Libro Digital Estructuras Superestaticaspdf
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Estructuras isostticasProblemas resueltos
2DOrtiz David
Molina MarcosMartnez HugoJ. Bernal Elan
Hernndez DanielGarca Pascual
Berruecos Sergio
-
ESTRUCTURAS ISOSTTICAS Problemas resueltos
2D
-
Mxico 2014
ESTRUCTURAS ISOSTTICAS Problemas resueltos
2D
Ortiz David Martnez Hugo Hernndez Daniel Berruecos Sergio Instituto Politcnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura
Molina Marcos Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Facultad de Ingeniera
J. Bernal Elan Garca Pascual
Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Facultad de Estudios Superiores Aragn
Colaboracin Internacional:
Hernan Manuel Anchapuri Rodrguez
Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann
Facultad de Ingeniera Civil, Arquitectura y Geotecnia
Alex Henrry Palomino Encinas Universidad Nacional de Cajamarca
Facultad de Ingeniera
Revisin Tcnica Internacional:
Ph. D. Genner Villarreal Castro
Universidad de San Martn de Porres
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Universidad Privada Antenor Orrego
Revisin Tcnica Nacional:
Ing. Carlos Magdaleno Domnguez
ESIA Zacatenco IPN
Diseo de Portada y Contraportada:
Elizabeth Dorantes Soto
FES Aragn UNAM
-
Datos de Catalogacin bibliogrfica
Ortiz, D., Molina, M., Martnez, H., et al.
Estructuras isostticas en 2D: Problemas resueltos
INDEPENDIENTE, Mxico, 2014
ISBN Trmite en proceso
rea: Ingeniera
Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm
No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento
informtico, ni la transmisin de ninguna forma o cualquier medio, ya sea
electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, con fines
lucrativos.
DERECHOS RESERVADOS. Copyright c 2014, por David Ortiz Soto, Marcos
Molina Elvira, Hugo Martnez Hernndez, Elan Emmanuel Jos Bernal, Daniel
Hernndez Galicia, Pascual Garca Cuevas, Sergio Omar Berruecos Licona.
ISBN Trmite en proceso
Impreso en Mxico
-
V
DEDICATORIAS
Ortiz David
Dedico de manera especial este libro a mis padres Clara y Antonio, as como a mis
hermanos Jos Carlos y Antonio.
He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los
miembros de mi familia a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente,
incluyendo aquellos que se han adelantado.
Con toda la sinceridad les digo gracias a todos mis amigos(as), compaeros(as),
profesores(as) y en general a todas las personas que directa o indirectamente me
han apoyado y/o han depositado su confianza en m.
Molina Marcos
La presente obra est dedicada al ingeniero Hernndez Prez Rmulo quien fue mi
principal mentor en la ingeniera estructural, pues hizo que diera los primeros pasos
en el anlisis y diseo estructural, as mismo, esta dedicatoria la extiendo al gran y
maravilloso pero genio Dr. Esteban Flores Mndez quien me brind grandes
conocimientos en el modelo matemtico puro aplicado a las estructuras y que de
manera personal es el fsico y estructurista ms brillante del pas y de los mejores
a nivel mundial, por lo que le agradezco su tiempo y apoyo.
Doy las gracias y dedico puramente este libro al pblico en general, particularmente
a la comunidad de ingenieros civiles, fsicos y matemticos y por su puesto a todos
los estudiantes de ingeniera y ciencias fisicomatemticas.
Martnez Hugo
A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional.
A mis amigos, que siempre han estado a mi lado en todo momento.
J. Bernal Elan
Agradezco a toda mi familia, en especial a mis padres Anglica y Cruz y abuelos
Silverio, Jovita y Epifana quienes han credo en m y tengo apoyo incondicional
desde que empec mis estudios.
A la Facultad de Estudios Superiores Aragn UNAM que es donde he recibido mi
formacin acadmica en la Carrera de Ing. Civil y de la cual me siento muy orgulloso.
A mis profesores del rea de Estructuras: Molina Elvira Marcos,
Garca Cuevas Pascual, Hernndez Snchez Vicente, Jimnez Villegas Gustavo
Adolfo, Heras Cruz Ricardo, Ortiz Soto David y Martnez Hugo.
A mis amigos y a los lectores.
-
DEDICATORIAS
VI
Hernndez Daniel
Doy gracias a Dios, mis padres Alfredo y Nazaria, mis hermanos, dems familiares
y amigos.
Garca Pascual
A mi familia y a mis amigos.
Berruecos Sergio
A Dios: Por estar conmigo en cada momento, permitirme desarrollarme como persona y obtener nuevos conocimientos. A mi familia: Por su apoyo incondicional a lo largo de mi vida y sus sabios consejos que me han enseado a superarme. A mis amigos: Por su compaa en todo momento y por sus palabras de aliento cuando las he necesitado.
Al Instituto Politcnico Nacional y a la Seccin de Estudios de Posgrado e Investigacin (SEPI-ESIA-UZ) por brindarme la oportunidad de formarme profesionalmente.
El genio se compone del dos por ciento de talento y del noventa y ocho por ciento de perseverante aplicacin.
Ludwig van Beethoven
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VII
AGRADECIMIENTOS
Los autores de este libro expresamos nuestro agradecimiento a las instituciones y
personas que han contribuido directa o indirectamente en la elaboracin y difusin
de este texto.
El Instituto Politcnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura,
Unidad Zacatenco y la Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de
Estudios Superiores Aragn y Facultad de Ingeniera, son las universidades en las
que nos hemos formado acadmicamente a nivel licenciatura y posgrado, incluso
nos han brindado la oportunidad a algunos de nosotros de impartir determinadas
asignaturas de las reas estructuras y matemticas.
Le hacemos un reconocimiento especial al Ph. D. Genner Villarreal Castro por haber
efectuado la revisin tcnica internacional de este libro, su inmensa calidad humana
y su impresionante trayectoria como investigador han sido una gran inspiracin y
motivacin. Su filosofa de vida Una educacin universal, de calidad y al alcance
de todos, sus conocimientos que nos ha ofrecido de Ingeniera Estructural a travs
de sus libros y videos tutoriales, entre otros aportes, y sus clebres frases como
Mxico y Per unidos por un conocimiento sin fronteras nos han marcado. De igual
forma, se lo hacemos al revisor tcnico nacional, el profesor de la ESIA Zacatenco
IPN Carlos Magdaleno Domnguez. Su brillante trayectoria y los libros que ha escrito
de Ingeniera Estructural representan una fuerte influencia para nosotros.
Estamos muy agradecidos con los colaboradores internacionales de este texto, los
peruanos Alex Henrry Palomino Encinas y Hernan Manuel Anchapuri Rodrguez.
Reconocemos el esfuerzo que han hecho los creadores y sus colaboradores de
diversos blogs y grupos y pginas de Facebook de ingeniera para apoyarnos.
Gracias a John Rojas de CIVIL GEEKS: La web del ingeniero civil, a Luis Aguilar de
Ing. Civil FREE, a los creadores de Ingeniera Civil 21, Descarga libros de Ingeniera
Civil, Ayuda a Estudiantes de Ing. Civil, Material de apoyo para el estudiante de Ing.
Civil, Ingeniera Civil Aragn, a los ESIA ZACATENCO, entre otros. Desde luego,
los miembros y visitantes de estas pginas han desempeado un papel
trascendental.
Agradecemos a los miembros directivos y dems personal de las universidades que
nos han abierto y nos abrirn un espacio para presentarnos en los auditorios.
A Rajeswari Narayanasamy de la India por toda la solidaridad mostrada hacia
nosotros y por invitarnos a participar en el SIMPOSIO DE INVESTIGACIN EN
SISTEMAS CONSTRUCTIVOS, COMPUTACIONALES Y ARQUITECTNICOS
SISCCA 2014 en la Universidad Jurez del Estado de Durango.
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AGRADECIMIENTOS
VIII
Los creadores de SEPITIC, Frank Damin y Said Franco, nos han permitido difundir
nuestro escrito en SEPITIC ESTRUCTURAS, adems de que en el programa de
radio Ingeniera en Marcha 860 AM abordaron sobre este libro.
Gracias tambin a los conductores de INGENIO CIVIL, principalmente a Estefania
Brcenas y Diana Mancera, y a todos los de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo
organizado, por las invitaciones que nos han hecho a tal programa de radio.
A todos aquellos que se han unido a nuestra pgina oficial de Facebook y la han
recomendado, y a quienes nos han apoyado en todo momento en nuestras cuentas
personales.
A nuestros profesores por todos los conocimientos que nos han transmitido, a los
directivos y personal administrativo de las instituciones mencionadas al inicio.
De igual forma, a los distintos Captulos Estudiantiles de la ESIA Zacatenco. A
Eduardo Caltenco, Vctor Carbajal, Juan Carlos Barrera, Ruben Domnguez, en
general a todos los integrantes por su inmenso respaldo con nuestra publicacin.
Finalmente, agradecemos gratamente al Ing. Napolen Franklin Cueva Guerra de
Per por su apoyo incondicional y sus buenos deseos hacia cada uno de los que
hemos trabajado en la realizacin de este primer libro.
