Liceo Scientifico “Galileo Galilei”

Materia MATEMATICA Classe II sez. I-Y-L a.s. 2017/2018

Docente Prof.ssa

Barbara Bonucci Prof.ssa

Elisa Casini Gage

PROGRAMMA SVOLTO Diversi argomenti trattati sono stati sviluppati anche in lingua inglese nelle ore di compresenza con la prof.ssa

Elisa Casini Gage. Gli esercizi sono stati tratti sia dal libro di Algebra.blu vol.2 di Bergamini, Trifone, Barozzi

della Zanichelli che dal libro inglese Extended Mathemathics for Cambridge IGCSE Third Edition di David

Rayner della Oxford.

ALGEBRA

Ripasso su:

Equazioni numeriche intere e fratte. Le rette.

Legge di annullamento del prodotto, equazioni di secondo grado risolte tramite scomposizione.

Disequazioni di primo grado e rappresentazione dei loro risultati. Disequazioni intere. Disequazioni fratte. Sistemi di

disequazioni.

Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni di primo grado con valori assoluti, interpretazione grafica delle equazioni. 𝑦 = 𝑥 e sue

traslazioni verticali e orizzontali, grafico di 𝑦 =∣ 𝑎𝑥 + 𝑏 ∣ +𝑐. Interpretazione grafica di equazioni con più valori

assoluti.

Numeri reali e radicali

Ripasso su insiemi numerici N,Z,Q,R e loro caratteristiche. Ripasso su proprietà delle potenze con esponenti sia

negativi che razionali. 2 è un numero irrazionale (dim.). Costruzione di 2 con riga e compasso e così di 𝑛. Numeri

decimali illimitati aperiodici. I radicali. Condizione di esistenza dei radicali. Proprietà invariantiva dei radicali,

semplificazione dei radicali, radicali irriducibili, riduzione di radicali allo stesso indice, confronto fra radicali.

Moltiplicazione e divisione fra radicali. Trasporto di un fattore fuori e dentro il segno di radice con discussione, uso

appropriato del valore assoluto. Potenza e radice di un radicale. Addizione e sottrazione tra radicali simili.

Razionalizzazione del denominatore di una frazione. Espressioni irrazionali. Equazioni, disequazioni con coefficienti

irrazionali.

Equazioni di secondo grado

Equazione di secondo grado generica, spuria, pura e monomia. Metodo di completamento del quadrato. Soluzioni/radici

e interpretazione grafica come zeri della parabola associata all’equazione di secondo grado. Discriminante e soluzioni.

Formula ridotta. Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado: somma e prodotto delle radici.

Scomposizione di un trinomio di secondo grado. Equazioni parametriche.

Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni risolubili con la scomposizione in fattori, con il riconoscimento di prodotti notevoli, regola di Ruffini,

divisione tra polinomi. Equazioni binomie, equazioni trinomie, equazioni reciproche. Equazioni irrazionali con

condizioni di esistenza e controllo finale delle soluzioni, e solo per i casi più semplici anche con grafico delle funzioni

associate. Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite, e solo per i casi più semplici con grafico di

parabola e retta. Sistemi simmetrici.

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado intere con risoluzione algebrica e grafica. Disequazioni di grado superiore al secondo.

Disequazioni fratte. Sistemi di disequazioni. Equazioni irrazionali con condizione di esistenza. Equazioni e disequazioni

con valori assoluti.

GEOMETRIA

I teoremi presenti nei singoli capitoli trattati sono stati tutti svolti con relative dimostrazioni, le costruzioni delle

figure sono state tutte fatte con riga e compasso. Gli alunni hanno svolto dimostrazioni ed esercizi tratti dai vari

capitoli del libro italiano e dal libro inglese.

Circonferenza. Poligoni inscritti e circoscritti Ripasso su luoghi geometrici: asse del segmento e bisettrice. Circonferenza definizione come luogo geometrico.

Cerchio. Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza (dim.). Definizioni di parti di una circonferenza e

del cerchio: arco, angolo al centro, settore circolare, segmento circolare a una base e a due basi. Data una circonferenza,

se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro, fra due archi, fra due settori circolari, fra due

segmenti circolari, allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate. In ogni

circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro (dim.). Se in una

circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti

risultano divisi a metà da tale diametro (dim.). Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per

il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda (dim.). In una circonferenza corde

congruenti hanno la stessa distanza dal centro (dim.). In una circonferenza corde aventi la stessa distanza dal centro

sono congruenti (dim.). Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non hanno la stessa distanza dal centro:

la corda maggiore ha distanza minore. Una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune

(dim.). Definizione di retta secante una circonferenza, retta tangente a una circonferenza, retta esterna a una

circonferenza. Se la distanza del centro di una circonferenza da una retta è: 1. maggiore del raggio, allora la retta è

esterna alla circonferenza; 2. uguale al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza; 3. minore del raggio, allora la

retta è secante la circonferenza (dim.). Se una retta è tangente a una circonferenza, la sua distanza dal centro è uguale al

raggio (dim.). Se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpendicolare al

raggio OH. Se una retta è perpendicolare al raggio di una circonferenza nel suo estremo H, allora è tangente in H alla

circonferenza. Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette tangenti a essa, allora i segmenti

di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l’altro in un punto in comune con la circonferenza, sono

congruenti (dim.). Definizione di circonferenze secanti, tangenti, esterne, interne l’una all’altra, concentriche.

Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano: 1. una interna all’altra è che la distanza dei centri

sia minore della differenza dei raggi; 2. secanti è che la distanza dei centri sia minore della somma dei raggi e maggiore

della loro differenza; 3. tangenti internamente è che la distanza dei centri sia uguale alla differenza dei centri; 4. tangenti

esternamente è che la distanza dei centri sia uguale alla somma dei raggi; 5. esterne è che la distanza dei centri sia

maggiore della somma dei raggi. Definizione di angolo alla circonferenza. Un angolo alla circonferenza è metà del

corrispondente angolo al centro (dim.) e relativi corollari. Definizione di poligono inscritto in una circonferenza e

poligono circoscritto a una circonferenza. Se un poligono ha gli assi dei lati che passano tutti per uno stesso punto,

allora il poligono può essere inscritto in una circonferenza (dim.). Se gli assi dei lati di un poligono non passano tutti

per uno stesso punto, il poligono non può essere inscritto in una circonferenza. Se un poligono è inscritto in una

circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza. Se un poligono convesso ha le bisettrici

degli angoli che passano tutte per uno stesso punto, allora il poligono può essere circoscritto a una circonferenza (dim.).

Se le bisettrici degli angoli di un poligono non passano per uno stesso punto, il poligono non può essere circoscritto a

una circonferenza. Se un poligono è circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro

della circonferenza. Definizione di circocentro: gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (dim.), detto

circocentro ed è il centro della circonferenza circoscritta. Definizione di incentro: le bisettrici degli angoli interni di un

triangolo si incontrano in un punto (dim.), detto incentro ed è il centro della circonferenza inscritta. Le bisettrici di due

angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente a essi si intersecano in uno stesso punto,

detto excentro. Le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto (dim.) detto ortocentro. Le

mediane di un triangolo si incontrano in un punto, detto baricentro, che divide ogni mediana in due parti, tali che quelle

avente per estremo un vertice è doppia dell’altra (dim.). In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli

opposti sono supplementari (dim.). Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una

circonferenza (dim.). Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è

che abbia gli angoli opposti supplementari. Corollario: ogni rettangolo, quadrato, trapezio isoscele è inscrivibile in una

circonferenza. In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma

degli alti due (dim.). Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora è

possibile circoscrivere il quadrilatero a una circonferenza. Corollario: un rombo o un quadrato è circoscrivibile a una

circonferenza, per il quadrato i punti di tangenza sono i punti medi del lato. Condizione necessaria e sufficiente

affinché un quadrilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla

somma degli altri due. Un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Un poligono

regolare è inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a una un’altra, le due circonferenze hanno lo stesso centro

(dim.). Apotema è il raggio della circonferenza inscritta, raggio il raggio della circonferenza circoscritta. Se una

circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora: il poligono inscritto che si ottiene congiungendo i punti di

suddivisione è regolare; il poligono circoscritto che si ottiene tracciando le tangenti alla circonferenza nei punti di

suddivisione è regolare. Una circonferenza è suddivisa in archi congruenti dai: vertici dei poligoni regolari inscritti;

punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti. Il lato dell’esagono regolare inscritto in una circonferenza è

congruente al raggio della circonferenza (dim.).

Equivalenza delle superfici piane

Relazione di equivalenza. Postulato: due superfici congruenti sono sempre equivalenti. Postulato: superfici ottenute

come somme o differenze di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti. Postulato di De Zolt: una superficie

non può essere equivalente a una sua parte. Due poligoni equiscomposti sono equivalenti. Tangram. Se due

parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti allora sono equivalenti (dim.). Corollario: se un

parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti. Un triangolo è

equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella

del triangolo (dim.). Corollario: se due triangoli hanno congruenti le basi e le rispettive altezze, sono equivalenti. Un

triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha base congruente a quella del triangolo e altezza congruente a metà

altezza del triangolo. Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la

somma delle due basi è congruente alla base del triangolo (dim.). Un poligono circoscritto a una circonferenza è

equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della

circonferenza (dim.). Corollario: un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro

del poligono e altezza congruente all’apotema. Costruzione a partire da un poligono convesso di n lati a uno equivalente

con un lato in meno. Primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è

equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa (dim.).

Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei

quadrati costruiti sui cateti (dim.). Teorema inverso del teorema di Pitagora. Secondo teorema di Euclide: in ogni

triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati

congruenti alla proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dim.).

La misura e le grandezze proporzionali

Le classi di grandezze geometriche: lunghezze, ampiezze di un angolo, aree. Classi di grandezze omogenee: confronto,

addizione, multiplo secondo il numero naturale n. Postulato di Eudosso-Archimede. Grandezze commensurabili.

Grandezze incommensurabili. La diagonale di un quadrato e il suo lato sono incommensurabili (dim. per assurdo

algebrica e geometrica). Rapporto fra grandezze omogenee. Proporzione fra grandezze. Proprietà delle proporzioni.

