Libro Cálculo integral 7 julio 2010
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Metodología para el Aprendizaje del
Calculo Integral
Conforme al programa de estudio de Cálculo Integral orientado a competencias del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica
José Santos Valdez Pérez y Cristina Pérez Pérez
Instituto Tecnológico de Saltillo Instituto Tecnológico de Celaya
Segunda edición
DEDICATORIA:
Mi verdad:
Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la
percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje.
Dedicatoria:
A mis Madres: María Pérez y Josefina Rico.
A mi Padre: Francisco Valdez García.
A mis hijos.
A mis nietos.
iv
AGRADECIMIENTOS:
He de agradecer a las Ciudades que cobijaron mi existencia y de las cuales guardo gratos recuerdos: A mi
tierra Palma Grande, Nay.; Xalisco; Tepic; Morelia, cuna de mi cultura; Villahermosa, la inolvidable; Tehuacan el
irresistible; Distrito Federal el combativo y Saltillo de mis esperanzas; de la misma forma a Delicias Chih.,
Mazatlán, Sin.; Querétaro, Qro.; y Celaya, Gto. por recibir el influjo de esas tierras de inspiración.
Me es imposible nombrar a tantas personas, quienes de algún modo influyeron en la realización de la
presente obra; sin embargo he de recordar a mis exalumnos, compañeros de estudio y de trabajo, así como mis
maestros y directivos a quienes doy un profundo agradecimiento.
Directivos: Max Novelo Ramírez, Carlos García Ibarra, José Guerrero Guerrero, Juan Leonardo Sánchez
Cuellar, Bulmaro Fuentes Lemus, Enriqueta González Aguilar, Carlos Fernández Pérez, Jesús Contreras García,
Mario Madrigal Lápiz, Mario Valdés Garza, Javier Alonso Banda, Fidel Aguillón Hernández, Alejandro Guzmán
Lerma, José Callejas Mejía, David Hernández Ochoa y Agustín Vázquez Vera.
Maestros: Sergio Alaníz Mancera, Heber Soto Fierro, Germán Maynes Meléndez, Salvador Montoya Luján, Elisa
Álvarez Constantino, Salvador Campa, y Rosario Vitalle DiBenedeto.
Compañeros de trabajo: Ramón Tolentino Quilatan, Salvador Aarón Antuna García, Roberto Sánchez
Alvarado, Rodolfo Rosas Morales, Araceli Rodríguez Contreras, Isabel Piña Villanueva, Norma Herrera Flores,
Romina Sánchez González, Mayra Maycotte de la Péña, Elizabeth Sorkee Quiroz, Leonilo Rodríguez Borrego,
Miguel Ángel Cabrera Navarro, Sergio Gaytán Aguirre, Francisco Javier Rodríguez Sánchez, Adrián Martínez
Burceaga, Olivia García Calvillo, Javier Cuellar Villarreal, Alberto Córdoba García, Genaro Dávila Ramos, Josefina
González Muñoz; Rosa María Hernández González, José Luís Quero Durán, Beatriz Barrón González, Noé Isaac
García Hernández, Francisco Ruíz López, Roberto Wilson Alamilla, Jaime Edwald Montaño, José Luis Meneses
Hernández; Antelmo Ventura Pérez, Rubén Medina Vilchis, Juan Manuel Nuché, Alberto Gutiérrez Alcalá, Marco
Antonio Ledesma González, y Bernardo González Nava.
Compañeros de estudios: Mario Madrigal Lépiz, Bulmaro Fuentes Lemus, Jorge Maldonado Brizuela, Jaime
Rebollo Rico, Cecilia Guzmán Hernández, Francisco Orizaga Espinosa, Miguel Espericueta Corro, Carlos Díaz
Ramos, Juan Manuel Vargas Dimas, Fernando Aguilar Barragán y Delia Amador Gil.
Exalumnos: Martha Madero Estrada, Felicitas Cisneros Romero, Ma. Reyna Rivera Rivera, Fernando Treviño
Montemayor, Enedina Sierra Ramos, Ema Aguilar Ibarra, Lizet Mancinas Pérez, Lucia Rosalía Paredes Hernández,
Edgar Alonso Carrillo Quintero, Miriam Alcázar Ascacio, y Miriam Ávila García.
v
Así también a: Ricardo Llanos y Cecilia Guzmán ; David Obregón y Yolanda Pérez, Jesús Ramos y Araceli Pérez,
Camerina Valdés y Rubén Saldaña; Andrés Valdés y Ma. de Jesús Guitrón; Jorge Pérez y Teresa Guevara;
Gildardo Medina y Anita Pérez; Víctor Burciaga y Angélica Baena; Bernardo González Macías y Margarita Nava;
Fernando García Rangel; Donaciano Quintero Salazar; Ivonne Muñoz, Ociel Ramírez, Sandra Herrera y Francisco
Villaseñor; Leandro Ocampo López; Antonio Duarte Morales; Lupita Cárdenas Oyervides; Carolina Baez Olivo;
Irene Valdés; Mario Manríquez Campos, Isabel Solís Serrano, Martha Hernández, Faviola Lara Cervantes, Luís
Muñoz Romero, David Jaime González, Roberto Jaime González, Oscar Romero Rivera, Javier Valdés, Víctor
García Martínez y José Guadalupe Torres.
PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN:
El perfeccionamiento, no es otra cosa mas que el proceso de revisar y detectar actualizaciones, vacíos y
errores; por lo que resulta natural, que lejos de la decepción surja el reto de hacer mejor lo que ya hemos
hecho; después de todo, es válida la siguiente redundancia: “hacer constantemente lo mismo se compensa con
perfeccionar lo que siempre hemos hecho”; desde luego sin haber olvidado la sentencia “Trabajos perfectos a
tiempos infinitos tienen valor cero”; Es así como en la presente edición se han realizado las siguientes mejoras.
En lo general:
- Revisión de las teorías del aprendizaje.- Completes de los supuestos pedagógicos.- Adaptación del trabajo realizado orientado a competencias.- Amplitud sobre el contenido del libro.- Revisión general de las unidades.
Unidad 1:
- Las unidades 1 y 2 (Diferenciales y La integral indefinida) se unieron para formar esta unidad.- Los fundamentos cognitivos por temas de la unidad 1, se trasladaron a los anexos.
Unidad 4:
- Antes era la unidad 6.
Unidad 2:
- Antes era la unidad 3.
Unidad 5:
- Se suma un nuevo contenido “Series”
Unidad 3:
- Antes era la unidad 4 y se sumó la unidad 5.
Anexos:
- Se suma el anexo “Fundamentos cognitivos del cálculo integral”.- Dentro de los fundamentos cognitivos se desarrolló el tema: “Funciones y sus gráficas”.- Perfeccionamiento y desarrollo de la instrumentación didáctica orientada a competencias.
vi
PREFACIO:
Recomendaciones a los maestros:
Este libro ha sido escrito en paralelo a desarrollos pedagógicos expresos para tal fin, de igual forma se han
delineado teorías y técnicas aún en proceso de desarrollo, sin embargo el máximo valor esperado, es el que tú
como maestro le puedas adherir, mediante la apropiación y praxis de tales instrumentos así como el de su
enriquecimiento.
Teorías del aprendizaje:
Se ha supuesto que la generación del aprendizaje tiene un comportamiento
helicoidal ascendente en forma de cono irregular invertido “Teoría tornado”.
También se afirma que su desarrollo es cíclico ascendente, porque a medida que
avanza se aprende lo mismo pero a otro nivel y se adhieren nuevos conocimientos,
por lo que es de suponer que las “Corrientes pedagógicas constructivistas” que
describen la construcción del aprendizaje fundamentado en otros aprendizajes, se
hacen presentes en cada momento; sin embargo también se han supuesto “Teorías
biogenéticas” que insinúan que el conocimiento existe en cada ser humano y su
aprendizaje es accesible.
De la misma manera y en forma constante, se deberá tener presente la “Teoría de los aprendizajes
equiparables” que afirma: Todos los aprendizajes tienen el mismo grado de dificultad y son directamente
proporcionales al grado cuantitativo y cualitativo de la información que se tenga del conocimiento. Así podemos
afirmar que se aplica el mismo esfuerzo en apropiarse del conocimiento de cualquier ciencia, llámense estas
sociales ó exactas; la clave de nuestra visión, es que en las ciencias exactas existe mucho conocimiento en poca
información, por lo que en el campo del cálculo integral es necesario girar constantemente sobre la información
disponible.
Otra teoría que se ha tomado en consideración y de aplicación práctica es la “Teoría del bao cognitivo” que
infiere la existencia de un flujo constante y mutuo de energía cognitiva entre alumnos y docentes; de aquí la
afirmación sobre la “Eternidad del Maestro”; y hace extensiva la generalidad de esta teoría infiriendo la
existencia de flujos cognitivos universales, que se manifiestan en saberes similares adquiridos por las
sociedades y las naciones en forma independiente.
Por supuesto que en su mayoría las diferentes teorías se encuentran en etapa de desarrollo, sin embargo y
me consta que sus inferencias son aplicadas con resultados pedagógicos asombrosos. No entraremos en
polémicas sobre estas teorías ya que no es el propósito, sin embargo una simbiosis de tales teorías sería
deseable en la praxis educativa.
Nivel de aprendizaje
Conocimiento
vii
Técnica de los aprendizajes por justificandos:
Esta técnica se ha desarrollado con el propósito de ser mas efectivos en el proceso enseñanza-aprendizaje;
su aplicación en las matemáticas y en la física ha sido exitosa, sin embargo es extensible al campo de otras
ciencias, por lo que aquí se presenta la dinámica de su proceso.
Información de entrada: Es el problema que se plantea y es sujeto a ser resuelto.
Justificación del proceso: Son todos los elementos necesarios para justificar un resultado.
Información de salida: Es el resultado fundamentado en la justificación de un proceso.
El proceso se caracteriza por ser cíclico, progresivo, repetitivo y cada vez que esto sucede avanza, ya que la
información de salida automáticamente se convierte en información de entrada hasta obtener el resultado final.
Ejemplo: Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn y la propiedad de la constante,
integrar la siguiente función:
cx
cx
nn
k
cn
xkdxxk
dxx
xu
k
dxukdxku
dxx
nn
5
2
52
51;4
21
)(
)(22)2(5)5(
1
4
4
4
Técnica de los aprendizajes por agrupamiento:
El propósito de esta técnica es que el alumno aprenda a un determinado nivel de conocimientos, el cual
incluye un eficiente dominio de las operaciones, entendiéndose estas rápidas y directas, además de mantener
sensible el resultado esperado; las etapas que deberán cubrirse las podríamos delinear de la siguiente forma:
1) Presentación del problema.
2) Identificación de las fórmulas.
3) Aplicación directa de las fórmulas utilizando paréntesis.
4) Eliminación de paréntesis y simplificación.
Información de entrada
Justificación del proceso
Información de salida
Entrada Proceso Salida
Resultado intermedio
Justificación Justificación
Resultado intermedio
Resultado final
Problema
viii
Ejemplo: Aplicando la propiedad de la constante y la fórmula de diferenciación de la función seno; obtener:
xsend 23
dxxdxxdxduxuxsenxfk
duusenudxfdkxfkdxsend
PasoPasoPasoPaso
2cos622cos32;2;2)(;3
cos;)())((23
)4)3)2)1
Instrumentación didáctica:
Para este curso se ha elaborado en particular la instrumentación didáctica orientada a competencias,
adjuntada en uno de sus anexos, y toda su estructura tienen como base los trabajos realizados sobre
“Metodología para la instrumentación didáctica orientada a competencias”, misma que previamente se
desarrolló en exclusivo para tal fin: Lo importante de esta instrumentación didáctica, es que nos resuelve las
siguientes preguntas: ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿con qué?, ¿para qué? y cuantas clases hay que desarrollar para
obtener un curso de calidad, en el entendido de que toda calidad educativa deja mucho que desear si la misma
no permea la labor docente y en última instancia el aprendizaje de los alumnos.
Supuestos pedagógicos:
Para un curso eficaz se han supuesto las siguientes condiciones pedagógicas:
- Apegarse en la instrumentación didáctica, en lo general, y cada maestro en función de su experiencia y de su
estilo personal, irá haciendo los cambios y adaptaciones correspondientes, sobre todo en el campo de los
métodos, las técnicas y las dinámicas educativas.
- Exposiciones globalizadas a través de proyector de transparencias ó cañón electrónico; máxime, cuando los
aprendizajes sean de información extensa y/ó sistematizada.
- Crear confianza en los alumnos para que pregunten; la regla es ¡ No hay preguntas tontas !
- Paralelamente al curso se requieren acciones que permitan la educación en valores para que la misma sea
integral, por lo que deben irse aprovechando los eventos institucionales o bien creando las actividades e
incentivos correspondientes; De la misma forma y con propósitos educativos, continuamente se deberá
observar la disciplina del grupo así como las actitudes de cada uno de sus integrantes.
- Tener conocimiento y control de los alumnos e identificación del grupo, para lo cual en los anexos se ha
incluido un registro escolar y el formato de lista.
- Inhibir la copia a través de una concientización y en casos extremos aplicar las sanciones previamente
establecidas e informadas al alumnado. En los anexos se encuentra un formato de examen, con el propósito
de ser utilizado en la presentación de exámenes cuando así se requiera.
ix
- No abusar de la aplicación de exámenes repetidos, para lo cual se sugiere elaborar una amplia batería de
evaluaciones, ya que el alumno tiende a informarse de exámenes aplicados con anterioridad y confiarse en su
posible aplicación, siendo ésta una de las causas de deficiencias en sus estudios.
Recomendaciones a los alumnos:
Existe una técnica para obtener buenos resultados en un curso, y lo mejor de esta técnica es que tú ya la
conoces. Se trata de la técnica “ege” que significa ¡ échale ganas ! esa es la clave.
Las matemáticas son una disciplina y por lo mismo requiere de alumnos disciplinados en sus estudios, por lo
que se requerirá de ti los siguientes condicionamientos mínimos:
- Un espacio de estudio, en tu casa preferentemente.
- Un horario de estudio, de al menos una hora de lunes a viernes y sólo para esta materia.
- Reorganización de los conocimientos, el domingo en la noche ó lunes en la mañana.
La técnica de estudio que deberás de aplicar es:
- Lectura de la teoría.
- Visualización de la estrategia empleada en la solución de problemas de tu libro.
- Resolución de los problemas ya resueltos en el libro. Toma en cuenta que es válido echar un ojito cuando te
bloques, no sin antes preguntarte ¿Qué sigue?, ¿Qué hago?, ¿ Qué se me ocurre?, etc., etc., etc..
- Solución a los ejercicios del libro.
- Si te es posible, intenta trabajar en equipo integrado por no más de cinco de tus compañeros.
- Recuerda: Tienes derecho a que se te desarrollen completamente los programas de estudio y a ser evaluado en
tiempo, forma, contenido y nivel de lo que se te enseña.
En este libro se ha considerado que aún si tus bases de conocimiento son deficientes, es posible tener un
excelente curso, ya que se previeron en las cadenas de aprendizajes los fundamentos indispensables para ir
avanzando, sin embargo es de tu entera responsabilidad ser sistemático en tus estudios y si lo consideras
necesario debes de consultar otras fuentes de información para el dominio correspondiente.
Se han desarrollado una serie de recursos pedagógicos para que tu aprendizaje sea más eficiente; así
tenemos: Teorías del aprendizaje, Técnica de los aprendizajes por justificandos, Técnica de los aprendizajes por
agrupamiento, Instrumentación didáctica, etc.. de los cuales no tienes que preocuparte por aprender, el maestro
te los irá mostrando en todo el curso, y a ti te corresponde en paralelo instruirte en su uso ya que de seguro te
servirá en toda tu carrera.
x
Sobre el libro:
Escribir un libro de matemáticas en el área de cálculo integral, tiene poco sentido, ya que existen en el
mercado varias decenas escritos por autores extranjeros y la moda actual es que autores mexicanos por fin
están elaborando libros y alguno de ellos de excelentes calidad en sus contenidos, pero pocos de ellos en sus
métodos de presentación del conocimiento, y aun mas escasos en la didáctica recomendada para el maestro y
metodologías de aprendizaje para el alumno. Y es aquí en donde se encuentra un desierto y la aportación de un
esfuerzo que intenta mitigar el vacío y donde el crédito si es que lo existe debe reconocerse. También debe
citarse que el éxtasis de la presente obra se encuentra en la idea de crear un libro para cada Programa de
estudio y en específico para una Institución ó bien para todo un sistema como lo es el Sistema Nacional de
Educación Superior Tecnológica.
El nivel de comprensión es para alumnos de inteligencia normal y aquellos que tienen leves problemas de
aprendizajes, y de ninguna manera se ha escrito para alumnos de alto rendimiento a menos que su interés se
concentre en la realización de ejercicios básicos de desarrollo de la creatividad, ya que los mismos descubrirán
que el texto intencionalmente esta muy lejos de provocar el conflicto cognitivo necesario para su evolución.
La estrategia de enseñanza y aprendizaje va dirigida a estudiantes que han iniciado una carrera profesional
sin incluir la de licenciatura en matemáticas, ya que esta orientada a la aplicación estructural de las matemáticas
y algunas demostraciones son solamente intuitivas, y para nada se realiza un análisis matemático riguroso;
Debemos de recordar que los métodos son para iniciar un aprendizaje que difícilmente lo podemos asimilar,
pero una vez que se han tenido los fundamentos del conocimiento, los métodos deben desecharse porque de
no ser así los mismos métodos nos limitan. Aquí opera el principio fundamental que versa sobre la existencia
de cada método para cada nivel de desarrollo cognitivo e intelectual.
La utilidad para los maestros se hace patente, cuando el docente domina los métodos que se muestran, y se
adquieren fundamentos de métodos y técnicas educativas así como de un leve repertorio de dinámicas
grupales, pero se debe entender que sin una actitud responsable como profesor todo deja de tener sentido.
Como complemento de utilidad para los docentes se anexa al final del libro la instrumentación didáctica
orientada a competencias del curso, y para el mismo objetivo se ha desarrollado y aplicado con gran éxito las
técnicas de aprendizajes por justificandos y por agrupamiento, como estrategia fundamental de desarrollo para
los educandos, que de seguro le serán de utilidad en casi todas sus materias.
