MATEMÁTICA

Libro de Consulta

Segundo Grado de Primaria

Marcos Vílchez Macurí

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Candelabro de Nazca - Ica.

Este libro pertenece a:

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Divertinúmeros es una obra del área de Matemática, cuya propuesta esta dirigida al desarrollo de hábitos de pensamiento, de la capacidad creativa y del descubrimiento de los conceptos del "orden" y la "medida". Su contenido tiene la finalidad de elevar el nivel matemático de los estudiantes de primaria y brindar al profesor una buena guía pedagógica para el arte de enseñar matemática.

Es preciso mencionar que en esta serie se ha seguido el orden del programa oficial; sin embargo, se han agregado otros componentes del área como proposiciones (lógica), álgebra, geometría, estadística , probabilidades y trigonometría en quinto y sexto grado desarrollados en forma secuencial y considerando la capacidad mental de los alumnos de los diferentes grados de estudio.

Respecto al contenido, cada unidad se inicia con una portada referente al tema a tratar, la misma que el niño deberá observar e interpretar para responder a las preguntas propuestas.

En las obras de esta serie nos hemos propuesto brindar al profesor y padres de familia las herramientas necesarias para que el niño o niña puedan entender la matemática y cultiven "el arte de ver con los ojos de la mente", poniendo así en juego lo mejor de sus recursos mentales, su espíritu de observación y su imaginación.

Finalmente, expreso a los profesores mi gratitud por utilizar esta obra que, con el aporte de su creatividad, aspira a convertirse en un elemento didáctico que les permita alcanzar satisfacciones en su vida profesional.

El autor

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Í N D I C E

A R I T M É T I C A

PROPOSICIONES Y CONJUNTOS

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 1 000

NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 100

NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 1 000

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

MENORES QUE 1 000

1.1. Proposiciones y cuantificadores..................... 8 * Cuantificadores: Todos, algunos o ninguno 91.2 Clasificación de objetos de acuerdo a sus

propiedades........................................................... 101.3 Sucesiones.............................................................. 111.4 conjuntos................................................................ 12 * Representación de un conjunto...................... 13 * Pertenece o no pertenece................................. 15 * Determinación de conjuntos por extensión

y por comprensión................................................ 16 Conjunto unitario y conjunto vacío............... 17

* Subconjuntos e igualdad de conjuntos....... 191.5 Operaciones con conjuntos............................... 21 * Unión de conjuntos............................................ 22

2.1 Decenas y unidades............................................. 26 * Escribe y lee números naturales menores

que 100.................................................................... 282.2. Compara y ordena números naturales......... 29 * Formando sucesiones crecientes y

decrecientes........................................................... 30 * Escritura de los ordinales hasta el décimo. 312.3 Adición y sustracción de números naturales...32 * La sustracción de números naturales cuyo

minuendo es menor que 100........................... 33 * Operaciones combinadas de adición y

sustracción.............................................................. 34

3.1 Centenas, decenas y unidades........................ 38 * Escritura y lectura de números naturales

menores que 1 000............................................... 39 * Notación desarrollada de un número

natural...................................................................... 413.2 Compara y ordena números naturales

menores que 1 000............................................... 42

*Ordena números naturales.............................. 433.3 Aproximación de números naturales............. 443.4 Sucesiones................................................................ 45

4.1 Adición de números naturales cuya suma es menor que 1 000............................................. 48

* Suma de números naturales “llevando”....... 49 * Propiedades de la adición................................ 504.2 Sustracción de números naturales cuyo

minuendo es menor que 1000........................ 51 * La resta de números naturales “prestando”.... 534.3 Operaciones combinadas de adición y

sustracción............................................................. 54 * Problemas resueltos de adición y

sustracción............................................................. 55

5.1 Formación de las tablas de multiplicación.. 58 * Las tablas de multiplicar por 2; 3; 4; 5.............. 59 * Las tablas de multiplicar por 6; 7; 8; 9.............. 605.2 Multiplicación de números naturales cuyo