Grandezze direttamente proporzionali e inversamente proporzionali. Teorema di Talete (dim.). Teorema inverso di

Talete. Una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati, o i loro prolungamenti, in segmenti

proporzionali (dim.). Una retta che determina su due lati di un triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti

proporzionali, è parallela al terzo lato. In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti

direttamente proporzionali agli altri due (dim.). Se in un triangolo un punto di un lato lo divide in parti direttamente

proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto con il vertice dell’angolo opposto è bisettrice di tale

angolo. Aree dei poligoni: area del rettangolo, area del parallelogramma, area del quadrato, area del triangolo, area del

trapezio, area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, area di un poligono circoscritto ad una circonferenza,

area di un poligono regolare. Triangoli rettangoli con angoli di 45°; triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°.

La similitudine

Primo criterio di similitudine. Secondo criterio di similitudine. Terzo criterio di similitudine. In due triangoli simili le

basi stanno fra loro come le rispettive altezze. Primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio

proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa (dim.). Secondo teorema di Euclide: in un triangolo

rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dim.).

Teorema delle corde: se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e

quelli che si formano sulla seconda corda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione (dim.).

Teorema delle secanti: se da un punto P esterno ad una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i

segmenti che hanno un estremo in P e l’altro in ciascuno dei due punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante

sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione (dim.). Teorema della secante e della

tangente: se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente

che ha estremi P e il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e

ciascuno dei punti di intersezione (dim.). Sezione aurea di un segmento: definizione, costruzione con riga e compasso,

per via algebrica. Rettangolo aureo e costruzione della spirale. Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del

raggio della circonferenza circoscritta al decagono (dim.). Poligoni simili: perimetri e dimensioni (raggio, apotema,

altezze, diagonali, …) e aree. Estensione del teorema di Pitagora. Lunghezza della circonferenza. Misura dell’area del

cerchio. Lunghezza di un arco di circonferenza. Area del settore circolare. Raggio del cerchio inscritto in un triangolo.

Raggio del cerchio circoscritto a un triangolo. Formula di Erone. Poligoni Regolari.

TRIGONOMETRIA

Prima e seconda relazione fondamentale. Seno e coseno di angoli notevoli. Lunghezza di un arco di circonferenza e area

del settore circolare. Teoremi sui triangoli rettangoli e risoluzione di triangoli rettangoli. Area di un triangolo. Teorema

della corda (dim.). Teorema dei seni (dim.). Teorema dei coseni o di Carnot (dim.). Risoluzione di triangoli qualunque.

Applicazione a problemi di geometria piana e solida.

GEOMETRIA ANALITICA

Ripasso su:

Punto medio di un segmento. Distanza tra due punti appartenenti al piano. Coordinate del punto medio di un segmento.

L’equazione della retta e significato del coefficiente angolare. Condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due

rette. Fascio di rette per un punto. Rette per due punti.

Fasci di rette propri e impropri.

Parabola:

Parabola e sua equazione, come luogo geometrico. Parabola con asse parallelo all’asse y e parallelo all’asse x: fuoco,

direttrice, vertice e intersezioni con gli assi. Rami di parabole 𝑦 = 𝑥 e loro traslazioni orizzontali e verticali,

dilatazioni e simmetrie. Posizione reciproca tra rette e parabola, determinare l’equazione della tangente ad una parabola

per un punto esterno o appartenente ad essa. Determinare l’equazione di una parabola noto il vertice e il punto.

Grafici di spezzate con valori assoluti.

Grafici di funzioni a tratti.

MATHEMATICS

Review of equations. Zero-product property. Quadratic equations: solution by factors.

Review of simultaneous equations in 2 unknowns: substitution method, elimination method, Cramer's rule. Review of

lines in the coordinate planes. Equations. Gradient

Introduction to the 3-dimensional coordinate space. Simultaneous equations in 3 unknowns. Solving by substitution.

Cramer's rule, elimination method. Gaussian elimination using an upper triangular matrix. The case of no solutions or

infinitely many solutions. Problems solved by simultaneous equations.

Simultaneous equations in 2 unknowns with a parameter. Families of lines. Finding the center. Generating lines.

Simultaneous equations with a parameter.

Matrices. Addition and subtraction. Multiplication by a number. Multiplication. Determinant. Inverse of a matrix.Binet

formula. Matrices whose square is the identity. Simultaneous equations in matrix form.

Introduction to linear programming. Regions in the plane defined by inequalities. Linear programming: maximising

linear functions in two variables on regions of the plane. Problems solved by linear programming.

Introduction to statistics. Collecting data, representing data using frequency tables. Bar charts. Pie charts. Scatter

graphs. Frequency polygons. Correlation. Line of best fit.

Statistics: Mean, median and mode. Grouping data into class intervals. Class width. Mean, median and mode for

grouped data. Frequency density. Histograms. Percentiles. Lower and upper quartiles. Interquartile range. Cumulative

frequency. Cumulative frequency curves.

Joint test for the subjects Mathematics and Geography on applications of statistics to geographical themes

Probability. Theoretical, experimental and subjective probability. Events. Possibility diagrams. Probability using set

theory. Mutually exclusive events. The OR rule. Independent events. The AND rule. Conditional probability.

Generalization of the AND formula. Tree diagrams. Bayes’ Theorem.

Introduction to transformations in the coordinate plane: isometries, translations, rotations. Finding the center of

rotation. Reflections. Mirror lines. Enlargements with positive or negative scale factor.

