Libro de Aritmetica de Preparatoria Preuniversitaria (1)

7/22/2019 Libro de Aritmetica de Preparatoria Preuniversitaria (1)

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BJETIVOS: Establecer correctamente la nocin de conjunto y su notacin.

Utilizar adecuadamente los smbolos de pertenencia e inclusin y representar losconjuntos adecuadamente.

Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal. Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

ocin de Conjuntoncepto no definido del cual se tienea idea subjetiva y se le asocianrtos sinnimos tales como coleccin,

rupacin o reunin de objetosstractos o concretos denominadostegrantes u elementos susceptiblesser comparados.

emplos: Los das de la semana Los pases del continente

americano. Los jugadores de un equipo de

ftbol.otacinneralmente se denota a un conjunton smbolos que indiquen superioridad ysus integrantes u elementos medianteriables o letras minsculas separadasr comas y encerrados con llaves.

emplo: A =los das de la semana

B =a, e, i, o, uelacin de Pertenencia()

establece esta relacin slo detegrante a conjunto y expresa si elegrante indicado forma parte o no delnjunto considerado.

....pertenece a ..... :... no pertenece a ..:

to quiere decir que dado untegrante u elemento y un conjunto

Integrante conjunto

u elemento

Ejemplo: C =1,2,1,2, 5, 16 2 C 8 C 1,2 C 5 C

incorrecto

Determinacin de un ConjuntoConsiste en precisar correctamente que

elementos forman parte del conjunto.Puede hacerse de 2 formas:

a) Por Extensin o forma tabular.Cuando se indica generalmente atodos y cada uno de losintegrantes

Ejemplo: A =a, e, i, o, uC =2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cualson listados los elementos del

conjunto no afecta el hecho deque pertenece a l.

De este modo en el conjuntoA =a,e,i,o,u= a,o,u,i,eNo todos los conjuntos pueden serexpresados por extensin,entonces se recurre a otra formade determinacin.

TEORI DE CONJUNTOS I

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b) Por Comprensin o formaconstructivaCuando se enuncia una propiedadque caracteriza a todos loselementos del conjunto, de talmanera que cada objeto que gozade la propiedad pertenece alconjunto y todo elemento delconjunto goza de la propiedadmencionada.

quema /(se lee tal que)

= ..........................

Regla de RestriccinCorrespondencia y/o caractersticao forma general (propiedad comn)del elemento

= n/n es una vocal= n-1 / n ZZ,1n 7

ONJUNTOS NUMERICOSConjunto de los nmerosnaturalesIN =1,2,3,4....EJM 17ININO= IN

* =0,1,2,3,....Observacin

Cero (0) es natural

Conjunto de los NmerosEnterosZZ=..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

8

3ZZ, - 24ZZ

Conjunto de los NmerosRacionalesQ =a/b / a ZZbZZb 0

3 Q porque : 3 =1

3

0,5 Q porque 0,5 =10

5

0,333... Q porque 0,333... =3

1

= 3,141592... Q porque b

a

Aplicacin IDado el conjuntoB =1,,, 21,1,2,3

Indicar que proposiciones sonverdaderas o falsas* B *1 B* 1B *3 B*1,2 B * BAplicacin IIDeterminar por extensin ycomprensin los siguientesconjuntosP =2, 6, 12, 20,..., 10100Q =3x+1/xZZ- 3 < x < 3

Cardinal de un ConjuntoSe llama Nmero Cardinal de unconjunto A a la clase de losconjuntos coordinables con A (esdecir el nmero cardinal es unaclase de equivalencia).

Vulgarmente se acostumbra asealar que el nmero cardinal, esel nmero de elementos delconjunto A y se denota como n (A) card (A)

Ejemplo:A =3, 6, 9, 12, 15entonces n (A) = 5P =2,2,3,3,3,5,7entonces n (P) = 4

Nmero OrdinalTeniendo en cuenta unadisposicin de los elementosdentro del conjunto del cualforman parte, cada uno determinasu nmero ordinal como el lugarque ocupa en el orden establecido.

Notacin:Ord (x) : nmero ordinal de xS = 7, a, , 13 ord (a) = 2,ord () = 3

Cuantificadores

a) Universal: Se denota por y selee para todo o para cualquierSi P(x) es una funcin

proposicional, , x A; P(x) esuna proposicin que serverdadera cuando para todos losvalores de x a se cumpla P(x)


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Ejemplo:Si A =2,4,6,8P(x) = x es un nmero parP(y) = 3y 2 > 4Luego x A: x es un par (V)

y A: 3y 2>4 (F)

Existencial. Se denota por yse lee existe por lo menos un SiP(x) es una funcin proposicional,

x A/P(x) es una proposicinque ser verdadera si existe por lomenos un elemento de A, quecumple P (x)

EjemploSi: B =7,5,4,1P(x) = x es un nmero impar

P(y) = (y-4) = 4Luego:x B/x es impar (V)y B/(y-4) = 4 (F)

Negacin de los Cuantificadores

(xA : P(x)) xA/P(x)(xA / P(x)) xA:P(x)

Diagramas de Venn Eulers la representacin geomtrica de unonjunto mediante una regin de planomitado por una figura geomtricaerrada en cuyo interior se indican loselementos que forman el conjunto

Ejemplo: Aa,b,c,d,eA

.a .b

.c .d.e

Diagrama (Lewis Carroll)u verdadero nombre es Charles-

Dogston autor de Alicia en el pas deas Maravillas utilizando un lenguajegico matemtico utiliza el Diagrama

n conjuntos disjuntos haciendoarticin del universo.

Ejemplo:H : Hombres

S : SolterosC : CasadosF : FumanDiagrama Lineal HasseUtiliza segmentos de lnea y esutilizado en conjuntos transfinitose infinitos

Ejemplo:

Diagrama Lineal Diagrama Hasse

Relacin de Inclusin()

Subconjunto ConjuntoConjunto Conjunto

Se dice que un conjunto estincluido en un segundo conjunto,cuando todos los elementos delprimero forman parte del segundoconjunto.

: incluido o contenidoAB: A esta contenido en B

A es subconjunto en BB contiene a A

AB x A : xA x B

H M

SF

C

IR

Q Q

ZZ

IN

P

C

IR

QQ

ZZ

IN

P

IIm

A

B

IIm

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Observacin:El vaco est includo en cualquierconjunto.

Conjuntos comparablesSe dice que dos conjuntos soncomparables cuando por lo menosuno de ellos est incluido en elotro.

B(A B A B) v (B A B A)

Ejemplo: Dados los conjuntos:A =3,5 B =1,2,3,4,5,6,7C =2,4,6,7 D =4,7

Son conjuntos comparables: A y BB y C; B y D; C y D

Conjuntos IgualesSe dice que dos conjuntos soniguales cuando ambos poseen losmismos elementos.

A = B A B B A

Ejemplo:A =3n + 2/n ZZ, 1 n 4B =5,14,8,11

Se observa A = B

AplicacinDados los conjuntos A y B guales yC y D iguales dondeA =a+2, a+1 C =b+1, c+1B =7-a, 8-a D =b+2, 4Hallar: a+b+cConjuntos Disjuntos o AjenosDos conjuntos se denominandisjuntos cuando no poseenningn elemento en comnEjemplo:C =x / x es un hombreD =x / x es una mujerC y D son disjuntosSi dos conjuntos son disjuntosambos sern diferentes.Si dos conjuntos son diferentes

entonces no siempre serndisjuntos.

Ejemplo:

E =5,2,a,b, F =4,3,c,dE y F son disjuntos E FG =1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,cG H pero G y H no son disjuntosConjuntos Coordinables oEquipotentesDos conjuntos sern coordinablescuando se pueda establecer unacorrespondencia uno a uno entre

todos y cada uno de los elementosdel primer conjunto con los delsegundo conjunto. A dichacorrespondencia se le denominabiunvoca y como consecuencia deestos se tiene que las cardinalesde estos conjuntos son iguales (sison finitos).

Ejemplo

A =Lima, Caracas, Bogota, SantiagoB =Per, Venezuela, Colombia, Chile

Se observa que es posibleestablecer la correspondenciabiunvoca:

.... es capital de ....De ah que A y B son coordinables,luego: n (A) = n (B)

Clases de ConjuntosLos conjuntos se clasificanteniendo en cuenta la cantidad deelementos diferentes que poseensegn esto tenemos:

Finito: Si posee una cantidadlimitada de elementos es decir elproceso de contar sus diferenteselementos termina en algnmomento.

Ejemplo:N =3n + 2 / n ZZ 1 n 4N es finito pues n (N) =4P =x/x es un da de la semanaP es finito pues n (U) = 7Infinito: Si posee una cantidadilimitada de elementos. Ejm:

M =x/x Q 1 < x 2M es infinito pues n (M) = ...?

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Conjuntos EspecialesVaco o Nulo. Es aquel conjuntoque carece de elementos.Notacin; .Ejm.:

=x/o < x < 5x = 100= =*A : A* *

Unitario o Singleton (singular)Es aquel conjunto que tiene unsolo elemento.B =x/x > 0x = 9= 3

Aplicacin: Si los siguientesconjuntos son unitarios e iguales,calcule a + b + c.

A =(2a + b); cB =(2c - 7); (5b +2)

Universal: Es un conjuntoreferencial para el estudio de unasituacin particular, que contiene atodos los conjuntos considerados.No existe un conjunto universalabsoluto y se le denota

generalmente por U.Ejemplo:A =2,6,10,12B =x+3/x es impar0


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PERACIONES CON CONJUNTOS

in (U): La unin de 2 o msnjuntos es aquel conjunto conformador la agrupacin de todos los elementoslos conjuntos que intervienen.

A U B = x/xA x B

emplo: A =2,3,5, B =1,7,5A U B = 2,3,5,1,7

Si: ABA U B = B

terseccin () La interseccin de losnjuntos A y B es el conjunto formador todos los elementos que pertenecenA y B a la vez.

AB =x/xA x B

emplo: A =2,3,4,5,6B =4,6,7,9

A B =4,6

Si AB AB = A

Si A y B son disjuntos, A B =ferencia (-) El conjunto diferencia (A-

es aquel que esta formadoicamente por los elementos quertenecen a A pero no pertenecen a B.

A B =x/xA xB

B =1,3,6,7,9A B =2,4,5,8

B A =1,3,9

Si ABAB = B ASi A y B disjuntos, A B = A U B

Diferencia SimtricaLa diferencia simtrica de dos conjuntosA y B es el conjunto formado por todoslos elementos que pertenecen a A o Bpero no a ambos.

U

A B

A B

A B

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AB =x/x(A U B)x(AB)

Ejemplo:A =8,7,6,5,4,2B =9,7,6,3,1

AB =2,4,5,8,1,3,9

Si ABAB = B ASi A y B disjuntos, AB = A U B

Complemento de A(CA, Ac, A , A)

El complemento de A es el conjuntoformado por los elementos quepertenecen al conjunto universal U perono al conjunto A.

