MECANICA II 2010 I. ZABALZA VILLAVAMecnica II i INDICE CAPTULO 1 INTRODUCCIN................................................................ 1 1.1 INTRODUCCIN.............................................................................................. 1 1.2 CIENCIA DE LA MECNICA.......................................................................... 1 1.3 SNTESIS Y ANLISIS..................................................................................... 2 1.4 TERMINOLOGA, DEFINICIONES E HIPTESIS........................................ 3 1.5 MECANISMOS PLANOS, ESFRICOS Y ESPACIALES.............................. 5 1.6 MOVILIDAD.....................................................................................................5 1.7 INVERSIN CINEMTICA............................................................................. 6 1.8 LEY DE GRASHOF........................................................................................... 7 1.9 VENTAJA MECNICA.....................................................................................7 1.10 CURVAS DEL ACOPLADOR........................................................................ 8 1.11 MECANISMO DE LNEA RECTA................................................................9 1.12 MECANISMO DE RETORNO RPIDO........................................................ 9 CAPTUL. 2 POSICIN Y DESPLAZAMIENTO.................................. 11 2.1 SISTEMAS DE COORDENADAS.................................................................. 11 2.2 POSICIN DE UN PUNTO............................................................................. 11 2.3 DIFERENCIA DE POSICIN ENTRE DOS PUNTOS...................................12 2.4 POSICIN ABSOLUTA Y POSICIN APARENTE DE UN PUNTO..........13 2.6 ECUACIN DE CIERRE DEL CIRCUITO.................................................... 13 2.11 DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO........................ 14 2.12 DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS...............15 2.13 ROTACIN Y TRASLACIN...................................................................... 16 2.14 DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO 16 CAPTULO. 3 VELOCIDAD....................................................................19 3.1 DEFINICIN DE VELOCIDAD..................................................................... 19 3.1.1 Derivacin de vectores en coordenadas cartesianas.................................. 20 3.2 DEFINICIN DE VELOCIDAD ANGULAR................................................20 3.2.1 Rotacin alrededor de un punto fijo........................................................... 21 3.3 MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABN..................................... 22 3.3.1 Movimiento plano cualquiera.................................................................... 22 3.4 ANLISIS GRFICO DE LA VELOCIDAD. POLGONO DE VELOCIDADES............................................................................................23 3.5 VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 24 3.6 VELOCIDAD ANGULAR APARENTE........................................................26 3.7 CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 26 3.7.1 Contacto directo con deslizamiento........................................................... 26 3.7.2 Contacto directo con rodadura..................................................................27 3.10 CENTRO INSTANTNEO DE VELOCIDADES ( DE ROTACIN).....27 3.11 TEOREMA DE LOS TRES CENTROS........................................................ 29 3.12 LOCALIZACIN DE CENTROS INSTANTNEOS DE ROTACIN...... 30 ndice ii 3.13 ANLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTNEOS... 30 3.14 TEOREMA DE LA RAZN DE VELOCIDADES ANGULARES............. 31 3.16 VENTAJA MECNICA................................................................................ 31 CAPTULO. 4 ACELERACIN...............................................................33 4.1 DEFINICIN DE ACELERACIN.................................................................33 4.1.1 Clculo de la aceleracin por derivacin................................................... 34 4.2 DEFINICIN DE ACELERACIN ANGULAR............................................ 34 4.2.1 Rotacin alrededor de un punto fijo..........................................................35 4.3 MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABN..................................... 37 4.3.1 Movimiento plano cualquiera........................................................................ 38 4.4 ANLISIS GRFICO DE LA ACELERACIN. POLGONO DE ACELERACIONES........................................................................................ 38 4.5 ACELERACIN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 40 4.6 ACELERACIN ANGULAR APARENTE...................................................42 4.7 CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 42 4.7.1 Contacto directo con deslizamiento..........................................................42 4.7.2 Rodadura sobre un eslabn fijo.................................................................43 4.7.3 Contacto directo con rodadura................................................................... 45 CAPTULO. 12 FUERZAS ESTTICAS................................................47 12.1 INTRODUCCIN.........................................................................................47 12.2 SISTEMAS DE UNIDADES.........................................................................48 12.2.1 Sistema internacional.................................................................................48 12.2.2 Sistema ingls............................................................................................48 12.3 FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIN......................49 12.4 CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO...................................................49 12.5 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE..............................................................50 12.6 FUERZAS DE RESTICCIN.......................................................................50 12.7 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS...............................................50 12.8 ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS.....................................................52 12.9 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN..............................................................52 CAPTULO. 13 FUERZAS DINMICAS...............................................53 13.1 INTRODUCCIN.........................................................................................53 13.2 CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS.....................................................53 13.2.1 Centro de masas de una serie de partculas en el espacio.......................53 13.2.2 Centroides de figuras geomtricas planas compuestas...........................54 13.2.3 Centroides de figuras geomtricas planas limitadas por una funcin.....55 13.2.4 Centro de masas de un cuerpo limitado por una funcin........................55 13.2.5 Centro de masas de un cuerpo compuesto..............................................56 13.3 MOMENTOS DE INERCIA.........................................................................57 13.3.1 Momento de inercia de superficies.........................................................57 13.3.2 Momento de inercia de superficies complejas........................................58 13.3.3 Momento de inercia de masas.................................................................59 13.3.4 Momento de inercia de masas complejas................................................60 13.3.5 Sentido fsico del momento de inercia de masas..................................... 61 Mecnica II iii 13.4 CLCULO DE FUERZAS............................................................................61 13.5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN..............................................................62 13.7 ROTACIN EN TORNO A UN PUNTO FIJO............................................63 13.8 CASOS DE ESLABONES ESPECIALES....................................................64 13.8.1 Eslabn de salida en un cuadriltero articulado......................................64 13.8.1 Eslabn de entrada en un cuadriltero articulado...................................65 13.9 CASO SENCILLO DE DINMICA DIRECTA..........................................68 13.10 FUERZAS DE SACUDIMIENTO..............................................................71 CAPTULO 6 SNTESIS DE LEVAS.......................................................73 6.1 INTRODUCCIN...........................................................................................73 6.2 CLASIFICACIN DE LAS LEVAS............................................................... 73 6.3 DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO......................................................... 75 6.4 DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO........................ 77 6.5 MOVIMIENTOS ESTNDAR DE LAS LEVAS........................................... 78 6.6 DISEO GRFICO DE PERFILES DE LEVAS............................................ 83 6.7 FUERZAS EN LEVAS....................................................................................85 CAPTULO 7 SNTESIS DE ENGRANAJES.........................................89 7.1 INTRODUCCIN............................................................................................ 89 7.2 CLASIFICACIN DE LOS ENGRANAJES.................................................. 89 7.2.1 Engranajes cilndricos................................................................................ 90 7.2.2 Engranajes cnicos....................................................................................92 7.2.3 Engranajes hiperblicos............................................................................. 94 7.3 TEORA DE ENGRANE.................................................................................97 7.3.1 Engranajes cilndricos rectos exteriores....................................................97 7.3.2 Ley de engrane..........................................................................................98 7.3.3 Tamao del diente: Paso y mdulo............................................................ 99 7.3.4 Lnea de engrane...................................................................................... 102 7.3.5 Lnea de accin o empuje y ngulo de presin........................................ 103 7.3.6 Zona de engrane......................................................................................103 7.3.7 Dimensiones de un engranaje normal.....................................................105 7.3.8 Dimensiones de un engranaje de diente corto.........................................107 7.3.9 Perfil del diente: Cicloidal y evolvente...................................................107 7.3.10 Engrane entre perfiles de evolvente......................................................109 7.3.11 Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente.....................................112 7.3.12 Cremallera de envolvente...................................................................... 