producto es menor que 1 000.......................... 62 * La multiplicación de un número de 2 o 3 cifras por otro de una cifra (“llevando”)........... 63 * Multiplicación por 10 y por 100........................ 64 * Propiedades de la multiplicación................... 65 * Doble y triple de un número............................ 665.3 División de números naturales cuyo

dividendo es menor que 1000........................ 69 * Dividir un número natural de dos y tres cifras

entre otro de una cifra y hallar el cociente exacto....................................................................... 70

* Dividir un número natural de dos y tres cifras por una cifra, con residuo diferente de cero............................................................................ 71 Mitad y tercia de un número natural menor que 1000................................................................. 72

5.4 Operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división........... 74

* Problemas resueltos............................................ 75

1

2

3

4

5.... d

E D 1 To R Es S . A.C.

NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 10 000

GEOMETRÍA

5.5 Divisores y múltiplos de un número natural 76 * Halla los múltiplos de un número................. 77

6.1 La unidad de millar.................................................. 80 * Escribe y lee números naturales menores que 10 000.................................................................. 81 * Mayor que, menor que o igual a........................ 826.2 Adición y sustracción de números naturales

menores que 10 000.............................................. 83 * Resta de números naturales................................ 846.3 Multiplicación y división de números naturales.................................................................... 85 * La multiplicación de números naturales por otro de dos cifras............................................ 86 * La división cuando el dividendo tiene tres o

cuatro cifras y el divisor una cifra...................... 876.4 Operaciones combinadas..................................... 886.5 Fracciones................................................................... 89

UNIDADES DE MEDIDA

7.1 Unidades de longitud y masa............................ 92 * Conversiones........................................................... 93 * Problemas resueltos sobre medidas de

longitud..................................................................... 94 * Unidades de masa................................................. 95 * Problemas resueltos sobre unidades de

masa........................................................................... 977.2 Cálculo de la duración del "tiempo"................ 98 * Las estaciones........................................................ 100 * Lee y escribe la hora, minutos y segundos 101 * Conversiones de unidades de tiempo........... 1027.3 El sistema monetario nacional. Monedas y billetes................................................................... 103 * Problemas resueltos sobre monedas y

billetes...................................................................... 1047.4 Unidades arbitrarias de área, capacidad y

volumen................................................................... 105 * Unidades arbitrarias para medir la

capacidad................................................................ 106 * Unidades arbitrarias para medir el

volumen................................................................... 107

TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

PROBABILIDADES

8.1 Recolección y cuantificación de datos........ 1108.2 Tablas de doble entrada y pictogramas...... 112 * Interpreta pictogramas “símbolos”............... 1138.3 Gráficos de barras y lineales............................. 1148.4 Ocurrencia de un fenómeno o suceso.

Probabilidades...................................................... 117

9.1 Líneas rectas y curvas......................................... 1209.2 Líneas poligonales............................................... 1219.3 Desplazamiento de figuras en el plano

cuadriculado......................................................... 122 * Traslada figuras en el plano cuadriculado.. 1239.4 El plano cartesiano................................................ 124 * Construye figuras geométricas en el plano

cartesiano............................................................... 1259.5 Figuras geométricas planas............................... 127 * Triángulos, cuadriláteros, y se halla su

perímetro................................................................ 1289.6 Cuerpos geométricos........................................... 1319.7 Figuras simétricas.................................................. 133

10.1 Expresiones algebraicas................................... 136 * Reconoce y reduce términos semejantes... 137 * Valor numérico de una expresión

algebraica............................................................... 13810.2 Ecuaciones e inecuaciones.............................. 139 * Resuelve inecuaciones en el conjunto de

los números naturales........................................ 140

6

7

8

GEOMETRÍA

ESTADÍSTICA

ÁLGEBRA

9

EXPRESIONES ALGEBRAICAS10

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

No hay agua.