Ac = A =x/xU xA= U A

EjemploU =x/xIN, x < 8A =1,3,4Ac =0,2,5,6,7

Conjunto Producto o Producto

Cartesiano(X)Dados dos conjuntos A y B se define elconjunto producto como:

A x B = (a,b)/aAbB

Leyes del Algebra de Conjuntos1. Idempotencia

A U A = A


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De Morgn(A U B)= A B(AB)= AU BDel ComplementoA U A= UAA=(A)= A

De la UnidadAU = U AU = AA = A A =

De AbsorcinA U (AB) = AA(A U B) = AA U (AB) = A U BA(AU B) = AB

DiferenciaA B = AB

. Adicional(U)= ()= U

PROBLEMAS RESUELTOS

Dados los conjuntos unitariosA =90, a.bB =a+b, 23Hallar la diferencia entre a y b

ResolucinDados que los conjuntos A y BSon unitarios se debe cumplir:

A =90, a.b a.b = 90 ....(1)B =23, a+b a+b = 23 ...(2)

Resolviendo:a = 18 ; b = 5 ; a b = 3

Hallar el cardinal de A siA =0,1,1,2,3,5,8,.... 55

ResolucinObservamos en los elementos delconjunto A

Se verificar la suma de 2trminos consecutivos da comoresultado el tercer trmino.0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55n (A) = 10

3. Dado el conjuntoA =5,33, 7,9,11, 14Cuntas proposiciones sonverdaderas?I. 5 A IV.3 AII.3 A V.9,11 AIII.7,14 A VI. A

ResolucinI. 5a (V)II. 3= A (V)III. 7,14 A (F) ya que la

relacin se da slo entreintegrante (singular y suconjunto)

IV. 3 A (V)V. 9,11 A (F)

Puesto que 9,11 es unintegrante para A y larelacin integrante conjuntose da solo en pertenencia

VI. A (V)Puesto que el conjunto vacoest incluido en cualquierconjunto

4. Si A = BCalcular ab

A =3a-8, 44B =10, ba - 20

ResolucinSi A = B3a 8, 44=10, ba - 20

3a 8 = 103a = 18 a = 644 = ba 20ba = 64

Reemplazando: b6 = 64 =26a = 6

b = 2ab = 6 = 36 Rpta.

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Cuntos subconjuntos propiostiene el conjunto M?M =x/x ZZ ; -7 < 4 x + 1 < 21Resolucin-7 < 4x + 1 < 21-8 < 4x < 20-2 < x < 5 x = -1, 0, 1, 2, 3, 4M =-1,0,1,2,3,4 n (M) = 6

subnjuntos = 2n(M)1 = 26-1 = 63 Rpta.opios de

Indicar el cardinal del conjunto

17x,3

1x/xR Z

Resolucin

Para calcular el cardinal del conjuntoR. Habr que saber cuantos valorestoma x de acuerdo a las restriccionesdadas en el conjunto R.Para x < 17 y que verifique que

Z

3

1xentonces x = 2, 11

solamenteego R =2,11 n(R) = 2 Rpta.

Dados el conjunto A = a a,, cuntas de las siguientesproposiciones son verdaderas.

a A a A a A a A

. A A A A a, A a, A

solucina A aA ; pq (V)

P q VVa A aA ; pq (F)

P q VF

. A A ; pq (F)

P q VF A A ; pq (V)

P q VVa, A a, A pq (V)

VV

Rpta. 3 son verdaderas8. En un saln de clase de 100

alumnos, hay diez hombresprovincianos, hay 40 mujereslimeas y el nmero de mujeresprovincianas excede en 10 anmero de hombre limeos.Cuntos hombre hay en elaula?

ResolucinUtilizando diagrama CARROLL

Provincianos Limeos

10 X Hombres

X+10 40 Mujeres

U: 100

Del Total10 + x + x +10 + 40 = 1002x+60 = 100 x = 20

n hombres = 10 + x = 30 Rpta

9. Un conjunto tiene 1024subconjunto en total. Cuntossubconjuntos de 6 elementostendr?

ResolucinSabemos que:

N subconjuntos de A = 2n(A)

Por datos:1024 = 2n(A)

210 = 2n(A) entonces n (A) = 10

N Subconjuntosde 6 elementos

!6!4

!10

!6)!610(

!10C106

)A(n6C


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BJETIVOS: Realizar correctamente operaciones entre conjuntos Utilizar de manera eficaz las leyes del lgebra de conjuntos. Resolver problemas utilizando los diagramas de Veen-Eulery Lewis Carroll.

peraciones con ConjuntosUnin o ReuninLa unin de dos conjuntos A y

B es el conjunto formado por laagrupacin de todos los elementosde A con todos los elementos de

B.Notacin AB, (AB)

Simblicamente se define

AB =x/x A v x B

siciones relativas para 2njuntos A y B

ABbservacin: Si BA A B = A

opiedades: A B = BA (Conmutativa) A (B C) = (A B) C

(Asociativa) A A = A (Idempotencia) A U = U

A = A (Elemento Neutro)

InterseccinLa interseccin de 2 conjuntos A yB es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen a losdos conjuntos a la vez.

Notacin: AB, (AB)Simblicamente se define:AB =x/x A x B

Observacin: equivale y:Interseccin

Posiciones relativas para 2conjuntos A y B

A B =

A BObservacin:* Si BA A B = B* Si A y B son conjuntos disjuntos

AB =

U

A B

B

A

U

A B

U

U

BU

A B

U

TEORI DE CONJUNTOS II


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Propiedades: AB = BA (Conmutativa) A (B C) = (A B) C

(Asociativa) AA = A (Idempotencia) AU = A A = (Elemento Neutro)

Propiedades Complementarias

Distributiva(BC) = (AB) (A C)(BC) = (AB) (A C)

Absorcin(A B) = A(A B) = A(AB) = AB(AB) = AB

(AB) C A Cy BC

i: AB y CD (A C) (B D)

II. DiferenciaLa diferencia de 2 conjuntos A y B(en ese orden) es el conjuntoformado por los elementos quepertenecen a A pero no a B

Notacin: A BSe lee: A pero no B (solo A)SimblicamenteA Bx/xA x BObservacin:Si AB A BB ASi A = B A B = B A =

Posiciones Relativas para 2conjuntos A y B

A B

Observacin: Si BA B A = Si A y B son disjuntos

A B = A ; B A = B

Ejm:A =2,3,4 A B =2B =3,4,5,6 B A =5,6

IV. Diferencia SimtricaLa diferencia simtrica de dos conjuntosA y B es el conjunto formado por loselementos a A o B pero no a ambos.Notacin: ABSimblicamente se define:

AB =x/x(A - B) X (B - A)

AB =x/xA X B X A B

Observacin:Si BA A B = A BSi A y B son conjuntos disjuntosAB = AB

Propiedades

AB = (A - B)(B - A) AB = (AB) - (A B) AA = A = A

Ejm:A =2,3,4B =4,5,3 AB =2,5

V. Complemento

El complemento de A es elconjunto formado por los elementos quepertenecen al conjunto universal U perono a A.

Notacin: A, A , Ac, CASimblicamente:A= x/xU xA= U A

Diagrama

BU

A B

U AA


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servamos que:1. A x BB x A en general2. A x B = B x AA = B3. n (A x B) = n (A) x n (B)

A y B son conjuntos finitos4. nAxBBxA=nAxB-nAxBBx A

opiedades

A x (BC) = (A x B) (A x C)A x (BC) = (A x B) (A x C)A x (B - C) = (A x B) - (A x C)Si: AB A x CB x C , CSi: AB y CD

terpretacin de Regionesmbreadas

lo A, exclusivamenteA

nicamente A. (A - B)

curre A o B; AB menos uno de ellos o

or lo menos uno de ellos

B, ocurre A y Bcurre ambos sucesos a la vez

Ocurre solo uno de ellosnicamente uno de ellosExactamente uno de ellos

Ocurre exactamente dos de ellosSucede nicamente dos de ellos

(BC) A(ocurre B o C pero no A)

A B

A B

A B

A B

C

A B

C

A B

C


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PROBLEMAS RESUELTOS

Dados los conjuntosA =6,2,yB =, ,2,6Hallar P(A) B

solucinmo A = 6,2,

P (A) = 6,2, 6,2,6,,2,

A,

ems B =,,2,6ego: P(A)B =,2,6Rpta.

Dado el conjunto AA =1,2,2,1,2

Indicar el valor de verdad de lassiguientes afirmacionesI. 1,2 AII. 1,2 P (P(A))III. ,2 P (A)

a) VVV b) VFV c) VFFd) FVV e) VVF

solucin

alizando cada caso 1,2 A1 A 2 A = Verdadero

V V 1,2 P(P(A))

1,2 P(A) 1,2 P(A) 1,2 P(A) 1,2 A 1A 2 A = Verdadero

V V. ,2 P(A)

,2 A A 2 A Falso Rpta.E

F V De un grupo de 100 alumnos, 49 no

llevan el curso de Aritmtica, 53 nollevan lgebra y 27 no llevan lgebrani aritmtica. Cuntos alumnosllevan uno de los cursos?

a) 56 b) 54 c) 52 d) 50 e) 48

X : Algebran(A) = 49n (A) = 100 49 = 51n(X) = 53n (B) = 100 53 = 47

Grficamente

Llevan un solo cursoPor dato:c + 27 = 49c = 22a + 27 = 53 a = 26

Luego a + c = 48 Rpta. E

4. Durante un examen se observ enun aula que 15 alumnos mirabanal techo y no usaban lentes, 10usaban lentes y resolvan elexamen. El nmero de alumnosque usaban lentes y miraban altecho era el doble de los queresolvan el examen y no usabanlentes. Si en el saln haba 85

alumnos. Cuntos resolvan suexamen? (considere que los queno resolvan su examen miraban altecho)

a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 36

Resolucin: Grficamente:

En total:3a + 25 = 85

3a = 60a = 20Resuelven el examen 30 Rpta. D

5. Dados los conjuntos A, B y C

A (51) x (47)

27

a b c

10 2a

lentes

a

15

Resuelven examen Miran al techo

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=xA / x es un nmero primo =xA/ x es un nmero imparlas proposiciones: BC =1,2,9,15,21

I (BC) tiene 7 elementosII n (C B) n (B - C) = 2V. nA (BC)= 9

on verdaderas:

) I, II y III b) I, III, IV) II, III y IV d) I, II y IV) I y II

Resolucin =1,2,3,4,5,6,....,21,22 =2,3,5,7,11,13,17,19 =1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21

Graficando A

uego: BC =1,2,9,15,21 (V)

I n(BC) = 7(V)II. n (C - B) n (B - c) = 2

4 1 = 3 (F)V. n(A (B - C)) = 9(F)n(A (BC)) = 10 Rpta. E

. SiA =x es impar /6 < x 11

B =

7n0/Z2

1n3

Calcular nP(A x B) (B x A)

a) 220 b) 222 c) 224d) 226 e) 228

Resolucin: =7,9,11

B =

102

1n3

2

1/Z

2

1n3

B =0,1,2,3,....,9

nAxB BxA= nAxB- nAxBB x AnAxB BxA= 3 x 10 2 x 2 = 26nPAxB BxA= 226

7. De 308 personas interrogadas, sedetermin que el nmero de losque leen solamente EL AMAUTAy EL VOCERO es:

*3

1de los que leen solo EL AMAUTA

*4

1de los que leen solo EL MERCURIO

* 7

1

de los que leen solo EL VOCERO

*3

1de los que leen EL AMAUTA y EL

VOCERO

*6

1de los que leen EL VOCERO y el

MERCURIO solamente.