112 7.3.13 Engrane de rueda dentada y cremallera................................................. 114 7.3.14 Engranaje cilndrico recto interior......................................................... 114 7.4 FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS............................................. 115 CAPTULO 9 TRENES DE ENGRANAJES.......................................... 117 9.1 INTRODUCCIN.......................................................................................... 117 9.2 TRENES DE NEGRANAJES DE EJES FIJOS............................................. 117 9.3 TRENES DE NEGRANAJES CON ALGN EJE MVIL, (TRENES EPICICLOIDALES).....................................................................................119 ndice iv CAPTULO 15 EQUILIBRADO.............................................................121 15.1 INTRODUCCIN........................................................................................ 121 15.2 EQUILIBRADO TERICO DE EJES......................................................... 121 15.2.1 Equilibrado esttico............................................................................... 122 15.2.2 Equilibrado dinmico............................................................................124 15.3 EQUILIBRADO PRCTICO DE EJES...................................................... 127 15.3.1 Equilibrado esttico prctico.................................................................127 15.3.2 Equilibrado dinmico prctico..............................................................129 CAPTULO 17 DINMICA DE MQUINAS.......................................131 17.1 VOLANTE.................................................................................................... 131 17.2 GIROSCOPIO..............................................................................................134 17.2.1 Efecto giroscpico................................................................................. 135 17.3 REGULADOR DE Watt..............................................................................136 Mecnica II 1 CAPTULO 1 - INTRODUCCIN 1.1 - INTRODUCCIN ElConsejodeUniversidadespropusocomoasignaturatroncalenla carreradeIngenieroTcnicoIndustrialMecnico"MecnicayTeorade Mecanismos",asignaturade12crditosconlosdescriptoressiguientes: Esttica,cinemticaydinmicadelslidorgidoyaplicaciones fundamentales en la ingeniera. Anlisis cinemtico y dinmico de mecanismos y mquinas. En la Universidad Pblica de Navarra se ha divido en dos asignaturas: MecnicaI,quetratalosdescriptoresesttica,cinemticaydinmica delslidorgidoyaplicacionesfundamentaleseningeniera,asignaturade6 crditos que se imparte en primer curso. MecnicaII,quetratalosdescriptoresanlisiscinemticoydinmico de mecanismos y mquinas, asignatura de 6 crditos que se imparte en segundo curso. 1.2 - CIENCIA DE LA MECNICA Mquinasy Mecanismosa Aplicada) Dinmica ( o CinticaCinemticaDinmicaEstticaMecnicaFsica)`)`)` EnMecnicaIIseestudiarnlasrelacionesentrelageometraylos movimientosdelaspiezasdeunamquinaomecanismoylasfuerzasque generantalesmovimientos.Elestudiodemovimientosyfuerzassehar preferente por mtodos grficos para que resulte ms intuitivo. La Mecnica II junto con la Ciencia de Materiales y la Elasticidad y Resistencia de Materiales son la base para el Diseo y Clculo de Mquinas. EnMecnicaIIseestudianlosmovimientosylasfuerzasqueaparecenen determinadospuntosdelaspiezasqueformaelmecanismoolamquina,por Captulo 1 - Introduccin 2 mediodelaElasticidadyResistenciade Materiales, ypartiendodelasfuerzas calculadaspormediodelaMecnicaII,sedeterminanlastensionesquese producenenlosdiferentespuntosdelaspiezasyfinalmentelaCienciade Materialesindicarsielmaterialdecualestconstruidalapiezaescapazde soportar las tensiones calculadas. Del prrafo anterior se deduce la importancia de la Mecnica II para el ingeniero que se dedique al diseo de mecanismos y mquinas. EnMecnicaIIseestudiarntambinunaseriedemecanismoscuyo conocimiento facilitar el diseo de mquinas, ya que stas estn formadas por mecanismos,yporlotanto,cuantosmsseconozcan,setendrms posibilidades de escoger los ms apropiados. 1.3 - SNTESIS Y ANLISIS Elprocesodediseodeunmecanismoomquinasepuededividiren dos partes: Sntesis y anlisis. Enelprocesodesntesis,sediseaunmecanismoomquinaquesea capazderealizareltrabajodeseado,deformaaproximada.Enelprocesode anlisissecalculanposiciones,desplazamientos,velocidades,aceleracionesy fuerzasqueaparecernenlasdiferentespiezasquecomponenelmecanismoo mquinaysecompruebasilosmovimientossonlosprevistos,ysilas dimensionesprefijadassonlasadecuadasparasoportarlosesfuerzosaquese vern sometidas las piezas. Caso de no ser as, se vuelve a redisear y analizar enunprocesoiterativo,hastalograrundiseodemecanismoomquinaque realice los movimientos previstos y est correctamente dimensionado. ElprincipalobjetivodelaMecnicaIIesrealizarelanlisisde mecanismospreviamentesintetizados,noobstantetambinseestudian mecanismos,loquefacilitarlalabordesntesis alconocerunmayornmero de mecanismos. Ejemplo: Disearunmecanismoquerealiceunmovimientorectilneodeuna determinada longitud. Pararealizarestetipodemovimientosepodrautilizaruncilindro hidrulicooneumtico,o unacadenacerradamontadaentredospiones,oun mecanismo de pistn-biela-manivela, etc. Mecnica II 3 Lasntesiscomprenderalaeleccindeunodeestosmecanismos(por ejemplo el mecanismo de pistn-biela-manivela), y su predimensionamiento. Fig. 1.1 - Mecanismo pistn-biela-manivela Unavezpredimensionado,pormediodelanlisissedeterminarn: posiciones, velocidades aceleraciones y fuerzas que aparecern en los diferentes puntosdelmecanismo,secomprobarsilosmovimientosobtenidossonlos deseados y si las piezas estn bien dimensionadas para soportar los esfuerzos a que sern sometidas. 1.4 - TERMINOLOGA, DEFINICIONES E HIPTESIS Mquina,combinacindecuerposresistentesdetalmaneraquepor medio de ellos, las fuerzas mecnicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo acompaado de movimientos determinados. (Ejemplo, motor de explosin). Mecanismo, combinacin de cuerpos resistentes conectados por medio dearticulacionesmvilesparaformarunacadenacinemticacerradaconun eslabnfijoycuyopropsitoestransformarelmovimiento.(Ejemplo, mecanismo pistn-biela-manivela). Existeciertarelacinentreestructurayesttica,mecanismoy cinemtica y mquina y dinmica. Eslabn,unapiezadeunmecanismoomquina.Loseslabones generalmente se consideran rgidos. En los mecanismos, los eslabones se deben conectarentrespara transmitirelmovimientodesde eleslabnimpulsorode entrada hasta el eslabn seguidor o de salida. Captulo 1 - Introduccin 4 Parescinemticos,lasconexionesentreeslabones,querestringensu movimientorelativo,sellamanparescinemticos.Loseslabonestambinse pueden considerar como uniones rgidas entre pares. Enlosmecanismos,loseslabones sesuelenesquematizarparafacilitar suestudio.Elmecanismoequivalentedebetenerlasmismascaractersticas cinemticas y dinmicas que el mecanismo real. Cadenacinemtica,varioseslabonesunidospormediodepares cinemticos. Cadenas cinemticas abiertas y cerradas. Mecanismo, cadena cinemtica cerrada con un eslabn fijo. Paressuperioreseinferiores,enlosparescinemticossuperioresel contacto entre eslabones se produce por lo general en una lnea o un punto (por ejemploelcontactoentreunalevayelseguidor).Enlosparesinferioresel contacto entre eslabones se produce en una superficie. Fig. 1.2 - Pares cinemticos Los pares cinemticos inferiores y los grados de libertad que permiten, tanto en movimiento plano como espacial, figuran en la relacin siguiente: Mecnica II 5 Movimiento planoMovimiento espacial a) Giratorio11 b) Prismtico11 c) Tornillo-1 d) Cilndrico12 e) Esfrico13 f) Plano-3 1.5-MECANISMOSPLANOS,ESFRICOSY ESPACIALES Mecanismosplanossonaquellosenlosquetodoslospuntosdel mecanismorealizantrayectoriascontenidasenplanosparalelosentres.(Por ejemplo el mecanismo de pistn-biela-manivela). Enlosmecanismosesfricostodosloseslabonestienenunpuntoen comndevelocidadnulaylastrayectoriasdetodoslospuntospuedenestar contenidasenesferasconcntricasconcentroenelpuntodevelocidadnula. (Por ejemplo la junta cardan). En los mecanismos espaciales las trayectorias de los diversos puntos del mecanismo pueden tener cualquier direccin en el espacio. Losmecanismosmsutilizadosenlaactualidadsonmecanismos planos,suestudioresultamssencilloporquesepuedenutilizarmtodos grficosalpoderseproyectarenverdaderamagnitudsobreunplanoparaleloa los del movimiento y por ello sern los que se estudiarn en esta asignatura. 1.6 - MOVILIDAD Movilidadeselnmerodediferentesmovimientosquesepueden introducir simultneamente a un mecanismo. Tambin se podra definir como el nmeromnimodecoordenadasnecesarioparadeterminarlaposicindel mecanismo. Captulo 1 - Introduccin 6 En mecanismos planos la movilidad ser: m = 3 (n - 1) - 2 j1 - j2(1.1) Siendo: n = nmero de eslabones del mecanismo, j1 = nmeros de pares quepermitenungradodelibertadyj2=nmerodeparesquepermitendos grados de libertad. En mecanismos espaciales la movilidad ser: m = 6 (n - 1) - 5 j1 - 4 j2 - 3 j3 - 2 j4 - j5(1.2) Siendo: n = nmero de eslabones del mecanismo, j1 = nmeros de pares quepermitenungradodelibertad,j2=nmerodeparesquepermitendos gradosdelibertad, j3=nmerosdeparesquepermitentresgradosdelibertad,j4=nmerodeparesquepermitencuatrogradosdelibertadyj5=nmerode pares que permiten cinco grados de libertad. 1.7 - INVERSIN CINEMTICA Fig. 1.3 - Inversiones cinemticas: a) y b) mecanismos de manivela-oscilador, c) mecanismo de eslabn de arrastre y d) mecanismo de doble oscilador. Mecnica II 7 Inversincinemticaescadaunodelosdiferentesmecanismosquese pueden lograr con una cadena cinemtica al hacer fijo un eslabn diferente de la cadena. 1.8 - LEY DE GRASHOF En un cuadriltero articulado, para que al menos un eslabn pueda girar vueltas completas, se debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabn de mayorlongitudmsladeleslabndemenorlongituddebesermenorquela suma de las longitudes de los eslabones de longitudes intermedias. Esmuyimportantequesecumplalacondicinexpuestaenelprrafo anterior ya que en muchos mecanismos basados en el cuadriltero articulado, el movimiento se introduce por medio de un motor giratorio. 1.9 - VENTAJA MECNICA Ventaja mecnica de un mecanismo es la relacin entre el par de salida y el par de entrada. Enelcuadrilteroarticulado,serlarelacin entreel par en eleslabn seguidor y el par en el eslabn impulsor. Esta ventaja mecnica es proporcional alsenodelngulo formadoporloseslabonesseguidoryacopladore inversamenteproporcionalalsenodelnguloformadoporloseslabones impulsor y acoplador, (figura 1.4). Fig. 1.4 - Ventaja mecnica. Captulo 1 - Introduccin 8 Paralograrquelaventajamecnicasealomayorposible,sedebe procurar que ngulosea lo ms prximo a 90. Cuando el ngulo es 0 180, la ventaja mecnica se hace infinito. Aestasposicionesdelmecanismoselesllamaposicionesdevolqueteyse corresponden con los lmites de la oscilacin del eslabn seguidor. Estasposicionestienenunaseriedeventajascomo:Granprecisinde posicin del eslabn seguidor, velocidad angular nula del seguidor y par nulo en el eslabn impulsor. 