Siena, 14 Giugno 2018

Docente Prof.ssa Barbara Bonucci e Prof.ssa Elisa Casini Gage

Liceo Scientifico “Galileo Galilei”

Materia FISICA Classe II sez. I-Y-L a.s. 2017/2018

Docente Prof.ssa

Barbara Bonucci Prof.ssa

Elisa Casini Gage

PROGRAMMA SVOLTO Diversi argomenti trattati sono stati sviluppati in lingua inglese non solo per quanto riguarda la trattazione

teorica ma anche per le esperienze di laboratorio nelle ore di compresenza con la prof.ssa Elisa Casini Gage.

EQUILIBRIO DEI FLUDI

Equilibrio dei fluidi. La Pressione. La pressione atmosferica, unità di misura diverse da quelle del S.I. Pressione

relativa. Legge di Stevino (dim.). Esperimento di Torricelli e di Pascal per la misura della pressione atmosferica. Vasi

Comunicanti. Principio di Archimede (dim) e equilibrio di un corpo in un fluido.

CINEMATICA

Moto di un punto materiale rispetto a un sistema di riferimento. Distanza e spostamento. Traiettoria. Legge Oraria.

Diagrammi spazio-tempo. Velocità media e istantanea, scalare e vettoriale. Interpretazione grafica della velocità media

e istantanea. Accelerazione media e istantanea, scalare e vettoriale. Interpretazione grafica dell’accelerazione media e

istantanea.

Moto vario in due dimensioni: vettore velocità e accelerazione.

Moto rettilineo vario: grafici x-t e significato del coefficiente angolare, grafico v-t e significato dell’area e del

coefficiente angolare.

Moto rettilineo uniforme: legge oraria.

Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria (dim).

Moto di caduta libera

Motion: trajectory. Displacement. Distance. Position vs time graphs. Speed and velocity. Speed-time graphs.

Acceleration and deceleration. Equations of motion.

DINAMICA

Prima legge di Newton. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Cenni al principio di relatività galileiano.

Seconda legge di Newton. Sistemi non inerziali e forze apparenti.

Terza legge di Newton.

Moto in un piano inclinato, moto in presenza di attrito. Oggetti a contatto e collegati.

Dynamics: problems using Newton's laws of motions

LAVORO e ENERGIA

Definizione di Lavoro. Il lavoro di una forza costante. Unità di misura non del S.I.

Energia Cinetica. Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica (dim).

Lavoro della forza peso e energia potenziale gravitazionale con forze conservative (dim.) e con forze dissipative.

Lavoro della forza elastica e energia potenziale elastica (dim.).

Lavoro per forze variabili come area sottostante il grafico F-x.

Definizione di potenza. Potenza su un corpo in moto.

Applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica.

Applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia totale.

Gli alunni hanno integrato le lezioni teoriche anche con video esplicativi in lingua inglese:

The students watched the following videos:

Pascal’s blasing barrel: https://www.youtube.com/watch?v=EJHrr21UvY8

5 Amazing Water Tricks You Need To See To Believe What Water Is https://www.youtube.com/watch?v=pBpktW3oJf4

Position vs time graphs: https://youtu.be/wzzvz1hC5jA

Energy https://www.youtube.com/watch?v=onxGV17isfQ

LABORATORIO:

Sono state eseguite le seguenti esperienze con la compilazione delle relative schede in inglese:

Coursework: analysing hypotheses and conclusions in an experiment, also in relation to the IGCSE Geography exam

Qualitative experiences on the concept of pressure

Ballon and needl (relationship between force, pressure and surface)

Pressure variations obtained by changing the support base of a solid, both on a flat surface and on an inclined

plane (relationship between pressure and the perpendicular weight force)

Esperienze qualitative su vasi comunicanti, capillarità anche in natura e nella vita di tutti I giorni; tubo ad U

con liquidi non miscibili diversi

Esperimenti qualitativi sulla pressione atmosferica (riga e giornale, bicchiere e carta da gioco; esperimento di

Torricelli quantitativo compatibilità tra valore teorico atteso e sperimentale con calcolo degli errori)

Experience with a vacuum pump (light, sound, shaving foam, balloon to investigate the relationship between

pressure and volume, water to investigate the relationship between temperature and pressure and change in

state) Magdeburgh hemispheres.

Hydraulic press

Hydrostatic paradox

Qualitative analysis of Stevin’s law and Pascal’s law using water in bottles with holes at different heights

Principio di Archimede: esperienza qualitativa e quantitativa con propagazione degli errori

Lab experiences on capillarity.

Lab experience on Torricelli's measurement of atmospheric pressure.

The students were asked to write lab reports on the above experiences in English

In the second part of the school year, the students worked in teams on a project on hydrostatics which involved building

a device (pumps, fountains, …) and preparing a class presentation. They were asked questions on the physics

principles underlying their project.

Sono state eseguite le seguenti esperienze di laboratorio con compilazione delle relazioni in italiano:

Percorso del tragitto casa scuola per il chiarimento del concetto di traiettoria, legge oraria del moto, moto nel

piano in due dimensioni, vettore spostamento e vettore velocità istantanea e media.

Marca tempo: moto rettilineo vario, grafico x-t, grafico v-t e significato del coefficiente angolare delle spezzate

ottenute.

Air-table: moto rettilineo uniforme

Moto rettilineo uniforme: moto di una sferetta in un fluido (shampoo); attrito viscoso; primo principio della

dinamica.