*

12

1de los que leen EL AMAUTA o EL

MERCURIO pero no EL VOCERO

Si todas las personas interrogadasleen al menos uno de estosdiarios. Cuntas de estaspersonas leen o bien EL AMAUTAo bien EL VOCERO?a) 110 b) 121c) 132 d) 99 e) 120

Resolucin:Grficamente:

28 308

B C

.3

.5.7.1113.17.19

.2

.1

.21

.9

.15

.20

.18

.16

.14

.8 .10 .12

.22

.4

.6

A V

M

308

7a3a a

4a

6a5a2a


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a = 1111

Nos piden3a + 7a = 10a = 110 Rpta. APROBLEMAS PARA LA CLASE

Si: A =5,6,5,6,8Cuntas proposiciones sonverdaderas?- 5 A -6 A- 6 A - 7 A-5 A -6 A-5,6 A -6,8 A-8 A - A

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) TodasDados los conjuntos:A =1,2,1,2,3B =2,1,1,3,3Hallar el conjunto:

[(A-B) B](B-A)

a)1 b)3 c)1,3d)2,3 e)1,2,3

De un grupo de 100 estudiantes seobtuvo la siguiente informacin:28 estudian Ingls; 30 estudianalemn, 42 estudian francs; 8ingls y alemn; 10 ingls yfrancs: 5 alemn y francs; 3 lostres idiomas. Cuntosestudiantes no estudian ningnidioma?

a) 15 b) 25 c) 10 d) 30 e) 20

Una persona come pan conmantequilla o mermelada cadamaana durante el mes defebrero; si 22 das comi pan conmermelada y 12 das conmantequilla. Cuntos das comi

pan con mermelada y mantequilla?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5

En una competencia atltica con

conquistaron medalla de oro platay bronce; 6 de oro y plata, 8 deplata y bronce; 7 de oro y bronce.Cuntos atletas no conquistaronmedalla?

a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

6. De una reunin de 100 personasse sabe de ellas que 40 no tienenhijos, 60 son hombres, 10 mujeresestn casadas, 25 personascasadas tienen hijos, hay 5madres solteras. Cuntoshombres son padres solteros?

a) 30 b) 35 c) 40 d) 20 e) 25

7. Cuntas de las siguientesproposiciones, para conjunto, soncorrectas?* A-B = A B* AB = (AB) (A B)* (AB) = AB* n(A- B) = n(A) -n(B)* n[(AB)] = n()-n(A B)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Para los conjunto A y B se tienenque: A B tiene 128subconjuntos, A-B tiene 64subconjuntos y A x B tiene 182elementos. Determinar el cardinalde AB.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

9. Durante el mes de febrero, Juanvisit a su enamorada, fue a laUniversidad o trabajo. Si no huboda en que se dedicara a slo dosactividades y adems visit 12das a su enamorada, fue a launiversidad 18 das y trabaj 20das Durante cuntos das slotrabaj?

a) 1 b) 7 c) 9 d) 11 e) 6

10. Considere 3 conjuntos A,B y Ccontenidos en U, tales que:* B A B


17/105

* n(AC) = 2n(B-C)* n[(A B)C - C] = n(c) = 90Hallar: n[U]

a) 120 b) 150 c) 180d) 200 e) 100

1. En una reunin hay 150 personas.Un grupo de ellos se retiran consus respectivas parejas, de los quequedan los 2/9 son mujeres y los3/14 son varones solteros.Cuntas mujeres asistieron entotal?

a) 28 b) 30 c) 36 d) 40 e) 48

2. En una tienda se observ que eltotal de personas era 50, de lascuales:* 6 vendedores usaban bigotes* 4 vendedores usan mandil* 32 vendedores no usan mandil* 8 personas usan bigotes* 9 personas usan mandilCuntos no son vendedores, niusan mandil, ni bigotes?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

3. Sean los conjuntos:

Zx;10x7;Z2

3x/x3x 4

Zx;5

3

2x02x/x1 23

Calcular n [P(A B)]

a) 216 b) 29 c) 212

d) 219 e) 221

4. En el distrito de Bellavista Callaose realiz una encuesta a 140familias sobre el uso de algunosde los siguientes artefactos: TV,

radio, refrigeradora. Se obtuvo lasiguiente informacin: 85 familiastiene por lo menos 2 artefactos y10 familias no disponen de ningn

artefacto. Cuntas familias tienenexactamente un slo artefacto?

a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

15. A y B son dos conjuntos tales que:n(A B) = 12; n(A B) = 7;n(A) = n(B)+ 1; sabiendo que:n(A - B)= n([A B)].

Calcular Cuntos subconjuntospropios tiene A?

a) 3 b) 7 c) 15 d) 31 e) 63

16. Cuntos de los 1600 alumnosestn inscritos en teatro pero noen canto, sabiendo que: 600 estninscrito en teatro, 650 en canto,250 en teatro y baile, 350 encanto y baile, 200 en teatro ycanto; 950 en baile, 150 llevan los3 cursos?

a) 400 b) 450 c) 500d) 550 e) 600

17. Simplificar la expresin conjuntista:[A(CA)][BC)CA)][B(ABC)]

a) A b) B c) BC

d) ABC e) AB

18. En un vagn de tren se realizanuna encuesta sobre el uso decigarrillos. De los 41 pasajeros, 21personas estn sentadas y hay 16mujeres en total; de los quefuman 5 hombres estn sentados

y 2 mujeres estn paradas; de losque no fuman 8 mujeres estnsentadas y 10 hombres estnparados. Hallar cuntas mujeresque estn paradas no fuman si losque fuman en el total suman 19.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18/105

UMERACIN:onjunto de reglas y principios que hacenosible la correcta lectura y escritura de

os nmeros.umeral:epresentacin de un nmero en formamblica, jeroglfica, grfica u pictogrfica.

INDO-ARABIGO:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9OMANO: I,V,X,L,C,M,DABILONIA: Y = 1 = 10GIPCIOS: l=1, = 10, =100

AYAS: 0 1 2 5 6 10 11

ctualmente: 104n 153,ab3,abc

Ejemplo de numerales IIII, , cinco, five

RINCIPIOS. DEL ORDENoda cifra en el numeral tiene un orden,or convencin se enumera de derecha aquierda.

emplo:

ugar 1 2 3 4

mero 1 9 9 9rden 4 3 2 1

emplo:4 8 3 6 orden

1 (unidades)2 (decenas)

3 (centenas)4 (millares)

OBSERVACIN

Algunos autores consideran a la cifra de

las unidades simples como la cifra deorden cero.

2. DE LA BASEEs un nmero referencial que nos indicacomo se agrupan las unidades de unorden cualquiera para formar la unidadcolectiva del orden inmediato superior.Sea B una base

B ZBase: 2,3,4,5,6...

B > 1

Base 10

Un grupo de 10

Base 5 22(5)ConvencinReferencial(subndice)

Base 4 30(4) no sobranada

3 grupo de 4

REGLA DE SIGNOSEn una igualdad de 2 numerales a mayornumeral aparente le corresponde menorbase.

- +a1) Ejm: 32(x) = 120(z)

+ -

Se cumple: Z < x

.

.

.

..

Sobran2

12

NUMER CION Y CONTEO

19/105

- +2) Ejm: OPTIMUS(E)= INGRESO 99(F)

+ -

e cumple: F < E

- +3)Ejm:CEPREUNAC(P)=INGRESO2001(F)

+ -

e cumple: F < P

. DE LAS CIFRASas cifras son nmeros naturales inclusive elero, que siempre son menores que la base en cual son empleadas o utilizadas.

cifras en base n

0, 1,2,3,4, . . .,(n-2),(n-1)fra cifras significativaso significativa

IFRA MAXIMA: n-1IFRA MINIMA: 0 El cero no tiene valor por si mismo sino

nicamente valor posicional es decirpor el orden que ocupa.

As pues, cada cifra dentro de unnumeral tiene un valor digital o valorabsoluto y un valor de posicin o valorrelativo.

VALOR ABSOLUTO (VA)s el valor que tiene la cifra por supariencia o figura.

VAPOR RELATIVO (VR)s el valor que tiene una cifra de acuerdol orden que ocupa dentro de un numeral.

VA(2) = 2VA(4) = 4VA(5) = 5VA(3) = 3

453

VR(3)=3x1 = 3 unidadesVR(5)=5x101=50 unidades=5 decenasVR(4)=4x102=400 unidades=4 centenasVR(2)=2x103=2000 unidades=2 millares

DESCOMPOSICIN POLINMICAViene a ser la suma de los valores relativosde cada una de sus cifras.

2453 = VR(2)+VR(4)+VR(5)+VR(3)

D.P.

3796 = 3x103 + 7x102+9x101+6abba = ax103+ bx102+bx101+a

nabcd = an3+bn2+cn+d

DESCOMPOSICIN POLINOMICA PORBLOQUESabab = ab x 102 +ab = 101 ababcabc = abc x 103+abc = abc (1001)

103 1

nabab = nab . 2n +abn.1 = nab (n2+1)

n2 1

CAMBIOS DE BASE1) DE BASE N A BASE 10 (N 10)

* Expresar 3576(8)en base 10

UsandoRuffini 3 5 7 6

8 24 232 19123 29 239 1918

>35768= 191810

* Expresar 13234en base 10por descomposicin polinmica13234= 1.43 +3.42+2.41+3 = 123

2) De Base 10 a Base n(n 10)* Expresar 2437 en base 5

Usando Divisin Sucesiva2437 5

487 5

97 519 5

2

2 24 3

20/105

2437 = 342225* Expresar 8476 en base 12

Usando divisin sucesiva

8476 12706 12

58 12

8476 = 44(12)

OBS:= Diez = 10 = A= once = 11 = B= Gamma = 12 = C

NUMERAL CAPICUAs aquel nmero que visto y ledo deerecha a izquierda y viceversa nosepresenta el mismo numeral.

jemplo:abba,ana A los numerales

,Radar,omos capicas que

expresan algunaoso;econocer palabra con

sentido se ledenominaPALINDROMAS

umeral capica de 2 cifra, aaumeral capica de 3 cifra, aba , aaa

umeral capica de 4 cifra, abba , aaa

ROPIEDADESropiedad (1)

1x)1x()1x(N k

)x(

k cifra

roblema Resueltos

. Calculo x si:

255)1x)(1x)(1x)(1x()x(

a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6

Resolucin2551x)1x)(1x)(1x)(1x( 4

)x(

k = 4 cifrasx4 = 256 = 28 = (22)4 = 44x = 4

2. Sabiendo que los numerales estncorrectamente escritos

842C , 43a; b5a ; c42bHallar a+b+ca) 15 b)16 c)17 d)18 e)19

Resolucin

43a 4 < a

b5a a < b 4 < a < b < c < 8

c42b b < c

842C c < 8 5 6 7

a + b + c = 18 Rpta.

Propiedad (2)

a1 = b+Kaa1

a1

K numeralesa1

(b)

3. Si13 = 2445

1313

20 numerales 13(x)

Hallar x

410

410

21/105

esolucin

plicando Propiedad (2) y descomponiendoolinomicamente+ 20(3) = 2445

5251

+60=50+20+4x = 14 Rpta Calcular a+b+n si:

+ -n5ab = 74n1

- +

5 < n < 7se deduce n = 6

65ab = 1647 65ab

7271

= 49 + 42 + 4 65ab = 9510

Por divisin sucesiva

95 615 6

2

2356= 65ab

a=2 b=3

a+b+n = 11 Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

Si las siguientes numerales

)a()c()4(c2,bb,a est bien

representados. Calcular a + b + c

a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

Hallar (a + b) si:

221aba )7(

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 9

3. Si 1a11a1a1 )4( Hallar a

a) 9 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1

4. Hallar a + b si se cumple:

8aba = 1106n

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 85. Al escribir el nmero 4235 en base 10

obtenemos

a) 103 b) 108 c) 113 d) 118 e) 123

6. Cuntos nmeros enteros son mayoresque 234pero menores que 326.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 117. Sean los numerales

213(m), )7()p()n( mnp,4n2,m10

Calcular m + n + p

a) 12 b) 14 c) 15 d) 17 e) 18

8. Si 11223= )n(abcdef

Hallar a + b + c + d + e + f + n

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2

9. Dado el nmero

N = )2a(2)1a(a)1a(a)1a(

Calcular: P(a)si P(x)= x + x + 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

9. Si bb2

ab)a2(a )ba(

Hallar a x b

a) 4 b) 5 c) 12 d) 7 e) 8

10. Si n

5 pbo2abc4

y 97 bn7bpnb Calcular a + b + c + n + p

53 2


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1. Si se cumple que:

12)1b2(nm)1b2(a)6a)(5a2)(2a(

Calcular L = a + b + m + n

a) 25 b) 27 c) 26 d) 24 e) 28

2. Sabiendo que: 210)m1(14abm ab

ab

m numerales ab..

ab (3)

Calcular a + b + m

a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) 4

3. Si mn bcnaba Hallar c sabiendo que b > 4, m


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cantidad que tienen una regla deformacin.