1.10 - CURVAS DEL ACOPLADOR Curvasdelacopladorsonlasdiferentestrayectoriasquedescribenlos puntos del plano considerndolos solidarios al eslabn acoplador. Estascurvaspuedenvariardesdeunacircunferenciaquedescribeel punto del acoplador unido al extremo de la manivela, hasta un arco que describe el punto unido al extremo del seguidor, pasando por curvas parecidas a elipses. Fig. 1.5 - Curvas del acoplador. Mecnica II 9 1.11 - MECANISMOS DE LNEA RECTA Mecanismosdelnearectasonaquellosenlosquealgnpuntodel mecanismodescribeunapartedesutrayectoriaqueseaproximaaunalnea recta. En la mayora de los casos la trayectoria es una curva del acoplador, como sucede en los mecanismos de Watt, Roberts y Chebychev, (figura 1.6). Fig. 1.6 - Mecanismos de lnea recta: a) Watt, b) Roberts, c) Chebychev y d) Peaucillier. 1.12 - MECANISMOS DE RETORNO RPIDO Mecanismosderetornorpidosonaquellosenlosqueeltiempo invertidoenlacarreradeidaesdiferentealinvertidoenlacarreradevuelta, (figuras 1.7 y 1.8). La diferencia de tiempos entre la carrera de ida y la de retorno es debido aque,suponiendolavelocidadangulardeleslabndeentradaconstante,el eslabn de entrada debe recorrer un ngulo mayor durante la carrera de ida que durante la de retorno. Los tiempos invertidos en las carreras de ida y de retorno Captulo 1 - Introduccin 10sernproporcionalesalosngulosgiradosporeleslabndeentradadurante esas carreras. La relacin de tiempos ser: Q = (1.3) Fig. 1.7 - Mecanismo excntrico de pistn-biela-manivela. Fig. 1.8 - Mecanismo de retorno rpido de Whitworth. Mecnica II 11 CAPTULO 2 - POSICIN Y DESPLAZAMIENTO 2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS Parapoderdefinirlasposicionesdelosdiferentespuntosdeun mecanismo es necesario utilizar algn sistema de coordenadas. Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilndricas y esfricas, en esta asignatura se emplearn las coordenadas cartesianas. 2.2 - POSICIN DE UN PUNTO Laposicindeunpuntosedeterminarpormediodelvectorqueva desde el origen de coordenadas hasta el punto, (figura 2.1). Fig. 2.1 - Posicin de un punto. k j i Rr r r rzPOyPOxPO POR R R + + = (2.1) Captulo 2 Posicin y desplazamiento 12El mdulo del vector ser: 2zPO2yPO2xPO POR R R + + = Rr(2.2) Y los cosenos directores de los ngulos que forma el vector con los ejes de coordenadas sern: POxPORcosRr = POyPORcosRr = POzPORcosRr = (2.3) 2.3-DIFERENCIADEPOSICINENTREDOS PUNTOS La diferencia de posicin entre dos puntos "P" y "Q" es el vector que va del punto "Q" al punto "P", (figura 2.2). Fig. 2.2 - Diferencia de posicin entre dos puntos. QO PO PQR R Rr r r = (2.4) Mecnica II 13 2.4-POSICINABSOLUTAYPOSICINAPARENTE DE UN PUNTO La posicin absoluta de un punto es su posicin respecto de los ejes de coordenadas que se toman como absolutos y la posicin aparente es su posicin respecto de otros ejes de coordenadas que no son los absolutos, (figura 2.3). Fig. 2.3 - Posicin absoluta y posicin aparente de un punto. 2PO1O2O1POR R Rr r r+ = (2.5) Donde: 1PORr es la posicin absoluta. 2PORr es la posicin aparente. 2.6 - ECUACIN DE CIERRE DEL CIRCUITO Como unmecanismo es una cadena cinemtica cerrada, la suma de los vectoresdeposicindeunextremodeloseslabones respectodelotroextremo ser nula, (figura 2.4). Captulo 2 Posicin y desplazamiento 14 Fig. 2.4 - Ecuacin de cierre del circuito. 0AD DC CB BA= + + + R R R Rr r r r(2.6) 2.11-DESPLAZAMIENTODEUNPUNTOEN MOVIMIENTO El desplazamiento de un punto "P" (PR ) es el vector que va desde su posicin inicial hasta su posicin final, (figura 2.5). Fig. 2.5 - Desplazamiento de un punto. P'P PR R R r r r = (2.7) Mecnica II 15 2.12-DIFERENCIADEDESPLAZAMIENTOENTRE DOS PUNTOS Ladiferenciadedesplazamientosentredospuntos"P"y"Q" pertenecientesaunslidorgido(PQR )eseldesplazamientodelpunto"P" menos el desplazamiento del punto "Q", (figura 2.6). Q P PQR R R r r r = (2.8) Fig. 2.6 - Diferencia de desplazamiento entre dos puntos. Ladiferenciadedesplazamientoentredospuntospertenecientesaun slido rgido se puede expresar tambin como: PQ'PQ PQR R R r r r = (2.9) En la figura 2.6 se aprecia que la diferencia de desplazamiento entre los dospuntossedebeaunarotacinquerealizaelslidorgidoalrededordeun eje que pasa por el punto "Q*". DelafiguratambinsedesprendeelteoremadeEuler:"Cualquier movimientodeunslidorgidosepuedesustituirporunatraslacin(QR r) ms un giro alrededor de un eje apropiado". Captulo 2 Posicin y desplazamiento 162.13 - ROTACIN Y TRASLACIN Unslidorgidosufreunatraslacincuandoeldesplazamientodedos cualesquiera de sus puntos es el mismo, (figura 2.7 a). Unslidorgidosufreunarotacincuandoeldesplazamientodedos cualesquiera de sus puntos es diferente, (figura 2.7 b). a b Fig. 2.7 - a) Traslacin, b) Rotacin. 2.14-DESPLAZAMIENTOAPARENTEY DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO Fig. 2.8 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto. Mecnica II 17 Eldesplazamientoabsolutoesdesplazamientodeun puntovistodesde elsistemadecoordenadasabsolutasyeldesplazamientoaparenteesel desplazamiento del mismo punto visto desde un sistema de coordenadas que no son las absolutas, (figura 2.8). Larelacinentreeldesplazamientoabsolutoyeldesplazamiento aparente ser la siguiente: 2 / P P P3 2 3R R R r r r+ = (2.10) Siendo: 3PR r = Desplazamiento absoluto del punto "P3". 2 / P3R r = Desplazamiento aparente del punto "P3". 2PR v = Desplazamiento absoluto del punto "P2", punto coincidente con el punto "P3". Captulo 2 Posicin y desplazamiento 18Mecnica II 19 CAPTULO 3 - VELOCIDAD 3.1 - DEFINICIN DE VELOCIDAD El la figura 3.1 se aprecia un punto P cuya posicin viene definida por elvectorPRr.Alcabodeundeterminadoespaciodetiempo t elpunto P pasa a ocupar la posicin P cuya posicin vendr definida por el vector 'PRr. El punto P ha sufrido un desplazamiento PR r que vendr definido por: P'P PR R R r r r = (3.1) La velocidad media durante el desplazamiento citado ser: mVr= tPR r(3.2) Y la velocidad instantnea del punto P ser: PVr= t 0 tlimP R r = dtdPRr(3.3) Fig. 3.1 - Desplazamiento de un punto. Captulo 3 Velocidad 203.1.1 - Derivacin de vectores en coordenadas cartesianas SisetieneporejemploelvectordeposicindeunpuntoPRr expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas: k j i Rr r r rZPYPXP PR R R + + = (3.4) La derivada respecto del tiempo de ese vector ser el vector velocidad: dtdPPRVrr= (3.5) LacomponenteXdelvectorvelocidadserladerivadadela componente X del vector de posicin, la componente Y de la velocidad ser laderivadade la componenteYdelvectordeposicinylacomponenteZ de la velocidad ser la derivada de la componente Z del vector de posicin: k j i k j i Vr r r r v r rdtdRdtdRdtdRV V VZPYPXP ZPYPXP P+ + = + + = (3.6) 3.2 - DEFINICIN DE VELOCIDAD ANGULAR En la figura 3.2 se tiene un slido rgido, con movimiento plano, en una determinadaorientacinindicadaporelngulo ,alcabodeuninstantede tiempo t el slido ha realizado una rotacin . Fig. 3.2 - Desplazamiento angular de un slido rgido. Mecnica II 21 Durante la rotacin se puede definir una velocidad angular media como: tm = r(3.7) Y una velocidad angular instantnea como: dtdt 0 tlim= = r(3.8) Enestecaso,porconvenio,elvectorvelocidadangular rser perpendicularalplanodelmovimiento,yaplicandolaregladelsacacorchos, sernegativosigiraenelsentidodelasagujasdelrelojypositivoensentido contrario. 3.2.1 - Rotacin alrededor de un punto fijo En un slido rgido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuacin (3.9). p pR Vrrr = (3.9) Fig. 3.3 - Rotacin de un slido rgido alrededor de un punto. Enunslidorgidoconmovimientoplanocomoelrepresentadoenla figura 3.3, como los vectores r y pRr son perpendiculares, resultar que el mdulo de la velocidad del punto P ser: p p R Vrrr= (3.10) Captulo 3 Velocidad 22La direccin de pVr ser perpendicular a r, por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a PRr. ElsentidodepVrsercoherenteconelsentidodertalcomose observa en la figura 3.4. Fig. 3.4 - Velocidad de un punto de un slido rgido girando alrededor de un punto fijo. 3.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABN Enelapartado(2-12)seexpusoqueunmovimientocualquieradeun eslabnsepuededescomponerseenunatraslacinmsungiro,yquela diferenciadedesplazamientosentredospuntosdeleslabnsedeba precisamente al giro del eslabn. Por tanto, la relacin entre las velocidades de dos puntos ser: PQ Q PV V Vr r r+ = (3.11) La velocidad "PQVv" es debida al giro y su valor ser: PQ PQR Vrrr = (3.12) 3.3.1 - Movimiento plano cualquiera Enunslidorgidoconmovimientoplanocualquiera,comolos vectores ryPQRrsonperpendiculares,resultarqueelmdulodela velocidad del punto P respecto del punto Q ser: Mecnica II 23 PQ PQ R Vrrr= (3.13) La direccin de PQVr ser perpendicular a r por tanto contenida en elplanodelmovimiento,yperpendicularaPQRr.ElsentidodePQVrser coherenteconelsentidoderaligualqueenelmovimientoderotacin alrededor de un eje fijo. 3.4ANLISISGRFICODELAVELOCIDAD. POLGONO DE VELOCIDADES Elmtodogrficodeanlisisdevelocidadesseutilizaenmovimiento planoyconsisteenrepresentarlasecuacionesvectorialesquerelacionanlas velocidadesdelosdiferentespuntosdeunmecanismodeformagrfica.Es sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la direccin y sentido que realmente tienen. Fig. 3.5 Anlisis grfico de velocidad. Polgono de velocidades. Unejemplode anlisisgrficodevelocidades de un eslabn triangular puedeapreciarseenlafigura3.5.Suponiendoconocidalavelocidaddelpunto Captulo 3 Velocidad 24A y la direccin de la velocidad del punto B (a), como la velocidad BAVr debe ser perpendicular al vector de posicin BARr (c), inmediatamente quedan determinadas las velocidades BVr y BAVr (b y d). De la velocidad BAVr se puede obtener la velocidad angular del eslabn: BABARV rrr= (3.14) A partir de las velocidades de los puntos A y B se puede determinar la velocidad del punto C (f) como: CB B CA A CV V V V Vr r r r r+ = + = (3.15) LavelocidadCAVresperpendicularaCARrylavelocidadCBVr esperpendicularaCBRr(e),enelpuntodecortedeambasseencontrarel punto C. Elpolgonodevelocidadeseslarepresentacingrficadelas ecuacionesvectorialesquerelacionanlasvelocidadesdelosdiferentespuntos del eslabn (b, d, e yg). Este polgono se dibuja a escala aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el 0 de velocidades. El vector que va desde el 0 de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el vectorquevadesdeunpuntoAhastaunpuntoBrepresentalavelocidad aparente de B respecto de A. En el polgono de velocidades se forma una figura semejante al eslabn. Porejemploenlafigura3.5(g)seformauntringulocuyosladosson perpendicularesalosladosdeltringulodeleslabn,porlotantolosdos tringulossonsemejantes.Larelacindesemejanzadependedeescaladel polgono de velocidades y del valor de la velocidad angular. 