 2,0 1,0 7,5 kN m;

kD rAM F b F b q b b= + − ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅=( )a

99

5,0

7,5 30,0 22,5 kN md kD DM M M= + = − + = ⋅ ;

/ 2 / 2 17,5 6,00 20,0 5,0 10,0 2,0 4,0 30,0 10,0 3,0 1,5 0.

B rAM F b c F b c q b b c Mq c c

= + + − + − ⋅ + + ++ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )a

Surandame charakteringo pjūvio K vietą ir momento reikšmę jame:

7,5 22,5z c z−

= ; 22,5 7,5 3,0 7,5z z= ⋅ − ; 30 22,5z = ; 22,5 0,75m30,0

z = = ;

7,5 0,75 10,0 0,75 0,75 / 2 2,81kN m.2K rBzM F z p z= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

c) dviatramė su gembe (4.40 pav.) 1,0m=a ; 2,0mb = .

4.40 pav.

0;AM =∑

2 / 2 / 2 0;rBF b F b q b b M q+ + + − + ⋅ + + + − ⋅ ⋅ =( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a

4,0 20,0 3,0 10,0 3,0 2,5 30,0 10,0 1,0 0,5 0;rBF + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

60,0 75,0 30,0 5,0 2,5 kN.4,0rBF − + − +

= = −

100

0BM =∑ ;

/ 2 2 2 / 2 0;rAq b F b M q b b F⋅ + + + + − − + + + ⋅ =( ) ( ) ( )( )a a a a a a a

10,0 1,0 4,5 4,0 30,0 10,0 3,0 1,5 20,0 1,0;rAF⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅

45,0 30,0 45,0 20,0 2,5kN4,0rAF + + −

= = .

Reakcijų skaičiavimo patikrinimas0;yF =∑

0rA rBq F q b F F⋅ + − + + + =( )a a ;

10,0 1,0 2,5 10,0 3,0 20,0 2,5 0⋅ + − ⋅ + + − =( ) ;

30,0 30,0 0− = (Reakcijos apskaičiuotos gerai).

0;CQ =

10,0 1,0 10,0kN;kAQ q= ⋅ = ⋅ =a

10,0 2,5 12,5kN;d kA A rAQ Q F= + = + =

12,5 kN;dD AQ Q= =

12,5 10,0 2,0 7,5kN;kE DQ Q q b= − ⋅ = − ⋅ = −

7,5 20,0 12,5kN;d kE EQ Q F= + = − + =

12,5 10,0 1,0 2,5kN;k dB EQ Q q= − ⋅ = − ⋅ =a

2,5 ( 2,5) 0;d kB B rBQ Q F= + = + − =

0;CM =

/ 2 10,0 1,0 0,5 5,0kN m ;AM q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅a a

/ 2 10,0 1,0 1,5 2,5 1,0 17,5 kN m;kD rAM q F= ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅( )a a a a

17,5 30,0 12,5kN md kD DM M M= − = − = − ⋅ ;

/ 2 / 210,0 1,0 3,5 2,5 3,0 30,0 10,0 2,0 1,0 7,5 kN m;

E rAM q b F b M p b b= ⋅ + + + + − − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ = − ⋅

( ) ( )a a a a

/ 2 2 2 / 2

10,0 1,0 4,5 2,5 4,0 30,0 10,0 3,0 1,5 20,0 1,0 0.B rAM q b F b M q b b F= ⋅ + + + + − − + + + ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ =

a a a a a a a( ) ( ) ( )( )

;7,5 12,5z b z−

= 12,5 15,0 7,5 ;z z= − 20,0 15,0;z = 15,0 0,75m;20,0

z = =

101

/ 2

2,5 1,75 10,0 1,75 0,875 20,0 0,75 4,69kN m.K rBM F z q z z F z= ⋅ + − + + + ⋅ =

= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅

a a a( ) ( )( )

Gembei parenkame medinę siją (4.41 pav.) adm,m/ 1 / 2;b h = σ = 15,0 MPa. Pavojingas pjūvis taško B kairėje pusėje:

max 20,0 kN m;kBM M= = ⋅ 10,0kN.BQ =

Naudojame stiprumo sąlygą lenkimo atveju (4.18):

maxadm ;

x

MW

σ = ≤ σ

Iš dešiniosios sąlygos pusės šiuo atveju gau name:3

3 3

adm,m

20,0 10 0,001333m 1333 cm ;15,0

kB

xMW

−⋅≥ = = =

σ

Iš geometrinių skerspjūvių rodiklių žinome, kad sta-

čiakampiui skerspjū viui 2

.6x

b hW ⋅= Įvertinę, kad 2h b= ,

gauname:2 32 21333 ;

6 3b b b

= =( ) 3

1333 3 12,58cm2

b ⋅= = ; 2 2 12,58 25,16cmh b= = ⋅ = .

Gautus skerspjūvio matmenis apvaliname 0,5 cm tikslumu (taip priimta esant pjautai miško medžiagai) didėjimo kryptimi (kad nesumažėtų skerspjūvio plo tas): b′ = 13,0 cm = = 0,13 m; h′ = 25,5 cm = 0,255 m.

Tikriname parinkto skerspjūvio skaičiuojamuosius įtempius skσ naudo dami kai riąją stiprumo sąlygos pusę:

3 3

sk adm,m2 2 220,0 10 6 20,0 10 14,19MPa 15,0MPa

0,13 0,255 0,13 0,25566

B B

x

M MW b h

− −⋅ ⋅ ⋅σ = = = = = < σ =

′ ′ ′ ⋅ ⋅( ).

Paprastai dviatramei parenkame plieninę dvitėjo profi lio siją (4.42 pav.) ( adm,pl 160MPaσ = ). Pavojingas pjūvis taško D deši nėje pusėje:

max 22,5kN m;dDM M= = ⋅ 22,5kNDQ = .

maxadm ;

x

MW

σ = ≤ σ

4.41 pav.

102

33 3

adm,pl

22,5 10 0,0001406m 140,6m160

dD

xMW

−⋅≥ = = =

σ.

Iš sortimento lentelių pagal GOST 8239-89 (3 priedas) parenkame dvitėjį profi lį Nr.18, kurio xW ′ = 143 cm (h == 180 mm; b = 90 mm; d = 5,1 mm).

Tikriname įtempius:3

sk adm,pl22,5 10 157,3MPa 160MPa.0,000143

dD

x

MW

−⋅σ = = = < σ =

′

Dviatramei su gembe parenkame skerspjūvį, sudarytą iš dviejų vie nodų plieninių lo-vinių profi lių (4.43 pav.) adm,pl 160MPaσ =( ) Pavojingas pjūvis taško D kairėje pusėje:

max 17,5kN m; 12,5kN.kD DM M Q= = ⋅ =

maxadm;

x

MW

σ = ≤ σ

33 3

adm,pl

17,5 10 0,000109m 109,3cm ;160

kD

xMW

−⋅≥ = = =

σVienas lovinis profi lis turi atlaikyti atsparumo momentą

31

109,3 54,65cm2 2

.xx

WW = = =

Iš sortimento lentelių pagal GOST 8240-89 (4 prie-das) parenkame lovinį profi lį Nr.14, kurio 3

1 70,2cmxW ′ = (h = 140 mm; b = 58 mm; d = 49 mm).

Tikriname įtempius:

3

sk adm,pl1

17,5 10 124,64MPa 160MPa.2 2 0,0000702

kD

x

MW

−⋅σ = = = < σ =

′ ⋅

Kontroliniai klausimai

Kokia deformacija vadinama paprastuoju (plokščiuoju) lenkimu? Kaip vadinami 1. tiesūs lenkiami elementai? Pavyzdys.Kokios įrąžos veikia sijų skerspjūviuose paprastojo skersinio lenkimo atveju? 2. Žymėjimo simboliai, matavimo vienetai.Koks paprastasis lenkimas vadinamas grynuoju? Pavyzdžiai.3.

4.42 pav.

4.43 pav.

103

Kokių tipų sijos aptinkamos praktikoje ir kokios joms naudojamos atramos? Pa-4. vyzdžiai, atramų apibūdinimas.Kokios sijos yra statiškai išsprendžiamos ir kokios – neišsprendžiamos? Pavyz-5. džiai.Kam yra lygi sijos pjūvio skersinė jėga ir lenkimo momentas? Žymėjimo simbo-6. liai, matavimo vienetai. Kaip nustatomi skersinių jėgų ir lenkimo momentų ženklai? Pavyzdžiai.7. Kam lygi skersinės jėgõs ir lenkimo momento pìrmosios išvestinės sijos ilgio 8. atžvilgiu? Išraiškos, simbolių apibūdinimas.Koks yra ryšys tarp lenkimo momento, skersinės jėgos ir išskirstytojo krūvio 9. intensyvumo? Išraiška, simbolių apibūdinimas.Kam sudaromos įrąžų 10. Q ir M diagramos? Koks tarp jų ryšys? Išraiška, schema.Kaip kinta įrąžos neapkrautuose sijos ruožuose ir apkrautuose tolygiai išskirsty-11. tuoju krūviu? Pavyzdžiai. Kaip kinta įrąžos sijos pjūviuose, apkrautuose išorinėmis koncentruotosiomis jė-12. gomis ir koncentruotaisiais lenkimo momentais? Pavyzdžiai. Kas yra sijos neutralusis sluoksnis ir neutralioji linija (ašis)? Kokia jų padėtis 13. paprastojo lenkimo atveju? Pavyzdys.Ką grynojo lenkimo atveju susieja geometrinė lygtis? Schema, išraiška, simbolių 14. apibūdinimas.Kaip apskaičiuojami normaliniai įtempiai bet kuriame sijos skerspjūvio taške? 15. Kokia jų kryptis, kaip pasiskirsto ir kur būna didžiausi? Schema, išraiška, sim-bolių apibūdinimas. Kuriose sijos skerspjūvio vietose būna maksimalūs normaliniai įtempiai? Kaip 16. jie išreiškiami? Simbolių apibūdinimas, pavyzdys. Kokiomis prielaidomis remiantis nagrinėjami sijų skerspjūviuose atsirandantys 17. tangentiniai įtempiai paprastojo lenkimo atveju?Kaip apskaičiuojami tangentiniai įtempiai bet kuriame sijos skerspjūvio taške? 18. Kokia jų kryptis, kaip pasiskirsto ir kur būna didžiausi? Schema, išraiška, sim-bolių apibūdinimas. Kaip supaprastintai apskaičiuojami stačiakampio ir skritulio formos skerspjūvių 19. sijų maksimalūs tangentiniai įtempiai? Schema, išraiškos, simbolių apibūdinimas. Kodėl įprastų matmenų sijų stiprumą lemia normaliniai, o ne tangentiniai įtem-20. piai? Pavyzdys, išraiška, simbolių apibūdinimas.Kaip išreiškiama įprastų matmenų sijų stiprumo sąlyga? Išraiška, simbolių api-21. būdinimas.Kokiais atvejais tikrinamas sijos stiprumas pagal kompleksinį 22. σ ir τ poveikį? Pavyzdys, išraiškos, simbolių apibūdinimas.Kas yra svarbiausiųjų įtempių trajektorijos? Kuo jos naudingos? Pavyzdys. 23. Kas nusako sijos skerspjūvio formos racionalumą? Kokie skerspjūviai yra racio-24. nalesni? Išraiška, simbolių apibūdinimas, pavyzdžiai.Kaip apibūdinamos vienodo stiprumo sijos? Kaip apskaičiuojami vienodo sti-25. prumo sijų stačiakampio skerspjūvio kintami matmenys (du atvejai)? Išraiškos, simbolių apibūdinimas, pavyzdžiai.

104

Kuo pasižymi gembinė vienodo stiprumo sija, jeigu ji sudaryta iš atskirų vienas 26. ant kito sudėtų tarpusavyje nesujungtų juostų, palyginus su vientiso skerspjūvio sija? Pavyzdžiai.

105

5. SIJŲ DEFORMACIJOS IR POSLINKIAI(STANDUMO SKAIČIAVIMAS)

5.1. Bendrosios žinios

Praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kad sijų, kurių skerspjūviai parinkti pagal stiprumo sąlygą, poslinkiai yra didesni už normatyvinius, nustatomus konstrukcijų projektavimo normo-mis. Todėl tenka tikrinti ne tik sijų stiprumą, bet ir jų standumą (priešinimąsi deformacijai).

Apibendrinančiąja sijos deformacija yra laikomas išlinkusios ašies kreivis, kurio išraišką jau žinome( žr. 4.7 poskyrį):

1

x

ME I

=ρ ⋅

. (5.1)

Kuo stipriau sija lenkiama, tuo didesnis jos kreivis. Atskirų sijos sluoksnių deforma-cijas su kreiviu sieja taip pat žinomas geometrinis ryšys:

1 yε = ⋅ρ

. (5.2)

Kuo toliau nuo neutraliosios linijos yra nagrinėjamasis sluoksnis, tuo daugiau jis deformuojasi (ilgėja ar trumpėja).

Kreivis ir išilginė sluoksnių deformacija paprastojo lenkimo atveju susiję su normali-niais įtempiais. Dėl nedidelių tangentinių įtempių atsirandanti šlyties deformacija reikšmin-gesnė trumpoms sijoms, kai jos ilgis mažiau kaip 10 kartų didesnis už skerspjūvio aukštį.

5.2. Įlinkiai ir deviacijos

Nuo išorinės apkrovos sija išlinksta: jos skerspjūvių taškai pasislenka statmena ašiai kryptimi, o patys skerspjūviai pasisu-ka, pagal plokščiųjų pjūvių hipotezę išlik-dami statmeni išlinkusiai ašiai (5.1 pav.). Pastebimi linijiniai ir kampiniai poslinkiai.

Linijinis sijos skerspjūvio centro po-slinkis statmena sijos išilginei ašiai kryptimi, vadinamas įlinkiu. Jis žymimas v ir laikomas teigiamu, jei horizontalioje sijoje pasislenka žemyn ir neigiamu, jei pasislenka aukštyn.

Sijos skerspjūvio pasisukimo apie neu-traliąją liniją kampas vadinamas kampiniu poslinkiu, arba deviacija. Ji žymima ϕ ir laikoma teigiama, jei pasisukimas vyksta pagal laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį ir – neigiama, jei – prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį.

5.1 pav.

v

v

vv

v

106

Nagrinėjant dviejų gretimų sijos skerspjūvių, nutolusių atstumu dz, poslinkius ir pri-ėmus, kad šiuo mažu atstumu įlinkų kreivė sutampa su liestine, gauname statųjį trikampį (užbrūkšniuotas plotas 5.1 pav., b ir c), kurio įstrižainė (liestinė) su z ašimi sudaro kampą ϕ, lygų šio pjūvio deviacijai. Šio kampo tangentas yra lygus:

tg dvdz

ϕ = . (5.3)

Praktikoje sijos įlinkių kreivės būna lėkštos, ir deviacijos neviršija 1° (0,017 rad), todėl pakankamu tikslumu (tariama, kad mažų kampų tangentai yra lygūs patiems kam-pams) galima parašyti:

dvdz

ϕ = . (5.4)

Gauta priklausomybė reiškia, kad sijos skerspjūvio deviacija yra lygi jo įlinkio pir-majai išvestinei pagal išilginę sijos ašį.

Sijų standumo sąlyga tokia:

max uv f≤ , (5.5)

čia fu – ribinis sijos įlinkis.

/uf L m= , (5.6)

čia L – sijos ilgis m; m – skaičius, nustatomas statybinių konstrukcijų projektavimo normomis, lygus maž-

daug nuo 150 iki 750.

Norint nustatyti, kiek išlinksta sijos ašis maxv , reikia žinoti įlinkių priklausomybę

nuo jos skerspjūvių padėties priklausomai nuo sijos ilgio, t.y. išreikšti funkcinę priklauso-mybę ( ).v f z= Be to, nagrinėjant lenkiamas, bet statiškai neišsprendžiamas sijas, reikia turėti papildomas deformacijų darnos lygtis.

5.3. Sijos įlinkių kreivės diferencialinė lygtis

Nagrinėjant sijų normalinius įtempius buvo gauta kreivio išraiška (žr. 5.1 formulę). Matematinė kreivio išraiška iš aukštosios matematikos kurso yra tokia:

2 2

3/22

/1

1 /

d v dz

dv dz= ±

ρ ⎡ ⎤+⎣ ⎦

( )

( ). (5.7)

Sulyginus (5.1) ir (5.7) išraiškų dešiniąsias puses, gaunama labai tiksli, bet sunkiai sprendžiama įlinkių kreivės diferencialinė lygtis:

2 2

3/22

/

1 /x

d v dzME I dv dz

= ±⋅ ⎡ ⎤+⎣ ⎦

( )

( ). (5.8)

107

Diferencialinės lygties vardiklyje esantis dydis /dv dz = ϕ , palyginus su 1, yra ma-žas, todėl jo kvadratą, kaip labai mažą dydį, atmetame (kai ϕ = 1°, gaunama tik 0,04% paklaida). Taip gauname apytikslę sijos įlinkių kreivės diferencialinę lygtį:

2

2( )

x

zM d vE I dz

= ±⋅

, (5.9)

čia zM ( ) – lenkimo momentas skerspjūvyje, kurio abscisė z; xE I⋅ – sijos lenkimo standis neutraliosios ašies x atžvilgiu.

Žemyn nukreiptus įlinkius priimta laikyti teigiamais (5.2 pav.), todėl juos atitinka neigiamos lenkimo momentų reikšmės (sijos kreivis teigiamas). Dėl to gautoje išraiškoje pa-liekamas minuso ženklas.

2

2( )

x

zM d vE I dz

− =⋅

arba

2

2 ( )x zd vE I Mdz

−⋅ = . (5.10)

Funkcija ( )zM tik elementaraus apkrovimo atveju yra ta pati visam sijos ilgiui. Dažniausiai šios funkcijos atitinkama išraiška tinka tik tam tikram sijos ilgio ruožui. Todėl sudėtingiau ap-krautos sijos įlinkių kreivė aprašoma keliomis diferencialinėmis lygtimis, kurių skaičius pri-klauso nuo būdingų ruožų joje skaičiaus.

Diferencialinė lygtis paprasta, tačiau prak-tiniams skaičiavimams geriau ne diferencialinė.

Tam diferencialinė lygtis integruojama du kartus. Pirmą kartą integruojant gaunama de-viacijų integralinė lygtis:

2

2 ( )x zd vE I dz M dzdz

∫ ⋅ = ∫ − ;

( )x zdvE I M dz Cdz

−⋅ = ∫ + ;

( )x zE I M dz C−⋅ ⋅ ϕ = +∫ . (5.11)

Antrą kartą integruojant gaunama įlinkių integralinė lygtis:

( )x z

dvE I dz M dz dz C dzdz

⋅ = − +∫ ∫ ∫ ∫( ) ;

( )x zE I v dz M dz C z D−⋅ ⋅ = + ⋅ +∫ ∫( ) . (5.12)

Šiose lygtyse C ir D yra integravimo konstantos, nustatomos iš kraštinių sijos są-lygų: 1) standaus įtvirtinimo įlinkis ir deviacija lygūs nuliui (5.3 pav., a); 2) šarnyrinių atramų įlinkiai lygūs nuliui (5.3 pav., b, c); 3) dviejų gretimų ruožų bendro pjūvio įlin-kiai ir deviacijos turi būti lygūs (5.3 pav., c).

v

vv v

v

5.2 pav.

108

0; 0;A Av = ϕ =

0; 0;A Bv v= =

1 2 ;C Cv v=

1 2;C Cϕ = ϕ

Apskaičiuojame gembinės sijos, apkrautos koncentruota jėga F, didžiausią deviaciją maxϕ ir didžiausią įlinkį maxv (5.4 pav.). Sijos skerspjūvyje, esančiame z atstumu nuo įtvir-

tinimo, veikia lenkimo momentas ( ) ( )zM F L z= − − . Jo reikšmę įrašome į diferencialinę lygtį (5.10) ir integruojame pirmą kartą:

2

2 ( )xd vE I F L zdz

⋅ = − ;

2

2 ( ) ;xd vE I dz F L z dzdz

∫ ⋅ = ∫ −

( )2xzE I F z L C⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅ − + ;

Integruojame antrą kartą:

2xzE I dz F z L dz Cdz⎛ ⎞∫ ⋅ ⋅ ϕ = ∫ ⋅ − + ∫⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2

2xzE I dz F L z dz Cdz

⎛ ⎞∫ ⋅ ⋅ ϕ = ∫ ⋅ − + ∫⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2

( ) .2 3x

F z zE I v L C z D⋅⋅ ⋅ = − + ⋅ +

Integravimo konstantos C ir D nustatomos iš kraštinių sąlygų atramoje A: kai z = 0, ϕA = 0 ir 0Av = ; Įrašius šias reikšmes į abi lygtis gaunama, kad C = 0 ir D = 0. Tuomet galutinės deviacijų ir įlinkių lygtys tokios:

( )2xzE I F z L⋅ ⋅ ϕ = ⋅ − ;

2

2 3xF z zE I v L⋅ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠;

Didžiausios deviacijos ir įlinkio reikšmės gaunamos laisvajame sijos gale, kai z L=(taškas B):

2

2xF LE I ⋅

⋅ ⋅ ϕ = ; 2

max 2Bx

F LE I

⋅ϕ = ϕ =

⋅;

v

5.4 pav.

