Liceo Cantonale di Lugano 2 ESERCIZI DEL CAPITOLO Cinematica a più dimensioni T. Bernasconi –...

Liceo Cantonale di Lugano 2

ESERCIZI DEL CAPITOLO

Cinematica a più dimensioni

T. Bernasconi – Corso di fisica del liceo di Lugano 2 – Indirizzo scientifico – Secondo anno

SERIE 2

Esercizi sul

moto parabolico


T. Bernasconi – Corso di fisica del liceo di Lugano 2 – Indirizzo scientifico – Secondo anno3

Da un’altezza di 1,37 lanciamo un corpo con velocità = (4,25; 5,88) m/s. Determina:a) Il vettore posizione.b) Il vettore posizione dopo 0,4 s dal

lancio.c) Il vettore velocità.d) Il vettore velocità dopo 0,4 s dal

lancio.e) Dopo quanto tempo il corpo tocca

terra.f) A che distanza dal punto di lancio il

corpo tocca terra.g) Dopo quanto tempo il corpo

raggiunge l'altezza massima.h) L'altezza massima.

ESERCIZIO MP 1

0 0 x

20 0 y

22

x v tr t 1

y v t g t2

m0,0 m 4,25 ts

1m m1,37 m 5,88 t 9,81 ts s2

ESERCIZIO MP 1


a)

2

2

m4,25 tsr t

m m1,37 m 5,88 t 4,905 ts s

ESERCIZIO MP 1


b)

2

2

m4,25 0,4 ssr 0,4 s

m m1,37 m 5,88 0,4 s 4,905 0,4 ss s

1,70 m

2,94 m

c) 0 x

0 y2

m4,25v sv( t )

m mv g t 4,88 9,81 ts s

ESERCIZIO MP 1


d)2

m4,25 s 4,25 mv(0,4 s ) sm m 0,9564,88 9,81 0,4 ss s

e)

22

m m0 m 1,37 m 5,88 t 4,905 ts s

Il corpo tocca terra quando y = 0.

22

m m4,905 t 5,88 t 1,37 m 0ss

22

1 14,905 t 5,88 t 1,37 0ss

ESERCIZIO MP 1


e)

22 2

1,2

2

1

22

1 1 15,88 5,88 4 4,905 1,37s s st

12 4,905s

15,88 7,839 t 1,398 ss1 t 0,1997 s9,81s

x

y

y a t = 0

y = 0 a t2 y = 0 a t1

ESERCIZIO MP 1


f) mx 1,398 s 4,25 1,398 s 5,942ms

g)

2m m4,88 9,81 t 0s s

Il corpo raggiunge l'altezza massima quando vy = 0.

4,8819,81 t 4,88 t 0,4975 ss 19,81 s

h)

max

2

2

my 1,37 m 5,88 0,4975 ss

m4,905 0,4975 s 3,081ms

Un fucile è puntato orizzontalmente contro un bersaglio alla distanza di 30 m. Se il proiettile colpisce il bersaglio 1,9 cm sotto il centro, calcolaa) Il tempo di volo del proiettile;b) La sua velocità alla bocca del fucile.

ESERCIZIO MP 2


x

y

Bersaglio

y = 0 a t2

y = 1,9 cm

xB = 30 m

ESERCIZIO MP 2


a)

2 20 0 y

1 1y y v t g t g t

2 2

Il tempo di volo è quello che il proiettile impiega a cadere di 1,9 cm.

22

m0,019 m 4,905 ts

2

0,019 mt 0,06224 s

m4,905s

B x x

x 30 mx v t v 482,0 m s

t 0,06224 s /b)

Un corpo, all’istante ti = 0 s, si trova nel punto = (-1,5; 1,5) m. Esso è lanciato con una ve-locità di intensità 4 m/s e con un angolo, ri-spetto all'orizzontale, di 30 gradi. Trova:a) Il vettore velocità iniziale;b) La legge oraria c) Dopo quanto tempo il corpo tocca

terra.d) A che distanza dal punto di lancio il

corpo tocca terra.e) L'altezza massima raggiunta.