3.5VELOCIDADAPARENTEDEUNPUNTOENUN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO En el Captulo 2 se vio el desplazamiento absoluto y el desplazamiento aparente de un punto en un sistema de coordenadas en movimiento (Figura 3.6). La ecuacin que relaciona estos desplazamientos es: Mecnica II 25 2 / P P P3 2 3R R R r r r+ = (3.16) Fig. 3.6 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto. Dividiendolaecuacin(3.16)por t ytomandolmitescuando,se obtiene: t 0 tlimt 0 tlimt 0 tlim2 / P P P3 2 3 + = R R R r r r(3.17) Los trminos de la ecuacin 3.17 representan: 2 / P P P3 2 3V V Vr r r+ = (3.18) Lavelocidad2 / P3VrrepresentalavelocidadaparentedelpuntoP3 enlosejesdecoordenadasenmovimientoycuando0 t ,comoelvector 2 / P3R r tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es tangente a la trayectoria. Teniendo en cuenta los trminos de la ecuacin 3.18, se puede decir que estaecuacinrelacionalasvelocidadesdepuntoscoincidentesdediferentes eslabones. Captulo 3 Velocidad 263.6 VELOCIDAD ANGULAR APARENTE Lavelocidadangularaparentedeuneslabnrespectodeotroesla velocidad angular con la que ve girar al primer eslabn un observador fijo en el segundo eslabn. Esta velocidad angular aparente se representa como: 2 3 2 / 3 r r r = (3.19) 3.7CONTACTODIRECTOYCONTACTOPOR RODADURA 3.7.1 Contacto directo con deslizamiento Enunatransmisindemovimientoporcontactodirectocon deslizamiento(Figura3.7),lasvelocidadesdelospuntosencontactode diferenteseslabonessonperpendicularesasusrespectivosradiosdesdelos puntos de giro de los eslabones. Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones enelpuntodecontactoysedescomponenlasvelocidadesdelospuntosen contactoenunacomponentenormalyotratangencial,sedebecumplirque las componentesnormalesdelasvelocidadesdelospuntosencontactodebenser iguales.Sinofueseas, loseslabonessesepararanoseincrustaranunoenel otro. Fig. 3.7 Contacto directo con deslizamiento. Mecnica II 27 Alserlascomponentesnormalesdelasvelocidadesdelospuntosen contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro debe tener la direccin de la tangente comn en el punto de contacto. 3.7.2 Contacto directo con rodadura Enunatransmisindemovimientoporcontactodirectoconrodadura (Figura3.8),lasvelocidadesdelospuntosencontactodediferenteseslabones soniguales,oloqueeslomismo,lavelocidadaparenteentrelospuntosen contacto es cero. Fig. 3.8 Contacto directo con rodadura. 3.10 CENTRO INSTANTNEO DE VELOCIDADES ( DE ROTACIN) Unconceptomuyinteresantedelacinemticaesquecualquier movimiento diferencial de un slido rgido equivale a un giro alrededor del eje instantneoderotacinydeslizamientoydeunatraslacinenladireccinde dicho eje. Siseconsideraunmovimientoplano,comonosepuedeproduciruna traslacin en la direccin del eje, resultar que cualquier movimiento diferencial equivaleaungiroalrededordelejeinstantneoderotacin.Esteejees perpendicularalplanodelmovimientoynormalmenteseconsiderasu proyeccin,queesunpuntollamadocentroinstantneoderotacinode velocidades. Captulo 3 Velocidad 28Los centros instantneos de rotacin pueden ser: Absolutos, si son de un eslabncualquierarespectodeleslabnfijoyrelativossisonentredos eslabones mviles. Unadefinicingeneraldelcentroinstantneoderotacinesla ubicacindedospuntoscoincidentesdedistintoseslabonescuyavelocidad absoluta es la misma. Deladefinicinanteriorsedesprendequeloscentrosinstantneos absolutos tendrn velocidad cero. Parademostrarlaexistenciadelcentroinstantneoderotacin,por ejemplo si se tiene el eslabn de la figura 3.9 del que se conoce la velocidad del punto A y su velocidad angular, la ubicacin de dicho centro se encontrar en laperpendicularalavelocidaddelpuntoAtrazadapordichopuntoyla distancia desde A ser: VR rrrAPA= (3.20) Fig. 3.9 Localizacin del centro instantneo de rotacin. La velocidad del punto P ser: 0A A PA A PA A P= = + = + = V V R V V V Vr r rrr r r r(3.21) Queda demostrado que la velocidad del punto P es cero, por lo tanto es el centro instantneo de rotacin del eslabn respecto de la base. En la figura 3.10 se representan diferentes formas de localizar el centro instantneo de rotacin de un eslabn respecto de la base: En (a) se determina la distanciahastaelC.I.R.conociendolavelocidaddeunpuntoylavelocidad Mecnica II 29 angulardeleslabn.En(b)sedeterminaelC.I.R.porelpuntodecortedelas perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En (c) los dos puntos estn sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son paralelas,enestecasoelC.I.R.selocalizaenelpuntodecortedela perpendicularcomnalasdosvelocidadesporlospuntosylarectaquepasa por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabn un movimiento de traslacin el C.I.R.seencontrarenelinfinitoenunadireccinperpendicularal movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrar en el centro de curvatura de la trayectoria curva que describe el eslabn. Fig. 3.10 Mtodos de localizacin del centro instantneo de rotacin de un eslabn. 3.11 TEOREMA DE LOS TRES CENTROS Sisetomantreseslabonescualesquieradeunmecanismo,lostres centros relativos entre ellos se encuentran en una lnea recta. Enlafigura3.11,porejemplolavelocidadelpuntoP23centro instantneo de rotacin relativo entre los eslabones 2 y 3 ser la misma para esepuntopertenecientealeslabn2ypertenecientealeslabn3,porlo tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabn fijo P31 y P21sedebenencontrarenlamismaperpendicularalavelocidaddelpunto P23trazadapordichopunto,resultandodeestemodoquelostrescentros relativosaloseslabones1,2y3seencuentranenunalnearecta.El mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantneo P34. Captulo 3 Velocidad 30 Fig. 3.11 Teorema de los tres centros. 3.12LOCALIZACINDECENTROS INSTANTNEOS DE ROTACIN Enprincipioselocalizanloscentrosinstantneosquesonevidentes comolosparesgiratorios,puntosderodadurayparesprismticos.Apartirde los centroslocalizadosa simplevista,aplicandoel teoremadelos trescentros, se localizan los restantes. 3.13 ANLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTNEOS Pararealizarelanlisisdevelocidadessedebenlocalizartodoslos centrosinstantneosderotacinabsolutos,esdecirtodosloscentros instantneos respecto del eslabn fijo. Una vez conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto deuneslabnserlavelocidadangulardeleslabnporladistanciadesdeel puntohastaelcentroinstantneo.Ladireccindelavelocidadser perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantneo y el sentido coherenteconlavelocidadangular.Siseconocelavelocidaddeunpunto,la velocidadangulardeleslabnserlavelocidaddelpuntodivididoporla distanciadedichopuntoalcentroinstantneoabsolutodeleslabnalque pertenece el punto. Mecnica II 31 3.14TEOREMADELARAZNDEVELOCIDADES ANGULARES Enelcuadrilteroarticuladodelafigura3.12lavelocidaddelcentro instantneoderotacinP24eslamismaparaesepuntopertenecienteal eslabn 2 y perteneciente al eslabn 4, por tanto se cumplir: 41 24 21 24P P 4 P P 2 R R = (3.22) Delaecuacin3.22seobtienequerelacindevelocidadesangulares entreeleslabndesalida yeleslabndeentrada en uncuadrilteroarticulado ser: 41 2421 24P PP P24RR= (3.23) Fig. 3.12 Relacin de velocidades angulares. 3.16 VENTAJA MECNICA Laventajamecnicadeunmecanismoeslarelacinentreelparde salida y el par de entrada. Enelcuadrilteroarticuladodelafigura 3.13 ser la relacin entre los pares T4 y T2. Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de salida, por tanto se cumplir: 4 4 2 2 T T = (3.24) Captulo 3 Velocidad 32 Fig. 3.13 Ventaja mecnica. La ventaja mecnica ser: VM = 4224TT= (3.25) Teniendoencuentalarelacindevelocidadesangularesdeentraday salida en un cuadriltero articulado, ecuacin 3.23, se tendr: VM = == = = =sensen ksensenABDC' AB' DCPAPDP PP P4221 2441 24RRRRRRRR(3.26) Delaecuacin3.26sedesprendequelaventajamecnicaenun cuadrilteroarticuladoesproporcionalalsenodelnguloformadoporlos eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ngulo formadoporloseslabonesdeentradayacoplador,talcomosehabaexpuesto en el apartado 1.9. Mecnica II 33 CAPTULO 4 - ACELERACIN 4.1 - DEFINICIN DE ACELERACIN El la figura 4.1 se aprecia un punto P cuya velocidad viene expresada porelvectorPVr.Alcabodeundeterminadoespaciodetiempo t el punto P pasa a ocupar la posicin P cuya velocidad vendr expresada por elvector'PVr.LavelocidaddelpuntoPhasufridounavariacinPV r que vendr definida por: P'P PV V V r r r = (4.1) La aceleracin media durante el desplazamiento citado ser: mAr= tPV r(4.2) Y la aceleracin instantnea del punto P ser: PAr= t 0 tlimP V r = 2P2Pdtddtd R Vr r= (4.3) Fig. 4.1 Variacin de la velocidad de un punto. Captulo 4 Aceleracin 344.1.1 Clculo de la aceleracin por derivacin Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto PVr expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas: k j i Vr r r rZPYPXP PV V V + + = (4.4) La derivada respecto del tiempo de ese vector ser el vector aceleracin: dtdPPVArr= (4.5) LacomponenteXdelvectoraceleracinserladerivadadela componente X del vector velocidad, la componente Y de la aceleracin ser la derivada de la componente Y del vector velocidad y la componente Z de la aceleracin ser la derivada de la componente Z del vector velocidad: k j i k j i Ar r r r v r rdtdVdtdVdtdVA A AZPYPXP ZPYPXP P+ + = + + = (4.6) YcomolavelocidaddelpuntoPesladerivadadelvectorde posicin,resultarquelaaceleracinesladerivadasegundadelvectorde posicin: k j i Ar r r r2ZP22YP22XP2PdtR ddtR ddtR d+ + = (4.7) 4.2 - DEFINICIN DE ACELERACIN ANGULAR En la figura 4.2 se tiene un slido rgido, con movimiento plano, en una determinadaorientacinindicadaporelngulo suvelocidadangulares r, al cabo de un instante de tiempo t el slido ha realizado una rotacin y su nueva velocidad angular es ' r. La variacin de velocidad angular ser: v v v = ' (4.8) Durantelarotacinsepuededefinirunaaceleracinangularmedia como: Mecnica II 35 tm=rr(4.9) Y una aceleracin angular instantnea como: 22dtddtdt 0 tlim= = = r rr(4.10) Fig. 4.2 Variacin de la velocidad angular. Como el vector velocidad angular r, por convenio, es perpendicular al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleracin angular r tambinsernperpendicularesadichoplano,yaplicandolaregladel sacacorchos,sernegativasiaceleraenelsentidodelasagujasdelrelojy positiva en sentido contrario. 4.2.1 - Rotacin alrededor de un punto fijo Enunslidorgidoquegirealrededordeunejefijolaaceleracinde uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuacin (4.11). tPnP p p p p p) ( A A R V R R Ar r rvvrrvrr rr+ = + = + = (4.11) El primer trmino recibe el nombre de aceleracin normal y el segundo aceleracin tangencial. Enunslidorgidoconmovimientoplanocomoelrepresentadoenla figura 4.3, como los vectores r y pVv son perpendiculares, resultar que el mdulo de la aceleracin normal del punto P ser: Captulo 4 Aceleracin 36p2nP R Arrr= (4.12) Fig. 4.3 - Rotacin de un slido rgido alrededor de un punto. Su direccin ser perpendicular a r y pVv, por tanto contenida en elplanodelmovimientoynormalalatrayectoria(deahsunombrede aceleracin normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de r, figura 4.4, resulta siempre del punto P hacia O. Fig. 4.4 Aceleracin normal de un punto. ComolosvectoresrypRrsonperpendiculares,resultarqueel mdulo de la aceleracin tangencial del punto P ser: ptP R Arrr= (4.13) La direccin de tPAr ser perpendicular a r, por tanto contenida en elplanodelmovimiento,yperpendicularaPRr,portantotangenteala Mecnica II 37 trayectoriadelpuntoP(deahsunombredeaceleracintangencial).Yel sentido de tPAr ser coherente con el sentido de r tal como se observa en la figura 4.5. Fig. 4.5 Aceleracin tangencial de un punto. 