La ciencia avanza enormemente día con día, y es menester señalar que el aprendizaje con una estrategia
metódica resulta más eficiente. Además los medios son eso, sólo medios únicamente, como paráfrasis
podríamos afirmar que para nada importan los procesos internos que una computadora realice, ese es problema
de los profesionales en electrónica; lo que si importa, son los resultados que se obtienen; Ahora bien y en
nuestro caso son los aprendizajes que el alumno adquiere. En este sentido es oportuno señalar que
intencionalmente se ha sacrificado la rigidez matemática por un intento de ser más claro en la comprensión del
conocimiento.
xi
Durante el proceso de su elaboración se tuvieron presentes las siguientes premisas fundamentales:
1) La ciencia y la tecnología tienen un avance potencialmente creciente, sin embargo el desarrollo de la
naturaleza del ser humano tarda cientos y quizá miles de años para asimilar un pequeño progreso.
2) Los programas de estudio incorporan cada vez mas nuevos conocimientos, al grado que la cantidad que se
estudia actualmente representa al menos el doble que en una década anterior, sin embargo el tiempo de 10
semestres en promedio que tarda un estudiante en realizar su carrera profesional no se ha incrementado por lo
que la administración educativa tendrá que crear simbiosis de las siguientes alternativas:
- Incrementar el tiempo de realización de una carrera profesional, lo que hace más costosa a la educación y sus
resultados no garantizan ser favorables.
- Quitar conocimientos de los programas de estudios, que seria un error al romperse las cadenas cognitivas.
- Tender a una especialización de las carreras profesionales, seleccionando aquellas áreas cognitivas específicas
de mayor interés, siendo esta una opción a medias.
- Eficientar la labor pedagógica, a través de la teoría fundamentada en las cuatro potencialidades del docente:
. Conocimiento: Dominio del conocimiento requerido por los programas de estudio.
. Didáctica: Capacitación en métodos, técnicas, dinámicas grupales y estrategias de enseñanza que incidan en
la instrumentación didáctica orientada a competencias.
. Ética docente: Crear los lineamientos individuales, departamentales, institucionales y del sistema en que
deba de ubicarse la labor docente.
. Filosofía de vida: Proporcionar la cultura de aplicación práctica y operativa para que los docentes en función
de sus intereses tengan alternativas de su existencia promoviendo un humanismo propio del Modelo
Educativo orientado a competencias.
- Un indicador importante son los altos índices de reprobación en los primeros semestres, y un factor
de aminoramiento lo es aplicando exámenes de admisión más selectivos, prestando atención en:
. Fundamentos en el conocimiento necesario.
. Vocación probada en el campo de la profesión elegida.
. Actitudes para aminorar la siguiente sentencia: Cuando el alumno no desea estudiar el pedagogo más
hábil fracasa.
3) Necesitamos entender y actuar en consecuencia que existen enormes vacíos no escritos en las matemáticas y
que por lo general los docentes lo damos por entendidos y dominados por los educandos, sin embargo esto es
falso al menos en la generalidad de los estudiantes de inteligencia normal, por lo que se deben de minimizar los
efectos de estos vacíos a través de la elaboración de rutas pedagógicas que le permitan la madurez cognitiva.
4) También es necesario reubicar el nivel en que se imparte la educación pública superior asignando el supuesto
de que este tipo de educación es para alumnos de inteligencia normal y por lo tanto se requiere de una
pedagogía para alumnos de este nivel.
xii
5) Para finalizar tenemos que darnos cuenta que aún no ha sido posible inventar un MODEM que permita al ser
humano accesar a los archivos akásicos de las ciencias, y esto es una fantasía al menos en un futuro cercano.
Al leer este libro se verá que existen errores incluyendo hasta los de dedo, sin embargo he creído que sería un
error aun más grande el no tener el valor de haberlo editado y sin importar que el mismo acuse de ignorancia.
En la práctica docente he observado que en el cajón del escritorio de cada maestro existe un libro que espera
ser publicado, tengo la esperanza en la satisfacción de leer uno de los libros escritos por mis compañeros, que
de seguro tendrá el éxito esperado.
En la presente como en todas las obras, el conocimiento tiene sus límites, sólo basta observar, lo escaso de
las aplicaciones prácticas ó bien la aplicación de programas específicos de cómputo, pero insisto, lo primero
siempre será lo primero y lo demás serán el resultado de la completes, enriquecimiento y perfeccionamiento de
la presente obra en futuras ediciones.
Motivos:
Se que existen tanto vacío en el universo como vacío escrito hay en las matemáticas, y éste libro se ha
elaborado pensando como maestro de la materia y no como matemático, puesto que si pensara como tal, jamás
lo hubiese escrito, y la razón principal es la infinidad de alumnos que desean hacer una carrera profesional y se
encuentran con la muralla de los números y la escasa tutoría en su aprendizaje.
Podría señalar una larga lista de motivos y cualquiera de ellos sería suficiente para la emisión del presente
trabajo; sin embargo aseguro, que cuando las sociedades se den cuenta que la educación ya no es solo
problema de bienestar social o económico, sino de existencia humana en toda la extensión de la palabra,
llámese a esta existencia individual, familiar, social, económica, institucional, de un sistema, de un País, de un
continente ó mundial, será entonces cuando habrá un viraje real y no simulado en el rumbo de las políticas
públicas en materia educativa; y entenderemos que hacer la calidad con discursos no tiene sentido.
Me es imposible no mencionar los estudios realizados por Antuna, Valdés e Hinojosa (2004) “Índices de
reprobación, un estudio exploratorio en el departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de
Saltillo” donde se bosqueja la enorme problemática educativa sintetizada en tres resultados: La eficiencia
Terminal total no rebasa el 40%; De ocho carreras, sólo 2 tienen eficiencia Terminal aceptable; existe una
carrera acreditada y certificada por su calidad? donde sólo 1 de cada 10 estudiantes egresa y 9 desertan ¡¡¡¡¡; y
la causa principal de deserción es el alto índice de reprobación en cálculo integral. Sin embargo otros
indicadores infieren que la institución investigada es una de las mejores instituciones del Sistema Educativo
Nacional, quedando interesante la respuesta a la pregunta; ¿Cómo estarán las demás?
Saltillo, Coah., verano del año 2010.
José Santos Valdez Pérez.
xiii
CONTENIDO:
UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. 1
1.1 Diferenciales. 21.2 Diferenciación de funciones elementales. 41.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. 91.4 Diferenciación de funciones que contienen “u”. 111.5 La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. 161.6 Integración de funciones algebraicas que contienen “xn”. 211.7 Integración de funciones que contiene “u”. 23- Evaluación tipo. 29- Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, u, y v. 30- Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u. 31
UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 32
2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen
las formas: 22 au . 33
2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 362.3 Técnica de integración por partes. 382.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. 412.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 442.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 472.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. 502.8 Técnica de integración de fracciones parciales. 542.9 Técnica de integración por series de potencia. 582.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. 59- Evaluaciones tipo. 61- Formulario de técnicas de integración indefinida. 62
UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. 63
3.1 La integral definida. 643.2 Teoremas de cálculo integral. 673.3 Integración definida de funciones elementales. 683.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 763.5 Integración definida de funciones que contienen “u”. 783.6 Integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . 84
3.7 Integrales impropias. 86- Evaluaciones tipo. 93- Formulario de integración definida de funciones elementales. 94- Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u. 96
- Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . 97
- Formulario de integrales impropias. 98
UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. 99
4.1 Cálculo de longitud de curvas. 1004.2 Cálculo de áreas. 1034.3 Cálculo de volúmenes. 1084.4 Cálculo de momentos y centros de masa. 1114.5 Cálculo del trabajo. 117- Evaluaciones tipo. 121- Formulario de aplicaciones de la integral. 122
xiv
UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES. 123
5.1 Definición, clasificación y tipos de series. 124
5.2 Generación del enésimo término de una serie. 1295.3 Convergencia de series. 1345.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 1375.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. 1405.6 Integración definida de funciones por series de potencia. 1415.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. 144- Evaluaciones tipo. 151- Formulario de series. 152
ANEXOS: 153
A. Fundamentos cognitivos del cálculo integral: 153A1. Funciones y sus gráficas. 154A2. Propiedades de los exponentes. 168A3. Propiedades de los logaritmos. 168A4. Funciones trigonométricas. 168A5. Identidades de funciones trigonométricas. 169A6. Funciones hiperbólicas. 170A7. Identidades de funciones hiperbólicas. 170A8. Funciones hiperbólicas inversas. 170
B Instrumentación didáctica: 171B1. Identificación: 171B2. Caracterización de la asignatura: 171B3. Competencias a desarrollar: 171B4. Análisis del tiempo para el avance programático. 171B5. Avance programático. 172B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje. 174
Unidad 1. 174Unidad 2. 176Unidad 3. 178Unidad 4. 180Unidad 5. 181
B7. Apoyos didácticos: 182B8. Fuentes de información. 183B9. Calendarización de evaluación. 183B10. Corresponsabilidades. 183
C Simbología: 184C1. Simbología de caracteres. 184C2. Simbología de letras. 185C3. Simbología de funciones. 186
D. Registro escolar. 187E. Formato de examen. 188F. Lista de alumnos. 188
Bibliografía. 183
Indice. 189
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1
El proceso de aprendizaje, es como en las empresas; estas, difícilmente alcanzan sus objetivos cuando la motivación de quienes laboran se encuentra debilitada.
Así sucede con los alumnos, estos requieren de una disciplina y una moral muy elevada para poder accesar al éxtasis del conocimiento.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
Clases:
1.1 Diferenciales.1.2 Diferenciación de funciones elementales.1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.1.4 Diferenciación de funciones que contienen u.1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales.1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn.1.7 Integración de funciones que contiene u.
- Evaluación tipo.- Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, y u. - Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2
Clase: 1.1 Diferenciales. Guía:
- Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales. - Ejemplos.- Propiedades de las diferenciales. - Ejercicios.- Clasificación de funciones.- Introducción a las diferenciales por fórmulas.
Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales:
Sean:
- 2R un plano rectangular.
- f la gráfica de una función )(xfy derivable.
- .)(),()(, fpuntosdosxxfxxQyxfxP - S una recta secante de .QyPf - T una recta tangente de .Pf - TS mym las pendientes de S y de T respectivamente.
- W el punto común de T y la ordenada xx
- dy la distancia entre los puntos W y ))(),(( xfxx .
xxxx )( es el incremento de "."x )()( xfxxfy es el incremento de "." y
Si TS mmyThaciagiraSPQx ;;0 entonces:
)()(
)()(00 xfyfunciónla
dederivadallamadayxf
dx
dy
notaciones
otras
x
xfxxf
x
ym lím
xlím
xT
Como: dxxfdydx
dy
dxx
xSíxf
x
dymT )(
0)(
llamada diferencial de "" y .
Propiedad de las diferenciales:
Propiedad de la constante:
Esta propiedad establece que: Para todo k que sea una constante y )(xf una función, se cumple lo siguiente:
)()( xfdkxfkd Esto nos sugiere y según nos convenga, ubicar la constante dentro ó fuera de la diferencial.
Propiedad de la suma y/o diferencia de funciones:
Esta propiedad nos indica que: Para )()( xgyxf que sean funciones, se cumple lo siguiente:
)()()()( xgdxfdxgxfd Entendiendo lo anterior como: “la diferencial de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus diferenciales”.
W
Q
y
dyP
x
)(xf
xx
)( xxf
S
T
f
x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
3
Clasificación de funciones:
Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica en el proceso de aprendizaje. Con el propósito de cubrir las posibles deficiencias cognitivas antecedentes de este curso, es recomendable consultar el “Anexo: A1. Funciones y sus gráficas”, desarrollado al final del libro.
La primera clasificación presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden.
1) Funciones algebraicas.2) Funciones exponenciales.3) Funciones logarítmicas.4) Funciones trigonométricas.5) Funciones trigonométricas inversas.6) Funciones hiperbólicas.7) Funciones hiperbólicas inversas.
La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera:
1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas.
Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.
Ejemplos: ..;;1
;4 etcxsenyx
yy
Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la
forma: 0, aykbabaxy
Ejemplos: ..);1(cos);12(ln;23 etcxyxyxy
Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura un
polinomio de la forma:
Znykzbazbxaxxpy nn ,,)( 1
Ejemplo: 23 23 xxy
Introducción a las diferenciales por fórmulas:
Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que se multiplican ambos lados por ""dx (se dice “de equis ó diferencial de equis”).
Como punto de partida tenemos que aceptar por principio didáctico y por norma de jerarquía, que el objetivo principal del estudiante de cualquiera de las licenciaturas es el aprendizaje del proceso de obtención de las diferenciales, y no necesariamente el análisis matemático en el proceso de demostración de fórmulas,propiedades y reglas, muy propio de los aspirantes a profesionales del área de las matemáticas específicamente, sin que con esto se afirme que deba existir un total desconocimiento por parte de los aspirantes a profesionales de áreas ajenas.
De lo anterior y en lo sucesivo, iniciaremos cada aprendizaje con la aplicación directa de las propiedades y fórmulas, y sólo en algunos casos haremos su demostración intuitiva.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
4
Clase: 1.2 Diferenciación de funciones elementales. Guía:- Diferenciación de funciones elementales: . Trigonométricas inversas. . Algebraicas. . Hiperbólicas. . Exponenciales. . Hiperbólicas inversas. . Logarítmicas. - Ejemplos. . Trigonométricas. - Ejercicios.
Diferenciación de funciones elementales algebraicas.
Funciones elementales algebraicas:
Es de observarse que existe una infinidad de funciones elementales algebraicas, sin embargo y según sea el caso, sólo mencionaremos las que sean de nuestro interés; y es así como ahora consideramos las siguientes:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
0)()1 kd ky Constante
dxxd )2 xy Identidad
dxx
xxd )3 xy
Valor absoluto
dxx
xd2
1)4 xy Raíz
dxxx
d2
11)5
xy
1 Inversa de “x”
Ejemplos:
02)1 d
0)2 panchod observe que todo lo que no sea “x” es constante.
dxxdxd 222)3 es de observarse que estamos aplicando la propiedad de la constante.
dxsitoxdsitosixtod )4 aquí hemos aprendido que todo lo que no sea “x” es constante.
dxx
xdx
x
xxdxdxd
55555)6
dxx
dxx
xdx
d6
1.
2
1
3
1
3
1
3)7
dxx
dxx
dxx
dxx
xdxd2
1
2
1
2
2.
2
1222)8
dxx
dxx
xdx
xd
x
xd
1
2
1222
2)9
dxx
dxxx
dx
d22 3
2.
1
3
21
3
2
3
2)10
544151454545)5 dxddxdxd
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
5
Diferenciación de funciones elementales exponenciales:
Funciones elementales exponenciales:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxeed xx )1 ....71828.2e xey Exponencial de base e
dxaaad xx ln)2 10 a 10 aay x
Exponencial de base a
Ejemplos:
dxe
dxeede
dx
xxx
22
1
2
1
2)1
dxdxddd xxxx 2ln202ln23232)2
Diferenciación de funciones elementales logarítmicas:
Funciones elementales logarítmicas:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
01
ln)1 xdxx
xd
xy ln Logaritmo de base e(logaritmo natural)
dxax
xd a ln
1log)2 xy alog Logaritmo de base a
Ejemplos:
dxx
dxx
xdx
d5
21
5
2ln
5
2
5
ln2)1
dxx
dxxdx
dxd
10ln
4log4log4)2 1010
Diferenciación de funciones elementales trigonométricas:
Funciones elementales trigonométricas:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxxxsend cos)1 xseny Seno
dxxsenxd cos)2 xy cos Coseno
dxxxd 2sectan)3 xy tan Tangente
dxxxd 2csccot)4 xy cot Cotangente
dxxxxd tansecsec)5 xy sec Secante
dxxxxd csccotcsc)6 xy csc Cosecante
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
6
Ejemplos:
dxsenxdxsenxx
d2
1)(
2
1
2
cos)1
dxx
dxxxdx
d3
sec2sec
3
2tan
3
2
3
tan2)2
22
dxxxxdx
dx
d tansec2sec2cos
12
cos
2)3
Diferenciación de funciones elementales trigonométricas inversas:
Funciones elementales trigonométricas inversas:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxx
xsenarcd21
1)1
xsenarcy Seno inverso
dxx
xarcd21
1cos)2
xarcy cos Coseno inverso
dxx
xarcd21
1tan)3
xarcy tan Tangente inversa
dxx
xarcd21
1cot)4
xarcy cot Cotangente inversa
dxxx
xarcd1
1sec)5
2 xarcy sec Secante inversa
dxxx
xarcd1
1csc)6
2 xarcy csc Cosecante inversa
Ejemplos:
dxx
dxx
arcsenxdarcsenxd22 1
3
1
1333)1
dxx
dxx
xarcdxarc
d22 13
2
1
1
3
2cot
3
2
3
cot2)2
dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
xarcdxarc
d22
1
12
1
12
1
1
1
2
1sec
2
1
2
sec)3
2222
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
7
Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas:
Funciones elementales hiperbólicas:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxxxsenhd cosh)1 xsenhy Seno hiperbólico
dxxsenhxd cosh)2 xy cosh Coseno hiperbólico
dxxhxd 2sectanh)3 xy tanh Tangente hiperbólica
dxxhxd 2csccoth)4 xy coth Cotangente hiperbólica
dxxhxxhd sectanhsec)5 xhy sec Secante hiperbólica
dxxhxxhd csccothcsc)6 xhy csc Cosecante hiperbólica
Ejemplo:
52152)(5cosh25cosh2)1 dxxsenhdxxsenhxdxdxxd
dxxhdxxhxdx
d 22 sec4
3sec
4
3tanh
4
3
4
tanh3)2
Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas inversas:
Funciones hiperbólicas inversas:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxx
xarcsenhd1
1)1
2
xsenharcy Seno hiperbólico inverso
11
1arccos)2
2
xdx
xxhd
xarcy cosh Coseno hiperbólico inverso
11
1arctan)3 2
xdx
xxhd
xarcy tanh Tangente hiperbólico inverso
11
1coth)4 2
xdx
xxarcd
xarcy coth Cotangente hiperbólico inverso
101
1sec)5
2
xdx
xxxharcd
xharcy sec Secante hiperbólico inverso
01
1csc)6
2
xdx
xxxharcd
xharcy csc Cosecante hiperbólico inverso
Ejemplos:
dxx
dxx
xarcd22 1
2
1
12tanh2)1
dxxx
dxxx
xharcdxharc
d22 13
2
1
1
3
2csc
3
2
3
csc2)2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
8
Ejercicios:
Tipo I. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales algebraicas.