Pedro, ¿trajiste el libro que te pedí?

Unidad

1Aritmética

Proposiciones y conjuntos

Proposiciones y conjuntos

El profesor entregó los exámenes.

Romina

Carlos

Karla

¡Qué perrito más gracioso!

Delia

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Los jóvenes están en el campus universitario, ¿cuál sería tu respuesta sobre las expresiones que Romina, Karla y Carlos manifiestan?

1. No hay agua.

a ¿Es una expresión que indica orden?

a ¿Es una expresión que niega algo?

a ¿Es una expresión interrogativa?

2. ¡Qué perrito más gracioso!

a ¿Es una expresión que indica duda?

a ¿Es una expresión informativa?

a ¿Es una expresión exclamativa?

3. El profesor entregó los exámenes.

a ¿Es una expresión informativa?

a ¿Es una expresión que indica deseo?

a ¿Es una expresión que indica orden?

Aprenderé a ...Aprenderé a ... Reconocer proposiciones y cuantificadores.

Clasificar y agrupar objetos.

Formar sucesiones.

Nombrar y formar conjuntos.

Resolver operaciones con conjuntos.

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8

Ari

tmét

ica

Karina, la sema-na tiene 7 días.

Una proposición es un enunciado del cual podemos afirmar que es verdadero o que es falso. No puede ser ambas cosas.Las preguntas, las exclamaciones y los mandatos no son proposiciones.

De todas las expresiones de los niños, solo las que dicen Karina y Óscar son proposiciones, pues de ellas se puede afirmar que son verdaderas o falsas. Las demás expresiones solo son enunciados.

Entonces: La proposición: “El Sol sale por la noche" es falsa.

La proposición: "Karina, la semana tiene 7 días" es verdadera.

El gato es un animal

vertebrado.

¿Cómo estás, Karla?

¿Qué hora es, amigo?

Felipe Karina

Óscar

Santiago

Raquel

Karla

¡Hola, Raquel!

¡Buenos días, Santiago!

El Sol sale por la noche.

n Observa a los niños y lee.

CONCLUSIÓN

n Ejemplo:

La proposición de Óscar es falsa, y la de Karina es verdadera.

El número 11 es par.

Óscar Karina

PROPOSICIONES Y CUANTIFICADORES

¿Es o no es una proposición?1.1

Ocho

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Aritm

ética

9

Todos los niños juegan en el tobogán.

Algún niño juega en el sube y baja.

Ningún niño está en el pasamano.

Todos los juegos son de color amarillo.

Algún juego es de color verde.

Ningún juego es de forma redonda.

Todos los niños tienen polo rojo.

n Al observar la figura, podemos establecer la verdad o la falsedad de las proposiciones.

n Asimismo, al observar las siguientes figuras geométricas podemos esta-blecer la verdad o falsedad de las proposiciones

Todos los círculos son de color verde.

Algunos triángulos son pequeños.

Ningún círculo es blanco.

Algunos rectángulos son de color amarillo.

Todos los cuadrados tienen 4 lados.

Todos los triángulos son de color amarillo.

n Verifica las proposiciones si son verdaderas o falsas.

Algún número impar tiene mitad.

Todos los números pares tiene una cifra.

Ningún número natural es menor que cero.

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

Cuantificadores: todos, algunos, ninguno

F

F

V

Nueve

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10

Ari

tmét

ica

Estos globos se han clasificado por su color (verde).

n Observa las siguientes figuras:

n Estos son ejemplos de figuras geométricas clasificadas por su forma y color.

CLASIFICACIÓN DE OBJETOS DE ACUERDO A SUS PROPIEDADES

Clasifica los objetos por su forma y color

n Observa otros ejemplos de elementos clasificados por su forma y color.

1.2

Diez

Estos figuras se han clasificado por su color (azul).

