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Cálculo en varias variables

para Ciencias Qúımicas y Ambiental

Andrés Durán Poblete

Concepción, Enero de 2008


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Índice general

1. ALGEBRA LINEAL 11.1. ESPACIOS VECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Definición y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Bases y Dimensión de un Espacio Vectorial . . . . . . . . 10

1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1. Definiciones y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2. Representación Matricial de una Transformación Lineal 29

1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS . . . . . . . . . . . . . . 361.4. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES 51

2.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. LIMITES Y CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3. DERIVADAS PARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4. GRADIENTE Y DIFERENCIAL TOTAL . . . . . . . . . . . . 652.5. ROTOR Y DIVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6. REGLA DE LA CADENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7. VALORES EXTREMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . 882.9. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.10. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3. INTEGRALES MÚLTIPLES 1033.1. INTEGRALES DOBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2. INTEGRALES TRIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.3. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES . 1203.4. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4. SERIES INFINITAS 1354.1. SUCESIONES INFINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.2. SERIES INFINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. SERIES DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . 152

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ii ÍNDICE GENERAL

4.5. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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Caṕıtulo 1

ALGEBRA LINEAL

1.1. ESPACIOS VECTORIALES1.1.1. Introducción

Los conjuntos IR2 de puntos en el plano y IR3 de puntos en el espaciopueden representar vectores en el plano y en el espacio, respectivamente. Aśı,un punto (a, b) en IR2 representa a un vector v en el plano si es definido comov = (a, b) y geométricamente corresponde a un segmento de recta dirigidoque va desde el origen, el punto (0, 0), al punto (a, b). Análogamente, el punto(a,b,c) de IR3 representa un vector v en el espacio si es definido como v =(a,b,c) y geométricamente corresponde a un segmento de recta dirigido que va

desde el origen, el punto (0, 0, 0), al punto (a,b,c).

x

y

z

0

y

0x

b

a

a

b

c

vv

De acuerdo a lo anterior, los conjuntos IR2 y IR3 pueden ser definidoscomo el conjunto de vectores en el plano y el conjunto de vectores en el espacio,respectivamente. Dados estos conjuntos, se pueden definir algunas operaciones.

Definición 1.1. Sean u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores de IR2 y α un n´ umero

real, entonces se define la suma de u y v , denotada por u + v , como:

u + v = (a + c, b + d)

1


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2 CAP ́ITULO 1. ALGEBRA LINEAL

y la multplicación por escalar de α y u , denotada por αu , como:

αu = (αa, αb)

Observación 1.1. En forma totalmente an´ aloga estas dos operaciones pueden ser definidas para vectores en IR3.

Las operaciones de suma y multiplicación por escalar para vectores de IR2

y IR3 tienen muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, se puede verificarfácilmente que, con respecto a la suma, los vectores de IR2 cumplen las leyesconmutativa y asociativa.

Si u es un vector de IR2 entonces

u + θ = θ;

donde θ = (0, 0), llamado el vector nulo o vector cero. Tambíen,

u + (−u) = θ;

donde −u es el llamado vector inverso del vector u. Ası́, si u = (a, b),entonces −u = (−a, −b). Con respecto a la multiplicación por escalar, sepueden obtener leyes distributivas.

Las propiedades para la suma y multiplcación por escalar en IR2, tambíenson cumplidas por los vectores en IR3.

Los conjuntos IR2 y IR3, con las operaciones de suma y multiplicación por

escalar definidas, constituyen lo que se llama un espacio vectorial.

1.1.2. Definición y Propiedades

Antes de definir un espacio vectorial, se hacen algunos alcances:

i) En general, los espacios vectoriales están definidos sobre conjuntos deelementos que deben cumplir ciertas propiedades para constituirse en loque se denomina un cuerpo. Los elementos de un cuerpo generalmentereciben el nombre de escalares. En este libro, los espacios vectorialesserán referidos sobre el cuerpo de los números reales IR y que por ende

serán llamados espacios vectoriales reales.

ii) En la definición de un espacio vectorial hay involucradas dos operaciones:suma y mutiplicación por escalar, de tal manera que para dos elementosu y v de un espacio vectorial y α un escalar, entonces la suma de u yv se escribirá como u + v y la multiplicación por escalar de α y u seescribirá como αu.

Definición 1.2. Un espacio vectorial V es un conjunto no vaćıo de elemen-tos, llamados vectores, que junto con las operaciones suma y multiplicación

por escalar satisfacen las siguientes propiedades:

1.-) u y v ∈ V ⇒ u + v ∈ V .


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1.1. ESPACIOS VECTORIALES 3

2.-) u y v ∈ V ⇒ u + v = v + u.3.-) u, v y w ∈ V ⇒ (u + v) + w = u + (v + w).

4.-) En V existe un ´ unico vector θ, llamado vector cero, tal que para todou en V , u + θ = u.

5.-) Si u est´ a en V existe un ´ unico vector −u en V , llamado el inversoaditivo de u , tal que u + (−u) = θ.

6.-) Si u est´ a en V y α es un escalar, entonces el producto por escalar αuest´ a en V .

7.-) Si u y v est´ an en V y α es un escalar entonces α(u + v) = αu + αv.

8.-) Si u est´ a en V , α y β son escalares entonces (α + β )u = αu + β u.

9.-) Si u est´ a en V , α y β son escalares entonces α(β u) = (αβ )u.

10.-) Para todo vector u que est´ a en V , 1u = u.

Observación 1.2.

1.- De la propiedad 4.-), el conjunto V no debe ser vacı́o ( V = φ).2.- Para todo par de vectores u y v de un espacio vectorial V , u + (−v) se

escribe como u−

v y se denomina diferencia entre u y v.

Ejemplo 1.1. Sea V = IR3 el conjunto que representa los puntos (o vectores)en el espacio; es decir,

IR3 = {(x , y, z ) : x ∈ IR, y ∈ IR, z ∈ IR}

Entonces, IR3 con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes:

- Si u = (x1, y1, z 1) y v = (x2, y2, z 2) son dos elementos de IR3, entonces:

u + v = (x1, y1, z 1) + (x2, y2, z 2) = (x1 + x2, y1 + y2, z 1 + z 2)

- Si α es un n´ umero real y u = (x , y, z ) es un elemento de IR3, entonces:

αu = α(x , y, z ) = (αx,αy,αz )

es un espacio vectorial.Aqúı, el vector cero es el elemento (0, 0, 0) y para cualquier elemento

u = (x,y,z ) de IR3, el inverso aditivo de u es −u = (−x, −y, −z ). Con estos elementos es f´ acil verificar las propiedades 1.-) a 10.-) de los espacios

vectoriales.


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Ejemplo 1.2. En general, el conjunto V = IRn, n ∈ IN , que denota el conjunto de las n-uplas de n´ umeros reales;

IRn = {(x1, x2,...,xn) : x1 ∈ IR, x2 ∈ IR, ..., xn ∈ IR},

IRn constituye un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes:

- Si u = (x1, x2,...,xn), v = (y1, y2,...,yn) son dos elementos de IRn en-

tonces:

u + v = (x1 + y1, x2 + y2,...,xn + yn)

- Si α es un n´ umero real, u = (x1, x2,...,xn) es un elemento de IRn enton-

ces:

αu = (αx1, αx2,...,αxn).

Las operaciones recién definidas sobre IRn son las llamadas operaciones usua-les.

De manera similar al ejemplo anterior, se tiene que el vector cero es θ =(0, 0, ..., 0) y para cualquier elemento u = (x1, x2,.....,xn) el inverso aditivo deu es −u = (−x1, −x2, ...,−xn). Dados estos elementos, es sencillo verificar laspropiedades de espacios vectoriales.

Ejemplo 1.3. Sea V = P n, n ∈ IN , el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n; es decir, si p ∈ P n entonces:

p = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0,

donde a1, a2,...,an son n´ umeros reales. Sobre el conjunto V se definen las

siguientes operaciones de suma y producto por escalar:

- Si p = anxn+an−1xn−1+ ...+a1x+a0 y q = bnxn+bn−1xn−1+ ...+b1x+b0

son dos elementos de V , entonces:

p + q = (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)xn−1 + ... + (a1 + b1)x + a0 + b0

- Si α es un n´ umero real y p = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 es un

elemento de V , entonces:

αp = (αan)xn + (αan−1)xn−1 + ... + (αa1)x + αa0


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El conjunto V con estas dos operaciones cumple las propiedades de la Defini-ci´ on 1.2 y es un espacio vectorial. Notemos que tanto la suma de dos polino-mios de grado menor o igual que n como el producto por escalar de un n´ umeroreal por un polinomio de grado menor o igual que n son también polinomios de grado menor o igual que n. El vector cero corresponde al polinomio nuloθ = 0xn + 0xn−1 + .... + 0x + 0. Adem´ as si p = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0es un elemento de V , entonces el inverso aditivo − p est´ a dado por − p =−anxn − an−1xn−1 − ... − a1x − a0.

Las operaciones definidas son las llamadas operaciones usuales para los polinomios de orden menor o igual que n

Ejemplo 1.4. Sea V = Mmxn(IR), m ∈ IN y n ∈ IN ; el conjunto de las matrices de orden m por n con elementos reales. Con las operaciones de suma

y producto por escalar conocidas, V es un espacio vectorial para todo enteropositivo m y n.

En este caso, el vector cero es la matriz de orden m por n con todos sus elementos iguales a cero. Si A = (aij), entonces el inverso aditivo de la matriz A es −A = (−aij).

En el siguiente resultado se enuncian, sin demostración, algunas propie-dades básicas que cumplen los espacios vectoriales y que se utilizan regular-manete.