Serie. Es la suma de los trminos deuna sucesin

Ejemplo:P=3+2+5/3+3/2+7/5+...+26/25

Progresin Aritmtica (P.A) de 1OrdenEs una sucesin donde la diferencia de2 trminos consecutivos es un valorconstante llamado razn.

emplo:A. 4,6,8,10,12.......... (CRECIENTE)A.: ,1,3/2,2,5/2,.....(CRECIENTE)

A.:25,23,21,19 ......(DECRECIENTE)NOTACION:P.A.: a1, a2, a3,... ana1= 1 trminoan= ltimo trminon :trminosr : raznEn general: an= a1+ (n-1) r

CONTEO DE NUMEROSFrmula para hallar el nmero detrminos en una progresin aritmtica.

razn

primeroalanterioromintrltimoomintrN

Ejemplo: Determinar el nmero detrminos en:

) 24, 27, 30, ..., 726

trmino = 2353

705

3

21726

) Cuntos trminos tiene la progresinaritmtica

a) 7,9,11,...,421

Rpta. 208b) 12,17,22,...527Rpta. 104

Observacin

1r

aan 1n

r

)ra(an 1n

Dada la P.A.P.A. a1,a2,a3,.....ap,....aq,.......an

p trminos q trminos

Siempre se cumple:i) La suma de los trminos equidistantes

de los extremos siempre es constante

a1+ an= ap+ aq

ii) Trmino Central (ac)* Si n es impar

2

1 nc

aaa

* Si n es par y no hay trminocentral

a1+an= ap+ aq

n2

)aa(S n1

SUMA DE UNA PROGRESIONARITMETICA* Progresin Aritmtica 2 Orden

Sea la Sucesin:Ca0, a1, a2, a3, a4,......an

B b0, b1, b2, b3, ......bn

A c1, c1, c1, .........c1Pivot Principal

Pivot Secundario

Cn

2

ABn

2

AT

2

S = n31n

21

n

11 CcCbCa


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antidad de cifras en una serie naturalada la sucesin,2,3,4,5,....(N-1), N

numeral de k cifras entonces

cifras = (N + 1)k 111....1

K cifras

jemplo:uantas cifras se usan en la numeracin de unbro de 350 hojas.

Resolucin:50 hojas = 700 pginas

a numeracin es:,2,3,4,...,700

cifras = 701 x 3 111 = 2103 111N cifras = 1992

jemplo:eterminar la cantidad de cifras

a) Del 1 al 38b) Del 1 al 324c) Del 1 al 3999

Anlisis Combinatorioe reconoce del siguiente modo:Cuntos numerales de esta forman existen?) Cuntos nmeros de 3 cifras existen?

Sea N = 10

cba a 0

1 0 02 1 1. . .. . .9 9 99x10x10 = 900 nmeros

) Cuntos numerales de esta formaexisten

192c2

b1b

3

1a2a

Rpta. 1026 nmeros

Mtodo Combinatorio

a) Cuntos nmeros pares de 3 cifrasexisten?

b) Cuntos nmeros capicas de 5 cifrastienen un slo 6 en su escritura?

c) Cuntos nmeros de la forma

)1b)(2b)(3a(a existen?

Resolucin:

a) cba b) abcba1 0 0 1 0 62 1 2 2 13 2 4 3 2. . 6 . .. . 8 . .

9 9 6 6 se excluyen9.10.5=450 . .

. .

. .9 98. 9.1 = 72

c) )1b)(2b)(3a(a 1 22 33 4. .. .

. .6 86 x 7 = 42

d) Cuntos nmeros de 3 cifras, seescriben con un 8, con 9 y algunas otracifra diferente de los anteriores?Resolucin:

CASOS 8 9 a 8 a 9 a 8 9

0 0 11 1 22 2 .. . .. . .. . .7 7 7

Permutando 8x 8x 7x8 y 9 2 2 2

16 16 14Cantidad de nmeros = 46

PROBLEMAS PARARESOLVER EN CLASE


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Calcular cuantas cifras tiene el trminode lugar 77 de la siguiente progresin42(6); 45(6); 52(6);........

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Cuntos trminos tiene la siguientesecuencia8

(60); 9

(59);

(58);

(57):.....

a) 17 b) 18 c) 19 d) 25 e) 26

Hallar el trmino de lugar ba de lasiguiente progresin aritmtica

5ba;04b;93a;b8a ;......

a) 302 b) 303 c) 352d) 402 e) 403

Cuntos trminos tiene la siguienteprogresin aritmtica?

9)2n()1n(n )1n(64;.....,88;ba;ab

a) 14 b) 18 c) 23 d) 24 e) 72

Cuntos trminos tiene la siguientesecuencia?

100111; 111122; 122133; .., 0bb

abba

a) 70 b) 80 c) 90d) 101 e) 110

Si los trminos a y a + 1 de unaprogresin aritmtica son 251 y 259respectivamente. Hallar la suma delprimer y ltimo trmino de la serie

sabiendo que antes del trmino dellugar a hay 30 trminos y despus deltrmino de lugar a+1 hay 45trminos.

a) 330 b) 339 c) 397d) 630 e) 679

En la siguiente sucesin13x; 24(x+1); 35(x+2);.......

Se cumple que la diferencia entre el18avo y dcimo trmino es 264. Calcularla suma de cifras correspondientes a labase duodecimal.

) 16 b) 17 ) 18 d) 19 ) 20

8. Hallar el mximo valor que puedetomar el ltimo trmino de la siguienteprogresin aritmtica

9554 ......;;)1)(1(;; mnabbaab

a) 859 b) 869c) 879d) 889e) N.A.

9. Si la siguiente progresin aritmtica

nnnnn ma2,........,0b,7a,5a,3a

Tiene 57 trminos. Hallar a+b+m+n

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25

10. Los siguientes nmeros se llamannmeros triangulares1;3;6;10; .......Cul es el vigsimo nmero triangular?

a) 180 b)210 c) 215d) 220 e) 246

11. Determinar el nmero de trminos de lasiguiente progresin8;18;38;68; ......., 1908

a) 16 b)17 c)18 d)19 e)20

12. Cuando tipos de imprenta se emplearon

para imprimir la siguiente secuencia.10077; 10078;10079;....;100300

a) 941 cifras b)1321 cifrasc) 1426 cifras d) 1584 cifrase) 2403 cifras

13. Si se escribe la serie de los nmerosnaturales a partir del 1, sin separar lascifras. Cul es en esta serie la cifra

que ocupa el 1992 lugar?a) 0 b)1 c) 2 d) 5 e)6


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BJETIVOS: Deducir las operaciones de adicin y sustraccin como una relacin binaria. Establecer Relaciones Binarias con los elementos de dos conjuntos.

Deducir las propiedades que cumplen los elementos que forman parte de la adiciny sustraccin. Aplicar las propiedades en situaciones concretas.

DICINadicin es una operacin binaria, la

al es representada mediante la ayudal smbolo + y asigna a cada pareja de

ementos un tercer nmero comosultado de la operacin.

2 y 3 + 2 + 3

reja de Operacin Nmeroementos Asignado como

Resultados

utilizamos el concepto de pardenado podemos expresar la nocinterior de la siguiente forma.

2 , 3 (+) 2 + 3

r Ordenado Operacin Resultadode adicin (Considere el

orden)

n embargo es usual que la expresemos:2 + 3 = 5

elemento 2 elemento Resultado

Operador elementode la adicin

efinicin:dos dos nmeros naturales a y b se

ma suma de a y b y se denota+b) al nmero natural S tal que

b=S. llama adicin a la operacin quece corresponder a ciertos pares demeros naturales (a, b) su suma (a+b).

8 + 5 = 13

Ejemplo: 23 + 5 + 11 = 19

Sumandos Suma

Ejemplo:3

7 + 8 + 12 = 27

Sumandos Suma

Al realizar la operacin ADICION de doso ms sumandos se efecta de la

siguiente forma:475 +321

89885

Los sumandos se colocan uno debajo delotro, haciendo coincidir las cifras demenor orden de cada sumando en unamisma columna.

Para hallar el resultado, se suman losvalores de una misma columna dederecha a izquierda, colocando debajo decada una, la cifra de menor orden delresultado obtenido y las cifras restantes(si hubiera) se suman a la siguientecolumna.

EsquemticamenteS = S1+S2+....+Sn

Suma Sumandos

CU TRO OPER CIONES DICION Y SUSTR CCION

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yes FormalesClausura o Cerradura: La suma dedos o ms nmeros enterosresulta otro nmeroa, b, c, ZZa + b = C CZAsociativa: Dadas ciertascantidades de sumandos la sumatotal tambin resulta al hacergrupos de sumandos.

a + b + c = a +(b+c)=(a+b) + cConmutativa: El orden de lossumandos no altera la suma totala + b = b + aModulativa: Para todo nmeroentero existir su elemento neutroo mdulo de la suma denotada porcero, talque se cumpla que a+0=aUniformidad: Si se tienen variasigualdades, estas se puedensumar miembro a miembroresultando otra igualdad

a = bc = d

a + c = b + d

Monotona:a = b a bc < d c < d c < d

a+c


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emplos para que practiques

Efectuar25368+ 65758+ 7658Dado que a +b + c = 9Calcule el valor de:

S = 555 cabbcaabc Sabiendo que:

2143n+ 3541n= n26cba -6512n

Calcule a + b + c + n

ma de Numerales Condicionadosllar la suma de todos los nmerosres de 3 cifras que empiezan en cifrapar.

solucinel nmero es de 3 cifras ser de la

ma abc donde a toma los valores3,5,7,9 por ser cifras impares (segnndicin) como los nmeros son parestonces su cifra terminal es decir Cmar valores pares 0,2,4,6,8 y dadoe no hay restricciones para la cifrantral tomar todos los valores

enores que 10.

cba

1 0 03 1 25 2 47 . 6

..9 9 85 x 10 x 5= 250 nmeros

ego para calcular la suma de estos0 nmeros se procede del siguiente

odo.

las unidades: Se divide la cantidadnmeros entre la cantidad de valores

e toma la cifra de unidades y seultiplica por la suma de todos los

ores que toma la cifra de susdades.

En forma anloga se hace para lasdecenas, centenas etc y luego se aplicauna suma abreviada cuyo resultado finalser efectivamente la suma de todosestos 250 numerales de esta forma.

U : 1000)86420(5

250

D: 1125)9...3210(10

250

C = 1250)97531(5

250

Suma total:1000

11251250

Rpta. 137250

Ejemplo de AplicacinHallar la suma de todos los nmeroscapicas de 3 cifras que se puedenformar con las cifras 0,1,3,7,8 y 9.

Resolucin:Sean los nmeros de la forma:

aba Obs.: a 0

0 11 33 77 88

9 96 . 5 = 30 nmeros

U : 168)98731(5

30

D: 140)987310(6

30

Suma : 168 UTotal : 140 D

168 CRpta.: 18368

Por sera cifrasignificativa


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roblemas Tipo Hallar C en la siguiente suma

68bbaa7c2ba5b74a

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

esolucinrdenando en columna

68ba

a7c

2ba

b74

De los millares llevo 1

En las unidades1 + 2 + a = 8

n las decenas: 4 + 5 + 7 = 16 llevo 1n las centenas 1+ 7 + 1+ c = .5

el valor de c = 6 Rpta.