?)2()1 xd ?2
)4
x
d ?5)7 xd ?3
)10
xd
?4
)2
xd ?)2()5 xd ?
2)8
x
xd ?
3
2)11
xd
?3
2)3
x
d ?4
2)6
xd
x
xd
3
2)9 ?
23)12 2
xxd
Tipo II. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales exponenciales.
?3
)1
xed
?
4
55)2
x
d ?432)3 xed
Tipo III. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales logarítmicas.
?9
ln2)1
x
d ?log5)2 10 xd ?5
ln)3
x
d
Tipo IV. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas.
?cos3)1 xd ?4
cot3)2
x
d ?csc32
)3
xd
Tipo V. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas inversas.
?3 xsenarcd ?8
tan3
xarc
d ?csc32
xarcd
Tipo VI. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas.
?cosh2)1 xd ?4
tanh5)2
x
d ?csc2
3)3
xhd
Tipo VII. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas inversas.
?3
2)1
xarcsenh
d ?10
arccos)2
xh
d ?sec5)5 xharcd
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
9
Clase: 1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.- Ejemplos. - Ejercicios.
Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dxnxxd nn 1)1 nxy Potencia de x
Ejemplos:
dxxdxx
n
n
dxnxxd
xd
nn
22
1
3 33
21
3)()1
dxxdxxxd
xu
k
udkkud
xd 334
4
4 8)4(222
)(
2)2
dxx
dxxxdxdxxdx
xd
x
xd
3 4
3
4
3
1
3
41
3
41
3 43 4 3
7
3
177777
7)3
dxdxdxd
v
xu
vdudvud
xd
0)1()(
1
)()(
1)4
dxxdxxdxxdxd
xv
xu
vdudvud
xxd )16(6)(33
)()(
3)5 222
dxxx
dxxdxxxdxdx
xd
xd
x
xd
532332
2222
943)2(232
3232)6 2
523
dxdxxddx
ddx
dx
d2
31
2
30
2
1
2
31
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
31)7
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
10
dxxx
dxxx
dxxxxxdxx
xd
x
xd
x
xd
33
2
3
2
1
2
1
2
1
26
1
26
1
2
1
2
1
23
1
2
1
2
1
23
1
23
11
23
11
23
1
23
1)8
dxx
dxxdxxxdx
x
xd
x
xd
3
2
3
2
3
2
1 1
2
1212
22)9
dxx
b
x
adx
x
bdx
x
adxxbdxxa
xbdxdax
xbd
xad
x
bxd
x
ad
x
bx
x
ad
x
bxad
22222
1
2
1
1)10
33
2
1
2
3
2
1
2
1
Ejercicios:
Tipo I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
1) ?2 xd 7) ?)2( xd 13) ?3
25
x
d
2) ?8 7 3 xd 8) ?)3( 2 xxd 14) ?3 2
x
xxd
3) ?3
23
x
d9) ?12 xxd
15) ?32
x
xd
4) ?2
x
xd 10) ?)12( 2 xd 16) ?)1( 2 zzd
5) ?5
35
3
x
xd
11) ?11 xxd 17) ?2
1
t
td
6) ?7
3 4
x
xd 12) ?4 xd 18) ?
2
132 2
x
xxd
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
11
Clase: 1.4 Diferenciación de funciones que contienen u. Guía:
- Diferenciación de funciones que contienen u. - Ejemplos.- Ejercicios.
Diferenciación de funciones que contienen u:
Sí u es cualquier función y n es un número real se cumple los siguientes diferenciales:
Diferenciación de funciones algebraicas que contienen u.
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
dunuud nn 1)1 nuy Potencia de u
duu
xd2
1)2 uy Raíz de u
duuu
d 2
11)3
uy
1 Inversa de u
Ejemplos:
dxx
dxxdxx
dxxdduxu
nn
dunuud
ucontieneque
fórmulalaPor
dxx
n
n
nxxd
xcontieneque
fórmulalaPor
xdnn
nn
n
4
4)4(
1
4
1
5 5
5)())(5(
)(;
41;5
)(
""
5
41
5
)(
""
)()1
dxxdxxdxduxu
nnduunudxd
nn33
1
231232343;23
31;4;23)2
dxx
dxx
dxduxu
duu
udxd
21
12
212
1
2;212
1
21)3
dxx
xdxx
xdxxduxu
duu
udxd
21
412
542
1
3
2
12;54
2
1
3
542)4
22
323
3
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
12
Diferenciación de funciones exponenciales que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
1) )()( udeed uu uey Exponencial de base e
2) )(ln)( udaaad uu uay Exponencial de base a
3) )()(ln)( 1 udvuvduuud vvv vuy Potencia de potencia
Ejemplo:
dxedxeedxxx
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2)1
Diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
1) )(1
)(ln udu
ud uy alog Logaritmo de base e(logaritmo natural)
2) )(log
)(log udu
eud a
a uy ln Logaritmo de base a
Ejemplo:
dxx
dxx
xdxd21
102
21
15)21(ln521ln5)1
Diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
duuusend cos)()1 useny Seno
duusenud )(cos)2 uy cos Coseno
duuud 2sec)(tan)3 uy tan Tangente
duuud 2csc)(cot)4 uy cot Cotangente
duuuud tansec)(sec)5 uy sec Secante
duuuud csccot)(csc)6 uy csc Cosecante
Ejemplos:
dxxsendxxsen
dxdu
xu
duusenud
xd 22)2()2(
2
2
)(cos
)2(cos)1
dxxdxxxd )31(sec6)3)(31(sec2))31(tan2()2 22
dxxx
dxxxx
d2
csc2
cot2
1
2
1
2csc
2cot
2csc)3
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
13
Diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
duu
usenarcd21
1)()1
usenarcy Arco seno
duu
uarcd21
1)cos()2
uarcy cos Arco coseno
duu
uarcd21
1)tan()3
uarcy tan Arco tangente
duu
uarcd21
1)cot()4
uarcy cot Arco cotangente
)(1
1)sec()5
2ud
uuuarcd
uarcy sec Arco secante
duuu
uarcd1
1)csc()6
2
uarcy csc Arco cosecante
Ejemplos:
dxx
dxx
xd22 161
44
)4(1
14arccos)1
dxxx
dxxxx
xarcd2222
2
161
22
1)(
1sec()2
Diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
duuusenhd cosh)1 usenhy Seno hiperbólico
duusenhud cosh)2 uy cosh Coseno hiperbólico
duuhud 2sectanh)3 uy tanh Tangente hiperbólica
duuhud 2csccoth)4 uy coth Cotangente hiperbólica
duuhuuhd sectanhsec)5 uhy sec Secante hiperbólica
duuhuuhd csccothcsc)6 uhy csc Cosecante hiperbólica
Ejemplos:
dxxxdxxxdxxduxu
duusenhudxsenhd )1(cosh2)2()1(cosh
2;1
cosh()1()1 22
2
2
dxxsenhxdxxsenhdxduxu
duusenhudxd 2222
2;2
(cosh)2(cosh)2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
14
dxxhdxxh
dxduxu
duuhudxd )21(csc2)2)(21(csc
2;21
csccoth21coth)3 22
2
Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u:
Fórmulas de diferenciales Función Nombre
duu
uarcsenhd1
1)1
2
usenharcy Arco seno hiperbólico
11
1arccos)2
2
udu
uuhd
uarcy cosh Arco coseno hiperbólico
11
1arctan)3
2
udu
uuhd
uarcy tanh Arco tangente hiperbólica
11
1coth)4
2
udu
uuarcd
uarcy coth Arco cotangente hiperbólica
101
1sec)5
2
udu
uuuharcd
uharcy sec Arco secante hiperbólica
01
1csc)6
2
udu
uuuharcd
uharcy csc Arco cosecante hiperbólica
Ejemplos:
dxx
dxxdxduxu
duu
uhdxhd
125
105
)5(
12
5;51
1arccos
5arccos2)122
2
dxxxx
dxxxx
dxxxx
dxxx
dxduxu
duuu
harcdxharcd
222
2
2
)21(
1
44)21(
2
)441(1)21(
2
)2()21(1)21(
1
2;21
1
1sec
)21(sec)2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
15
Ejercicios:
TIPO I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen u; obtener:
?)()1 xd ?21)5 2 xd ?23)7 xd
?)2 xd ?2)4 xd ?3
1)8
2
xd
?1
)3
xd ?323)6
32 xd ?212
3)9
xd
Tipo II. Por las fórmulas de diferenciación de funciones exponenciales que contienen u; obtener:
?)3()1 2 xd ?)3 2 xed?
3
2)5
3
xed
?10)2 3
2
x
d ?2)4 xed
?2)6 3 xxd
Tipo III. Por las fórmulas de diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:
?)3(log)1 10 xd ?)2(ln)3 xd ?3
2ln)5
x
d
?5
3log2)2 10
x
d ?ln)4 cd ?)21(ln)6 2 xd
Tipo IV. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:
?2)1 xsend ?1
tan)3
xd
?)21sec()5 2 xd
?cos)2 xd ?cot)4 2 xd ?2
csc2)6
x
d
Tipo V. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:
?3)1 xsenarcd ?2tan)3 xarcd
2
3csc)4
xarcd
Tipo VI. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:
?2)1 xsenhd ?3tanh)3 xd ?2
1sec)5
xhd
?)12cosh()2 xd ?3coth)4 2 xed ?2(lncsc)6 xhd
Tipo VII. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:
?2arccos)1 xhd ?3arctan)2 xhd ?)1(csc)3 xharcd
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
16
Clase: 1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales. Guía:- Familia de funciones. - Integración de funciones elementales:- Antiderivada de una función. - Ejemplos.- Integración indefinida. - Ejercicios.- Propiedades de la integral indefinida.
Familia de funciones: Es un conjunto de funciones que difieren en una constante.
Ejemplo: Las siguientes funciones representan una familia de funciones puesto que difieren en una constante.
y = x2
y = x2 + 2y = x2 – 5
Observe: que al trazar la recta “L” (perpendicular al eje de las Xs ) esta toca a las curvas en los puntos de las curvas donde la pendiente de otras rectas “T” es la misma en todos los puntos que se tocan.
Antiderivada de una función:
De la siguiente familia de funciones observe lo siguiente:a) A cada función de la familia se llama función primitiva.b) De cada función primitiva se obtiene su derivada (todas las derivadas son iguales).c) De cada derivada se obtiene su antiderivada; de donde antiderivada y función primitiva es lo mismo.d) De cada antiderivada se obtiene su diferencial (todos los diferenciales son iguales).e) De cada diferencial se infiere su integral que es la función primitiva, sólo que en lugar del número aparece una “c” (constante).
Función primitiva
Derivada Antiderivada Diferencial Integral
2xy xdx
dy2 cxy 2 dxxdy 2 cxdxxdy 22
22 xy xdx
dy2 cxy 2 dxxdy 2 cxdxxdy 22
52 xy xdx
dy2 cxy 2 dxxdy 2 cxdxxdy 22
Conclusión:
Sí cxfy )( )(xfdx
dy cxfy )( dxxfdy )(' cxfdxxfdy )()('
De donde: La integración indefinida es el proceso de encontrar la familia de antiderivadas de una función. A partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, cuando tratemos las integrales nos estaremos refiriendo a la integración indefinida de funciones.
Para efectos prácticos, haremos los siguientes cambios: La integral cxfdxxf )()( la concebiremos de
la siguiente forma: cxFdxxf )()( donde )(xf es la función a integrar y cxF )( es su resultado.
Recta “L”
T
y = x2
y = x2 + 2
y = x2 – 5
T
T
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
17
Notación: cxFdxxf )()(Donde: Es el signo de integración.
dxxf )( Es el integrando.
x Es la variable de integración.
cxF )( Es la familia de antiderivadas.
c Es la constante de integración.Propiedades de la integral indefinida:
Sí gyf son funciones de una misma variable, continuas e integrables y k es una constante, se cumplen las
siguientes propiedades:
dxxfkdxxfk )()()1Del producto constante y función.
dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2De la suma y/o diferencia de funciones.
Integración de funciones elementales.
Integración de funciones elementales algebraicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas: Para el propósito de integración se han considerado únicamente las siguientes funciones algebraicas elementales:
cdx0)1 cxdx)2 cx
dxx 2)3
2
cxx
dx ln)4
Ejemplos:
cdxo)1
cxdx 33)2
cx
cx
dxxdxx 2
5
2)5(55)3
22
cxcxx
dx
x
dx
x
dx
x
dxln
2
1ln
2
1
2
1
2)4
cx
cx
dxxdxx
4
3
22
3
2
3
2
3)5
22
cxcxdxx
dxx
ln
3
2ln
3
21
3
2
3
2)6
cxx
cxx
dxdxxdxx
dxx
3
5
33
5
23
2
3
5
3
2
3
5
3
2
3
52)7
22
cxxdxdxxx
xdx
xdx
x
x
xdx
x
x
3ln23
12
323232)8
cxx
dxdxxdxxdxxdxxx 22
2)2()2(44)92
22
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
18
Integración de funciones elementales exponenciales:
Fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales:
cedxe xx)1 ca
adxa
xx
ln)2
Ejemplos:
cedxe xx 22)1
ce
dxe xx
4
3
4
3)2
cdxxx
3ln2
3
2
3)3
Integración de funciones elementales logarítmicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas:
cxxdxx 1lnln)1
c
e
xxdxx aa loglog)2
Ejemplos:
cxxdxx 1ln3ln3)1
c
e
xxdx
x10
10 log33
log)2
Integración de funciones elementales trigonométricas:
Fórmulas de integración indefinida de funciones elementales trigonométricas:
cxdxxsen cos)1 cxsendxxctg ln)4
cxsendxxcos)2 cxxdxx tanseclnsec)5
cxoscdxx lntan)3 cxxdxx cotcsclncsc)6
Ejemplos:
csenxxdx 2cos2)1
csenxdxx
ln3
2
3
cot2)2
cxxcxxdxxdxx
tansecln
5
1tansecln
5
1sec
5
1
5
sec)3
cxdxxxsen
ricatrigonométidentidaddxxxsendxxsen 44
1cos)cos(4)cos44()4
22
2222
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
19
Integración de funciones elementales trigonométricas inversas:
Fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas:
cxsenxxarcdxxsenarc 21)1 cxxarcxdxxarc 1ln2
1cotcot)4 2
cxxarcxdxxarc 21coscos)2 cxxxxarcdxxarc 1lnsecsec)5 2
cxxxarcdxxarc 1ln2
1tantan)3 2
cxxxxarcdxxarc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
cxxxcxxxdxx 22 12arccos21arccos2arccos2)1
cxxxarcxcxxxarcxdxxarc
1ln5
3sec
5
31lnsec
5
3
5
sec3)2 22
Integración de funciones elementales hiperbólicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas:
cxdxxsenh cosh)1 cxsenhdxx lncoth)4
cxsenhdxxcosh)2
c
xdxxh
2tanharctan2sec)5
cxdxx coshlntanh)3 cx
dxhx 2tanhlncsc)6
Ejemplos:
cxsenhdxx 2cosh2)1
cxdxx
)(coshln3
1
3
tanh)2
cxdxxsenhxsenh
xh
ahiperbólicidentidad
dxhx
dxhx
cosh3
2
3
2
csc
1csc
1
3
2
csc3
2)3
Integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:
Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:
cxxarcsenhxarcsenhxdx 1)1 2 cxxxarcdxxarc 1ln2
1cothcoth)4 2
cxhxxhxdx 1arccosarccos)2 2c
x
xhxxarcdxhxarc
1
arctansecsec)52
cxhxxdxhx 1ln2
1arctanarctan)3 2 cxxhxxarcdxchxarc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
20
Ejemplos:
cxxarcsenhxarcsenhxdx 1333)1 2
cxxxharcx
cxxxhxarcdxxharcdxhxarc
1ln2
1csc
21lncsc
2
1csc
2
1
2
csc)2 22
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas; obtener:
?)1 dx ?2)2 dx ?3
)3 dxx
?10
)5(3)4 dx
x
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales; obtener:
?5)1 dxex
?5
3)2 dx
ex
?3
2)3 dx
x
?3
)4 dxx
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas; obtener:
?ln5)1 xdx dxx
8
ln)3 ?
10
log3)5 5 dx
x
?5
ln3)2 dx
x ?log2)4 5 xdx ?3
log)6 5 dx
x
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas; obtener:
?5)1 xdxsen ?8
tan)3 dx
x ?
10
sec3)5 dx
x
?5
cos3)2 dx
x ?cot2)4 dxx ?3
csc)6 dx
x
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:
?2)1 xdxsenarc dxxarc
10
tan)3 ?
5
sec3)5 dx
xarc
?5
cos3)2 dx
xarc ?cot2)4 dxxarc ?6
csc)6 dx
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración indefinida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:
?5)1 xdxsenh ?2
tanh)2 dx
x ?
5
sec3)3 dx
hx
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:
?5
cosh3)1 dx
xarc ?coth2)2 dxxarc ?3
csc2)3 dx
hxarc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
21
Clase: 1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Integración de funciones algebraicas que contienen xn.- Ejemplos.- Ejercicios.
Integración de funciones algebraicas que contienen xn.