4.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABN Enelapartado(2-12)seexpusoqueunmovimientocualquieradeun eslabnsepuededescomponerseenunatraslacinmsungiro,yquela diferenciadedesplazamientosentredospuntosdeleslabnsedeba precisamente al giro del eslabn. Por tanto, la relacin entre las aceleraciones de dos puntos ser: tPQnPQ Q PQ Q PA A A A A Ar r r r r r+ + = + = (4.14) Laaceleracin"PQAr"esdebidaalgiroysedescomponeendos trminos: Aceleracin normal PQ PQnPQ) ( V R Arrrr rr = = (4.15) Y aceleracin tangencial PQtPQR Arrr = (4.16) Captulo 4 Aceleracin 384.3.1 - Movimiento plano cualquiera Enunslidorgidoconmovimientoplanocomoelrepresentadoenla figura 4.3, como los vectores r y PQVv son perpendiculares, resultar que el mdulo de la aceleracin normal del punto P respecto del punto Q ser: PQ2nPQ R Arrr= (4.17) Su direccin ser la del vector PQRr y su sentido del punto P hacia el punto Q. ComolosvectoresrypRrsonperpendiculares,resultarqueel mdulo de la aceleracin tangencial del punto P respecto del punto Q ser: PQtPQ R Arrr= (4.18) LadireccindetPQArserperpendicularar,portantocontenida enelplanodelmovimiento,yperpendicularaPQRr.ElsentidodetPQAr ser coherente con el sentido de r tal como se observa en la figura 4.5. 4.4ANLISISGRFICODELAACELERACIN. POLGONO DE ACELERACIONES El mtodo grfico de anlisis de aceleraciones se utiliza en movimiento planoyconsisteenrepresentarlasecuacionesvectorialesquerelacionanlas aceleracionesdelosdiferentespuntosdeunmecanismodeformagrfica.Es sencilloeintuitivoyaquelasaceleracionesquedanrepresentadasenla direccin y sentido que realmente tienen. Un ejemplo de anlisis grfico de aceleraciones de un eslabn triangular puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleracin del punto Aylavelocidadylaaceleracinangularesdeleslabn,sedeterminala aceleracin del punto B (d) como: tBAnBA A BA A BA A A A A Ar r r r r r+ + = + = (4.19) Mecnica II 39 La aceleracin nBAAr tiene la direccin y el sentido de B hacia A ylaaceleracintBAAresperpendicularalarectadeunindelospuntosy coherente con la aceleracin angular (c). Fig. 4.6 Anlisis grfico de aceleraciones. Polgono de aceleraciones. ApartirdelasaceleracionesdelospuntosAyBsepuede determinar la aceleracin del punto C (f) como: tCBnCB BtCAnCA A CA A A A A A Ar r r r r r r+ + = + + = (4.20) SetrazanlasaceleracionesnormalesnCAArynCBArconsumdulo direccin y sentido y las direcciones de las tangenciales tCAAr y tCBAr. En el punto de corte de las tangenciales se encontrar el punto C. Elpolgonodeaceleracioneseslarepresentacingrficadelas ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos deleslabn(d,fyg).Estepolgonosedibujaaescala,apartedeldibujodel mecanismo a partir de un punto que es el 0 de aceleraciones. El vector que va desde el 0 de aceleraciones hasta un punto representa su aceleracin absoluta, elvectorquevadesdeunpuntoAhastaunpuntoBrepresentala aceleracin aparente de B respecto de A. Captulo 4 Aceleracin 40Enelpolgonodeaceleracionesseformaunafigurasemejanteal eslabn.Porejemploenlafigura4.6(g)seformauntringulocuyoslados representanlasaceleracionesBAAr,CAAryCBAr.Losmdulosdeestas aceleraciones son: BAAr=2 4BA2BA2 2BA42tBA2nBAR R R + = + = + A Ar r(4.21) CAAr=2 4CA2CA2 2CA42tCA2nCAR R R + = + = + A Ar r(4.22) CBAr=2 4CB2CB2 2CB42tCB2nCBR R R + = + = + A Ar r(4.23) Comoseapreciaenlasecuaciones4.21,4.22y4.23losladosdel tringulodelpolgonodeaceleracionessonproporcionalesalosladosdel tringulo del eslabn, por tanto, son tringulos semejantes. 4.5ACELERACINAPARENTEDEUNPUNTOEN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO Enlafigura4.7setieneunsistemadecoordenadasfijoX1eY1y un sistema de coordenadas mvil X2 e Y2. Sobre el sistema de coordenadas mvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto P3. El punto P2 es un punto fijo en los ejes mviles cuya posicin coincide con la posicin inicial del punto P3. Fig. 4.7 Aceleracin aparente de un punto. Mecnica II 41 Laecuacinquerelacionalasaceleracionesdeestosdospuntosesla siguiente: cP / PtP / PnP / P P P2 3 2 3 2 3 2 3A A A A Av v v v v+ + + = (4.24) Estaecuacin tambinsepuededecirquees laecuacinquerelaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones. LasumadelasaceleracionestP / PnP / P2 3 2 3A Av v+ sesuelellamar aceleracinrelativayeslaaceleracindelpuntoP3quepercibiraun observador fijo en los ejes mviles. LaaceleracinnormaldeP3respectodeP2(nP / P2 3Av)sedebeal cambiodedireccindelavelocidadrelativadelpuntoP3acausadela curvatura de la ranura y su valor ser: =2P / PnP / P2 32 3VArv(4.25) Siendo2 3P / PVrlavelocidaddel puntoP3respectodelpunto P2o velocidadrelativadelpuntoP3enlosejesmviles,y elradiode curvatura de la ranura en el punto P2. LadireccinysentidodeestaaceleracinnormalesdelpuntoP2 hacia el centro de curvatura de la ranura. La aceleracin tangencial de P3 respecto de P2 (tP / P2 3Av) se debe al cambiodemdulodelavelocidad relativadelpuntoP3.Deestaaceleracin solo se conoce que su direccin es tangente a la ranura. La aceleracin de Coriolis de P3 respecto de P2 (cP / P2 3Av) se debe al girodelosejesmvilesyalavelocidadrelativadelpuntoP3.Sumdulo direccin y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente: 2 3 2 3P / P 2cP / P 2 V Avrr = (4.26) Captulo 4 Aceleracin 424.6 ACELERACIN ANGULAR APARENTE Laaceleracinangularaparentedeuneslabnrespectodeotroesla aceleracinangularconlaqueveacelerarsealprimereslabnunobservador fijoenelsegundoeslabn.Estaaceleracinangularaparenteserepresenta como: 2 3 2 / 3 r r r = (4.27) 4.7CONTACTODIRECTOYCONTACTOPOR RODADURA 4.7.1 Contacto directo con deslizamiento Fig. 4.9 Contacto directo con deslizamiento. Mecnica II 43 Enunmecanismocomoelrepresentadoenlafigura4.9(a),formado por tres eslabones, el punto de contacto C se debe producir deslizamiento ya quelavelocidaddeestepuntoesdiferentesiseconsiderapertenecienteal eslabn 2 o al eslabn 3, figura 4.9 (c). Laecuacinquerelacionalasaceleracionesdepuntoscoincidentesde diferenteseslabones,tericamentesepodraplantearenelpuntoC,pero resultaquelatrayectoriaquedescribeelpuntoC2enunosejesde coordenadas solidarios al eslabn 3 y la trayectoria que describe el punto C3 enunosejesdecoordenadassolidariosaleslabn2no son conocidas.Alno conocerseestastrayectorias,nosepuedecalcularlaaceleracinnormaldeun punto respecto del otro y no se puede resolver el anlisis de aceleraciones. En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabn 3, figura 4.9 (b), se observa que el punto B2 describe una trayectoria recta sobre el eslabn 3. Por tanto la ecuacin que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones se debe plantear en el punto B y ser la siguiente: cB / BtB / BnB / B B B3 2 3 2 3 2 3 2A A A A Av v v v v+ + + = (4-31) Sedebetenerencuentaquenosedebeplantearlaaceleracin desconocida en funcin de la conocida, sino que se debe plantear la aceleracin delpuntocuyatrayectoriaseconoceenfuncindelpuntocorrespondienteal eslabnenelquesedesarrollalatrayectoria.Enestecasolatrayectoriaque describeelpuntoB3enunosejessolidariosaleslabn2tambinsera desconocida. Enlaecuacin4.31laaceleracinnormaldelpuntoB2respectodel puntoB3sernula.LaaceleracintangencialdelpuntoB2respectodel punto B3 tendr la direccin de la trayectoria. Y la aceleracin de Coriolis se determinar por medio del producto vectorial. Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos delmecanismoestnrepresentadasenelpolgonodeaceleraciones,figura4.9 (d). 4.7.2 Rodadura sobre un eslabn fijo En una rodadura sobre un eslabn fijo come el representado en la figura 4.8, la aceleracin del punto C es horizontal y su valor ser: R Arrr =C(4.28) Captulo 4 Aceleracin 44La aceleracin del punto P3 ser: tC PnC P C P3 3 3A A A Ar r r r+ + = (4.29) Fig. 4.8 Rodadura sobre un eslabn fijo. La aceleracin nC P3Ar tiene la direccin de P hacia C por tanto es perpendicular a la superficie de rodadura. LaaceleracintC P3Artieneelmismomduloquelaaceleracindel punto C y sentido contrario. Teniendo en cuenta que la aceleracin del punto P2 es cero, de los dos prrafosanterioressededucequelaaceleracindelpuntoP3respectodel punto P2 es perpendicular a la superficie de rodadura. A la misma conclusin se llegara planteando la ecuacin que relaciona las aceleraciones de los puntos en contacto: cP / PtP / PnP / P P P2 3 2 3 2 3 2 3A A A A Av v v v v+ + + = (4.30) Enestaecuacin,laaceleracindelpuntoP2escero,las aceleracionesnormalydeCoriolisdelpuntoP3respectodelpuntoP2son nulas debido a que es nula la velocidad del punto P3 respecto del punto P2.ElnicotrminononuloeslaaceleracintangencialdelpuntoP3 respectodelpuntoP2.Ladireccindeestaaceleracinestangenteala trayectoriaquedescribeelpuntoP3queesunacicloide.Latangenteala cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por tantoquedaprobadaladireccindelaaceleracindelpuntoP3respectodel punto P2. Mecnica II 45 LaaceleracintangencialdelpuntoP3respectodelpuntoP2,al tenerladireccindelradiodelarueda,sesueledenominaraceleracinradial del punto P3 respecto del punto P2. 4.7.3 Contacto directo con rodadura Enunmecanismocomoelrepresentadoenlafigura4.10(a),formado por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento. Fig. 4.10 Contacto directo con rodadura. En este caso las velocidades de los puntos C3 y C4 sern iguales. La aceleracinrelativaentreestosdospuntossesabequeesperpendicularala tangenteenelpuntodecontacto,peronosesabesuvalor,porloquenose podr plantear la ecuacin que relaciona las aceleraciones en el punto C. Captulo 4 Aceleracin 46Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente el eslabn 3. El punto B2 describe una trayectoria recta sobre el eslabn 3 por lo que se puede plantear la ecuacin de relacin de aceleraciones en el punto B, ecuacin que ser: cB / BtB / BnB / B B B3 2 3 2 3 2 3 2A A A A Av v v v v+ + + = (4.32) La aceleracin normal ser nula, la tangencial tendr la direccin de la trayectoria y la de Coriolis vendr dada por el producto vectorial. Enlafigura4.10(c)quedarepresentadoelpolgonodeaceleraciones del mecanismo. Cabedestacarquetantoenelcontactocondeslizamientocomocon rodadura,parapoderrealizarelanlisisdeaceleraciones,elcontactosedebe producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fcil determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos ejes de coordenadas solidarios al otro eslabn. Mecnica II 47 CAPTULO 12 FUERZAS ESTTICAS Enloscaptulosprecedentessehaestudiadoelmovimientodelos mecanismossintenerencuentalasfuerzasquelosproducennilasfuerzas originadas debidas al movimiento. A partir de este punto se estudiar las fuerzas necesarias para producir un determinado movimiento, as como las fuerzas que se originan debidas al movimiento de los mecanismos. Fuerzas estticas son todas las fuerzas que acten sobre un cuerpo y que no se deban al trmino de masa por aceleracin. Fuerzasdinmicassonlasfuerzasdebidasaltrminodemasapor aceleracin. Sepuedendarsolamentefuerzasestticasenmecanismosen movimiento si se desprecia su masa. Enestecaptuloseestudiarnmecanismosplanos,porlotantolas fuerzas estarn contenidas en el plano del movimiento. 