Teorema 1.1. Sea V un espacio vectorial, entonces:

1. Para todo escalar α y θ, el vector cero de V , se tiene que

αθ = θ

2.- Sea u un vector cualquiera de V , entonces

0u = θ.

3.- Sea α un escalar y u un elemento de V , se tiene que:

S i αu = θ, e ntonces α = 0 o u = θ.

4.- Sea α un escalar y u un vector de V , se tiene que

(−α)u = −(αu).

5.- Dados los vectores u, v y w de V ,entonces

u + v = u + w =⇒ v = w.


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1.1.3. Subespacios

En muchas situaciones puede darse que un subconjunto de un espacio vec-torial tambíen sea un espacio vectorial. Por ejemplo, de la subsección anterior,

se sabe que el conjunto M2x2(IR) es un espacio vectorial. Ahora, si se toma elconjunto D2×2(IR), que denota el conjunto de las matrices diagonales de 2x2con elementos reales; es decir,

D2×2(IR) =

a 00 b

: a y b son números reales

;

D2×2(IR) es un subconjunto de M2×2(IR). Es claro también que sumar dos ma-trices diagonales de 2 por 2 da una matriz diagonal e igualmente al multiplicarun escalar por un matriz diagonal de 2 por 2. Tanto el vector cero (matriznula) como el vector inverso aditivo de cualquier elemento de S son obtenidos

a partir del caso general del espacio vectorial M2×2(IR). Con estos alcances,se puede verificar que el conjunto D2×2(IR) cumple las diez propiedades deespacio vectorial.

De acuerdo a lo anterior, se tiene la siguiente definición respecto de estossubconjuntos.

Definición 1.3. Un subconjunto S , no vaćıo, de un espacio vectorial V , se dice que es un subespacio vectorial o subespacio de V si, S es un espaciovectorial bajo las operaciones de suma y producto por escalar definidas en V.

De esta manera se puede decir entonces que que el conjunto de las matricesdiagonales de 2 por 2 es un subespacio vectorial de M2x2(IR)

Observación 1.3. Para todo espacio vectorial V , el subconjunto S que con-tiene s´ olo el vector cero de V ; es decir S = {θ}, y el mismo espacio vectorial V son subespacios vectoriales de V llamados subespacios triviales.

A continuación se presenta un resultado, sin demostración, que hace re-lativamente sencillo averiguar cuando un subconjunto de un espacio vectoriales un subespacio vectorial.

Teorema 1.2. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto S no vaćıo de V es un subespacio vectorial de V śı y s ́olo si:

1.- Si u ∈ S , v ∈ S , entonces u + v ∈ S .

2.- Para cualquier escalar α y cualquier vector u en S , entonces αu ∈ S .

Observación 1.4. Del resultado anterior se tiene que todo subespacio S de un espacio vectorial contiene al vector cero; ya que si u es un elemento de S entonces por el punto 2, del Teorema 1.1, se tiene que 0u = θ y por el punto

2, del Teorema 1.2, este debe ser un elemento de S . Es decir, para que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio, éste debe contener el vector cero.


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Anteriormente, se dijo que el conjunto de las matrices diagonales de 2por 2 era un subespacio de M2x2(IR) y se mostró que la suma de dos matri-ces diagonales de 2 por 2 tambíen era una matriz diagonal de 2 por 2 y lomismo sucede al multiplicar un escalar por una matriz de este tipo. Las dosafirmaciones anteriores tienen que ver con las condiciones 1 y 2 del Teorema1.2, respectivamente.

A continuación se presentan otros ejemplos de subespacios.

Ejemplo 1.5. Sea S un subconjunto de IR3 definido por

S = {(a,b, −b) : a ∈ IR, b ∈ IR}Entonces, S es un subespacio vectorial con las operaciones de suma y productopor escalar usuales en IR3.

En efecto,

1.- Sean u = (a, b, −b) y v = (r,s, −s) dos elementos cualesquiera de S ,entonces

u + v = (a,b, −b) + (r,s, −s) = (a + r, b + s, −b − s)= (a + r, b + s, −(b + s))

Si se denota a′

= a + r y b′

= b + s, se tiene que:

u + v = (a′

, b′

, −b′),

y aśı u + v ∈ S .2.- Sea α un número real cualquiera y u = (a,b, −b) un elemento cualquiera

de S , entonces:

αu = α(a,b, −b) = (αa, αb, −αb)Denotando a

′

= αa y b′

= αb, se tiene que

αu = (a′

, b′

, −b′)y aśı αu es un elemento de S .

De esta manera, el subconjunto S de IR3 satisface las dos condiciones delTeorema 1.2 y por lo tanto S es un subespacio vectorial de IR3.

Ejemplo 1.6. Consideremos el espacio vectorial P 2, el conjunto de los polino-mios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales; es decir, si p ∈ P 2entonces p = ax2 + bx + c; donde a, b y c son n´ umeros reales. Sea S el sub-conjunto de P 2 definido como

S =

{ax2 + bx + b

−a : a y b

∈ IR

}Entonces, S es un subespacio de P 2 con las operaciones de suma y productopor escalar conocidas.


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En efecto,

1.- Sean p y q dos elementos de S , entonces p = ax2 + bx + b − a y q =cx2 + dx + d

−c; a, b, c y d números reales.

p + q = (ax2 + bx + b − a) + (cx2 + dx + d − c)= (a + c)x2 + (b + d)x + (b − a) + (d − c)= (a + c)x2 + (b + d)x + (b + d) − (a + c),

Denotando a′

= a + c, b′

= b + d, entonces a′

y b′ ∈ IR y se tiene que:

p + q = a′

x2 + b′

x + b′ − a′

Luego, p + q ∈ S.

2.- Sea α un escalar y p un elemento de S ; esto es, p = ax2

+ b + b − a; a yb números rales, entonces:αp = α(ax2 + bx + b − a)

= (αa)x2 + (αb)x + α(b − a)= (αa)x2 + (αb)x + αb − αa,

Si se denota a′

= αa y b′

= αb, entonces a′

y b′

son números reales y

αp = a′

x2 + b′

x + b′ − a′

y αp ∈ S .Dado que S cumple las condiciones 1 y 2 del Teorema 1.2, S es un subespaciode P 2.

Ejemplo 1.7. El conjunto de puntos en el plano, representado por IR2, es un espacio vectorial. Si consideramos el conjunto de puntos de una recta en el plano que pasa por el origen, entonces dicho conjunto de puntos constituye un subespacio vectorial de IR2. Este conjunto puede ser definido como:

S = {

(x, y) ∈

IR2 : y = mx, m n´ umero real fijo}F´ acilmente pueden ser verificadas las dos condiciones del Teorema 1.2 y aśı con-

cluir que el conjunto S es un subespacio de IR2.

Observación 1.5. De acuerdo al ejemplo anterior, se puede analizar que pasa con el conjunto de puntos de una recta del plano que no pasa por el origen; es decir, el subconjunto S de IR2 defnido como:

S =

{(x, y)

∈ IR2 : y = mx + b, m y b n´ umeros reales fijos , b

= 0

}.

Si la recta no pasa por el origen no va a contener al vector nulo y por lo tantono puede ser subespacio vectorial.


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Dados dos subespacio de un espacio vectorial, seŕıa interesentante pre-guntarse que pasa con la unión e intersección de estos subespacios; ¿seránsubespacio?. Para contestar a esta interrogante se considera el siguiente resul-tado y más adelante una observación.

Teorema 1.3. Sean S 1 y S 2 dos subespacios de un espacio vectorial V , en-tonces S 1 ∩ S 2 es un subespacio de V .

Demostración En primer lugar se sabe que la intersección de S 1 y S 2, es unsubconjunto de V , dado que cada uno de estos conjuntos está incluido en V .Ahora veamos que se cumplen las dos propiedades de Teorema 1.2:

1.- Sean u y v dos elementos de S 1∩S 2, entonces u ∈ S 1, u ∈ S 2 y tambíenv ∈

S 1, v ∈

S 2. Ahora, u ∈

S 1 y v ∈

S 1 entonces u + v ∈

S 1, S 1 esun subespacio. También, u ∈ S 2 y v ∈ S 2 entonces u + v ∈ S 2, S 2 esun subespacio. De lo anterior, se concluye que u + v ∈ S 1 ∩ S 2.

2.- Si α es un escalar y u es un elemento de S 1 ∩ S 2 entonces u ∈ S 1 yu ∈ S 2. Ahora, como tanto S 1 y S 2 son subespacios entonces αu ∈ S 1y αu ∈ S 2 lo que se concluye que αu ∈ S 1 ∩ S 2

De 1.- y 2.- S 1 ∩ S 2 es un subespacio vectorial de V .

Ahora, con repecto a la unión de dos subespacio de un espacio vectorial

se tiene la siguiente observación.

Observación 1.6. Si S 1 y S 2 son dos subespacios de un espacio vectorial V ,no necesariamente S 1 ∪ S 2 es un subespacio de V . En efecto, consideremos los conjuntos S 1 y S 2, ambos subconjuntos de IR

2, definidos por,

S 1 = {(x, y) : y = x}

S 2 = {(x, y) : y = 2x}

Geométricamente, tanto S 1 como S 2 son rectas en el plano que pasan por el origen y por lo tanto son subespacio de IR2, con las operaciones de suma y producto por escalar usuales en IR2.El punto (1, 1) es un elemento de S 1 y por lo tanto (1, 1) es un elemento de S 1 ∪ S 2. El punto (1, 2) es un elemento de S 2 y por lo tanto es un elemento de S 1 ∪ S 2. Ahora,

(1, 1) + (1, 2) = (2, 3),

pero (2, 3) no es un punto ni de S 1 ni de S 2, con lo cual la suma entre los elementos (1, 1) y (1, 2) no est´ a en S 1

∪S 2 y este ´ ultimo conjunto no estarı́a

cumpliendo con la condici´ on 1.- del Teorema 1.2. Entonces S 1 ∪ S 2 no es subespacio de IR2.