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
0)1(1
)11
ncn
xdxx
nn
Ejemplos:
cx
nn
cn
xdxxxdx
nn
221;11)1
21
1
cx
cx
nnk
cn
xkdxxkxdxxdx
nn
2
3
)2()3(
21;1;3133)2
2)2(1
cx
cx
nn
cn
xdxxdxx
nn
3)3(31;21)3
3)3(1
2
cx
cx
nn
cx
xdxx
dxxdxx
nn
3
2
2
31;
2
11)4
3
23
2
31
2
1
cx
cx
cx
dxxdxx 3
22
3
22222)5
33
23
2
3
cx
cx
cx
nn
cn
xdxx
dxxdxx
nn
2
1
2
2
2
2
21;312
2)6
22
21
33
cxxcxx
dxxdxxdxxx 2323
22
2
2
3
32323)7
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
22
cxx
cxx
dxxdxxdxxdxx
dxxx
3
2
933
1
3
1
33)8
33
23
2
33
2
12
22
cxx
cxx
dxdxxdxdxx
dxx
dxx
4
5
8
3
4
5
24
3
4
5
4
3
4
5
4
3
4
5
4
3
4
53)9
22
cxx
cxx
dxxdxxdxxx
xdx
x
x
2
3
211)10
3
21
2
1
23
2
3
2
1
2
1
Ejercicios:
Tipo I. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
?)1 3dxx ?1
)4 dxx dx
x 23
2)7
?3
)2 dxx
?1
)52
dxx
?2
3)8
5 dx
x
?3
2)3
2
dxx
?2)6 dxx ?23
5)9 dx
x
Tipo II. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
?)2()1 2 dxx ?2
2)3 dx
x?
5
3)5
5
3
dx
x
x
?4)2 dxx ?2
)4 dxx
x?
7)6
3 4
dx
x
x
Tipo III. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn ; obtener:
?)3()1 dxx ?)21()4 dxx ?1
)7
dx
x
x
?)1()2 2 dxx ?321
)5
dx
x?)8
dx
x
bxa
?)2()3 2 dxxx?
3)6
2
dx
x
xx ?2
32)9
dx
x
x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
23
Clase: 1.7 Integración de funciones que contienen u. Guía:- Integración de funciones que contienen u. - Ejemplos.- Fórmulas de integración de funciones que contienen u: - Ejercicios.
Integración de funciones que contienen u.
Para toda “u” que sea cualquier función, se cumplen las siguientes fórmulas de integración:
Integración de funciones algebraicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u.
cdu0)1 cudu)20)1(
1)3
1
ncn
uduu
nn cudu
u ln
1)4
Ejemplos:
c
xc
x
dxxdx
x
nn
dxduxu
cn
uduu
dxx
nn
20
52
4
52
5
1
)5(525
1
5
552
41;3
5;521
52)1
44
33
1
3
cxx
dxdx
xdxduxu
cuu
du
x
dx31ln
3
1
31
)3(
3
1
3
3
31
1
3;31
ln31
)2
c
xc
xdxxdxxx
18
31
6
)31(
3
1631
6
12312)3
62625252
cx
c
x
dxxx
dxx
x
253
35
2
1
25
6
35
5
32
53
5
2
7
25
2
7)4
3
2
13
22
13
3
2
cx
cx
dxxx
dxx
du
xu
x
dx
xdx
x
x
6
6
2
5
2
2
5
2
5
2
11
12
1
62
11
2
1
)2(
1
2
13
4
)2(
2
12
11
2
13
4
1
4
2
13
)5
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
24
c
cx
xdx
xxdx
xxdx
xx
42
2
3
42
4
3)2(4
2
)2(2
314
2
2
3
42
2
3)6
21
2
1
2
2
1
2
2
1
2
cxx
xdxdx
xxx
xdx
x
x2ln63
2
63
2
63
2
63
2
3
2
3)7
cxxx
cxxx
dxx
x
xx
x
xdx
x
xdx
x
x
)2ln(2
113
4
3
)2ln(1162
3
2
12
1163
2
1
2
1163
2
13
2
13
2
1
42
13)8
2
2222
Integración de funciones exponenciales que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u:
cedue uu)1 c
a
adua
uu
ln)2
Ejemplos:
cedxedxe xx
x
33
3
4
3
3
13
4
1
4)1
ccdxdxxx
xx
3ln2
3
3ln
3
2
1)2(3
2
13)2
2222
cedxx
edxx
edxx
e xxxx
3
25
)2(
1
23
)2(51
23
5
23
5)3
Integración de funciones logarítmicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u.
cuuduu 1lnln)1 ce
uuduu aa
loglog)2
Ejemplos:
cx
xcxx
dxx
dxx
dxx
1
5
3ln31
5
2ln
5
2
2
15
5
2
5
2ln
2
53
5
2ln3
5
2ln3)1
ce
xxc
e
xxdxxxdxxx
2
10
22
1022
102
10
5log
2
35log5
10
3105log
10
135log3)2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
25
cxx
dxxx
dxxx
dxx
x
13
21ln
3
21
5
3
3
2
3
21ln
2
3
5
21
3
21ln
5
2
5
3
21ln2
)32
22
Integración de funciones trigonométricas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u.
cuduusen cos)1 cuduuu sectansec)7
cusenduucos)2 cuduuu csccotcsc)8
cuoscduu lntan)3 cuduu tansec)9 2
cusenduu lncot)4 cuduu cotcsc)10 2
cuuduu tanseclnsec)5 cuuuuduu tansecln2
1tansec
2
1sec)11 3
cuuduu cotcsclncsc)6
Ejemplos:
cxsendxx
dxduxu
cusenduudxx 2
2
1)2(2cos
2
1
2;2
2cos2cos)1
cx
tgdxx
dxdu
xu
cutgkduukdx
xdx
x
4
3
3
8
4
3
4
3sec
3
42
4
3;
4
3
sec
4
3sec2
4
3sec2)2 2
2
22
cxtgdxxdxxu
ux
dx
x
dx5
10
3)5(5sec
5
1
2
35sec
2
3sec
cos
1
5cos2
3
5cos2
3)3 22
22
cx
cx
dxxsenx
dxxsendu
nn
xu
xdxsenxEstrategiac
n
uduu
tipoIntegraldxxsenx n
n
12
3cos
4
3cos
3
1333cos
3
1
33
41;3
3cos
33cos
1
33cos)4
443
313
dx
x
xsendx
xsen
xsendx
xsen
xsen
xsenEstrategia
xsen
dx
2cos
213
21
213
21
21
21
13
21
3)5
22
dxxx
xsendxxdx
x
xsendx
x 2cos
1
2cos
232sec3
2cos
23
2cos
13 2
22
cxxtgdxxxtgdxxdxxxtgdxx 2sec2
32
2
322sec2
2
322sec
2
32sec232sec3 22
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
26
Integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
cuusenarcuduusenarc 21)1 cuuarcuduuarc 1ln2
1cotcot)4 2
cuuarcuduuarc 21coscos)2 cuuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2
cuuuduu 1ln2
1arctanarctan)3 2 cuuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
cxxx
xcxxx
x
cxxxdxxdxx
6921
2)31arccos(
21
)31(2961(1
21
2)31arccos(
21
)31(2
)31(1)31arccos()31(21
2)3)(31arccos(
3
1
7
2
7
)31arccos(2)1
22
2
cxxxarccxxxarcx
dxxarcdxxarc
142ln5
2)2(csc
5
41)2()2(ln)2(csc)2(
5
2
)2()2csc(2
1
5
4
5
)2csc(4)2
22
Integración de funciones hiperbólicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u.
cuduusenh cosh)1 cuduuh tanhsec)7 2
csenhuduu cosh)2 cuduuh cothcsc)8 2
cuduu coshlntanh)3 cuhduuuh sectanhsec)9
cusenhduu lncoth)4 cuhduuuh csccothcsc)10
c
uduuh
2tanharctan2sec)5
cu
duuh 2tanhlncsc)6
Ejemplos:
cxsenhdxxdxx 2)2(2cosh
2
122cosh2)1
cxhdxxxhdx
xxh3sec
15
133tanh3sec
3
1
5
1
5
3tanh3sec)2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
27
Integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
cuuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2cuuarcuduuarc 1ln
2
1cothcoth)4 2
cuuhuduhu 1arccosarccos)2 2 cu
uhuuarcduhuarc
1
arctansecsec)52
cuhuuduhu 1ln2
1arctanarctan)3 2 cuuhuarcuduhuarc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
cxxarcsenhx
cxxarcsenhxdxxarcsenhxdxarcsenh
142
323
1)2(2
3)2()2(
2
322
2
1323)1
2
2
cxxx
harcx
cxxx
harcx
cxxx
harcxdxx
harcdx
xharc
93
1
3ln
2
3
3csc
21
93ln
2
3
3csc
2
133
ln3
csc32
3
33csc3
2
1
23
csc)2
22
2
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u; obtener:
?)1 dx ?23)8 dxx ?1
)15 x
dx duuu 2)22 43
?)2 xdx?
3
21)9
dx
x ?43)1622 dxxx dx
x
x 23
2
)1()23
?)3 3dxx?
2
13)10
dx
x ?)1()17 432 dxxx dxxcb
ax 222
3)24
?)4x
dxdx
b
bxaa
2)()11
?)1(5)18 72 dxxx dxxbax 222)25
?2)5 dxx ?12
3)12
dxx
?1
4)19
2
dxx
x
?)1()6 3 dxx ?22
3)13
dx
x
x ?15)20 2 dxxx
?)21()7 2 dxx ?32
3)14
dxx
?)31()21 2 dttt
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
28
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u; obtener:
?)1 2 dxe x ?3
2)4
23 dxex x ?3)7 )4( dxx
?3
2)2
5
dxe x
?4)5322 dxex x ?2)8 )21( dxx
?)3 )21( dxe x ?2)6 )21( 2
dxex x ?23)922 dxxx
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:
?5ln)1 dxx ?5
ln)3
2
2
dxx
x ?)82(log)5 10 dxx
?)21ln()2 dxx ?4log)4 10 dxx ?log3)6 210
2 dxee xx
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:
?2)1 dxxsen ?)7 2xSen
dx ?cos)13 3 dxxxsen
?3cos2)2 dxx ?)4()8 22 dxxsenx ?3cos3)14 4 dxxxsen
?tan)3 dxbx
?1
1)9
2dx
xsen?
cos)15
dxaxsenb
ax
?3
sec2)4 dx
x?
cos1)10
x
dx?
cos1)16
dxx
xsen
?)(csc)5 2 dxbxa ?cos)11 dxxxsen ?2cos
2)17
dsen
?)1(sec)6 2 dtt ?22cos12 dttsent ?2sec
2)18
5 dx
x
xsen
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:
?2)1 dxxsenarc ?)3(tan)3 dxxarc?
5
3sec2)5
2
dxxarcx
?5
arccos)2
231
dxx
x ?)21(cot)4 dxxuarc ?
3
2lncsc)6 dx
x
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:
?55)1 xdxsenh ?2
2tanh)2 dx
x ?
5
3sec3)3 dx
xh
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:
?5
5cosh3)1 dx
xarc?
3coth2)2 dx
xarc ?
2
3csc)3 dx
xharc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
29
Fecha:Evaluación tipo: Unidad 1. EXAMEN DE CÁLCULO INTEGRAL
Hora:
Oportunidad: 123 No. de lista:
Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: La integral indefinida
Calificaciones: Elab: Clave: Evaluación TipoExamen Participaciones Tareas Examen
sorpresaOtras Calificación final
1) En la celda “RC” (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solución correcta del problema. 2) En el reverso de la hoja resuelva únicamente los problemas que contienen en la celda “RC” las siglas (SRD). 3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema adecuadamente, se restaran por cada celda 20 puntos del total de la calificación. 4) Para tener derecho a puntos extras, deberá obtener como mínimo el 40% del examen aprobado. 5) Iniciada la evaluación no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar información ó material. 6) Cualquier operación, actitud ó intento de fraude será sancionada con la no aprobación del examen.
dxx22
1 dx
x22
1Ninguna dx
x24
1
2
2)1
xd
Clave: 10SWA Clave: 10YRJ Clave: 10NMX Clave: 10MCV
RC
Ninguna dxx22
5dx
x
2
1
2
52
dxx22
5
x
xd
2
5)2
Clave: 1BNGH Clave: 1YURT Clave: 1NHYK Clave: 1LPIO
RC
dxex
2
dxex
2
dxex
22
Ninguna
22)3x
ed
Clave: 2MHNS Clave: 2RTFH Clave: 2PLUY Clave: 2BNDP
RC
dxx291
1
Ninguna dx
x231
3
dx
x291
3
xsenarcd 3)4
Clave: 3NMHO Clave: 3BNML Clave: 3CVBR Clave: 3RTQE
RC
cx
32
52 5 c
x
160
52 5
Ninguna
cx
2
52 2
dxx
4
2
52)5
Clave: 4ASDI Clave: 4TRES Clave: 4LKUP Clave: 4KHMU
RC
Ninguna cx
3
344
1c
x
3
342
3 cx
3
343
8dx
x
3
4)6
Clave: 5ASDQ Clave: 5OPUH Clave: 5TREH Clave: 5LKMA
RC (SRD)
cx
10
232
cx
5
8 6
cx
5
232
Ningunadx
xx
5
23)7
2
Clave: 6NHGN Clave: 6NMGP Clave: 6PLOH Clave: 6RTEY
RC
c
xx
2
1ln3 32
Ninguna
cxx
4
1ln 32
cxx
2
1ln 32
dxx
x
223
2ln
)8
Clave: 7MNBH Clave: 7HYRA Clave: 7POUL Clave: 7TRET
RC
Ninguna cxsen 216
1 4 cx 2cos16
1 4 cx 2cos8
1 4 dxxsenx
2
22cos)9
3
Clave: 8UHKP Clave: 8RGMH Clave: 8BEQO Clave: 8LMNV
RC
cx
xarcsenx
121
21
cx
xarcsenx
1 cx
xarcsenx
1 Ninguna
dxx
xarcsen
2)10
Clave: 9TUTR Clave: 9PLOS Clave: 9WQPE Clave: 9PLTH
RC (SRD)
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
30
Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn y u: Unidad 1.
Propiedades: )()()1 xfdkxfkd )()()()()2 xgdxfdxgxfd
Fórmula de diferenciación de funciones que contienen xn dxnxxd nn 1)1
Fórmulas de diferenciación de funciones que contienen u:
Algebraicas:
dunuud nn 1)1 duud )()2 duu
uud )3 du
uud
2
1)4 du
uud
2
11)5
Exponenciales: Logarítmicas:
dueed uu )1 ....71828.2e duu
ud1
ln)1 10 a
duaaad uu ln)2 duau
ud a ln
1log)2
duvudvuuud vvv 1ln)3
Trigonométricas: Trigonométricas inversas:
duuusend cos)1 duu
senuarcd21
1)1
duusenud cos)2 duu
uarcd21
1cos)2
uduud 2sectan)3 duu
uarcd21
1tan)3
duuud 2csccot)4 duu
uarcd21
1cot)4
duuuud sectansec)5 duuu
uarcd1
1sec)5
2
duuuud csccotcsc)6 duuu
uarcd1
1csc)6
2
Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:
duuusenhd cosh)1 duu
uarcsenhd1
1)1
2
duusenhud cosh)2 11
1arccos)2
2
udu
uuhd
duuhud 2sectanh)3 11
1arctan)3
2
udu
uuhd
duuhud 2csccoth)4 11
1coth)4 2
udu
uuarcd
duuhuuhd sectanhsec)5 101
1sec)5
2
udu
uuuharcd
duuhuuhd csccothcsc)6 01
1csc)6
2
udu
uuuharcd
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
31
Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u: Unidad 1.
Propiedades: dxxfkdxxfk )()()1 dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn:
cn
xdxx
nn
1)1
1
Fórmulas de integración de funciones que contienen u:
Algebraicas: cdu0)1 cudu)2
cnu
duun
n
1)3
1
cuu
du ln)4
Exponenciales: cedue uu)1 ca
adua
uu
ln)2
Logarítmicas: cuuduu 1lnln)1
c
e
uuduu aa loglog)2
Trigonométricas:
cuduusen cos)1
cusenduucos)2
cuoscduutg ln)3
cusenduuctg ln)4
cuuduu tanseclnsec)5
cuctguduu csclncsc)6
cuduuu secsectan)7
cuduuu csccsccot)8
cuduu tansec)9 2
cuduu cotcsc)10 2
cuu
uuduu
tansecln2
1
tansec2
1sec)11 3
Trigonométricas inversas:
cusenuuarcduusenarc 21)1
cuuarcuduuarc 21coscos)2
cuuuduu 1ln2
1arctanarctan)3 2
cuuarcuduuarc 1ln2
1cotcot)4 2
cuuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2
cuuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2
Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:
cudxusenh cosh)1
cusenhdxucosh)2
cuduu coshlntanh)3
cusenhduu lncoth)4
c
uduuh
2tanharctan2sec)5
cu
duuh 2tanhlncsc)6
cuduuh tanhsec)7 2
cuduuh cothcsc)8 2
cuhduuuh sectanhsec)9
cuhduuuh csccothcsc)10
cuuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2
cuuhuduhu 1arccosarccos)2 2
cuhuuduhu 1ln2
1arctanarctan)3 2
cuuarcuduuarc 1ln2
1cothcoth)4 2
cu
uhuuarcduhuarc
1
arctansecsec)52
cuuhuarcuduhuarc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
32
El valor mas escaso de la naturaleza humana es la lealtad, ¡ Es ahí donde se encuentra lo interesante de las matemáticas !.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
Clases:
2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2.
2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 2.3 Técnica de integración por partes.2.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia.2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica.2.8 Técnica de integración de fracciones parciales.2.9 Técnica de integración por series de potencia.2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y de Taylor.
- Evaluaciones tipo.- Formulario de técnicas de integración.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
33
Clase: 2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2. Guía:- Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2.
- Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas 22 au a 0.- Ejemplos.- Ejercicios.
Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2:
Introducción.
Con el propósito de hacer más ágil la integración, existen tablas que contienen cientos y quizá miles de fórmulas. A continuación en la tabla respectiva hemos seleccionado sólo diez de ellas y forman parte de una muestra representativa que contienen en su estructura la característica común 22 au y la finalidad es el aprendizaje en la identificación y aplicación de estas fórmulas a problemas concretos útil para el ejercicio de la aplicación de la técnica y que servirá como base para la integración de problemas similares.
Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas: 22 au a 0
ca
u
aau
duarctan
1)1
22
c
a
uarcsen
ua
du22
)6
cau
au
aau
duln
2
1)2
22
c
u
aua
aauu
du 22
22ln
1)7
cau
au
aua
duln
2
1)3
22 cauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)8
cauuau
du 22
22ln)4 cauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)9
cauuau
du 22
22ln)5 c
a
uarcsen
aua
uduua
22)10
22222
Método:
1) Identifique el problema que se plantea con alguna de las fórmulas de la tabla.