12.1 - INTRODUCCIN A continuacin se da la definicin de algunos trminos que se utilizarn en este captulo. Fuerza es accin de un cuerpo que acta sobre otro. Materia, es el material o sustancia de la que est hecho el cuerpo. Masa, cantidad de materia de un cuerpo. Inercia,propiedaddelamasadeoponersealoscambiosde movimiento. Peso, fuerza de la gravedad que acta sobre una masa. Partcula, cuerpo de dimensiones despreciables. Cuerpo rgido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones no afectan al clculo cinemtico y dinmico. Captulo 12 Fuerzas estticas 48Cuerpodeformable,cuandosedebentenerencuentalas deformaciones en el clculo cinemtico y dinmico. Leyes de Newton 1-Sitodaslasfuerzasqueactansobreunapartculaestn equilibradas,lapartculapermanecerenrepososiestabaenreposo,ose desplazar con movimiento rectilneo constante. 2-Silasumadelasfuerzasqueactansobreunapartculanoestn equilibradas, la partcula sufrir una aceleracin en la direccin y sentido de la resultante de las fuerzas. 3-Sisobreuncuerpoactaunafuerza,estecuerpodevuelveuna reaccin de igual mdulo y direccin y de sentido contrario a la accin. 12.2 SISTEMAS DE UNIDADES 12.2.1 Sistema internacional Enelsistemainternacionalsetienecomounidadesfundamentalesde masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo. Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que aplicadaaunamasadeunkilogramoleimprimeunaaceleracindeunmetro segundo cuadrado. Sus dimensiones sern: N = 2s m Kg(12.1) 12.2.2 Sistema ingls En el sistema ingls se tiene como unidades fundamentales de fuerza la libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo. EnEspaa,enlenguajepopular,sehabladelpesoenkilogramos,as porejemplo,sedicequeuncuerpopesaXKg.cuandoesecuerpotieneuna masa de X Kg. Elsistemainglsseutilizadeformasimilaralsistemapopularen Espaa. As un cuerpo pesar X libras cuando su masa sea de X libras. Mecnica II 49 La unidad derivada en el sistema ingls ser la de masa. Para determinar cual ser el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones. 1Kg.(fuerza)a1Kg.(masa)leimprimeunaaceleracinde9.807 m/s2. 1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimir una aceleracin de 9.807 m/s2. Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas. 1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimir una aceleracin de 9.807 m/s2 = = 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2 = 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2. Aproximadamente 1Lb.(fuerza)a1Lb.(masa)leimprimirunaaceleracinde32.2 pies/s2. 1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimir una aceleracin de 386 pulg/s2. Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima una aceleracin de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la unidaddemasaserde32.2libras(Slug)ysilaunidaddelongitudesla pulgada, la unidad de masa ser de 386 libras. 12.3FUERZASAPLICADASYFUERZASDE RESTRICCIN Fuerzasaplicadassonlasfuerzasexterioresquenormalmenteson conocidas y fuerzas de restriccin son las que aparecen en los pares de unin de los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga. 12.4 CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO Paraquesedelequilibrioestticodeunmecanismosedebecumplir en cualquier eslabn o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y que la suma de momento respecto de un eje sea tambin cero. En mecanismos planos se debe cumplir: 0 Fx = (12.2) Captulo 12 Fuerzas estticas 500 Fy = (12.3) 0 Mz = (12.4) 12.5 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Eldiagramadecuerpolibreeslaesquematizacindeunoovarios eslabonesrepresentandotodaslasfuerzasqueactanenloseslabones considerados. 12.6 FUERZAS DE RESTICCIN Lasfuerzasderestriccinenlosmecanismosaparecenenlosparesde uninlosdiferenteseslabonesytienenladireccindelosmovimientosque impide el par. Enlosmecanismosplanoslosparesdeunindeloseslabonesms comunesson:elpargiratorio,elejemotriz,elparprismticoyelcontacto directo. Enelpargiratorio,comoimpidelosdesplazamientosynoimpideel giro, las fuerzas de restriccin sern Fx y Fy. En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de restriccin sern Fx, Fy y Mz. Elparprismtico, sisedespreciaelrozamiento,impideelmovimiento en sentido perpendicular al desplazamiento del par y tambin impide el giro, por tantolafuerzaderestriccinserperpendicularaladireccinde desplazamiento del par y un momento Mz. En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia elrozamiento,lafuerzaderestriccinserperpendicularalatangenteenel punto de contacto. 12.7 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS Enelelementorepresentadoenlafigura12.1sometidoadosfuerzas FAyFBsedebecumplirquelasumadefuerzasseanulaylasumade momentos sea igualmente nula. Mecnica II 51 En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero. Enlafigura12.1(b)lasumadefuerzasesceroperolasumade momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par. Fig. 12.1 Elemento sometido a dos fuerzas. Paraqueenunelementosometidoadosfuerzaslasumadefuerzasy sumademomentosseannulassedebe cumplirquelasfuerzasseanigualesen mdulo,tenganlamismalneadeaccinysentidocontrario,talcomose observa en la figura 12.1 (c). Enelelementorepresentadoenlafigura12.2sometidoatresfuerzas FA, FB y FC se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentosseaigualmentenula.Enlafigura12.2(a)lasumadefuerzasnoes cero. Enlafigura12.2(b)lasumadefuerzasesceroperolasumade momentos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte delasfuerzasFByFC,stenosernulo,yalserlasumadefuerzasnula quiere decir que el sistema de fuerzas es equivalente a un par. Para que un elemento sometido a tres fuerzas est en equilibrio esttico se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par, pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto ser nulo, portantonoexisteunparyaqueelmomentodeunparesigualrespectode cualquier punto del espacio. Captulo 12 Fuerzas estticas 52 Fig. 12.2 Elemento sometido a tres fuerzas. 12.8 ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS Pararesolvergrficamenteelequilibrioestticodeunelemento sometidoacuatroomsfuerzas,sedebereduciraunelementodedosotres fuerzas a base de sumar previamente algunas de las fuerzas a que est sometido. 12.9 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN En los problemas de fuerzas estticas, si desprecia el rozamiento, existe proporcionalidadentrelasfuerzasaplicadasylasfuerzasderestriccin,osea son problemas lineales. En los problemas lineales, los efectos finales producidos por varias causas son iguales a la suma de los efectos producidos por cada una de causas. As las fuerzas de restriccin finales producidas por todas las fuerzas aplicadas sern la suma de las fuerzas de restriccin producidas por cada una de las fuerzas aplicadas, figura 12.3. Fig. 12.3 Principio de superposicin.Mecnica II 53 CAPTULO 13 FUERZAS DINMICAS 13.1 INTRODUCCIN Fuerzasdinmicassonlasfuerzasdebidasaltrminodemasapor aceleracin. Los problemas de dinmica pueden ser de dos tipos: -Dinmicadirecta,cuandoseconocenlasfuerzasymomentos aplicadosysedebedeterminarlacinemticadelmecanismo.Este esunproblemamuycomplejoquesalvoencasossencillosesde difcil resolucin. -Dinmica inversa, cuando se conoce la cinemtica del mecanismo y se deben determinar las fuerzas y momentos a aplicar para lograrla. 13.2 CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS 13.2.1 Centro de masas de una serie de partculas en el espacio Fig. 13.1 Centro de masas de una serie de partculas. Si se tiene una serie de partculas en el espacio como la representada en la figura 13.1, las coordenadas del centro de masas se determinarn: Captulo 13 Fuerzas dinmicas 544 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1ii iGm m m mx m x m x m x mmx mX+ + ++ + +== (13.1) 4 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1ii iGm m m my m y m y m y mmy mY+ + ++ + +== (13.2) 4 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1ii iGm m m mz m z m z m z mmz mZ+ + ++ + +== (13.3) Silaspartculasestuviesenenunplano,porejemploelplanoXY, bastara con las coordenadas XG e YG para determinar la posicin del centro de masas. Y si estuviesen alineadas, entonces bastara con una sola coordenada. 13.2.2 Centroides de figuras geomtricas planas compuestas Los centroides de figuras geomtricas planas son importantes ya que sus posiciones coinciden con los centros de masas de cuerpos de espesor uniforme. La posicin de los centroides de superficies sencillas son conocidos o se pueden encontrar con facilidad en cualquier libro de texto de mecnica. Paralocalizarelcentroidedeunasuperficiecualquiera,sedebe descomponerstaensuperficiessencillascuyassuperficiesycentroidessean conocidas como por ejemplo la superficie representada en la figura 13.2. Fig. 13.2 Centroide de una superficie compuesta. Mecnica II 55 Las coordenadas del centroide del conjunto sern: 3 2 1G 3 G 2 G 1iG iGA A AX A X A X AAX AX3 2 1 i + +== (13.4) 3 2 1G 3 G 2 G 1iG iGA A AY A Y A Y AAY AY3 2 1 i + +== (13.5) 13.2.3 Centroides defiguras geomtricas planas limitadas por una funcin Fig. 13.3 Centroide de una superficie limitada por una funcin. Sisetieneuna figurageomtricaplana limitadaporunafuncin como en la figura 13.3, para determinar la posicin del centroide se pueden aplicar las ecuaciones siguientes: ==sssGdA xA1dAdA xX (13.6) ==sssGdA yA1dAdA yY (13.7) 13.2.4 Centro de masas de un cuerpo limitado por una funcin Si se tiene un cuerpo limitado por una funcin como el de la figura 13.4, para determinar la posicin del centro de masas se pueden aplicar las ecuaciones siguientes: Captulo 13 Fuerzas dinmicas 56==vvvGdm xm1dmdm xX (13.8) ==vvvGdm ym1dmdm yY (13.9) ==vvvGdm zm1dmdm zZ (13.10) Fig. 13.4 Centro de masas de un cuerpo limitado por una funcin. Loscentrosdemasasdecuerposlimitadosporfuncionessencillas normalmente se pueden encontrar en textos de mecnica. 13.2.5 Centro de masas de un cuerpo compuesto Sisetieneuncuerpocomplejosepuededescomponerencuerpos sencillosdelosqueseconozcasumasaysucentrodemasas.Cadacuerpo sencillo se puede tratar como una partcula cuya masa sea la correspondiente al cuerpo y que su posicin sea el centro de masas del dicho cuerpo. Lascoordenadasdelcentrodemasasdelconjuntosepuedencalcular con las ecuaciones siguientes: Mecnica II 57 iiG iiG iGx mm1mx mX == (13.11) iiG iiG iGy mm1my mY == (13.12) iiG iiG iGz mm1mz mZ == (13.13) 13.3 MOMENTOS DE INERCIA 13.3.1 Momento de inercia de superficies Elmomentosegundoomomentodeinerciadesuperficie,figura13.5, es el resultado de las ecuaciones siguientes: dA y Is2X= (13.14) dA x Is2Y= (13.14) Fig. 13.5 Momento de inercia de una superficie. El momento de inercia polar es el resultado de la ecuacin siguiente: Y Xs2 2s2ZI I dA ) y x ( dA r J + =+ == (13.14) Captulo 13 Fuerzas dinmicas 58RadiodegiroKesladistanciadesdeunejealaquedeberaestar toda la superficie para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sera: A K I2= (13.15) El radio de giro ser: AIK = (13.16) Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unosejescualesquieraconelmomentodeinerciarespectodeunosejesque pasan por el centroide, figura 13.6. Fig. 13.6 Teorema de Steiner para superficies. Las ecuaciones son las siguientes: 2x X Xd A I IG+ = (13.17) 2y Y Yd A I IG+ = (13.18) 2z Z Zd A J JG+ = (13.19) 13.3.2 Momento de inercia de superficies complejas El momento de inercia de una superficie compleja respecto de un eje es lasumadelosmomentosdeinerciarespectodeeseejedelassuperficies elementales en las que se puede dividir la superficie compleja. Mecnica II 59 Lonormalesconocerlosmomentosdeinerciadelassuperficies elementalesrespectodesucentroide.Enestecasoseaplicaelteoremade Steiner para calcularlo respecto del eje deseado. 