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1.1.4. Bases y Dimensión de un Espacio Vectorial

En el espacio vectorial IR2, con las operaciones de suma y producto porescalar usuales, el elemento (

−8, 5) puede ser escrito como:

(−8, 5) = 2(−1, 1) + (−3)(2, −1);con lo que se dice que (−8, 5) es una combinación lineal de (−1, 1) y (2, −1).Esta situación origina la siguiente definición.

Definición 1.4. Sea V un espacio vectorial y sean v1, v2,..., vn elementos de V . Si α1, α2,..., αn son escalares, entonces un elemento de la forma

α1v1 + α2v2 + ... + αnvn

se llama una combinación lineal de v1, v2,..., vn.

A continuación se darán algunos ejemplos de combinaciones lineales.

Ejemplo 1.8. En el espacio vectorial M2x2(IR), el elemento

5 107 0

es

combinaci´ on lineal de las matrices

1 24 −1

,

0 3−2 4

y

1 3−1 2

; ya

que:

5 107 0

= 2

1 24 −1

− 1 0 3−2 4 + 3 1 3−1 2

Ejemplo 1.9. En el espacio vectorial P 2; el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 2, el polinomio 5

2x2 − 2x + 1

2 es combinaci´ on lineal de

los polinomios x2 + 1 y −x2 + x; ya que:5

2x2 − 2x + 1

2 =

1

2(x2 + 1) − 2(−x2 + x)

Observación 1.7. En cualquier espacio vectorial V , el vector cero θ es com-binaci´ on lineal de cualquier conjunto de vectores. En efecto, si v1, v2,..., vnson elementos de V , entonces

θ = 0v1 + 0v2 + ... + 0vn

En el siguiente ejemplo se muestra si un cierto vector puede ser una com-binación lineal de un conjunto de vectores.

Ejemplo 1.10. Averiguar si en el espacio vectorial IR2 el vector (−7, 7) es combinaci´ on lineal de los vectores (−1, 2) y (5, −3).


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Si (−7, 7) es combinación lineal de los vectores (−1, 2) y (5, −3), entoncesdeben existir escalares α1 y α2 tales que

(−7, 7) = α1(−1, 2) + α2(5, −3);es decir,

(−7, 7) = (−α1, 2α1) + (5α2, −3α2)o bien,

(−7, 7) = (−α1 + 5α2, 2α1 − 3α2)de donde:

−α1 + 5α2 = −72α1 − 3α2 = 7 (1.1)

El sistema (1.1) es un sistema de ecuaciones lineales en las variables α1 y α2cuya única solución es α1 = 2, α2 = −1. Con esto se verifica que el vector(−7, 7) es combinación lineal de los vectores (−1, 2) y (5, −3).

Definición 1.5. Un grupo de vectores v1, v2,...,vn de un espacio vectorial V se dice que generan a V si todo elemento de V puede ser escrito comocombinaci´ on lineal de ellos; es decir, para v un elemento cualquiera de V ,existen escalares α1, α2,.....,αn tal que:

v = α1v1 + α2v2 + ..... + αnvn

Algunos ejemplos sencillos de conjuntos generadores de un espacio vecto-rial son.

Ejemplo 1.11. En el espacio vectorial IR3, los vectores (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)generan IR3.

En efecto:Cualquiera sea el vector (a,b,c) en IR3, se tiene que

(a,b,c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1).

Notemos que los escalares involucrados en la combinación lineal correspondena las coordenadas del elemento dado.

Ejemplo 1.12. En el espacio vectorial P 3, conjunto de los polinomios de gradomenor o igual que 3 con coeficientes reales, los elementos x

3

, x

2

, x, 1, son polinomios de grado menor o igual que 3 y generan P 3; ya que para p = ax3 +bx2 + cx + d vector de P 3, se tiene que


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p = a(x3) + b(x2) + c(x) + d(1);

donde, los escalares son los coeficientes de las potencias del polinomio dado.

Ejemplo 1.13. En el espacio vectorial D2×2(IR) se tiene que las matrices 1 00 0

y

0 00 1

generan el mencionado espacio vectorial; ya que si

a 00 b

es una matriz

diagonal con elementos reales, entonces

a 00 b

= a

1 00 0

+ b

0 00 1

A partir del concepto de combinación lineal se pueden obtener subespaciosde un espacio vectorial V . Se da antes la siguiente definición.

Definición 1.6. Sean v1, v2,...,vr; r vectores de un espacio vectorial V . Enton-ces el espacio generado por estos vectores, denotado por gen{v1, v2, ....., vr},es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2,.....,vr; es decir,

gen{v1, v2,...,vr} = {v : v = α1v1 + α2v2 + ... + αrvr, α1, α2,...,αr,escalares arbitrarios };

En relación a los espacios generados por un conjunto de vectores de un es-pacio vectorial se tiene el siguiente resultado, cuya demostracíon quedará paraque sea realizada por el lector.

Teorema 1.4. Dados los vectores v1, v2,.....,vr de un espacio vectorial V ,gen{v1, v2,.....,vr} es un subespacio de V .

En seguida, se muestran algunos ejemplos de subespacios generados.

Ejemplo 1.14. En el Ejemplo 1.13 se verific´ o que las matrices 1 00 0

y

0 00 1

generan las matrices diagonales de 2 x2 con elementos reales. Pero se sabe que este conjunto es subespacio de M2x2(IR). Es decir, que las dos matrices mencionadas generan el subespacio de las matrices diagonales de dos por dos de M2x2(IR); esto es, si S es dicho subespacio, entonces:

S = gen

1 00 0

,

0 00 1


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Ejemplo 1.15. Consideremos el espacio vectorial IR3 y los vectores v1 =(2, 0, 4) y v2 = (−1, 2, 0). La idea es buscar el subespacio generado por esos dos vectores.

Sea v = (a,b,c) un elemento que está en el subespacio generado por loselementos v1 y v2, entonces existen escalares α1 y α2 tales que

(a,b,c) = α1v1 + α2v2

= α1(2, 0, 4) + α2(−1, 2, 0)= (2α1 − α2, 2α2, 4α1)

con lo cual se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales

2α1 − α2 = a+ 2α2 = b4α1 = c

De la segunda y tercera ecuación del sistema se tiene que

α2 = b

2 y α1 =

c

4,

respectivamente. Reemplazando estos valores en la primera ecuación se llegaa:

c

2 −

b

2

= a

o equivalentemente

2a + b − c = 0con lo cual se tiene finalmente que

gen{(2, 0, 4), (−1, 2, 0)} = {(a,b,c) ∈ IR3 : 2a + b − c = 0}

Se nota que, geométricamente, el conjunto gen{v1, v2} representa un plano enel espacio que pasa por el origen.

Observación 1.8. Referente a este ´ ultimo ejemplo, se verifica que dos vectores no paralelos, en el espacio vectorial IR3, generan un plano que pasa por el origen.

Entre los conceptos más importantes y usados dentro de los espacios vec-toriales, están los conceptos de dependencias lineal e independencia lineal. Parair visualizando este tema veamos la siguiente situación: si en el espacio vecto-rial IR3 se toman los vectores u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 0, 2) y u3 = (1, −3, −1)entonces se verifica que 3u1 − 2u2 = u3 o equivalentemente:

3u1 − 2u2 − u3 = θ;


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lo que significa que el vector cero, θ, es escrito como una combinación lineal delos vectores u1, u2 y u3 sin que necesariamente los escalares correspondientessean ceros.

Al respecto, se entrega la siguiente la definición.

Definición 1.7. Sea V un espacio vectorial y sean v1, v2,...,vn n vectores de V . Entonces se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen n escalares α1, α2,.....,αn, no todos nulos, tales que

α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = θ (1.2)

Si dichos vectores no son linealmente dependientes se dicen que son lineal-mente independientes.

Observación 1.9. Una forma alternativa de decir que los vectores son lineal-

mente independientes es que si se tiene la ecuaci´ on (1.2), entonces

α1 = α2 = ... = αn = 0

Ejemplo 1.16. En el espacio vectorial IR3 los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, 0) son linealmente independientes.

En efecto:Sean α1, α2 y α3 tales que

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) = (0, 0, 0) (1.3)

entonces:

(α1 + α2 + α3, α1 + α2, α1) = (0, 0, 0).

Se recuerda que dos elementos de IR3 son iguales si son iguales componente acomponente; es decir, de la igualdad anterior, debe tenerse que:

α1 + α2 + α3 = 0α1 + α2 = 0α1 = 0

con lo que, resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se llega a la únicasolución:

α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0

Luego, la única posibilidad en obtener la ecuacíon (1.3) es que los escalares queintervienen sean todos iguales a cero; lo que verifica que los elementos (1, 1, 1),(1, 1, 0) y (1, 0, 0) son linealmente independientes.

Ejemplo 1.17. Consideremos el espacio vectorial P 2 y el subconjunto {x2

−3x, 3x2 + 4, 11x2 − 6x + 12} de este espacio. Entonces dicho subconjunto cons-tituye un conjunto linealmente denpendiente de P 2.