Dedicamos este escrito a todos y cada uno de los lectores, con la esperanza de que sea de su agrado y utilidad. No slo pretendemos contribuir en la aportacin de conocimientos en el rea de estructuras, tambin buscamos transmitirles mensajes de tipo social. El libro ha sido escrito por integrantes de dos de las instituciones con mayor historia en Mxico: La UNAM y el IPN, particularmente de las unidades Facultad de Ingeniera, FES Aragn y ESIA Zacatenco. Durante mucho tiempo estas instituciones se han considerado equvocamente antagnicas desde nuestro punto de vista, sobre todo en el mbito estudiantil a nivel medio superior y nivel superior. Con esta obra, los autores queremos mostrar que podemos trabajar en conjunto haciendo los prejuicios a un lado, por lo que hacemos un llamado a la unidad, no slo entre estas universidades, sino global, ya que respetamos a cada una de las instituciones existentes tanto de Mxico como del internacional y admiramos su calidad. Por otra parte, no estamos de acuerdo con las ofensas que se emiten entre las distintas carreras, pues pensamos que el respeto debe imperar, as que dirigimos este texto a las personas vinculadas con las Licenciaturas en Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica, Arquitectura o alguna otra a fin, incluso, nos es indistinto que carrera cursen quienes gusten leernos, pues todos tenemos derecho a aprender lo que sea.
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AGRADECIMIENTOS
IX
Hemos puesto para su libre descarga este libro, porque venimos siguiendo una ideologa, bajo nuestra frase la informacin no es slo para el que la paga, es para todos, ponemos al alcance de ustedes con toda humildad nuestra produccin intelectual, ya que perseguimos un mundo ms justo, ms equitativo, con oportunidades para todos por igual, porque como dice el doctor Genner la educacin es un derecho y no un privilegio. Escribimos siempre pensando paralelamente en el apoyo a los dems, dndole un fuerte golpe a la desigualdad, todo como una respuesta a las injusticias. Hablamos de pases por simple contexto cultural, pues realmente no existen fronteras ni banderas para el conocimiento. Tenemos como objetivo recorrer si no todas, casi todas las universidades de Mxico en las que se imparte Ingeniera Civil, con la consigna de presentar este material a los estudiantes y que ejemplares impresos del mismo estn disponibles para su consulta en las bibliotecas. Nunca es ni ser nuestra intencin presumir nuestro estilo, slo nos gusta compartir lo poco que sabemos.
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X
CONTACTO A todos nuestros lectores les hacemos la cordial invitacin a unirse a la pgina oficial del libro de Facebook cuya direccin es https://www.facebook.com/pages/Problemario-de-Anlisis-de-Estructuras-en-2D-y-3D/624669980937724 Puedes localizarla fcilmente si en el buscador pones Problemario de Anlisis de Estructuras en 2D Y 3D David Ortiz Facebook: https://www.facebook.com/david.skapunk o bscame como David Ortiz M en I Marcos Molina Correo electrnico: [email protected] Hugo Martnez Correo electrnico: [email protected]
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XI
PREFACIO
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoyo a profesores, estudiantes y todos los interesados en general en la enseanza y el aprendizaje de las estructuras isostticas, las cuales en conjunto representan un apartado trascendental en la disciplina denominada anlisis estructural. sta ltima constituye uno de los pilares ms importantes de la carrera de Ingeniera Civil y de otras como Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica y Arquitectura.
Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente
vinculados entre s, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas; su
finalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los apoyos, y de ese
modo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exigencias bsicas
que una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad.
Se entiende por anlisis de una estructura al proceso sistemtico que concluye con
el conocimiento de las caractersticas de su comportamiento bajo un cierto estado
de cargas; se incluye, habitualmente, bajo la denominacin genrica de estudio del
comportamiento tanto el estudio del anlisis de los estados tensional y
deformacional alcanzados por los elementos y componentes fsicos de la estructura
como la obtencin de conclusiones sobre la influencia recproca con el medio
ambiente o sobre sus condiciones de seguridad. Es entonces el objetivo del anlisis
de una estructura, la prediccin de su comportamiento bajo las diferentes acciones
para las que se postule o establezca que debe tener capacidad de respuesta.
Las estructuras se clasifican, de acuerdo a los mtodos de anlisis, en isostticas o
estticamente determinadas, en hiperestticas o estticamente indeterminadas, y
en hipostticas. Las primeras son aquellas que se pueden analizar empleando
solamente las ecuaciones de equilibrio de la esttica y en las que la supresin de
cualquiera de sus ligaduras conduce al colapso, o sea, se pueden determinar las
fuerzas cortantes y normales, y los momentos flexionantes y torsionantes, con base
en condiciones de equilibrio nicamente. De una forma un poco ms tcnica
podemos decir que una estructura isosttica posee igual nmero de ecuaciones que
de incgnitas, por lo cual, se puede resolver mediante un simple sistema de
ecuaciones lineales. Las segundas son aquellas que desde el punto de vista esttico
se encuentran en equilibrio, sin embargo, las ecuaciones que expone la esttica no
son suficientes para conocer las incgnitas que poseen, as que, para analizarlas
es necesario plantear, adems de las ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de
compatibilidad de deformaciones entre los miembros de la estructura o entre los
miembros y apoyos. Por ltimo, las estructuras hipstaticas tienen un grado de
indeterminacin esttica menor a cero. En este caso, el nmero de ecuaciones de
equilibrio es excesivo ya que supera al nmero de incgnitas, entonces, son
inestables y no oponen resistencia a estmulos de movimientos externos.
-
PREFACIO
XII
El nfasis de este libro es resolver, de manera minuciosa y clara, una gran variedad
de ejercicios sobre estructuras isostticas. Especficamente, en este texto se
analizan cuatro tipos de estructuras: vigas, marcos rgidos, armaduras y arcos. Las
cargas que se tratan son lo ms variadas posibles, desde las ms comunes como
puntuales, uniformes distribuidas, triangulares, trapezoidales y momentos de par,
hasta las ms atpicas como las distribuidas irregularmente, parablicas,
trigonomtricas, enjutas elpticas, polinmicas, radicales, exponenciales, entre
otras.
El solucionar un gran nmero de problemas, tiene como objetivo desarrollar en el
lector tal habilidad, pues ello conllevar a que comprenda de una mejor forma como
se transmiten las cargas a travs de una estructura y a que tenga una idea ms
acertada de la manera en que se deforma la estructura. As mismo, al dominar los
principios que se aplican aqu, ser ms susceptible a entender mtodos ms
avanzados del anlisis estructural, los cuales brindan un medio para comprobar los
resultados obtenidos en los programas de cmputo disponibles hoy en da, en vez
de limitarse simplemente a confiar en los resultados generados.
A continuacin se proporciona el enfoque seguido en este libro. La obra se divide
en cuatro captulos; en cada uno de ellos se resuelven ejercicios de un solo tipo de
estructura. En el captulo 1 se analizan vigas. Para los primeros ejemplos se
calculan el grado de indeterminacin, las reacciones en los soportes y empleando
el mtodo de las secciones, las funciones de las fuerzas cortante y normal, y de
momento flexionante. Para las vigas subsecuentes, se explica el trazo de los
diagramas de las acciones internas, adems de que se incluyen los mtodos ms
usuales de deflexin, tales como el trabajo virtual, la integracin doble y en el ltimo
tema, el de Castigliano. En el captulo 2 se estudian los mismos temas, a excepcin
del mtodo de integracin doble, pero aplicado a marcos. El captulo 3 se enfoca a
la resolucin de armaduras; nuevamente, los principios usados son los mismos, slo
que aqu deben calcularse las fuerzas en las barras y no las funciones de las
acciones internas; para esto ltimo, se usa el mtodo de los nodos. Finalmente, en
el captulo 4 se explica de una forma detallada el cmo calcular las reacciones en
los soportes y la determinar las funciones de las acciones internas en arcos tanto
parablicos como circulares.
-
XIII
CONTENIDO
CAPTULO 1. ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS .................... 1
1.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE,
DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO ................................................................ 1
1.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TRABAJO VIRTUAL.
PENDIENTE Y CURVA ELSTICA CON EL MTODO DE LA DOBLE
INTEGRACIN....................................................................................................... 49
1.3. TEOREMA DE CASTIGLIANO ............................................................................133
CAPTULO 2. ANLISIS DE MARCOS ESTTICAMENTE DETERMINADOS ...........148
2.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE LAS FUERZAS NORMAL
Y CORTANTE, Y DEL MOMENTO FLECTOR ............................................................148
2.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO
FLECTOR ...................................................................................................................183
2.3. MTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL ..........................................209
2.4. TEOREMA DE CASTIGLIANO .............................................................................282
CAPTULO 3. ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS .....300
3.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y DETERMINACIN DE LAS FUERZAS
AXIALES POR EL MTODO DE LOS NODOS ...........................................................300
3.2. MTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL ..........................................316
3.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO .............................................................................332
CAPTULO 4. RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS ...........................................340
4.1.ARCOS PARABLICOS ......................................................................................340
4.2. ARCOS CIRCULARES .........................................................................................357
BIBLIOGRAFA ..............................................................................................................365
-
1
CAPTULO 1
ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
1.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZA
CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO
Ejercicio 1.1. Determine las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada en
la figura 1-1a producidas por las cargas indicadas. Use el mtodo de las secciones
para deducir las expresiones algebraicas que describen la variacin de los
elementos mecnicos.