ESERCIZIO MP 3


0 x 00

0 y 0

m4 cos30v v cos 3,464 msv

v v sin m 2 s4 sin30

s

a)

0 0 x

220 0 y

2

m1,5m 3,464 tx v t

sr t 1y v t gt m m2 1,5m 2 t 4,905 t

s s

ESERCIZIO MP 3


a)

b)

c) Il corpo tocca terra quando y = 0.

22

m m1,5m 2 t 4,905 t 0

s s

2 24,905 t 2s t 1,5 s 0

2

1,2

2 s 4 4 4,905 1,5 st

9,81

ESERCIZIO MP 3


c)

2

1

2

2 s 33,43s

9,81

t 0,7933s2 5,782 s

t 0,3855 s9,81

J

L

max

mx 3,464 0,7933s 2,748 m

s d)

,,

0 y0 y

2

m2v s0 v gt t 0 2039 s

mg 9 81s

e)

2max 0 0 y

2 22

1y y v t gt

2m m

1,5 2 0,2039 s 4,905 0,2039 ss s

1,704 m

ESERCIZIO MP 3


e)

Un pallone, da terra, è calciato con una velocità di modulo 9,5 m/s e con un angolo di 25° al di sopra dell'orizzontale. Se la palla atterra allo stesso livello da cui era stata calciata calcola

a) Per quanto tempo rimane in aria. b) A che distanza dal punto di partenza

arriva.

ESERCIZIO MP 4


20 0 0

0

0

2

gy( t ) y (=0) v sin t t 0

2g

t v sin t 02

0 s (partenza)

m2 9,5 sin25t 2v sin s 0,8185 smg 9,81s

max 0

mx v cos t 9,5 cos 25 0,8185 s 7,047 m

s

ESERCIZIO MP 4


Il pallone resta in volo fino a quando y = 0.

a)

b)

Una palla, lanciata dall'alto di un colle con la velocità iniziale di 15 m/s, ha un angolo di 20° sotto il piano orizzontale. Trovare la sua posizione, rispetto al punto di partenza, e la sua velocità entrambi a 2,3 s dopo il lancio.

ESERCIZIO MP 5


x

y

t = 2,3 s

0 0

20 0

x v cos tr t g

y v sin t t2

2 22

m15 cos 20 2,3ss

9,81m m15 sin 20 2,3s 2,3 ss s3

32,42m

37,75m

ESERCIZIO MP 5


0

0

v cosv t

v sin g t

2

m15 cos 20sv t 2,3s

m m15 sin 20 9,81 2,3ss s

14,10 m

27,69 s

ESERCIZIO MP 5


Un giocatore di tennis, distante 12,6 m dalla rete che è più alta di 0,33 m rispetto al punto di lancio, colpisce la palla con una velocità iniziale inclinata di 6° rispetto all'orizzontale. Calcolare la velocità con cui la palla lascia la racchetta, se essa supera la rete all’apice della sua traiettoria.

ESERCIZIO MP 6


x

y Rete

y = 33 cm

xR = 12,6 m

R

R 0 0 x 000

xx x v t v cos t t

v cos

ESERCIZIO MP 6


2 2

0 0 y 0 y

0

20

2

R R0

0 0

1 1h h v t gt v gt

2 2

1v sin t gt

2

x 1 xv sin g

v cos 2 v cos

2R

0 2R

2 22

2

g xv

2 tg x h cos

m9,81 12,6 m ms 28,142 tg6 12,6m 0,33m cos 6 s

2R

R 2 20

1 xh tg x g

2 v cos

ESERCIZIO MP 6


Una pallina è scagliata da un'altezza di 1,5 m dal suolo con una velocità iniziale di 10 m/s. Sapendo che raggiunge un'altezza massima di 3,605891495 m dal terreno determina:a) L’angolo di lancio.b) Il tempo per raggiungere l’altezza

massima.c) Il tempo per toccare terra.d) A quale distanza dal lanciatore la

pallina tocca terra.

