PICCOLO TROFEO DA VINCI math challenge 2017

TESTO DELLA GARA

Con il contributo di:

L’essenza della matematica risiede nella sua libertà.

Georg Cantor San Pietroburgo 1845 – Halle 1918

LiceoScientificoStataleL.DaVinciKangourouItalia

K a n g o u r o u d e l l aK a n g o u r o u d e l l a M a t e m a t i c a 2 0 1 8M a t e m a t i c a 2 0 1 8

C o p p a a s q u a d r e K a n g o u r o uC o p p a a s q u a d r e K a n g o u r o u S e l e z i o n e l o c a l e S e l e z i o n e l o c a l e –– T r e v i s oT r e v i s o

11 55 d i c e m b r e 2 0 1 7d i c e m b r e 2 0 1 7

Il numero degli asterischi aumenta con la difficoltà del problema ARIT = aritmetica, GEO = geometria, LOG = logica, CALC = calcolo

Quesiti

1. Il precedente (ARIT) * 2134 è divisibile per 11 ed è composto con 4 cifre consecutive. Tra i numeri divisibili per 11 e composti con 4 cifre consecutive, qual è quello immediatamente precedente a 2134? 2. Il rivestimento (GEO e ARIT) **** Marina vuole rivestire di stoffa un piano rettangolare i cui lati misurano 40 e 42 cm ma la pezza che possiede misura 35 cm × 48 cm. Osserva che può tagliare la stoffa lungo una linea spezzata e accostare (senza sovrapposizioni né buchi) i due pezzi così ottenuti in modo da coprire esattamente il piano 40 cm × 42 cm e che può farlo in due modi. Quanti centimetri misura la linea di taglio più breve? 3. Quanti verdi? (LOG) ** 2135 pappagalli sono in fila indiana e tutti fino al 2134-esimo escluso affermano: “Il pappagallo che mi segue è verde”, mentre il 2134-esimo dice: “Quello che mi segue è un ippopotamo blu”. Al che il 2135-esimo pappagallo esclama: “Io non sono un ippopotamo blu!” È risaputo che tutti i pappagalli verdi mentono e che tutti i pappagalli che mentono sono verdi. Quanti dei 2135 pappagalli sono verdi? 4. Una sola bici (CALC) *** Per andare dalla nonna, Matilde e il suo fratellino Federico devono percorrere 17 km, e dispongono di un’unica bicicletta. Matilde cammina a 6 km/h e va in bicicletta a 18 km/h, mentre Federico cammina a 3 km/h e va in bicicletta a 15 km/h. Di comune accordo, partono contemporaneamente, Matilde in bicicletta e Federico a piedi. Sul percorso c’è un grande noce: quando vi arriva, Matilde deposita la bicicletta e continua a piedi. Appena Federico raggiunge il noce, prende a sua volta la bici e termina il percorso pedalando. Arrivano dalla nonna esattamente nello stesso istante. A quale distanza dal punto di partenza si trova il noce? Date la risposta in metri. 5. All’interno (LOG) * La griglia in figura può essere riempita solo con i numeri 1, 2, 3, 4, 5 in modo che ogni numero compaia una e una sola volta in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale. Qual è la somma dei numeri che compaiono nelle caselle grigie? 6. Cento rette (GEO) *** Tracciando una retta, si divide un piano in due regioni. Tracciando un’altra retta che interseca la precedente, il piano viene suddiviso in quattro regioni. Tracciando una terza retta che tagli le due precedenti in due punti diversi, si possono contare sette regioni. Quante regioni al massimo, otteniamo con 100 rette?

3 1 2 2 4

7. Due cifre (ARIT) ** Un numero di due cifre è diviso per la somma delle sue cifre. Qual è il massimo valore possibile per il resto? 8. Salvataggio (CALC) *** Quando l’astronave di salvataggio, col suo equipaggio, raggiunse un’astronave danneggiata da un meteorite aveva ancora ossigeno per 95 giorni. Una volta raccolti i 7 naufraghi la sua autonomia scese a 60 giorni. Sei giorni dopo incontrarono un altro vascello in avaria e raccolsero altri naufraghi: a questo punto restava ossigeno per 38 giorni. Quanti erano a bordo? 9. Le mele (CALC) * Una grossa cesta contiene mele, pere e arance. Ci sono 18 tra pere e arance, 30 frutti non sono arance e ci sono 34 tra mele e arance. Quante mele contiene la cesta? 10. Diviso pigreco (GEO) *** C1 e C2 sono due circonferenze concentriche di centro O. AB è una corda di C1 ed è tangente alla circonferenza interna C2. Se AB misura 36 cm, dividendo per π l’area (misurata in centimetri quadrati) della corona circolare, che numero si ottiene? 11. Il sacchetto vuoto (LOG)** C’erano 10 caramelle in un sacchetto ed Elisa e Mattia le hanno mangiate tutte. Elisa: “Ho mangiato meno di sette caramelle”. Mattia: “Anch’io”. Elisa: “Ma ne ho mangiate più di quattro”. Mattia: “Comunque sono sicuro di averne mangiate meno di te”. Ciascuno dei due amici ha detto la verità una volta e si è sbagliato una volta. Quante caramelle ha mangiato Mattia? 12. I miei vicini (LOG) **** Angelo, Bruno, Ciro e Dino sono i miei vicini di casa: di essi uno è il più giovane, e gli altri sono suo padre, suo nonno e il suo bisnonno. Sono tutti figli unici e nessuno è centenario. Il prodotto delle età di Angelo e Bruno è 1992. La differenza di età tra Ciro e Bruno è un divisore di 1992. Infine, quando è diventato padre, Ciro aveva un anno meno di quando lo è diventato Dino. Quanto vale la somma delle età dei miei vicini? 13. Contiene un esagono (GEO) ** Quanti centimetri quadrati misura l’area del più piccolo rettangolo che contiene un esagono regolare di area 1542 cm2? 14. Banca Koala (LOG) **** Nella Banca Koala ogni cassaforte possiede un codice che è un numero di cinque cifre non nulle la cui somma è sempre 10. Ogni impiegato è responsabile di una cassaforte: per accedervi deve battere, oltre al numero di codice, un numero di controllo che è il prodotto delle cifre del suo numero di codice. Il direttore della Banca per accedere alla sala delle casseforti deve battere un numero che è la somma di tutti i numeri di controllo di tutte le casseforti della Banca. Sapendo che nella Banca Koala tutti i numeri di codice possibili sono utilizzati, quale numero deve battere il direttore per accedere alla sala delle casseforti? 15. Quanti euro? (CALC) ** Ada e Ben sono al cinema. Nei posti vicini a quelli da loro occupati (denotati in figura con A e B) sono seduti altri 6 loro amici che hanno con sé le quantità di euro indicate in figura. Ada ha una quantità di euro che è la media di quelli dei suoi vicini e lo stesso vale per Ben. Quanti euro ha Ada?

A

BO

21 37 58 A B 24 33 16