SOLUCIN.
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. Se identifican las
fuerzas reactivas en los soportes; el soporte 1 es un rodillo, por lo que la reaccin 1 es perpendicular al plano de deslizamiento del apoyo, mientras que el soporte 2 es articulado y tiene por lo tanto, dos incgnitas de reaccin, una horizontal (2) y una vertical (2). Como hay tres incgnitas de reaccin y tres ecuaciones de equilibrio ( = 0, = 0, = 0), la viga es isosttica.
0.5/
1
2
24
10 12
5
Figura 1-1
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
2
El sentido de cada reaccin ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las
fuerzas reactivas no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que
determinar: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza
resultante de la carga, que es igual al rea bajo la curva de carga (en este caso, por
ser carga uniforme es el rea del rectngulo) y b) el centroide de dicha rea a travs
del cual pasa la lnea de accin de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicacin
de la resultante. Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a
los ejes coordenados y ms convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura; esto ltimo hace que sea necesario descomponer a 1 en sus componentes rectangulares horizontal y vertical, las cuales han sido
etiquetadas como 1 y 1 respectivamente.
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida y su punto de aplicacin son
= (0.5/)(24) = 12 =1
2(24) = 12
De acuerdo a las figuras 1-1c y 1-1d, las componentes rectangulares de la reaccin
1 en el plano son
= tan15
12= 22.6198
0.5/
1
2
24
10 12
5
1 = 0.38461
1 = 0.9231
2
2
= 12
= 12
(b)
12
5
Plano de deslizamiento del soporte
90
(c)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
3
1 = 1 sin = 1 22.6198 = 0.38461
1 = 1 cos = 1 22.6198 = 0.9231
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las fuerzas reactivas en los soportes; la convencin de signos que se adopta es arbitraria. En
caso de que la solucin de las ecuaciones de equilibrio proporcione una magnitud
negativa para una fuerza reactiva, su sentido propuesto debe ser invertido.
Tomando momentos alrededor del punto 2 considerando los ejes que pasan por tal punto, se puede despejar directamente el valor de 1.
+2 = 0 1(10) + 1(24) 12(12) = 0
(0.38461)(10) + (0.9231)(24) 144 = 0 1 =144
26= 5.5385
1 = 5.5385
Los valores de las componentes rectangulares de 1 = 5.5385 son
1 = 0.38461 = 0.3846(5.5385 ) = 2.13
1 = 0.9231 = 0.923(5.5385) = 5.112
Finalmente, las reacciones 2 y 2 se obtienen al plantear las dos ecuaciones de equilibrio restantes.
+ = 0 1 2 = 0 2.13 2 = 0 2 = 2.13
2 = 2.13
+ = 0 1 + 2 = 0 5.112 12 + 2 = 0 2 = 6.888
2 = 6.888
1
1
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
4
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-1e se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus
correspondientes sentidos adecuados. La distribucin de la carga actuante no
presenta discontinuidad, as que slo ser necesario efectuar un corte perpendicular
al eje de la viga para definir las acciones internas (, y ) de la estructura; se considera como origen del sistema coordenado al punto 1, as que la coordenada es positiva hacia la derecha y hacia abajo, y es vlida para la regin 1 2 (0
26), debido a que la longitud de la viga es = (24)2 + (10)2 = 26.Se secciona
la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 1 2) a una distancia del punto 1.
En la figura 1-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga
con longitud . El rea y su centroide de la carga distribuida uniforme del corte se han determinado. Las acciones internas aparecen actuando en sus direcciones
positivas de acuerdo a la convencin de signos ms usual y sus funciones se
deducen usando las ecuaciones de equilibrio cuya convencin de signos si puede
ser indistinta. La fuerza axial o normal siempre acta en la misma direccin que la del eje de la viga, mientras que la fuerza cortante es perpendicular a esta.
0.5/
1
2
24
10 12
5
1 = 2.13
1 = 5.112
2 = 6.888
= 12
12
2 = 2.13
(e)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
5
0 26
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida uniforme del corte y su
punto de aplicacin son, respectivamente
= (0.5)(0.923) = 0.4615 =1
2() =
2
Con base en la figura 1-1g se determinan las componentes rectangulares de la
fuerza resultante cuyas lneas de accin coinciden con las de y , es decir, las
componentes que actan en forma paralela y perpendicular al eje de la viga.
= sin = 0.4615(0.3846) = 0.1775
= cos = 0.4615(0.923) = 0.426
Las distancias auxiliares , , y se deducen a partir del tringulo rectngulo que
= 0.4615
(f)
(g)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
6
se observa en la figura 1-1h.
= sin = 0.3846
= cos = 0.923
=
2; =
2
Si tomamos momentos alrededor del punto del corte puede obtenerse directamente
el momento en funcin de .
+ = 0
Opcin 1.
Usando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que pasan
por el punto del corte se tiene
1() + 1() () = 0
5.112(0.923) + 2.13(0.3846) (0.4615)(0.4615) = 0
simplificando y despejando a
= 0.2132 + 5.538
Opcin 2.
Considerando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que
pasan por el punto del corte obtenemos
1() (
2) = 0 = 0.2132 + 5.5385
De la suma de fuerzas en la direccin de la fuerza cortante (direccin perpendicular
al eje de la viga) igual a cero se tiene
+ = 0 1 = 0 5.5385 0.426 = 0
= 5.5385 0.426
o tambin
=
=
(0.2132 + 5.5385) = 5.5385 0.426
Si la suma de fuerzas en la direccin de la fuerza normal (direccin idntica a la del
eje de la viga) es cero, resulta
+ = 0 + = 0 0.1775 + = 0 = 0.1775
(h)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
7
Ejercicio 1.2. Determine las funciones de las acciones internas de la viga en
voladizo que se muestra en la figura 1-2a cuyos tramos , y soportan una carga uniformemente repartida gravitacional de 4/, una carga cuya intensidad vara en forma exponencial desde 1 = 2.71828/ en el punto hasta2 = 61.86781/ en el punto y una carga distribuida uniforme de 5/ ortogonal al eje de la viga, de forma respectiva.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. En primera instancia, construiremos una funcin de tipo exponencial que ajuste a los dos puntos conocidos de la carga cuya intensidad vara
de ese modo. Para ello, es indispensable determinar el valor de la longitud de la
viga () y las distancias y a las cuales se encuentran posicionadas las intensidades de presin 1 y 2 respecto de .
Por trigonometra, figura 1-2b, se tiene
= (12)2 + (9)2 = 15
12=
7 =
(7)(15)
12= 8.75
12=
9.5 =
(9.5)(15)
12= 11.875
4/
5 2 2.5 2.5
9
Figura 1-2
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
8
Luego, proponemos una funcin para la presin descrita por la curva en forma de
funcin exponencial del siguiente modo:
= (1)
De la figura 1-2b obsrvese que
= = 8.75, = 1 = 2.71828/
= = 11.875, = 2 = 61.86781/
Sustituyendo tales puntos conocidos en la ecuacin (1) se tiene
2.71828 = 8.75 (2)
61.86781 = 11.875 (3)
Las incgnitas y pueden ser halladas resolviendo el sistema simultneo de ecuaciones (2) y (3) usando cualquier mtodo que sea vlido; en este caso, se aplicar el mtodo de igualacin.
Despejando de las ecuaciones (2) y (3) respectivamente, tenemos
=2.71828
8.75 (4)
4/
12
9
7
9.5
(b)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
9
=61.86781
11.875 (5)
Al igualar la ecuacin (4) con la ecuacin (5) y despejar resulta
2.71828
8.75=
61.86781
11.875 11.8758.75 =
61.86781
2.71828
ln(3.125) = ln61.86781
2.71828 =
ln61.867812.718283.125
= 1
Sustituyendo = 1 en la ecuacin (5) da
=61.86781
11.875(1) 0.0004307
Si se reemplazan los valores obtenidos en la ecuacin (1), obtenemos
= 0.0004307
El esquema de la figura 1-2c es til para calcular algunas distancias que sern
necesarias al efectuar el anlisis restante de la viga.
4/
12
9
5 2 2.5 2.5
4 = 1.875
3 = 1.875
2 = 1.5
1 = 3.75
(c)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
10
Por tringulos semejantes, se deduce que
9
12=
15
1 =9(5)
12= 3.75
9
12=
22
2 =9(2)
12= 1.5
9
12=
32.5
3 =9(2.5)
12= 1.875
9
12=
42.5
4 =9(2.5)
12= 1.875
Aplicando el teorema de Pitgoras se obtiene
5 = 52 + 3.752 = 6.25 6 = 22 + 1.52 = 2.5
7 = 2.52 + 1.8752 = 3.125 8 = 7 = 3.125
Usando la definicin de las funciones trigonomtricas resulta
= tan19
12=36.87 sin =
9
15= 0.6 cos =
12
15= 0.8
Se calculan las fuerzas resultantes de las cargas distribuidas y sus puntos de aplicacin .
- Carga distribuida uniforme gravitacional.
1 = (4/)(6.25) = 25 1 =1
2(6.25) = 3.125
- Carga cuya intensidad vara en forma exponencial.
La ecuacin para determinar el rea bajo la curva es
2 = = 2
1
donde
1 =limite inferior.