5.3 pav.

a

b

c

109

3

3xF LE I v ⋅

⋅ ⋅ = ; 3

max 3Bx

F Lv vE I

⋅= =

⋅.

Gauti teigiami poslinkių ženklai rodo, kad galinis skerspjūvis pasisuka laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi ir pasislenka žemyn (5.4 pav.).

5.4. Kintamo skerspjūvio (vienodo stiprumo) sijų poslinkiai

Kintamo skerspjūvio sijų poslinkius galima apskai-čiuoti anksčiau aprašytu būdu pastovų inercijos momen-tą išreiškus kintamu, t.y. kaip atstumo z funkciją. Tada vienodo atsparumo sijos (5.5 pav.), kurios aukštis pasto-vus, o plotis kinta, diferencialinė lygtis tokia:

2

2xd vE I F L zdz

⋅ = −(z) ( ) ;

Tiesiškai kintančio pločio reikšmė nagrinėjama-me pjūvyje, nutolusiame L atstumu nuo laisvojo galo, yra tokia:

bb L z

L= −(0)

(z) ( ) ;

Nagrinėjamo stačiakampio skerspjūvio inercijos momentas:3 3

0012 12x x

b h b h L z L zI IL L

⋅ ⋅ − −= = ⋅ =(z) ( )

(z) ( ) ,

čia b(0) ir h – sijos skerspjūvio matmenys ties įtvirtinimu;

(0)xI – skerspjūvio ties įtvirtinimu inercijos momentas.

Įrašę xI (z) į diferencialinę lygtį gauname:2

(0) 2xL z d vE I F L z

L dz−

⋅ ⋅ = −( ) ,

arba2

(0) 2xd vF I F Ldz

⋅ = ⋅ .

Šią lygtį integruodami du kartus gauname:

(0) (0)x xdvE I E I F L z Cdz

⋅ ⋅ ϕ = ⋅ = ⋅ ⋅ + ;

2

(0) 2xF L zE I v C z D⋅ ⋅

⋅ ⋅ = + ⋅ + .

5.5 pav.

110

Integravimo konstantos randamos pagal kraštines sijos įtvirtinimo sąlygas ( 0z = ; 0ϕ = ; 0v = ). Iš čia 0C D= = ; Tada galutinės nagrinėjamos kintamo skerspjūvio sijos

deviacijų ir įlinkių lygtys gaunamos tokios:

(0)xE I F L z⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅ ; 2

(0) 2xzE I v F L⋅ ⋅ = ⋅ .

Sijos laisvojo galo (z = L) deviacija ir įlinkis turi didžiausias reikšmes:2

max( )x L

F LE I

⋅ϕ =

⋅;

3

max( )2 x L

F LvE I

⋅=

⋅.

Palyginus šias reikšmes su analogiškomis pastovaus skerspjūvio sijos reikšmėmis (5.3 poskyris) matyti, kad vienodo stiprumo sijos laisvojo galo deviacija du kartus, o įlin-kis – pusantro karto didesnis negu pastovaus skerspjūvio sijos. Ši savybė panaudojama konstruojant linges. Didžiausi normaliniai įtempiai abiem atvejais yra vienodi.

Sijų poslinkių nustatymas integruojant įlinkių kreivės diferencialinę lygtį vadinamas analitiniu metodu. Jis racionalus nustatant paprasčiausiai apkrautų statiškai išsprendžiamų sijų bet kurių pjūvių poslinkius, t.y. tada, kai lenkimo momentas per visą sijos ilgį išreiš-kiamas viena lygtimi. Tuomet rašoma tik viena poslinkių išraiškų pora ir nustatomos tik dvi integravimo konstantos. Kai sija apkrauta sudėtingiau, rašomos kiekvieno sijos ilgio ruožo poslinkių išraiškų poros, kiekviename ruože lenkimo momentai kinta pagal vienodą dėsnį. Šiuo atveju poslinkius skaičiuoti sudėtingiau, nes kiek sijoje yra charakteringų ruo-žų, tiek rašoma skirtingų deviacijų ir įlinkių išraiškų porų ir nustatoma po dvi kiekvieno ruožo konstantas. Dėl to sijų poslinkiams nustatyti naudojami kiti paprastesni metodai: pradinių parametrų, energetiniai, Moro, grafi nis-analitinis ir kt.

5.5. Diferencialiniai ryšiai esant skersiniam lenkimui

Nagrinėdami sijų skersinį lenkimą gavome, kad įrąžos ir tolygiai išskirstytos apkro-vos intensyvumas yra susiję tokiomis priklausomybėmis (4.3 ir 4.4):

dQ qdz

−= ; dM Qdz

= ;

Nagrinėdami sijų deformacijas gavome (5.4 ir 5.10):

dvdz

= ϕ ; 2

2x

d v ME Idz

−=⋅

.

Pertvarkant šias priklausomybes matyti, kad visas jas galima išvesti vieną iš kitos. Pvz., šias išraiškas padauginę iš sijos standžio xE I⋅ gauname dvi lygtis:

xx

d E I v E Idz⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ϕ( ) ;

2

2xd E I v M

dz−

⋅ ⋅=

( ) .

Diferencijuojame pirmąją lygtį:2

2x xd E I v d E I M

dzdz−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ= =

( ) ( ) .

111

Diferencijuojame dar kartą:3 2

3 2x xd E I v d E I dM Q

dzdz dz− −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ= = =

( ) ( ) .

Diferencijuojame dar kartą:

4 3 2

4 3 2x xd E I v d E I d M dQ q

dzdz dz dz−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ= = = =

( ) ( ) . (5.13)

Iš gautos diferencialinės priklausomybės matyti, kad nuosekliai diferencijuojant įlin-kių kreivės lygtį, galima gauti įlinkių, deviacijų, lenkimo momentų, skersinės jėgos ir tolygiai išskirstytosios apkrovos intensyvumo išraiškas. Jeigu žinoma ne įlinkių kreivės lygtis, o, pvz., išskirstytosios apkrovos intensyvumas ir kraštinės sijos sąlygos, nuosekliai integruojant galima gauti sijos įrąžas bei poslinkius.

Žinoti šiuos diferencialinius ryšius tikslinga ne tik skaičiuojant sijų įrąžas bei poslin-kius, bet ir juos tikrinant, ypač tada, kai šie dydžiai vaizduojami grafi škai – diagramomis.

5.6. Moro metodas sijų poslinkiams skaičiuoti

Skaičiuojant poslinkius Moro (vokiečių mokslininkas, 1835-1918) metodu atsižvel-giama tik į lenkimo momentus, nes ašinių ir skersinių jėgų poveikis sijų skerspjūvių po-slinkiams yra mažas. Poslinkis nustatomas apskaičiavus Moro integralą pagal formulę:

kk

L x

M MS dzE I

⋅=

⋅∑ ∫ , (5.14)

čia Sk – sijos skerspjūvio k poslinkis (linijinis arba kampinis) nuo tikrosios apkrovos; M – lenkimo momentas pjūvyje k, sukeltas tikrosios apkrovos;

kM – lenkimo momentas pjūvyje k, sukeltas vienetinės apibendrintos apkrovos (be-matės), pridėtos pjūvyje k ieškomojo poslinkio kryptimi.

Kai ieškomas skerspjūvio įlinkis vk, pridedama iš viršaus žemyn veikianti bematė vienetinė jėga 1F = , o kai ieškoma deviacija kϕ – laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi veikiantis bematis vienetinis momentas 1M = .

Moro integralas skaičiuojamas pastovaus standžio ( const.)xE I⋅ = ilgio ruože. Jeigu sijoje yra ruožų su skirtingais standžiais, integralai kiekvienam ruožui apskaičiuojami ats-kirai, po to jų reikšmės sudedamos (žr. 5.14 formulę).

5.7. Grafi nis-analitinis metodas poslinkiams skaičiuoti

Kai sijos ašis tiesi, visuose ruožuose standis E I⋅ yra pastovus, o apkrova sudėtin-ga, Moro integralus patogiau skaičiuoti grafi niu-analitiniu, dažnai vadinamu Vereščiagino būdu. Moro integralas bet kurio sijos skerspjūvio k poslinkiams (linijiniams arba kampi-niams) skaičiuoti išreiškiamas tokia formule:

1

ni i

ki x

MSE I=

ω ⋅=

⋅∑ , (5.15)

112

čia iω – kiekvienos tikrosios apkrovos sukelto lenkimo momento M diagramos i-tosios dalies plotas (plotas ruožo nuo sijos skaičiuojamojo skerspjūvio k iki atramos);

iM – atitinkamos vienetinės lenkimo momento M diagramos ordinatė ties ploto iω centru (skaičiuojant linijinį poslinkį ši ordinatė imama iš vienetinės jėgos dia-gramos ,FM skaičiuojant kampinį poslinkį – iš vienetinės momento diagramos

MM ).

Skaičiuojant sijos skerspjūvių poslinkius šiuo būdu svarbu tinkamai suskaidyti tikrą-sias M diagramas į plotus iω . Reikia:

a) suskirstyti M diagramą į tokio ilgio ruožus, kad kiekviename iš jų vienetinė diagra-ma iM būtų tiesinė (ne laužtinė);

b) kiekviename ruože M diagramos plotą suskaidyti į žinomas fi gūras – stačiakampius, tri-kampius, parabolės nuopjovas, – kurių plotai ir centrai lengvai nustatomi.

Jei tikroji lenkimo momentų diagrama ir atitinkama vienetinė momentų diagrama yra vie-noje sijos ašies pusėje, tai sandauga ,i iMω ⋅ skaičiuojant bet kurį poslinkį, yra teigiama, o jei skirtingose sijos ašies pusėse, – neigiama. Gautas teigiamas ženklas rodo, kad atitinkamas po-slinkis (įlinkis ar deviacija) įvyko priimtos vienetinės apkrovos (jėgos ar momento) kryptimi.

Pateikiami galimi momentų diagramų daugybos (tikrosios diagramos ploto iω su vie-netinės diagramos ordinate iM ) atvejai

;bω = ⋅a 1/ 2 bω = ⋅a

;M

b cω⋅ == ⋅ ⋅a 1/ 2 ;

Mb c

ω⋅ == ⋅ ⋅a

1/ 2 ;M

b dω⋅ == ⋅ ⋅a 1/ 2 2 / 3 ;

Mb d

ω⋅ == ⋅ ⋅ ⋅a

1/ 2 ;M

bω⋅ == ⋅ ⋅a e 1/ 2 1 / 3 ;

Mb

ω⋅ == ⋅ ⋅ ⋅a e

1/ 2 ;M

b fω⋅ == ⋅ ⋅ +a g( )

1/ 2 2 / 3 1 / 3 ;

M bf

ω⋅ = ⋅ ⋅ ×× +

ag( )

1/ 2 ;M

b h iω⋅ == ⋅ ⋅ +a ( )

1/ 2 1 / 3 2 / 3 ;

M bi h

ω⋅ = ⋅ ⋅ ×× +

a( )

113

1/ 2 ;c′ω = ⋅a

1/ 2 ;b′′ω = ⋅a 1/ 3 ;bω = ⋅a

( )( ) ;

Md

′ ′′ω + ω =′ ′′= ω + ω ;M cω⋅ = ω⋅

1/ 32 / 3 ;

′ω +′′+ω

ee 3 / 4 ;dω⋅

2 / 31 / 3 ;

ff

′ω +′′+ω 1/ 4 ;ω⋅ e

2 / 3 1 / 31 / 3 2 / 3 ;

hh

′ω + +′′+ω +

g

g

( )( ) 1/ 4 3 / 4 ;fω +g( )

1/ 3 2 / 32 / 3 1 / 3 ;

i ji j

′ω + +′′+ω +( )( ) 3 / 4 1 / 4 ;h iω +( )

′ ′′ ′′′ω = ω + ω − ωc′ω = ⋅a – stačiakampio plotas;

1 / 2 ( )b c′′ω = − −a trikampio plotas; 22 / 3 2 / 3 / 8y q′′′ω = ⋅ = ⋅ ⋅ =a a a

3 /12q= ⋅a – parabolės plotas.

d′ ′′ ′′′ω + ω − ω( ) ;

1 / 2 2 / 3 1 / 2 ;′ ′′ ′′′ω + ω − ωe e e

1/ 2 1 / 3 1 / 2 ;f f f′ ′′ ′′′ω + ω − ω

1/ 2 1 / 3 2 / 3 1 / 2 ;h h h′ ′′ ′′′ω + + ω + − ω +g g g( ) ( ) ( )

1/ 2 2 / 3 1 / 3 1 / 2 ;i j i j i j′ ′′ ′′′ω + + ω + − ω +( ) ( ) ( )

114

1/ 2 (2 / 3 1 / 3 )2 / 3 1 / 2( );M M L b c

L y b c′ ′ ′′ ′′ω − ω = ⋅ + −

− ⋅ ⋅ +a

y=q L·2/8

1/ 2 (2 / 3 1 / 3 )1 / 2 (1 / 3 2 / 3 ) 2 / 3 1 / 2( );M M M L c d

b L c d L y c d′ ′ ′ ′′ ′′′ ′′′ω + ω − ω = ⋅ + +

+ ⋅ + − ⋅ ⋅ +a

1/ 2 (2 / 3 1 / 3 )1 / 2 (1 / 3 2 / 3 ) 2 / 3 1 / 2( ).M M M L c d

b L c d L y c d′ ′ ′′ ′′ ′′′ ′′′ω − ω − ω = ⋅ ⋅ + −

− ⋅ + − ⋅ ⋅ +a

5.8. Sijų poslinkių skaičiavimo pavyzdžiai

Grafi niu-analitiniu metodu rasti gembinės medinės 5( 0,1 10 MPa)mE = ⋅ stačiakam-pio skerspjūvio sijos (b =13,0 cm; h = 25,5 cm) poslinkius (žiūr. 101 p.):

a) skerspjūvio laisvojo galo;b) skerspjūvio c, esančio 2 m atstumu nuo laisvojo galo.

Poslinkiai skaičiuojami pagal 5.15 formulę. Dėl patogumo pirmiausia charakteringų pjūvių metodu apskaičiuojami lenkimo momentai nuo kiekvienos aktyviosios apkrovos atskirai ir nubraižomos diagramos iM (skersinių jėgų įtaka sijos skerspjūvių poslinkiams maža, todėl ji neįvertinama) (5.6 pav.).

Vienetiniai lenkimo momentai iM apskaičiuojami nuėmus nuo sijos tikrąją apkro-vą ir ieškomų poslinkių skerspjūvių vietose pridėjus vienetui lygią vertikalią jėgą 1F = teigiama įlinkio kryptimi (žemyn) – skerspjūvių įlinkiams nustatyti, o po to tose pačiose vietose pridėjus vienetui lygų lenkimo momentą 1iM = teigiama deviacijos kryptimi (lai-krodžio rodyklės judėjimo kryptimi) – skerspjūvio deviacijoms nustatyti.

a) apskaičiuojamas duotos sijos skerspjūvio inercijos momentas:3 3 5 4/12 0,13 0,255 /12 0,000179632 17,9632 10 m ;xI b h −= ⋅ = ⋅ = = ⋅

L

115

5.6 pav.

116

Tuomet sijos standis:5 3 5 20,1 10 10 17,9632 10 1796,32 kN m ;xE I⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Apskaičiuojami momentai charakteringuose sijos pjūviuose nuo atskirų apkrovų:a) nuo išskirstytosios apkrovos ant sijos galo:

0;GM =

1,0 0,5 10,0 1,0 0,5 5,0 kN m;EM q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

1,0 4,0 10,0 1,0 4,0 40,0 kN m.AM q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

b) nuo žemyn veikiančios jėgos:

0;G EM M= =

3,5 20,0 3,5 70,0kN m.AM F= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

c) nuo antros išskirstytosios apkrovos:

0;G E DM M M= = =

2,0 1,0 10,0 2,0 1,0 20,0 kN m;BM q= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅

2,0 2,0 10,0 2,0 2,0 40,0 kN m.AM q= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅

d) nuo aukštyn veikiančios jėgos:0;G E D CM M M M= = = =

2,5 20,0 2,5 50,0 kN m.AM F= ⋅ = ⋅ = ⋅

e) nuo koncentruoto momento:0;d

G E D C BM M M M M= = = = =

30,0 .kB AM M M= = =

Nubraižomos tikrosios momentų diagramos nuo kiekvienos apkrovos atskirai (5.6 pav., b,c,d,e,f).

Apskaičiuojamos charakteringų taškų vienetinių apkrovų reikšmės:a) nuo vienetinės jėgos ( 1,0)F = pridėtos laisvajame gale (nes jo įlinkis ieškomas):

0;GM = 4,5 1,0 4,5 4,5m;AM F= − ⋅ = − ⋅ = −

3,5m;BM = − 2,0m;CM = − 1,5m;DM = − 1,0m.EM = −

b) nuo vienetinio momento ( 1,0)M = taip pat laisvajame gale (nes jo deviacija ieš-koma):

0;dGM = 1,0k

G A B C D EM M M M M M M= − = − = = = = = .

Nubraižomos vienetinių apkrovų momentų diagramos FM ir MM (5.6 pav., h ir j).

117

Skaičiuojamoji schema ir diagramos iM ir iM nuosekliai braižomos viena po kita (5.6 pav.).

Sudėtingesnių tikrųjų momentų diagramų ruožų plotai padalinami į trikampius bei paraboles (kartais stačiakampius), nes šių fi gūrų centrai lengvai nustatomi. Nagrinėjamo atvejo pirmąją ir trečiąją diagramas (5.6 pav., b ir d) reikia padalinti į 1 1 1, ,′ ′′ω ω ω ir 3 ,ω 3 ,′ω

3′′ω plotus atitinkamai. Apskaičiuojami visi šie, taip pat ir nedalinamų diagramų plotai. Apskaičiuojamos ir ordinatės iM ties vienetinių momentų diagramų plotų iω centrais:

21

11,0 5,0 1,67 kN m3

ω = ⋅ = ⋅ 131,0 0,75 m;4

M = =

21

1 5,0 3,5 8,75 kN m ;2

′ω = ⋅ = ⋅ 11 24,5 1,0 2,17 m;3 3

M ′ = + =

21

1 40,0 3,5 70,0 kN m ;2

′′ω = ⋅ = ⋅ 12 14,5 1,0 3,33 m;3 3

M ′′= + =

22

1 70,0 3,5 122,5 kN m2

ω = ⋅ = ⋅ ; 22 14,5 1,0 3,33 m;3 3

M = + =

23

1 20,0 2,0 13,33 kN m ;3

ω = ⋅ = ⋅ 33 13,5 1,5 3,00 m;4 4

M = + =

23

1 20,0 1,0 10,0 kN m ;2

′ω = ⋅ = ⋅ 31 24,5 3,5 3,83 m;3 3

M ′ = + =

23

1 40,0 1,0 20,0 kN m ;2

′′ω = ⋅ = ⋅ 32 14,5 3,5 4,17 m;3 3

M ′′ = + =

24

1 50,0 2,5 62,5 kN m ;2

ω = ⋅ = ⋅ 42 14,5 2,0 3,67 m;3 3

M = + =

25 30,0 1,0 30,0 kN m .ω = ⋅ = ⋅ 5

1 (4,5 3,5) 4,0 m.2

M = + =

Tuomet linijinis sijos galo įlinkis vG įvertinant sandaugų ženklus pagal (5.15) formulę apskaičiuojamas taip:

1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3

3 3 4 4 5 5

1

1 1,67 0,75 8,75 2,171796,32

70,0 3,33 122,5 3,33 13,33 3,00 10,0 3,83 20,0 4,17

62,5 3,67 30,0 4,00

Gx

v M M M M M ME I

M M M

′ ′ ′′ ′′ ′= −ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ +⋅

′′ ′′+ ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ = − ⋅ − ⋅ −

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

− ⋅ − ⋅ =

(

) (

) 33,0 0,01837m 18,37mm.1796,32

−= − = −

118

Gautas minuso ženklas rodo, kad sijos galas pakyla į viršų, t.y. priešingai priimtos vienetinės jėgos krypčiai.