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En efecto:Si α1, α2 y α3 son escalares tales que:

α1(x2 − 3x) + α2(3x2 + 4) + α3(11x2 − 6x + 12) = 0t2 + 0t + 0 (1.4)

o sea:

(α1 + 3α2 + 11α3)x2 + (−3α1 − 6α3)x + 4α2 + 12α3 = 0t2 + 0t + 0

Ahora, utilizando el hecho de que dos polinomios son iguales si los coeficientesde las potencias correspondientes son iguales, se tiene el siguiente sistema deecuaciones lineales:

α1 + 3α2 + 11α3 = 0−3α1 − 6α3 = 0

4α2 + 12α3 = 0

De la segunda ecuación del sistema se tiene que α1 = −2α3, con lo cual re-emplazando α1 en la primera ecuación, el sistema de tres ecuaciones linealesanterior queda reducido al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

3α2 + 9α3 = 04α2 + 12α3 = 0

Claramente, las dos ecuaciones son iguales y se tiene que α2 = −3α3. Entoncesel sistema original tiene infinitas soluciones dadas por:

α1 = −2α3, α2 = −3α3Aśı, por ejemplo, si α3 = 1 entonces α1 = −2 y α2 = −3, con lo cual paraque la ecuación (1.4) se satisfaga no todos los escalares involucrados deben sernulos y por tanto el conjunto {x2 − 3x, 3x2 + 4, 11x2 − 6x + 12} es un conjuntolinealmente dependiente.

La noción de independencia lineal tiene especial importancia en lo queconstituye una base de un espacio vectorial, que puede ser considerado comoel conjunto que representa a un espacio vectorial.

Por ejemplo, en el espacio IR3 cualquier vector (a,b,c) puede ser escritocomo

(a,b,c) = ai + b j + ck;

donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los llamados vectoresunitarios. Estos vectores generan IR3 y también se verifica, fácilmente, que son

linealmente independientes.De la idea anterior surge la siguiente definición de base de un espaciovectorial.


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Definición 1.8. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores

{v1, v2,...,vn},

subconjunto de V , se dice base de V si:

i) {v1, v2,...,vn} es un conjunto linealmente independiente.ii) {v1, v2,...,vn} genera a V .

Ejemplo 1.18. En un ejemplo anterior (Ejemplo 1.11) se vio que en el espaciovectorial IR3 el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera dicho espacio.Pues bien, si se tienen escalares α1, α2 y α3 tales que:

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) (1.5)

lo que equivale a:

(α1, α2, α3) = (0, 0, 0)

obteniéndose que:

α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0

Es decir, la única forma de que se cumpla la ecuación (1.5) es que los escalares

involucrados sean todos nulos, lo que nos dice que el conjunto

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}es un conjunto linealmente independiente.

Dado que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera el espacio vecto-rial IR3 y además es un conjunto linealmente independiente, entonces resultaser una base de IR3.

Ejemplo 1.19. Con relaci´ on al ejemplo anterior se tiene que, en general, si

se define e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), e3 = (0, 0, 1, 0, ..., 0),..., en =(0, 0, 0, ..., 1), elementos de IRn, entonces el conjunto {e1, e2,..,en} constituye una base para el espacio vectorial IRn. El conjunto {e1, e2,..,en} es la llamada base canónica de IRn.

Ejemplo 1.20. En el espacio vectorial M2×2(IR), el conjunto: 1 00 0

,

0 10 0

,

0 01 0

,

0 00 1

es una base para dicho espacio vectorial. Se puede verificar de forma simple que es un conjunto generador de M2x2(IR) y que es un conjunto linealmente independiente.


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En efecto,Si se tienen los escalares α1, α2, α3 y α4 tales que:

α1

1 00 0

+ α2

0 10 0

+ α3

0 01 0

+ α4

0 00 1

=

0 00 0

o equivalentemente: α1 α2α3 α4

=

0 00 0

entonces, claramente α1 = α2 = α3 = α4 = 0; lo que indica que se trata de unconjunto linealmente independiente.Por otro lado, cualquier elemento de M2x2(IR):

a bc d

puede ser escrito como

a bc d

= a

1 00 0

+ b

0 10 0

+ c

0 01 0

+ d

0 00 1

lo que indica que el conjunto genera M2×2(IR). Dicha base recibe el nombrede base canónica de M2×2(IR).

Ejemplo 1.21. En el Ejemplo 1.12 se verific´ o que el conjunto {x3, x2, x, 1}es un conjunto generador de P 3; el conjunto de polinomios de grado menor oigual a 3 con coeficientes reales. También, en forma an´ aloga se puede verificar que es un conjunto linealmente independiente. Por lo tanto, dicho conjuntoconstituye una base para P 3.

En general se verifica que el conjunto {xn, xn−1, ....., x, 1} es un base para P n; el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales, con n un n´ umero natural. En forma an´ aloga a los ejemplos anteriores,esta base recibe el nombre de base canónica de P n.

A continuación se presentan ejemplos en la cual se verifica que existenbases en los espacios vectoriales en la cual no son conjuntos canónicos.

Ejemplo 1.22. Si se consideran el espacio vectorial IR3 y el subconjunto de este espacio vectorial A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Entonces A es una base de IR3.

En efecto:

i) En el Ejemplo 1.16 se probó que los elementos de IR

3

del conjunto Aeran linealmente independientes; es decir, el conjunto A es linealmenteindependiente.


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ii) Sea (x,y,z ) cualquier elemento de IR3 y supongamos que existen α1, α2y α3 tales que:

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) = (x , y, z );o equivalentemente:

(α1 + α2 + α3, α1 + α2, α1) = (x,y,z );

con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en lasincógnitas α1, α2 y α3:

α1 + α2 + α3 = xα1 + α2 = y

α1 = z

Resolviendo este sistema se tiene que:

α1 = z, α2 = y − z, α3 = x − yEsto prueba que el conjunto A genera a IR3.

i) y ii) verifican que A es base para el espacio vectorial IR3

Ejemplo 1.23. En el espacio vectorial

P 3, el conjunto

{1, t2 + 1, t3 + t2, t3 + t

}de elementos de P 3, es una base para este espacio vectorial.En efecto,

i) Sean α1, α2, α3 y α4, tales que:

α1(1) + α2(t2 + 1) + α3(t

3 + t2) + α4(t3 + t) = 0t3 + 0t2 + 0t + 0,

y operando en el primer miembro se tiene:

(α3 + α4)t3

+ (α2 + α3)t2

+ α4t + α1 + α2 = 0t3

+ 0t2

+ 0t + 0De la igualdad de polinomios, se llega al siguiente sistema de ecuacioneslineales:

α3 + α4 = 0α2 + α3 = 0

α4 = 0α1 + α2 = 0

De la tercera ecuación se tiene que α4 = 0. Reemplazando este valor en la

primera ecuacíon, α3 = 0. Si los dos valores anteriores son reemplazadosen la segunda y cuarta ecuación se obtiene: α2 = 0 y α1 = 0. Lo anteriorindica que el conjunto en cuestión es linealmente independiente.


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ii) Sea at3 + bt2 + ct + d cualquier elemento de P 3. Supongamos que existemescalares α1, α2, α3 y α4 tales que:

α1(1) + α2(t2 + 1) + α3(t

3 + t2) + α4(t3 + t) = at3 + bt2 + ct + d,

y operando en el primer miembro se tiene:

(α3 + α4)t3 + (α2 + α3)t

2 + α4t + α1 + α2 = at3 + bt2 + bt + d

Nuevamente, de la igualdad de polinomios se llega al siguiente sistemade ecuaciones lineales:

α3 + α4 = aα2 + α3 = b

α4 = cα1 + α2 = d

Resolviendo este sistema se obtiene:

α1 = a − b − c + d, α2 = −a + b + c, α3 = a − c, α4 = c

Lo anterior indica que cualquier polinomio de grado menor o igual que

tres puede ser escrito como una combinación lineal de los elementos1, t2 + 1, t3 + t2 y t3 + t. Aśı, dichos elementos generan P 3

i) y ii) verifican que el conjunto {1, t2 + 1, t3 + t2, t3 + t} es una base para P 3.

Ejemplo 1.24. En el Ejemplo 1.15 se demostr´ o que los vectores en IR3,(2, 0, 4) y (−1, 0, 3) generan el plano de ecuaci´ on 2x + y − z = 0, que co-rresponde a un subespacio del espacio vectorial IR3. Estos vectores, aparte de generar este plano, forman un conjunto linealmente independiente. Lo anterior nos lleva a concluir que el conjunto

{(2, 0, 4), (

−1, 0, 3)

} constituye una base

para el plano de ecuaci´ on 2x + y − z = 0.

A continuación se entrega un resultado importante sobre bases de unespacio vectorial lo que dará origen al concepto de dimensión de un espaciovectorial.

Teorema 1.5. Toda base de un espacio vectorial V tiene el mismo n´ umero de elementos.

Definición 1.9. El n´ umero de elementos de cualquier base de un espacio vec-

torial V recibe el nombre de dimensión de V y se denota por dim(V).

De acuerdo a los ejemplos anteriores se tiene entonces que:


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1.- dim(IR3) = 3. En general, para cualquier número natural n,dim(IRn) = n

2.- dim(

P 3) = 4. En general para cualquier número natural n,

dim(P n) = n + 1.3.- dim(M2x2(IR)) = 4.

Con respecto de los conceptos de base y dimensión se tiene el siguienteresultado importante.

Teorema 1.6. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on n. Si el conjunto de elementos de V , A = {v1, v2,.....,vn} es linealmente independiente, entonces A es una base para V .

Ejemplo 1.25. En el espacio vectorial IR3, el conjunto

B = {(−1, 1, −1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}es un conjunto linealmente independiente y por lo tanto una base de IR3.

En efecto,Sean los escalares α1, α2 y α3 tales que

α1(−1, 1, −1) + α2(1, 0, 1) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0),con lo cual se tiene que:

(−α1 + α2, α1, −α1 + α2 + α3) = (0, 0, 0);obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

−α1 + α2 = 0α1 = 0

−α1 + α2 + α3 = 0De la segunda ecuación se tiene que α1 = 0. Si se reemplaza este valor en

la primera ecuación y después en la tercera se llega a que α2 = 0 y α3 = 0,respectivamente. Esto verifica que B es un conjunto linealmente independiente.Como se sabe que dim(IR3) = 3 y B es un conjunto linealmente independientecon tres elementos; constituyendo una base para IR3.