2 =limite superior.
=ecuacin de la curva.
En consecuencia,
2 = 0.0004307
11.875
8.75
Al resolver la integral de forma indefinida da
0.0004307 = 0.0004307 = 0.0004307
Por lo tanto,
2 = 0.0004307
11.875
8.75
= 0.0004307[11.875 8.75] 59.1437
La expresin matemtica que permite calcular el centroide del rea es
2 =
=
21
21
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
11
Por consiguiente,
2 = ()(0.0004307)11.875
8.75
0.000430711.875
8.75
Se procede a resolver la integral del numerador en forma indefinida.
()(0.0004307) = 0.0004307
Sea = =
Entonces = = = =
Al integrar por partes tendremos =
= = = ( 1)
Por lo tanto,
Obsrvese que el denominador ya fue resuelto. Finalmente,
2 =651.681
59.1437 11.0186
- Carga distribuida uniforme ortogonal al eje de la viga.
3 = (5/)(3.125) = 15.625 3 =1
2(3.125) = 1.5625
Se determinan las componentes rectangulares de las fuerzas resultantes 2 y 3 para el plano , figuras 1-2d y 1-2e.
- Para 2 = 59.1437
()11.875
8.75
(0.0004307) = 0.0004307{[11.875(11.875 1)][8.75(8.75 1)]} = 651.681
2
2
sin =22
2 = 2 sin = 59.1437(0.6) = 35.4862
cos =
22
2 = 2 cos = 59.1437(0.8) = 47.3150
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
12
- Para 3 = 15.625
El soporte en es un empotre y tiene por lo tanto tres incgnitas de reaccin, una horizontal (), una vertical () y una de momento (), las cuales deben ser
3
3
sin =33
3 = 3 sin = 15.625(0.6) = 9.375
cos =33
3 = 3 cos = 15.625(0.8) = 12.5
4/
12
9
= 2.5
= 1.875
3 = 12.5
3 = 9.375
2 = 35.4862
2 = 47.3150
1 = 25
= 8.8149
= 10.75
= 6.6112
= 8.0625
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
13
debidamente identificadas y cuyos correspondientes sentidos tienen que
proponerse arbitrariamente debido a que se desconocen; de cualquier modo, si la
magnitud de alguna de ellas resultar negativa al resolver las ecuaciones de
equilibrio, esto indicar que el sentido de la fuerza o momento es opuesto al que se
supuso.
Todo lo expuesto anteriormente puede ser resumido en el diagrama de cargas de
la viga, figura 1-2f.
A continuacin se calculan las distancias , , , , , y que sern tiles para la aplicacin de las ecuaciones de equilibrio, a partir de aplicar la definicin de las
funciones trigonomtricas en los tringulos rectngulos de la izquierda, figura 1-2g.
= 1 sin = (3.125)(0.6) = 1.875
= 1 cos = (3.125)(0.8) = 2.5
= 2 sin = (11.0186)(0.6) = 6.6112
= 2 cos = (11.0186)(0.8) = 8.8149
= + 3 = 11.875 + 1.5625
= 13.4375
= sin = (13.4375)(0.6) = 8.0625
= cos = (13.4375)(0.8) = 10.75
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las
incgnitas , y utilizando una convencin de signos arbitraria.
Tomando momentos alrededor del punto considerando los ejes que pasan por tal punto, se obtiene directamente el valor de .
+ = 0 + 1() + 2() + 2() + 3() + 3() = 0
(g)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
14
+ 25(2.5) + 35.4862(6.6112) + 47.315(8.8149) + 9.375(8.0625)
+12.5(10.75) = 0 = 924.144.
De la suma de fuerzas en cualquier direccin igual a cero, se plantean las dos
siguientes ecuaciones de equilibrio para determinar y , respectivamente.
+ = 0 + 2 + 3 = 0 + 35.4862 + 9.375 = 0
= 44.8612
+ = 0 1 2 3 = 0 25 47.3150 12.5 = 0
= 84.815
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
Los resultados obtenidos se muestran en la figura 1-2h.
4/
1 = 25
= 84.815
= 44.8612
= 924.144.
(h)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
15
Las variaciones de la fuerza cortante , la fuerza normal y el momento en funcin de la posicin de un punto arbitrario a lo largo de la viga pueden obtenerse mediante el mtodo de las secciones (efectuando cortes).
La funcin de la fuerza cortante ser discontinua en los puntos donde el tipo o la
magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas
concentradas. La funcin del momento flector, ser discontinua, adems de lo
anterior, en los puntos donde se apliquen momentos de par. En ambos casos, la
carga distribuida y la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actan
perpendicularmente al eje de la viga. Por su parte, la funcin de la fuerza normal
ser discontinua en los puntos donde se aplique una carga puntual o donde el tipo
o la magnitud de la carga distribuida cambia, pero ahora todas estas cargas, o una
de sus componentes, actan en la direccin del eje de la viga.
La distribucin de la carga actuante sobre la viga presenta discontinuidades en los
puntos , y ; por lo tanto, para obtener expresiones algebraicas que definan la variacin de las acciones internas (o elementos mecnicos) es necesario cortar a
la estructura perpendicularmente a su eje a travs de secciones arbitrarias en los
tramos , , y .
Se ha definido una sola coordenada para toda la viga, por lo que es vlida para toda la regin (0 15), su origen ha sido asociado en , y es positiva hacia la derecha y hacia arriba, sobre el eje de la estructura.
Como podr observarse ms adelante en cada diagrama de cuerpo libre surgido al
realizar algn corte, el equilibrio se efectuar utilizando los ejes que coinciden con
las lneas de accin de las fuerzas cortante y normal. Por tal motivo, la carga
concentrada equivalente 1 y las reacciones y son descompuestas en sus componentes rectangulares para los ejes que coinciden con las lneas de accin de
la fuerza cortante y de la fuerza normal, figuras 1-2i, 1-2j y 1-2k.
- Para 1 = 25
1 = 25
sin =11
1 = 1 sin = 25(0.6) = 15
cos =11
1 = 1 cos = 25(0.8) = 20
(i)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
16
- Para = 44.8612
- Para = 84.815
Tome en cuenta adems, que las lneas de accin de las fuerzas resultantes 2 y 3 al ser perpendiculares al eje de la viga coinciden con la lnea de accin de la fuerza cortante, as que sus componentes rectangulares para los ejes se vuelven innecesarias a partir de ahora en el anlisis restante de este ejercicio y por
ello han sido omitidas en el diagrama de cargas, aunque bien pudieron haberse
dejado.
Para una mayor facilidad en los clculos, se determinan las componentes
rectangulares y de la resultante, cuyas lneas de accin coinciden con las de la fuerza cortante 1 y la fuerza normal 1, respectivamente, del sistema de fuerzas concurrentes y , al sumar las componentes rectangulares de dichas fuerzas concurrentes vectorialmente, es decir,
= = 50.889 35.889 = 15
= + = 26.916767.852 = 94.7687
A continuacin se aplica el mtodo de las secciones.
Corte en el tramo ( ). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio
en el segmento ) a una distancia del punto . En la figura 1-2l se proporciona
un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud .
= 44.8612
=
84.815
cos =
= cos = 44.8612(0.8) = 35.8890
sin =
= sin = 44.8612(0.6) = 26.9167
cos =
= cos = 84.815(0.8) = 67.852
sin =
= sin = 84.815(0.6) = 50.889
(j)
(k)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
17
0 6.25
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida gravitacional del corte es
1 = (4/)() = 4
y su punto de aplicacin es
=1
2() =
2
Con base en la figura 1-2m, las componentes rectangulares de la carga concentrada
equivalente 1 cuyas lneas de accin coinciden con las de 1 y 1 son
El equilibrio esttico del cuerpo libre implica que
+ = 0
1 = 4
1 = 4
= 924.144.
4/
sin =11
1 = 1 sin = 4(0.6) = 2.4
cos =11
1 = 1 cos = 4(0.8) = 3.2
(l)
(m)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
18
924.144 + 94.7687() 3.2 (
2) 1 = 0 1 = 94.7687 1.6
2 924.144
= 0,1 = 924.144.; = 6.25,1 = 394.3396.
1 =1
=(94.7687 1.62 924.144)
= 94.7687 3.2
+ = 0 15 2.4 + 1 = 0 1 = 2.4 15
Corte en el tramo ( ). En la figura 1-2n se muestra un diagrama de cuerpo libre de la seccin cortada. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene
924.144 + 94.7687() 20( 3.125) 2 = 0 2 = 74.7687 861.644
= 6.25,2 = 394.3396.; = 8.75,2 = 207.4179.
2 =2
=(74.7687 861.644)
= 74.7687
= 924.144.
4/
+ = 0 15 15 + 2 = 0 2 = 0
+ = 0
(n)
6.25 8.75
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
19
Corte en el tramo ( ). En la figura 1-2 se representa el diagrama de cuerpo
libre correspondiente al segmento inferior de la viga que se produce al cortarla en
algn sitio intermedio del tramo .
La carga concentrada equivalente de la presin del corte cuya intensidad es descrita
por la funcin exponencial es
2 = 0.0004307
8.75
= 0.0004307( 8.75) = 0.0004307 2.71801
y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= ()(0.0004307)
8.75
0.0004307
8.75
4/
= 0.0004307
= 924.144.