En esta figura se han clasificado los elementos por su forma y color.

En esta figura se han clasificado los elementos por su forma.

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11

Aritm

ética1.3

Aprecia que el animal que sigue es el ratón, porque, el orden o criterio de formación es perro, gato, ratón, perro gato, ratón.

n Observa la sucesión. ¿Qué animal sigue?

n Si el criterio de formación es "crema dental roja, verde y amarilla", ¿qué crema dental seguirá? Hazlo en el cuaderno.

n Observa el orden en que aparecen estos animales. ¿Qué animal seguiría?

SUCESIONES

Interpreta y forma sucesiones

El perro

El gato

El ratón

n Observa estas frutas y deduce el criterio de formación.

El tigre

El venado

El mono

n Si el criterio de formación es "un rectángulo pequeño, 2 rectángulos gran-des, ¿qué rectángulo seguiría? Hazlo en el cuaderno.

X

X

Once

Sucesión es la relación de elementos que se ordenan de acuerdo a un criterio de formación.

Si el criterio de formación es "una manzana roja y dos manzanas verdes en forma alternada", entonces la fruta que sigue es una manzana roja.

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12

Ari

tmét

ica

Raquel ha formado un conjunto A de verduras.

Karina ha formado un conjunto B de frutas.

La propiedad común de los dos conjuntos es que son vegetales.

n Ahora, usando un lazo se ha formado un conjunto K de artículos eléctricos.

n Copia los siguientes números en tu cuaderno y forma un conjunto P de números mayores que 8 pero menores que 15.

n Observa las figuras que están sobre la mesa.

CONJUNTOS

Nombra y forma conjuntos

n Entonces tenemos que:

Karina, yo también puedo formar un conjunto de verduras y nombrarlo

conjunto B.

AB

•plátano•sandía •manzana

•pera•naranja

•lechuga •pimiento•papa •tomate

• 4

• 14

• 5• 13• 7

• 1 • 9 • 10 • 33

• 22• 17

• 8• 11

• 12

• 7

Raquel, puedo agrupar las frutas que hay en la mesa y formar un conjunto al que denominaré conjunto A.

1.4

Doce

Conjunto es la agrupación o colección de elementos con características comunes.

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Aritm

ética

13

Un conjunto se nombra con letras mayúsculas y se representa agrupando a sus elementos entre llaves.

Otra forma de representar conjuntos es a través de curvas cerradas llamadas diagrama de VENN-EULER. Observa:

Ejemplo sean los conjuntos:

M = {cuaderno, lápiz, borrador, goma} N = {radio, televisor, licuadora, celular}

Representación de un conjunto

A = , , , ,

Se lee :A es el conjunto cuyos elementos son, naranja, sandía, manzana, plátano, pera.

MN

{ {A = {naranja, sandía, manzana, plátano, pera}

M es el conjunto cuyos elementos son cuaderno, lápiz, borrador y goma.

N es el conjunto cuyos elementos son radio, televisor, licuadora y celular.

Se lee :

Trece

Por ejemplo, el conjunto A que ha formado Karina se representa así:

Graficamente:

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Ari

tmét

ica

14

n Observa los siguientes conjuntos:

C = { , , }

Su representación en el diagrama de Venn-Euler es:

¿Cuántos elementos tiene P?

¿Cuántos elementos tiene A?

¿Cuántos elementos tiene Q?

¿Cuántos elementos tiene U?

Su representación entre llaves es:

E = { } •2 •4 •6 •8

E

n Dado los conjuntos:

P

A

•2 •4 •9•5 •7

•6•8

Q

U

2; 4; 6; 8

5

3

7

5

C

Catorce

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Aritm

ética

15

Observa los elementos que forman el conjunto A y los que están fuera del conjunto A.

Los elementos que están dentro del conjunto, pertenecen al conjunto A, y los que están fuera del conjunto A no pertenecen a dicho conjunto.

n Aprecia el empleo de los símbolos ∈ y ∉ en las proposiciones.