Air-table inclinato: (ripasso scomposizione delle forze sul piano inclinato) moto rettilineo uniformemente

accelerato, grafici x-t e v-t e loro interpretazione, valore medio sperimentale dell’accelerazione parallela al

piano e errore assoluto come semidispersione, compatibilità valore teorico e valore sperimentale; secondo

principio della dinamica.

Tubo di Newton per la caduta dei gravi e piano inclinato con i campanellini e relazione tra spazio e tempo nel

moto uniformemente accelerato

PHYSICS:

The following instrumentation was introduced and explained to the students in view of the Geography IGCSE exam:

Max-min thermometer

Hygrometer

Wet bulb thermometer

Anemometer

Wind vane

Quadrat

Flowmeter

Float method to compute the velocity of a river

Ranging poles

Clinometers

.

Siena, 14 Giugno 2018

Docente Prof.ssa Barbara Bonucci

Liceo Scientifico “Galileo Galilei”

Materia MATEMATICA Classe II sez. S a.s. 2017/2018

Docente Prof.ssa

Barbara Bonucci

PROGRAMMA SVOLTO Libro di testo

Algebra.blu vol.2 di Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli

Geometria.blu di Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli

ALGEBRA

Ripasso su:

Equazioni numeriche intere e fratte. Le rette.

Legge di annullamento del prodotto, equazioni di secondo grado risolte tramite scomposizione.

Disequazioni di primo grado e rappresentazione dei loro risultati. Disequazioni intere. Disequazioni fratte. Sistemi di

disequazioni.

Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni di primo grado con valori assoluti, interpretazione grafica delle equazioni. 𝑦 = 𝑥 e sue

traslazioni verticali e orizzontali, grafico di 𝑦 =∣ 𝑎𝑥 + 𝑏 ∣ +𝑐. Interpretazione grafica di equazioni con più valori

assoluti.

Numeri reali e radicali

Ripasso su insiemi numerici N,Z,Q,R e loro caratteristiche. Ripasso su proprietà delle potenze con esponenti sia

negativi che razionali. 2 è un numero irrazionale (dim.). Costruzione di 2 con riga e compasso e così di 𝑛. I

radicali. Condizione di esistenza dei radicali. Proprietà invariantiva dei radicali, semplificazione dei radicali, radicali

irriducibili, riduzione di radicali allo stesso indice, confronto fra radicali. Moltiplicazione e divisione fra radicali.

Trasporto di un fattore fuori e dentro il segno di radice con discussione, uso appropriato del valore assoluto. Potenza e

radice di un radicale. Addizione e sottrazione tra radicali simili. Razionalizzazione del denominatore di una frazione.

Espressioni irrazionali. Equazioni, disequazioni con coefficienti irrazionali.

Equazioni di secondo grado

Equazione di secondo grado generica, spuria, pura e monomia. Metodo di completamento del quadrato. Soluzioni/radici

e interpretazione grafica come zeri della parabola associata all’equazione di secondo grado. Discriminante e soluzioni.

Formula ridotta. Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado: somma e prodotto delle radici.

Scomposizione di un trinomio di secondo grado. Equazioni parametriche.

Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni risolubili con la scomposizione in fattori, con il riconoscimento di prodotti notevoli, regola di Ruffini,

divisione tra polinomi. Equazioni binomie, equazioni trinomie, equazioni reciproche. Equazioni irrazionali con

condizioni di esistenza e controllo finale delle soluzioni. Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite.

Sistemi simmetrici.

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado intere con risoluzione algebrica e grafica. Disequazioni di grado superiore al secondo.

Disequazioni fratte. Sistemi di disequazioni. Equazioni irrazionali con condizione di esistenza. Equazioni e disequazioni

con valori assoluti.

GEOMETRIA

I teoremi presenti nei singoli capitoli trattati sono stati tutti svolti con relative dimostrazioni, le costruzioni delle

figure sono state tutte fatte con riga e compasso. Gli alunni hanno svolto dimostrazioni ed esercizi tratti dai vari

capitoli del libro.

Circonferenza. Poligoni inscritti e circoscritti Ripasso su luoghi geometrici: asse del segmento e bisettrice. Circonferenza definizione come luogo geometrico.

Cerchio. Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza (dim.). Definizioni di parti di una circonferenza e

del cerchio: arco, angolo al centro, settore circolare, segmento circolare a una base e a due basi. Data una circonferenza,

se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro, fra due archi, fra due settori circolari, fra due

segmenti circolari, allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate. In ogni

circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro (dim.). Se in una

circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti

risultano divisi a metà da tale diametro (dim.). Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per

il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda (dim.). In una circonferenza corde

congruenti hanno la stessa distanza dal centro (dim.). In una circonferenza corde aventi la stessa distanza dal centro

sono congruenti (dim.). Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non hanno la stessa distanza dal centro:

la corda maggiore ha distanza minore. Una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune

(dim.). Definizione di retta secante una circonferenza, retta tangente a una circonferenza, retta esterna a una

circonferenza. Se la distanza del centro di una circonferenza da una retta è: 1. maggiore del raggio, allora la retta è

esterna alla circonferenza; 2. uguale al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza; 3. minore del raggio, allora la

retta è secante la circonferenza (dim.). Se una retta è tangente a una circonferenza, la sua distanza dal centro è uguale al

raggio (dim.). Se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpendicolare al

raggio OH. Se una retta è perpendicolare al raggio di una circonferenza nel suo estremo H, allora è tangente in H alla

circonferenza. Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette tangenti a essa, allora i segmenti

di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l’altro in un punto in comune con la circonferenza, sono

congruenti (dim.). Definizione di circonferenze secanti, tangenti, esterne, interne l’una all’altra, concentriche.

Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano: 1. una interna all’altra è che la distanza dei centri

sia minore della differenza dei raggi; 2. secanti è che la distanza dei centri sia minore della somma dei raggi e maggiore

della loro differenza; 3. tangenti internamente è che la distanza dei centri sia uguale alla differenza dei centri; 4. tangenti

esternamente è che la distanza dei centri sia uguale alla somma dei raggi; 5. esterne è che la distanza dei centri sia

maggiore della somma dei raggi. Definizione di angolo alla circonferenza. Un angolo alla circonferenza è metà del

corrispondente angolo al centro (dim.) e relativi corollari. Definizione di poligono inscritto in una circonferenza e

poligono circoscritto a una circonferenza. Se un poligono ha gli assi dei lati che passano tutti per uno stesso punto,

allora il poligono può essere inscritto in una circonferenza (dim.). Se gli assi dei lati di un poligono non passano tutti

per uno stesso punto, il poligono non può essere inscritto in una circonferenza. Se un poligono è inscritto in una

circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza. Se un poligono convesso ha le bisettrici

degli angoli che passano tutte per uno stesso punto, allora il poligono può essere circoscritto a una circonferenza (dim.).

Se le bisettrici degli angoli di un poligono non passano per uno stesso punto, il poligono non può essere circoscritto a

una circonferenza. Se un poligono è circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro

della circonferenza. Definizione di circocentro: gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (dim.), detto

circocentro ed è il centro della circonferenza circoscritta. Definizione di incentro: le bisettrici degli angoli interni di un

triangolo si incontrano in un punto (dim.), detto incentro ed è il centro della circonferenza inscritta. Le bisettrici di due

angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente a essi si intersecano in uno stesso punto,

detto excentro. Le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto (dim.) detto ortocentro. Le

mediane di un triangolo si incontrano in un punto, detto baricentro, che divide ogni mediana in due parti, tali che quelle

avente per estremo un vertice è doppia dell’altra (dim.). In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli

opposti sono supplementari (dim.). Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una

circonferenza (dim.). Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è

che abbia gli angoli opposti supplementari. Corollario: ogni rettangolo, quadrato, trapezio isoscele è inscrivibile in una

circonferenza. In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma

degli alti due (dim.). Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora è

possibile circoscrivere il quadrilatero a una circonferenza. Corollario: un rombo o un quadrato è circoscrivibile a una

circonferenza, per il quadrato i punti di tangenza sono i punti medi del lato. Condizione necessaria e sufficiente

affinché un quadrilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla

somma degli altri due. Un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Un poligono

regolare è inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a una un’altra, le due circonferenze hanno lo stesso centro

(dim.). Apotema è il raggio della circonferenza inscritta, raggio il raggio della circonferenza circoscritta. Se una

circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora: il poligono inscritto che si ottiene congiungendo i punti di

suddivisione è regolare; il poligono circoscritto che si ottiene tracciando le tangenti alla circonferenza nei punti di

suddivisione è regolare. Una circonferenza è suddivisa in archi congruenti dai: vertici dei poligoni regolari inscritti;

punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti. Il lato dell’esagono regolare inscritto in una circonferenza è

congruente al raggio della circonferenza (dim.).

Equivalenza delle superfici piane

Relazione di equivalenza. Postulato: due superfici congruenti sono sempre equivalenti. Postulato: superfici ottenute

come somme o differenze di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti. Postulato di De Zolt: una superficie

non può essere equivalente a una sua parte. Due poligoni equiscomposti sono equivalenti. Tangram. Se due

parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti allora sono equivalenti (dim.). Corollario: se un

parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti. Un triangolo è

equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella

del triangolo (dim.). Corollario: se due triangoli hanno congruenti le basi e le rispettive altezze, sono equivalenti. Un

triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha base congruente a quella del triangolo e altezza congruente a metà

altezza del triangolo. Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la

somma delle due basi è congruente alla base del triangolo (dim.). Un poligono circoscritto a una circonferenza è

equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della

circonferenza (dim.). Corollario: un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro

del poligono e altezza congruente all’apotema. Costruzione a partire da un poligono convesso di n lati a uno equivalente

con un lato in meno. Primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è

equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa (dim.).

Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei

quadrati costruiti sui cateti (dim.). Teorema inverso del teorema di Pitagora. Secondo teorema di Euclide: in ogni

triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati

congruenti alla proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dim.).

La misura e le grandezze proporzionali

Le classi di grandezze geometriche: lunghezze, ampiezze di un angolo, aree. Classi di grandezze omogenee: confronto,

addizione, multiplo secondo il numero naturale n. Postulato di Eudosso-Archimede. Grandezze commensurabili.

Grandezze incommensurabili. La diagonale di un quadrato e il suo lato sono incommensurabili (dim. per assurdo

algebrica e geometrica). Rapporto fra grandezze omogenee. Proporzione fra grandezze. Proprietà delle proporzioni.