8.75 11.875
()
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
20
Resolviendo el numerador se tiene
()(0.0004307)
8.75
= 0.0004307{[( 1)] [8.75(8.75 1)]}
= 0.0004307 0.0004307 21.0646
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
=0.0004307 0.0004307 21.0646
0.0004307 2.71801
El equilibrio esttico del cuerpo libre requiere que
+ = 0
924.144 + 94.7687() 20( 3.125) (0.0004307 2.71801)
( 0.0004307 0.0004307 21.0646
0.0004307 2.71801) 3 = 0
3 = 0.0004307 + 77.4867 882.7086
= 8.75,3 = 207.418.; = 11.875,2 = 24.4157.
3 =3
=(0.0004307 + 77.4867 882.7086)
= 0.0004307 + 77.4867
+ = 0 3 = 0
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia de ; en la figura 1-2o se ofrece el diagrama de cuerpo libre que representa la porcin de la estructura ubicada por
debajo del corte.
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida ortogonal al eje de la viga del
corte es
3 = ( 11.875)(5) = 5 59.375
y su punto de aplicacin es
=1
2( 11.875) =
1
2 5.9375
Las acciones internas entre los puntos y se definen como
11.875 15
+ = 0
4
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
21
924.144 + 94.7687() 20( 3.125) 59.1437( 11.0186)
(5 59.375) (1
2 5.9375) 4 = 0
4 = 2.52 + 75 562.50299
= 11.875,4 = 24.416.; = 15,4 = 0
4 =4
=(2.52 + 75 562.50299)
= 5 + 75
+ = 0 4 = 0
4/
= 0.0004307
= 924.144.
(o)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
22
Ejercicio 1.3. Calcule las fuerzas reactivas en los soportes y determine las
funciones del momento flector y de las fuerzas cortante y normal de la viga isosttica
mostrada en la figura 1-3a. Obsrvese que en los extremos izquierdo y derecho
estn aplicadas cargas puntuales de 7 con una pendiente de 3: 4 y de 5 con una pendiente de 1: 1 respectivamente; sobre la regin se extiende una carga cuya intensidad vara linealmente desde 0 en el punto hasta 3/ en el punto y sobre la regin la estructura soporta una carga distribuida irregularmente en la que se conocen seis puntos de intensidad de carga cuyos valores son indicados.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. En primer lugar, construiremos una funcin polinomial que ajuste a los puntos conocidos de la carga distribuida irregularmente; como se tienen
seis datos, se propone una funcin polinmica de grado cinco (ndatos -1) de la
siguiente forma:
= 5 + 4+3 + 2 + + ()
Tomando como origen al punto se sabe que
= 4, = 0; = 5, =2
; = 6, = 3/
= 7, = 1/; = 8, = 2/; = 9, = 0
Si sustituimos los valores anteriores en la ecuacin (), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
0 = (4)5 + (4)4+(4)3 + (4)2 + (4) +
0 = 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + (1)
2 = (5)5 + (5)4+(5)3 + (5)2 + (5) +
2 = 3125 + 625 + 125 + 25 + 5 + (2)
3/
2/
3/
1/
2/
1 2 1 1 1 1 1 1 2
1
1
3
4
Carga distribuida
irregularmente
Figura 1-3
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
23
3 = (6)5 + (6)4+(6)3 + (6)2 + (6) +
3 = 7776 + 1296 + 216 + 36 + 6 + (3)
1 = (7)5 + (7)4+(7)3 + (7)2 + (7) +
1 = 16807 + 2401 + 343 + 49 + 7 + (4)
2 = (8)5 + (8)4+(8)3 + (8)2 + (8) +
2 = 32768 + 4096 + 512 + 64 + 8 + (5)
0 = (9)5 + (9)4+(9)3 + (9)2 + (9) +
0 = 59049 + 6561 + 729 + 81 + 9 + (6)
Expresando el sistema simultneo de ecuaciones en forma matricial tenemos
(
1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17776 1296 216 36 6 116807 2401 343 49 7 132768 4096 512 64 8 159049 6561 729 81 9 1)
(
)
=
(
023120)
Resolviendo el sistema resulta
(
)
=
(
1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17776 1296 216 36 6 116807 2401 343 49 7 132768 4096 512 64 8 159049 6561 729 81 9 1)
1
(
023120)
=
(
0.1666675.3333366.8333409.1671221.51422 )
Si se reemplazan los resultados obtenidos en la ecuacin (), entonces la funcin polinomial que describe la intensidad de la carga distribuida irregularmente es
= 1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422
Se calculan las cargas concentradas equivalentes de las presiones, as como su punto de aplicacin .
- Carga cuya intensidad vara en forma lineal.
1 =(3/)(3)
2= 4.5 1 =
2
3(3) = 2
- Carga distribuida irregularmente.
Para esta carga se conocan seis puntos de intensidad inicialmente; realmente no
se saba el comportamiento exacto de la curva que describe la carga distribuida
hasta que se calcul la ecuacin y se grafic. Fue as como se pudo observar que
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
24
una pequea porcin de la carga distribuida, especficamente la que se extiende de
4 a 4.45, acta hacia arriba; lgicamente en = 4.45, = 0.
La fuerza resultante para esta porcin de carga distribuida es
2 = = 2
1
2 = (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
4
2 = [1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422]
4
4.45
2 = 1
36(4.456 4.006) +
16
15(4.455 4.005)
401
24(4.454 4.004)
+136389
1000(4.453 4.003)
2443
4(4.452 4.002) + 1422(4.45 4.00) 0.12
El signo negativo indica que la resultante 2 acta hacia arriba. Su punto de
aplicacin es
2 =
= 21
21
2 = () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 4.45
4
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 4.45
4
Resolviendo el numerador se tiene
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
4
= (1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4.45
4
= [1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112]
4
4.45
= 1
42(4.457 4.007) +
8
9(4.456 4.006)
401
30(4.455 4.005)
+409167
4000(4.454 4.004)
2443
6(4.453 4.003) + 711(4.452 4.002) 0.49
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
2 =0.49
0.12 4.083
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
25
Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que acta hacia abajo, es decir, la
que se extiende de 4.45 a 9. La fuerza resultante es
3 = = 2
1
3 = (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
9
4.45
= [1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422]
4.45
9
= 1
36(96 4.456) +
16
15(95 4.455)
401
24(94 4.454)
+136389
1000(93 4.453)
2443
4(92 4.452) + 1422(9 4.45) = 8.87
y su punto de aplicacin es
3 =
= 21
21
3 = () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 9
4.45
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 9
4.45
Resolviendo el numerador se tiene
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
9
4.45
= (1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
9
4.45
= [1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112]
4.45
9
= 1
42(97 4.457) +
8
9(96 4.456)
401
30(95 4.455) +
409167
4000(94 4.454)
2443
6(93 4.453) + 711(92 4.452) = 59.3
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
3 =59.3
8.87 6.685
Luego, se resuelven las fuerzas puntuales 1 = 7 y 2 = 5 en sus componentes rectangulares , figuras 1-3b, 1-3c y 1-3d, 1-3e, respectivamente.
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
26
- Para 1 = 7
1 = 32 + 42 = 5
sin 1 =4
5; cos 1 =
3
5
- Para 2 = 5
2 = 12 + 12 = 2
sin 2 = cos 2 =1
2
El soporte es un rodillo, por lo que se genera una fuerza reactiva vertical , mientras que el soporte es un pasador y tiene dos incgnitas de reaccin, una horizontal () y una vertical (). En consecuencia, el diagrama de cargas de la viga, figura 1-3f, es
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 2
1 3
4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 2 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
2 = 3.53553
2 = 3.53553
2 = 6.685
1 = 2 3.685 2.315
3 = 0.12
3 = 4.083
1
3
4
1
1
1
2
1
1
2 2
2
1
sin 1 =17
1 = 7(sin 1) = 7 (4
5) = 5.6
cos 1 =17
1 = 7(cos 1) = 7 (3
5) = 4.2
sin 2 =25
2 = 5(sin 2) = 5 (1
2) = 3.53553
cos 2 =25
2 = 5(cos 2) = 5 (1
2) = 3.53553
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
27
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las
incgnitas y y usando una convencin de signos arbitraria.
+ = 0 4.2 3.53553 = 0 = 0.66447
+ = 0 5.6(3) 0.12(1.083) + 8.87(3.685) (6) + 3.53553(8) = 0
= 7.34
+ = 0 5.6 4.5 + + 0.12 8.87 + 7.34 3.53553 = 0 = 15.0456
La fuerza reactiva vertical del soporte en tambin se puede obtener tomando momentos alrededor de .
+ = 0 3.53553(2) 8.87(2.315) 4.5(6) + 0.12(4.917) + (6) 5.6(9) = 0
= 15.0455
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-3g se muestran los resultados obtenidos.
La distribucin de la carga que acta sobre la viga presenta discontinuidades en los
puntos , , , y ; as que, para obtener expresiones algebraicas que definan la variacin de los elementos mecnicos es necesario cortar a la estructura
perpendicularmente a su eje a travs de secciones arbitrarias en los tramos
, , , y .