Sijos galo kampinis poslinkis Gϕ apskaičiuojamas paprasčiau, nes vienetinės mo-mentų diagramos nuo vienetinio momento ordinatė visuose skerspjūviuose yra lygi viene-tui ( 1,0) :MM =

1 1 1 2 3 3 3

4 5

1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

1 1,0 1,0 1,67 8,75 70,0 122,5 13,33 10,01796,32

7,09 20,0 62,5 30,0 0,0039 rad.1796,32

GxE I

′ ′′ ′ ′′ϕ = −ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ −⋅

− ω ⋅ − ω ⋅ = − − − + + + +

−+ − − = = −

(

) (

)

Gautas ženklas rodo, kad sijos galas, kildamas į viršų, tikrai pasisuka priešinga nei priimto vienetinio momento kryptimi.

b) sijų poslinkiams 2 m atstumu nuo laisvojo galo apskaičiuoti ( Cv ir Cϕ ) tikrųjų momentų diagramų ruožų plotai padalinami kitaip, todėl diagramos perbraižomos (5.7 pav., b, c, ir d) apskaičiavus tikrųjų momentų reikšmes tašką C atitinkančiame sijos skerspjūvyje:

a) nuo aukštyn veikiančios išskirstytosios apkrovos ant sijos galo:

1,0 1,5 10,0 1,0 1,5 15,0 kN m.CM q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

b) nuo žemyn veikiančios jėgos:

1,0 20,0 1,0 20,0 kN m.CM F= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

c) nuo antros išskirstytosios apkrovos:

0,5 0,5 / 2 10,0 0,5 0,25 1,25 kN m.CM q= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅

Apskaičiuojamos vienetinių apkrovų reikšmės:

a) nuo 1,0F = :

0CM = ; 2,5 1,0 2,5 2,5 m;AM F= − ⋅ = − ⋅ = −

1,5 1,0 1,5 1,5 m;BM F= − ⋅ = − ⋅ = −

b) nuo 1,0;M =

1,0m .C AM M M= − = − =

Apskaičiuojami tikrųjų apkrovų diagramų plotai iω ir ordinatės iM ties vienetinių momentų diagramų plotų iω centrais (žiūr. 122 p.).

119

5.7 pav.

120

21

115,0 2,5 18,75kN m ;2

ω = ⋅ = ⋅ 11 2,5 0,83m;3

M = =

21

1 40,0 2,5 50,00kN m ;2

′ω = ⋅ = ⋅ 12 2,5 1,67m;3

M ′ = =

22

1 20,0 2,5 25,00kN m ;2

ω = ⋅ = ⋅ 21 2,5 0,83m;3

M = =

22

1 70 2,5 87,50kN m ;2

′ω = ⋅ = ⋅ 22 2,5 1,67m;3

M ′ = =

3 3 23

1 11,5 10,00 1,5 2,81kN m ;12 12

qω = ⋅ = ⋅ = ⋅ 311,5 0,75m;2

M = =

23

11,5(20,0 1,25) 14,06kN m ;2

′ω = − = ⋅ 321,5 1,00m;3

IM = =

23 1,5 1,25 1,88kN m ;′′ω = ⋅ = ⋅ 3

11,5 0,75m;2

IIM = =

23

11,00 20,00 10,00kN m ;2

′′′ω = ⋅ = ⋅ 31 22,5 1,5 1,83m;3 3

IIIM = + =

23

11,00 40,00 20,00kN m ;2

IVω = ⋅ = ⋅ 32 12,5 1,5 2,17m;3 3

IVM = + =

24

1 2,5 50,0 62,50kN m ;2

ω = ⋅ = ⋅ 42 2,5 1,67m;3

M = =

25 30,0 1,0 30,00kN m ;ω = ⋅ = ⋅ 5

1 (2,5 1,5) 2,0m;2

M = + =

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5

1 (

)

1 ( 18,75 0,83 50,00 1,67 25,00 0,83 87,50 1,671796,32

2,81 0,75 14,06 1,00 1,88 0,7

IV IV

Cx

v M M M M ME I

M M M M M M

′ ′ ′ ′= −ω ⋅ − ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ − ω ⋅ +⋅

′ ′ ′′ ′′ ′′′ ′′′+ ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ + ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ =

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

− ⋅ + ⋅ + ⋅ 5 10,00 1,83 20,00 2,17

21,51 62,50 1,67 30,00 2,00) 0,01197m 11,97 mm;1796,32

+ ⋅ + ⋅ −

−− ⋅ − ⋅ = = − = −

121

1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 51 ( )

1 ( 18,75 50,00 25,00 87,50 2,81 14,06 1,881796,32

5,62 10,00 20,00 62,50 30,00) 0,0031 rad.1796,32

IVC

xE I′ ′ ′ ′′ ′′′ϕ = −ω − ω + ω + ω − ω + ω + ω + ω + ω − ω − ω =

⋅

= − − + + − + + +

−+ + − − = = −

Gauti neigiami poslinkių ženklai rodo, kad nagrinėjamas sijos skerspjūvis pasislenka į viršų.

5.9. Tipinės sijų poslinkių formulės

Naudojant 5.3 ir 5.4 poskyriuose aprašytus metodus sijų poslinkiams nustatyti, ga-vome konkrečias formules gembinės sijos laisvojo galo įlinkiui ir deviacijai apskaičiuoti, kai siją veikia viena koncentruota jėga. Tai tipinės formulės, nes apibūdina didžiausius poslinkius turintį skerspjūvį (šiuo atveju sijos laisvojo galo).

Praktikoje dažniausiai ir tenka skaičiuoti gembinių sijų laisvojo galo įlinkį ir devia-ciją, o dviatramių sijų – tarpatramio vidurinio skerspjūvio įlinkį ir atraminių skerspjūvių deviacijas. Būtent ties šiais skerspjūviais būna didžiausios poslinkių reikšmės, pagal ku-rias įvertinamas sijų standumas.

5.1 ir 5.2 lentelėse pateikiamos dažniausiai pasitaikančių minėtų sijų apkrovimo atvejų poslinkių formulės. 5.1 lentelė. Gembinių sijų poslinkių formulės

Eil. Nr. Sijos apkrovimo schema Įlinkis ν Galinio skerspjūvio deviacija

1

v

v 3

3Bx

F LvE I

⋅=

⋅

2

2Bx

F LE I

⋅ϕ =

⋅

22

36B

x

Fv LE I

⋅= −

⋅a

a( )2

2Bx

FE I

⋅ϕ =

⋅a

34

8Bx

q LvE I⋅

=⋅

3

6Bx

q LE I⋅

ϕ =⋅

122

Eil. Nr. Sijos apkrovimo schema Įlinkis ν Galinio skerspjūvio deviacija

43

424B

x

qv LE I⋅

= −⋅

aa( )

3

6Bx

qE I⋅

ϕ =⋅a

54 3 4

24

3 4

Bx

qvE I

L L

= ×⋅

× − ⋅ +a a( )

3 3

6Bx

q LE I

ϕ = −⋅ ⋅

a( )

6 22B

x

Mv LE I

⋅= −

⋅a

a( ) Bx

ME I

⋅ϕ =

⋅a

5.2 lentelė. Dviatramių sijų poslinkių formulės

Eil. Nr.

Sijos apkrovimo schema ( const)xE I⋅ =

Tarpatramio vidurio įlinkis Cv

Atraminių skerspjūvių deviacijos

1 v

v

3

max 48Cx

F Lv vE I⋅

= =⋅

2

16A Bx

F LE I⋅

ϕ = = ϕ⋅

−

2 2 23 448C

x

Fv LE I⋅

= −⋅a

a( )6

6

Ax

Bx

F b L bE I LF b LE I L

⋅ ⋅ϕ = +

⋅ ⋅

⋅ ⋅ϕ = +

⋅ ⋅

a

aa

( )

( )

34

max5

384Cx

q Lv vE I⋅

= =⋅

3

24A Bx

q LE I⋅

ϕ = = ϕ⋅

−

123

Eil. Nr.

Sijos apkrovimo schema ( const)xE I⋅ =

Tarpatramio vidurio įlinkis Cv

Atraminių skerspjūvių deviacijos

42

2 23 296C

x

qv LE I⋅

= −⋅

aa( )

22

24Ax

q L bE I L

⋅ϕ = +

⋅ ⋅a ( )

22 22

24Bx

q LE I L

⋅ϕ = −

⋅ ⋅a

a( )

52

16Cx

M LvE I⋅

=⋅

3Ax

M LE I

⋅ϕ =

⋅

6Bx

M LE I

⋅ϕ =

⋅−

6 2 2416C

x

Mv LE I

= −⋅

a( )

2 236A

x

M b LE I L

ϕ = −⋅ ⋅

( )

2 236B

x

M LE I

ϕ = −⋅

−a( )

Sijų iš tamprių medžiagų deformacijos proporcingos įtempiams, o poslinkiai pakan-kamai maži, todėl galioja superpozicijos principas. Taikant šį principą ir tipines formules galima apskaičiuoti skerspjūvių poslinkius ir sudėtingesniais sijų apkrovimo atvejais. Dėl to skaičiuojamojo skerspjūvio įlinkis ar deviacija iš pradžių apskaičiuojami nuo kiekvie-nos dalinės apkrovos (pritaikius tipinę formulę), o susumavus, gaunamas atitinkamas po-slinkis nuo visos siją veikiančios apkrovos.

1 PAVYZDYS

Pagal duotą pastovaus standumo gembinę siją veikiančią apkrovą reikia apskai-čiuoti jos laisvojo galo įlinkį ir deviaciją (5.8 pav.).

4const 20,0MPa m ;xE I⋅ = = ⋅ 20,0kN;F = q = = 10,0 kN/m; a = 2,0 m; 1,0 m.b =

Laisvojo galo įlinkį Cv ir skerspjūvio deviaciją Cϕ apskaičiuojame pagal 5.1 lentelės 2 ir 5 formules:

2 4 3 43 3 46 24C

x x

F L q L LvE I E I

⋅ − − ⋅ += + =

⋅ ⋅a a a a( ) ( )

4 3 42 0,01 3 3,0 4 2,0 3,0 2,01 0,02 2,0 (3 3,0 2,0)

6 4xE I⎡ ⎤⋅ − ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ − + =⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

( )

0,00808m 8,08 mm;= =

C

5.8 pav.

124

3 3 3 322 0,01 3,0 2,01 0,02 2,0 0,0035 rad.

2 6 32Cx x x

q LFE I E I E I

⎡ ⎤− −⋅ϕ = + = ⋅ + =⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⎣ ⎦

aa ( ) ( )

Gauti poslinkių ženklai rodo, kad sijos laisvasis galas nusileido žemyn, o skerspjūvis pasisuko pagal laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį.

Jeigu atitinkama apkrova yra priešingos krypties negu pateikta formulių lentelėse, sumuojant nuo tos apkrovos gautą poslinkio reikšmę reikia imti su priešingu ženklu.

2 PAVYZDYS

Pastovaus standumo gembinę siją ( 4const 15MPa m )xE I⋅ = = ⋅ veikia pastovaus intensyvumo išskirstytasis krūvis 20 kN/mq = ir koncentruotasis lenkimo momentas M = 30 kNּm (5.9 pav.). Apskaičiuoti laisvojo galo įlinkį ir deviaciją, kai a = 2,0 m ir 1,0m.b =

Skaičiuojame pagal 5.1 lentelės 4 ir 6 formules įvertinant priešinga kryptimi negu tipinėje schemoje veikiantį koncentruotąjį momentą, – jis laisvąjį sijos galą kelia į viršų pasukdamas skerspjūvį prieš laikro-džio rodyklės sukimosi kryptį.

3

3

4 224 2

0,02 2,0 4 3,0 2,01 0,03 2,0 2 3,0 2,0 0,00367m 3,67mm;2 12

Cx x

x

q L M LvE I E I

E I

⋅ − ⋅ −= − =

⋅ ⋅

⎡ ⎤⋅ ⋅ −= − ⋅ ⋅ − = − = −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

a a a a( ) ( )

( ) ( )

3 31 0,02 2,0 0,03 2,0 0,0022 rad.6 6C

x x x

q ME I E I E I

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ϕ = − = − ⋅ = −⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠

a a

Gauti ženklai rodo, kad lemiamą įtaką poslinkiams turėjo koncentruotasis momentas, – sijos laisvasis galas pakilo į viršų, o jo skerspjūvis pasisuko prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį.

Jeigu pagal uždavinio sąlygą lentelėse nėra tokios apkrovos schemos, ieškomas bū-das, kaip racionaliai šią apkrovą išreikšti lentelėse pateiktų apkrovų schemomis.

3 PAVYZDYS

Pastovaus standumo dviatramę su gem-be siją jos laisvajame gale veikia koncen-truotoji jėga 18,0kN;F = (5.10 pav., a).

4const 15MPa m ;xE I⋅ = = ⋅ a = 1,0 m; 3,0m.L =Reikia apskaičiuoti tarpatramio vidurio (C) ir

laisvojo galo (D) įlinkius bei deviaciją atramoje A.

Skaičiuojant tarpatramio vidurio įlinkį gembės apkrova pakeičiama lenkimo momentu FM , vei-kiančiu atramoje A:

v

v

F

5.10 pav.

5.9 pav.

125

18,0 1,0 18,0kN m.FM F= ⋅ = ⋅ = ⋅a

Tuomet įlinkis apskaičiuojamas pagal 5.2 lentelės 5 formulę:2 2 318,0 3,0 10 0,000675m 0,675mm.

16 16 15F

Cx

M LvE I

−⋅ ⋅ ⋅= − = − = − = −

⋅ ⋅ ⋅

Deviacija atramoje A apskaičiuojama taip pat pagal 5.2 lentelės 5 formulę:318,0 3,0 10 0,0012rad.

3 3 15F

Ax

M LE I

−⋅ ⋅ ⋅ϕ = − = − = −

⋅ ⋅

Laisvojo galo įlinkį šiuo atveju sukelia lenkimo momentas FM atramoje A ir jėga F (pastaroji įvertinama pagal 5.1 lentelės 1 formulę):

3 3 318,0 3,0 100,0012 1,03 3 15

0,0012 0,0108 0,012m 12,0mm.

D Ax

F LvE I

−⋅ ⋅ ⋅= ϕ ⋅ + = ⋅ + =

⋅ ⋅

= + = =

a

5.10. Sijų standumo skaičiavimas

Poslinkių (deviacijų ir įlinkių) parametrai apibūdina sijų standumą. Kuo šie para-metrai mažesni, tuo sija standesnė. Žinoma, kad parametrų reikšmės priklauso nuo sijos medžiagos mechaninių savybių, skerspjūvio standžio E · Ix, sijos ilgio, apkrovos didumo ir jos išdėstymo.

Dažniausiai pakankamai stipri sija (atitinkanti lenkimo stiprumo sąlygas) būna ir pa-kankamai standi, tačiau kartais tenka patikrinti turimos sijos standumą, o naudojant labai stiprias konstrukcines medžiagas, pagrindine projektavimo sąlyga gali tapti viena iš stan-dumo sąlygų, išreiškiamų tokiomis nelygybėmis:

max uε ≤ ε ; (5.16)

max ;uϕ ≤ ϕ (5.17)

max uv f f= ≤ , (5.18)

čia ,u uε ϕ ir uf – atitinkamai ribinės sijos linijinės deformacijos, deviacijos ir įlinkio reikšmės, nustatomos konstrukcijų projektavimo norminiais dokumentais pri-klausomai nuo pastatų klasės.

Sprendžiant tikrinamąjį standumo uždavinį apskaičiuojama ekstreminė deformacija arba bet kuriuo šiame skyriuje aptartu metodu – ekstreminė poslinkių (dažniausia įlinkio) reikšmė. Po to žiūrima, ar gautoji reikšmė tenkina (5.16) ar (5.18) sąlygą. Žinotina, kad didžiausia linijinė deformacija yra sijos kraštinio sluoksnio ties maksimalaus lenkimo mo-mento veikiamu skerspjūviu, todėl:

maxmaxmax t

x

ME E W

σε = =

⋅, (5.19)

126

čia txW – to skerspjūvio atsparumo momentas kraštiniam tempiamajam sluoksniui, apskai-čiuotas pagal (3.24) formulę.

Sprendžiant projektinį standumo uždavinį, kai ribojama linijinė deformacija, iš 5.16 ir 5.19 sąlygų gaunama tokia projektinė standumo sąlyga:

maxtx

u

MW

E≥

⋅ ε. (5.20)

Jeigu ribojamas poslinkis max ,v projektinę standumo sąlygą gauname (5.18) nelygybę padauginę iš skerspjūvio standžio xE I⋅ :

max( )xx

u

E I vIE f⋅ ⋅

≥⋅

, (5.21)

čia uf – ribinis sijos įlinkis, dažniausiai išreiškiamas sijos ilgio L dalimis, t.y. /uf L m= (čia m – skaičius, nustatomas konstrukcijų projektavimo normomis ir kintantis nuo 150 iki 750 (formulė 5.6).

Naudojant (5.21) standumo sąlygą, pirmiausia bet kuriuo poslinkių skaičiavimo būdu (pvz., integruojant sijos įlinkių kreivės diferencialinę lygtį) apskaičiuojamas suskliaustas dydis max( )xE I v⋅ ⋅ dar nežinant skerspjūvio standžio. Po to pagal sąlygą apskaičiuojamas skerspjūvio inercijos momentas xI , o jau pagal jį – ir atitinkami skerspjūvio matmenys.

Kontroliniai klausimai

Kas yra laikoma apibendrinančiąja sijos deformacija? Pavyzdys, išraiška, simbo-1. lių apibūdinimas.Kokiais dydžiais nusakomi deformuojamos sijos skerspjūvių poslinkiai? Žymėji-2. mo simboliai, matavimo vienetai, pavyzdys.Kokia priklausomybe nusakomas ryšys tarp sijos skerspjūvio posūkio (deviaci-3. jos) ir įlinkio?Kaip parašoma apytikslė sijos įlinkių kreivės diferencialinė lygtis? Simbolių api-4. būdinimas.Kokios yra kraštinės sąlygos sijos įlinkių kreivės lygties integravimo konstan-5. toms rasti?Kõkios paprastõs gembinės sijos, apkrautõs laisvajame gale koncentruotąja jėga, 6. didžiausios deviacijos ir įlinkio išraiškos? Pavyzdys, simbolių apibūdinimas.Kõkios vienodo stiprumo gembinės sijos, laisvajame gale apkrautos koncentruotąja 7. jėga, didžiausios deviacijos ir įlinkio išraiškos? Pavyzdys, simbolių apibūdinimas.Kokie ryšiai yra tarp įlinkio, deviacijos, lenkimo momento, skersinės jėgos ir ap-8. krovos intensyvumo? Simbolių apibūdinimas.Kokie yra naudojami metodai sijų poslinkiams skaičiuoti?9. Kaip parašomas Moro integralas, pritaikytas sijų poslinkiams skaičiuoti? Simbo-10. lių apibūdinimas.

127

Kaip skaidomos lenkimo momentų diagramos taikant grafi nį-analitinį sijų po-11. slinkių nustatymo metodą?Ką reiškia vienetiniai lenkimo momentai, naudojami sijų poslinkiams skaičiuoti? Matavimo vienetai.Kaip nustatomos vienetinių lenkimo momentų ordinatės skaičiuojant įlinkius ir 12. deviacijas?Kokiems poslinkiams skaičiuoti taikomos tipinės formulės? Pavyzdžiai.13. Kaip išreiškiamos sijų standumo sąlygos? Simbolių apibūdinimas.14. Kaip sprendžiami tikrinamieji ir projektiniai sijų standumo uždaviniai?15.

128

6. SUDĖTINGAS STRYPŲ DEFORMAVIMAS

6.1. Bendrosios žinios

Nesudėtingais konstrukcijų elementų apkrovimo atvejais (tempiant, gniuždant, su-kant, lenkiant) jų skerspjūviuose veikia tik kuri nors viena įrąža – ašinė jėga, skersinė jėga, sukimo momentas, lenkimo momentas. Tik paprastojo lenkimo atveju elemento (sijos) skerspjūvį veikia dvi įrąžos – lenkimo momentas ir skersinė jėga (pastarosios įtaka norma-linių įtempių ir deformacijų reikšmėms nežymi, todėl nepaisoma).

Praktikoje dažnai konstrukcijų elementai apkraunami sudėtingiau, pvz., vienu metu tempiami ir lenkiami, gniuždomi ir sukami ir t.t. Tuomet elementų skerspjūviuose veikia kelios (ne mažiau kaip dvi) įrąžos. Bendruoju atveju elemento skerspjūvyje gali veikti šešios įrąžos: ašinė jėga N, skersinės jėgos Qx bei Qy, lenkimo momentai Mx bei My ir sukimo momentas T.

Žinome, kad trys įrąžos, iš jų – ašinė jėga N ir lenki-mo momentai Mx bei My (6.1 pav.) – susiję su normaliniais įtempiais σ.