2) Identifique 2u y obtenga u y .du
3) Identifique 2a y obtenga .a
4) Sustituya el valor de du ( y u de ser necesario ) en una nueva integral y haga el ajuste correspondiente.5) Integre aplicando la fórmula seleccionada.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
34
Ejemplos:
cx
cx
x
dx
aa
dxduxuxu
ca
uarc
aau
du
x
dx
x
dx
3
2arctan
6
53
2arctan
3
1
2
5
94
)2(
2
15
39
2;24
tan1
945
94
5)1
2
2
22
22
22
cx
x
cx
x
x
dx
dxduxuxu
aa
cau
au
aua
du
x
dx
12
12ln
22
1
12
12ln
)1(2
1
2
1
21
2
2
1
2;2;2
11
ln2
1
21)2
2
22
2
22
2
cxx
x
dx
aa
dxduxuxu
cauuau
du
x
dx
x
dx
5ln2
352
3
5;5
;;
ln
52
3
52
3)3
2
2
2
22
22
22
22
cx
x
cx
x
dxxx
aa
dxduxuxu
cu
aua
adu
auu
xx
dx
2
422ln
8
1
2
422ln
2
1
4
1
242)2(
1
)2(
)2(
4
1
2;4
2;2;2
ln11
424)4
2
2
2
2
22
22
22
2
cx
arcsenxx
cx
arcsenxx
dxx
dxdu
xuu
aa
duuatipoIntegral
dxx
x
5
3
43
58
5
316
2
42
16
5
316
23
5
5
3
5
316
3
5
;
4;16
:
5
316)5
2
532
53
2
53
53
532
2
22
2
2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
35
2;4;
1;)1(
1:
413
41
412
?152
52
3)6
2
22
22
22
2
22
2
aadxdu
xuxu
duau
tipoIntegral
x
dx
x
xx
xxx
dxxx
dx
cxxxcxx 121ln34)1()1(ln3 22
7;7;
2;)2(
1:
7)2(5
72
7442
?22
42182
182
5)7
2
22
22
2
2
2
2
2122
2
aadxdu
xuxu
duau
tipoIntegral
x
dx
x
xx
x
xxxx
dxxx
dx
cx
xc
x
x
72
72ln
72
5
)7()2(
)7()2(ln
72
15
Ejercicios:
Tipo I. Integrar por tabla de fórmulas de integración que contienen las formas 22 ua , las siguientes
funciones:
34
3)1
2x
dx 83
2)4
2x
dx 44
3)7
2xx
dx
34)2
2x
dx 162
2)5
2x
dx dxxx 52)8 2
294)3
x
dx 2916
)6x
dx dxx 42)9 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
36
Clase: 2.2 Técnica de integración por cambio de variable. Guía:
- Técnica de integración por cambio de variable.- Método de integración por cambio de variable.- Ejemplos.- Ejercicios.
Técnica de integración por cambio de variable:
Sí tenemos dxxf )( y asignamos a u una parte de )(xf duufdxxf )()(
De otra forma: Sí cxgFdxxgxgf ))(())(')(( y sí )(xgu y dxxgdu )('
cuFduufdxxgxgf )()())(')((
Método de integración por cambio de variable:
1) Obtener: .;; dxyxu a) A una parte de la función darle el valor de u . b) A partir de u obtener .x c) A partir de x obtener .dx
2) Hacer cambio de variable. Nota: todo el resultado debe de estar en términos de .u
3) Integrar.
4) Sustituir u por su valor original. Nota: Todo el resultado debe de estar en términos de .x
Ejemplos:
cxcu
duuu
duuu
u
dudx
ux
ux
cxxdxx
iablede
cambioPor
ucontienen
quefuncionesde
fórmulalaPor
dxxx
525
442
5242
42
110
3
10
32
3
1213
12
1
1
110
321
2
13
var
"")1(3)1
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
37
cxxcuu
duuduuduu
udu
u
u
dudx
ux
ux
dxx
x
1416
3)14(
16
1
16
3)(
16
132
3
32
31
32
3
44
1
2
3
4
4
114
142
3)2
33
2
1
c
xxc
uuduuu
duuudu
uu
dudx
ux
dxduxudxxx
28
215
24
215
)7(4
5
)6(4
5
4
5
1(4
5
22
15
2;
2
1
2;21215)3
767665
555
cxx
cuu
cuu
duuu
duuudu
uu
dudx
ux
dxduxudxxx
6
)12(
10
)12(
6104
1
4
1
4
1
1(4
1
22
1
2;
2
1
2;1212)4
3535
23
2
3
25
2
5
2
1
2
3
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración por cambio de variable; integrar las siguientes funciones:
dxxx 3)1()1 42 dxxx 153)3 dxxx 7522)5
dxxx 1)2 2
dx
x
x
12)4 dx
x
x 435
2)6
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
38
Clase: 2.3 Técnica de integración por partes. Guía:- Técnica de integración indefinida por partes.- Requisitos para poder integrar por partes.- Recomendaciones.- Aplicaciones.- Método de integración por partes.- Ejemplos.- Ejercicios.
Técnica de integración por partes:
Sean:- vu, funciones de la misma variable independiente.
Sí vduudvuvd )( es el diferencial del producto uv .
vduuvdudv )(
Sí vduuvdudv )( vduuvudv Llamada fórmula de integración por partes.
Y por paráfrasis matemática: dvuuvduv
Requisitos para poder integrar por partes:
1) Siempre dx debe ser una parte de dv .
2) Siempre debe ser posible integrar dv .
Recomendaciones:
1) Si no hay producto dvu entonces formarlo haciendo .dxdv .
2) Elegir como dv a la función que tenga apariencia más complicada.
Aplicaciones:
Se aplica en algunas integrales que contienen productos de funciones, como:
1) Algebraicas y algebraicas.2) Algebraicas y trigonométricas.3) Algebraicas y logarítmicas. 4) Algebraicas y exponenciales.5) Trigonométricas inversas.
Método de integración por partes:
1) Seleccione u y dv .
2) A partir de ""u obtener du .
3) A partir de dv obtener dvv .
4) Sustituir duyvu ,, en la fórmula de integración por partes.
5) Nuevamente integre; el proceso puede ser reiterativo.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
39
Ejemplos:
cxcxx
dxxxx
xdxxdvv
dxdudxxdvxu
vduuvudv
cxdxx
partespor
egraciónPor
xcontieneque
fórmulalaPor
dxxx
n
555
33
3
523
5
2
15
4
3
2
3
2
3
2)(
3
2
;;
5
2
int)1
cxxsenxcxxsenxdxsenxxsenx
dxxsenxsenx
dxdu
cxsendxxdvv
dxxdvxu
vduuvudv
dxxx
cos22cos2222
22
2
cos
cos;2cos2)2
cx
xxdxxxxdxx
xxxcxxdxv
dxduxu
dxxx
funcionesdeordenencambiosugierese
cxxdxxdvv
dxduxu
vduuvudv
dxxx
x
23ln3ln
1))(3(ln
2
;3ln
23ln13ln3ln
2;23ln2)3
22222
2
1
cexedxeex
dxdu
cedxedvv
dxedvxu
vduuvudv
dxxe xxxx
xx
x
x
2222
22
2
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1;
)4
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
40
5) Por la técnica de integración por partes, integrar: dxxarcsen 2
cxxarcsenxcx
xarcsenx
dxxxxarcsenxdxx
xxxarcsen
cxdxdvv
dxx
duxarcsenu
duvuvdvu
funciónuna
comodxatome
estrategia
dxxarcsen
2
21
2
12
2
1
2
2
412
12
)41(
4
12
8418
122
41
22
41
2;2
:
2
cxsenexexsenexexdxsene
xsenexexdxseneSí
xsenexexdxsene
xsenexexdxsenexdxsene
xdxsenexsenexexseneSí
xdxsenexsenexe
dxexsenxsenecxsenxdxv
dxedueuxdxexe
dxxexe
dxexxe
cxdxxsendvv
dxedueu
vduuvudv
dxxsene
xx
xx
x
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
25
32cos
5
6
24
32cos
2
3
5
423
24
32cos
2
32
4
15
24
32cos
2
32
4
15
24
32cos
2
32
4
323
24
32
4
32cos
2
323
24
32
4
32cos
2
3
2
32
2
12
2
1
2
3
22cos
;2cos
2
32cos
2
3
2cos2
32cos
2
3
32cos2
12cos
2
13
2cos2
3;323)6
21
23
23
21
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración por partes; integrar las siguientes funciones
dxxx cos)1 dxex ax)5 dxxsenarc)9
dxxsenx
53
2)2 dxxe
x32)6 dxxarc 2cos4)10
dxxx 2ln3)3 dxex x322)7 dxxtgarc 2)11
dxxx )1(ln2)4 dxxx 2cos3)8 dxx
tgarc43
2)12
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
41
Clase: 2.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”.- Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.
Análisis de la tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.
Al observar la tabla “Método de integración del seno y coseno de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:
Resultado del análisis:
1) Existen 3 tipos de integrales.2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones.3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
T I P O R E C O M E N D A C I O N
FORMA CASOSPara: nym Z+ SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
I. duusenm
II. duuncos
III. duuusen nm cos
Método de integración del seno y coseno de m y n potencia:
1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla.2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones.
Notas:
a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método.
b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método.
c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia.
d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante.
e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
42
Tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.
T I P O R E C O M E N D A C I O N
FORMA CASOSPara: nym Z+ SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
1) Sí 1m Aplicar: cuduusen cos
2) Sí 2m Sustituir: uusen 2cos2
1
2
12
Desarrollar: usenusenusena mm 22.1
I. duusenm
3) Sí 2mSustituir: )cos1(.2 22 uusena
1) Sí 1n Aplicar: cusenduucos
2) Sí 2n Sustituir: uu 2cos2
1
2
1cos 2
Desarrollar: uuua nn 22 coscoscos.1
II. duuncos
3) Sí 2nSustituir: )1(cos.2 22 usenua
1) Sí 1/ noym Aplicar:
cn
uduu
nn
1
1
Desarrollar: usenusenusena mm 1.1 2) Sí 1 imparm
y 1n Sustituir: uusena 22 cos1.2
Desarrollar: uuua nn coscoscos.1 13) Sí 1 imparn
y 1m Sustituir: usenua 22 1cos.2
Desarrollar: nomnm uusenuusena coscos.1 4) Sí parnym
y nm Sustituir: usenuusena 22
1cos.2
Desarrollar: usenuusenuusena nmnnm coscos.1
Sustituir: usenuusena 22
1cos.2
5) Sí parnym y nm
Sustituir: uusena 2cos2
1
2
1.3 2
Desarrollar: uuusenuusena mnmnm coscoscos.1
Sustituir: usenuusena 22
1cos.2
III. duuusen nm cos
6) Sí parnym y nm
Sustituir: uua 2cos2
1
2
1cos.3 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
43
Ejemplos:
cxdxxsencusenuduAplicar
casoIformadxxsen
2cos2
122
)2(
1cos:
1;2)1
cxsenx
dxxdxdxx
uu
iónrecomendac
casoIIforma
dxx
1020
3
2
310cos
2
3
2
310cos
2
1
2
13
2coscos
:
2;
5cos3)2
21
212
2
cxsenxsendxxxsendxxcasoIIIforma
xdxxsendxxxsendxx
dxxsenxusenu
iónrecomendacadxxx
uuu
iónrecomendaca
casoIIforma
dxxmm
26
12
2
12cos22cos
1;
2cos22cos22cos
212cos1cos
.22cos2cos
coscoscos
:.1
3;
2cos)3
322
2
2
22
2
22
3
cxx
dxx
senx
dxx
sencasoIIIforma
dxx
senx
dxx
senx
dxx
sen
dxxx
senuusen
iónrecomendacadx
xsen
xsen
usenusenusen
iónrecomendaca
casoIforma
dx
xsen
mm
2cos
15
2
2cos
5
2
22cos
5
1
25
1
1;22
cos
22cos
5
1
25
1
2cos1
25
1
cos1
.2
225
1:.1
3;
52)4
322
2
2
22
2
22
3
cxsenx
xsenx
dxxdxdxxdx
dxxdxxdxdxxsendxxdx
dxxsendxxdxdxxsenxdxx
dxxsenxdxxdxxsenxdxxxdxx
16128
1
84
8
1
216cos
8
1
8
14cos
2
1
2
1
16cos2
1
2
1
4
14cos
2
1
2
18
4
14cos
2
1
2
1
82
14cos
2
1
2
122cos4cos
2
1
2
1
22cos2cos212cos2cos2cos2cos)5
2
22
22222224
cxsenxsenx
dxxxsendxxdx
dxxxsendxxdxxxsendxxsen
dxxxsendxxsenxsendxxsenxsenxdxxxsen
248
14
64
1
162cos2
8
14cos
16
1
16
1
2cos28
14cos
2
1
2
1
8
12cos2
8
12
8
1
2cos2
1
2
12
4
12
2
1coscos)6
32
222
222
2224
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia, integrar las siguientes funciones:
?2)1 dxxsen ?cos)5 5 dxxxsen ?cos)9 24 dxxxsen
?23)2 2 dxxsen ?cos2
1)6 43 dxxxsen ?cos3)10 42 dxxxsen
?2cos3)3 dxx ?cos)7 52 dxxxsen ?)11 3 dxxsen
?3
cos2
1)4 2 dx
x ?2cos2)8 22 dxxxsen ?2cos3)12 4 dxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
44
Clase: 2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”.- Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.
Análisis de la tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.
Al observar la tabla “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:
Resultado del análisis:
1) Existen 3 tipos de integrales.2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones.3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
T I P O R E C O M E N D A C I O N
FORMA CASOSPara: nym Z+ SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
I. duutg m
II. duunsec
III. duuutg nm sec
Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia:
1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla.2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones.
Notas:
a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método.
b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método.
c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia.
d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante.
e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
45
Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.
T I P O R E C O M E N D A C I Ó N
FORMA CASOSPara: nym Z+
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
1) Sí 1m Aplicar: cuduu seclntan
ó cuduu coslntan
2) Sí 2m Sustituir: 1sectan 22 uuDesarrollar: uuua mm 22 tantantan.1 Sustituir: 1sectan.2 22 uua
I. duumtan
3) Sí 2m
Aplicar:
cn
uduua
nn
1.3
1
1) Sí 1n Aplicar: cuuduu sectanlnsec
2) Sí 2n Aplicar: cuduu tansec2
3) Sí 3n Aplicar: cuuuuduu sectanln2
1sectan
2
1sec 3
Desarrollar: uuua nn 22 secsecsec.1 4) Sí 2 parn
Sustituir: 2
222 )1(tansec.2
nn uua
II. duunsec
5) Sí 3 imparn Aplicar: Técnica de integración por partes.
1) Sí 11 nym Aplicar: cuduuu secsectan
2) Sí 2nAplicar:
cn
uduu
nn
1
1
Desarrollar: uuua nn 22 secsecsec.1 3) Sí 2 parn
Sustituir: 2
222 )1(tansec.2
nn uua
Desarrollar: uuuuuua nmnm sectansectansectan.1 11 Sustituir: 1sectan.2 22 uua
4)Sí 1 imparm
Aplicar:
cn
uduua
nn
1.3
1
III. duuu nm sectan
5) Sí1
2
imparn
ymAplicar: Técnica de integración por partes
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
46
Ejemplos:
cxdxx
cuduuó
cuuduAplicar
casoIforma
dxx
2secln2
122tan
)2(
1
coslntan
seclntan:
1;
2tan)1
cxx
dxdxx
dxx
uu
iónrecomendac
casoIforma
dxx
23
tan623
sec213
sec2
1sectan
:
2;
3tan2)2 22
22
2
cxxxxg
cxxxx
cuuuuu
aplicariónrecomendaca
casoIIforma
dxx
2sec2tanln16
52sec2tan
16
5
2sec2tanln2
12sec2tan
2
1
8
5
sectanln2
1sectan
2
1sec
:;.1
3;
24
sec5)3
3
3
cxdxxxc
n
uduu
iónrecomendaca
dxxx nn
2tan
10
32sec2tan3
1
.1
2sec2tan3)4 524124
cxxx
dxxxxdxxxxdxxxx
cn
uduu
iónrecomendaca
dxxxxdxxxxdxxxx
dxxxxxx
dxxxxx
uuuu
iónrecomendaca
dxxxxxuuuuu
iónrecomendacadxxx
nn
nmnm
3
sec2
5
sec4
7
sec2
sectansec2sectansec4sectansec2
1
.3
sectansec2sectansec4sectansec2
sectansec1sec2sec2
sectansec1sec2
1sectan1sectan
.2
sectansectan2sectansectansectan
.1sectan2)5
357
246
1246
224
222
22422
24
11
35
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración de la tangente y secante de """" nym potencia, integrar las
siguientes funciones:
?2)1 dxxtg ?2sec)5 2 dxx ?2sec2)9 45 dxxxtg
?23)2 2 dxxtg ?2sec)6 3 dxx ?2sec2)10 43 dxxxtg
?23)3 3 dxxtg ?2sec3)7 4 dxx
?2sec4)4 dxx ?2sec24)8 dxxxtg
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
47
Clase: 2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”.- Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.
Análisis de la tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.
Al observar la tabla “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:
Resultado del análisis:
1) Existen 3 tipos de integrales.2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones.3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
T I P O R E C O M E N D A C I O N
FORMA CASOSPara: nym Z+ SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
I. duuctg m
II. duuncsc
III. uduuctg nm csc
Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia:
1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla.2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones.
Notas:
a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método.
b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método.
c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia.
d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante.
e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
48
Tabla: Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia:
T I P O R E C O M E N D A C I Ó N
FORMA CASOSPara: nym Z+
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
1)1 mSí Aplicar: cusenduu lncot
2)2 mSí Sustituir: 1csccot 22 uu
Desarrollar: uuua mm 22 cotcotcot.1 Sustituir: 1csccot.2 22 uua
I. duumcot
2)3 mSí
Aplicar:
cn
uduua
nn
1.3
1
1)1 nSí Aplicar: cuuduu cotcsclncsc
2)2 nSí Aplicar: cuduu cotcsc2
1)3 imparnSí Aplicar: Técnica de integración por partes.