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 2
1 3
4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 3 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
2 = 3.53553
2 = 3.53553
= 15.0456 = 7.34
= 0.66447
3 = 6.714
1 = 2 3.685 2.315
1
2 = 0.12
2 = 4.083
(g)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
28
Se ha definido una sola coordenada para toda la viga, por lo que es vlida para toda la regin (0 11), su origen ha sido asociado en , y es positiva hacia la derecha.
Corte en el tramo ( ). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio
en el segmento ( ) a una distancia del punto . En la figura 1-3h se
proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud . Al
aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0 1
+ = 0 5.6 1 = 0 1 = 5.6
o tambin
1 =1
=(5.6)
= 5.6
+ = 0 4.2 + 1 = 0 1 = 4.2
Corte en el tramo ( ). En la figura 1-3i se muestra un diagrama de cuerpo libre de la seccin cortada. A la derecha, figura 1-3j, se proporciona un esquema
para determinar el valor en funcin de de la intensidad 1.
La fuerza resultante de la carga triangular cortada es
=( 1)( 1)
2=( 1)2
2
3/
1
1
3
3 4
1 = 5.6
1 = 4.2
1
1
1
1 = 1
3 4
=( 1)2
2 1 = 5.6
1 = 4.2
1
1
2
2
2
1 3
3/
3=
1 1
1 = 1
+ = 0 5.6() 1 = 0 1 = 5.6
(h)
(i)
(j)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
29
y su punto de aplicacin es
=1
3( 1)
Por lo tanto,
+ = 0 5.6 ( 1)2
2[1
3( 1)] 2 = 0
2 = 5.6 1
6( 1)3 = 5.6
1
6[()3 3()2(1)+ 3(1)2() (1)3]
= 5.6 1
6[3 32 + 3 1] =
1
63 +
1
22 6.1 +
1
6
+ = 0 5.6 ( 1)2
2 2 = 0
2 = 5.6 ()2 2()(1) + (1)2
2= 5.6
1
22 +
1
2=
1
22 + 6.1
o tambin
2 =2
= (
16
3 +12
2 6.1 +16)
=
1
22 + 6.1
+ = 0 2 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla
en algn sitio intermedio del tramo , figura 1-3k. El equilibrio esttico del cuerpo libre implica que
1
3 4
1 = 5.6
1 = 4.2
2
= 15.0456
1 3
1
3
3
3
=( 1)2
2
3 4
(k)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
30
+ = 0 5.6 + 15.0456( 3) ( 1)2
2[1
3( 1)] 3 = 0
3 = 5.6 + 15.0514 45.1542 1
63 +
1
22
2+1
6
3 = 1
63 +
1
22 + 8.9456 44.9701
+ = 0 5.6 ( 1)2
2+ 15.0456 3 = 0 3 =
1
22 + + 8.9456
o tambin
3 =3
= (
16
3 +12
2 + 8.9456 44.9701)
=
1
22 + + 8.9456
+ = 0 3 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ( ) a una distancia de ; a continuacin se ofrece el diagrama de cuerpo libre que representa la porcin de la estructura ubicada a la
izquierda del corte, figura 1-3l.
4 4.45
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es
3/
3
3 4
1 = 4.5 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0514
Carga distribuida irregularmente
4
4
4
1
4
(l)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
31
= (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
= 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422 1346.05
y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
Resolviendo el numerador tenemos
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
(1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4
= 1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112 1067.35
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
=1427
+896
40130
5
+4091674000
4 24436
3
+ 7112 1067.35
1366 +
16155
40124
4 +1363891000
3 24434
2
+ 1422 1346.05
Las acciones internas entre los puntos y quedan definidas como
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 1( ) 4 = 0
4 = 1
2527 +
8
456
401
1205 +
136389
40004
2443
123 + 7112 1341.1044
+ 1035.7132
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 1 4 = 0
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
32
4 = 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42
+ 1422 1346.1044
o tambin
4 =4
= (
1252
7 +8456
401120
5 +1363894000
4 244312
3 + 7112 1341.1044 + 1035.7132)
4 = 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42
+ 1422 1346.1044
+ = 0 4 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ( ) a una distancia de ; en la figura 1-3m se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. En
consecuencia,
4.45 9
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es
= (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
= 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422 1345.935
3/
2/
3/
3 3
3 4
1 = 4.5 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0456
1/
Carga distribuida
irregularmente
5
5
5
1
2 = 0.12
2 = 4.083
5
(m)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
33
y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
Resolviendo el numerador tenemos
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
(1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4.45
1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112 1066.85875
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
=142
7 +89
6 40130
5 +4091674000
4 24436
3 + 7112 1066.85875
136
6 +1615
5 40124
4 +1363891000
3 24434
2 + 1422 1345.935
Las acciones internas entre los puntos y quedan definidas como
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 0.12( 4.083) 2( ) 4 = 0
5 =1
2527
8
456 +
401
1205
136389
40004 +
2443
123 7112 + 1351.0006
1098.9855
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 0.12 2 4 = 0
5 =1
366
16
155 +
401
244
136389
10003 +
2443
42
1422 + 1351.0006
o tambin
5 =5
=
(1252
7
8456
+401120
5
1363894000
4 +244312
3 7112 + 1351.0006 1098.9855)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
34
5 =1
366
16
155 +
401
244
136389
10003 +
2443
42
1422 + 1351.0006
+ = 0 5 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia de ; en la figura 1-3n se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. Por
consiguiente,
9 11
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 0.12( 4.083) 8.87( 6.685) + 7.34( 9)
6 = 0
6 = 3.5356 38.89074
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 0.12 8.87 + 7.34 6 = 0 6 = 3.5356
o tambin
6 =6
=(3.5356 38.89074)
= 3.5356
+ = 0 4.2 0.66447 + 6 = 0 6 = 3.53553
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 9
3 4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 2 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0456 = 7.34
2 = 6.685
3
= 0.66447
6
6
6
6.685
3 = 0.12
3 = 4.083
5
(n)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
35
Ejercicio 1.4. Determine las reacciones en los soportes y las ecuaciones de las
acciones internas de la viga que se muestra en la figura 1-4a, la cual est sometida
a cargas distribuidas de variacin lineal y tiene una rtula (articulacin) en .
SOLUCIN
Verificacin del grado de indeterminacin
Para esta viga se tienen cinco reacciones de apoyo, de las cuales tres ( , , )
corresponden al empotramiento en y las otras dos ( , ) al apoyo articulado
, y existen tres ecuaciones de equilibrio ( = 0, = 0, = 0). Sin
embargo, como la carga axial es insignificante, de = 0 se establece que tanto
como son nulas. Siendo as, se puede decir que hay = 3 incgnitas de
reaccin, = 2 ecuaciones de equilibrio y adems una ecuacin de condicin, es
decir, = 1, debido a que el momento flexionante en la articulacin vale cero.
Entonces, al cumplirse + = , ya que 2 + 1 = 3, se infiere que la viga es
estticamente determinada.
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. La figura 1-4b indica el diagrama de cargas para esta viga. Se
traza una lnea imaginaria que pase por la articulacin , de tal forma que la viga quede dividida en dos partes. Luego, en ambos segmentos deben determinarse las
fuerzas resultantes de las cargas distribuidas y el punto donde se aplican. Para una
mayor facilidad en los clculos, conviene subdividir las cargas trapezoidales
distribuidas extendidas en y , en cargas ms simples como lo son las triangulares y las rectangulares. Observe que es forzoso conocer el valor del punto
de intensidad de carga 1; para ello, se hace uso de la trigonometra, tal y como se observa en la figura 1-4c.
2/ 2/
4/
3 2 3
Figura 1-4
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
36
De la ltima figura, por tringulos semejantes, se tiene
2
5=
3 =
6
5
En consecuencia,
1 = 2
+6
5
=16
5
Se calculan las reas bajo los rectngulos y los tringulos, segn sea el caso, y el
centroide de cada rea.
1 = (3)(2/) = 6 1 =1
2(3) = 1.5
2 =(3) (
165
2/)
2=
9
5 2 =
1
3(3) = 1
2/
4/
3
5
2/
2/ 1
1 = + 2/
2/ 2/
4/
3 2 3
1 =
16
5/
(b)
(c)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
37
3 = (2)(16
5
) =32
5 3 =
1
2(2) = 1
4 =(2)(4
165
)
2=
4
5 4 =
2
3(2) =
4
3
5 = (3)(2/) = 6 5 =1
2(3) = 1.5
6 =(3)(4 2
)
2= 3 6 =
1
3(3) = 1
Como es difcil establecer por inspeccin el sentido adecuado de cada reaccin,
todos se suponen de forma arbitraria. Finalmente, el diagrama de cargas, figura
1-4d, es
Ecuaciones de equilibrio. Recuerde que si al aplicar las ecuaciones de la esttica, la magnitud de una fuerza o momento desconocido resulta negativo(a), tal sentido
supuesto debe invertirse.