Šių įrąžų atstojamieji normaliniai įtempiai yra tos pa-čios krypties, lygiagrečios elemento išilginei ašiai, vekto-riai, todėl remiantis superpozicijos principu ir tempimo bei gniuždymo ir plokščiojo lenkimo formulėmis apskaičiuo-jami taip:

.yx

x y

MMN y xA I I

σ = + + (6.1)

Kitos trys įrąžos – skersinės jėgos Qx, Qy ir sukimo momentas T (6.2 pav., a) – susijusios su tangentiniais įtem-piais τ (6.2 pav., b). Tačiau šie įtempiai yra skirtingų krypčių, todėl algebriškai jų sudėti negalima. Kiekvienas iš šių įtempių apskaičiuojamas pagal žinomas formules:

* *

max; ; .x y y xzx zy

y x p

Q S Q S TI h I b W

⋅ ⋅τ = τ = τ =

⋅ ⋅

6.1 pav.

z

6.2 pav.

129

Viso tangentinio įtempio reikšmė ir kryptis nustatoma pagal vektorinės sudėties tai-sykles. Tuo atveju, kai komponentų nuo sukimo momento ir vienos kurios nors skersinės jėgos kryptys sutampa, juos galima sudėti algebriškai.

Superpozicijos principas taikomas skaičiuojant ne tik įtempius, bet deformacijas bei poslinkius. Sudėtingai deformuojamo elemento deformacijos ir poslinkiai nustatomi susumavus vektoriškai (o kai vektorių kryptys sutampa, – algebriškai) dydžius, apskai-čiuotus pagal atitinkamas formules.

Įtempiai skaičiuojami norint išspręsti konstrukcijos elemento stiprumo klausimus. Kuo elemento apkrovimas ir deformavimas sudėtingesnis, tuo sudėtingesnis ir šių klausi-mų sprendimas, tačiau visada laikomasi tokio nuoseklumo:

– sudaromos veikiančių įrąžų kiekvienoje svarbiausiojoje plokštumoje diagramos (atskirai);

– nagrinėjant diagramas nustatomi pavojingųjų skerspjūvių kontūrai ar taškai, kur didžiausi įtempiai;

– nustatomas kiekvieno pavojingojo taško ar kontūro įtempių būvis ir, pritaikius ati-tinkamą stiprumo teoriją, parašoma stiprumo sąlyga;

– sprendžiant standumo klausimus, atskirai apskaičiuojami kiekvienos svarbiausio-sios plokštumos poslinkiai ir vektoriškai sudedami.

Praktikoje retai pasitaiko, kad konstrukcijos elementą veiktų visos šešios įrąžos, – dažniausios įvairios jų kombinacijos. Pagal įtempių būvius sudėtingai deformuojami elementai skirstomi į dvi grupes. Pirmajai grupei priklauso tokia sudėtinga deformacija, kai elementus veikia vienašis (linijinis) įtempių būvis (nedidelių tangentinių įtempių nepaisoma). Šios grupės sudėtingoms deformacijoms priklauso:

– įstrižasis lenkimas;– tempimas arba gniuždymas ir lenkimas;– ekscentrinis gniuždymas arba tempimas.Būtent šiais atvejais konstrukcijų elementų stiprumas skaičiuojamas taikant superpo-

zicijos principą: maksimalieji įtempiai, apskaičiuoti algebriškai sudedant įrąžų sukeliamus normalinius įtempius, palyginami su leistinaisiais įtempiais.

Antrajai grupei priskiriamos tokios sudėtingos deformacijos, kai elementų pjūviuo-se susidaro dviašis (plokščiasis) įtempių būvis. Šiai grupei priskiriamos šios sudėtingo-sios deformacijos:

– lenkimas ir sukimas;– tempimas arba gniuždymas ir sukimas;– lenkimas, sukimas ir tempimas arba gniuždymas.Šiais deformavimo atvejais skaičiuojami ekvivalentiniai įtempiai pagal atitinkamų

stiprumo teorijų išraiškas. Elementų įrąžos, įtempiai, deformacijos ir poslinkiai taip pat skaičiuojami taikant superpozicijos principą ir tempimo, gniuždymo, lenkimo bei suki-mo formules. Tangentinių įtempių komponentai sumuojami vektoriškai.

Sudėtingai deformuojamų elementų įrąžų diagramos braižomos atitinkamose ak-sonometrinėse plokštumose. Ašinių jėgų ir sukimo momentų diagramos braižomos bet kurioje (iš dviejų galimų) aksonometrinėje plokštumoje.

130

6.2. Įstrižasis lenkimas

Įstrižasis lenkimas gali būti plokščiasis ir erdvinis.Plokščiuoju įstrižuoju lenkimu vadinamas toks lenkimas, kai apkrovos plokštuma

yra statmena strypo ašiai, kerta ją, tačiau nesutampa nė su viena strypo svarbiausiąja plokštuma, pvz., su yz plokštuma sudaro bet kokio dydžio kampą α (6.3 pav., a).

6.3 pav.

Erdvinio įstrižojo lenkimo atveju elementą lenkiančios apkrovos veikia keliose, ei-nančiose per elemento ašį, plokštumose.

Plokščiojo įstrižojo lenkimo apkrovą – jėgą F galima išskaidyti į komponentes Fx ir Fy , veikiančias skerspjūvio svarbiausiųjų ašių kryptimis (6.3 pav., b). Šias komponen-tes galima redukuoti į bet kuriame elemento pjūvyje (pvz., atstumu z nuo laisvo galo) veikiančias keturias įrąžas: dvi atstojamąsias skersines jėgas Qx, Qy ir du atstojamuosius lenkimo momentus Mx, My:

sin ; cos cos ;x x x yQ F F M F z F z M= = ⋅ α = ⋅ = ⋅ α ⋅ = ⋅ α

;M F z= ⋅

cos ; sin sin .y y y xQ F F M F z F z M= = ⋅ α = ⋅ = ⋅ α ⋅ = ⋅ α

Analogiškai į keturias įrąžas (Qx, Qy, Mx ir My) redukuojamos visos išorinės apkro-vos ir erdvinio įstrižojo lenkimo atveju.

Skaičiuojant elementų stiprumą ar standumą mažų tangentinių įtempių, susijusių su skersinėmis jėgomis, dažniausiai nepaisoma, todėl įstrižąjį lenkimą (plokščiąjį ir erdvi-nį) galima laikyti dviejų plokščiųjų lenkimų (nuo Mx ir My), veikiančių svarbiausiosiose plokštumose, suma (6.4 pav., a).

131

6.4 pav.

Pagal plokščiojo lenkimo formules ir superpozicijos principą, bet kurio taško K (xK, yK) normaliniai įtempiai apskaičiuojami juos algebriškai sumuojant:

.yxK K K

x y

MM y xI I

σ = + (6.2)

Įrašę Mx ir My reikšmes, gauname:

cos sin .K K Kx y

M y xI I

⎛ ⎞α ασ = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.3)

Svarbu nustatyti skerspjūvio tašką (taškus), kuriame veikia didžiausi įtempiai. Su-prantama, kad jie turi būti labiausiai nutolę nuo ašies, kurios atžvilgiu pasisuka įstrižai lenkiamo elemento skerspjūvis. Tai neutralioji ašis, dalinanti skerspjūvį į tempiamą ir gniuždomą zonas. Šios ašies taškų įtempiai lygūs nuliui, todėl jos padėtį surandame pagal 6.3 formulę, prilyginę įtempius nuliui.

Kadangi M ≠ 0, tai

0 0cos sin 0,

x yy x

I Iα α

+ = (6.4)

čia x0 ir y0 – neutraliosios ašies koordinatės.

Matome, kad neutralioji ašis yra tiesė, kertanti koordinačių pradžią (nes kai y0 = 0, tai ir x0 = 0). Padalinę 6.4 lygtį iš x0 ir perrašę, gauname neutraliosios ašies krypties kampą β:

0

0

sintg tgcos

x x

y y

y I Ix I I

−⋅ α

β = = = α⋅ α

, (6.5)

čia β – kampas tarp ašies x ir neutraliosios ašies.

Iš pastarosios priklausomybės matyti, kad neutraliosios ašies padėtis nepriklauso nuo jėgos F didumo, o priklauso nuo jos veikimo krypties kampo α ir nuo skerspjūvio formos. Kai 1x yI / I > , β > α , todėl įstrižojo lenkimo atveju neutralioji ašis nestatmena

Qx

132

jėgos veikimo krypčiai. Šie kampai tarpusavyje lygūs tada, kai x yI I= , t.y. kai skerspjū-vis – kvadrato arba skritulio formos. Tačiau tada nebūna ir įstrižojo lenkimo: elementas visuomet linksta apie ašį, statmeną jėgos veikimo krypčiai.

Nuo neutraliosios ašies labiausiai nutolę skerspjūvio taškai yra G ir T (6.4 pav., b), – juose atitinkamai veikia didžiausi gniuždymo σmax,c ir tempimo σmax,t įtempiai (tai patvirtina 6.2 formulė). Kai elemento medžiagos leistinieji tempimo ir gniuždymo įtem-piai yra panašaus didumo, stiprumas tikrinamas abiejuose (labiausiai tempiamame ir labiausiai gniuždomame) skerspjūvio taškuose pagal tokias stiprumo sąlygas:

,max,maxmax, adm, ,yx

t T T T tx y

MMy x

I Iσ = σ = + ≤ σ (6.6)

,max,maxmax, adm, .yx

c G G G cx y

MMy x

I Iσ = σ = − + − ≤ σ( ) ( ) (6.7)

Kai adm, adm,t cσ < σ (trapių medžiagų) stiprumas tikrinamas pagal (6.6) stiprumo sąlygą.

Stačiakampio, dvitėjinio ar lovinių profi lių elementų, skerspjūvių stiprumo sąlyga bendruoju atveju yra tokia:

,max,maxmax adm .yx

x y

MMW W

σ = + ≤ σ (6.8)

Elementų skerspjūvis parenkamas nuoseklaus priartėjimo būdu. Dažniausiai iš pra-džių jis apskaičiuojamas pagal stiprumo sąlygą esant plokščiajam lenkimui, naudojant didžiausią ( ,maxxM ar ,maxyM ) momentą. Po to skerspjūvis patikrinamas pagal (6.6), (6.7) ar (6.8) stiprumo sąlygas. Gavus įtempius, didesnius už leistinuosius, padidinamas skerspjūvis ir vėl patikrinamas. Skaičiavimas kartojamas, kol optimaliai įvykdoma ati-tinkama stiprumo sąlyga.

Parenkant apvalų skerspjūvį iš pradžių plokščiojo lenkimo stiprumo sąlygoje įrašo-mas atstojamasis momentas:

2 2atst .x yM M M= + (6.9)

Tai yra galima, nes skritulio formos skerspjūvio neutralioji ašis visuomet statmena jėgos veikimo krypčiai, be to, tai sumažina kartojamųjų skaičiavimų skaičių.

6.3. Tempimas arba gniuždymas ir plokščiasis lenkimas

Elementą plokštumoje yz veikia jėga F, sudaranti su skerspjūvio plokštuma yx kampą α (6.5 pav., a).

133

6.5 pav.

Išskaidę ją į komponentus sinzF F= ⋅ α ir cosyF F= ⋅ α matome, kad bet kuriame pjūvyje, pvz., atstumu z nuo laisvojo galo veikia trys įrąžos: ašinė jėga sinz zN F F= = ⋅ α(pastovi visuose pjūviuose), skersinė jėga cosz yQ F F= = ⋅ α (pastovi visuose pjūviuo-se) ir lenkimo momentas cosz yM F z F z= ⋅ = ⋅ α ⋅ (didėjantis link įtvirtinimo). Nepaisant tangentinių įtempių τ dėl skersinės jėgos Qz, įtempių būvį galima laikyti linijiniu. Pavojin-giausias pjūvis elemento įtvirtinime, kur veikia maksimalus lenkimo momentas. Remian-tis superpozicijos principu, šiuo atveju rašoma to pjūvio kontūro 1-2, kur veikia didžiausi (suminiai) įtempiai, stiprumo sąlyga (6.5 pav., b; 6.6 pav.):

( )

max maxmax max admmax

z zN M

x x

M MN NyA I A W

σ = σ + σ = + = + ≤ σ . (6.10)

6.6 pav.

Neutraliosios ašies padėtį gauname suminius bet kurio taško įtempius prilyginę nuliui:

0 0x

N M yA I

σ = + = . (6.11)

Neutralioji ašis šiuo atveju yra lygiagreti x ašiai. Jos atstumas 0y nuo ašies x apskai-čiuojamas pagal (6.11) lygtį:

�� ������ ������� ������N M N M �

134

0 .xN Iy

M A−

⋅=

⋅ (6.12)

Kaip matyti iš 6.6 pav., e, neutralusis sluoksnis gali būti, t.y. pavojingasis pjūvis gali turėti tempiamą ir gniuždomą zonas, ir jo gali nebūti (6.6 pav., f) – pavojingajame pjūvyje veikia vieno ženklo (šiuo atveju – tempimo) įtempiai.

Elemento skerspjūvis parenkamas priartėjimo būdu pirmiausia jį apskaičiuojant pa-gal vyraujančią (N ar M) įrąžą, po to patikrinant pagal stiprumo sąlygą (6.10).

Kai stačiakampio skerspjūvio elementas yra tempiamas (arba gniuždomas) ir įstrižai lenkiamas (6.7 pav., a), jo svarbiausiosiose pjūvių plokštumose bendruoju atveju veikia 5 įrąžos: ašinė jėga N, skersinės jėgos Qx ir Qy bei lenkimo momentai Mx ir My (6.7 pav., b).

6.7 pav.

Neįvertinant skersinių jėgų įtakos, normaliniai įtempiai bet kuriame elemento skers-pjūvio taške apskaičiuojami pagal formulę:

yxK K K

x y

MMN y xA I I

σ = + + , (6.13)

čia yK ir xK – skerspjūvio taško, kurio įtempiai skaičiuojami, koordinatės.

Šiuo atveju neutralioji linija neina per koordinačių pradžią, nes yra laisvasis narys N/A. Tikrajam bet kurio skerspjūvio taško įtempių ženklui gauti į (6.13) formulę taškų koordinatės įrašomos su savo ženklais.

Pavojingiausio tempiamos zonos taško T stiprumo sąlyga yra tokia:

max, adm .y yx x

t T T Tx y x y

M MM MN Ny xA I I A W W

σ = σ = + + = + + ≤ σ

(6.14)

Stiprumo sąlyga labiausiai gniuždomos zonos taško G yra tokia:

max, adm .yxG

x y

MMNA W W

σ = − − ≤ σ (6.15)

Matyti, kad T Gσ > σ .

Qx

Qy�

135

Pateiktos (6.13), (6.14) ir (6.15) formulės tinka ir elemento gniuždymo atveju, tik įtem-piai nuo ašinės jėgos N bus neigiami ir galios nelygybė G Tσ > σ . Be to, šiuo atveju būtina patikrinti, ar gniuždanti jėga neklupdys elemento, t.y. ar bus pakankamas strypo stabilumas.

6.4. Ekscentrinis gniuždymas (arba tempimas)

Dažnai elemento skerspjūvyje veikia lygiagreti jo ašiai gniuždymo (arba tempimo) jėga. Jėgos pridėjimo taško atstumas nuo skerspjūvio ašies vadinamas ekscentricitetu. Kai ekscentricitetas yra tik nuo vienos skerspjūvio svarbiausiosios ašies (6.8 pav., a ir b), tokį deformavimą (perkeliant jėgą į centrą) galima pakeisti centriniu gniuždymu (arba tempimu) ir lenkimu (6.8 pav., d).

Šiuo atveju skerspjūvis renkamas ir patikrinamas pagal 6.3 poskyryje aprašytą metodiką.

6.8 pav.

Bendruoju atveju gniuždymo (ar tempimo) jėga gali turėti ekscentricitetą nuo abiejų skerspjūvio svarbiausiųjų ašių. Perkeldami jėgą į skerspjūvio centrą, gauname tris veikian-čias įrąžas: ašinę jėgą N = –F ir lenkimo momentus y FM F x= ⋅ ir x FM F y= ⋅ (6.9 pav.). Jėgos F reikšmė laikoma teigiama, kai jėga ties pridėjimo tašku elementą tempia.

6.9 pav.

IV

136

Pritaikę superpozicijos principą, randame bet kurio taško, pvz. K, kurio koordinatės xK ir yK, suminius normalinius įtempius:

.yxK K K

x y

MMN y xA I I

−σ = − − (6.16)

Jei elementas ekscentriškai tempiamas, formulėje (6.16) vietoj minuso reikia rašyti pliuso ženklus.

Į (6.16) formulę įrašę Mx ir My reikšmes, iškėlę prieš skliaustus -F/A ir panaudoję inercijos spindulio kvadrato išraišką 2i = I/A, gauname:

.F K F KK

x y

F y y F x xFA I I

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

σ = − −

1 F K F KK

x y

y y A x x AFA I I

−⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅

σ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

2 21 F K F K

Kx y

y y x xFA i i

−⎛ ⎞⋅ ⋅

σ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (6.17)

Neutraliosios ašies lygtį gauname bet kurio taško įtempius prilyginę nuliui:

0 02 21 0F F

x y

y y x xFA i i

−⎛ ⎞⋅ ⋅

+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

Kadangi 0FA

− ≠ , tai

0 02 21 0F F

x y

y xy xi i

+ + = , (6.18)

čia x0 ir y0 – neutraliosios ašies taškų koordinatės.

Iš neutraliosios ašies lygties matyti, kad ši ašis yra tiesė, neinanti per skerspjūvio centrą (koordinačių pradžią), nes kai 0 0x = , gauname 0 0y ≠ . Į lygtį įrašę vienu atveju

0 0x = , kitu atveju 0 0y = , atitinkamai gauname atkarpų ay ir ax reikšmes:

2

0 0

2

0 0

kai 0,

kai 0,

xy

F

yx

F

ix yy

iy x

x

−

−

⎫ = = = ⎪

⎪⎬⎪ = = = ⎪⎭

a

a

(6.19)

Atidėję koordinačių ašyse atkarpas ay ir ax, pažymime taškus B ir C. Per juos brėžia-ma tiesė, kuri ir yra neutralioji ašis. Matyti, kad skerspjūvio dalis, esanti nuo neutraliosios ašies link veikiančios jėgos, yra gniuždoma, o dalis, esanti priešingoje pusėje, – tempiama. Skaičiuojant įtempius būdinguose skerspjūvio taškuose (A, G, D, T) pagal (6.16) formulę, tikrąjį suminių įtempių ženklą lemia atitinkamo taško koordinačių ženklai. Parenkamas skerspjūvis, o po to tikrinamas stiprumas pagal didžiausius įtempius, kurie, kaip ir įstrižo

137

lenkimo atveju (6.2 poskyris), yra toliausiai nuo neutraliosios ašies nutolusiuose taškuose. Šiuo atveju didžiausi gniuždymo įtempiai yra G taške (xG; yG), o didžiausi tempimo įtem-piai – T taške (-xT; -yT).

Žinant neutraliosios ašies padėtį, galima sudaryti įtempių pasiskirstymo diagramą. Tam brėžiame diagramos ašį – tiesę, statmeną neutraliajai ašiai. Iš kampinių skerspjūvio taškų T, G ir centro O brėžiame lygiagrečias neutraliajai ašiai tieses. Per skerspjūvio centrą nubrėžtos linijos bet kurio taško įtempiai σ = -F/A. Kampiniuose pjūvio taškuose įtempiai apskaičiuojami pagal (6.16) formulę.

Jei elemento medžiagos adm, adm, ,t cσ = σ tai pavojingas taškas G (6.9 pav.), nes jame įtempių absoliutinė reikšmė yra didžiausia. Tuomet stiprumo sąlyga tokia:

admF F

G G Gx y

F y F xF y xA I I

−⋅ ⋅

σ = ≤ σ− − (6.20)

Jei adm adm,t ,cσ ≠ σ , parinkto skerspjūvio stiprumą reikia tikrinti G ir T taškuose.Kai elementas yra stačiakampio skerspjūvio, tai bendruoju atveju jo stiprumo sąlyga

užrašoma taip:

arba

max adm

max adm

F F

x y

yx

x y

F y F xFA W W

MMFA W W

⎫⋅ ⋅σ = ± ± ± ≤ σ ⎪

⎪⎪⎬⎪⎪σ = ± ± ± ≤ σ ⎪⎭

(6.21)

Konstruojami gniuždomi elementai iš trapių medžiagų (plytų, betono, ketaus) neturėtų būti veikiami tempimo įtempių, nuo kurių jie pleišėja, trūkinėja ir t.t. Kitaip tariant, neutra-lioji ašis neturi kirsti skerspjūvio kontūro (gali tik liesti), – tuomet visas skerspjūvis būtų tik gniuždomas. To galima pasiekti artinant gniuždančiąją jėgą prie pjūvio centro: iš (6.19) išraiškų matyti, kad kuo mažesnės yra jėgos pridėties taško koordinatės – ekscentricitetai xF ir yF, – tuo didesnės neutraliosios ašies sankirtos su ašimis koordinatės ax ir ay. Taigi, jėga turi būti pridėta nedideliame plotelyje apie skerspjūvio centrą, – skerspjūvio branduolyje.