13.3.3 Momento de inercia de masas En dinmica el que tiene utilidad es el momento de inercia de masas. Para calcular el momento de inercia de una masa, figura 13.7, se aplican las ecuaciones siguientes: + =m2 2Xdm ) z y ( I (13.20) + =m2 2Ydm ) z x ( I (13.21) + =m2 2Zdm ) y x ( I (13.22) Fig. 13.7 Momento de inercia de masas. RadiodegiroKesladistanciadesdeunejealaquedeberaestar toda la masa para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sera: m K I2= (13.23) Por tanto el radio de giro ser: Captulo 13 Fuerzas dinmicas 60mIK = (13.24) Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unosejescualesquieraconelmomentodeinerciarespectodeunosejesque pasan por el centro de masas, figura 13.8. Las ecuaciones son las siguientes: ) Z Y ( m I d m I I2G2G X2x X XG G+ + = + = (13.25) ) Z X ( m I d m I I2G2G Y2y Y YG G+ + = + = (13.26) ) Y X ( m I d m I I2G2G Z2z Z ZG G+ + = + = (13.27) Fig. 13.8 Teorema de Steiner para masas. 13.3.4 Momento de inercia de masas complejas Elmomentodeinerciadeunamasacomplejarespectodeunejeesla sumadelosmomentosde inerciarespectode ese eje delasmasaselementales en las que se puede dividir la masa compleja. Lo normal es conocer los momentos de inercia de las masas elementales respecto de su centro de masas. En este caso se aplica el teorema de Steiner para calcularlo respecto del eje deseado. Mecnica II 61 13.3.5 Sentido fsico del momento de inercia de masas Sisetieneunamasapuntualcomolafigura13.9unidaaunejeen reposo con una aceleracin angular , esta masa tendr una aceleracin r A = (13.28) Para conseguir esta aceleracin habr que aplicarle una fuerza r m A m F = = (13.29) Si en lugar de aplicarle la fuerza directamente a la masa se desea aplicar un momento al eje, este momento ser: = = = I r m r F M2(13.30) Fig. 13.9 Sentido fsico del momento de inercia de masas. En la ecuacin 13.30 se aprecia que el momento de inercia representa la oposicin a ser acelerada angularmente una masa unida a un eje. 13.4 CLCULO DE FUERZAS Enestecaptuloseestudiarnmecanismosplanos,porlotantolas fuerzas estarn contenidas en el plano del movimiento. Enesteapartadosevaarealizar unanlisisdinmicoinverso, esdecir sesuponeconocidalacinemticadelmecanismo,aceleracionesdeloscentros degravedadyaceleracionesangularesdetodosloseslabonesysedebe determinarlasfuerzasymomentosaaplicarparaqueseproduzcanlas aceleraciones previstas. Tambin se determinarn las fuerzas de restriccin que aparecern en los pares de unin de los eslabones. Suponiendo un eslabn como el representado en la figura 13.10 del que se conoce la aceleracin de su centro de gravedad y su aceleracin angular, para Captulo 13 Fuerzas dinmicas 62quesecumplanlasleyesdeladinmica,habrqueaplicarleunaseriede fuerzas cuya resultante ser: G m A Rr r= (13.31) La resultante Rr tiene la misma direccin y sentido que la aceleracin del centro de gravedad, por tanto sus lneas de accin son paralelas. Fig. 13.10 Dinmica inversa de un eslabn. Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad G debe ser igual al momento de inercia respecto del eje Z que pasa por G por la aceleracin angular, se cumplir que la lnea de accin de la resultante Rr estar desplazada del centro de gravedad una distancia R IhG = (13.32) La fuerza Rr ser la resultante de las fuerzas que le realicen los otros eslabones a travs de los pares de unin. 13.5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN Enlosproblemasdedinmicainversasecumplenquelasfuerzasy momentosquesedebenaplicaraunmecanismoparaquetengauna determinada cinemtica son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que sedebenaplicarparatodosloscasos,suponiendoqueencadacasosolamente tenga masa un eslabn. El principio de superposicin se ilustra en la figura 13.11 Mecnica II 63 Fig. 13.11 Principio de superposicin. 13.7 ROTACIN EN TORNO A UN PUNTO FIJO Eleslabndelafigura13.12quegiraalrededordeunpuntoOcon una velocidad angular y que tiene una aceleracin angular , tendr una aceleracindelcentrodegravedadGArquesepuededescomponeruna aceleracin normal y una tangencial cuyos valores sern: G2 nGr A = (13.33) GtGr A = (13.34) Fig. 13.12 Eslabn girando alrededor de un punto fijo. ParaconseguirlaaceleracindelcentrodegravedadGArsedeber aplicarunsistemadefuerzascuyaresultantesea Rrquetambinsepodr descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores sern: G2 nGnr m A m R = = (13.35) Captulo 13 Fuerzas dinmicas 64GtGtr m A m R = = (13.36) ComolacomponentenormalnR noproducemomentorespectode G se cumplir = = = I d R h R MGtG(13.37) Si el eslabn se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el valor de ese par ser: = + = + = + = =O2G G G G G GtOI ) mr I ( I r mr ) d r ( R Rd M (13.37) Segn la ecuacin 13.37, el par a aplicar en el eje O ser el momento deinerciadeleslabnrespectodeesepuntoporlaaceleracinangulardel eslabn. La justificacin del momento a aplicar en el eje que pasa por O puede apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada y un par cuyo valor ser la fuerza por la distancia desplazada. Fig. 13.13 Sustitucin de una fuerza por una fuerza y un par. 13.8 CASOS DE ESLABONES ESPECIALES 13.8.1 Eslabn de salida en un cuadriltero articulado Si se tiene un cuadriltero articulado en el que el centro de gravedad del eslabndesalida,eslabn4,coincideconsucentrodegiro,figura13.14, Mecnica II 65 resultar que laaceleracindelcentrodegravedad dedicho eslabn sernula, porloquelasumadefuerzasqueactensobredichoeslabndebersernula tambin. Fig. 13.14 Eslabn de salida con el centro de gravedad y punto de giro coincidentes. Al estudiar el caso de superposicin en el que solamente tenga masa el eslabn4,lafuerzaF34tendrladireccindeleslabn3.Lafuerza aplicadaporeleslabn1,F14,deberserparalela,delmismomduloy sentido contrario a F34. El mdulo de estas fuerzas ser: h IF F4 G34 144= = (13.38) LasfuerzasF34yF14deberntenerelsentidoapropiadoparaque sean un par en el mismo sentido que el de 4 . 13.8.1 Eslabn de entrada en un cuadriltero articulado Al estudiar el caso de superposicin en el que solamente tenga masa el eslabndeentrada,eslabn2,resultarquelasfuerzasyparesnecesarios para acelerar dicho eslabn se les deber aplicar el eslabn 1. Se pueden dar cuatro casos: - 1 - G2 = O2 y 2= 0 - 2 - G2 = O2 y 2 0 - 3 - G2O2 y 2= 0 Captulo 13 Fuerzas dinmicas 66- 4 - G2O2 y 2 0 Enelprimercaso,alserlaaceleracindelcentrodegravedaddel eslabn nula y la aceleracin angular tambin nula, no se necesita fuerza ni par alguno para que el eslabn permanezca indefinidamente con el movimiento que tenga. Enelsegundocaso,lafuerzaaaplicaraleslabnsernulaperosele deber aplicar un par desde el eslabn 1 2 G 12 I2 Mrr= (13.39) Eneltercercaso,figura13.15,alserlaaceleracinangularnula,el centrodegravedadtendrunaaceleracinnormalhaciaelpuntodegirodel eslabn. Fig. 13.15 Eslabn de entrada con velocidad angular constante. Lafuerzaaaplicarporeleslabn1enelpuntoO2tendrla direccin y sentido de G2 hacia O2 y su valor ser: 2G 2 12 m A Fr r= (13.40) Elcuartocaso,figura13.16,elcentrodegravedaddeleslabnde entrada,eslabn2,tendrunaaceleracin2GAr.Paraconseguiresta aceleracin habr que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea 2G 2 2 m A Rr r= (13.41) Mecnica II 67 Aplicadadeformaqueelmomentode2Rrrespectodelcentrode gravedaddeleslabntengaelmismosentidoquelaaceleracinangularde dicho eslabn. El valor del descentramiento ser: 22 GR Ih2= (13.42) Fig. 13.16 Eslabn de entrada con aceleracin angular. En el caso de superposicin en el que se considera que solamente tiene masaeleslabn2,adichoeslabnsolamenteselepuedenaplicarfuerzas desdeeleslabn1,portantolaresultante2Rrsedebesustituirporuna fuerza12Fr,delmismomdulo,direccinysentidoque2Rraplicadaen O2yunmomentoM12queserelmomentode2Rrrespectodelpunto O2 cuyo valor ser: d R M2 12 = (13.43) La resolucin de este caso tambin se puede plantear como que se debe aplicar una fuerza en el punto O2 2G 2 12 m A Fr r= (13.44) Y un momento 2 O 12 I2 Mrv= (13.45) Captulo 13 Fuerzas dinmicas 6813.9 CASO SENCILLO DE DINMICA DIRECTA Los problemas de dinmica directa, en los que se conocen las fuerzas o paresaplicadosysedebedeterminarlacinemticadelmecanismo,suelenser bastante complejos de resolucin. No obstante, hay algunos casos sencillos, por ejemplocuandosetratademecanismosformadosporejesypoleasoruedas dentadasenlosqueloscentrosdegravedadseencuentranenlosejes geomtricos de los ejes, figura 13.17. Fig. 13.17 Mecanismo formado por ejes y poleas o ruedas dentadas. En una cadena cinemtica como la de la figura 13.17 se pueden reducir todos los ejes al eje del motor. Llamando Mi/j al par a aplicar en el eje i para acelerar angularmente al eje j, se tendr: 1 1 1 / 1 I M = (13.46) 2 2 2 / 2 I M = (13.47) 3 3 3 / 3 I M = (13.48) 4 4 4 / 4 I M = (13.49) Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje 1, teniendo en cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultar: 1 / 2 2 2 1 / 2 2 / 2122 / 2 2 / 1i I i M M M = == (13.50) 1 / 3 3 3 1 / 3 3 / 3133 / 3 3 / 1i I i M M M = == (13.51) Mecnica II 69 1 / 4 4 4 1 / 4 4 / 4144 / 4 4 / 1i I i M M M = == (13.52) Siendo: 121 / 2i=la relacin de transmisin entre el eje 2 y el eje 1 131 / 3i=la relacin de transmisin entre el eje 3 y el eje 1 141 / 4i=la relacin de transmisin entre el eje 4 y el eje 1 Enlafigura13.18seapreciaquelavelocidaddelpuntoC,centro instantneoderotacinrelativoalasdosruedas,eslamismaparalasdos ruedas, por tanto se cumple: 3 3 2 2 CR R V = = (13.53) 32232 / 3RRi == (13.54) Fig. 13.18 Relacin entre velocidades angulares y aceleraciones angulares. Teniendoencuentaquelaaceleracinrelativaentrelospuntosen contactoenunarodaduratieneladireccindelarectadeunindecentros, resultaquelasaceleracionestangencialesdelosdospuntosencontactoesla misma y de valor: 3 3 2 2tCtCR R A A3 2 = = = (13.55) Captulo 13 Fuerzas dinmicas 70La relacin entre las velocidades angulares de las ruedas ser: 232 / 33223iRR= = =(13.56) Teniendoencuentalarelacinentrelasaceleracionesangulares,las ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrn escribir: 121 / 2 2 1 / 2 2 2 1 / 2 2 / 2122 / 2 2 / 1 i I i I i M M M = = == (13.57) 121 / 3 3 1 / 3 3 3 1 / 3 3 / 3133 / 3 3 / 1 i I i I i M M M = = == (13.58) 121 / 4 4 1 / 4 4 4 1 / 4 4 / 4144 / 4 4 / 1 i I i I i M M M = = == (13.52) El par a aplicar en el eje 1 ser la suma de los pares en dicho eje para acelerarse el mismo y acelerar a los ejes 2, 3 y 4. 