Desarrollar: uuua nn 22 csccsccsc.1
II. duuncsc
2)4 parnSí
Sustituir: 2
222 )1(cotcsc.2
nn uua
11)1 nymSí Aplicar: cuduuu csccsccot
2)2 nSíAplicar:
cn
uduu
nn
1
1
Desarrollar: uuua nn 22 csccsccsc.1 2)3 parnSí
Sustituir: 2
222 )1(cotcsc.2
nn uua
Desarrollar: uuuuuua nmnm csccotcsccotcsccot.1 11
Sustituir: 1csccot.2 22 uua
1)4 imparmSí
Aplicar:
cn
uduu
nn
1
1
III. duuu nm csccot
1
/2)5
imparn
oyparm Aplicar: Técnica de integración por partes
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
49
Ejemplos:
cxsendxx
cuduuó
csenuuduAplicar
casoIforma
dxx
2ln2
122cot
)2(
1
coslntan
lncot:
1;
2cot)1
cxx
dxdxx
dxx
uu
iónrecomendac
casoIforma
dxx
32
cot632
csc312
csc3
1csccot
:
2;
2cot3)2 22
22
2
cxxdxxdxxx
dxxdxxxdxxx
uu
iónrecomendacadxxx
uuu
iónrecomendaca
casoIIforma
dxx n
n
n
cot3
1cot
9
1csc
3
1csccot
3
1
csc3
1csccot
3
1csc1cot
3
11cotcsc
.2csccsc
3
1
csccsccsc
.1
4;
3
csc)3
3222
22222
2
222
22
222
4
cxxx
dxxxxdxxxxdxxxx
dxxxxxxdxxxxx
uu
uu
iónrecomendaca
dxxxxx
uuuuuu
iónrecomendaca
casoIIIforma
dxxxnmnm
3
csc
5
csc2
7
csccsccotcsccsccotcsc2csccotcsc
csccotcsc1csc2csccsccotcsc1csc
1csccot
1csccot
.2
csccotcsccot
csccotcsccotcsccot
:.1
4;
csccot)4
357246
224222
224
22
24
11
35
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración de la cotangente y cosecante m y n potencia, integrar las siguientes funciones:
1) ?3
cot2
1dx
x 4) ?3csc dxx 7) ?2csc2cot dxxx
2) ?cot 4 dxx 5) ?3csc2 dxx 8) ?2csc2cot 23 dxxx
3) ?cot2
1 3 dxx 6) ?2csc3 4 dxx 9) ?2csc2cot 43 dxxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
50
Clase: 2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica.Guía:- Método de integración por sustitución trigonométrica.- Ejemplos.- Ejercicios.
Método de integración por sustitución trigonométrica:
Sea una integral que contenga alguna de las siguientes formas:
22 au ;
22 au ; 22 ua
1) Haga cambio de variable (todo debe de quedar en términos de “u” y de “a”).
2) Haga sustitución trigonométrica, cambiando los términos de la integral en la siguiente forma:
a) Sí se tiene:22 au sustituir: dzzapordu 2sec ; zaporau sec22 y zaporu tan
b) Sí se tiene:22 au sustituir: dzzzapordu tansec ; zaporau tan22 y zaporu sec
c) Sí se tiene:22 ua sustituir: dzzapordu cos ; zaporua cos22 y zsenaporu
3) Integrar la función.
4) Haga sustitución triangular, cambiando las funciones trigonométrica del resultado de la integral por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:
a) Sí se tiene
22 au
sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:
a
uarcz tan
b) Sí se tiene
22 au
sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:
a
uarcz sec
c) Sí se tiene
22 ua
sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:
a
usenarcz
5) Restituir la variable original.
a
22 au u
z
22 au
a
uz
a
22 ua
u
z
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
51
Ejemplos:
czzdzzdzzaza
zaporau
zdzapordu
sustituirPasoPaso
duau
du
audu
dxdxdu
aaxuxudx
x
Paso
tansecln2
3sec
2
3sec
sec
1
2
3
sec
sec
32
1
2
3
2
13
2;2
1;1;2;4
14
3)1
1
2
22
2
2222
222
2
Paso 4
22 au
tienesecomo
El triángulo es:
a
auz
22
sec
a
uz tan
cxxPasocauuccccomo
caauuyxy
xcomoc
a
uauc
a
u
a
au
142ln2
35ln
2
3)ln(
lnln2
3lnlnlnln
2
3ln
2
3
222
222222
czsena
za
dzza
dza
dzza
dzza
dzza
dzzaa
zaporau
dzzapordu
sustituir
PasoPaso
duau
du
audu
dxdxdua
axuxudx
x
Paso
224
5
12
5
2cos12
5
12
52cos
2
1
2
1
6
5
cos6
5
sec
1
6
5sec
sec
1
6
5
sec
sec
32
1
6
5
3
1
2
5
3;31
1;3;9
192
5)2
1
33
333
2323
24
22
2
422
422
222
22
Paso 4
22 au
tienesecomo
El triángulo es: zsenzzsen cos22 (identidad trigonométrica)
222222
au
a
au
uzsen
cx
xxc
x
xxPaso
caua
u
a
u
ac
au
a
au
u
aa
u
a
194
53arctan
12
5
19112
35
1
3arctan
112
55
12
5arctan
12
52
24
5arctan
12
5
2223
2223222233
22 au
a
uz
22 au
a
uz
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
52
czza
dzzadzzzadzzza
dxzzaPasozdzazdzzaza
za
zau
zaau
zdzzapordu
sustituir
Paso
duau
u
aa
dudxdxduxuxu
Paso
dxx
x
tantan3
2sec2sectan2sec1tan2
secsec23sec2tansectan
sec2
sec
tan
tansec
2
2
5;5
;;;
1
5
2)3
33
22223223
223433
22
22
3
2
22
2
3
22
4
au
tienesecomo
Paso
El triángulo es:
caua
au
ca
au
a
aua
a
auz
22322
223
22322
1
3
2
3
2tan
cxxPaso 55
15
3
25 232
csenza
zdzsenza
dzzzsen
z
a
zdzzctga
zdzza
zdzzaza
zaporau
zdzzapordu
sustituir
PasoPaso
duau
du
audu
dxdxdu
aaxuxudx
x
Paso
2
2
22
2
2
2
2223
22
322
322
222
2
32
2
1cos
2
1
cos
1cos
2
1
sec2
1sec
tan
1
2
1tansec
tan
1
2
1
tan
tansec
32.
1
2
1
2
1
2;2
2;2;2;4
24
1)4
1
22
4
au
tienesecomo
Paso
El triángulo es:
u
ausenz
22
c
x
xc
x
xpasoc
aua
uc
u
aua
2422422
25
22
12222222
2
a
22 au u
z
a
22 au u
z
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
53
cza
zdza
dzza
dzzaza
zaporua
zdzapordu
sustituir
PasoPaso
duua
du
uadu
dxdxdu
aaxuxudx
x
Paso
tan9
5sec
9
5
cos
1
9
5cos
cos
1
9
5
cos
cos
32.
1
9
5
3
1
3
5
3;3
2;2;3;9
923
5)5
1
2
2
2223
22
322
322
222
2
32
Paso 4
22 ua
tienesecomo
El triángulo es:
cuaa
u
cua
u
aua
uz
222
22222
9
59
5tan
c
x
xc
x
xpaso
22 926
5
9229
355
cza
za
dzsenzzadzsenzadzsenzza
dzsenzzsenadzzsenadzzaza
asenz
zsenau
zaporua
dzzapordu
sustituir
PasoPaso
duua
udu
ua
u
dudxdxdu
aaxuxudx
x
x
Paso
33
3
23323
23333
22
22
3
22
3222
2
3
cos3
4cos4
cos44cos14
44coscos
4
cos
cos
32
44;
1;1;;
1
4)5
1
Paso 4
22 ua
tienesecomo
El triángulo es:
cuuaa
ca
ua
a
uaa
a
usenz
a
uaz
3222
33223
22
3
44
3
44cos
cxxcxxpaso 32322
3
414
3
41145
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración por sustitución trigonométrica; integrar las siguientes funciones:
dxx
1
2)1
2
2
32 34
)3
x
dxdx
x
x 2
3
922
5)5
dxxx
543
4)2
2 dx
xx 9
2)4
23 dxx
x
2
2
5
9)6
a
22 ua
u
z
a
22 ua
u
z
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
54
Clase: 2.8 Técnica de integración de fracciones parciales. Guía:- Método de integración de fracciones parciales.- Ejemplos.- Ejercicios.
Método de integración de fracciones parciales:
Sí dxxg
xp
)(
)( es una fracción parcial donde )()( xgxp en grado y )(xg sea factorizable
Entonces:
1) Factorice el denominador: nfxg
ófffxg
)(
)( 321
2) Identifique los tipos de factores y sustituya la fracción parcial por la integral como se indica:
a) Sí
dxfff
xpdx
xg
xp
321
)(
)(
)(
dx
fff
xp
321
)( =
dx
f
C
f
B
f
A
321
b) Sí dxf
xpdx
xg
xpn
)(
)(
)( dx
f
xpn
)( =
dx
f
C
f
B
f
A
32
3) Separe la fracción parcial y obtenga los valores de ;;; CBA y compruebe la igualdad si lo desea.
Ejemplo: Para baxxp )( ; y )(xg con dos factores:
a) Sí 2121 f
B
f
A
ff
bax
;
BABAxfBfAbax )()()( 12
?
?:
B
AdondeDeBAb
BAa
b) Sí 212 f
B
f
A
f
bax
BAcAxBfAbax )()( 1
?
?:
B
AdondeDeBAb
cAa
4) Sustituya los valores de ;;; CBA en la integral.
5) Integre.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
55
Ejemplos:
dxx
B
x
A
f
B
f
Apordx
xg
xp
Sustituir
xfxf
ffxg
ciónIdentificaPaso
dxxx
x
xxxx
Pasodx
xx
x
1
)(
)(
:
1;
)(
:);2
1
32
1
:)132)1
21
21
21
22
cxxx
dx
x
dx
Integre
Pasodx
xx
BdeyAde
valoressustituyaPaso
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
xónComprobaci
BB
AA
BABxAxx
BxAAxxBxAx
x
B
x
A
xx
x
Paso
1ln5ln31
53:)5
1
53
""""
:)4
1
32)1(
5331
5131
53
1
32:
532
33
22
132
11
32
:)3
dxx
B
x
A
dxf
B
f
A
pordxxg
xpSustitir
xfxf
ffxg
ciónIdentificaPaso
dxxx
xx
xxPaso
dxxx
22
)(
)(:
2;2
)(
:)2
22
1
22
42:)1
42
1)2
21
21
21
2
2
""""
:)4
22
1)2(2)8(
48422
24122
124
1
22
1
22
1
:
4
1
22
1
2
2
121
22020
2)2(22221
2222
1
:)3
BdeyAde
valoressustituyaPaso
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
ónDemostraci
AB
AA
BABABAx
ABAxBxAAxxBxA
x
B
x
A
xx
Paso
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
56
cxxx
dx
x
dx
Integre
Pasodx
xx
2ln4
1ln
4
1
24
1
4
1:)5
224
12
1
dxf
B
f
Apordx
xg
xpSustitir
xfxf
ffxg
ciónIdentificaPaso
dxxx
x
xx
xPaso
dxx
x
21
21
21
2
2
)(
)(:
1;1
)(
:)2
11
5
11
1:)1
1
5)3
cxxx
dx
x
dx
Integre
Pasodx
xxBdeyAde
valoressustituyaPaso
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
xónDemostraci
AA
BB
BABABA
BABAxx
BBxAAxxBxAx
x
B
x
A
xx
x
Paso
dxx
B
x
A
1ln21ln31
21
3:)5
1
2
1
3
""""
:)4
11
51)1(
223311
12131
2
1
3
11
5:
321
224
51
5
1
115
1111
5
:)3
11
dxf
B
f
Apordx
xg
xpSustitir
xfxf
fxgciónIdentifica
Paso
dxx
x
x
xxPaso
dxxx
x
2
22
2
22
2
2
)(
)(:
)12(;12
)(:
:)2
12
31
12
144:)1
144
31)4
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
57
22
2
2
2
222
2
2
12
31
124
2612124
2126
122
11223
1212
1221122
3)12(
21
122
3
12
31
:
2
11
2
3
23232
1231
)12(12
12
31:)3
1212
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
xxx
x
ónDemostraci
B
BA
A
AAxxBAAx
BxAx
x
B
x
A
x
xPaso
dxx
B
x
A
dxxx
dxx
dx
x
dx
Integre
Pasodx
xxBdeyAde
valoresSustituya
Paso
2
2
2
122
1
122
3122
1
122
3:)5
)12(2
1
)12(2
3
""""
)4
c
xxc
xxdxx
x
dx
48
112ln
4
3
1
12
4
112ln
4
32)12(
2
1
2
1
12
2
2
1
2
3 12
Ejercicios:
Tipo I. Por la técnica de integración de fracciones parciales; integrar las siguientes funciones:
dxxx
x
3
1)1
2
dxx
x2)4(
5)4 dx
xx
x
144
2)7
2
dx
x
x
4
2)2
2
dxxx
x3
2)5 dx
xxx
x
2
32)8
23
dxxx
x
12
5)3
2dx
xx
x
24
28)6
3dx
xxx
x
234 484
1)9
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
58
Clase: 2.9 Técnica de integración por series de potencias. Guía:- Fundamentos. - Ejemplos.- Método de integración por series de potencias. - Ejercicios.
Fundamentos: Sí x
y
1
1 y 1,11
1
1 32
xxxx
1,111
1 32
dxxxxdxx
Mas adelante en la unidad 5 trataremos este tema con más profundidad.
Método de integración por series de potencia:
1) Acople la función a integrar en el modelo x11 .
2) Identifique el nuevo valor de ""x de la función a integrar.
3) Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos 4) Integre.
Ejemplos:
xx
xxcxx
xxcPaso
dxxxx
dxxxx
xesxde
valornuevoeldx
xdx
x
PasoPasoPaso
43
8222
3
42)4
84212
)2()2()2(12
"2"""21
12
21
2)1
)3)2)1
324
32
32
32
dxxxxdxx
dxx
33233
33)3()3()3(110
)3(1
110
31
10)2
1074
1074963
277
90
2
1510
10
27
7
9
4
3102793110
xxx
xc
xxxxcdxxxx
dxxxx
xdxxdxx
xx
32
3
2
33
2221
2
1
1
1
2
1
2)3
56241088422
1 76546543 xxxx
cdxxxx
x
Ejercicios:
Tipo I. Integrar por serie de potencia las siguientes funciones:
1) dxx 21
32) dx
x 21
23) dx
x 33
24) dx
x
x 3
2 3
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
59
Clase: 2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía:- Fundamentos. - Ejemplos.- Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. - Ejercicios.
Fundamentos:
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0()()(
32 xfxfxffxfyxfySí llamada serie de Maclaurin.
Y si la serie es integrable entonces:
dx
ffxffdxxf
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0()(
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)()()(
32 cxcfcxcfcxcfcfxfyxfySí llamada serie de Taylor.
Y si la serie es integrable, entonces:
b
adx
cxcfcxcfcxcfcfdxxf
!3
))((
!2
))((
!1
)()(
!0
)()(
32
Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor:
1. Identifique la función elemental de la función a evaluar.2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de la serie de Taylor de la siguiente forma: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental.
Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf ( ""c es el número fácil de evaluar que hace que Rcf )( )
2.1 Forme la serie: Para la serie de Maclaurin:
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0( 32 xfxfxff
Para la serie de Taylor:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)( 32 cxcfcxcfcxcfcf
3. Identifique el nuevo valor de ""x en la función a integrar.
4. Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie de la integral5. Integre.
Ejemplo 1) Resolver la integral dxe x
xesxde
valornuevoel
Paso
xxx
xxx
esMaclaurindeseriela
eefeef
eefef
Paso
eyeseyde
elementalfunciónla
Paso
dxe xxx
xx
xx
x
""
)3
!3!21
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1
1)0(1)0(
1)0(1)0(
)2
)1
3232
)0(0
0)0(0
)0(0
)0(
)!3)(5(
2
)!2)(2(
2
3
2
!3
)(
!21
!3
)(
!2
)(1
)5)4523332 xxx
xcdxxx
xdxxx
x
PasoPaso
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
60
Ejemplo 2) Resolver la integral dxxln
)!4(3
8
)!4(2
6
)!4(5
8
)!4(3!3
2
)!3(3
12
)!3(2
6
)!3(5
4
)!2(3
4
)!2(23
2
!4
1464
!3
133(2
!2
121
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1()1(
4
""
)3
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1()1(
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1(1
!1
)1(1
:
6)1(
66)1(2
)1(
22)1(
1)1(
1)1(1)1(
0)1ln()1(1)0ln()0(
)2
lnln
)1
ln
3253325323
2
432
432
432
41
44
31
3
21
11
12
xxxxxxxxx
xxx
xc
dxxxxxxxxxxxx
x
dxxxxx
Paso
xesxde
valornuevoel
Paso
xxxx
xxxx
esTaylordeseriela
xf
xf
ff
fcinefinidof
Paso
xyesxyde
elementalfunciónónla
Paso
dxxxx
xxxx
Ejemplo 3) Integrar la función: dxx 2cos
!6!4!21
!6
)1(
!5
)0(
!4
)1(
!3
)0(
!2
1
!1
)0(
!0
1
1)0cos(cos)0(
0)0()0(
1)0cos(cos)0(
0)0()0(
1)0cos(cos)0(
0)0()0(1)0cos()0(
)2
coscos
)1
cos
642
65432
06
05
04
0
0
0
2
2
xxx
xxxxxx
esMaclaurindeseriela
xf
sensenxf
xf
sensenxf
xf
sensenxff
Paso
xyesxyde
elementalfunciónla
Paso
dxxx
x
x
x
x
x
)!6)(13()!4)(9()!2)(5()5
!6!4!21
!6
)(
!4
)(
!2
)(1)4
""""
)3
1395
1284624222
2xxx
xcPaso
dxxxx
dxxxx
Paso
xesxde
valornuevoel
Paso
Ejercicios:
Tipo I. Integrar por series de Maclaurin ó series de Taylor las siguientes funciones:
1) dxx 2
13) dxx2ln 5) dxxsen 2
2) dxex2
4) dxxcos 6) dxxarctag
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
61
Evaluaciones tipo: Unidad 2.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 2
Clave: Evaluación tipo 1
dxx
dx 29
5)1
2 Técnica: Uso de tablas de fórmulas. Valor: 30 puntos.
dxx
2cos)2 5
Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 30 puntos.
dxxx
x
5
2)3
2 Técnica: Integración de fracciones parciales. Valor: 40 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 2
Clave: Evaluación tipo 2
?12
)1x
xdxTécnica: Integración por cambio de variable. Valor: 30 puntos.