Grandezze direttamente proporzionali e inversamente proporzionali. Teorema di Talete (dim.). Teorema inverso di

Talete. Una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati, o i loro prolungamenti, in segmenti

proporzionali (dim.). Una retta che determina su due lati di un triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti

proporzionali, è parallela al terzo lato. In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti

direttamente proporzionali agli altri due (dim.). Se in un triangolo un punto di un lato lo divide in parti direttamente

proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto con il vertice dell’angolo opposto è bisettrice di tale

angolo. Aree dei poligoni: area del rettangolo, area del parallelogramma, area del quadrato, area del triangolo, area del

trapezio, area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, area di un poligono circoscritto ad una circonferenza,

area di un poligono regolare. Triangoli rettangoli con angoli di 45°; triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°.

La similitudine

Primo criterio di similitudine. Secondo criterio di similitudine. Terzo criterio di similitudine. In due triangoli simili le

basi stanno fra loro come le rispettive altezze. Primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio

proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa (dim.). Secondo teorema di Euclide: in un triangolo

rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dim.).

Teorema delle corde: se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e

quelli che si formano sulla seconda corda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione (dim.).

Teorema delle secanti: se da un punto P esterno ad una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i

segmenti che hanno un estremo in P e l’altro in ciascuno dei due punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante

sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione (dim.). Teorema della secante e della

tangente: se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente

che ha estremi P e il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e

ciascuno dei punti di intersezione (dim.). Sezione aurea di un segmento: definizione, costruzione con riga e compasso,

per via algebrica. Rettangolo aureo e costruzione della spirale. Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del

raggio della circonferenza circoscritta al decagono (dim.). Poligoni simili: perimetri e dimensioni (raggio, apotema,

altezze, diagonali, …) e aree. Estensione del teorema di Pitagora. Lunghezza della circonferenza. Misura dell’area del

cerchio. Lunghezza di un arco di circonferenza. Area del settore circolare. Raggio del cerchio inscritto in un triangolo.

Raggio del cerchio circoscritto a un triangolo. Formula di Erone. Poligoni Regolari.

GEOMETRIA ANALITICA

Ripasso su:

Punto medio di un segmento. Distanza tra due punti appartenenti al piano. Coordinate del punto medio di un segmento.

L’equazione della retta e significato del coefficiente angolare. Condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due

rette. Fascio di rette per un punto. Rette per due punti.

Fasci di rette propri e impropri.

Parabola:

Parabola e sua equazione, come luogo geometrico. Parabola con asse parallelo all’asse y, determinazione del vertice di

una parabola con il metodo del completamento del quadrato. Posizione reciproca tra rette e parabola.

Grafici di spezzate con valori assoluti.

Grafici di funzioni a tratti.

Siena, 14 Giugno 2018

Docente Prof.ssa Barbara Bonucci

Liceo Scientifico “Galileo Galilei”

Materia FISICA Classe II sez. S a.s. 2017/2018

Docente Prof.ssa

Barbara Bonucci

PROGRAMMA SVOLTO Libro di testo:

La realtà e i modelli della fisica Walker ( Linx) EQUILIBRIO DEI FLUDI

Equilibrio dei fluidi. La Pressione. La pressione atmosferica, unità di misura diverse da quelle del S.I. Pressione

relativa. Legge di Stevino (dim.). Esperimento di Torricelli e di Pascal per la misura della pressione atmosferica. Vasi

Comunicanti. Principio di Archimede (dim) e equilibrio di un corpo in un fluido.

CINEMATICA

Moto di un punto materiale rispetto a un sistema di riferimento. Distanza e spostamento. Traiettoria. Legge Oraria.

Diagrammi spazio-tempo. Velocità media e istantanea, scalare e vettoriale. Interpretazione grafica della velocità media

e istantanea. Accelerazione media e istantanea, scalare e vettoriale. Interpretazione grafica dell’accelerazione media e

istantanea.

Moto vario in due dimensioni: vettore velocità e accelerazione.

Moto rettilineo vario: grafici x-t e significato del coefficiente angolare, grafico v-t e significato dell’area e del

coefficiente angolare.

Moto rettilineo uniforme: legge oraria.

Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria (dim).

Moto di caduta libera

DINAMICA

Prima legge di Newton. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali.

Seconda legge di Newton. Sistemi non inerziali e forze apparenti.

Terza legge di Newton.

Moto in un piano inclinato, moto in presenza di attrito.

Oggetti a contatto e collegati.

LAVORO e ENERGIA

Definizione di Lavoro. Il lavoro di una forza costante. Unità di misura.

Energia Cinetica. Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica (dim).

Lavoro della forza peso e energia potenziale gravitazionale con forze conservative (dim.) e con forze dissipative.

Lavoro della forza elastica e energia potenziale elastica (dim.).

Lavoro per forze variabili come area sottostante il grafico F-x.

Definizione di potenza. Potenza su un corpo in moto.

Applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica.

Applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia totale.