ESERCIZIO MP 7


0y 0

v sin0 v v sin gt t

g

a)

2 2max 0 0 y 0 0

2 20 0

0 0 2

2 2 2 2 2 20 0 0

0 0

1 1h h v t gt h v sin t gt

2 2

v sin 1 v sinh v sin g

g 2 g

v sin 1 v sin 1 v sinh h

g 2 g 2 g

ESERCIZIO MP 7


a)

2max 02

0

max 020

2

2

2

2gsin h h

v

2garc sin h h

v

m2 9,81

s 3,605891495 1,5 m 40m

100s

a)

ESERCIZIO MP 7


y 0

0

2

0 v v sin gt

m10 sin40v sin st 0,6552 s

mg 9,81s

b)

2finale 0 0 y

20 0

20 0

10 h h v t gt

21

h v sin t gt2

gt 2v sin t 2h 0

ESERCIZIO MP 7


b)

c)

c)

2 20 0 i

22

2 2

2

2 2

2 2

2

v sin v sin 2ght

g

m m m10 sin40 100 sin40 2 9,81 1,5m

s s sm

9,81s

m m m6,428 41,32 29,43 1,514 ss s s

m 0,2022 s9,81s

C

D

ESERCIZIO MP 7


max x 0x v t v cos t

m10 cos40 1,514 s 11,60 m

s

ESERCIZIO MP 7


d)

Una pallina è scagliata, da terra, con una velo-cità iniziale di 20 m/s. Con quale angolo deve essere lanciata affinché tocchi il suolo a 25 m di distanza?

ESERCIZIO MP 8


x 00

xx v t v cos t t

v cos

2 2y 0

2

0 2 20 0

1 10 v t gt v sin t g t

2 2

x 1 xv sin g

v cos 2 v cos

2

2 20

sin x 1 xg 0

cos 2 v cos

2 20

sin 1 gx 10

cos 2 v cos

ESERCIZIO MP 8


20

1 gx 1sin

2 v cos

20

gx2 sin cos

v

2

220

2

m9,81 25mgx ssin2 0,6131

mv400

s

arcsin0,6131=18,91 =18 54'

2

ESERCIZIO MP 8


Una guardia forestale munita di un fucile con capsule sedative, spara ad una scimmia che si trova su di un albero a 30 m di distanza e 14,99512364 m di altezza. La guardia che ha il fucile a 1,5 m di altezza, mira direttamente al-la scimmia non rendendosi conto che il proiet-tile percorrerà una traiettoria parabolica. Al momento dello sparo il ramo a cui era aggrap-pata la scimmia cede per cui anche la scimmia comincia a cadere. Sapendo che il proiettile con il sedativo ha una velocità iniziale di 22 m/s dove passerà rispetto alla scimmia?

ESERCIZIO MP 9


13,49512364arctan

3024,22

0 0 x 0

0

0

d x v t v cos t

d 30 mt 1,495 s

mv cos 22 cos 24,22s

x

y

hp

hs

d

ESERCIZIO MP 9


2proiettile p 0

2 22

1y t 1,496 h v sin t g t2

m1,5m 22 sin24,22 1,495 s

sm

4,905 1,495 s 4,030 ms

,

, , , ,

2scimmia s

2 22

1y t 1 496 h g t2

m14 99512364 m 4 905 1 495 s 4 032m

s

ESERCIZIO MP 9


Un cannoncino, messo nel punto r0 = (0; 0), deve sparare una pallina in foro posto a 10 m di distanza e 3 m di altezza. Sapendo che la velocità iniziale del proiettile è di 15 m/s calcola l’angolo di tiro.

x

y

h

d

ESERCIZIO MP 10


0 0 x0 x 00

d dx d x v t t

v v cos

2 2

0 0 y 0

0

1 1y h h v t gt v sin gt

2 2

2

00 0

2

2 20

22 2

0

d 1 dh v sin g

v cos 2 v cos

d 1 dsin g

cos 2 v cos

1 1d tan gd

2 v cos

ESERCIZIO MP 10


L’equazione, in questa forma, è difficilmente risolvibile algebricamente. Esiste, però una for-mula trigonometrica che ne permette una facile risoluzione.