?2)2 4 xdxsen Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 40 puntos.
dx
x32
5)3 Técnica: Integración por series de potencia. Valor: 30 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 2
Clave: Evaluación tipo 3
xdxxsen 2cos2)1 73 Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 30 puntos.
2
32 )4(
2)2
x
dx Técnica: Integración por sustitución
trigonométrica.Valor: 40 puntos.
dxxcos3)3 Técnica: Integración por series de Maclaurin. Valor: 30 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 2
Clave: Evaluación tipo 4
?ln2)1 xdxx Técnica: de integración por partes. Valor: 30 puntos.
?2)2 5 xdxctg Técnica: Integración de la cotangente y cosecante de “m” y “n” potencia. Valor: 30 puntos.
?2
2)3
2dx
xx
xTécnica: Integración de fracciones parciales. Valor: 40 puntos.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
62
Formulario de técnicas de integración: Unidad 2.
1. Fórmulas de integración de funciones que contienen las formas: 22 au a 0
ca
uarc
aau
dutan
1)1
22
c
a
uarcsen
ua
du22
)6
cau
au
aau
duln
2
1)2
22
c
u
aua
aauu
du 22
22ln
1)7
cau
au
aua
duln
2
1)3
22 cauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)8
cauuau
du 22
22ln)4
cauua
auu
duau 222
2222 ln22
)9
cauuau
du 22
22ln)5 c
a
uarcsen
aua
uduua
22)10
22222
2. Técnica de integración por cambio de variable: cuFduufdxxgxgf )()())(')((
3. Técnica de integración por partes: vduuvudv
Forman parte de este contenido las siguientes tablas:
4. Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.5. Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia.6. Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.7. Método de integración por sustitución trigonométrica.8. Método de integración de fracciones parciales.9. Método de integración por series de potencia.10. Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
63
Las Grandes Naciones, se formaron por hombres que tuvieron buenos principios y a los cuales fueron fieles toda su vida.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA.
Clases:
3.1 La integral definida.3.2 Teoremas de cálculo integral.3.3 Integración definida de funciones elementales:3.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn.3.5 Integración definida de funciones que contienen u.3.6 Integración definida de funciones que contienen las formas 22 au 3.7 Integrales impropias.
- Evaluaciones tipo.- Formulario de integración definidas de funciones elementales.- Formulario de integración definidas de funciones que contienen xn y u.- formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au - Formulario de integrales impropias.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
64
Clase: 3.1 La integral definida. Guía:- Definición de la integral definida. - Interpretación del resultado de la integral definida.- Propiedades de la integral definida. - Ejemplos. - Teorema fundamental del cálculo integral. - Ejercicios.
Definición de la integral definida:
Sean:
- 2R un plano rectangular
- ba, un intervalo cerrado en el eje de las “X”.
- f la gráfica de una función )(xfy continua a, b
- A el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
)(xfy ; 0y ó el eje X ; ax ; y bx .
- nn ,3,2,1 las particiones del intervalo ba, de tal
forma que bxyxxxxax nn ;; 2100
- 1 iii xxx un iésimo subintervalo de ba,
- ic un iésimo punto en ix - )( icf la imagen de ic
y - ii xcf )( la iésima área de A .
n
iii xcf
1
)( Es el área “ A ” aproximada bajo la gráfica en el intervalo ba, ; llamada Suma de Riemann.
nxSí i 0
y
10 )()(
n
b
aiilím
x dxxfxcfA es el área exacta bajo la curva ba,
Más adelante veremos que esta integral también es aplicable para muchos casos en la solución de problemas de las ciencias. También es recomendable señalar, que durante el proceso de estructuración de fórmulas enproblemas específicos generalmente es repetitivo; y como nuestro propósito en hacer del cálculo integral una ciencia más amigable entenderemos esta integral de la forma siguiente:
Sí b
adxxf )( es la integral definida entonces definiremos a:
b
adxab como el intervalo de cálculo y a: )(xf como la función.
Propiedades de la integral definida:
Sí gyf son funciones continuas e integrables ba , y k constante; se cumplen las siguientes
propiedades:
b
abadxxf 0)()1 Del intervalo cero.
b
a
a
bdxxfdxxf )()()2 Del cambio de intervalos.
b
a
b
adxxfkdxxfk )()()3 Del producto constante y función.
c
a
b
a
c
bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4 De la suma de intervalos.
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5 De la suma y/o diferencia de funciones.
b
Xeje
)( icf
a
ix
ic
)(xfy
A
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
65
Teorema fundamental del cálculo integral:
El teorema fundamental del cálculo integral; sirve para evaluar la integral definida y afirma que:
Interpretación del resultado de la integral definida:
Retomando la definición, hemos afirmado que el valor de la integral definida de una función es el valor del área bajo la curva, entendida ésta de signo positivo; sin embargo, es necesario reafirmar que uno de los objetivos esenciales de esta unidad es el desarrollo de las habilidades de cálculo sin limitar la creatividad del proceso pedagógico que se cumple al implementar problemas creados en el instante, aunque éstos no nos den resultados con signo positivos e incluso estos resultados sean falsos.
Desde luego en la Unidad 6 durante la aplicación del cálculo integral en el análisis de áreas, haremos una evaluación precisa de las mismas; por lo pronto se recomienda dar por inferencia la interpretación del resultado de la integral de la forma siguiente:
Resultado Posibilidades Ejemplo Gráfica
1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte positiva del eje de las “Y”.
1
1
2 )1( dxxResultado consigno (+)
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es mayor que el área de la parte negativa.
2
1dxx
1ª. Los límites superior e inferior del intervalo son iguales.
3
32dx
Resultado cero
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado, se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; y además ambas áreas de las partes positiva y negativa son iguales.
dxxsen
xy
2
1
1
12 xy
1
2y
3
b
axfFaFbFdxxf )()()()( '
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
66
1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte negativa del eje de las “Y”.
4
0dxx
Resultado consigno ( - )
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es menor que el área de la parte negativa.
1
2dxx
Resultadoindefinido
1ª. Al menos uno de los límites superior e inferior es indefinido.
3
2dxx
Resultadofalso
1ª. Existe al menos un punto de discontinuidad en la gráfica dentro del intervalo.
1
1 2
1dx
x
Ejercicios:
Tipo I. Dada una integral y su intervalo: a) Hacer el bosquejo de la gráfica con su intervalo. b) Predecir el resultado (signo (+); ó signo (-); ó valor 0; ó Indefinido; ó resultado falso).
dxx 1
1
21)1 dxx 4
01)4
2
0)2 dxxsen dx
x0
1
1)5
2
2
cos)3 dxx dxx
1
1
1)6
xy
32
2
1
xy
1 1
xy
4
xy 2
1
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
67
Clase: 3.2 Teoremas de cálculo integral. Guía:- Tarea: Teoremas de cálculo integral.
TAREA: TEOREMAS DE CÁLCULO INTEGRAL.
Título: Teoremas de Cálculo Integral.
Fecha de entrega: La que el Maestro indique.
Participación: Por equipos (máximo 3 alumnos).
Material: Hojas blancas tamaño carta; impresas en un solo lado; engrapadas. Elaboración: En computadora: Un teorema por hoja; más hoja de presentación; más hoja de bibliografía que hacen un total de 5 hojas, que se entregarán engrapadas más el CD con identificación (Primer apellido de los integrantes del equipo, título de la tarea y hora de clase).
Formato: - Nombre del teorema. grapa - Lo que el teorema afirma. - Trazar gráficas cuando se requieran. - Para las ecuaciones usar editor de fórmulas. - Un ejemplo de aplicación.
Evaluación: - Tarea obligatoria para tener derecho a examen de la unidad. - De 0 a 20 puntos extras en la unidad; más reconsideración al final del curso. - El equipo que presente la mejor tarea excenta la unidad con 80.
Valoración: NA = No acredita la unidad;
.00 puntosT .51 puntosT .102 puntosT .153 puntosT
puntosT 204 y reconsideración al final del
Curso. Hoja de presentación:Información mínima requerida; (vea formato); se permite hoja de color.
I NOMBRE DE LA INSTITUCIÒN EDUCATIVA Cálculo Integral
Tarea: Teoremas de Cálculo Integral.
- Teorema de existencia para integrales definidas. - Teorema fundamental del cálculo integral.- Teorema del valor medio para integrales.
Alumno:NlsNombrematernoApaternoA )(..
Alumno:NlsNombrematernoApaternoA )(..
Maestro:_____________________Hora de clase_____
Libre a tu imaginación
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
68
Clase: 3.3 Integración definida de funciones elementales. Guía:- Integración definida de funciones elementales: - Ejemplos. . Algebraicas. - Ejercicios. . Exponenciales. . Logarítmicas. . Trigonométricas. . Trigonométricas inversas. . Hiperbólicas. . Hiperbólicas inversas.
Integración definida de funciones elementales algebraicas:
Las funciones elementales algebraicas de interés a considerar son:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica
0y Constante cero
),( 0,0
1y Constante uno
),( 1,1
ky Constante ),( kk,
xy Identidad ),( ),(
xy
1 Racional ,0)0,( ,0)0,(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas:
b
adx 00)1
b
a
b
akxdxk)3 b
a
b
axdx
xln
1)5
b
a
b
axdx)2
b
a
b
a
xdxx
2)4
2
xy
xy
1
ky
0y
1y
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
69
Ejemplos:
10)0(2)5(2)(25;0
21)(;2
)()(2)15
0
5
0
x
ba
xdxdxxfk
dxxfkdxxfkdxb
a
ba
b
a
b
a
b
a
819132
2
3;1
22
)2()2 223
1
23
1
3
1
2
2
xx
ba
k
xkdxxk
dxx
b
a
b
a
3662.003662.01ln3
13ln
3
1ln
3
1
3;1
ln1
1
3
11
)(;3
1
)()(
3
1)3
3
1
3
1
3
1
x
ba
xdxxdx
xx
xfk
dxxfkdxxfkdx
x
b
a
b
a
b
a
b
a
Integración definida de funciones elementales exponenciales:
Funciones elementales exponenciales:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica representativa
xey De base ""e
),( ),0(
xay Ra De base ""a ),( ),0(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales:
b
a
b
axx edxe)1
b
a
b
a
xx
a
adxa
ln)2
Ejemplos:
2643.17357.02222)()2(2)1 )1()0(0
1
0
1
0
1
eeedxedxe xxx
2887.14
33
4
3
4
3
4
3
4
3)2
)0()1(1
0
1
0
eeeedx
e xx
6409.33ln2
19
3ln2
3
3ln2
3
3ln2
33
2
1
2
3)3
)0()2(2
0
2
0
2
0
xx
x
dxdx
xey
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
70
Integración definida de funciones elementales logarítmicas:
Funciones elementales logarítmicas:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica representativa
xy ln De base ""e ),0( ),(
xy alog Ra De base ""a ),0( ),(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas:
ba
b
axxdxx 1lnln)1
b
a
b
a aa e
xxdxx
loglog)2
Ejemplos:
1592.1133068.0611ln)1(312ln)2(31ln3ln)1 21
2
1 xxdxx
3124.0)0888.0(2236.07357.0log3
24715.1log
3
4
2log
3
24log
3
42log
3
)2()4(log
3
)4(log
33
log)2
1010
10101010
4
2
10
4
2
10
eeeee
xxdx
x
Integración definida de funciones elementales trigonométricas:
Funciones elementales trigonométricas:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica
xseny Seno , 1,1
xy cos Coseno , 1,1
xy tan Tangente ,23,2 x ,
xy ln
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
71
xy cot Cotangente ,2,,0 x ,
xy sec Secante ,23,2 x ),1()1,(
xy csc Cosecante ,2,,0 x ),1()1,(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas:
b
a
b
axdxxsen cos)1
b
a
b
axsendxx lncot)4
b
a
b
axsendxxcos)2
b
a
b
axxdxx tanseclnsec)5
b
a
b
axdxx coslntan)3
b
a
b
axxdxx cotcsclncsc)6
Ejemplos:
4)1(2)1(20cos2cos2cos22)100
xdxxsen
2308.0)7071.0ln(3
2)1ln(
3
2
4ln
3
2
2ln
3
2ln
3
2
3
cot2)2
2
4
2
4
sensenxsendxx
Integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas:
Funciones elementales trigonométricas inversas:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica
xsenarcy Seno inverso
1,1 2,2
xarcy cos Coseno inverso
1,1 ,0
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
72
xarcy tan Tangente inversa
),( )2,2(
xarcy cot Cotangente inversa
),(
2,
2
xarcy sec Secante inversa
),1[]1,( ],2()2,0[
xarcy csc Cosecante inversa
),1[]1,( ]2,0()0,2[
Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas:
b
a
b
axxarcsenxdxxarcsen 21)1
b
a
b
a
xxarcxdxxarc 1ln2
1cotcot)4 2
b
a
b
axxxdxx 21arccosarccos)2 b
a
b
axxxarcxdxxarc 1lnsecsec)5 2
b
a
b
a
xxxdxx 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
axxxarcxdxxarc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
2831.602831.600)1(12)1arccos()1(2)1(12)1arccos()1(2
12arccos21arccos2arccos2)1
22
1
121
1
1
12
xxxxxxdxx
4665.0007901.02566.1
1)1()1(ln5
3)1sec()1(
5
31)2()2(ln
5
3)2sec()2(
5
3
1ln5
3sec
5
31lnsec
5
3
5
sec3)2
22
2
1
22
1
2
1
2
arcarc
xxxxarcxxxarcxdxxarc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
73
Integración definida de funciones elementales hiperbólicas:
Funciones elementales hiperbólicas:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica
xsenhy SenoHiperbólico
),( ),(
xy coshCoseno hiperbólico
),( ),1[
xy tanh Tangentehiperbólica
),( )1,1(
xy cothCotangenteHiperbólica
),0()0,( ),1()1,(
xhy sec Secantehiperbólica
),( )1,0(
xhy cscCosecantehiperbólica
),0()0,( ),0()0,(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas:
b
a
b
axdxxsenh cosh)1 b
a
b
axsenhdxx lncoth)4
b
a
b
axsenhdxxcosh)2b
a
b
a
xdxxh
2tanharctan2sec)5
b
a
b
axdxx coshlntanh)3
b
a
b
a
xdxxh
2tanhlncsc)6
Ejemplos:
1
1
1
1 7008.43504.23504.2)1(2)1(22cosh2)1 senhsenhxsenhdxx
9992.05438.15446.02
1tanhln2
2
2tanhln2
2tanhln2csc2)2
2
1
2
1
xdxxh
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
74
Integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas:
Funciones elementales hiperbólicas inversas:
Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica
xarcsenhy Seno hiperbólicoInverso
),( ),(
xhy arccos Cosenohiperbólicoinverso
),1[ ),0[
xhy arctanTangentehiperbólicainversa
)1,1( ),(
xarcy coth Cotangentehiperbólicainversa
),1()1,( ),0()0,(
xharcy sec Secantehiperbólicainversa
1,0( ),0
xharcy csc Cosecantehiperbólicainversa
),0()0,( ),0()0,(
Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas:
b
a
b
axxarcsenhxdxxarcsenh 1)1 2
b
a
b
a
xxxarcdxxarc 1ln2
1cothcoth)4 2
b
a
b
axxhxdxxh 1arccosarccos)2 2b
a
b
a x
xxhxarcdxxharc
21arctansecsec)5
b
a
b
a
xxhxdxxh 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
axxhxxarcdxxharc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
1
0
1
02 1333)1 xxarcsenhxdxxarcsenh
4015.1302426.46441.21)0(3)0()0(31)1(3)1()1(3 22 arcsenharcsenh
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
75
3218.04406.04406.07218.04812.0
1)1()1(ln2
1)1(csc)1(
2
11)2()2(ln
2
1)2(csc)2(
2
1
1ln2
1csc
2
1
2
csc)2
22
2
1
2
1
2
harcharc
xxhxxarcdxhxarc
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas; obtener:
0
10)1 dx
1
12)3 dx
2
1 3)5 dx
x
3
2)2 dx
4
02)4 dxx
1
3 3
2)6 dx
x
Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales; obtener:
2
05)1 dxex
4
2 8)3 dx
ex
0
4 10
)5(3)5 dx
x
1
1 5
3)2 dx
ex
4
0)3(2)4 dxx
2
1 3
2)6 dx
x
Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas; obtener:
2
1ln5)1 dxx
4
3 8
ln)3 dx
x
8
7
10
10
log3)5 dx
x
2
1 5
ln3)2 dx
x 6
5 10log2)4 dxx 4
1
10
3
log)6 dx
x
Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas; obtener:
05)1 dxxsen 2
3
cot2)2
dxx 4
0 10
sec3)3
dxx
Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:
1
1 5
arccos3)1 dx
x
3
0 2
arctan)2 dx
x
2
1 6
csc)3 dx
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:
1
05)1 dxxsenh
0
1 2
tanh)2 dx
x
3
3 4
sec3)3 dx
xh
Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:
2
0 5
arccos3)1 dx
xh 3
2coth2)2 dxxarc
1
2 2
csc)3 dx
xharc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
76
Clase: 3.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Integración de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. . Funciones algebraica que contienen xn. - Ejercicios. . Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn.
Función algebraica que contienen xn.
