GRAFOS

LICESIO J. RODRıGUEZ-ARAGON

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LEONARD EULER

Matematico y fısico nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Principal matematico del siglo XVIII y uno de losmas grandes matematicos de todos los tiempos. A el le debemos la mayor parte de la notacion matematicaque utilizamos en la actualidad como por ejemplo el concepto de funcion matematica.

La familia de Euler era muy amiga de la familia Bernoulli lo que causo un gran impacto en el jovenLeonard durante sus anos en Basilea (Suiza). Con 13 anos estudia en la Universidad de Basilea. Por entonces,Euler recibıa lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sabados por la tarde.

En 1726 marcha hacia Rusia para trabajar en la Academia de las Ciencias de Rusia en San Petersburgobajo el patrocinio de la emperatriz Catalina I. Vivio en Rusia hasta 1741 momento en el que marcha a Berlındonde trabaja en la Academia de Berlın.

Durante su estancia en Alemania fue profesor de la princesa de Anhalt-Dessau, a la que escribio mas de200 cartas que mas tarde serıan recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas deFilosofıa Natural dirigidas a una Princesa Alemana.

A partir de 1735 va perdiendo vision y queda casi ciego, a pesar de ello, parece que sus problemas devision no afectaron a su trabajo, dado que lo compenso con su gran capacidad de calculo mental y su memoriafotografica.

En 1766 vuelve a San Petersburgo y continua trabajando allı hasta 1783 en que fallece.

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Grafos 2

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GRAFOS

Actividad 1

Dibuja dos cırculos unidos mediante una lınea. Compara los dibujos que hace cada uno de vosotros.¿Hay algun dibujo que no siga la instruccion dada? ¿Son todos los dibujos iguales?

Actividad 2

Dibujar un cırculo rojo unido con un cırculo azul y un cırculo verde unido con un cırculo rojo.

¿Importa que las lıneas que unen esos cırculos sean rectas o no?¿Pueden tocarse los cırculos?

¿Puede estar un cırculo dentro de otro?¿Donde deben empezar o terminar las lıneas?

¿Importa que los cırculos tengan tamanos diferentes?¿Pueden cruzarse las lıneas que unen los cırculos?

¿Tienen que estar alineados, horizontal o verticalmente los cırculos?¿Importa la distancia entre los cırculos?

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Grafos 3

Un grafo es un conjunto de puntos y segmentos (o arcos) que unen dichos puntos unos con otros. Haymuchas situaciones en las que nos encontramos con grafos en la vida cotidiana.

¿Puedes poner algun ejemplo?

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CAMINOS DE EULER

Actividad 3

¿Se pueden dibujar las siguientes figuras sin levantar el bolıgrafo del papel y sin trazar dos veces un mismosegmento? ¿Desde que punto habrıa que empezar? ¿En que vertice se termina? ¿Imaginas otras variacionesde estos dibujos? ¿Que ocurre con ellos?

El numero de segmentos o arcos que nacen o mueren en un vertice es conocido como orden de dichovertice

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Grafos 4

Los puentes de Konigsberg

En la ciudad de Konigsberg, hoy en dıa conocida como Kaliningrado, existıan 7 puentes que cruzabanel rıo Pregel. Los habitantes de Konigsberg se preguntaban si habıa alguna manera de realizar un circuitopasando por todos los puentes y solo una vez por cada uno de ellos?

Actividad 4

Se obtiene un tablero de ajedrez en forma de cruz como el que se ve en el dibujo. ¿Puede un caballo deajedrez moverse sobre este tablero de tal manera que pase exactamente una vez por cada casilla y termineen la misma casilla en donde empezo?

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Grafos 5

Apretones de manos

Si en una fiesta se pregunta a la salida a cada persona cuantos apretones de manos ha dado. La suma deltotal de dichos numeros sera...

Si un grafo tiene A segmentos o aristas, entonces la suma de los ordenes de todos los vertices sera 2A.

Por cuestion de paridad: Un grafo tiene siempre un numero par de vertices impares.¡Intenta dibujar un grafo con un unico vertice impar!

Teorema de Euler

Podemos decir que un grafo se puede trazar sin levantar el lapiz y sin pasar dos veces por la mismaarista unicamente cuando haya 0 o 2 vertices impares y no se podra trazar cuando haya 4, 6, 8, 10, . . . verticesimpares. ¡Los casos 1, 3, 5, . . . son imposibles!