Skerspjūvio branduoliu vadinamas tam tikru kontūru apie jo centrą apribotas plotas, kuriame veikianti jėga visame skerspjūvyje sukelia vienodo ženklo įtempius.

Skerspjūvio branduolio kraštinių taškų padėtys randamos pagal (6.19) išraiškas, pasi-renkant, kad neutralioji ašis liečia skerspjūvio kontūrą:

2

2

xF

y

yF

x

iy

ix

′

′

⎫= − ⎪

⎪⎬⎪= − ⎪⎭

a

a

(6.22)

čia y′a ir x′a – taškų, kuriuose su koordinačių ašimis susikerta skerspjūvio liestinės koor-dinatės (6.10 pav., a).

138

6.10 pav.

Nustatome stačiakampio skerspjūvio branduolį (6.10 pav., a).

A b h= ⋅ ; 3

12xb hI ⋅

= ; 3

12yh bI ⋅

= ;

3 22

12 12y

yI h b biA b h

⋅= = =

⋅;

Taip pat gauname, kad2

2

12xhi = .

Pasirinkę, kad neutralioji ašis sutampa su skerspjūvio kontūru 1-1 ( / 2; )xya h a′ ′= = ∞ , pagal (6.22) išraiškas gauname:

6Fhy = ; 0Fx = .

Pasirinkę, kad neutralioji ašis sutampa su skerspjūvio kontūru 2-2 ( ; / 2y xa a b′ ′= ∞ = ), analogiškai skaičiuodami gauname:

0Fy = ; 6Fbx = .

Pasirinkę, kad neutralioji ašis sutampa su skerspjūvio kontūrais 3-3 ir 4-4 gauname kitų dviejų branduolio taškų koordinates. Sujungę tuos taškus tiesėmis, gauname skers-pjūvio branduolio kontūrą. Taigi stačiakampio branduolys yra rombas, kurio įstrižainės sudaro atitinkamos skerspjūvio kraštinės trečdalį (6.10 pav., a).

Skritulio branduolys, taip pat skritulys, kurio skersmuo keturis kartus mažesnis (6.10 pav., b).

139

6.5. Lenkimas ir sukimas

Mašinų velenai, veikiami išorinės apkrovos, yra kartu lenkiami ir sukami. Kai toks elementas (apvalaus skerspjūvio velenas) sukamas ir statmenai ašiai veikiamas viena jėga (6.11 pav., a), jo skerspjūviuose atsiranda trys įrąžos: skersinė jėga, lenkimo momentas ir sukimo momentas. Jų sukelti įtempiai apskaičiuojami pagal žinomas formules:

*x x

zyx x

Q SI b

⋅τ =

⋅; x

Mx

M yI

σ = ; T

p

TI

τ = ρ .

6.11 pav.

Į tangentinius įtempius dėl skersinės jėgos veikimo nekreipiame dėmesio, nes jie nežy-mūs, palyginus su tangentiniais įtempiais dėl sukimo momento. Pastarųjų įtempių didžiausia reikšmė visų apvalių skerspjūvių elementų kraštiniuose taškuose (6.11 pav., c):

x 3ma16

p

T TW d

τ = =π ⋅

.

Didžiausia lenkimo momento reikšmė yra elemento įtvirtinimo vietoje, todėl pavo-jingiausi to skerspjūvio taškai A ir B, kuriuose maksimalias reikšmes įgauna normaliniai tempimo ir gniuždymo įtempiai, atitinkamai (6.11 pav., b) tokie:

maxzM M F L= = ⋅ ; maxmax

x

MW

σ = .

Išpjovus apie pavojingą skerspjūvio tašką A elementarų kubelį ir pavaizdavus jį vei-kiančius įtempius, matome, kad jo horizontaliose plokštumose normalinių įtempių nėra, o tangentiniai dėl jų dualumo yra ir profi linėse, ir frontaliose plokštumose (6.11 pav., d). Kadangi normaliniai ir tangentiniai įtempiai veikia tarpusavy statmenose plokštumose, įtempių būvis yra plokščiasis (dviašis). Šiuo atveju pavojinguose taškuose veikiantys svar-biausieji įtempiai apskaičiuojami pagal formulę:

2 2max

1,3 max,min max max1 4

2 2σ

σ = σ = ± σ + τ ; 2 0σ = . (6.23)

140

Elementų iš plastiškų medžiagų (velenai dažniausiai gaminami iš plieno) stiprumas tikrinamas pagal III ar V stiprumo teorijas.

III stiprumo teorijos stiprumo sąlyga yra tokia:

III red 1 3 admσ = σ = σ − σ ≤ σ . (6.24)

Įrašę pagal (6.23) išreikštas 1 3irσ σ reikšmes, gauname:

III 2 2red max max adm4σ = σ + τ ≤ σ . (6.25)

Įvertinę, kad max max / ,xM Wσ = o max / / 2p xT W T Wτ = = , nes 3

;32x ydW W π

= =⋅

3

16pdW π

=⋅ , gauname tokią apvalaus skerspjūvio veleno stiprumo sąlygą:

2 2maxIII

red admx

M TW

+σ = ≤ σ . (6.26)

Iš dešiniosios šios sąlygos pusės gauname išraišką skerspjūviui apskaičiuoti:

2 2maxIII

admx

M TW

+≥

σ. (6.27)

Tuo atveju, kai elementas lenkiamas dviejose tarpusavy statmenose plokštumose, formulėse (6.26) ir (6.27) vietoj maxM įrašomas atstojamasis lenkimo momentas:

atst. 2 2max ,max ,maxx yM M M= + . (6.28)

V stiprumo teorijos (energetinės) stiprumo sąlyga yra tokia:

2 2V red 1 3 1 3 admσ = σ = σ + σ − σ ⋅ σ ≤ σ . (6.29)

Analogiškai įrašius atitinkamas reikšmes, gaunama tokia stiprumo sąlyga:

2 2maxV

red adm0,75

x

TW

M +σ = ≤ σ . (6.30)

Iš čia gaunama išraiška skerspjūviui apskaičiuoti:

2 2maxV

adm

0,75x

M TW

+≥

σ. (6.31)

Abi (6.26) ir (6.30) stiprumo sąlygas galima užrašyti taip:

redred adm

x

MW

σ = ≤ σ , (6.32)

čia redM – ekvivalentinis (skaičiuojamasis) momentas, skirtingai (pagal III ir V stiprumo teorijas) įvertinantis bendrąjį sukimo ir lenkimo momentų poveikį (stiprumo sąlygų (6.26) ir (6.30) atitinkamai skaitikliai).

141

Ekvivalentinis momentas naudojamas skaičiuojant tik apvalaus (skritulinio ar žiedi-nio) skerspjūvio elementus.

Trapių medžiagų lenkiamiems ir sukamiems elementams, kurių adm, adm, ,t cσ < σ taiko-ma IV (Moro) stiprumo teorija. Tada ekvivalentinis momentas toks:

IV 2 2red

1 1 ,2 2m mM M TM− +

= + +

čia m = adm,

adm,

t

c

σ

σ.

6.6. Tempimas arba gniuždymas ir sukimas

Taip apkraunami varžtai, sraigtai, įvairių gręžimo ir sukimo prietaisų kotai ir kt. Tokių elementų skerspjūviuose veikia dvi įrąžos: gniuždanti arba tempianti ašinė jėga N ir sukimo momentas T (6.12 pav., a). Įtempiai, susiję su šiomis įrąžomis, apskaičiuojami pagal formules:

;N Tp

N TA W

σ = τ = .

Dėl tangentinių įtempių dualumo jie veikia ir išilginės z ašies kryptimi (6.12 pav., b). Kadangi normaliniai įtempiai visuose bet kokio skerspjūvio taškuose pasiskirsto vienodai, didžiausi įtempiai (dėl tangentinių įtempių pasiskirstymo) yra bet kokio skerspjūvio pavir-šiniuose taškuose.

6.12 pav.

Skerspjūvis parenkamas pagal vyraujančią (N arba T) įrąžą. Naudojama stiprumo sąlyga tempimo ir gniuždymo arba sukimo atveju, tačiau parinktas skerspjūvis tikrina-mas įvertinant abi įrąžas.

Svarbiausi įtempiai šiuo atveju:

2 21/3

1 42 2N

N Tσ

σ = ± σ + τ . (6.33)

Plastiškoms medžiagoms (maždaug vienodai atsparioms tempimui ir gniuždymui) taikydami III stiprumo teoriją, gauname:

III 2 2red 1 3 4N Tσ = σ − σ = σ + τ adm≤ σ . (6.34)

142

Įrašę Nσ ir Tτ reikšmes, gauname:

22

IIIred 4

p

N TA W

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠adm≤ σ . (6.35)

Taikant V stiprumo teoriją gaunama tokia galutinė stiprumo sąlyga:

22

Vred 3

p

N TA W

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠adm< σ . (6.36)

Šiais būdais tikrinant taikomas stiprumo atsargos koefi cientas nustatomas pagal formulę:

IIIred

ynσ

=σ

, (6.37)

čia yσ – elemento medžiagos takumo riba.

Elementams iš skirtingo atsparumo tempimui ir gniuždymui medžiagų taikoma IV (Moro) stiprumo teorija.

6.7. Lenkimas, sukimas ir tempimas arba gniuždymas

Tai retai pasitaikantis deformavimo atvejis, pvz., taip deformuojamas garo turbinos velenas. Elemento skerspjūvyje veikia keturios įrąžos: tempianti (gali būti ir gniuždanti) ašinė jėga N, skersinė jėga Q, lenkimo momentas My (gali būti dar ir Mx) ir sukimo mo-mentas (6.13 pav., a). Įtempių nuo šių įrąžų diagramos parodytos 6.13 pav., b ir c.

6.13 pav.

Šiuo atveju pavojingas yra įtvirtinimo skerspjūvio taškas A, nes čia veikia di-džiausi normaliniai ir tangentiniai įtempiai. Apvalaus elemento skerspjūvis dažniau-siai parenkamas pagal ekvivalentinį momentą, atsižvelgiant tik į sukimo ir lenkimo

143

momentus. Parinkto skerspjūvio stiprumas patikrinamas pagal vieną iš stiprumo teo-rijų, dažniausiai pagal III:

22

IIIred 4

x p

N M TA W W

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

adm≤ σ . (6.38)

Turi būti tikrinami ir tangentiniai įtempiai, įvertinant juos ir nuo skersinės jėgos:

max admQ Tτ = τ + τ ≤ τ . (6.39)

Tangentiniai įtempiai privalo būti tikrinami ir visais kitais dar sudėtingesniais defor-mavimo atvejais, pvz., kai elementas lenkiamas dviejose tarpusavy statmenose plokštumo-se, kai deformuojamo elemento skerspjūvis neapvalus ir kt.

6.8. Laužtinės ašies strypai

Dažniausiai sudėtingai deformuojami laužtinės ašies strypai.Laužtiniais, arba laužtinės ašies, strypais vadinami strypai, kurių ašys – ne tiesės,

o laužtės: tai įvairiai išlankstyti arba sudaryti iš atskirų tarpusavyje standžiai sujungtų tiesių elementų strypai, veikiantys kaip vienas standus strypas. Jie gali būti plokštieji ir erdviniai.

Plokštieji laužtinės ašies strypai yra tokie, kurių visi elementai ir juos veikiančios ap-krovos išdėstyti vienoje plokštumoje, o erdviniai tokie, kurių elementai išdėstyti erdvėje, ne vienoje plokštumoje.

Kai plokščiąjį laužtinį strypą deformuoja apkrova, esanti to strypo plokštumoje, ats-kirų jo elementų skerspjūviuose gali veikti trys įrąžos: ašinė jėga, skersinė jėga ir lenkimo momentas. Laužtinės ašies erdvinio ir plokščiojo strypo, deformuojamo apkrovòs, nesan-čios jo plokštumoje, elementų skerspjūviuose bendruoju atveju gali veikti šešios įrąžos: ašinė jėga, dvi skersinės jėgos, du lenkimo momentai ir sukimo momentas.

Šie strypai būna gembiniai, dviatramiai ir daugiaatramiai. Dviatramiai ir daugiaatra-miai strypai vadinami rėmais.

Skaičiuojant laužtinės ašies strypus, pirmiausia sudaromos visų veikiančių įrąžų dia-gramos. Jos vaizduojamos aksonometriškai atitinkamose įrąžų veikimo plokštumose. Di-agramos brūkšniuojamos ordinačių žymėjimo kryptimis.

6.14 paveiksle pavaizduotas gembinis erdvinės laužtinės ašies strypas, per kurio ats-kirus elementus nubraižytos koordinačių plokštumos. Visos strypo įrąžų diagramos turi būti braižomos tik šiose (frontaliojoje F, horizontaliojoje H ir profi linėje P) plokštumose (6.14 pav.). Elementarių fi gūrų – išorinių apkrovų ir įrąžų diagramų – vaizdavimas akso-nometrinėse plokštumose pateiktas 6.15 paveiksle.

Toliau pateikiami dviejų plokščiųjų laužtinės ašies strypų įrąžų diagramų sudarymo pavyzdžiai (6.16–6.22 pav.).

144

6.14 pav.

Laužtinės ašies strypų ašinių ir skersinių jėgų ženklų taisyklės tokios pat, kaip ir tiesios ašies strypų: tempiančios strypą ašinės jėgos laikomos teigiamomis, o gniuždan-čios – neigiamomis, skersinės jėgos laikomos teigiamomis, kai jos nagrinėjamojo pjūvio atžvilgiu suka laikrodžio rodyklės kryptimi, ir neigiamomis, – kai suka priešinga kryptimi. Lenkimo momentų ženklas nenustatomas, o diagramos braižomos jų veikimo plokštu-mose tempiamų sluoksnių pusėje. Sukimo momento ženklas žymimas pagal susitarimą, pvz., gali būti laikomas teigiamu, jei, žiūrint į pjūvį, jis suka prieš laikrodžio rodyklę ir neigiamu, – jei jis suka pagal laikrodžio rodyklę. Ašinių jėgų ir sukimo momentų diagra-mos braižomos bet kurioje per strypo ašį einančioje koordinačių plokštumoje, ašinių jėgų diagramoje pažymint jėgos ženklą, o sukamo elemento – sukimo kryptį ant jo ašies.

6.15 pav.

Skersinių jėgų diagramos braižomos statmenai elemento ašiai atitinkamose koordina-čių plokštumose, pažymint ženklą.

145

6.17 pav.

6.16 pav.

Gembinių strypų įrąžos visada pradedamos skaičiuoti nuo laisvojo galo. Atramoje apskai-čiuotos įrąžų reikšmės yra lygios veikiančioms reakcijoms. Pirmasis elementas laikomas gem-bine sija, kitu galu standžiai įtvirtinta į kitą elementą. Baigus skaičiuoti pirmąjį elementą, visos įrąžos, gautos pirmojo elemento įtvirtinime, perkeliamos į antrojo elemento pradžią, o pastarasis elementas vėl skaičiuojamas kaip gembinė sija, standžiai įtvirtinta į trečiąjį elementą ir t.t.

1 PAVYZDYS

Dviejų elementų plokščiasis laužtinės ašies strypas.

El. 1-2

1 1 20d kN N N= = = ;

1 0dQ = ; 1 2kQ F Q= = ;

1 0M = ; M2 = F·a (virš.p.)

El. 2-3

2 0;vN = 2 3žN F N−= = ;

2 3 0Q Q= = ;

M2 = M = F·a = M3 (k.p.).

Braižomos bendrosios strypo įrąžų (ašinių ir skersinių jėgų bei lenkimo momentų) diagramos.

6.18 pav.

146

6.21 pav.

c

6.20 pav.

6.19 pav.

2 PAVYZDYS

Trijų elementų plokščiasis laužtinės ašies strypas.

El. 1-2

1 20 ;N N= =

1 0Q = ; Q2 =-q·a;

1 0M = ; M2 = q·a·a/2 = q·a2/ 2.

El. 2-3

Fq= q ·a; Mq = q·a2/2. ------------------------------------

2 2 30 ; ;v ž qN N F N−= = =

2 3 0Q Q= = ;

M2 = Mq = q·a2/2 = M3 (d.p.).

El. 3-4

3 3 40d kN N N= = = ;

3 0;dQ = 3k qQ F q= = ⋅ a 4Q= ;

3 qM M q= = · a2/2 (ap.p.)

M4 = M3 – Fq · c =

= q · a2 / 2 – q · a · c =

= q · a (a/2 – c) (virš.p.)

Matome, kad skaičiuojant lenkimo momentą strypo 4 taške yra naudojami ženklai, tačiau jie čia sąlyginiai, – šiuo atveju pasirinktas teigiamas lenkimo momento ženklas, tempiantis apatinius elemento 3–4 sluoksnius (nuo Mq), ir neigiamas, – tempiantis vir-šutinius sluoksnius (nuo Fq).

147

Bendrosios strypo įrąžų diagramos

6.22 pav.

Jei laužtinės ašies strypas yra dviatramis, iš pradžių apskaičiuojamos atraminės reakcijos, kurios pridedamos atraminiuose pjūviuose kaip žinomos (pasyviosios) apkro-vos. Įrąžas tuomet galima pradėti skaičiuoti tiek iš vieno, tiek iš kito strypo galo.

6.9. Laužtinės ašies strypų skaičiavimo pavyzdžiai

Duoti plokščiasis ir erdvinis laužtinės ašies strypai.Reikia:

1) nubraižyti ašinių ir skersinių jėgų (N ir Q), lenkimo ir sukimo momentų (M ir T) diagramas;

2) parinkti apvalius plieninius (d = ?; adm, 150plσ = MPa; adm adm0,6 90 MPaτ ≈ σ ≈ ) strypų skerspjūvius:a) bendrąjį – plokščiojo laužtinės ašies strypo pagal pavojingo pjūvio įrąžas;b) skirtingus – kiekvieno laužtinės erdvinės ašies strypo elemento.

1) plokščiasis laužtinės ašies strypas (6.23 pav.)

a = 1,5 m; b = 0,6 m; c = 1,0 m;

F = 20,0 kN; M = 25,0 kN⋅m; q = 15 kN/m.

Pirmiausia tikslinga apskaičiuoti horizontalią reakciją, kuri šiuo atveju veikia atramoje B nuo horizontalios išorinės apkrovos – jėgos F.

Horizontaliai reakcijai hBF apskaičiuoti naudojama sta-tinės pusiausvyros lygtis:

0xF =∑ ;

0hBF F− = ; 20,0hBF F= = kN.

Gautas teigiamas ženklas reiškia, kad laisvai pasirinkta jos kryptis (nukreipta į kairę) yra teisinga.

Apskaičiuojame vertikalias atramines reakcijas VAF ir VBF .

6.23 pav.

148

0AM =∑ ;

/ 2 0VB hBF F b c M q b b F b⋅ − + + − ⋅ + − ⋅ =a a( ) ( ) ;

1,5 20,0 1,6 25,0 15,0 0,6 1,8 20,0 0,6 0VBF − ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ = ;

32,0 25,0 16,2 12,0 23,51,5VBF − + +

= = kN (reakcija nukreipta aukštyn).

0BM =∑ ;

2 / 2 0VAF F b c q b b M⋅ + + + ⋅ ⋅ − =a ( ) ;

1,5 20,0 2,2 15,0 0,6 0.3 25,0 0VAF ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − = ;

44,0 2,7 25,0 14,51,5VAF − − +

= = − kN (reakcija nukreipta žemyn).

Reakcijų skaičiavimo patikrinimas:

0yF =∑ ;

VA VBF q b F− ⋅ + = 0;

-14,5 –15,0⋅0,6 +23,5 = 0

-23,5 + 23,5 = 0 (reakcijos apskaičiuotos teisingai).

Įrąžos apskaičiuojamos atskirai kiekvieno strypo elemento (šiuo atveju jų – keturi), kaip gembinių sijų, įtvirtintų atitinkamose 3 taško pusėse. Atitinkamų irąžų diagramos pateikiamos 6.24–6.28 paveiksluose.

El. A-3

Ak AdN N= = 0 = N3 (ašinės jėgos nėra);

0AkQ = ; QAd = FVA = –14,5 kN = Q3;

0AM = ; 3 14,5 1,5 21,75VAM F −= ⋅ = ⋅ =a ( ) kN⋅m(virš.p.)