En primer lugar se calcula el valor de con base en la ecuacin de condicin. Para ello, se establece que la suma de momentos respecto de la rtula para el segmento derecho es igual a cero; de ese modo, la nica incgnita es la reaccin
. Aunque la suma de momentos alrededor de para la porcin izquierda tambin debe ser nula, por ahora no es conveniente usar tal planteamiento, ya que de
hacerlo aparecern dos incgnitas de reaccin, y . Aqu, hemos considerado
2/ 2/
4/
3 2 3
1 =16
5/
1 = 6
2 =9
5 3 =
32
5
1 = 1.5
4 =4
5
6 = 3
5 = 6
2 = 1 3 = 1
4 = (4/3) 5 = 1.5
6 = 1
= 0
= 0
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
38
que los momentos horarios sean positivos, pero igual se pudo haber considerado
una convencin en la que los momentos antihorarios fueran los positivos. Entonces,
+ = 0 (32
5) (1) + (
4
5) (
4
3) + (3)(2 + 1) + (6)(2 + 1.5) (5) = 0
= 7.4933
Una vez que se ha calculado , podemos aplicar en toda la viga la ecuacin que enuncia que la suma de fuerzas verticales es nula, y as determinar directamente
. En consecuencia,
+ = 0 + 6 +9
5+
32
5+
4
5+ 3 + 6 7.4933 = 0 = 16.5067
La reaccin desconocida faltante se puede obtener si para toda la viga igualamos a cero la suma de momentos respecto de o , puntos que corresponden a la ubicacin del empotramiento y el apoyo articulado
respectivamente; sin embargo, una forma ms sencilla de conocer el valor de radica en tomar momentos alrededor de para el segmento derecho empleando el resultado de previamente obtenido. Por consiguiente,
+ = 0 + (16.5067)(3) 6(1.5) (9
5) (1) = 0 = 38.7201.
Por otra parte, existe una forma alterna para calcular todas reacciones en los
soportes, consistente en un proceso que engloba el clculo de las reacciones en la
articulacin. Se opta por explicar tal proceso ms adelante, cuando se resuelve un
marco triarticulado.
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
Se muestran los resultados en la figura 1-4e.
2/ 2/
4/
3 2 3
1 =16
5/
1 = 6
2 =9
5 3 =
32
5
1 = 1.5
4 =4
5
6 = 3
5 = 6
2 = 1 3 = 1
4 = (4/3) 5 = 1.5
6 = 1
= 0
= 7.4933 = 16.5067
= 0
= 38.7201. 1 2
(e)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
39
Es evidente que al no haber cargas horizontales en la estructura, la fuerza normal
(axial) ser igual a cero a lo largo de toda la viga.
Es importante recalcar que las ecuaciones de las acciones internas no presentan
discontinuidad alguna en el punto donde se localiza una articulacin. En cambio, las
funciones de la fuerza cortante y del momento flector son discontinuas en el punto ; la razn es obvia, pues ah la carga distribuida con variacin lineal sufre un cambio de pendiente. Por lo tanto, pueden distinguirse dos regiones distintas en la
viga, una que va desde hasta y otra que va de a . Esto conlleva a que dos cortes perpendiculares al eje de la viga sean necesarios de efectuar, uno en cada
tramo citado, dado que las funciones de las acciones internas no son iguales entre
los segmentos y .
Una sola coordenada capaz de cubrir toda la longitud de la viga puede ser establecida; su origen bien puede asociarse en o . Sin embargo, los clculos se simplificarn bastante si se elige una coordenada diferente para cada regin. Entonces, se emplean las coordenadas 1 y 2, cuyos orgenes se definen en y , y que abarcan las regiones y , de forma respectiva. El origen de ambas coordenadas bien puede ser establecido en el punto , pero esto elevara el grado de dificultad de las deducciones. A continuacin se aplica el mtodo de
secciones
Corte en la regin . Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en
el segmento ) a una distancia 1 del punto , sin importar que esta sea mayor
o menor a la distancia que hay entre y la articulacin . En la figura 1-4f se
proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud 1.
2/
2 = 2 +2
51
= 21
=1
2(1) (
2
51) =
1
51
2
= 1/2
= 1/3
= 16.5067
= 0
= 38.7201. 1
2/
(2/5)1
1
1 1
(f)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
40
El valor de la intensidad de carga 2 en funcin de 1 se determina de forma anloga a como se hizo con 1.
2 = 2
+ (2
5(1)) = 2 +
2
51
La carga trapezoidal seccionada se sustituye por una distribucin rectangular y una
triangular. En el diagrama se indican la fuerza resultante de cada carga distribuida
y el brazo de palanca que les corresponde. El equilibrio esttico del cuerpo libre es
+ = 0 38.7201 + 16.5067(1) 21 (12) (
1
51
2) (13) 1 = 0
1 = 38.7201 + 16.50671 12
1
151
3
+ = 0 16.5067 21 1
51
2 1 = 0
1 = 16.5067 21 1
51
2
+ = 0 1 = 0
Corte en la regin . A continuacin, en la figura 1-4g se muestra un diagrama de cuerpo libre de la porcin derecha de la viga que surge al seccionarla en un sitio
intermedio al tramo . Para definir el momento y el cortante en esta regin se sigue el procedimiento acostumbrado.
2/
= 0
= 7.4933
2
2/
= 2/2
= 2/3
2
32
3 = 2 +2
51
2
2 2
= 22
=1
2(2) (
2
32) =
1
32
2
(g)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
41
El valor de la intensidad de carga 3 en funcin de 2 se obtiene de
3 = 2
+ (2
3(2)) = 2 +
2
32
Por lo tanto,
+ = 0 7.4933(2) + 22 (22) + (
1
32
2) (23) + 2 = 0
2 = 7.49332 22
1
92
3
+ = 0 7.4933 22 1
32
2 + 2 = 0 2 = 7.4933 + 22 +1
32
2
+ = 0 2 = 0
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
42
Ejercicio 1.5. Determine las reacciones en los soportes y las funciones de los
elementos mecnicos de la viga gerber que se muestra en la figura 1-5a, en la que
se tienen articulaciones en y .
SOLUCIN
Verificacin del grado de indeterminacin
Si en el apoyo articulado se generan dos fuerzas reactivas (una horizontal y una vertical) y en cada uno de los rodillos , y ocurre una reaccin vertical, entonces se tienen cinco incgnitas de reaccin. Las ecuaciones de la esttica en el plano
son tres. El problema se reduce de entrada si consideramos que la reaccin
horizontal es nula, lo cual es evidente, ya que la suma de fuerzas horizontales es
igual a cero y la viga no est sometida a alguna carga en tal direccin. De ese modo,
ahora hay = 4 incgnitas de reaccin (, , ), = 2 ecuaciones de equilibrio ( = 0, = 0) y = 2 ecuaciones de condicin, debido a que no existe momento flector en las rtulas y . Al satisfacerse + = , puesto que 2 + 2 = 4, se concluye que la viga es estticamente determinada.
Clculo de las reacciones en los apoyos
Recuerde que la suma de los momentos respecto del punto de ubicacin de una
rtula, de las fuerzas situadas ya sea a la izquierda o a la derecha de la seccin, es
igual a cero.
El valor de se obtiene de hacer nula la sumatoria de momentos alrededor de para el segmento izquierdo.
+ = 0 (15) + 5(15) (15
2) = 0 = 37.5
Figura 1-5
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
43
Si se calcula el momento flexionante en la seccin como la suma de los momentos de las fuerzas situadas a la derecha de la seccin, se iguala a cero dicho momento,
y se emplea el resultado de calculado previamente, se infiere directamente .
+ = 0 37.5(45) (15) + 5(45) (45
2) = 0 = 225
Ahora observe como no hay otra opcin ms que resolver un sistema simultneo de
ecuaciones para calcular las reacciones restantes. No importa respecto de que
soporte se tomen momentos, siempre se llegar a una ecuacin con dos incgnitas:
y . Lo mismo ocurre al tomar la suma de momentos alrededor de la
articulacin para la parte derecha o al plantear que la sumatoria de las fuerzas verticales para la viga completa es cero. Entonces, se utilizan las ltimas dos
opciones por ser las menos laboriosas.
+ = 0 (15) + (30) 5(40)(20) = 0
3 + 6 800 = 0 (1)
+ = 0 37.5 + 225 + + 5(85) = 0
+ 162.5 = 0 (2)
Al resolver el sistema de ecuaciones (1) y (2) resulta
= 58.33 = 58.33 = 104.17 = 104.17
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-5b se muestran los resultados obtenidos.
(b)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
44
Las funciones de momento flector y de fuerza cortante son discontinuas en los
puntos , y , ya que en ellos se encuentran aplicadas de forma respectiva las fuerzas concentradas , y . La viga debe cortarse perpendicularmente a su eje en secciones arbitrarias localizadas en las regiones , , y para poder definir las acciones internas a lo largo de ella. Se opta por emplear dos coordenadas ; 1 y 2 con orgenes establecidos en y , cubren las regiones y , respectivamente.
As, al aplicar el mtodo de las secciones, con base en las figuras 1-5c, 1-5d, 1-5e
y 1-5f, se tiene
0 1 30
+ = 0 1 + 37.5(1) 5(1) (12
) = 0
1 = 37.51 5(1)
2
2
1 =11
= 37.5 51
+ = 0 1 = 0
30 1 60
+ = 0 2 + 37.5(1) + 225(1 30) 5(1) (12
) = 0
(c)
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
45
2 = 51
2
2+ 262.51 6750
2 =21
= 51 + 262.5 + = 0 2 = 0
60 1 75
+ = 0 3 + 37.5(1) + 225(1 30) + 58.33(1 60) 5(1) (12
) = 0
3 = 51
2
2+ 320.8331 10250
3 =31
= 51 + 320.833 + = 0 3 = 0
0 2 10
+ = 0 4 + 5(2) (22
) = 0 4 = 52
2
2
4 = 42
= 52 + = 0 4 = 0
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
46
Ejercicio 1.6. Determine las reacciones en los soportes y las funciones del
momento flexionante y de la fuerza cortante de la viga mostrada en la figura 1-6a,
la cual soporta un momento de par distribuido cuya intensidad vara linealmente
desde 10.
en hasta 1
.
en .