1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

Esta sección se abocará a estudiar un tipo especial de funciones. Aparte de

tener que cumplir unas condiciones diferentes a las funciones reales valuadasconocidas, la particularidad que tendrán dichas funciones es que van de unespacio vectorial en otro.


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1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 21

1.2.1. Definiciones y Ejemplos

Definición 1.10. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K .Una Transformaci´ on Lineal (T.L.) T es una funci´ on que asigna a cada vector

v ∈ V un ´ unico vector T (v) ∈ W y que satisface , para cada u, v en V y cada α ∈ K :

1. T (u + v) = T (u) + T (v)

2. T (αu) = αT (u)

Observación 1.10. En lo que sigue V y W denotar´ an espacios vectoriales sobre el cuerpo de los n´ umeros reales IR.

Ejemplo 1.26. Sea T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + y, x − y, 3y).Entonces T es una transformaci´ on lineal.

En efecto:Sean (x1, y1) y (x2, y2) en IR

2 y α en IRi) T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2)

=((x1+x2)+(y1+y2), (x1+x2)−(y1+y2), 3(y1+y2))=((x1+y1)+(x2 +y2), (x1−y1)+(x2−y2), 3y1+3y2)=(x1 + y1, x1

−y1, 3y1) + (x2 + y2, x2

−y2, 3y2)

=T (x1, y1) + T (x2, y2)

Aśı T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1, y1) + T (x2, y2)

ii) T (α(x1, y1)) = T (αx1, αy1)= (αx1 + αy1, αx1 − αy1, 3αy1)= (α(x1 + y1), α(x1 − y1), 3αy1)= α(x1 + y1, x1 − y1, 3y1)= αT (x1, y1)

Aśı T (α(x1, y1)) = αT (x1, y1)

Por lo tanto, i) y ii) verifican que T es una transformación lineal.

Ejemplo 1.27. Sea I : V → V definida por I (v) = v, entonces I es una transformaci´ on lineal.

Para todo u y v en V y α en IR se tiene que:i) I (u + v) = u + v = I (u) + I (v)

ii) I (αu) = αu = αI (u)

Aśı i) y ii) verifican que I es una transformación lineal.


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Ejemplo 1.28. Sea T : M 2x2(IR) −→ IR2; donde M 2x2(IR) es el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, tal que:

T a b

c d

= (a + c, b + d)

Entonces T definida de esta manera es un transformaci´ on lineal.

En efecto:

Sean

a bc d

y

e f g h

en M 2x2(IR) y sea α en IR, luego:

i) T

a bc d

+

e f g h

= T

a + e b + f c + g d + h

= ((a + e) + (c + g), (b + f ) + (d + h))

= ((a + c) + (e + g), (b + d) + (f + h))

= (a + c, b + d) + (e + g, f + h)

= T

a bc d

+ T

e f g h

ii) T

α

a bc d

= T

αa αbαc αd

= (αa + αc,αb + αd)= (α(a + c), α(b + d))

= α(a + c, b + d)= αT

a bc d

i) y ii) verifican que T es una transformación lineal.

A continuación se darán algunas propiedades básicas de las transforma-ciones lineales:

Proposición 1.1. Sean T y L dos transformaciones lineales de V en W ,entonces:

a) T (−v) = −T (v), para todo v en V .b) T (θV ) = θW ; donde θV es el vector nulo del espacio vectorial V y θW es

el vector nulo del espacio vectorial W .

c) T + L es una T.L..

d) αT es una transformaci´ on lineal, para todo escalar α.

Demostración

a) De la definición de transformación lineal.b) Sea v en V , entonces:T (θV ) = T (v + (−v))


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= T (v) + T (−v), (por ser T T.L..)= T (v) + (−T (v)), (de la definición de transformación lineal.)= T (v) − T (v), (por propiedad de espacios vectoriales, (T (v) ∈W ))

= θW c) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces:

i) (T + L)(u + v) = T (u + v) + L(u + v), (por definición de suma de

funciones).

= (T (u) + T (v)) + (L(u) + L(v)), (T y L son T.L.).

= (T (u) + L(u)) + (T (v) + L(v)), (por conmutatividad y

asociatividad en un espacio vectorial).

= (T + L)(u) + (T + L)(v), (por definición de suma de

funciones).

ii) (T + L)(λu) = T (λu) + L(λu), (por definición de suma de funciones).

= λT (u) + λL(u), (T y L T.L.).

= λ(T (u) + L(u))

= λ(T + L)(u), (por definición de suma de funciones).

De i) y ii) se tiene que T + L es una T.L. de V en W .

d) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces:

i) (αT )(u + v) = αT (u + v), (por propiedades de funciones).

= α(T (u) + T (v)), (T es una T.L.).

= αT (u) + αT (v).

= (αT )(u) + (αT )(v), (por propiedad de funciones).

ii) (αT )(λu) = αT (λu).

= α(λT (u)), (T es T.L.).

= λ(αT (u)) = λ(αT )(u).

De i) y ii) se tiene que αT es una T.L..

Proposición 1.2. Si T : V −→ W y L : W −→ Z son transformaciones lineales, entonces:

L ◦ T : V −→ Z

es una transformaci´ on lineal.

Demostración. Cualesquiera sean u, v en V y cualquier escalar λ se tiene:


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i) (L ◦ T )(u + v) = L(T (u + v)), (por definición de composición de funciones).= L(T (u) + T (v)), (T es una T.L.).

= L(T (u)) + L(T (v)), (L es una T.L.).

= (L ◦ T )(u) + (L ◦ T )(v), (por definición de composición defunciones).

ii) (L ◦ T )(λu) = L(T (λu)), (por definción de composición de funciones).= L(λT (u)), (T es una T.L.).

= λL(T (u)), (L es una T.L.).

= λ(L ◦ T )(u), (por definición de composición de funciones).

De i) y ii) se tiene que L

◦T es una transformación lineal.

Proposición 1.3. Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Enton-ces para todos los vectores u,v,v1, v2, . . . . . . , vn en V y todos los escalares α1, α2, . . . . . , αn se tiene que:

a) T (u − v) = T (u) − T (v)b) T (α1v1 + α2v2 + . . . . . + αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + . . . . . + αnT (vn)

Observación 1.11. Esta ´ ultima proposici´ on puede ser verificada f´ acilmente.

La demostraci´ on de parte a) se basa en la demostraci´ on de la Proposici´ on 1.1parte a) y la parte b) se realiza por inducci´ on.

Definición 1.11. Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Se llama Kernel o Núcleo de T al conjunto de todos los vectores v tales que su imagen es el vector nulo de W y se denota por Ker(T ); es decir,

Ker(T ) = {v ǫ V : T (v) = θW }

Definición 1.12. Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Se llama Imagen de T al conjunto de las imagenes de todos los vectores de V ; es decir,al recorrido de la funci´ on T y se denota por Im(T ). Aśı:

Im(T ) = {y ǫ W : ∃ x ǫ V, T (x) = y}o tambíen

Im(T ) = {T (x) : x ǫ V }Para los conjuntos Ker(T ) e I m(T ) recién definidos, se tiene el siguiente

resultado importante.

Teorema 1.7. Si T : V −→ W es una transformaci´ on lineal, entonces


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a) Ker(T ) es un subespacio de V .

b) Im(T ) es un subespacio de W .

Demostración

a) i) Si u y v son elementos del Ker(T ), entonces T (u) = θW y T (v) =θW . Luego T (u + v) = T (u) + T (v) = θW + θW = θW , con lo cualu + v es un elemento del Ker(T ).

ii) Si λ es un escalar y u es un elemento del K er(T ), entonces T (λu) =λT (u) = λθW = θW , y aśı λu es un elemento del Ker(T ).

De i) y ii) Ker(T ) es un subespacio de V

b) i) Si w1 y w2 son elementos del I m(T ), entonces existen u y v en V talque T (u) = w1 y T (v) = w2. Luego w1+w2 = T (u)+T (v) = T (u+v)y como u+v es un elemento del V , w1+w2 es un elemento de Im(T ).

ii) Si λ es un escalar y w es un elemento del Im(T ), entonces existe uen V tal que T (u) = w, con lo cual T (λu) = λT (u) = λw y comoλu es un elemento de V , entonces λw es un elemento de Im(T ).

Aśı de i) y ii) se verifica que I m(T ) es un subespacio de W .

Ejemplo 1.29. Sea T : V

−→ V , la transformaci´ on lineal identidad; es decir

T (v) = v, entonces Ker(T ) = {θV } e Im(T ) = V Ejemplo 1.30. Sea T : IR3 −→ IR3 definida por T (x , y, z ) = (x,y, 0). Si T (x,y,z ) = (0, 0, 0) entonces, (x,y, 0) = (0, 0, 0), con lo cual x = 0 e y = 0 y aśı K er(T ) = {(0, 0, z ) : z ∈ IR}. Por la definici´ on de T , I m(T ) = {(x,y, 0) :x, y ∈ IR} = IR2.

Definición 1.13. Si T es una transformaci´ on lineal de V en W , entonces se define Nulidad de T , denotado por ρ(T ), a la dimensi´ on de Ker(T ) y

Rango de T, denotado por ν (T ), a la dimensi´ on de Im(T ).

A modo de ilustración, para la transformación lineal del Ejemplo 1.30, setiene ρ(T ) = 1 y ν (T ) = 2.

La siguiente proposición sirve para obtener de una manera fácil un conjunto generador del subespacio Im(T ) .