Hallar la suma de cifras de lasiguiente adicin8 + 98 + 998 + ..... 999...98

50 cifrasa) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51

esolucinomo los sumando son cercanos aotencias de 10 entonces

8 = 101 298 = 10 - 2

998 = 103 2. . .. . .. . .

99...998 = 1050 2S = 1111....111050(2)

S = 1111....1010

51 cifras cifras de S = 49 Rpta.

SUSTRACCINSmbolo (-) menos

ParmetrosM : minuendoS : SustraendoD : Diferencia

Definicin.Dados dos nmeros a y b se llamadiferencia de a y b y se denota (a-b) alnmero natural D, si existe a b = DSe denomina Sustraccin a laoperacin que hace corresponder aciertos pares de nmeros naturales (a,b)su diferencia (a-b).

En general se cumple que:

1) M S = D

2) M + S + D = 2M

3) S + D = M

Ejemplo 127 11 = 16

Ejemplo 2Diferencia

34 18 = 18

Sustraendo

Minuendo

Observacin Las cantidades que intervienen

en una sustraccin deben deser homogneas.20 mesas6 mesas = 14 mesas

Toda sustraccin puede serexpresada como una adicin12 5 = 7 5 + 7 = 12

abcxyznnpxyznnpabc Tambin definen a la

sustraccin como la operacin

b = 1

a = 5

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aritmtica inversa a la adicinque consiste en dada doscantidades minuendo ysustraendo, se debe hallar unatercera que nos indique elexceso de la primera conrespecto a la segunda, la cualse llamar diferencia.

yes Formales1. Clausura. En naturales es

restrictiva. En enteros, ladiferencia de 2 nmeros enteroses otro nmero entero.

2. Ley del Inverso Aditivo. Si setiene un nmero a existir uno yslo un nmero denominado (-a)tal que: a + (-a) = 0

3. Uniformidad. Dadas 2 igualdadesestas se podrn restar miembro amiembro, dando como resultadootra igualdad.

a = bc = d

a-c = b-d

4. Monotona

a = b a < bc < d c = d .

a-c > b-d a-c < b-d

a > b a < bc < d c < d .

a-c > b-d a-c ? b-d

? (El resultado no se puedeanticipar pudiendo ser >, cSe cumple:

mnp)ca(99

mnpcbaabc

donde:m + p = 9n = 9a c = m + 1

Ejm:

341 - 672- 993-143 276 399198 396 594

3) Sea N = abcd donde a > d

a) Si b c : abcd - mnpqdcbam +n + p + q = 18

b) Si b = c: abbd - mnpqdbbam + q = 9n = p = 9


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As:4781 - 7552-1847 25572907 4995

roblemas de Aplicacin Sabiendo que:

5175cba22abc adems b + c = 10

Calcular el minuendoesolucin

ncgnita: cba2

oda sustraccin se convierte en adicin

5175cba22bc

2bc

175

cba

e las unidades: a + 5 = 2.e deduce a = 7e lleva 1

n las decenas: 1 + b + 7 = c1 = 10 + c+ b = 10 + c

b c = 2 b = 6ato: b + c = 10 c = 4

uego minuendo: 2467cba2 Rpta.

a sustraccin en otros sistemas deumeracinm. 1 Halle la diferencia de losguientes nmeros 432(5)y 143(5)esolucine disponen los trminos de maneraertical para trabajar de acuerdo alrden.

3 2 1orden

inuendo 4 3 2(5)

ustraendo 1 4 3(5)

iferencia ..............?

Orden Procedimiento

1

Como a 2 no se le puede disminuir3 lo que se hace es regresar delorden 2 una vez a la base (es decir 5)Luego 5 + 2 3 = 4 queda

2

Como se ha regresado una vez labase, quiere decir que en este ordense tiene ahora 3-1 = 2 pero a 2 no lepodemos disminuir en 4, luego delorden 3 regresamos una vez la base(es decir 5)5 + 2 4 = 3 queda

3Aqu se tena 4 veces la base, peroregresamos al orden anterior luegoaqu quedo4-1 = 3, entonces3 1 = 2 queda

Al final se tiene que:4 3 2(5) -1 4 3(5)2 3 4(5)

Practicando:Realizar las siguientes sustracciones6438- 5326- 7469-3468- 2356- 6479-

____ ____ ____

Se llega a la siguiente conclusin:

)k(

)k(

)k(

xyz

cba

abc

x + z = y = k -1

Aplicacin:

1) Si 88 cba2abc Calcule a x b x c

2) Si 777 mn4cbaabc Hallar a c + m + n

3) Efectuar las siguientessustracciones5413 - 7241- 6113-

3145 1427 31166524(7)- 4132(5)- 1786(9)-4526(7) 2314(5) 586(9)


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mplemento Aritmtico (C.A.)

denomina complemento aritmtico denmero natural a la cantidad que le

ta a dicho nmero para ser igual a unaidad del orden inmediato superior, acifra de mayor orden.

emplo: Hallar el C.A. de 24

CA (24) = 10 - 24 = 76

emplo: Hallar el C.A. de 327

CA(327)=1000 327 = 673

general:

C.A. (N) = 10k N

endo k el nmero de cifras que tiene

todo Prctico para calcular el C.A.los nmeros

partir del menor orden se observa lamera cifra significativa, la cual va aminuir a la base y las dems cifrasminuyen a la base menos 1.

emplo:

9 9 10

(7 4 8) = 252

9 9 9 10

(5 1 3 6)= 4864

9 9 10

(7 0 4 0)= 2960

8 8 9

(2 1 89) = 671(9)

Excedencia de un nmero

Se denomina excedencia de un nmero ala diferencia entre el nmero dado y unaunidad de su orden ms elevado.

Ejemplo:

Excedencia de 18= 18-10 = 8

Excedencia de 326 = 326 100 = 226

Excedencia de 4753=47531000= 3753

En general:

Ex(N) = N 10K-1

Siendo k el nmero de cifras que tieneN.


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BJETIVOS: Realizar la multiplicacin y divisin en diferentes sistemas de numeracin. Deducir las propiedades de la divisin inexacta. Aplicar la multiplicacin y divisin en la solucin de problemas concretos.

MULTIPLICACIN

RIGEN: En una operacin de adicin,n donde todos los sumandos son

guales, tal como la siguiente,= M + M + M + M + ... + M (m veces)

e puede realizar una operacinbreviada:

P = M x m

esta operacin se denominamultiplicacin, donde:

multiplicandommultiplicador xSmbolo

(por)Producto y m son denominados factores

EFINICINs decir la multiplicacin es unaperacin directa cuyo origen provienee la adicin y consiste en dadas 2antidades, multiplicando y

multiplicador se debe hallar una terceraantidad llamada producto queontenga al multiplicando las mismaseces que el multiplicador contenga a la

nidad.

e cumple:1

m

M

P

n el campo de los naturales, seenomina multiplicacin a laperacin que hace corresponder aertos pares de nmeros naturales

a,b) su producto a . b.

Ejemplo 1Smbolo (por)

15 x 12 = 180

Producto

Multiplicador

Multiplicando

Ejemplo 2Smbolo

(por)

Multiplicando 5 2 4 xMultiplicador 6 7

3 6 6 8 1er Producto Parcial3 1 4 4 2do Producto Parcial

3 5 1 0 8 Producto Final

Leyes Formales1. Clausura. El producto de 2

nmeros enteros es otro nmeroentero.

2. Conmutativa. El orden de losfactores no altera el producto.a x b = b x a

3. Asociativa: El producto devarios nmeros no vara si sereemplaza dos o ms factorespor su producto parcial.

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)4. Distributiva. El producto de un

nmero por una suma o resta esigual a la suma o resta de losproductos del nmero dado por

cada uno de los trminosSi P = a (b + c - d)P = a x b + a x c a x d

CU TRO OPER CIONESMULTIPLIC CION Y DIVISION

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Uniformidad. Multiplicandomiembro a miembro variasigualdades resulta otra igualdad.

Si: a = bc = d

a x c = b x d

Modulativa. Existe uno y slo unelemento que se denota por 1(denominado elemento neutromultiplicativo o mdulo de lamultiplicacin) tal que siempre secumple:

a x 1 = 1 x a = a

Monotona:

Multiplicando miembro amiembro desigualdades (relacinde orden), todas del mismosentido, con trminos positivos ytambin multiplicando igualdades,resulta una igualdad del mismosentido que las dadas.

*) Si: a > b *) Si: a d c = de = f e < f a.c.e>b.d.f. a.c.e. bc < d c > d

a x c b. d

colio. Si se multiplica miembro aembro desigualdades de sentidontrario, el resultado no puedeticiparse, pudiendo ser unasigualdad o una igualdad.

a < bc > d

Puede ocurrir que:

a x c b x d

Determinacin de la cantidad de

cifras de un productoLa cantidad de cifras de un producto den factores ser mxima cuando seaigual a la suma de la cantidades decifras de cada factor y como mnimodicha suma disminuida en (n-1)

Sea:P = A1 . A2 . A3...... An

a1 cifras

a2 cifras

a3 cifras

an cifras

Cuantas cifras como mximo y como

mnimo puede tener P.Mximo: a1+ a2+ a3+ .... + an= SMnimo: S (n-1)

Ejemplo (1)

P = A . B . C . D

6 cifras

8 cifras 3 cifras

4 cifrasdonde n = 4 (N factores)Mximo : 6 + 8 + 4 + 3 = 21Mnimo = 21 (4-1) = 18

Ejemplo (2)Dos nmeros enteros escritos en elsistema decimal tienen 5 y 8 cifrasrespectivamente Cuntas cifras tendrel producto del cuadrado del primeropor el cubo del segundo?


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esolucin

ea Atiene 5 cifrasBtiene 8 cifras

. B3 = A . A . B . B . B Producto de 5factores

ntonces:

de cifras Mximo: 5+5+8+8+8=34e AB3 Mnimo: 34-(5-1) = 30

onclusinuando se multipliquen potenciasnteras de nmeros enteros seroceder del modo siguiente:

ara determinar el mximo nmero de

fras de su producto se suma todos losroductos parciales de los exponentesor sus respectivas cantidades defras.

n el ejemplo dado:

ximo = 2(5) + 3(8) = 34

ara determinar la menor cantidad defras que acepta el producto, al

mximo nmero de cifras se leustraer la suma de los exponentes des potencias aumentndose la unidad.

n el ejm. Min= 34 (2 + 3) + 1 = 30

jemplo (3)e dispone de 4 nmeros enteros, los

uales se representan como A, B, C, Dn el sistema decimal admitiendo 4,6,85 cifras. Cuntas cifras tendr E?

endo E =A4 . B . C1 . D32

Resolucinabemos que:4 cifras C8 cifras

6 cifras D5 cifras

= A8 . B4 . C . D6

ntonces N de Cifras de E:

Mximo = 8.4 + 4.6 + 2.8 + 6.5 = 102Mnimo = 102 (8 + 4 + 2 + 6)+1=83

MULTIPLICACION EN OTROSSISTEMAS DE NUMERACION

Ejm.: Efectuar 2437. 367

Procedimiento. Los trminos son

colocados en la forma siguiente, paraefectuar la operacin de acuerdo alorden que ocupan sus cifras.

3 2 1 orden2 4 3(7) x multiplicando

3 6(7) multiplicador........?