M

•2

•15

•14

•4

•12

•16 •9

•6 •8•10

n Copia el ejercicio en tu cuaderno y escribe el signo ∈ o ∉ según corresponda.

P

A

El símbolo de pertenencia se denota por ∈.El símbolo de no pertenencia se denota por ∉.

pertenece al conjunto A gato...................

......................... al conjunto A conejo...............

......................... al conjunto A caballo..............

......................... al conjunto A ratón..................

......................... al conjunto A venado..............

08 ........ M 12 ........ P

14 ........ M 2 ........ P

12 ........ M 10 ........ P

02 ........ M 15 ........ P

06 ........ M 16 ........ P

Pertenece o no pertenece

pertenece

no pertenece

pertenece

no pertenece

∈ A

∈ A

∉ A

∈ A

∉ A

Quince

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Ari

tmét

ica

16

Karina, los juguetes que tengo son el skate, el carro y la

bicicleta.

Óscar, ¿te has dado cuenta de que todos tus juguetes tienen ruedas?

Un conjunto se puede determinar por extensión o por comprensión.Por tanto:

POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN

Dando la propiedad común de los juguetes.

Nombrando cada uno de losjuguetes.

A = {skate, carro, bicicleta} A = {juguetes con rueda}

Así, si "B es el conjunto de los números naturales menores que 10", escribimos:

Por extensión: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por comprensión: B = {x/x son los números naturales menores que 10}

M = {r, i, n, o, c, e, t} P = {0; 2; 4; 6; 8 }

H = {x/x es un color de la bandera peruana}K = {x/x es uno de los meses del año}Q ={x/x es el conjunto de los cinco sentidos}

n Hemos determinado por extensión al conjunto M cuyos elementos son las letras de la palabra "rinoceronte" y al conjunto P de números pares menores que 10.

n Copia el ejercicio en tu cuaderno y determina por extensión.

Podemos determinar el conjunto de juguetes de Óscar de dos formas:

Determinación de conjuntos por extensión y por comprensión

Los elementos de un conjunto no se repiten.

Dieciséis

n Lee y observa.

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Aritm

ética

17

Imaginate a un amigo tuyo en la playa, solo

y en plena lluvia.

•14

P

Aprecia cómo se ha resuelto este ejercicio:

Si, P = {x / x es un número natural comprendido entre 13 y 15},

analizando: el número natural que está entre 13 y 15 es el número 14.

Entonces: P = { 14 } es un conjunto unitario.

CONJUNTO UNITARIO.

Conjunto unitario y conjunto vacío

A

S

Aprecia otros conjuntos unitarios:

Diecisiete

n Lee y observa.

L C

Conjunto unitario es aquel que presenta un solo elemento.

S = {el sol} L = {la luna} C = {el arco iris}.... d

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Ari

tmét

ica

18

n Copia el ejercicio en tu cuaderno y responde si son conjuntos unitarios o vacíos.

La respuesta es no, pues no existen gatos con 5 patas. Entonces: M es un conjunto vacío.

H ={x/x es una vocal de la palabra pan} D ={x/x es planeta marino} B = {x/x es número natural entre 8 y 9} O ={x/x es mamífero que vuela} Z = {x/x es una pelota cuadrada}

Ahora, si P = {x / x es un número natural comprendido entre 3 y 4}, nos damos cuenta de que no hay un número natural entre 3 y 4.

P

Ahora, amigo, ¿crees que existirá un gato con 5 patas.

Recuerda, el conjunto vacío se simboliza con los signos: ∅ , { }

Entonces: P = { } o P = ∅

Dieciocho

n Lee y observa.

M

Conjunto vacío es aquel que no presenta elementos.

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Aritm

ética

19

Se denota R = E

n Observa y lee.