Proposición 1.4. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V y T : V −→ W una transformaci´ on lineal, entonces {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}genera Im(T ).


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Demostración. Sea w un elemento de la I m(T ), entonces existe v en V tal queT (v) = w. Como v es un elemento de V existen escalares α1, α2, . . . . αn talesque

v = α1v1 + α2v2 + . . . . + αnvn;

de donde,

w = T (v) = T (α1v1 + α2v2 + . . . . + αnvn)

Por propiedad de transformación lineal se tiene que:

w = α1T (v1) + α2T (v2) + . . . + αnT (vn)

con lo cual el vector w es una combinación lineal de T (v1), T (v2),...,T (vn). Co-mo w es un elemento arbitrario en el espacio Im(T ),

{T (v1), T (v2),...,T (vn)

}genera Im(T ).

Ejemplo 1.31.1.-Sea T : IR2 −→ IR3 definida por T (x, y) = (x + y, x − y, 3y), una transformaci´ on lineal. Tomemos la base can´ onica de IR2 ; es decir, el conjunto{(1, 0), (0, 1)}. Ahora, T (1, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1) = (1, −1, 3). Por proposici´ on anterior, se tiene que I m(T ) es el conjunto generado por los elementos (1, 1, 0)y (1, −1, 3); siendo estos elementos linealmente independientes y por lo tanto forman una base para Im(T ).

2.- Sea T : IR3 −→ IR2 definida por T (x,y,z ) = (x, y + z ), una transfor-maci´ on lineal. Consideremos la base can´ onica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de IR3. Al evaluar T en cada elemento de la base se tiene que T (1, 0, 0) = (1, 0),T (0, 1, 0) = (0, 1) y T (0, 0, 1) = (0, 1); es decir Im(T ) es generada por los ele-mentos (1, 0) y (0, 1), que conforman la base can´ onica de IR2. Aśı I m(T ) = IR2.

La siguiente proposición, establece que una transformación inyectiva trans-

forma una base de V en una base de Im(T ). La subsiguiente proposición, daun criterio para determinar cuando una transformación lineal es inyectiva.

Proposición 1.5. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V y T : V −→ W una transformaci´ on lineal inyectiva, entonces {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}es una base de Im(T ).

Demostración.

Sean k1, k2, . . . , kn n escalares tales que:

k1T (v1) + k2T (v2) + · · · + knT (vn) = θW .


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De la linealidad de T y T (θV ) = θW , podemos reescribir la identidad anteriorcomo,

T (k1v1 + k2v2 + · · · knvn) = T (θV ).

Como T es inyectiva se tiene que

k1v1 + k2v2 + · · · knvn = θV .

Pero como{v1, v2, . . . , vn} es una base de V , se deduce que k1 = k2 = · · · = kn =0; con lo cual el conjunto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} es un conjunto linealmen-te independiente. De la Proposición 1.4 el conjunto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}genera Im(T ) y por lo tanto es una base de Im(T ).

Proposición 1.6. Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Entonces, T es inyectiva śı y s´ olo si Ker(T ) = {θV }.Demostración. La demostración se realizará por doble implicación

=⇒) Supongamos que T es una transformación lineal inyectiva. Luegou ǫ Ker(T ) se tiene que

T (u) = θW o T (u) = T (θV ),

dado que T (θV ) = θW . De la inyectividad de T resulta u = θV , con locual Ker(T ) = {θV }.⇐=) Supongamos ahora que Ker(T ) = {θV }. Sean u y v ∈ V tal queT (u) = T (v), luego:

T (u) − T (v) = θW y como T es una transformación lineal implica que

T (u − v) = θW Esta última ecuación dice que u − v ∈ Ker(T ) y como supusimos queKer(T ) = {θV } se tiene que u = v, lo que indica que T es inyectiva.

Observación 1.12. La inyectividad de una transformaci´ on lineal queda sujeta a si el Kernel va ser el conjunto que solo contiene al vector nulo. La sobreyecti-vidad va a depender si la Imagen es todo el co-dominmio de la transformaci´ on.De lo anterior se puede decir que una transformaci´ on lineal es biyectiva si el Kernel es el conjunto que s´ olo contiene al vector nulo y la Imagen es el espacio vectorial de llegada de la transformaci´ on.


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Proposición 1.7. Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal biyectiva. En-tonces la transformaci´ on inversa T −1 : W −→ V es también una trasformaci´ on lineal.

La demostración de la proposición anterior se deja como ejercicio.A continuación se enuncian dos resultados importantes de transformacio-nes lineales y cuyas demostraciones no serán desarrolladas:

Teorema 1.8. (Teorema de las dimensiones). Si T : V −→ W es una transformaci´ on lineal, entonces:

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T ))

En referencia al teorema anterior, si se considera el Ejemplo 1.30 en elcual se tiene la transformación lineal T : IR3 −→ IR3, definida por T (x,y,z ) =(x,y, 0), se obtuvo que Ker(T ) =

{(0, 0, z ) : z

∈ IR

} y Im(T ) = IR2; de

donde se tiene que:

dim(IR3) = dim(Kert(T )) + dim(Im(T ))

3 = 1 + 2

Teorema 1.9. (Teorema Fundamental del Algebra Lineal). Sean {v1, v2, . . . . vn},una base de V y {w1, w2, . . . . , wn} un conjunto arbitrario de vectores de W . En-tonces existe una ´ unica transformaci´ on lineal T : V −→ W , tal que T (vi) = wi,i = 1, 2, . . . . , n.

Ejemplo 1.32. Sea la transformaci´ on lineal T : P 2 −→ IR2 tal que T (t + 1) =(1, −1), T (−t2 + 1) = (0, −1) y T (t2 − t) = (1, 0). Bajo estas condiciones se puede obtener la ecuaci´ on que define la transformaci´ on.

En efecto:Se verifica que el conjunto {t + 1, −t2 + 1, t2 − t} es una base de P 2 y de

hecho cualquier vector at2+bt+c de P 2 se puede escribir como una combinaciónlineal de los elementos de esta base de la siguiente manera:

at2 + bt + c = a + b + c

2 (t + 1) − a + b − c

2 (−t2 + 1) + a − b + c

2 (t2 − t)

Aplicando la transformación T en ambos miembros:

T (at2 + bt + c) = a + b + c

2 T (t + 1) − a + b − c

2 T (−t2 + 1)

+a − b + c

2 T (t2 − t)

= a + b + c

2 (1, −1) − a + b − c

2 (0, −1) + a − b + c

2 (1, 0)

= (a + c, −c)


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1.2.2. Representación Matricial de una TransformaciónLineal

El operar con transformaciones lineales a veces puede resultar un pocodificultoso. En esta subsección veremos que cualquier transformación linealpuede ser representada por una matriz y, que de acuerdo a algunos resultados,el operar con transformaciones lineales es equivalente a operar con matricesasociadas, resultando esto último más sencillo.

Sean B1 = {v1, v2, . . . . , vn} y B2 = {w1, w2, . . . . , wm}, bases de V y W ,respectivamente. Consideremos una transformación lineal T : V −→ W . En-tonces se tendŕıa lo siguiente: si aij son escalares, i = 1,...,m; j = 1,..n,entonces

T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . . . . . . + am1wmT (v2) = a12w1 + a22w2 + . . . . . . . + am2wm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . . . . . + amnwm

La matriz:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n... ...

. . . ...

am1 am2 . . . amn

,cuya j-ésima columna está formada por los escalares a1 j , a2 j , . . . , amj del trans-formado por T del j-ésimo elemento de la base B1 con respecto de la base B2,se llama Matriz Asociada a T con respecto de las bases B1 y B2.

La matriz aśı definida es denotada por M [T ]B1B2 o [T ]B1B2 . Se puedeobservar que el orden de dicha matriz es de m × n, donde m es la dimensiónde W y n es la dimensión de V .

Ejemplo 1.33. Sea T : IR3 −→ IR2 una transformaci´ on lineal, tal que:T (x,y,z ) = (x+y, z ). Consideremos las bases B1 = {(3, 0, 0), (1, 2, −1), (0, 1, 5)}de IR3 y B2 = {(1, −1), (2, −3)} de IR2. Entonces:

T (3, 0, 0) = (3, 0) = 9(1, −1) − 3(2, −3)T (1, 2, −1) = (3, −1) = 7(1, −1) − 2(2, −3)T (0, 1, 5) = (1, 5) = 13(1, −1) − 6(2, −3)

Aśı, la matriz asociada a la transformaci´ on es:

[T ]B1B2 =

9 7 13−3 −2 −6


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Ejemplo 1.34. Sea la transformaci´ on lineal T : P 3(t) −→ P 2(t), definida por T ( p(t)) = p′(t). Considerando las bases can´ onicas B1 =

{1, t , t2, t3

} en

P 3(t) y

B2 = {1, t , t2} en P 2(t), se tiene que:T (1) = 0 = 0(1) + 0(t) + 0(t2)

T (t) = 1 = 1(1) + 0(t) + 0(t2)

T (t2) = 2t = 0(1) + 2(t) + 0(t2)

T (t3) = 3t2 = 0(1) + 0(t) + 3(t2)

con lo cual, la matriz asociada a la transformaci´ on lineal es:

[T ]B1B2 = 0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 3

Observación 1.13. Notemos que si se cambia el orden en las bases, la matriz asociada a la transformaci´ on también cambia.

En lo que resta enunciamos dos proposiciones, de una cierta importanciateórica y, que para efecto de este material, no se requiere de sus demostraciones.

Proposición 1.8. Sean B1 = {v1, v2, . . . . . . , vn}, B2 = {w1, w2, . . . . . . , wm}bases de V y W , respectivamente, y A una matriz de orden m×n con elementos en IR. Entonces existe una ´ unica transformaci´ on lineal T de V en W tal que [T ]B1B2 = A.