* Para la cifra de orden 1 delmultiplicador:

6 x 3 = 18 = 2 x 7 + 4 queda

Se lleva

6 x 4 + 2 = 26 = 3 x 7 + 5 queda

Se lleva

6 x 2 + 3 = 15 = 2 x 7 + 1queda

Se lleva

* Para la cifra de orden 2 delmultiplicador:

3 x 3 = 9 = 1 x 7 + 2 queda

Se lleva

3 x 4 + 1 = 13 = 1 x 7 + 6 queda

Se lleva

3 x 2 + 1 = 7 = 1 x 7 + 0queda

Se lleva


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38/105

esolucin

ando forma al numeral xmyn paraprovechar los datos.

myn = xoyo + mon = 10. monxoy

uego:

abcd . xmyn = abcd . monxoy.10 fectuando :

bcd . xmyn =10 abcd . xoy + abcd . mon

reemplazar los datos se tendr que:

bcd . xmyn =10(1782312)+ 2353344

nalmente: abcd . xmyn = 20176464uma de cifras:

+0+1+7+6+4+6+4 = 30 Rpta.

plicacin 7

i se cumple que:

bcde . 99 = ...47253alcular a+b+c+d+e

esolucinransformamos la multiplicacin de

bcde .99 en una sustraccin

bcde .99 = abcde (100 -1)

bcde .99 = abcdeoo - abcde

uego: abcdeoo -

abcde..47253

l tratar de restar se deduce que:= 9, b = 7, c = 4, d = 4, e = 7

on lo cual a + b + c + d + e = 31pta. 31

FORMAS CURIOSAS DEMULTIPLICAR

MULTIPLICACIN EGIPCIAEl mtodo de multiplicacin egipciasobrevivi durante siglos esparcindoseen muchas civilizaciones. En lasescuelas de la Antigua Grecia se loenseaba con el nombre de Clculo

Egipcio. En la Edad Media seenseaban sus tcnicas bajo el nombrede DUPLATIO para la duplicacin yde MEDIATIO para la divisin enmitades. La multiplicacin eraconsiderada una operacin muy difcil yhasta el siglo XVI slo se enseaba enlas universidades.

1 12 2 24 4 48

+ 144

8 96

12 144

12 x 12 = 144

He aqu un ejemplo tomado del papiroRhind, de como un escriba egipciohubiera multiplicado 12 x 12. Seempieza con 12. Despus se duplicapara que de 24, que a su vez esduplicado para dar 48 y otra vezduplicado para dar 96. Se dibujan tildes

junto al 4 y al 8, para indicar que

suman 12. Luego se suman sus cifrascorrespondientes, lo que nos da larespuesta 144.

El Mtodo Egipcio de Multiplicacineliminaba la necesidad de memorizarlas tablas, ya que se basabafundamentalmente en la adicin.

* Los Romanos tambin utilizaronel mtodo de duplicar y sumar.


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Ej. 342 x 25 = 8550

342 25342 1684 2

+ 1368 4 1+8 + 16= 25+ 2736 8+ 5472 16

MULTIPLICACIN COSACA O A LARUSAEl conocimiento de la tabla de multiplicacin no esmuy extendida en la Estepa, se dice que los Mujiclos ms instruidos saben apenas ms que unacolumna, la de los mltiplos de 2. Esto les bastasin embargo para efectuar el producto de dosnmeros cualesquiera. Ellos emplean para esto unproceso muy curioso: ellos toman la mitad de uno

de los factores con la unidad tomada por defectoy escriben al lado el doble del otro factor. Si estamitad es un nmero impar, ellos marcan de unsigno * el factor doblado. Continan as,dividiendo por 2 los nmeros de una columna, ydoblando aquellos de la otra, la operacin terminacuando se llega a 1 en la primera columna.

La suma de los nmeros inscritos en lacolumna de los dobles, y que, sonmarcados del signo * es igual alproducto buscado veamos tresejemplos de este clculo.

38 x 25 45 x 57 *19 50 * 22 1149 100 * 11 228 *4 200 5 456 *2 400 2 9121 800 * 1 1824 *

38 x 25 = 950 45 x 27 = 2565

42 x 3621 72 *10 1445 288 *2 5761 1152 *

42 x 36 = 1512Ser suficiente escribir las operaciones

para comprender el principio delmtodo:38 x 25 = 2 x 19 x 25 = 19 x 50

= (2 x 9 + 1) 50= 9 x 100 + 50*

9 x 100 = (2 x 4 + 1) 100= 4 x 200 + 100*

4 x 200 = 800 *

MULTIPLICACIN DE INAUDIEl famoso calculista Inaudi se sirve parala multiplicacin de un mtodo

particular.Este consiste del modo siguiente.Multipliquemos 532 x 468500 x 400 = 200000500 x 68 = 34000468 x 30 = 14040468 x 2 = 936TOTAL = 248976

Para probar que el mtodo seguido esexacto, bastar observar que:532 x 468 = (500 + 32) x 468532 x 468 = 500 x 468 + 32 x 468532 x 468 = 500 x 400 + 500 x 68 +

30 x 468 + 2 x 468

MULTIPLICACIN CHINALos chinos multiplicaban con varillas. Secuentan los puntos de interseccin en unamisma diagonal empezando por los deabajo a la derecha. Despus, se suman lasunidades, las decenas, ......, empezandopor la derecha.

342 x 25 = 8550

0

243

2

5

6

23 24 10

0558


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ultiplicacin Musulmana(Arabe)s rabes utilizaban una cuadrculan diagonales

emplo: Multiplicar 23456 x 789

multiplicando tiene 5 cifras y elultiplicador 3, formemos como en laura un rectngulo conteniendo

x 3= 15 casilleros iguales, cada unaestas casillas siendo dividida en dos

ngulos por una diagonal. Escribamosizquierda a derecha cada cifra del

ultiplicando sobre cada una de lassillas de la lnea horizontal superior y

abajo hacia arriba, cada una de lasras del multiplicador en frente deda una de las casillas de la lnea

rtical izquierda.ltipliquemos ahora cada cifra del

ultiplicando por cada cifra delultiplicador y escribamos el resultado

la casilla colocada en la interseccinla hilera vertical y de la hilera

rizontal relativas a las dos cifrasnsideradas y de tal modo que la cifralas decenas del producto se halle en

tringulo inferior y la de las unidadesel tringulo superior.

observar que con esteocedimiento es indiferente comenzarmultiplicacin por la derecha o por lauierda.

continuacin para tener el producto

scado, se suma a partir de la derechacifras comprendidas entre dos

nsversales consecutivas, cifras quepresentan unidades del mismo orden. se pone primeramente 4 . 5 ms 5

etc. Se halla as que el producto es18506784.

DIVISIN

DEFINICIN. Dado los nmerosnaturales D y d0 se llama cociente de

D y d. Se denotad

D, si al nmero

natural q, si existe tal que D = dq

Se llama divisin a la operacin quehace corresponder a ciertos pares (D,d)

de nmeros naturales su cociented

D.

En otras palabras la divisin es unaoperacin aritmtica inversa a la

multiplicacin que tiene por objeto endadas 2 cantidades llamadas dividendoy divisor, hallar una tercera cantidadllamada cociente que ponga enmanifiesto las veces que el dividendocontiene al divisor.

PARMETROSDividendo (D)Divisor (d)Cociente por defecto (q)Cociente por exceso (q)Residuo por defecto (r)Residuo por exceso (r)

CLASIFICACINa) Divisin Exacta. Es cuando no

existe presencia de restoEsquemticamente

D d D = dq- q

b) Divisin Inexacta. Es cuandoexiste presencia de resto y a suvez se sub clasifican en:

1) Por defecto

D dq

+r

8

1

7

2

6

3

5

46

1

4

2

2

3

0

44

1

1

2

8

2

5

3

4

58

42

4

9

8

7

2 3 4 5 6

1 8 5 0 6 7 8 4

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jm. Dividir 84 entre 9.

84 99

3 84 = 9.9 + 3

) Por exceso

D d

- r q = q + 1

D = dq - r

jm. Dividir 59 entre 7

59 7-4 8 + 1 x

59 = 7 (8 + 1) 4jm. Dividir 85 entre 4

85 422 x

-385 = 4.22 - 3

ropiedades

1) 0 < r < d2) r + r = d3) q = q + 14) rmin= 15) rmax= d-1

eyes

) Ley de Uniformidad. Si sedividen miembro a miembro dosigualdades (con la segundaigualdad diferente de cero), elresultado es otra igualdad

a = bc = d

a:c = b:d

) Ley del Inverso Multiplicativo.Para todo nmero N diferente decero, existe uno y slo unelemento denominado inverso

multiplicativo denotado por N-1

N

1tal que:

N x N-1 = 1

3) Ley Distributiva. El cociente deuna suma o resta entre unnmero es igual a la suma oresta de los cocientes de cadauno de los trminos entre elnmero dado

Si: q = (a + b - c) : d

q =d

c

d

b

d

a

A) Ley de Monotona

a) Si : a bc = d c = d

a : c b : db) Si : a = b Si a = b

c < d c > da : c > b : d a : c bc > d c < d

a : c b : dESCOLIOSi se dividen miembro a miembrodesigualdades del mismo sentido, elresultado no puede anticiparse,pudiendo ser una desigualdad o unaigualdad.

Si : a b:d

ALTERACIONES EN LA DIVISIN

I. ALTERACIN DEL COCIENTE

1. Si el dividendo de una divisinexacta se le multiplica (o divide)por un mismo valor entero elcociente queda multiplicado (o

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dividido) por el mismo valorentero

Si al divisor de una divisininexacta se le multiplica (odivide) por un valor entero, elcociente queda dividido (omultiplicado) por el mismo valorentero

Si al dividendo y al divisor de unadivisin exacta se les multiplica(o divide) por un mismo valorentero, el cociente no vara(INALTERABILIDAD DELCOCIENTE)

ALTERACIN EN LA DIVISIN

INEXACTAPor Adicin de Unidades alDividendoAl sumarle un cierto valor aldividendo este mismo valor sesuma al residuo. Si el nuevoresiduo no es menor al divisor, sedivide entre l, el cociente que seobtenga, ser el nmero de

unidades que aumente elcociente de la divisin inicial y elresiduo que deja ser el nuevoresiduo de la divisin.

emplo:

35 21 4735 + 10 21225 225 Cociente

10 1 0 + 10 no varia

isin inicial Residuo (20) < Divisor

35+35 21 45 21225 2 Cociente aumenta

+35 = 45 3 en 2

iduo > divisor Nuevo Residuo 345) (21)

Por Multiplicacin deUnidades al Dividendo

. Alterando el Divisor, si semultiplica al dividendo y al

cociente no variar y el residuoqueda multiplicado con el mismovalor.

Inicialmente D = d x q + R (R < d)

Se multiplica por nn x D = n x d x q + n x R

Nuevo Nuevo NuevoDividendo Divisor Residuo

b2. Alterando el cociente. Si semultiplica al dividendo y alcociente por un mismo valor, elresiduo queda multiplicado pordicho valor.Pero se seala las mismas

observaciones que en el caso poradicin.

Inicialmente: D = d x q + RDonde R < d

Se multiplica por nn x D = d x n x q + n x R

Nuevo Nuevo NuevoDividendo Cociente Residuo

Donde:n x R < d: la divisin quedacomo se indica.n x R d: Se dividen los valoressealados el cociente obtenidoser lo que aumenta el cocienteanterior y el residuo que deja

ser el residuo real.