2

2 20

gd 1d tan h 0

2v cos

2

1cos

1 tan

2

2

11 tan

cos

ESERCIZIO MP 10


2

22

0

gdd tan 1 tan h 0

2v

2 22

2 20 0

gd gdd tan tan h 0

2v 2v

2 22

2 20 0

gd gdtan d tan h 0

2v 2v

Applichiamola alla nostra equazione.

ESERCIZIO MP 10


2 22

2 20 0

2

20

2 22 2 2

2 2

2 2

22

2

2

gd gdd d 4 h

2v 2vtan

gd2

2v

m m9,81 9,81

s s10 m 100m 100m 3m 100mm m

2 225 450s s

m9,81

s2 100mm

450s

ESERCIZIO MP 10


2

2 2

10 m 100m 2,18 m 3m 2,18 mtan

4,36 m

4,45410 m 100m 11,2924 m 10 m 9,418 m

0,13354,36 m 4,36 m

arctan4,454 77 34' 59''

arctan0,1335 48 58' 05''

x

y

h

d

ESERCIZIO MP 10


Nel capitolo corrente abbiamo dimostrato con la cinematica che le velocità verticali sono simme-triche rispetto al massimo della parabola. Dimo-stralo per mezzo della conservazione dell’e-nergia.

h max

h max

mec 21 t t

t t

1E mgh mv

2

Scegliamo un istante t < th max. Per la posizio-ne prima del massimo (la linea verticale signi-fica “presa all’istante …”):

ESERCIZIO MP 11


h max

h max

mec 22 t t

t t

1E mgh mv

2

Per la posizione simmetrica dopo il massimo si ha:

Per il principio di conservazione dell’energia, si ha, allora

h max max

h max h max

2 2

t t t tt t t t

1 1mgh mv mgh mv

2 2

ESERCIZIO MP 11


Per evidenti ragioni di simmetria (stessa altezza) si ha

h max h maxt t t tmgh mgh

Da cui segue

h max h max

2 2

t t t t

1 1mv mv

2 2

h max h max

2 2

t t t tv v

ESERCIZIO MP 11


Esercizi sul

moto circolare uniforme


Un CD gira, all'inizio, a 500 giri al minuto e alla fine a 200 giri al minuto. Calcola il periodo in secondi e la frequenza in hertz a questi estremi.

ESERCIZIO PF 1


i

f

1 min 60 sT 0,12 s

tempo impieg. 500 500T1 min 60 snumero di giri

T 0,3 s200 200

i

f

1f 8,333 Hz

0,12 s1f

1Tf 3,333 Hz

0,3s


ESERCIZIO PF 1

Calcola il periodo in secondi e la frequenza in hertz del moto di rotazione della Terra.

24 3600 sT 86' 400 s

1

51f 1,157 10 Hz

86' 400 s


ESERCIZIO PF 2

Una trottola ha una velocità angolare di 12 Hz. Qual è la sua frequenza e il periodo?

m 12 Hzf 6 Hz

2 2

1 1sT 0,1667 s

f 6

ESERCIZIO VA 1


Una trottola ha una velocità angolare di

12 Hz e un raggio di 11 cm. Qual è la posi-zione a t = 2 s di un punto esterno se all’i-stante t = 0 si trovava in 0 = 45?

0 0

0 0

cos ω t tr t r

sin ω t t

radcos 12 2 s

4 s11cm

radsin 12 2 s

4 s

0,9403 10,33cm 10,33

11cm cm0,340 3,740cm 3,740

ESERCIZIO P 1


Calcola la velocità tan-genziale del Liceo di Lu-gano 2 nel moto di rota-zione della Terra.(Liceo Lugano = LL = 44).

liceo Tt

2 r 2 r cosv

T T2 6375km cos44 km

1'20124 h h

LL

rT

rLL

ESERCIZIO VT 1


Calcola la velocità tangenziale del Liceo di Lugano 2 nel moto di rivoluzione attorno al Sole non tenendo conto della rotazione della Terra . (rmedio = 1,496 108 km)

8

t

2 r 2 1,496 10 km kmv 107' 300

T 365 24h h

ESERCIZIO VT 2


Calcola la velocità tangenziale di un punto che si trova a 15 cm dal centro di un disco che sta ruotando a 60 giri/minuto.