Ejemplo 1.35. Consideremos la matriz con elementos reales:

A = 2 −1 34

−2 6

−6 3 −9 ¿Cu´ al ser´ a la transformaci´ on lineal T de IR3 en IR3 y cuya matriz asociada sea A con respecto de la base can´ onica de IR3?.

De la definición de matriz asociada a una transformación lineal, la transfor-mación T debe ser tal que:

T (1, 0, 0) = 2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) − 6(0, 0, 1) = (2, 4, −6)T (0, 1, 0) = −1(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) − 3(0, 0, 1) = (−1, −2, 3)T (0, 0, 1) = 3(1, 0, 0) + 6(0, 1, 0) − 9(0, 0, 1) = (3, 6, −9)

Por otra parte si (x,y,z ) ∈ IR3

, entonces:

(x,y,z ) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z (0, 0, 1)


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con lo cual:

T (x,y,z ) = T (x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z (0, 0, 1))

= xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1)

por propiedad de transformaciones lineales. O sea se tiene que:

T (x,y,z ) = x(2, 4, −6) + y(−1, −2, 3) + z (3, 6, −9)= (2x − y + 3z, 4x − 2y + 6z, −6x + 3y − 9z )

que corresponde a la expresión de la transformación lineal buscada.

Ejemplo 1.36. Sea la matriz:

A =

1 0 0

2 1 40 0 33 2 0

Entonces se desea encontrar la transformaci´ on lineal T : IR3 −→ P 3(t); con respecto de las base B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} de IR3 y B2 = {1, t , t2, t3}de P 3(t).

De partida se tiene queT (1, 1, 1) = 1(1) + 2(t) + 0(t2) + 3(t3) = 1 + 2t + 3t3

T (1, 1, 0) = 0(1) + 1(t) + 0(t2) + 2(t3) = t + 2t3

T (1, 0, 0) = 0(1) + 4(t) + 3(t2) + 0(t3) = 4t + 3t2

Ahora, (x,y,z ) ∈ IR3 implica que:(x , y, z ) = z (1, 1, 1) + (y − z )(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0)

y por lo tanto:

T (x,y,z ) = T (z (1, 1, 1) + (y − z )(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0))= zT (1, 1, 1) + (y − z )T (1, 1, 0) + (x − y)T (1, 0, 0)= z (1 + 2t + 3t3) + (y − z )(t + 2t3) + (x − y)(4t + 3t2)= z + (4x − 3y + z )t + 3(x − y)t2 + (z + 2y)t3

Y aśı se ha obtenido la transformación lineal.

Observación 1.14. El vector coordenado de un elemento v de V con res-pecto de una base B corresponde a un vector columna cuyos elementos son los escalares de la combinaci´ on lineal de los elementos de la base B que da origen a v y se denota por [v]B.

Por ejemplo, en el espacio vectorial IR3 si se tienen la base B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}y v = (2, 0, −1), un elemento de IR3, entonces:

v = (2, 0, −1) = −1(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0),con lo cual


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[v]B =

−1

12

Proposición 1.9. Sean B1 = {v1, v2, . . . . . . , vn}, B2 = {w1, w2, . . . . . . wm}bases de V y W , respectivamente. Si T : V −→ W es una transformaci´ on lineal, entonces:

[T ]B1B2[v]B1 = [T (v)]B2

Es decir, al multiplicar la matriz asociada a T , con respecto de las bases B1y B2, por el vector coordenado de v, con respecto de la base B1 se obtiene el

vector coordenado de la imagen de v por T respecto de la base B2.

Ejemplo 1.37. Consideremos la transformaci´ on lineal T : IR3 −→ IR2 tal que T (x , y, z ) = (x−y+z, −2x+2y−2z ) y las bases B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},B2 = {(1, −1), (2, 3)} de IR3 y IR2, respectivamente. Entonces, veamos que la Proposici´ on 1.9 se verifica

En efecto:T (1, 0, 0) = (1,

−2) = 7

5(1,

−1)

− 15

(2, 3)

T (0, 1, 0) = (−1, 2) = −75

(1, −1) + 15

(2, 3)

T (0, 0, 1) = (1, −2) = 75

(1, −1) − 15

(2, 3)

Luego la matriz asociada a la transformación T es :

[T ]B1B2 =

75 −75 75

−15

15 −1

5

Por otro lado si (x,y,z ) ∈ IR3, entonces:

(x,y,z ) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z (0, 0, 1),

con lo cual

[(x,y,z )]B1 =

xy

z

También si (a, b) ∈ IR2, cualquiera, se tiene que:

(a, b) = 3a

−2b

5 (1, −1) + a + b

5 (2, 3)

y entonces


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[(a, b)]B2 =

3a−2b

5

a+b5

Aśı,

[T ]B1B2[(x , y, z )]B1 =

75 −75 75

−15

15

−15

xy

z

=

75x − 75y + 75z

−15

x + 15

y − 15

z

=

75(x − y + z )

15

(−x + y − z )

Ahora,T (x,y,z ) = (x

−y + z,

−2x + 2y

−2z )

= 75

(x − y + z )(1, −1) + 15

(−x + y − z )(2, 3)por lo que:

[T (x , y, z )]B2 =

75(x − y + z )

15

(−x + y − z )

y aśı la igualdad mencionada en la proposición anterior se cumple.

A continuación se enuncian algunas propiedades interesantes, sin demos-

trar, y se muestran algunos ejemplos en la cual se puede visualizar la utilidadque puede prestar una matriz asociada a una transformación lineal cuando sedesea operar con transformaciones lineales.

Proposición 1.10. Sean L y T dos transformaciones lineales de V en W .Sean B1 y B2 base de V y W , respectivamente y λ un escalar. Entonces:

i) [L + T ]B1B2 = [L]B1B2 + [T ]B1B2

ii) [λL]B1B2 = λ[L]B1B2

Proposición 1.11. Sean T : V −→ W y L : W −→ Z dos tranformaciones lineales. Sean B1, B2 y B3 bases de V , W y Z , respectivamente. Entonces:

[L ◦ T ]B1B3 = [L]B2B3[T ]B1B2Respecto del resultado anterior, se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.38. Sean las transformaciones lineales T : IR −→ IR2 y L : IR2 −→ IR3, definidas como:

T (x) = (x, −x), L(x, y) = (x,y,x − y)Si se consideran las bases B1 = {1}, B2 = {(1, 2), (−1, 0)} y B3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)} de IR, IR

2

y IR

3

, respectivamente, entonces se quiere encon-trar la matriz asociada a la transformaci´ on lineal L ◦ T y a partir de ella obtener la ecuaci´ on que rige dicha transformaci´ on.


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Para obtener primero la matriz asociada a T se ve que

T (1) = (1, −1) = −12

(1, 2) − 32

(−1, 0),

de donde

[T ]B1B2 =

−12

−32

es la matriz asociada a la transformación lineal T con respecto de las bases B1y B2. Por otro lado se tiene que

L(1, 2) = (1, 2,

−1) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0)

−1(0, 0, 1)

L(−1, 0) = (−1, 0, −1) = −1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1)con lo que

[L]B2B3 =

1 −12 0

−1 −1

por la Proposición 1.11 se tiene que

[L ◦ T ]B1B3 = [L]B2B3 [T ]B1B2

=

1 −12 0

−1 −1

−12

−32

=

1

−12

De la matriz asociada a la transformación L ◦ T : IR −→ IR3, se tiene que

(L ◦ T )(1) = 1(1, 0, 0) − 1(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) = (1, −1, 2)Luego para cualquier x en IR

(L ◦ T )(x) = (L ◦ T )(x · 1) = x(L ◦ T )(1) = x(1, −1, 2)De esta manera la ecuación de la transformación lineal es

(L ◦ T )(x) = (x, −x, 2x)


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Observación 1.15. Para la transformaci´ on lineal identidad I : V −→ V ;donde V es un espacio vectorial de dimensi´ on n, la matriz asociada a I con respecto de una base B es la matriz identidad de orden n. Es decir,

[I ]BB =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . 1

Proposición 1.12. Sea T : V −→ V una transformaci´ on lineal biyectiva. Si B es una base de V entonces [T ]BB es una matriz invertible y

[T ]−1BB = [T −1]BB

Ejemplo 1.39. Sea T : IR2 −→ IR2 una transformaci´ on lineal definida por T (x, y) = (x, x + y)

Usando la propiedad [T ]−1BB = [T −1]BB ; donde [T ]BB es la matriz asociada a T

con respecto de la base B = {(1, 0), (1, 2)}, la idea es encontrar la aplicaci´ on inversa T −1.En efecto:Evaluando T en los dos elementos de la base se tiene:

T (1, 0) = (1, 1), T (1, 2) = (1, 3)

Escribiendo estos elementos como combinación lineal de los elementos de B setiene:

(1, 1) = 1/2(1, 0) + 1/2(1, 2)

(1, 3) = −1/2(1, 0) + 3/2(1, 2)Con lo cual se tiene que:

[T ]BB = 12 −12

12

32

Calculando la matriz inversa de esta matriz, se obtiene que:

[T ]−1BB =

32 12

−12

12

De la Proposición 1.12, se tiene que:

[T −1]BB = 32 12

−12

12


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es la matriz asociada a la transformación lineal de T −1. Luego, de la definiciónde matriz asociada, se tiene que:

T −1

(1, 0) =

3

2(1, 0) − 1

2 (1, 2) = (1, −1)T −1(1, 2) = 1/2(1, 0) + 1/2(1, 2) = (1, 1)

Por otro lado se tiene que:

(x, y) = 2x−y2

(1, 0) + y2

(1, 2)

=⇒ T −1(x, y) = T −1 2x−y2

(1, 0) + y2

(1, 2)

=

⇒ T −1(x, y) = 2x−y

2 T −1(1, 0) + y

2T −1(1, 2)

= 2x−y2

(1, −1) + y2

(1, 1)

= (x, y − x)

1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS

Definición 1.14. Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en un cuerpo K (conjunto de los n´ umeros reales o conjunto de los n´ umeros com-plejos). Un escalar λ se denomina un valor propio de A si existe un vector no nulo x ∈ K n tal que Ax = λx, y en tal caso x se llama vector propio de A asociado a λ.