6.24 pav

A a

FVA

MQ

3

14,5 14,5

21,75

149

El. 3-2

2 30 ;N N= =

2 0Q = ; 3 15,0 0,6 9,0Q q b= ⋅ = ⋅ = kN;

2 0M = ; 2 23 / 2 1,5 0,6 / 2 2,7M q b= ⋅ = ⋅ = kN⋅m (virš.p.)

El. 1-3

1 1 30v žN N N= = = ;

1 0Q =a ; 1 20,0žQ F= = kN = 3Q ;

1 0M = ; 1 20,0 0,6 12,0M F b= ⋅ = ⋅ = kN⋅m (k.p.)

El. 3-B

30; 23,5kN gn. ;Bž B VBN N F N− −= = = =a ( )

ž 30; 20,0 kNB B hBQ Q F Q= = = =a ;

0BM = ; 4 20,0 0,6 12,0kN m(d.p.);ž hBM F b= ⋅ = ⋅ = ⋅

4 4 12,0 25,0 13,0kN m k.p. ;žM M M −= − = − = ⋅a ( )

3 20,0 0,6 1,0 25,0 7,0 d.p. .hBM F b c M= ⋅ + − = ⋅ + − = ( ) ( ) ( )

6.27 pav.

6.25 pav.

B

6.26 pav.

150

Bendrosios strypo įrąžų diagramos

6.28 pav.

Plokščiojo laužtinės ašies strypo elementą 3-B veikia ašinė jėga N = –23,5 kN, o maksimalus lenkimo momentas max 21,7M = kN⋅m veikia elementą A-3. Parenkame skerspjūvį pagal vieną ir kitą įrąžą atskirai;

maxadm

NA

σ = ≤ σ ; max

adm

NA ≥

σ;

2max

adm

4

Ndπ ⋅≥

σ;

3max

adm

4 4 23,5 10 0,01412 m 14,12 mm3,14 150

Nd

−⋅ ⋅ ⋅≥ ≥ ≥ ≥

π ⋅ σ ⋅;

maxadm

x

MW

σ = ≤ σ ; max

admx

MW =

σ;

3max

adm

32

Mdπ ⋅=

σ;

3max 33

adm

32 32 21,7 10 0,11382 m 113,82 mm3,14 150

Md

−⋅ ⋅ ⋅≥ ≥ ≥ ≥

π ⋅ σ ⋅.

Didesnį skersmenį gavome pagal lenkimo momentą, todėl suapvaliname jį iki 114d ′ = mm 0,114= m;

2 23,14 0,114 0,0102024 4dA

′π ⋅′ = = =( ) m2 = 10,202⋅10-3 m2;

3 33,14 0,114 0,000145332 32xdW

′π ⋅′ = = =( ) m3 = 0,1453⋅10-3 m3.

Patikriname parinkto skerspjūvio įtempius:22 3

23

adm

21,7 10 149,350,1453 10

149,35MPa 150MPa

skx

MW

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅σ = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟′ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= < σ =

( )

Skerspjūvis parinktas gerai.

151

2) erdvinis laužtinės ašies strypas (6.29 pav.)

a = 1,0 m; b = 1,4 m; c = 0,8 m

F = 30,0 kN; M = 18,0 kN⋅m; q = 23,0 kN/m.

6.29 pav.

Atskirų strypo elementų įrąžų diagramos pateikiamos 6.30–6.33 paveiksluose, ben-drosios – 6.34 paveiksle.

El. 1-2

1 10; 30,0v žN N F− −= = = kN = N2(gn.);

1 2 0Q Q= = ;

1 2 0M M= = ;

1 2 18T M− = = kN⋅m;

6.30 pav.

152

6.32 pav.

El. 3-4

3 40N N= = ;

3 0PQ = ; 4 23 0,8 18,4PQ q c= ⋅ = ⋅ = kN;

3 0PM = ; 4 / 2 23,0 0,8 0,4 7,36PM q c c= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = kN⋅m (virš.p.);-----------------------------------------------------------------------------

3 30,0HQ F= = kN 4HQ= ;

3 40; 30,0 0,8 24,0H HM M F c= = ⋅ = ⋅ = kN⋅m (d.p.);

3 4 0T − = .

Pastaba: indeksai laipsnio rodikliuose nurodo plokštumą, kurioje skaičiuojama ati-tinkama įrąža.

6.31 pav.

El. 4-2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 40; 30d kN N F− −= = = ,0 kN = N2 (gn.);

4 1 18,4FkQ F= = kN 2

FQ= ;

4 0FM = ; 2 1 18,4 1,4 25,76FM F b= ⋅ = ⋅ = kN·m (virš.p.);

4 1 24,0HM M= = kN⋅m 2HM= (tol.p.);

4 2 2 7,36T M− = = kN⋅m.

1 4 24,0HM M= = kN⋅m (el. 3-4); 1 4 18,4PF Q= = kN (el. 3-4); 2 4 7,36PM M= = kN⋅m (el. 3-4).

153

6.33 pav.

El. 2-5

3 2 25,76FM M= = kN⋅m (el. 4-2).-----------------------------------------

2 1 530,0 18,4 48,4kNžN F F N− − −= − = − = = (gn.);

2 30,0FžQ F−= = − kN = 5

FQ ;

2 3 25,76FžM M= = kN⋅m (k.p.);

5 3 25,76 30 1,0 4,24FM M F −= − ⋅ = − ⋅ =a kN⋅m (d.p.);

2 2 7,36PžM M= = kN⋅m 5

PM= (tol.p.);

2 5 1 24,0 18,0 6,0T M M− = − = − = kN⋅m.

Bendrosios strypo įrąžų diagramos

6.34 pav.

154

Erdvinio laužtinės ašies strypo kiekvieno elemento skerspjūvis renkamas atskirai. Tai atliekama pagal vyraujančią (N, M ar T), atstojamąją atst.M .ar ekvivalentinę ekv.M įrąžas. Parinkto skerspjūvio įtempiai patikrinami dažniausiai naudojant III stiprumo teorijos sti-prumo sąlygą (6.38 formulė).

Elementas 1-2: 30,0N −= kN; 18,0T = kN⋅m.

maxadm

NA

σ = ≤ σ ; adm

NA ≥σ

; 2

adm4d Nπ ⋅

≥σ

;

3

adm

4 4 30 10 0,015963,14 150

Nd−⋅ ⋅

≥ ≥ ≥π ⋅ σ ⋅

m 15,96≥ mm;

admp

TW

τ = ≤ τ ; adm

pTW ≥

τ;

3

adm16d Tπ ⋅

=τ

;

3333

adm

16 16 18 10 0,001091 0,102953,14 90

Td−⋅ ⋅ ⋅

= = = =π ⋅ τ ⋅

m = 102,95 mm;

103d ′ = mm = 0,103 m;

( )2 23,14 103 8328,0654 4d

A′π ⋅ ⋅′ = = =

mm2 =8328,065⋅10-6 m2;

( )3 33,14 103 214447,6616 16pd

W′π ⋅′ = = =

mm3 = 214447,66 910−⋅ m3;

22

2 23 3

6 9

4

30 10 18 1048328,065 10 214447,66 10

skp

N TA W

− −

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 23,602 4 83,94 12,97 28183,69

28196,66 167,92 MPa >

= + ⋅ = + =

= =

> adm 150σ = MPa (parinktas skerspjūvis per mažas);

107d ′′ = mm 0,107= m;

2 23,14 107 8987,464 4dA

′π ⋅′′ = = =( ) mm2 = 8987,46⋅10-6 m2;

155

3 33,14 107 240414,6816 16pdW

′π ⋅′′ = = =( ) mm3 9240414,68 10−= ⋅ m3;

2 23 32 2

6 9

adm

30 10 18 104 3,33 4 74,878987,46 10 240414,68 10

3,33 22422,07 149,75MPa 150,0MPa.

sk

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅σ = + = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = < σ =

Skerspjūvis parinktas gerai (čia praleisti tarpiniai skaičiavimai priėmus atitinkamai 104;105 ir106 mm).d ′′ =

Elementas 3-4: 24,0kN mHM = ⋅ ; 7,36kN mPM = ⋅ ;

2 2 2 2atst 24,0 7,36 25,1H PM M M= + = + =( ) ( ) kN⋅m;

atstadm

x

MW

σ = ≤ σ ; atst

adm;x

MW ≥σ

3

atst

adm32Mdπ

≥σ

⋅ ;

3atst 33

adm

32 32 25,1 10 0,119483,14 150

Md−⋅ ⋅ ⋅

≥ ≥ ≥π ⋅ σ ⋅

m 119,48≥ mm;

120d ′ = mm 0,12= m;

3 33,14 120 169560,032 32xdW

′π ⋅′ = = =( ) mm3 9169560,0 10−= ⋅ m3;

3atst

925,1 10 148,03

169560,0 10skx

MW

−

−

⋅σ = = =

′ ⋅MPa adm 150 MPa< σ = .

Elementas 4-2: 30,0kN;N −= 25,76kN m;FM = ⋅ 24,0kN mHM = ⋅ ;

7,36 kN m.T = ⋅

Renkant el. 1-2 skerspjūvį, pagal 30N = kN gautas 15,96d = mm;

2 2 2 2atst 25,76 24,0 1239,58 35,21kN m;F HM M M= + = + = = ⋅( ) ( )

2 2 2 2ekv atst 35,21 7,36 1293,91M M T= + = + =( ) = 35,97 kN⋅m;

ekvadm ;

x

MW

σ = ≤ σ ekv

adm;x

MW ≥σ

3

ekv

adm;

32Mdπ ⋅

≥σ

156

3ekv 33

adm

32 32 35,97 10 0,13469 m 134,69 mm3,14 150

Md−⋅ ⋅ ⋅

≥ ≥ ≥ ≥π ⋅ σ ⋅

;

135mm 0,135m;d ′ = =

2 22 6 23,14 135 14306,62 mm 14306,62 10 m

4 4dA −′π ⋅′ = = = = ⋅( ) ;

3 33 9 33,14 135 241424,29 mm 241424,29 10 m

32 32xdW −′π ⋅′ = = = = ⋅( ) ;

3 33 9 33,14 135 482848,57 mm 482848,57 10 m

16 16pdW −′π ⋅′ = = = = ⋅( ) ;

22atst

2 23 3 3

6 9 9

4

30 10 35,21 10 7,36 10414306,62 10 241424,29 10 482848,57 10

skx p

MN TA W W

− − −

− − −

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 22,097 145,84 4 15,24 147,94 929,03= + + ⋅ = + =

adm151,05MPa 150MPa= > σ = (skerspjūvis per mažas).

Didiname skerspjūvį 136mm 0,136md ′′ = = .2

6 23,14 136 14519,36 10 m ;4

A −⋅′′ = = ⋅

39 33,14 136 246829,12 10 m ;

32xW −⋅′′= = ⋅

39 33,14 136 493658,24 10 m ;

16pW −⋅′′ = = ⋅

( )

2 23 3 3

6 9 9

2 2 2

adm

30 10 35,21 10 7,36 10414519,36 10 246829,19 10 493658,24 10

2,066 142,65 4 14,9 144,72 889,23

147,76MPa 150MPa.

sk

− − −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅σ = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + ⋅ = + =

= < σ =

Skerspjūvis parinktas gerai.

157

Elementas 2-5: 48,4kN;N −= 25,76FM = kN·m; 7,36PM = kN·m; 6,0T = kN·m.

2max

admadm adm

; ; ;4

N dN NAA

πσ = ≤ σ ≥ ≥

σ σ⋅

3

adm

4 4 48,4 10 0,02021 m 20,21 mm3,14 150

Nd−⋅ ⋅ ⋅

= ≥ ≥ ≥⋅π ⋅ σ

2 2 2 2atst 25,76 7,36 717,75 26,79 kN m;F PM M M= + = + = = ⋅( ) ( )

2 2 2 2ekv atst 26,79 6,0 753,70 27,45 kN mM M T= + = + = = ⋅( ) ;

ekvadm ;

x

MW

σ = ≤ σ ekv

adm;x

MW ≥σ

3

ekv

adm32Mdπ⋅

≥σ

;

3ekv 33

adm

32 32 27,45 10 0,12308 m 123,08 mm;3,14 150

Md−⋅ ⋅ ⋅

≥ ≥ ≥ ≥π ⋅ σ ⋅

124d ′ = mm 0,124= m;2 2

2 6 23,14 124 12070,16 mm 12070,16 10 m ;4 4dA −π ⋅ ⋅′ = = = = ⋅

3 33 9 33,14 124 187087,48 mm 187087,48 10 m ;

32 32xdW −π ⋅′ = = = = ⋅⋅

3 33 9 33,14 124 374174,96 mm 374174,96 10 m ;

16 16pdW −π⋅ ⋅′ = = = = ⋅

22atst

2 23 3 3

6 9 9

4

48,4 10 26,79 10 6,0 10412070,16 10 187087,48 10 374174,96 10

skx p

MN TA W W

− − −

− − −

⎛ ⎞⎛ ⎞σ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 24,01 143,19 4 16,04 21667,84 1029,12= + + ⋅ = + =( )

150,66 MPa= (skerspjūvis per mažas)

125 mm 0,125 m ;d ′′ = =

26 23,14 125 12265,62 10 m ;

4A −⋅′′ = = ⋅

158

39 33,14 125 191650,38 10 m ;

32xW −⋅′′= = ⋅

39 33,14 125 383300,77 10 m

16pW −⋅′′ = = ⋅

2 23 3 3

6 9 948,4 10 26,79 10 6,0 104

12265,62 10 191650,38 10 383300,77 10sk

− − −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅σ = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 23,94 139,78 4 15,65 20655,44 979,69= + + ⋅ = + =( ) ( )

adm,147,09 MPa 150 MPa .pl= < σ =

Skerspjūvis parinktas gerai.

Kontroliniai klausimai

Kiek įrąžų bendruoju atveju gali veikti sudėtingai deformuojamo elemento skers-1. pjūvyje? Žymėjimo simboliai, jų apibūdinimas.Su kokiomis įrąžomis gali būti susieti normaliniai įtempiai, veikiantys sudėtingai 2. deformuojamų elementų skerspjūviuose? Žymėjimo simboliai, jų apibūdinimas.Su kokiomis įrąžomis gali būti susieti tangentiniai įtempiai, veikiantys sudėtingai 3. deformuojamų elementų skerspjūviuose? Žymėjimo simboliai, jų apibūdinimas.Kaip ir kokiais atvejais taikomas superpozicijos principas sudėtingai deformuo-4. jamo elemento įtempiams skaičiuoti? Schema, išraiška, simbolių apibūdinimas.Kokio nuoseklumo laikomasi sprendžiant sudėtingai deformuojamo elemento 5. stiprumo ir standumo uždavinius?Pagal kokį rodiklį ir kaip yra skirstomi sudėtingai deformuojami elementai?6. Kokia deformacija vadinama įstrižuoju lenkimu? Pavyzdys.7. Kokia yra neutraliosios ašies lygtis įstrižojo lenkimo atveju? Kaip nustatomas neu-8. traliosios ašies krypties kampas? Išraiškos, simbolių apibūdinimas, pavyzdys.Kaip užrašoma įstrižai lenkiamo stačiakampio skerspjūvio elemento stiprumo 9. sąlyga? Schema, simbolių apibūdinimas.Kaip užrašoma elemento, kuris yra tempiamas ir įstrižai lenkiamas, stiprumo są-10. lyga? Schema, simbolių apibūdinimas.Ką vadiname ekscentriniu gniuždymu, ekscentriniu tempimu?11. Kokia yra neutraliosios ašies lygtis ekscentrinio gniuždymo atveju? Kaip nusta-12. toma neutraliosios ašies padėtis? Išraiškos, simbolių apibūdinimas, pavyzdys.Kaip bendruoju atveju užrašoma ekscentriškai gniuždomo stačiakampio skers-13. pjūvio elemento stiprumo sąlyga? Simbolių apibūdinimas, pavyzdys.Ką vadiname skerspjūvio branduoliu? Kaip užrašomos išraiškos kraštinių bran-14. duolio taškų padėčiai apskaičiuoti? Simbolių apibūdinimas, pavyzdžiai.

159

Kaip skaičiuojamas elementų stiprumas, kai įtempių būvis yra plokščiasis (dvia-15. šis)? Stiprumo sąlygų sudėtingai deformuojant išraiškos, simbolių apibūdinimas.Kokie strypai vadinami laužtinės ašies strypais? Kaip jie skirstomi? Jų apibūdi-16. nimas, pavyzdžiai.Kokių laužtinės ašies strypų elementuose gali veikti trys įrąžos? Kokios? Jų api-17. būdinimas, žymėjimo simboliai, pavyzdys.Kokių laužtinės ašies strypų elementuose bendruoju atveju gali veikti šešios įrą-18. žos? Kokios? Jų žymėjimo simboliai, apibūdinimas, pavyzdys.Kaip supaprastinamas stiprumo skaičiavimas, kai sudėtingai deformuojamo stry-19. po skerspjūvis yra skritulinis?Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kuris vie-20. nu metu yra tempiamas (ar gniuždomas) ir lenkiamas vienoje plokštumoje? Nuo-sekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kuris vie-21. nu metu yra tempiamas (ar gniuždomas) ir lenkiamas dviejose plokštumose? Nuosekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kuris vie-22. nu metu yra tempiamas (ar gniuždomas) ir sukamas? Nuosekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kuris vie-23. nu metu yra lenkiamas vienoje plokštumoje ir sukamas? Nuosekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kuris vie-24. nu metu yra lenkiamas dviejose plokštumose ir sukamas? Nuosekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Kaip parenkamas apvalus skerspjūvis laužtinės ašies strypo elemento, kurį vienu 25. metu veikia visos galimos įrąžos? Nuosekli sprendimo eiga naudojant simbolines išraiškas ir simbolius.Pagal kokią išraišką priimta patikrinti laužtinės ašies strypų elementų skerspjū-26. vių parinkimą? Simbolių apibūdinimas.

160

7. GNIUŽDOMŲ STRYPŲ STABILUMAS

7.1. Bendrosios žinios

Ankstesniame skyriuje „Sudėtingas strypų deformavimas“ nagrinėjome centriškai ir necentriškai gniuždomus strypus. Šie santykinai trumpi ir masyvūs elementai kons-trukcijose dirba tol, kol pradeda neleistinai deformuotis (iš plastiškų medžiagų) arba suyra (iš trapių medžiagų).

Tačiau daugelyje konstrukcijų naudojami ilgi ir ploni strypai, kurie gniuždomi dirba visiškai kitaip negu trumpi ir masyvūs. Tai susiję su elementų išlinkimu, t.y. pradinės pu-siausvyros formos netekimu, įvykstančiu staiga ir esant daug mažes nėms apkrovoms negu suirtų arba neleistinai deformuotųsi iš tos pačios medžiagos pagaminti trumpi strypai.

Iš teorinės mechanikos žinome, kad kietojo kūno pusiausvyra gali būti stabili, neutrali (visokeriopa) ir nestabili (7.1 pav., a, b ir c atitinkamai). Pusiausvyra stabili, jei iš jos būvio pa-

slinktas kūnas grįžta į pradinę padėtį pašalinus tą poslinkį sukėlusią priežastį (7.1 pav., a). Pusiausvyra neutrali (viso-keriopa), kai paslinktas kūnas lieka pusiausvyras naujoje padėtyje (7.1 pav., b). Pusiausvyra nestabili, jei iš pusiaus-vyros padėties išjudintas kūnas negrįžta į ją (7.1 pav., c).

Nesideformuojančio kūno pusiausvyros formos stabilumas nepriklauso nuo jį veikiančių jėgų didumo.

Analogiškos pusiausvyros formos yra ir deformuojamo kūno mechanikoje, tik čia jos priklauso nuo veikiančių jėgų didumo.

Būdingiausias stabilumo netekimo pavyzdys – tiesaus, laibo, ilgo, abiejuose galuose šarnyriškai įtvirtinto strypo gniuždymas (7.2 pav.).

Kol centriškai gniuždanti jėga F yra nedide-lė, strypo poslinkiai nuo jos yra tik išilginiai, o pu-siausvyra – stabili.

Dėl skersinės jėgos Q poveikio (šoninio vėjo dvelktelėjimo, netolygaus tempe ratūros pokyčio, strypo medžiagos nevienodumo ar kt.) strypas gali truputį išlinkti, tačiau visuomet išsitiesia, jei pa-naikinamos tą išlinkimą sukėlusios priežastys. Kol didinama gniuždomoji jėga pasiekia atitinkamą reikšmę, strypo pusiausvyros forma – neutrali (vi-sokeriopa) (7.2 pav., b).