t

60 cmv 2 r f 2 15 cm 94,25

60 s s

ESERCIZIO VT 3


Il punto più esterno di una trottola ha una velocità tangenziale di 12 dm/s. Se il raggio è di 24 cm qual è la sua frequenza ed il suo periodo?

tt

dm12v sv 2 r f f 0,7958 Hz

2 r 2 2,4 dm

-1

1 1T 1,257 s

f 0,7958 s

ESERCIZIO VT 4


Il punto più esterno di un corpo in moto cir-colare uniforme ha una velocità tangenziale di 144,4 cm/s. Se la frequenza è di 3 Hz, qual è il raggio del corpo?

t

t-1

v 2 r f

cm144,4v sr 7,661 cm

2 f 2 3 s

ESERCIZIO VT 5


Il punto più esterno di un corpo, in moto cir-colare uniforme, si trova a 8 cm dal centro. Sapendo che 0 = 30 e che il T = 4 s, deter-mina il vettore velocità tangenziale a t = 2,5 s.

m

2 radHz 1,571Hz

t 4 s 2

ESERCIZIO VT 6


0 m 0

t m

0 m 0

sin ω t tv t r

cos ω t t

radsin rad 1,571 2,5 s

6 s1,571Hz 8cm

radcos rad 1,571 2,5 s

6 s

0,9661 12,14cm cm12,568

0,2583 3,246s s

ESERCIZIO VT 6


Una particella percorre una traiettoria circolare avente 5 m di raggio impiegando 1,6 secondi. Calcola il modulo della sua accelerazione centri-peta.

2 2

c 2 2 2 2

4 r 4 5 m ma 77,11

T 1,6 s s

ESERCIZIO AC 1


Una particella percorre una traiettoria circolare avente 5 m di raggio con un periodo di 0,4 Hz. Calcola il modulo della sua accelerazione cen-tripeta.

2 2 2 2c 2 2

1 ma 4 f r 4 0,4 5 m 31,58

s s

ESERCIZIO AC 2


Un ciclotrone è un acceleratore circolare di particelle elettricamente cariche dove queste percorrono un'orbita a spirale ed infine sono lanciate verso un bersaglio dove verranno stu-diate le reazioni nucleari che si producono. La velocità delle particelle, alla fine del periodo di accelerazione, raggiunge il 99% della velocità della luce il cui valore è c = 299'776 km/s. Sapendo che il raggio di tale apparecchio è di 120 m calcola il periodo, la frequenza e l'acce-lerazione centripeta delle particelle nel ciclo-trone.

ESERCIZIO AC 3


t

t

6

2 r v

T2 r 2 120 m

Tmv 0,99 299'776' 000s

2,541 10 s 2,541 s

56

1 1f 3,935 10 Hz

T 2,541 10 s

ESERCIZIO AC 3


2

2t

c

142

m0,99 299'776' 000

v s ar 120 m

m7,340 10

s

ESERCIZIO AC 3


Un corpo percorre una traiettoria circolare avente 15 cm di raggio percorrendo 25 gradi in 0,6 s. Sapendo che a t0 = 2 s il corpo si trova a 0 = 20 trova il vettore accelerazio-ne centripeta a t = 2,8 s.

m

25 rad180 0,7272 Hz

t 0,6 s

ESERCIZIO AC 4


0 m 02c m

0 m 0

cos t ta t r

sin t t

22

20rad

180cosrad

0,7272 2,8 2 scm s

0,7272 15s 20

rad180sin

rad0,7272 2,8 2 s

s


ESERCIZIO AC 4

c 2

cos 0,2327 radcma t 7,932

sin 0,2327 rads

2 2

0,9730 7,718cm cm7,932

0,2306 1,829s s

ESERCIZIO AC 4


Una automobile affronta una curva circolare a velocità costante. Qual è la velocità massima con la quale può affrontare tale curva di raggio 75 m se il coefficiente di attrito di stacco tra gli pneumatici e la strada vale s = 0,85?


ESERCIZIO DMCU 1

As s g s

2As c

c

F F m gF FvF m r

s 2mv g r 0,85 9,8 75ms

m km25 90s h


ESERCIZIO DMCU 1


FINE

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