43 7 43 x 3 76 6 x 3

1 1 x 3

Divisin Residuo < divisorInicial (3) (7)

43 x 8 71 x 8 6 x 8 8 71

1Residuo > divisor

(8) (7)

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El cociente 6 x 8 aumenta 1 El residuo real ser 1

D = dq + 5 ...... (1) d > 5

Multiplicando por 44D = d(4q) + 20

ero 20 d 20 = dq + 22 q 18 = dq

uevo residuo

d esta contenido en 18:d = 18,9,6 noms (d > 5)

) Hallar la suma de todos losnmeros enteros que al serdivididos entre 25 originan uncociente que es el triple del

residuoResolucin

ean el esquema D d = 25R < 25 R q = 3R

e conoce: D = d x q + RD = 25 (3R) + R = 76R

ero el residuo es un valor no limitado.n una divisin inexacta o < R < 25

R = 1,2,3..... 24omo D = 76R, la suma de sus posiblesalores ser:uma de valores de D =6 (1 + 2 + 3 +.... +24) = 22800

CANTIDAD DE CIFRAS DE UNCOCIENTE

a cantidad de cifras del cociente de dosmeros , puede ser como mnimo igual

la diferencia entre las cantidades defras del dividendo y divisor y comoximo la diferencia aumentada en una

nidad.

= A a cifrasB b cifras

Cuntas cifras como mnimo y comomximo puede tener q?

mximo : a b + 1mnimo : a b

CASO ESPECIAL

CUANDO EL NUMERADOR Y DENOMINADOR TIENENVARIOS FACTORES

Primero se calcula la cantidad de cifrascomo mximo y como mnimo, tantodel numerador como denominador,mediante la regla del producto. Luegopara hallar el mximo del cociente secompara el mximo del numerador conel mnimo del denominador,anlogamente para hallar el mnimo delcociente se compara, el mnimo delnumerador con el mximo del

denominador, ambos mediante ladeterminacin de la cantidad de uncociente.Ejm. A, B y C tienen 12, 9, y 5 cifras

respectivamente. Cuntas cifrastiene E?

4

32

C

B.AE

AB3 Max : 2(12) + 3(9) = 51Mn : 51-(5-1) = 47

C4 Mx : 4 (5) = 20Min : 20 (4-1) = 17

E = Mx : 51-17 + 1 = 35Mn : 47 20 = 27


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DIVISIBILIDAD

RESUMEN TERICO1 Nmero Divisibles

Si A representa un nmero entero yB un nmero natural diferente decero:

A es divisible por B => AB A: B es exacta con cocienteentero.

a B se denominar Divisor de A

Ejemplo: 91: 13 = 7 91 es divisible por 13 =>

9113y 13 es divisor de 91!

2 Mltiplos de un NmeroNatural

Mltiplos de n = n.K (K Z)

SIMBOLOGANotacin de Leibnitz

Mltiplos de n =

n = m.n = n.K.Z = { 0; + 1; + 2;+ 3; .... }

Ejemplo:7 = { 0; + 7; + 14;+ 21; .... }

3 Principios de Divisibilidad

Si A y B son divisibles por n!

Se cumplen las siguientespropiedades

(1)A + B es divisible por n

Conclusin:

n +

n =

n

(2)A B es divisible por n

Conclusin:

n -

n =

n

(3)A.K es divisible por n

n .K =

n (n ZZ)

(4)Am es divisible por nConclusin:

( n )m =

n (mZZ+)

(5)Todo nmero es divisible por losfactores naturales que contiene

Ejemplo:105 = 3. 5. 7105 es divisible por: 1: 3: 5: 7 ylas combinaciones de estosfactores:15; 21; 35 y 105

(6)Si A. B =

n , adems: A y ntienen como nico factor comnla unidad

Entonces: B =

n* (Principio de Arqumedes)

Ejemplo:

7.B =

15 B =

15

2A + 4 B =

9 A + 2B =

9

1.4 Expresar un Nmero comoMltiplo de otro Nmero.

Ejemplo: Expresar 400 como mltiplo de23

40023 400 =

23 +9

(9) 17

DIBISIBILID D I


45/105

46/105

ONTEO DE MLTIPLOSCuntos nmeros de 3 cifrasson 7?Resolucin:

Sea N = 7 KComo N es de 3 cifras entonces100 N < 1000100 7K < 1000

100K < 10007 7

14,25K < 142,8K15, 16, 17 . 142

valores de K = 142 141

= 128 valores de KComo existen 128 valores de Kpor lo tanto existen 128 nmeros

que son de 3 cifras y mltiplo de7.

En el problema anterior

cuantos

7 terminan en cifra 2Resolucin:

N =

7 = 7K = 2...6...

K seleccionado = 16, 26, 36,...136

valores de kseleccionado = 1366 = 130

10 10= 13

Existen 13 nmeros

7 queterminan en cifra 2

Cuntos nmeros de 3 cifras

son

2 y de

3 pero no de

5 ?Resolucin:Utilizamos diagrama de Veen3 cifras = 900 nmeros

4502

9002

3003

9003

150900

6

1805

9005

3030

90030

2 y de

3 pero no

5 =

6 -

30

2 y de

3 pero no

5 = 150- 30 = 120

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Cuntos nmeros de 3 cifras alser divididos entre 4 y entre 7dan como residuo 2 en amboscasos?

a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 34

Resolucin

24

N = abc 27

N =mcm (

7,4 )+2

N =

28 + 2 abc = 28K + 2

100 28k + 2 < 10003,5 k = 35,6

4,5,6,7,....,35

Cantidad de valores

321

335

Por lo tanto existen 32 Rpta. B

2 (450) 3 (300)

5 (180)

30

120


47/105

Calcular la suma de todos losmltiplos de 7 comprendidosentre el 90 y el 318

a) 6699 b) 6700 c) 6723d) 6721 e) 6800

solucin:

Sea el nmero N de la forma

N =

7 = 7K

90


48/105

En una fiesta donde asistieron280 personas entre damas,caballeros y nios, la cantidad decaballeros que no bailaban en unmomento dado era igual a lacuarta parte del nmero dedamas; la cantidad de niosasistentes era igual a la stimaparte del nmero de damas. Si laquinta parte de las damas estncasadas, se desea saber cuntasdamas no bailaban en dichomomento.

a) 55 b) 65 c) 45 d) 75 e) 80Rpta. 55

Si: a + b + c = 6.

Entonces: bcacababc Siempre es mltiplo de:

a) 11 b) 74 c) 7d) 13 e) 27Rpta. 74

PROBLEMAS PARA

RESOLVER EN CLASE

Del 1 al 5000,cuntosnmeros son:

I Divisibles por 16II Divisibles por 13

Dar la suma de ambosresultados.

a)646 b)672 c)696d) 698 e) 692

Cuntos nmeros de cuatrocifras son divisibles entre 11?a)800 b)809 c)810d)819 e) 820

Hallar cuntos nmeros de tres

cifras que terminan en 4 resultanser mltiplos de 7

a) 72 b) 90 c) 29d) 13 e) 10

4. En un barco donde iban 100personas ocurre un naufragio.De los sobrevivientes la onceavaparte son nios y la quinta partede los muertos eran casados.Cuntos murieron?

a)55 b)5 c) 45d) 15 e) 30

5. En un saln de 50 alumnos seobserva que la sptima parte delnmero de mujeres son rubias yla onceava parte del nmero dehombres usan lentes. Cuntoshombres no usan lentes?

a) 22 b) 28 c) 2

d) 20 e) 4

6. En una divisin el divisor es

3110

el cociente 811o

y el resto

2110

. Entonces el dividendo es:

a) 3110

b) 1110

c) 9110

d)

0

11 e) 4110

7. Cuntos nmeros de dos cifrasal ser divididos entre 21 el restoque se obtiene es 3?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

8. El nmero aa00 tiene comodivisores a:

a) 11 b) 13 c) 7d) 77 e) todas

9. Calcule cuntos nmerospositivos de 4 cifras hay tal queal expresado a base 5,6 yterminan en cifras 2, 3 y 4respectivamente.

a) 38 b) 40 c) 41d) 43 e) 68


49/105

Si: 0

13mcd uAAdems )2(3 mcduCalcule cuntos valores tiene A.

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

Con S/.500 se compraron 100

artculos entre A, B y C, si losprecios de cada uno son S/.50,S/.10 y S/.1 respectivamente.Calcule cunto se compr decada artculo.

a) 1; 39 y 60 b) 2; 40 y 59c) 8, 36 y 56 d)5; 30 y 65e) 8;34 y 58

Halle el menor nmero de 4cifras tal que al expresarlo en lasbases 2; 5 y 9 sus cifrasterminales respectivas fueron:101;10, y 5

a) 1850 b) 1805 c) 1580d) 1085 e) 1508

Si la cuarta parte de los alumnosde un saln aprobaronaritmtica y la novena parteaprobaron lgebra. Cuntosalumnos hay en dicho saln si esmenor que 50?

a) 457 b) 458 c) 459d) 460 e) 461

Al dividir dos nmeros entre 15los residuos son 13 y 11. Hallarel residuo del producto de stosnmeros entre 15.

a) 16 b) 32 c) 42d) 48 e) 8

Cuntos nmeros del uno al milson mltiplos de 5 pero no de25?

a) 200 b) 18 c) 150

16. Del 1 al 1000 Cuntos son 2 3? Dar como respuesta la sumade las cifras de dicho nmero.

a) 15 b) 17 c) 21d) 19 e) 23

17. Cuntos nmeros positivos no

mayores que 5 000 son mltiplosde 5 y 6 a la vez pero no de 7?

a) 133 b) 143 c) 137d) 166 e) 123

18. Calcular cuntos nmeros de 4cifras son divisibles por 9 y por15 pero no por 25.

a) 160 b) 170 c) 180d) 150 e) 130


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DIVISIBILIDAD II

CRITERIOS DE DIVISIBILIDADlamados Criterios de Divisibilidad a

iertas reglas prcticas que aplicadas aas cifras de un numeral permitirneterminar su divisibilidad respecto aerto mdulo.

Criterio de divisibilidad entre 3 o 9n numeral es divisible entre 3 (o entre) si y slo si la suma de sus cifras esivisible entre 3 (o entre 9).

3dcba3abcd

9dcba9abcd

jercicio: Calcular el valor de x sabiendoue 41467 es divisible entre 9.

Resolucin:

941467

ntonces:6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 =

9

22 + x =

9

x = 5

Criterio de divisibilidad entre 11n numeral es divisible entre 11 si y slo la diferencia entre la suma de sus cifrase orden impar y la suma de sus cifras derden par es divisible entre 11.

11edcba11abcde

jercicio: Cul es el valor que debeomar y para que el numeral 17y14 seaivisible entre 11?

Resolucin:

1117y14

Entonces:1- 4 + y 1 + 7 =

11

3 + y =

11

y = 8

Criterios de divisibilidad entre

potencias de 2 Un numeral es divisible entre 2; (21) sy slo s su ltima cifra es par.

Un numeral es divisible entre 4; (22) sy slo s el numeral formado por sus 2ltimas cifras es divisible entre 4.

Un numeral es divisible entre 8; (23) sy slo s el numeral formado por sus 3

ltimas cifras es divisible entre 8.

2e2abcde

2de4abcde

8cde8abcde

Ejercicio:Qu valor debe asignrsele a

z para que el numeral z11443 seadivisible entre 8?

Resolucin:

8z11443

Como 8 = 23 :

8z43

z = 2

DIVISIBILID D II


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riterios de divisibilidad entreotencias de 5 Un numeral es divisible entre 5 s y

slo s su ltima cifra es 0 5. Un numeral es divisible entre 25 s y

slo s el numeral formado por sus 2ltimas cifras es divisible entre 25.

Un numeral es divisible entre 125 s y

slo s el numeral formado por sus 3ltimas cifras es divisible entre 125.

50e5abcde

25de25abcde

125cde125abcde

jercicio: Cul es el valor de la sumae los valores que deben reemplazar am y n en el numeral mn87653 paraue sea divisible entre 125?