Didinant gniuždomąją jėgą dar, pradinė tiesi strypo pusiausvyros forma staiga tam-pa nestabili: strypas išlinksta, skersinės deformacijos tampa neproporcingos veikiančiai apkrovai, dėl to negali būti taikomas superpozicijos principas. Svarbiau sia, – strypas nebeišsitiesia net ir tada, kai išnyksta skersinių poslinkių priežastys. Apskritai šios prie-žastys tėra tik impulsas strypui netekti pradinės pusiausvyros for mos. Strypo pusiaus-vyros stabilumas priklauso ne nuo šių priežasčių, o nuo jo ge ometrinių matmenų, galų įtvirtinimo būdo, medžiagos tamprumo savybių bei gniuž domosios jėgos didumo.

7.1 pav.

7.2 pav.

161

Taigi išilgai ašies veikianti gniuždomoji jėga strypą ne tik gniuždo, bet ir lenkia: stry-pas pereina į kitokią (išlenktą) pusiausvyros formą.

Minimali gniuždomoji jėga, kuriai veikiant pradinė tiesaus strypo stabilios pu-siausvyros forma tampa nestabili, vadinama kritine jėga Fcr.

Gniuždymo įtempis, kurį sukelia kritinė jėga, vadinamas kritiniu įtempiu σcr.Tokia deformacija, kai išilgai ašies gniuždomas tiesus strypas išlinksta ir ne tenka

stabilumo, vadinama klupdymu.Pradinės pusiausvyros formos gali netekti ne tik tiesūs gniuždomi strypai, bet ir ki-

tokių formų elementai bei konstrukcijos. 7.3 pav. ištisinėmis linijomis parodyta, kaip kitą – elipsės pavidalo – pusiausvyros formą įgyja žiedas, veikiamas kritiškojo slė gimo (a), bei rėmas, veikiamas kritiškosios apkrovos (b).

7.3 pav.

Pasitaiko, kad elementai suklumpa vykstant kitokioms (ne gniuždymo) defor macijoms. 7.3 pav., c parodyta plonasienė gembinė sija, lenkiama didžiausio stan dumo – vertikalioje – plokštumoje. Kai tik lenkianti jėga viršija kritinę reikšmę, sija susisuka.

Visiems klupdymo atvejams būdinga tai, kad elementai netenka pirminės sta bilumo pusiausvyros formos, t.y. pereina į naują pusiausvyros formą staiga, be jokių įspėjamųjų požymių. Dažnai tai sukelia tokias deformacijas ir taip staigiai didėjan čias įrąžas, kurioms priešintis elementai (kartu ir konstrukcijos) yra nepritaikyti, todėl greit suyra. Vienas iš žinomiausių gniuždomų elementų stabilumo netekimo pavyz džių – Kvebeko tilto per Šv. Laurentijaus upę (JAV) atramų suirimas (1907 m.).

Taigi klupdymo deformacija yra pavojinga, todėl – neleistina. Praktiniuose skaičiavi-muose kritinę jėgą Fcr priimta laikyti ribine. Suprantama, kad tikroji veikianti jėga privalo būti mažesnė už kritinę. Dėl to gniuždomų strypų stabilumas tikrinamas pagal sąlygą:

F < Fcr

arba

cradm,stb

stb

FF Fn

≤ = , (7.1)

čia F – gniuždomoji jėga; Fcr – kritinė (ribinė) jėga; Fadm,stb – leistinoji jėga; nstb – stabilumo atsargos koefi cientas (stability - angl.).

162

Kritiniai (ribiniai) įtempiai:

crcr

FA

σ = . (7.2)

Stabilumo sąlyga išreikšta įtempiais:

cradm,stb

stb.

nσ

σ ≤ σ = (7.3)

Įvertinant išskirtines klupdomų elementų naudojimo sąlygas, stabilumo at sargos ko-efi cientas nustatomas didesnis už stiprumo atsargos koefi cientą: statybi nių plienų – 1,8…3,0; ketaus – 5…5,5; medžio – 2,8…3,2. Mašinų konstruk cijoms taikomas dar didesnis koefi cientas, pvz., plienui – 4…5.

Iš pateiktos medžiagos matyti, kad skaičiuojant klupdomus elementus (paren kant jų skerspjūvius) būtina mokėti apskaičiuoti kritinę jėgą.

7.2. Oilerio formulė

Nagrinėjant pusiausvyros netekimą naudojami keletas metodų, iš kurių univer saliausias – dinaminis. Beje, medžiagų atsparumo kurse jis netaikomas, nes tam reikia specialių žinių iš tampriųjų sistemų dinamikos srities; be to, statybinės inžine rijos praktikoje daugiausia užda-vinių, kuriuos galima išspręsti daug paprastesniu – Oilerio (1707-1783) metodu. Šis garsus mokslininkas-matematikas, mechanikas bei fi zikas pirmasis nagrinėjo tiesių ilgų strypų sta-bilumą juos gniuždant ir 1774 m. išvedė kritinės jėgos apskaičiavimo formulę.

Nagrinėjame ilgą abiejuose galuose šarnyriškai įtvirtintą strypą (7.4 pav.), kurį gniuždo jėga, didesnė už kritinę. Toks strypas tampriai deformuojasi, pakeis-damas pradinę pusiausvyros padėtį: jo ašis išlinksta, o skerspjūviai pasisuka apie tą svar biausiąją ašį, kurios atžvilgiu inercijos momentas yra minimalus.

Kritinės jėgos lenkimo momentas, veikiantis atstumu z nuo atramos B yra toks:

cr( )zM F v= ⋅ .

Išlinkęs strypas yra naujos pusiausvyros formos, todėl tame pačiame skersp jūvyje veikia ir vidinių tam-prumo jėgų atstojamasis momentas Mz, kuris priešina-si kritinės jėgos sukeltam momentui. Dėl mažų strypo įlinkių tamprumo jėgų momentą galima išreikšti strypo įlinkių kreivės diferencialine lygtimi (žr. 5.3 poskyrį):

2

min 2 ( ),zd vE I Mdz

⋅ = = -Fcr ⋅ v, (7.4)

čia 2

2d vdz

– įlinkių kreivės antroji išvestinė;

E⋅ Imin – strypo skerspjūvio standumo modulis (standis).

v

vmax

7.4 pav.

163

Iš čia gauname

2

cr2

min

Fd v vE Idz

=⋅

. (7.5)

Pažymime 2cr min/F E I k⋅ = ir gauname diferencialinę lygtį:

2

22 0d v k v

dz+ ⋅ = . (7.6)

Šios lygties integralas – harmoninė funkcija, kurios bendras sprendinys toks:

sin cos .v A k z B k z= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (7.7)

Šio sprendinio integravimo konstantos A ir B nustatomos taikant dvi ribines strypo galų sąlygas, kurias jos turi atitikti: 1) kai z = 0, v = 0 (atrama B); 2) kai z = L, v = 0 (atrama A).

Iš pirmosios sąlygos gaunama, kad B = 0 (nes sin k ⋅z = sin 0 = 0; cos k⋅ z = cos 0= = 1,0), todėl

sinv A k L= ⋅ ⋅ . (7.8)

Tai reiškia, kad strypas išlinksta pagal sinusoidę.Ši lygtis turi du sprendinius: A = 0 ir sin k ⋅ L = 0.Pirmasis sprendinys netinka, nes kai A = 0, strypas neišlinksta. Išlenkto strypo formą

atitinka antrasis sprendinys:

sin 0k L⋅ = . (7.9)Geometriškai ši lygtis atitinka sinusoidę, todėl turi begalinį skaičių sprendinių:

0, ,2 ,3 ,...k L n⋅ = π π π ⋅ π (7.10)

čia n – bet koks sveikasis skaičius.

Bendroji išraiška tokia: k L n⋅ = ⋅ π . (7.11)

Į šią lygtį įrašę k reikšmę (priimtą pažymėjimą), gauname:

cr

min

F nE I L

⋅ π=

⋅ arba

2 2cr

2min

F nE I L

⋅ π=

⋅. (7.12)

Praktiškai jau pavojinga yra mažiausia, tačiau nelygi nuliui, kritinės jėgos reikšmė, kurią atitinka n = 1, todėl:

2

mincr 2

E IFL

π ⋅ ⋅= . (7.13)

Gauta kritinės jėgos išraiška vadinama Oilerio formule, kuri tinka šarnyriškai abie-juose galuose įtvirtinto strypo kritinei reikšmei apskaičiuoti.

Analogiškai nagrinėjant kitaip įtvirtintus strypus gaunamos kitos juos atitinkan čios kritinių jėgų išraiškos. Palyginus šias išraiškas, padaroma išvada, kad formulė (7.13) gali būti pritaikyta visiems įtvirtinimų atvejams, pakeitus joje strypo ilgį L redu kuotu (skai-

164

čiuojamuoju) strypo ilgiu Lred, kuris yra lygus suklupusio strypo ašies si nusoidės pusban-gės ilgiui (strypo daliai, kurios galuose lenkimo momentai lygūs nuliui):

redL L= µ ⋅ , (7.14)

čia µ – strypo ilgio redukcijos (įtvirtinimo) koefi cientas (7.5 pav.); L – faktinis strypo ilgis.

7.5 pav.

Gaunama apibendrinta (tinkanti visiems galimiems strypų galų įtvirtinimo atve jams) formulė kritinei jėgai apskaičiuoti:

2 2min min

cr 2 2red

E l E lFL L

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= =

µ ⋅( ).

(7.15)

Iš (7.15) formulės matyti, kad geriausia statyti standžiai abiejuose galuose įtvir tintus strypus (7.5 pav., d), nes šiuo atveju kritinė jėga yra keturis kartus didesnė, pa lyginus su šarnyriškai įtvirtintais strypais (7.5 pav., b). Tačiau iš patirties žinoma, kad menkiausias įtvirtinimo laisvumas sudaro sąlygas, artimas šarnyrinio įtvirtinimo.

7.3. Oilerio formulės galiojimo ribos

Oilerio formulė išvesta remiantis tampraus deformavimo įlinkių kreivės diferen-cialine lygtimi, kuri pagrįsta tamprumo moduliu E iš Huko dėsnio. Kaip žinoma, Huko dėsnis galioja iki proporcingumo ribos. Taigi Oilerio formulė taip pat galioja tol, kol kriti-nis normalinis įtempis neviršija proporcingumo ribos:

σcr ≤ σpr . (7.16)

Kritinis įtempis išreiškiamas kritinės jėgos ir skerspjūvio ploto santykiu:

165

2 2 2cr min min

cr 2 2F E I E iA L A L

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅σ = = =

µ ⋅ µ ⋅( ) ( ) 2 minminnes Ii

A =( ).

Lenkų inžinierius F. Jasinskis (1856–1949) pasiūlė redukuoto strypo ilgio ir jo skers-pjūvio mažiausio inercijos spindulio santykį vadinti strypo liauniu λ:

min

Liµ ⋅

λ = . (7.17)

Tuomet tampraus strypo kritinis įtempis išreiškiamas taip:

2

crEπ ⋅

σ =λ

. (7.18)

Įvertinus (7.16) sąlygą gaunama:

2

cr prEπ ⋅

σ = ≤ σλ

. (7.19)

Iš dešiniosios šios išraiškos pusės gaunama Oilerio formulės galiojimo sąlyga, iš-reikšta ribiniu strypo liauniu:

ribpr

Eλ ≥ π

σ. (7.20)

Ribinis strypo liaunis – medžiagos konstanta, priklausanti nuo fi zikinių-mecha ninių medžiagos savybių ir nepriklausanti nuo strypo matmenų.

Pavyzdžiui, neanglingajam plienui Cт 3, kurio σpr = 200 MPa, o E = 2 ⋅ 105 Mpa, Oilerio formulė galioja, kai λ ≥ 100, analogiškai ketui, kai λ ≥ 80, aliuminiui, kai λ ≥ 50, medienai, kai λ ≥ 110.

Kai faktinis liaunis (7.17) mažesnis už ribinį (7.20), strypas suklumpa įtempiams viršijus proporcingumo ribą. Šiuo atveju Oilerio formulės taikyti negalima, nes pagal ją kritinė jėga gaunama per didelė, taigi ir pavojinga (strypą suklupdo mažesnė jėga negu apskaičiuotoji). Teoriškai nustatyti kritinę jėgą (ar kritinius įtempius) yra su dėtinga, to-dėl dažniausiai taikomos gausiais eksperimentais paremtos empirinės formulės, pvz., Jasinskio tiesinė kritinio įtempio išraiška: cr ,bσ = − ⋅ λa (7.21)

čia a ir b – pastovūs, taikomi kiekvienai medžiagai koefi cientai, priklausantys nuo jos savybių (7.1 lentelė).

7.1 lentelė. Koefi cientų a, b, ir liaunio λ reikšmės

Medžiaga aMPa

bMPa λ kitimo ribos

Plienas Cт 2 264 0,70 60…105 - “ - Cт 3 310 1,14 60…100 - “ - Cт 20 328 1,15 60…96 - “ - Cт 45 449 1,67 52…85Duraliuminis 406 2,83 30…53Pušis 29,3 0,194 –70

166

Apskaičiuotąjį kritinį įtempį padauginus iš strypo skerspjūvio ploto gaunama kritinės jėgos reikšmė.

Tačiau Jasinskio formulė tinka taip pat ne visoms mažesnėms už ribines liau nio reikš-mėms. Kai strypai mažai liauni (stori ir trumpi), jiems pavojaus suklupti nėra, nes kritiniai įtempiai prilygsta takumo ar stiprumo riboms (σcr = σy arba σcr = σu,c).

Taigi visus gniuždomus strypus pagal jų liaunį galima suskirstyti į tris kategori jas:1. Strypai, kurių stabilumas skaičiuojamas pagal Oilerio formulę, vadinami di delio

liaunio strypais (λ ≥ λrib).2. Vidutinio liaunio strypai (40 ≤ λ ≤ λrib) skaičiuojami pagal empirines formu les.3. Mažo liaunio strypai (λ ≤ 40) suklupti negali ir yra skaičiuojami kaip paprasti

gniuždomi strypai.Gniuždomo (klupdomo) strypo naudojimo riboms nustatyti galima sudaryti kiekvie-

nos medžiagos kritinių įtempių ir liaunio priklausomybės grafi ką. Toks plieno Cт 3 grafi -kas pavaizduotas 7.6 paveiksle.

7.6 pav.

Grafi ką sudaro trys ruožai: 1) mažo liaunumo, ribojamas takumo įtempio, 2) vidu-tinio liaunumo, apribotas tiesine kritinio įtempio funkcija (7.21) ir 3) didelio liau numo, apribotas Oilerio hiperboline įtempio funkcija (7.19). Suprantama, kad būtina atsarga, to-dėl apskaičiuotieji įtempiai neturi viršyti grafi ke nurodytų ribų, t.y. jie turi būti mažesni (priimamas atitinkamas atsargos koefi cientas).

Iš grafi ko matyti, kad skaičiuoti medžiagos kritinius įtempius pagal Oile rio formulę galima tik tuo atveju, kai λ ≥ 100; Jasinskio formulė galioja, kai λ = 60…100 (skaičiuojant tokio liaunio strypus pagal Oilerio formulę, gaunami labai di deli kritiniai įtempiai). Mažo liaunio (λ < 40) strypų skaičiuojamas tik stiprumas, nes kritiniai šios medžiagos įtempiai prilygsta takumo ribai (σcr = σy).

167

7.4. Skerspjūvių formos racionalumas

Remiantis Oilerio ir Jasinskio formulėmis daroma išvada, kad kritinė jėga (bei kritinis įtempis) didėja, didėjant minimaliam strypo skerspjūvio inercijos spinduliui ( min min /i I A= ). Kuo šis rodiklis didesnis, tuo skerspjūvis ekonomiškesnis.

Įvairių skerspjūvių ekonomiškumui palyginti naudojamas bedimensis rodiklis, vadi-namas lyginamuoju inercijos spinduliu:

min min min/ / .i A I Aρ = = (7.22)

Labiausiai paplitusių skerspjūvių šio rodiklio reikšmės pateikiamos 7.2 lentelėje.7.2 lentelė. Skerspjūvių lyginamojo inercijos spindulio reikšmės

Skerspjūvio forma ρ min

Stačiakampis, h/b = 2 0,204Kvadratas 0,289Skritulys 0,36Dvitėjai profi liai 0,27-0,41Loviniai profi liai 0,38-0,45Lygiašoniai kampuočiai 0,4-0,6Žiedas, d/D =0,7…0,9 0,86-1,53

Matyti, kad neekonomiškiausi yra stačiakampiai pilnaviduriai skerspjūviai, be to, jų pusiausvyros stabilumas svarbiausiųjų ašių atžvilgiu yra nevienodas. Racio naliausi yra tie skerspjūviai, kurių svarbiausieji inercijos momentai tarpusavyje yra lygūs, arba ρmin = ρmax = ρ (pusiausvyros stabilumas visomis kryptimis vienodas), o plotai minima-lūs. Tokiems priskiriami žiediniai ir dėžės formos plonasieniai skersp jūviai.

7.5. Praktinis gniuždomųjų strypų (kolonų) stabilumo skaičiavimas

Skyriuje „Tempimas ir gniuždymas“ minėta, kad`dauguma for mulių, skirtų tempi-mui, tinka ir gniuždymui. Tačiau ten buvo nagrinėjamas tokių strypų stiprumas ir standu-mas, neaptariant jų stabilumo klausimų.

Strypo gniuždymas atitinkamomis (minėtomis) sąlygomis tampa klupdymu, to dėl gali būti prarastas jo pusiausvyros stabilumas. Naudojimo požiūriu užtikrinti strypo pu-siausvyros stabilumą būtina, todėl tikslinga apibrėžti pagrindinius tem piamo ir gniuždomo strypų skirtumus:

1) statinės apkrovos atveju tempiamo strypo laikomoji galia priklauso nuo stip rumo (retai – nuo standumo), gniuždomo strypo – nuo pusiausvyros stabilumo, savo ruožtu priklausančio nuo strypo ilgio (tiksliau – jo liaunio);

2) tempiamo strypo suirimo požymiai dažniausiai iš anksto pastebimi (didelės de-formacijos, plyšiai), o gniuždomas strypas stabilumo netenka (suklumpa) staiga. Netikėtų avarijų galimybė verčia tokių strypų projektuotojus, konstruktorius būti labai atidžius.

Praktikoje vietoj įprasto skaičiavimo esant gniuždymui ir dviejų (Oilerio ir Ja sinskio) formulių, taikomų atitinkamo liaunumo klupdomų strypų skaičiavimui, pato giau naudo-

168

tis viena formule, tinkančia visiems strypų liauniams. Įvertinant kritinės jėgos mažėjimo tendenciją liaunėjant strypui, pvz., didinant jo ilgį, suprantama, kad stiprumo sąlygoje tempimo ir gniuždymo atveju reikia mažinti leistinuosius įtempi us:

adm,stb adm,cFA

σ = ≤ σ = ϕ⋅σ , (7.23)

čia adm,stbσ – leistinieji stabilumo įtempiai;

adm,cσ – leistinieji gniuždymo įtempiai; ϕ – leistinųjų gniuždymo įtempių sumažinimo (klupumo) koefi cientas.

Įrašome į (7.23) stabilumo sąlygos dešiniąją pusę anksčiau aptartas atitin kamų įtem-pių išraiškas

( adm,stbσ cr

stbnσ

= ; adm,cy

nσ

σ = ) ,

ir gauname klupumo koefi ciento išraišką:

adm,stb cr

adm,c stby

nn

σ σ ⋅ϕ = =

σ σ ⋅. (7.24)

Matyti, kad ϕ priklauso nuo strypo medžiagą apibūdinančių kritinių įtem pių σсr, pas-tarieji – nuo strypo liaunio λ (7.18 formulė), o liaunis – nuo kitų rodiklių (7.17 formulė). Priklausomybė daugiafaktorė, todėl buvo sudaromos įvairių medžiagų lentelės, kuriose stabilumo netekimo pavojus įvertintas klupumo (leistinųjų įtempių sumažinimo) koefi -cientu ϕ kaip liaunio λ funkcija (ϕ = f(λ)). 7.3 lentelėje pateikiamos dažniau naudojamų medžiagų šios funkcijos dydžių reikšmės.