LABORATORIO:

Sono state eseguite le seguenti esperienze con la compilazione delle relative schede:

Esperienze qualitative sul concetto di pressione (palloncino ed ago, solido appoggiato su facce diverse su un

piano di appoggio orizzontale o obliquo)

Esperienze con la pompa a vuoto, emisferi di Magdeburgh

Esperienze qualitative su vasi comunicanti, capillarità anche in natura e nella vita di tutti i giorni; tubo ad U

con liquidi non miscibili diversi

Esperimenti qualitativi sulla pressione atmosferica (riga e giornale, bicchiere e carta da gioco; esperimento di

Torricelli quantitativo compatibilità tra valore teorico atteso e sperimentale con calcolo degli errori)

Paradosso idrostatico

Legge di Pasca e legge di Stevino utilizzando bottiglie forate ad altezze diverse

Principio di Archimede: esperienza qualitativa e quantitativa con propagazione degli errori

Percorso del tragitto casa scuola per il chiarimento del concetto di traiettoria, legge oraria del moto, moto nel

piano in due dimensioni, vettore spostamento e vettore velocità istantanea e media.

Siena, 14 Giugno 2018 Docente Prof.ssa Barbara Bonucci

Liceo Scientifico “Galileo Galilei”

Materia MATEMATICA Classe IV sez. F a.s. 2017/2018

Docente Prof.ssa

Barbara Bonucci

Libro di Testo

Manuale blu 2.0 di matematica Vol. 3B -4A -4B Bergamini Barozzi Trifone (Zanichelli)

TRIGONOMETRIA

Ripasso teoremi triangoli rettangoli e triangoli qualunque.

Problemi di trigonometria.

NUMERI COMPLESSI

Definizione di numero complesso. Operazioni con i numeri complessi. Numeri immaginari e unità

immaginaria. Forma algebrica dei numeri complessi, modulo di un numero complesso, complessi coniugati e

opposti. Operazioni con i numeri immaginari. Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica.

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: piano di Gauss, vettori, vettori e numeri complessi,

coordinate polari. Forma trigonometrica di un numero complesso e operazioni con i numeri complessi in

forma trigonometrica. Radice n-esima dell’unità e di un numero complesso. Equazioni nell’insieme dei

numeri complessi. Forma esponenziale di un numero complesso. Formula di Eulero.

ESPONENZIALI

Potenze con esponente intero, razionale o reale. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale definizione e

grafico. Grafici deducibili per traslazione e composizione di funzioni. Equazioni esponenziali. Disequazioni

esponenziali.

LOGARITMI

Definizione di logaritmo, proprietà dei logaritmi (dim.). Funzione logaritmica definizione e grafico. Grafici

deducibili per traslazione e per composizione di funzioni. Equazioni logaritmiche. Disequazioni

logaritmiche.

FUNZIONI E LORO PROPRIETA’

Ripasso: concetto di funzione, dominio, intersezione assi e segno di una funzione. Funzioni pari e dispari.

Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Grafici delle principali funzioni, composizione di funzioni. Funzioni

a tratti.

LIMITI DI FUNZIONI

Insiemi di numeri reali: intervalli, intervalli limitati, intorno di un punto, intorno destro e sinistro di un punto,

intorni di infinito, insiemi limitati e illimitati, estremi di un insieme, punti isolati, punti di accumulazione.

Limite finito per x che tende x0: definizione, interpretazione geometrica, verifica del limite. Funzioni

continue. Limite destro e limite sinistro.

Limite infinito per x che tende ad x0: definizione, interpretazione geometrica, verifica dei limiti; definizione

asintoto verticale.

Limite finito per x che tende a ±∞: definizione, interpretazione geometrica, verifica del limite; definizione di

asintoto orizzontale.

Limite infinito per x che tende a ±∞, definizione, interpretazione geometrica, verifica del limite, asintoto

obliquo.

Teoremi sui limiti (no dim.) Teorema unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del

confronto.

CALCOLO DEI LIMITI E CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI

Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli con dim.

Funzioni continue, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema degli zeri (no dim).

Punti di discontinuità di una funzione e classificazione delle discontinuità. Ricerca degli asintoti. Grafico

probabile di una funzione.

CALCOLO COMBINATORIO

Disposizioni semplici e con ripetizione. Permutazioni semplici e con ripetizione. Funzione fattoriale.

Combinazioni semplici e con ripetizione. Coefficienti binomiali. Binomio di Newton.

PROBABILITA’

Eventi. Concezione classica della probabilità definizione. Probabilità e calcolo combinatorio. Somma logica

e prodotto logico di eventi compatibili ed incompatibili e loro probabilità. Probabilità condizionata di eventi

indipendenti e dipendenti. Problema delle prove ripetute schema di Bernoulli. Teorema di Bayes.

GEOMETRIA EUCLIDEA DELLO SPAZIO

Punti rette e piani nello spazio. Perpendicolarità e parallelismo nello spazio. Teorema di Talete nello spazio.

Distanze nello spazio. Diedri e piani perpendicolari, ampiezza di un diedro. Angolo di una retta con un

piano. Poliedri, relazione di Eulero. Definizione e proprietà di prisma, parallelepipedo, piramide, tronco di

piramide. Poliedri regolari e solidi platonici. Solidi di rotazione cilindro, cono e sfera. Area e volume dei

solidi. Problemi di geometria solida.

Sono stati dimostrati i seguenti teoremi:

-Se per un punto P di una retta s si mandano due rette perpendicolari a e b perpendicolari ad s, allora s è

perpendicolare ad ogni altra retta passante per P e giacente sul piano delle rette a e b.

-Teorema delle tre perpendicolari

Siena, 14 Giugno 2018 Docente Prof.ssa Barbara Bonucci