Como se ve, los conjuntos R y E tienen los mismos elementos. Entonces, podemos afirmar que son conjuntos iguales.

M R

S

ER

E

Subconjuntos e igualdad de conjuntos

Diecinueve

Malena, Raquel, Samanta y Érika están en el mercado de frutas y eligieron las

siguientes frutas para comer:

M = {manzana, plátano, pera}

R = {naranja, pera}

S = {manzana}

E = {pera, naranja}

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Ari

tmét

ica

20

A la pregunta, ¿todos los elementos del conjunto S pertenecen al conjunto M? Afirmamos que sí. Entonces, "S es subconjunto de M".Observa:

n Dados los conjuntos: A = {8; 10; 12}, B = {8}, C = {10; 12; 8} y

D= {10;12;14}, copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios y escribe V si la relación es correcta o F si es falsa:

Se lee: "S es subconjunto de M".

10 ∈ C A = C

A = C B = D

Se denota: S ⊂ M

Se lee: "E no es subconjunto de M".Se denota E ⊄ M

SM

ME

12 ⊂ C B ⊂ A

B ⊄ C C ⊄ D

Los conjuntos M y Q no son iguales, entonces son conjuntos diferentes. Se denota M ≠ Q

Veinte

QM

•1 •5•3

¿Todos los elementos del conjunto E pertenecen al conjunto M? La respuesta es no. Entonces, "E no es subconjunto de M". Aprecia:.... d

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21

Aritm

ética

Entonces: A intersección B = {cubo, círculo}

A ∩ B = ,

Luego: K ∩ R = { }

Ahora, observa los siguientes conjuntos:

Copia el ejercicio en tu cuaderno, escribe la intersec-ción de los conjuntos A y B y pinta la región respectiva.

La intersección se denota P ∩ Q y se escribe:

Se denota: A ∩ B

Se lee: A intersección B

A B

R

n Sean los conjuntos:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Representa la intersección de conjuntos

∩ =

Donde el signo ∩ se lee "intersección".

Entonces, la intersección de dos conjuntos es el conjunto forma-do solo por los elementos comunes a ambos conjuntos.

P= , ,

P ∩ Q = , ;

Q= , ,

K

n Se tienen los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {3; 9} B A•1

•3 •9•5 •7

Claro, Raquel. Observa los conjuntos A y B y su intersección.

Karina, ahora vamos a estudiar la intersección de conjuntos.

¿Viste? K y R no tienen elementos comunes. Entonces

su intersección es vacía.

1.5

Veintiuno

n Observa y lee.

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Ari

tmét

ica

22

Entonces: A unión B = {DVD, radio, TV, celular, laptop, cámara}

A U B = { }

Raquel, ahora observa la unión de conjuntos.

Unión de conjuntos

Karina, los dos conjuntos tienen algunos elementos

comunes.

AB

U =

Se denota: A U BA unión B

Donde el signo U se lee "unión". Se lee: A unión B

Veintidós

n Observa y lee.

Eso significa que la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que están dentro de ellos.

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Aritm

ética

23

M

A

P

B

n Ahora observa la unión de los conjuntos M y P.

n Copia el ejercicio en tu cuaderno. Luego construye el diagrama y halla la unión de los conjuntos en cada caso.

U

U

=

=

M U P

A U B

Entonces el conjunto M U P expresado por extensión será:

M U P = {mango, pera, naranja, manzana, plátano}

El conjunto A U B expresado por extensión será: A U B = {pelota, muñeca, peluche, trompo}

Si P = {1; 2; 3;} y R = {3; 4; 5} Si C = {abecedario} y Z = {vocales}

Veintitrés

n Dados los conjuntos A y B.

Si E = {m, n, o} y M = {a, r, m, o} Si H = {peruanos} y B = { iqueños }

Si L= { r, i, s, a} y S = { r, o, c, a} Si W = {planetas} y Q = {sol, luna}

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