7.3 lentelė. Leistinųjų gniuždymo įtempių sumažinimo (klupumo) koefi cientai

Liaunisλ

ϕ reikšmėsPlienai СТ

4,3,2,0 markiųPlienai СТ 5

markės Plienai C K Ketus Medis

1 2 3 4 5 60 1,00 1,00 1,00 1,00 1,0010 0,99 0,98 0,97 0,97 0,9920 0,96 0,95 0,95 0,91 0,9730 0,94 0,92 0,91 0,81 0,9340 0,92 0,89 0,87 0,69 0,8750 0,89 0,86 0,83 0,57 0,8060 0,86 0,82 0,79 0,44 0,7170 0,81 0,76 0,72 0,34 0,6080 0,75 0,70 0,65 0,26 0,4890 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31110 0,52 0,43 0,35 - 0,25120 0,45 0,36 0,30 - 0,22130 0,40 0,33 0,26 - 0,18140 0,36 0,29 0,23 - 0,16150 0,32 0,26 0,21 - 0,14

169

1 2 3 4 5 6160 0,29 0,24 0,19 - 0,12170 0,26 0,21 0,17 - 0,11180 0,23 0,19 0,15 - 0,10190 0,21 0,17 0,14 - 0,09200 0,19 0,16 0,13 - 0,08

Kolonų, projektuojamų iš konstrukcinių plienų, skaičiavimui dažniausiai nau dojama 7.4 lentelė.

7.4 lentelė. Konstrukcinių plienų klupumo koefi cientai ϕ

Liau-nisλ

K o e f i c i e n t a i

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1,000 0,999 0,998 0,996 0,995 0,994 0,993 0,992 0,990 0,98910 0,988 0,986 0,984 0,982 0,980 0,978 0,975 0,973 0,971 0,96020 0,967 0,964 0,961 0,959 0,956 0,953 0,950 0,947 0,945 0,94230 0,939 0,936 0,932 0,929 0,926 0,922 0,919 0,916 0,913 0,90940 0,906 0,902 0,899 0,895 0,891 0,888 0,884 0,880 0,876 0,87350 0,869 0,865 0,861 0,856 0,852 0,848 0,844 0,840 0,835 0,83160 0,827 0,822 0,818 0,814 0,809 0,804 0,800 0,796 0,791 0,78670 0,782 0,777 0,772 0,768 0,763 0,758 0,753 0,748 0,744 0,73980 0,734 0,727 0,720 0,713 0,706 0,700 0,693 0,686 0,679 0,67290 0,665 0,658 0,652 0,645 0,639 0,632 0,625 0,619 0,612 0,606100 0,599 0,593 0,587 0,580 0,574 0,568 0,562 0,556 0,549 0,543110 0,537 0,531 0,526 0,520 0,514 0,508 0,502 0,496 0,491 0,485120 0,479 0,474 0,468 0,463 0,457 0,452 0,447 0,441 0,436 0,430130 0,425 0,420 0,415 0,410 0,405 0,400 0,396 0,391 0,386 0,381140 0,376 0,371 0,366 0,362 0,357 0,352 0,347 0,342 0,338 0,333150 0,328 0,324 0,320 0,317 0,313 0,309 0,305 0,301 0,298 0,294160 0,290 0,287 0,284 0,281 0,278 0,274 0,271 0,268 0,265 0,262170 0,259 0,256 0,254 0,251 0,249 0,246 0,243 0,241 0,238 0,236180 0,233 0,231 0,228 0,226 0,224 0,222 0,219 0,217 0,215 0,212190 0,210 0,208 0,206 0,204 0,202 0,200 0,199 0,197 0,195 0,193200 0,191 0,189 0,188 0,186 0,184 0,182 0,181 0,179 0,177 0,176210 0,174 0,173 0,171 0,170 0,168 0,167 0,166 0,164 0,163 0,161220 0,160

Naudojantis (7.23) formule, nereikia skaičiuoti strypo kritinių įtempių. Kadangi iš pradžių nežinomas nei ϕ nei A, strypas projektuojamas (galutinai nustatant jo skerspjūvio matmenis) nuoseklaus priartėjimo būdu.

1. Priimama bet kuri tarpinė klupumo koefi ciento reikšmė, neviršijanti jo kitimo ribų (0 ≤ ϕ ≤ 1), pvz., ϕ = 0,5.

2. Pagal (7.23) formulės dešiniąją pusę apskaičiuojamas orientacinis strypo skerspjū-vio plotas adm,c/A F≥ ϕ⋅σ .

3. Apskaičiuojami (ar parenkami) skerspjūvio matmenys, minimalus skerspjū vio inercijos momentas Imin, minimalus inercijos spindulys min min /i I A= ir strypo liaunis λ = µ⋅ L / imin.

170

4. 7.3 ar 7.4 lentelėse randamas gautąjį liaunį atitinkantis klupumo koefi cientas 'ϕ .5. Jeigu 'ϕ ≈ ϕ , laikoma, kad skerspjūvis parinktas gerai; tuomet patikrinami pa-

rinkto skerspjūvio skaičiuotinieji įtempiai skσ , kurie, suprantama, neturi viršyti leistinųjų gniuždymo įtempių sk adm,c/ 'F Aσ = ϕ ⋅ ≤ σ .

6. Jeigu priimtasis ir gautasis klupumo koefi cientai neleistinai skiriasi, skaičia vimas turi būti kartojamas taikant naują klupumo koefi cientą 1 ( ') / 2ϕ = ϕ + ϕ .

Skaičiavimas kartojamas tol, kol pasirinktoji ir apskaičiuotoji klupumo koefi cientų reikšmės skiriasi ne daugiau kaip 4…6 %.

Klupumo koefi cientų (7.3 ir 7.4) lentelės sudarytos naudojant stabilumo atsargos ko-efi cientą nstb = 1,8. Projektuojant gniuždomus strypus statybinėms konstrukci joms, tokia atsarga pakankama, tačiau mašinų konstrukcijoms skaičiuoti, kaip jau buvo minėta, – per maža. Tokiais atvejais skaičiuoti reikia pagal Oilerio ar Jasinskio formules naudojant rei-kiamą atsargos koefi ciento reikšmę.

Bandymais įrodyta, kad strypo skerspjūvio sumažinimai (susilpninimai), pvz., sky-lės, praktiškai neturi įtakos kritinės jėgos dydžiui, todėl stabilumo sąlygoje (7.23) gniuž-danti jėga dalijama ne iš sumažinto, o viso skerspjūvio ploto A = Abr (bruto ploto). Tačiau, jeigu strype yra susilpninta vieta, toks strypas tikrinamas dar ir pagal stiprumo sąlygą gniuždymui, gniuždančią jėgą dalinant iš sumažinto skerspjūvio ploto A = Ant (neto ploto), t.y. sk nt adm,c/F Aσ = ≤ σ .

Projektuojant tokiu būdu elementarių taisyklingų formų skerspjūvių gniuždo mus strypus (kolonas), reikiamo tikslumo rezultatas pasiekiamas po dviejų trijų pri artėjimų (skaičiavimo pakartojimų). Tačiau pastebėta, – kai skerspjūviai sudėtingi, pvz., suda-ryti iš keleto kad ir standartinių valcuotų profi lių juostų (7.7 pav.), iki 50 % sprendinių įgauna uždarą skaičiavimo ciklą, t.y. pakartotinių skaičiavimų pabaigoje neįvykdoma stabilumo sąlyga, arba parinktas skerspjūvis akivaizdžiai neekonomiš kas (pernelyg di-delė stiprumo atsarga).

Sudarius atitinkamas ESM skaičiavimų programas, nustatyta, kad optimalaus spren-dinio negaunama tais atvejais, kai kolonos skerspjūvis – lygiašoniai ar nely giašoniai kam-puočiai, kurių geometriniai rodikliai kinta šuoliais, ir, svarbiausia, – tarp jų nėra nuoseklaus ryšio: dažnai didesnio ploto skerspjūvis turi mažesnį inercijos momentą, ir atvirkščiai. Be to, didelę įtaką tam turi ir atsitiktinės klupumo koefi ciento reikšmės pasirinkimas. Atliktų skaičiavimų (iš eilės buvo tikrinami visi valcuoti profi liai pagal sortimentų lenteles) ana-lizė parodė, kad patikimo ryšio tarp optimalius sprendinius atitinkančių klupumo koefi -cientų ϕ ir visų galimų projektuojamą koloną apibūdinančių parametrų (ilgio, įtvirtinimo būdo, gniuždančios apkrovos dydžio) nėra. Tačiau pastebėta, kad esant konkrečiam kolo-nos skerspjūviui, pastoviam jos ilgiui ir logiškai galimoms gniuždančios apkrovos kitimo riboms, optimalius sprendi nius atitinkantys klupumo koefi cientai kinta mažais intervalais, palyginus su apskri tai galimu jo kitimu (0 ≤ ϕ ≤ 1,0). Ši ypatybė leido nustatyti rekomen-duojamus klu pumo koefi cientus pradedant skaičiavimą (7.5 lentelė).

Kaip parodė kontroliniai skaičiavimai, pasirenkant rekomenduotas koefi cientų ϕ reikšmes, optimalus sprendinys gaunamas po 3-4 skaičiavimo pakartojimų.

171

7.7 pav.

Kolonų iš įvairių valcuotų profi lių schemos

172

7.5 lentelė. Rekomenduojamos klupumo koefi ciento ϕ reikšmės

SchemosNr.

Kolonos ilgis m2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

1 0,88 0,86 0,82 0,76 0,75 0,68 0,662 0,94 0,92 0,90 0,88 0,85 0,82 0,813 0,87 0,82 0,78 0,74 0,71 0,68 0,634 0,65 0,51 0,43 0,40 0,36 0,32 0,285 0,87 0,85 0,80 0,74 0,72 0,69 0,646 0,93 0,90 0,87 0,85 0,82 0,79 0,737 0,85 0,82 0,78 0,73 0,69 0,67 0,638 0,73 0,65 0,54 0,50 0,46 0,41 0,359 0,93 0,92 0,89 0,86 0,83 0,81 0,8010 0,87 0,82 0,77 0,74 0,69 0,64 0,5911 0,92 0,89 0,86 0,83 0,81 0,76 0,7612 0,72 0,66 0,60 0,54 0,49 0,43 0,3913 0,93 0,90 0,90 0,88 0,85 0,83 0,8214 0,88 0,88 0,84 0,82 0,80 0,76 0,7615 0,82 0,78 0,72 0,63 0,60 0,58 0,5216 0,60 0,52 0,48 0,42 0,36 0,34 0,3217 0,92 0,89 0,86 0,83 0,80 0,77 0,7618 0,94 0,91 0,88 0,87 0,85 0,82 0,7819 0,82 0,75 0,68 0,67 0,59 0,52 0,4720 0,61 0,55 0,49 0,43 0,40 0,36 0,3321 0,92 0,91 0,88 0,84 0,82 0,80 0,7822 0,88 0,88 0,84 0,82 0,80 0,76 0,7323 0,80 0,76 0,66 0,61 0,53 0,51 0,4224 0,62 0,52 0,46 0,42 0,38 0,34 0,3225 0,93 0,91 0,88 0,86 0,84 0,82 0,7626 0,94 0,91 0,88 0,87 0,85 0,82 0,7827 0,84 0,83 0,77 0,71 0,69 0,68 0,6028 0,75 0,69 0,63 0,59 0,53 0,51 0,4629 0,97 0,96 0,95 0,93 0,92 0,91 0,8930 0,88 0,83 0,82 0,78 0,69 0,71 0,6631 0,85 0,80 0,75 0,72 0,68 0,64 0,6032 0,72 0,64 0,53 0,45 0,43 0,40 0,34

SKAIČIAVIMO PAVYZDYS

32 schema (žiūr. 7.7 pav.)

F = 650 kN;L = 4,6 m;µ = 2;σadm = 160 MPa;n = 8 (kolonos skerspjūvį sudarančių profi lių skaičius, 7.8 pav.)

173

7.8 pav.

SPRENDIMAS

1. Iš 7.5 lentelės pagal schemos Nr. ir kolonos ilgį parenkame rekomenduojamą klu-pumo koefi cientą ϕ ≈ 0,39;

2. Iš stabilumo sąlygos (7.23) dešiniosios pusės nustatome orientacinį bendrąjį kolo-nos skerspjūvio plotą:

32 2

adm,adm,

650 10; 0,010417 m 104,17 cm0,39 160c

c

F FAA

−⋅σ = ≤ ϕ⋅ σ ≥ ≥ ≥ ≥

ϕ ⋅ σ ⋅;

3. Apskaičiuojame orientacinį vieno profi lio plotą:

21

104,17 13,02cm8

AAn

≥ = = ;

4. Iš valcuotų profi lių sortimento lentelių GOST 8500-72 (1 priedas) parenkame prelimi narų lygiašonį kampuotį Nr. 10 (100×100×7), kurio

1A′ =13,8 cm2; 1 14131cm ;x yI I= = 0 2,71 cm;z =

5. Apskaičiuojame preliminarų bendrą kolonos skerspjūvio plotą:2

1 13,8 8 110,4cm ;A A n′ ′= ⋅ = ⋅ =

6. Apskaičiuojame bendrojo kolonos skerspjūvio ploto centrinius inercijos mo-mentus, prieš tai nustatę atstumus a ir c, reikalingus atskirų profi lių inercijos mo mentams perkelti lygiagrečių ašių atžvilgiu:

0 10,0 2,71 7,29cm;b z= − = − =a

0 1 0 2,71 12,71cm;0,c b z= + = + =

174

12 2 4

18 8 131,0 7,29 13,8 6915,11cm ;xc xI I A′= + ⋅ = + ⋅ =a( ) ( )2 2 2

1 0 1 1 1

2 4

4 4 4 131,0 2,71 13,8

4 131,0 12,71 13,8 929,39 9441,23 10370,62cm ;yc x xl I z A I c A′ ′= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

+ + ⋅ = + =

( ) ( ) ( )

( )7. Pagal Imin apskaičiuojame minimalų inercijos spindulį:

4min 6915,11cmxcI I= = ; min

min6915,11 7,91cm110,4

IiA

= = =′

;

8. Apskaičiuojame kolonos liaunį:2

min

2 4,6 10 116,317,91

Liµ⋅ ⋅ ⋅

λ = = = ;

9. Pagal gautą liaunį iš 4 lentelės surandame jį atitinkantį klupumo koefi cientą:

' 0,5λ → ϕ = ;

10. Kadangi gautasis klupumo koefi cientas 'ϕ nuo pradžioje priimtojo ϕ ski riasi dau-giau negu leistina (0,5 ⋅ 100/0,39 = 128,2%), skaičiavimą kartojame iš naujo parinkę kitą klupumo koefi cientą 1ϕ :

1’. 1' 0,39 0,5 0,445

2 2ϕ + ϕ +

ϕ = = = ;

2’. 3

2 2

1 adm,c

650 10 0,009129m 91,29cm0,445 160

FA−⋅

≥ ≥ ≥ =ϕ ⋅ σ ⋅

;

3’. 21

91,29 11,41cm8

AAn

≥ = = ;

4’. Iš valcuotų ... kampuotį Nr.9 (90×90×7), kurio 21 12,3cm ;A′ = 1 1

494,3cmx yI I= = ;

0 2,47cmz = ;

5’. 2 21 12,3 8 98,4 cm 0,00984 mA A n′ ′= ⋅ = ⋅ = = ;

6’. 0 9,0 2,47 6,53 cmb z= − = − = a ;

0 9,0 2,47 11,47cmc b z= + = + = ;

Akivaizdu, kad minimalus inercijos momentas skaičiuojamam kolonos skersp-jūviui visuomet bus x ašies atžvilgiu, todėl tik jį ir apskaičiuojame:

1

2 2 4min 18 8 94,3 6,53 12,3 4950,26cmx xI I I A′= = + ⋅ = + ⋅ =a( ) ( ) ;

7’. minmin '

4950,26 7,0998,4

IiA

= = = cm ;

175

8’. 2

min

2,0 4,6 10 129,767,09

Liµ ⋅ ⋅ ⋅

λ = = = ;

9’. ' 0,428λ → ϕ = ;

10’. Kadangi gautasis koefi cientas nuo priimtojo skiriasi tik 3,82% (0,428 ⋅ 100/0,445 = 96,18%), tikriname įtempius:

3

sk adm,c650 10 154,34MPa 160MPa

' 0,428 0,00984F

A

−⋅σ = = = < σ =

′ϕ ⋅ ⋅.

Išvada: galutinai parenkame lygiašonį kampuotį Nr.9 (90×90×7).

Kontroliniai klausimai

Kokios gali būti kūno pusiausvyros formos? Kokia privalo būti konstrukcijos 1. elemento pusiausvyros forma?Kokios priežastys duoda impulsą gniuždomajam strypui netekti pradinės pu-2. siausvyros formos?Ką vadiname kritine jėga, kritiniu įtempiu? Išraiška, simbolių apibūdinimas, ma-3. tavimo vienetai.Kokia deformacija vadinama klupdymu?4. Kokia apibendrinta Oilerio formulės kritinei jėgai apskaičiuoti išraiška? Simbo-5. lių apibūdinimas.Kokie galimi strypo galų įtvirtinimo atvejai ir juos atitinkantys koefi cientai? 6. Įtvirtinimo schemų pavyzdžiai.Ką atitinka klupdomasis (redukuotas) strypo ilgis? Išraiška, simbolių apibūdini-7. mas, pavyzdžiai.Kada Oilerio formulė negalioja ir kodėl? Nuo ko priklauso tampraus strypo kri-8. tinis įtempis? Išraiškos simbolių apibūdinimas.Kaip išreiškiamas strypo liaunis ir ribinis liaunis? Kam reikalingas pastarasis 9. parametras? Išraiškos simbolių apibūdinimas.Kaip skirstomi strypai pagal jų liaunį?10. Kaip nustatomas vidutinio liaunio strypo kritinis įtempis (kai viršijama propor-11. cingumo riba)?Kaip išreiškiama gniuždomojo strypo stabilumo sąlyga? Simbolių apibūdini-12. mas.Kaip nuoseklaus priartėjimo būdu projektuojami gniuždomi strypai įvertinant jų 13. stabilumą? Kokios leistinųjų gniuždymo įtempių sumažinimo (klupumo) koefi -ciento kitimo ribos?

176

PRIEDAI

177

178

179

180

181

LITERATŪRA

1. BULAVAS, A. Medžiagų atsparumo pradmenys: mokomoji knyga. Kaunas: Technologija, 1997. 124 p.

2. CASE, J., CRANFIELD, C., ROSS, C.T.F. Strength of Materials and Structures. 4th ed. Oxford, 2003. XIV, 706 p. ISBN 0-340-71920-6.

3. ČIŽAS, A. Medžiagų atsparumas. Konstrukcijų elementų mechanika. Vilnius: Technika, 1993. 408 p.

4. ČIŽAS, A., VIRŠILAS, V., ŽEKEVIČIUS, J. Aiškinamasis medžiagų atsparumo uždavinynas. Vilnius: TEV, 2000. 295 p.

5. JUODIS, J. Medžiagų atsparumas: paskaitų konspektas. Kaunas: Raidė, 1989. 232 p.

6. MURALIS, J., ŠIMKŪNAITĖ, V., UDRĖNAS, K. Medžiagų mechanikos ir konstrukcijų elementų skaičiavimo namų darbų sprendimo metodiniai nurody-mai: mokomoji knyga. Kaunas: Technologija, 1999. 138 p.

7. NARBUTAS, T. Medžiagų atsparumas. VPI rotaprintas, 1999. 162 p.8. PATNAIK, S.N., HPKINS, D.A. Strength of Materials: 2 Unifi ed Theory. Ams-

terdam, 2004. XXI, 750 p. ISBN 0-750-67402-4.9. RILEY, W.F., STURGES, L.D., MORRIS, D.H. Mechanics of Materials. 6th ed.

Hobaken, 2007. VIII, 711 p. ISBN 0-471-70511-X. 10. VISLAVIČIUS, K. Medžiagų mechanika. T.1. Kontūriniai paskaitų tekstai staty-

bos inžinieriams. Vilnius: Technika, 2000. 100 p. 11. VISLAVIČIUS, K. Medžiagų mechanika. T.2. Kontūriniai paskaitų tekstai staty-

bos inžinieriams: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2005. 60 p. 12. ŽILIUKAS, A. Medžiagų mechanika. Kaunas: Technologija, 2004. 596 p.13. БИРГЕР, И.А., МАВЛЮТОВ, Р.Р. Сопротивление материалов. Москва: На-

ука, 1986. 560 c.14. МИРОЛЮБОВ, И.Н., ЕНГАЛЫЧЕВ, С.А., СЕРГИЕВСКИЙ Н.Д. и др. По-

собие к решению задач по сопротивлению материалов. Москва: Высшая школа, 1985. 400 c.

15. СТЕПИН, П.А. Сопротивление материалов. Москва: Высшая школа, 1983. 303 с.

182

183

184

Tiražas 250 vnt. Spausdino UAB „Ardiva“

Jonavos g. 254, LT-44132, Kaunas, Tel.: (8-37) 36 34 01; Faks.: (8-37) 33 47 34;

El. p.: info@ ardiva.lt; www. ardiva.lt.