Observación 1.16. Para el objetivo a cumplir en este material se concide-rar´ a s´ olo el cuerpo de los n´ umeros reales, IR; teniendo también especial cuidadoque las componentes de un vector propio sean n´ umeros reales, dado el proce-dimento a seguir m´ as adelante en la obtenci´ on de estos elementos. Adem´ as,para efecto de c´ alculo, los vectores propios son puestos como vectores columnas,

como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.40. Consideremos la matriz:

A =

1 42 3

Entonces λ = −1 es un valor propio de A y x = (−4, 2) su vector propioasociado.

En efecto:

Ax =

1 42 3

−42

=

4−2

y


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1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS 37

λx = (−1) −4

2

=

4−2

de donde Ax = λx.

Definición 1.15. Sea λ un valor propio de una matriz A. Se llama espaciopropio asociado a λ al conjunto de todos los vectores propios asociados a dicho valor propio (m´ as el vector nulo de IRn), es decir, si el espacio propio lodenotamos por E λ, entonces

E λ = {x ∈ IRn : Ax = λx}

Si λ es un valor propio de una matriz A, de orden n

×n, entonces debe

existir un vector propio x asociado a λ; es decir, debe cumplirse la ecuaciónAx = λx o equivalentemente (A − λI )x = θ, donde I es la matriz identidadde orden n. Como x debe ser distinto del vector nulo, entonces det(A − λI )debe ser distinto de cero; ya que de lo contrario, tendŕıamos sólo la solucióntrivial (vector nulo). También si dicho determinante no es cero la solución noes única, lo cual, aparte de la solución trivial, habŕıan otras soluciones. De loanterior, se tiene la siguiente proposición:

Proposición 1.13. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Un escalar λ es valor propio de A śı y s ́olo si

det(A − λI ) = 0,donde I es la matriz identidad de orden n.

La expresión:

f A(λ) = det(A − λI )es un polinomio de orden n en λ y recibe el nombre de polinomio carac-terı́stico. Este polinomio se puede escribir entonces como:

f A(λ) = (−1)n(λn + an−1λn−1 + . . . a0)

Si λ1, λ2, . . . , λk son los ceros del polinomio carasteŕıstico, entonces f A(λ) pue-de ser factorizado de la siguiente manera:

f A(λ) = (−1)n(λ − λ1)β 1(λ − λ2)β 2 . . . (λ − λk)β kdonde β 1, β 2, . . . , β k son números naturales tales que:

β 1 + β 2 + . . . + β k = n

El número β i, i = 1, 2 . . . , k, corresponde al número de veces que se repiteel factor (λ − λi) y se le llama multiplicidad algebraica de λi. Por otra


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parte, la dimensión del espacio propio asociado a un valor propio λ, recibe elnombre de multiplicidad geométrica y se denota por ρ(λ).

Existe un resultado del algebra lineal que dice que al valor propio λi lepueden corresponder a lo más β

i vectores propios linealmente independiente.

Ahora, el número máximo de vectores propios de una matriz A asociado a unvalor propio λi y que son linealmente independiente es igual a ρ(λi); dado queeste valor es la dimensión del espacio propio asociado a ese valor propio. Enotras palabras se tiene que

ρ(λi) ≤ β i, ∀ i = 1, 2, . . . . . . , k;lo que quiere decir que la multiplicidad geométrica de λi no excede a su mul-tiplicidad algebraica.

Ejemplo 1.41. Consideremos la matriz:

A =

1 2 31 2 3

1 5 6

Entonces se requiere obtener los valores propio de la matriz A.

En efecto:Por Proposición 1.13, los valores propios de la matriz A son obtenidos dedet(A − λI ) = 0. Ası́

A − λI = 1 2 31 2 3

1 5 6

− λ

1 0 00 1 0

0 0 1

=

1 − λ 2 31 2 − λ 3

1 5 6 − λ

con lo cual det(A − λI ) = 0 implica que:

1 − λ 2 3

1 2 − λ 31 5 6 − λ = 0

con lo que:

(1 − λ)[(2 − λ)(6 − λ) − 15] − 2[(6 − λ) − 3] + 3[5 − (2 − λ)] = 0

y haciendo el desarrollo en el primer miembro se llega a que:

−λ3 + 9λ2 = 0 ó −λ2(λ − 9) = 0

con lo que las ráıces son λ = 0 y λ = 9 y por lo tanto los valores propiosde la matriz A son 0, con multiplicidad algebraica 2, y 9, con multplicidadalgebraica 1.


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1.4. APLICACION DE MAPLE 39

Obtengamos ahora los vectores propios, y por ende los espacios propios asocia-dos a los valores propios. Para ello, reemplazamos los valores correspondientesde λ en (A − λI )x = θ

Para λ = 0, el sistema (A − λI )x = θ queda como:

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 + 6x3 = 0

con lo cual el sistema anterior sólo se reduce a:

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 + 6x3 = 0

De la primera ecuación se tiene que x1 = −2x2 − 3x3, con lo que reem-plazando x1 en la segunda se llega a 3x2 + 3x3 = 0 o bien x2 = −x3.Ahora, si reemplazamos x2 en x1 = −2x2 − 3x3 se obtiene que x1 = −x3.Aśı los vectores propios para λ = 0 son de la forma (−x3, −x3, x3) ypor ende una base para el espacio propio asociado a este valor propio es{(−1, −1, 1)}.Para λ = 9, el sistema (A − λI )x = θ es:

−8x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 − 7x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 − 3x3 = 0

De la segunda y tercera ecuación se llega a 7x2 − 3x3 = −5x2 + 3x3,de donde x3 = 2x2. Reemplazando x3 en la primera ecuación resultaque x1 = x2. Entonces los vectores propios para λ = 9 tienen la forma(x2, x2, 2x2) y aśı una base para el espacio propio correspondiente es{(1, 1, 2)}.

1.4. APLICACION DE MAPLEEspacios Vectoriales

El lenguaje Maple tiene implementada la libreŕıa linalg , que es cargada enmemoria, previo a una sección de algebra lineal, con el comando with(linalg);que contiene los comandos referente al algebra matricial y que es aplicablea la teoŕıa de Algebra Lineal (espacios vectoriales, transformaciones lineales,valores y vectores propios).

Comencemos por chequear, por ejemplo, que el vector (−7, 7, 7) es com-binación lineal de los vectores (−1, 2, 4) y (5, −3, 1)> with(linalg):

> v1:=vector([-1,2,4]);


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v1 := [−1, 2, 4]

> v2:=vector([5,-3,1]);

v2 := [5, −3, 1]

> v:=vector([-7,7,7]):

v := [−7, 7, 7]

> A:=matrix([v1,v2]);

A := −1 2 45 −3 1

> At:=transpose(A); # transpuesta de la matriz A

At :=

−1 52 −3

4 1

> rank(At); # rango de la matriz At

2

> AA:=augment(At,v); # se agrega el vector columna v a la matriz At

AA :=

−1 5 −72 −3 7

4 1 7

> rank(AA);

2

Dado que el rango de At, la matriz de coeficientes del sistema de ecuacioneslineales que resuelve este problema, es igual al rango de su matriz ampliadaAA , entonces se verifica que este sistema tiene solución y por lo tanto el vectorv es combinación lineal de los vectores v1 y v2. Para encontrar los escalarescorrespondientes, la sentencia es:

> linsolve(At,v);

[2, −1]Se puede encontrar una base para un espacio generado por un conjunto de

vectores usando el comando basis . Por ejemplo, para encontrar una base parael espacio generado en IR3 por los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, 0) entoncesse escribe:


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1.4. APLICACION DE MAPLE 41

> with(linalg):

> v1:=vector([1,1,1]):

> v2:=vector([1,1,0]):

> v3:=vector([1,0,0]):

> basis({v1,v2,v3});

{v1, v2, v3}Lo anterior indica que los vectores son linealmente idependientes y por lo tantolos tres vectores costituyen una base para el espacio; en este caso IR3. Ahora,si se quiere saber el espacio generado por (1, 1, 1), (1, 0, 0) y (−1, −2, −2), sedigita:

> with(linalg):

> v1:=vector([1,1,1]):

> v2:=vector([1,0,0]):

> v3:=vector([-1,-2,-2]):

> basis({v1,v2,v3});

{v1, v3}

Esto indica que (1, 0, 0) (v2) es combinación lineal de (1, 1, 1) (v1) y (−1, −2, −2)(v3); siendo estos últimos linealmente indepedientes y por tanto una base parael espacio generado por los tres vectores, que obviamente va ser un subespacio(no trivial) de IR3.

Transformaciones LinealesSea T la transformación lineal de IR2 en IR3, definida por T (x, y) = (x, x+

y, x − y), entonces una rutina para obtener la matriz asociada con respecto delas bases canónicas es la siguiente:

> with(linalg):

> T:=(x,y)->[x,x+y,y-x]; # definici´ on de la transformaci´ on lineal T

T := (x, y)− > [x, x + y, y − x]

> a:=(1,0); # primer vector de la base

a := 1, 0

> b:=(0,1); # segundo vector de la base

b := 0, 1

> v1:=T(a); # evaluaci´ on de T en el primer vector de la base


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v1 := [1, 1, 1]

> v2:=T(b); # evaluaci´

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