Resolucin:omo 125 = 53:

125mn87653

125mn3

Luego: m = 7 ^ n = 5

riterio de divisibilidad entre 7n numeral es divisible entre 7 si al

multiplicar a cada una de sus cifras (aartir de la derecha) por ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ;3 ; -2 ; 1 ; 3 ; ... y luego efectuar lauma algebraica resultante es divisiblentre 7.

132132

7gf3e2dc3b2a7bcdefg - +

jercicio: Cul es el valor de a si elumeral 372a13 es divisible entre 7?

Resolucin:

231231

7372a13 - +

Entonces:

- 2 9 a + 6 + 21 + 2 =

7

18 a =

7

a = 4

Criterio de divisibilidad entre 13Un numeral es divisible entre 13 si almultiplicar a cada una de sus cifras (apartir de la derecha) por ; 1 ; -3 ; -4 ; -1; -3 ; 4 ; 1 ; -3 ; -4 ; ... y luego efectuarla suma algebraica resultante es divisible

entre 13.

1431431

13gf3e4dc3b4a13abcdefg + - +

Ejercicio: Qu valor debe tomar b enel numeral 306b128 si es divisible entre13?

Resolucin:

1431431

13306b128 + - +

Entonces:

1 + 8 + 24 - b - 12 0 + 6 =

13

27 - b =

13

b = 1

Criterios de divisibilidad entre 33 99 Un numeral es divisible entre 33 si al

multiplicar a cada una de sus cifras (apartir de la derecha) por ; 1 ; 10 ; 1 ;10 ; 1 ; ... y luego efectuar la sumaalgebraica resultante es divisible entre33.


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Un numeral es divisible entre 99 si almultiplicar a cada una de sus cifras (apartir de la derecha) por ;1 ; 10 ; 1 ;10 ; 1 ; ... y luego efectuar la sumaalgebraica resultante es divisible entre99.

33ed10cb10a33abcde

99ed10cb10a99abcde

Ejercicio: Calcular (d + e) si el numerale01d56 es divisible entre 99.

Resolucin:

99e01d56

10(5) + 1(6) + 10d + 1(0)

+ 10(1) + e =

99

66 + de =

99

de =

99 -66

Luego: d = 3 ^ e = 3

d + e = 6

Criterio General de Divisibilidad

Sea: N = z ........ edcbax

Para que se cumpla que: N =

m+ r

Es condicin necesaria y suficiente:

ar1+ br2+ cr3+ ...... =

m + rdenominando:

Criterio General de Divisibilidad

Donde: r1;r2;r3 ....... son los restospotenciales de x, respecto al mdulo

m. (se considera el resto por defecto

o por exceso cuyo valor absoluto seamenor).Ejemplo:

Deducir el criterio de divisibilidad por7Solucin:

Sea N = redcbaz

7....

mdulo = 7potencia = 100; 101; 102; 103; 104;105; 106;.....restos = 1; 3; 2; 6; 4; 5; 1

-1 3 2 (restos por exceso)

Grupo Peridico = 6GAUSSIANO = 6

Reemplazando en c.g. de d. Tenemos:

1.a+3.b+2.c-1.d-3.e-2f+....= r7

Es decir:Para investigar la divisibilidad por 7,de derecha a izquierda se distribuyenlos coeficientes:

1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;.....el resultado debe ser mltiplo de 7

Algunos Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 3 y 9

Sea: N = cbaz.......

N=

3 +rz + ....+ c + b + a=

3 + r

N=9+rz + ....+ c + b + a=

9+ r

Divisibilidad por 7:(ya analizado)Divisibilidad por 11:

fedcbaz....... =

11+ r

(a+c+e+...)-(b+d+f+...)=

11 + r


53/105

ivisibilidad por 2; 4; 8; 16

N =

2 a =

2

N = edcbaz....... N =

4 ba =

4

N =

8 cba =

8

N =

16 dcba =

16

Divisibilidad por 5; 25; 125; 625

N =

5 a =

5

N = edcbaz....... N =

25 ba =

25

N =

125 cba =

125

N=

625 dcba=

625

IMPORTANTSIMO!

COMO HALLAR RESTOSPOTENCIALES?

FACIL!El residuo anterior se multiplica por laase y se divide entre el mdulo

jemplo:

estos Potenciales de 7 respecto a 11:= 70; 71; 72; 73; 74; 75; .............=1;7; ; ; ; ;

Divisibilidad por 13Mdulo = 13

otencia = 10; 101; 102; 103; 104; 105;

06

;....estos = 1; 10; 9; 12; 3; 4; 1...1; -3;-4; -1; 3; 4; 1;.....

Grupo Peridico

Es decir:Para investigar la divisibilidad por 13, dederecha a izquierda se distribuyen loscoeficientes:

1; -3; -4; -1; 3; 4;....

El resultado debe ser mltiplo de 13

DE MANERA SIMILAR SE PUEDEN DEDUCIRCRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PARA OTROSNUMEROS

DIVISIBILIDAD COMPUESTA

Si N es divisible por A y B, lo ser porsu producto, siempre que A y B.

Tenga como UNICO DIVISOR COMUN launidad

3 N =

12

N

4

9 N =

45 etc.N

5

Si N es divisible por A; por B y por C, loser por su producto, siempre que todaslas combinaciones binarias posiblestengan como UNICO DIVISOR COMUN launidad por Ejemplo.

2

N

3 N =

30

5

Ejercicio:

Decir si la proposicin es verdadera o

falsa:(1) 12113001054 =

7

5 2 3 10

10

3

3.7 = 21 =

11+

2

2.7 = 14 =

11+

5.7 = 35 =

11+


54/105

2) 9446660023

11

3) 1526701234 =

13 +2

olucin:

= 1 2 1 1 3 0 0 1 0 5 43 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

+ 15 1 + 3 + 3 + 2 2 - 3 = 21

1 =

7 N =

7 (V)

= 9 4 4 6 6 6 0 0 2 33+6+6+4)-(2+6+4+9)=-2

N =

11- 2

11 (V)

= 1 5 2 6 7 0 1 2 3 41 4 3 1 4 3 1 4 3 1

- 9 - 8 - 1 + 28 + 6 - 6 - 20 -1 = -7

N =

13 -7

13 + 2 (F)

CUACIONES DIOFNTICAS O

DIOFANTINAS

no de los objetivos principales de laeora de la divisibilidad, es el de resolveras ecuaciones diofnticas lineales,amadas as en honor a DIOFANTO,

matemtico alejandrino (siglo III a.C.)

na ecuacin diofantina se identifica

uando todos sus trminos (constantes yariable) son nmeros enteros. Puedener de dos, tres o ms incgnitas encluso mayores que el primer grado; porjemplo la ecuacin diofantina:

x + By = C (cuando A = B = 1) esamada tambin ecuacin pitagricaPitgoras estudi este tipo de

cuaciones paralelamente desde el puntoe vista geomtrico)

Examinemos particularmente la ecuacindiofntica en dos variables:

Ax + By = C ...... (I)

La condicin necesaria y suficiente paraque tenga solucin (I), es que el MCD deA y B sea un divisor de C.

Sea MCD (A y B) = d, entonces:

).......(qd

Byp

d

A

Observacin:p y q son PESI (Primos entre s)En particular sea xo e yo una solucin,entonces:

Axo+ Byo= C ..... (II)

Restando miembro a miembro (I) y (II),se obtiene:

A(x-xo) + B(y-yo) = 0

Trasponiendo y ordenando tenemos:

A(x-xo)= B(yo-y); d.P(x-xo)=d.q (yo- y),

entoncesp (x-xo) = q (yo- y) ......... (III)

Luego: p (xo- x) =

q (Por Arq. Euc.)

xo x =

q . Entonces x xo= q.t1.. (IV)

Tambinq (yo- y) =

p , entonces yo y =

p , yo y = p . t2

Reemplazando en (III) se obtiene:

P . q . t1 = q . p . t2, entonces t1 = t2 = t(entero cualquiera)

En (IV)x xo= q . t yo y = p . t


55/105

ero: q =d

Apy

d

B

= xo +d

B

Solucin general

= yo- td

A

n particular si A y B son PEPSI (d=1)

= xo+ B .t ; y = yo A.t . tZZ

jemplo:

Resolver la ecuacin4x + 38y = 250 .... (I)

olucin:

. Simplificando al mximo laecuacin, dividiendo miembro amiembro entre el MCD (34 y 38)=2

Entonces:

17 x + 19 y = 125 .......... (II). Convenientemente expresemos la

ecuacin en funcin del mltiplodel menor coeficiente.

De (II):

17 + (

17 + 2) y

17 + 6

17 +

17 + 2y =

17 + 6

(y-3) =

17 , entonces y 3 =

17

y =

17 + 3

n particular si

17 =0, entonces yo= 3Reemplazando en (II):

7x + 19(3) = 125, entonces xo= 4

a solucin general es:

= 4 + 19t

donde t (entero cualquiera)y = 3 17t

Basta reemplazar t por valores enteros,para determinar todas las solucionesposibles, as:

t ...... -2 -1 0 1 ......

x ...... -34 -15 4 23 ......

y ...... 37 20 3 -14 ......

EJERCICIOS

1. Cuntos Valores puede tener npara que: n)3n(2n sea divisible

entre 2?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Para que: 0

32aa2 , la suma delos valores de a es:

a) 7 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

3. Si 2a357 al ser dividido entre 9 elresto obtenido es 4. Hallar a

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Calcular el resto de dividir:

cifras49

444...444 entre 7

a) 2 b) 4 c) 6d) 5 e) 3

5. Si abc se multiplica por 11 se

obtiene n8n9 . Hallar. a + b + ca) 16 b) 14 c) 12d) 10 e) 7


56/105

Hallar: a.b

Si: 0

9914b74a6

a) 4 b) 6 c) 8d) 12 e) 20

. Hallar el valor de 10.a si el nmerode la forma: )1a)(3a(a)4a( al ser dividido entre 7 de cmoresto por exceso 4.

a) 40 b) 30 c) 50d) 60 e) 80

. Determinar el menor nmero de laforma. 2y8x1 que sea divisible por

36. Dar como respuesta:x + y

a) 7 b) 18 c) 2d) 1 e) 6

Si: 0

221aboabHallar la suma de todos los valores

posibles de b

a) 12 b) 13 c) 14d) 20 e) 25

0. Al dividir b13a28 entre 36 elresiduo es 34. Calcular: a + b

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

1. Determinar el mayor numeral de laforma ababab que es mltiplo de35 e indicar el valor de a.b

a) 10 b) 35 c) 45d) 40 e) 30

2. Calcular el residuo de dividirc9b7a entre 7 sabiendo que

575c3b1a0

a) 2 b) 6 c) 1d) 5 e) 3

13. Si. 0

)8()8( 85x12x513 Calcular x

a) 3 b) 2 c) 3

d) 1 e) 5

14. Si: 513ab0

613cd0

Quresiduo se obtendr al dividirabcd entre 13?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8

15. Sabiendo que:0

19)1a)(1a(0a Hallar a

a) 2 b) 3 c) 4d) 7 e) 8

16. Hallar el mayor nmero de 3 cifrasque sea igual a 27 veces la sumade sus cifras. Dar como respuestala cifra de orden 1

a) 4 b) 6 c) 8d) 2 e) 3

17. Hallar el residuo que se obtiene al

dividir: 5ab

4ab1ab entre 11

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 4

18. Sabiendo que :

19abc

59abc

49abc

oc

ob

oa


57/105

Cul es el residuo de dividir abc

abc

entre 9?a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

7/22/2019 Li

Libro de Aritmetica de Preparatoria Preuniversitaria (1)

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