Actividad 5

A Lewis Carroll, el autor de Alicia en el Paıs de las Maravillas, le gustaba preguntar si se podıa dibujarla figura de un solo trazo.

Actividad 6

Un alambre tiene una longitud de 120 cm ¿Se puede utilizar dicho alambre (sin cortarlo) para formar lasaristas de un cubo de 10 cm o habrıa que construirlo mediante varios trozos?

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Grafos 6

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GRAFOS ISOMORFOS

Cuando pintamos un grafo, cada uno de nosotros lo hacemos de una manera diferente. ¡Ahora bien! Sies el mismo grafo, aunque tengan aspectos diferentes, siempre podremos hacer que sean iguales mediantedeformaciones pero sin romper ni crear nuevos puntos o vertices.

Actividad 7

Determinar si hay grafos isomorfos:

Ver si los dos grafos tienen el mismo numero de vertices.

Ver si los vertices tienen los mismos ordenes.

Ver si los dos grafos son de una sola pieza. Si uno es de una sola pieza y el otro no entonces no puedenser isomorfos (conexos).

En caso de sospechar que son isomorfos, hay que dar una equivalencia, vertice a vertice. Es deseablepoder decir como se puede pasar de un grafo al otro deformandolo.

Alrededor del Mundo

En 1857 el matematico irlandes William Hamilton invento un juego usando un dodecaedro regular, 20chinchetas, una por cada vertice, y una cuerda. El objeto del juego consistıa en encontrar una ruta a lo largode las aristas que visite cada uno de los vertices una sola vez.

Atencion este no es el mismo problema que el propuesto por Euler. ¿En que se diferencian?

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Grafos 7

Actividad 8

Cualquier poliedro se puede deformar hasta obtener un grafo en un plano. Encontrar los grafos en los quese convierte un cubo, un tetraedro, un octaedro, un icosaedro.

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DENTRO FUERA

Teorema de la Curva de Jordan

Dada una curva cerrada en el plano, como podemos determinar si dos puntos estan en la misma region oen regiones distintas. Sabemos que una curva cerrada y sin autocortes define dos regiones: dentro y fuera.

Dos puntos A y B en el plano estan en la misma region, si al trazar el segmento que los une, dichosegmento corta a la curva un numero par de veces. Si el numero de cortes es impar, los puntos estan enregiones distintas. ¡Cuidado con que el segmento sea tangente!

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Grafos 8

Actividad 9

Tres vecinos, Antonio, Bernardo y Carla se llevan muy mal entre ellos. Desgraciadamente conviven enuna parcela con 3 pozos. ¿Puede construir cada uno de ellos 3 caminos uniendo su casa con cada uno de lospozos de tal manera que no se crucen?

Este problema si que tiene solucion sobre una cinta de moebius, esta cinta tiene una unica cara, no hayni interior ni exterior, es una figura sin fin.

Actividad 10

A mi hermana le digo que desde que me he despertando, he pasado por la puerta de mi cuarto (entrandoy saliendo) 9 veces a lo largo de la manana. Al final de la manana ¿Donde me podra encontrar?

Actividad 11

La noche que fue asesinado el marques de Bradomın, habıa quedado con un amigo, una noche de nievey espesa niebla. El marques fue de la entrada 1 al punto X donde aparecio su cadaver. El guardian de lacasa, va de la entrada 7 a su casa y se comprueba que sus huellas son anteriores al asesinato. Hay testigosque afirman haber visto a la marquesa entrar por la puerta 2 y salir por la 5, ella declaro que estaba dandoun paseo y que no entro en la casa. Los testigos afirman haber visto llegar en coche al amigo entrando porla puerta 4, el asegura que fue directo a la casa y que allı espero hablando con el mayordomo. Por ultimoel capataz fue visto entrar por la puerta 6 y afirma que estuvo buscando a su senor hasta que salio por lapuerta 3.

El cabo de la guardia civil no pudo comprobar los recorridos, ya que era de noche, pero si comprobo queaunque algunos caminos eran sinuosos, nunca se cruzaban. ¿Quien es el principal sospechoso?

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