121 / 4 421 / 3 321 / 2 2 14 / 1 3 / 1 2 / 1 1 / 1) i I i I i I I (M M M M M + + + == + + + =(13.53) Delaecuacin13.53sedesprendequeelconjuntodeejessepuede sustituir,porejemplo,porunvolantecolocadoenelejedelmotorycuyo momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor ms losmomentosdeinerciadelosotrosejesmultiplicadosporlacorrespondiente relacin de transmisin con el eje motor al cuadrado. Incluso en un automvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la masa del automvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor. Fig. 13.19 Reduccin de la masa del automvil a un momento de inercia. Mecnica II 71 Silacadenacinemticadesdeelmotoralasruedasexperimentauna aceleracin,elautomviladquirirunaaceleracinlinealqueserla aceleracin angular de las ruedas por el radio de las ruedas 1 1 / R R R R G i R R A = = (13.54) Para conseguir dicha aceleracin, la pista efectuar sobre la periferia de las ruedas una fuerza G CA m F = (13.55) Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deber aplicar un par 1 1 / R2R C R R / R i R m R F M = = (13.56) Finalmente el par que deber aplicar el motor en su eje para acelerar la masa del automvil ser; 121 / R2R C 1 / R R R / 1 i R m i R F M = = (13.56) Delaecuacin13.56sedesprendequelamasadelcochesepuede sustituirporunvolantecuyomomentodeinerciasea21 / R2R Ci R m colocado en el eje del motor. 13.10 FUERZAS DE SACUDIMIENTO Enelanlisisdefuerzasestticas,lasumadefuerzasylasumade momentosqueactansobrecualquiereslabndebensercero.Enparticularla sumadefuerzasylasumademomentosqueactansobreeleslabnfijoson nulas. Endinmicanoocurrelomismo,lasumadefuerzasqueactansobre uneslabndebenserigualalproductodesumasaporlaaceleracindesu centro de gravedad. Lasumadefuerzasquerealizaeleslabnfijosobreelrestode eslabones ser: iG i i 1 m A Fr r = (13.57) Captulo 13 Fuerzas dinmicas 72Porelprincipiodeaccinyreaccin,loseslabonesmvilesrealizarn sobre el eslabn fijo una serie de fuerzas cuya suma ser: iG i 1 i m A Fr r = (13.58) Alasumadefuerzasquerealizanloseslabonesmvilessobreel eslabnfijoselellamafuerzadesacudimientoyesunafuerzaquetiendea hacervibraralchasisdelamquinadondeestacopladoelmecanismoyque por lo tanto interesa minimizarla. Mecnica II 73 CAPTULO 6 - SNTESIS DE LEVAS 6.1 - INTRODUCCIN Laslevassonunosmecanismoscompuestosgeneralmenteporun eslabnimpulsorllamado"leva"yotroeslabndesalidallamado"seguidor" entre los que se transmite el movimiento por contacto directo. Son mecanismos sencillos, poco costosos, tienen pocas piezas mviles y ocupanespaciosreducidos.Ademssuprincipalventajaresideenquese pueden disear de forma que se obtenga casi cualquier movimiento deseado del seguidor. 6.2 - CLASIFICACIN DE LAS LEVAS Losmecanismosdelevasepuedenclasificarteniendoencuentacomo son la "leva" y el "seguidor". Teniendo en cuenta la leva, (Fig. 6-1): a)Leva de placa, llamada tambin de disco o radial. b)Leva de cua. c)Leva cilndrica o de tambor. d)Leva lateral o de cara. Teniendo en cuenta el seguidor, (Fig. 6-2): a)Seguidor de cua. b)Seguidor de cara plana. c)Seguidor de rodillo. d)Seguidor de cara esfrica o zapata curva. Otraclasificacindelaslevassepuedehacerteniendoencuentael movimientodel seguidor, pudiendoser ste rectilneoalternativo(traslacin) u Captulo 6 Levas 74oscilante (rotacin). Teniendo en cuenta la posicin relativa entre el seguidor y la leva, pueden ser de seguidor centrado, cuando el eje del seguidor pasa por el centro de la leva o de seguidor descentrado. Fig. 6-1 Tipos de levas: a) de placa, b) de cua, c) de tambor y d) de cara. Fig. 6-2 Tipos de seguidor: a) de cua, b) de cara plana, c) de rodillo y d) de zapata. Mecnica II 75 Eltipodelevamscomneselformadoporunalevadeplacayun seguidor de rodillo con movimiento rectilneo alternativo. 6.3 - DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Eldiagramadedesplazamiento"y=f()"(Fig.6-3)representa,enel caso ms general, la posicin del seguidor respecto de la posicin de la leva. Por ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilneo alternativo, representaralaposicindelseguidorrespectodelngulogiradoporlaleva, pero en otros casos, tanto "y" como "", pueden ser desplazamientos lineales o angulares. Fig. 6-3 Diagrama de desplazamiento. Un movimiento muy tpico a conseguir por medio de un mecanismo de levaeselmovimientouniformeenelcuallavelocidaddelseguidorser constante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizs sera mejor llamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado en el diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilneo. Fig. 6-4 Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor Captulo 6 Levas 76Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: una subidaconmovimientouniforme,unadetencinyfinalmenteunretorno,yno setomaseningntipodeprecaucinresultaraquepodranaparecer aceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figura 6-4. Silaaceleracindelseguidortiendeainfinito,tambinloharnlas fuerzas de inercia, con lo que llegaran a romperse las piezas que componen la leva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamiento que no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades. Parasuavizarelinicioofinaldeunmovimientouniformesesuele utilizar una rama de parbola, consiguiendo que las pendientes de los tramos de parbola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme. (Fig. 6-5). Fig. 6-5 Tramos de parbola. a) Unin de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo. Cuandosedesearealizarundesplazamientodelseguidordesubiday bajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armnico (Fig. 6-6), yaqueestetipodemovimientotienevelocidadesyaceleracionesqueson funciones continuas. Fig. 6-6 Diagrama de desplazamiento con movimiento armnico Mecnica II 77 Sisedeseaqueelseguidorrealiceunosdesplazamientosdesubiday bajadaentredetenciones,unmovimientoadecuadoeselcicloidal(Fig.6-7), puestoqueestemovimientotieneaceleracionesnulasalinicioyalfinal, correspondindose con las aceleraciones nulas de las detenciones. Fig. 6-7 Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal Cuandoseprecisenotrostiposdemovimientosseajustarnpormedio de curvas estndar, que se vern ms adelante. 6.4-DERIVADASDELDIAGRAMADE DESPLAZAMIENTO En una leva de placa con seguidor de movimiento rectilneo alternativo, que es la ms comn, el diagrama de desplazamiento, ecuacin (6-1), representa la posicin del seguidor en funcin del ngulo girado por la leva. y = f()(6-1) El diagrama de desplazamiento (6-1) se puede derivar respecto de "" y respecto de "t". Derivando (6-1) respecto de "" se tendr: y' = ddy(6-2) y" = dyd22(6-3) Captulo 6 Levas 78Estasderivadasdependensolamentedelperfildelalevayson independientesdelavelocidaddegirodelaleva.Laprimeraderivada(y') representalapendientedeldiagramadedesplazamientoysusunidadesseran, por ejemplo, milmetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y sus unidades seran, por ejemplo, milmetros / radin2. Derivando (6-1) respecto de "t" se tendr: dtdyy V = = &(6-4) dtydy A22= =& & (6-5) Lasderivadasprimeraysegundadeldiagramadedesplazamiento respectode"t"representanlavelocidadyaceleracindelseguidor respectivamente. Entre las derivadas de (6-1) respecto de "" y respecto de "t" existen las siguientes relaciones: dtdyy V = = & =' y dtdddy =(6-6) dtydy A22= =& &==+||

\|= ||

\| =dtdddydtdddydtddtdddydtddtdv22 =' y " y dtdddydtddtdddydd222 +=+ ||

\| (6-7) Silalevagiraseconvelocidadconstante,movimientoqueesmuy comn en las mquinas, la aceleracin sera: A = 2y"(6-8) 6.5 - MOVIMIENTOS ESTNDAR DE LAS LEVAS Para conseguir cualquier tipo de movimiento en el seguidor, no siempre resultarsuficienteconlosmovimientosquesehanvistoenelapartado anterior, por ello, hay toda una serie de curvas estndar por medio de las cuales Mecnica II 79 resultarmssencilloenlazarlosmovimientosdeseadosdeformaque resulten funciones continuas tanto el diagrama de desplazamiento como sus dos primeras derivadas. Estetipodecurvasestnbasadosencurvasarmnicasycicloidalesy son las que se acompaan a continuacin, primero las de subida completa. Fig. 6-9 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico simple de subida completa, ecuacin (6-9). Fig. 6-10 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de subida completa, ecuacin (6-10). Fig. 6-11 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico modificado de subida completa, ecuacin (6-11). Captulo 6 Levas 80A continuacin las tres curvas estndar de retorno completo. Fig. 6-12 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico simple de retorno completo, ecuacin (6-12). Fig. 6-13 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de retorno completo, ecuacin (6-13). Fig. 6-14 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armnico modificado de retorno completo, ecuacin (6-14). Cuandonosetienequerealizarunasubidaobajadacompleta,por ejemplodesdeunadetencinhastauntramodemovimientouniforme,se utilizantrozosdemovimientoarmnicoocicloidal,tantodesubidacomode bajada y son los que se exponen a continuacin. Mecnica II 81 Fig. 6-15 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico de subida, parte baja, ecuacin (6-15). Fig. 6-16 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico de subida, parte alta, ecuacin (6-16). Fig. 6-17 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico de retorno, parte alta, ecuacin (6-17). Fig. 6-18 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmnico de retorno, parte baja, ecuacin (6-18). Captulo 6 Levas 82 Fig. 6-19 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de subida, parte baja, ecuacin (6-19). Fig. 6-20 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de subida, parte alta, ecuacin (6-20). Fig. 6-21 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de bajada, parte alta, ecuacin (6-21). Fig. 6-22 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de bajada, parte baja, ecuacin (6-22). Mecnica II 83 Una vez escogidos los movimientos estndar ms apropiados para cada tramo,sedebeintentarconseguirquetantoeldiagramadedesplazamiento comolasvelocidadesyaceleracionesseanfuncionescontinuas,para conseguirlosepuedenvariarlaelevacinylaamplituddelosmovimientos estndar.La continuidad es imprescindible en los diagramas de desplazamiento y develocidadescuandosonlevasquegiranagranvelocidad,aunquees recomendable siempre. 6.6 - DISEO GRFICO DE PERFILES DE LEVAS Unavezestablecidocomodebesereldiagramadedesplazamiento,se debe dibujar el perfil de la leva que haga que se cumpla el diagrama previsto. El perfil de la leva ser diferente en funcin del seguidor sobre el que acte. Paradibujarelperfildelalevaseiniciadibujandoelseguidorenla posicincorrespondientealpunto"0"deldiagramadedesplazamiento.Se realiza una inversin cinemtica haciendo girar el seguidor en sentido contrario aldelgirodelalevaydibujndoloenvariasposicionesdeacuerdoconel diagramadedesplazamiento.Elperfilde lalevaserlacurvaenvueltaporlas diferentes posiciones que alcance el seguidor. Cuantoenmayornmerodeposicionessedibujeelseguidor,mayor ser la precisin del perfil de la leva. Fig. 6-23 Diseo del perfil de una leva con seguidor de rodillo centrado. Superficie de la leva desarrollada mantenindola estacionaria y haciendo girar al seguidor en sentido contrario al del giro de la leva. Captulo 6 Levas 84 Fig. 6-24 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo descentrado Fig. 6-25 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de cara plana Mecnica II 85 Fig. 6-26 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo oscilante 6.7 - FUERZAS EN LEVAS En las levas se pueden consider