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Por inspeccin, la viga es isosttica. Con el fin de calcular las reacciones en los soportes, la carga de par distribuida se reemplaza por un
momento resultante igual al rea del trapecio y cuyo punto de aplicacin puede estar
en cualquier parte de la estructura. La fuerza reactiva horizontal en se ha omitido por tener un valor nulo debido a que la viga no est sometida a cargas en . El diagrama de cargas de la viga es mostrado en la figura 1-6b.
= [(10
. ) + (1
. )
2] (5) =
55
2.
10.
1.
5
10.
1.
5
=55
2.
Figura 1-6
(a)
(b)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
47
Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de la esttica en el diagrama de
cargas resulta
+ = 0 55
2 (5) = 0 =
11
2
+ = 0 +11
2= 0 =
11
2
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-6c se observan esquemticamente los resultados.
Debido a que no hay discontinuidad en la carga de par distribuida, slo se toma en
cuenta una sola regin de para describir las funciones de las acciones internas
para toda la viga; entonces, la coordenada con origen en cubre toda la longitud
de la estructura y es positiva hacia la derecha. La fuerza axial es insignificante. Al
seccionar la viga en un sitio arbitrario en el tramo , se tiene el diagrama de
cargas mostrado en la figura 1-6d.
10.
= 10 9
102
=
11
2
= 1 +9
5(5 )
10.
1.
5
=55
2.
=
11
2 =
11
2
(c)
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
48
Con base en la figura 1-6e, se determina la intensidad de momento en funcin de empleando conceptos bsicos de trigonometra.
9.
5
=
5 =
9
5(5 ) = 1 +
9
5(5 )
Luego, el momento resultante, que puede aplicarse en cualquier punto de la viga,
es igual a la siguiente rea trapezoidal
=10 + [1 +
95
(5 )]
2() = [
(50 9)
10] + 5 = 10
9
102
De aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la seccin
cortada resulta
+ = 0 11
2() + (10
9
102) = 0 =
11
2 + (10
9
102)
+ = 11
2 = 0 =
11
2
Es importante aclarar que el momento en los soportes y no debe ser 10 . y
1 . , respectivamente, y que ms bien es nulo en ambos puntos. Por otra parte,
si se desea obtener el valor del cortante como la derivada del momento, la parte
que est entre parntesis debe ser considerada como constante, ya que al final de
cuentas, se trata de una resultante de momento.
10.
1.
5
1.
9.
5
(e)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
49
1.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TRABAJO
VIRTUAL. PENDIENTE Y CURVA ELSTICA CON EL MTODO DE LA DOBLE
INTEGRACIN.
Ejercicios 1.7-1.12. Para las vigas de las figuras 1-7a, 1-8a, 1-9a, 1-10a, 1-11a,
1-12a, calcular las reacciones en los soportes y dibujar los diagramas de momento,
cortante, giro y flecha; tambin determine los valores del momento mximo y de la
flecha mxima. Suponga que e son constantes.
Ejercicio 1.7
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Las reacciones en los apoyos han sido identificadas y el
sentido de cada una de ellas se ha supuesto arbitrariamente por desconocerse; por
otra parte, se ha determinado la carga concentrada equivalente para la carga
distribuida de intensidad con variacin lineal y su punto de aplicacin . La figura
1-7b indica el diagrama de cargas de la estructura.
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener las
fuerzas reactivas en los soportes; la convencin de signos a utilizar es indistinta.
+ = 0 (
2) (
2
3) ()() = 0 =
2
3 =
3
+ = 0 = 0
+ = 0
2+
3= 0 =
6
Figura 1-7
(a)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
50
Funciones de fuerza cortante y de momento
En la figura 1-7c se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus
correspondientes sentidos adecuados; se especifica la coordenada a utilizar cuyo
origen asociado est en . El momento y el cortante deben estar en funcin de y
como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, slo se efectuar
un corte perpendicular al eje de la viga.
Un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud es proporcionado en la figura 1-7d. Note que la intensidad de la carga triangular se encuentra en
proporcin, es decir,
=
=
. Se indica la fuerza resultante de la carga
triangular del corte y su punto de aplicacin; y aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convencin de signos usualmente adoptada y
sus funciones se deducen al hacer uso de las ecuaciones de equilibrio cuya
convencin de signos si puede ser cualquiera.
(b)
(c)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
51
0
+ = 0 + (
6)
() ( )
2(
3) = 0
=
6
63
+ = 0
6
() ( )
2 = 0
=
6
22 =
=
6
6(32) =
6
22
Clculo del momento mximo
El momento mximo est posicionado en un punto donde = / = 0; realizando la sustitucin correspondiente y resolviendo la ecuacin se tiene
0 =
6
22 2 =
6
2
=22
6=
2
3 =
3
Al hacer = en la ecuacin de , el momento mximo resulta ser
=
6(
3)
6(
3)
3
=2
63
2
6(3)3 =
3
272 =
2
93
(d)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
52
Ecuaciones de la pendiente y la deflexin usando el mtodo de la
integracin directa o doble
Al aplicar la ecuacin diferencial
2
2=
e integrarla dos veces, se obtiene
2
2=
6
63
()
= (
6
63)
=
122
244 + 1; si
= , =
122
244 + 1
= (
122
244 + 1) =
363
1205 + 1 + 2
En las expresiones que definen las curvas de pendiente y de deflexin hay dos
constantes de integracin; por tanto, deben definirse dos condiciones que permitan
evaluar dichas constantes. Para sta viga simplemente apoyada, las condiciones
de frontera son: 1) = 0 = 0 y 2) = 0 = , ya que el apoyo simple
(rodillo) y el apoyo articulado (pasador) no permiten la deflexin (flechamiento) de
la viga en sus correspondientes puntos de ubicacin.
Sustituyendo la condicin 1) en la ecuacin da
(0) =
36(0)3
120(0)5 + 1(0) + 2 2 = 0
Sustituyendo la condicin 2) y 2 = 0 en la misma ecuacin da
(0) =
36()3
120()5 + 1() + 0 1 =
7
3603
En consecuencia, las ecuaciones del giro y de la flecha son, respectivamente
=1
(
122
244
73
360) 0
=1
(
363
1205
73
360) 0
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
53
Mtodo del trabajo virtual unificado con el mtodo de la integracin doble
En ocasiones, las condiciones conocidas son insuficientes para calcular las
constantes de integracin, as que se puede(n) implementar alguna(s) condicin(es)
de frontera si se calcula(n) algn(os) giro(s) y/o flecha(s) preferentemente con el
mtodo del trabajo virtual. Otra buena razn para unificar stos mtodos es que el
sistema de ecuaciones podra tener una solucin ms directa. Aunque para este
ejercicio no es necesario, realizaremos este proceso a manera de ejemplificacin.
Se sabe que en , sea en = 0, = 0, pero en = 0, = ?, as que aplicamos
el mtodo trabajo virtual para calcular la rotacin (pendiente o giro) en .
Momento real . Corresponde a la siguiente funcin que ya ha sido deducida:
=
6
63 0
Momento virtual . La pendiente en se determina al colocar un momento de
par unitario virtual en ese punto, figura 1-7e; el sentido del par se ha propuesto
horario (puede ser antihorario). Note que las cargas reales son removidas y que
debe usarse la misma coordenada que se emple para . Despus de calcular
las reacciones en los soportes, se deduce el momento interno con el mtodo de
las secciones a partir de la figura 1-7f.
Las reacciones en los soportes son resultado de
+ = 0 1 () = 0 =1
+ = 0 +1
= 0 =
1
En la figura 1-7f se muestra el diagrama de la seccin cortada de la viga virtual; acta en la misma direccin que , es decir, en la positiva convencional.
(e)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
54
.0
+ = 0 + 1 1
() = 0 = 1
1
Ecuacin del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en es resultado de
1 =
2
1
1 =1
(
6
63) (1
1
) =
1
(
6
63
62 +
624)
0
0
=1
[
122
244
183 +
3025]
0
=1
(
3
12
3
24
3
18+
3
30)
=73
360
El signo positivo indica que el sentido de es el mismo que el propuesto para el
momento de par unitario virtual.
=73
360
Recuerde que por la convencin de signos que se maneja en el mtodo de doble
integracin, un giro horario ser negativo.
Las condiciones de frontera a emplear para calcular las constantes de integracin
son: 1) = 0 = 0 y 2) = 73
360 = 0.
Sustituyendo = 0, 73
360 en la ecuacin tenemos
(f)
-
CAPTULO 1 ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
55
(73
360) =
12(0)2
24(0)4 + 1 1 =
73
360
Sustituyendo = 0, = 0, 1 = 73
360 en la ecuacin tene