Función Nombre Dominio Recorrido Gráficas representativas
nxy Algebraica que contiene xn
A obtenerse A obtenerse
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
011
)11
nn
xdxx
b
a
b
a
nn
Ejemplos:
7974.23
)1(2
3
)3(2
3
2
2
31;
2
1;3;1
1)133
3
1
3
3
23
2
3
1
3
1
3
1
2
1
xx
nnba
n
xdxx
dxxdxx a
b
a
b
a
nn
8.18555
)2(3
5
)5(3
5
3
53
13
)(;3
)()(3)2
55
5
2
5
2
55
2
514
4
5
2
4
xx
n
xdxxdxx
xxfk
dxxfkdxxfkdxx
b
a
b
a
nn
b
a
b
a
5303.0)1(2
1
)2(2
1
2
1
22
2;1
121
2)(;2
)()(2)3
22
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
33
1
2
1 3
3
x
x
ba
n
xdxx
dxxdxxxfk
dxxfkdxxfkdx
x
b
a
b
a
nn
x
b
a
b
a
2xy 3xy
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
77
4)2()2()3()3(
21)(;2)(
)()()()()12()4
22
3
2
3
2
3
223
2
xxdxdxxxgxxf
dxxgdxxfdxxgxfdxxb
a
b
a
b
a
1667.156
91
6
1
3
46
3
2
6
1
3
16
3
32
)1(3
2
6
)1()4(
3
2
6
)4(
3
2
622)5 3
33
34
1
4
1
4
1
334
1
22
xxdxxdx
xdxx
x
6666.623
24
3
16
)1(2)1(3
2)4(2)4(
3
22
3
21)6
4
1
34
1
3
4
1
34
1
21
x
xdxxdxxdx
x
x
Ejercicios:
Tipo I. Por la fórmula de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
1
2)1 dxx
2
1 2
1)7 dx
x
0
5
22 )1()13 dxx
1
2 2)2 dx
xdx
x2
1
1)8
4
01)14 dxx
4
0)3 dxx
1
1
2 )1()9 dxx dxxx )()15 21
0
4
0)4 dxx dxx
3
0)3(10
1
0)()16
2
dxxx
dxx2
0
3)5 dxx 1
1
21)11 dxx
x
2
1
1)17
dxx
1
2
1)6
1
1
2 )2()12 dxxx dxx
xx
1
1
23)18
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
78
Clase: 3.5 Integración definida de funciones que contienen u. Guía:- Integración definida de funciones que contienen u. . Trigonométricas. - Ejemplos. . Algebraicas. . Trigonométricas inversas. - Ejercicios. . Exponenciales. . Hiperbólica. . Logarítmicas. . Hiperbólicas inversas.
Integración definida de funciones que contienen u.
Sí u es cualquier función y Zn entonces se cumplen las siguientes fórmulas de integración:
Integración definida de funciones algebraicas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen u.
b
a
b
audu)1
b
a
b
a
nn
n
uduu
1)2
1 b
a
b
audu
uln
1)3
Ejemplos:
2
1
21 112
2;1
)1 x
ba
dxdu
udu
dx
b
a
ba
2.206
5
1031
15
3093
15
323125
15
2
15
5
15
)0(32
15
)1(32
15
32
5
32
3
1
1;0
51;4
3;321
3323
1
3
332
3
3232)2
5555
1
0
51
0
5
1
0
1
1
0
1
0
1
0
444
xx
ba
nn
dxduxun
uduu
dxxdx
x
dxdu
xu
ajusteelhacerPara
dxx
b
a
nn
8047.02ln
2
110ln
2
12ln
2
12
2
1
2
1
5;1
2;2
ln1
2
1)3
5
1
5
1
5
1
xdxx
ba
dxduxu
uduu
dxx
b
a
b
a
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
79
6250.0
8
)0(15
8
)1(15
8
15
4
1
2
521
2
15
;2;1
1;0115
""""
tan
:
15)4
441
0
42
1
0
421
0
32
2
1
1
0
321
0
32
x
xdxxx
xdxduxu
ban
uduu
xdxx
dxaxunir
yteconslasacar
Estrategia
dxxx
b
a
b
a
nn
Integración definida de funciones exponenciales que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen u.
b
a
b
auu edue)1
b
a
b
a
uu
a
adua
ln)2
Ejemplos:
6334.03
2
3
2
3
2
3
2
3
23
3
122)1
2)1(3)0(30
1
0
1
0
1
333
eeee
dxedxex
xx
512.68
33
8
3
8
3
8
32
2
1
4
3
4
3)2
3)1)0(2()1)1(2(1
0
1
0
)12(1
0
)12()12(
eeeee
dxedxe x
xx
6873.0
5
2
5
2
5
2
5
2
1;0
;15
2
5
2)3
1
0
11
0
11
0
1
0
11
ee
dxe
ba
dxduxu
edue
dxedxe x
x
b
a
b
auu
xx
2557.1
3ln2
5
3ln2
35
3ln2
35
3ln2
35
3ln
3
2
5
5
135
2
1
2
3)4
4.05
0
5
22
0
2
0
55
2
0
5
xx
x
dxdx
Integración definida de funciones logarítmicas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen u.
b
a
b
auuduu 1lnln)1
b
a
a
b
a a e
uuduu
loglog)2
Ejemplos:
2382.3)9205.0(3177.212ln314ln61)1(2ln)1(31)2(2ln)2(3
12ln31)2(ln22
322ln
2
132ln3)1
2
1
2
1
2
1
2
1
xxxxdxxdxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
80
5132.0)1118.0()6250.0()2(2
log3
)2()4(2log
3
)4(
2log
322log
2
1
3
1
3
2log)2
1010
4
2
4
2
10
4
2 1010
ee
e
xxdxxdx
x
Integración definida de funciones trigonométricas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen u.
b
a
b
auduusen cos)1
b
a
b
auduuu sectansec)7
b
a
b
ausenduucos)2
b
a
b
auduuu csccotcsc)8
b
a
b
auduu coslntan)3
b
a
b
auduu tansec)9 2
b
a
b
ausenduu lncot)4
b
a
b
auduu cotcsc)10 2
b
a
b
auuduu tanseclnsec)5
b
a
b
a
uuuuduu tansecln2
1tansec
2
1sec)11 3
b
a
b
auuduu cotcsclncsc)6
Ejemplos:
0)0(22
1)(2
2
1
22
122cos
2
1
;0
2;2
cos
2cos)10
0
0
sensen
xsendxx
ba
dxduxu
usenu
dxx
b
a
ba
7818.1
4
)0(3tan
3
8
4
3tan
3
8
4
3tan
3
8
4
3
4
3sec
3
42
4;0
4
3;
4
3
tansec
4
3sec2)2
4
4
0
4
0
2
2
4
0
2
xdx
x
ba
dxdux
u
uduu
dxx
b
a
ba
8196.03.05196.020
5cot10
3
65cot
10
35cot
10
355csc
5
1
2
3
6;
20;5;5
cotcsc5csc
2
3csc
1
.
52
3)3
6
20
6
20
2
6
20
2
26
202
xdxx
badxduxu
uududxx
uusen
trigident
dxxsen
b
a
ba
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
81
08
1
8
1)(2cos
8
1)(2cos
8
12cos
8
1
4
2cos
2
1
222cos2
1
;;22
;2cos122cos)4
4444
3
1
3
xx
dxxsenx
baxdxsendu
xun
uduu
dxxsenx
b
a
b
a
nn
Integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”.
b
a
b
auuarcsenuduuarcsen 21)1
b
a
b
auuarcuduuarc
1ln2
1cotcot)4 2
b
a
b
auuuduu 21arccosarccos)2 b
a
b
auuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2
b
a
b
auuuduu
1ln2
1arctanarctan)3 2 b
a
b
auuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
4242.94792.11055.28660.00472.168660.05235.06
2
)1(1
2
)1(arccos
2
)1(6
2
)1(1
2
)1(arccos
2
)1(6
21
2arccos
26
22arccos)2(3
2arccos3)1
22
1
1
21
1
1
1
xxxdxx
dxx
4825.0004
17627.16928.3
4
101ln)1sec(
4
183ln)3sec(3
4
1
1)1)1(2()1)1(2(ln)1)1(2sec()1)1(2(41
1)1)2(2()1)2(2(ln)1)2(2sec()1)2(2(41
1)12()12(ln)12sec()12(4
1
)2)(12sec(21
21
2)12sec(
)2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
arcarc
arc
arc
xxxarcx
dxxarcdxxarc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
82
Integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u.
b
a
b
auduusenh cosh)1
b
a
b
auduuh tanhsec)7
2
b
a
b
ausenhduucosh)2
b
a
b
auduuh cothcsc)8
2
b
a
b
auduu coshlntanh)3
b
a
b
ahuduuuh sectanhsec)9
b
a
b
ausenhduu lncoth)4
b
a
b
auhduuuh csccothcsc)10
b
a
b
a
uduuh
2tanharctan2sec)5
b
a
b
a
uduuh
2tanhlncsc)6
Ejemplos:
3572.13)6785.6(6785.6
)1(33
2)1(3
3
23
3
233cosh
3
123cosh2)1
1
1
1
1
1
1
senhsenhxsenhdxxxdx
1223.01666.0(0443.0)0(2sec6
1)1(2sec
6
1
2sec6
122tanh2sec
2
1
3
1
3
2tanh2sec)2 1
0
1
0
1
0
hh
xhdxxxhdxxxh
Integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración definida de funcione hiperbólicas inversas que contienen u.
b
a
b
auuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2
b
a
b
a
uuuarcduuarc 1ln2
1cothcoth)4 2
b
a
b
auuhuduuh 1arccosarccos)2 2
b
a
b
au
uuhuarcduuharc
21arctansecsec)5
b
a
b
a
uuhuduuh 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
auuuharcuduuharc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
83
Ejemplos:
7354.0607082.64436.114
)0(6
2
)0()0(3
14
)1(6
2
)1()1(31
46
23
12
622
622
232
3)1
2
21
0
2
1
0
1
0
21
0
arcsenh
arcsenhxx
xarcsenh
xxarcsenh
xdxxarcsenhdx
xarcsenh
3823.03030.01637.06824.01666.01)1(9)1(3ln6
1)1(3csc
2
)1(
1)10(9)10(3ln6
1)10(3csc
2
)10(193ln
6
13csc
2
1)3()3(ln)3(csc)3(6
133
3
1
2
1
2
3csc)2
2
210
1
2
10
1
210
1
10
1
harc
arcxxxharcx
xxxharcxdxxarccshdxxharc
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen “u”; obtener:
4
0
312)1 dxx
0
1 221
3)2 dx
x 3
1 41
2)3 dx
x
Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen “u”; obtener:
2
0
2
4
3)1 dx
e x
0
1
)13(3)2 dxe x
3
1
4)3(2)3 dxx
Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen “u”; obtener:
2
12ln5)1 dxx
4
2 2
)14ln(3)1 dx
x
5
0
10
5
)12(log3)3 dx
x
Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen “u”; obtener:
dxxsen
0 4
25)1 dx
x
2
2 3
)12(cos5)2
dx
x
0 10
5sec3)3
Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”; obtener:
1
023)1 dxxarcsen
3
0 4
)12arctan()2 dx
x
2
1 6
2csc)3 dx
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen “u”; obtener:
1
025)1 dxxsenh
0
1 2
)13tanh()2 dx
x
3
3 5
3sec3)3 dx
xh
Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen “u”; obtener:
2
0 5
2arccos3)1 dx
xh
3
23coth2)2 dxxarc
1
2 5
2csc3)3 dx
xharc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
84
Clase: 3.6 Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. Guía:- Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. - Ejemplos.
- Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . - Ejercicios.
Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2.
Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au a 0
b
a
b
aa
u
aau
duarctan
1)1 22
b
a
b
aa
uarcsendu
ua
du22
)6
b
a
b
aau
au
aau
duln
2
1)2
22
b
a
b
au
aua
aauu
du 22
22ln
1)7
b
a
b
aau
au
aua
duln
2
1)3
22
b
a
b
aauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)8
b
a
b
aauu
au
du 22
22ln)4
b
a
b
aauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)9
b
a
b
aauu
au
du 22
22ln)5
b
a
b
aa
uarcsen
aua
uduua
22)10
22222
Ejemplos:
1322.20661.10661.13
10arctan
6
5
3
10arctan
6
53
2arctan
3
1
2
5
34
2
2
15
3;9
2;2;4
arctan1
94
5)1
5
5
5
52
2
22
22
5
5 2
x
x
dx
aa
dxduxuxu
a
u
aau
du
x
dx
b
a
b
a
2464.16233.06231.07630.122
17626.1
22
11715.0ln
22
18280.5ln
22
1
7071.1
2928.0ln
22
1
2928.0
7071.1ln
22
1
12
12ln
22
1
12
12ln
22
1
12
12ln
22
1
21
2
2
1
2;2;2
;1;1
ln2
1
21
1)2
21
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1 2
2
2
22
2
1
2
1 2
x
x
x
dx
dxduxuxu
aa
au
au
aua
du
dxx
b
a
b
a
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
85
571.0414.2985.25)3(3ln2
35)4(4ln
2
3
5ln2
3
)5()(
)(
2
3
5;5
;;
ln
52
3)3
22
4
3
24
3 22
43
2
22
22
22
4
3 2
xxx
dx
aa
dxduxuxu
auuau
du
x
dx
ba
b
a
b
a
2
1
2
222
222
22222
1
2 2142
1
1;1;2;2;4
ln2214)4 dxx
aadxduxuxu
auua
auu
duaudxx
b
a
b
a
2
1
22
2
1
22
2 142ln4
114
214)2(ln
2
)1(14
2
)2(
2
1
xxx
xxxx
x
1)1(4)1(2ln
4
11)1(4
2
)1(1)2(4)2(2ln
4
11)2(4
2
)2( 2222
1256.63609.01180.15236.01231.452ln4
1
2
5174ln
4
117
2;4;;;
ln24
2
1
2
4)5
222
2222222
0
22
0
2
aadyduyuyu
auuauu
duaudyydy
yb
a
b
a
2
0
222
0
22 4)(ln44
4)(ln2
)4(4
2
)(
2
1
yyy
yyyy
y
)4()0()0(ln)4()0(
4
)0(4)2()2(ln4)2(
4
)2( 2222
2956.26931.005745.14142.1
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au integrar:
2
2 24)1
x
dxdx
x 1
1 2 83
2)4
2
1
2
1 2416
5)7 dx
x
0
5 2 9
5)2 dx
x
4
6 2 1)5
x
dx
4
2
2 423)8 dxx
2
1
2
1 294
2)3 dx
x
4
3 2 162
2)6 dx
x 4
1
4
1
2
3
5105)9 dx
x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
86
Clase: 3.7 Integrales impropias. Guía:- Definición de las integrales impropias.- Clasificación de las integrales impropias.- Cálculo de las integrales impropias.- Ejemplos. - Ejercicios.
Definición de las integral impropia:
Son las integrales definidas de funciones que se caracterizan porque al menos uno de los extremos del intervalos es infinito; o bien presentan al menos un punto de discontinuidad.
Las integrales impropias son evaluables si existe el límite y se dice que la función es convergentes; en cambio no son evaluables si no existe el límite y se dice que la función es divergentes.
Clasificación de las integrales impropias:
Las integrales impropias se clasifican según su intervalo de definición, así tenemos:
Clasificación Subtipo
Intervalo Representación gráfica Estructuración de la integral
1A a, a a
t
límt dxxfdxxf
1
1)()(
1B ,b 2
2)()(
t
bb
límt dxxfdxxf
Tipo 1 ó de 1ª clase
Característica:Presentan al menos un intervalo infinito
1C ,
c
t
t
c
límt
límt
c
c
dxxfdxxf
dxxfdxxf
dxxf
1
2
21)()(
)()(
)(
2t
)(xfy
b
)(xfy
a 1t
)(xfy
2t1t c
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
87
2A ba, 1
1)()(
t
a
b
a
límbt dxxfdxxf
2B cb,
c
t
c
b
lím
btdxxfdxxf
22)()(
Tipo 2 ó de 2ª clase
Característica:Presentan al menos un punto de discontinuidad
2C cba
1
221)()(
)()(
)(
t
a
c
t
lím
bt
lím
bt
b
a
c
b
c
a
dxxfdxxf
dxxfdxxf
dxxf
Ejemplo 1) Dada la función 2
1
xy y extremos de intervalos :1;2 xyx
a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia. c) Clasifíquela según corresponda. d) Estructurar las integrales impropia.
a) En el intervalo 2, Integral impropia tipo 1
b) En el intervalo ,1 Integral impropia tipo 1
c) En el intervalo 0,2 Integral impropia tipo 2
d) En el intervalo 1,0 Integral impropia tipo 2
e) En el intervalo 1,2 Integral impropia tipo 2
102
2
1
xy
)(xfy
c2tb
Asíntota vertical
)(xfy
1ta
Asíntota vertical
b
2t
1t
Asíntota vertical
)(xfy
a cb
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
88
dxx
dxx
at
límt
2
2
2
21
1
11)
dxx
dxx
btlím
t 2
2 1 21 2
11)
dx
xdx
xc
tlímt
1
1 2 20
0
2 2
11)
dxx
dxx
dt
límt
1
20
1
0 22
2
11)
dx
xdx
xdx
xdx
xdx
xe
t
límt
tlímt
1
202 20
0
2
1
0 22
1
2 22
2
1
1
11111)
Ejemplo 2) Dada la función x
y1
y extremos de intervalos xyxx ;1;0 :
a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda, d) Estructurar las integrales impropia.
a) En el intervalo 1,0 Integral impropia tipo 2
b) En el intervalo ,1 Integral impropia tipo 1
dxx
dxx
at
límt
1
0
1
0 22
11)
dxx
dxx
btlím
t 2
2 11
11)
Cálculo de las integrales impropias.
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (α, a].
Ejemplos 1) Sea: 2
1
xy Calcula el valor de la integral en el intervalo 1, .
11
1
11
1
1
1
111
21
2
tx
xdxxdx
x
límt
t
límt
tt
límt
límt
Ejemplo 2) Sea: x
y
2
1 Calcula el valor de la integral en el intervalo 1, .
0
)(2ln)1(2ln
2ln)(2
1)(
2
1 111
t
xdxx
dxx
límt
límtt
límt
Interpretación del resultado: Esta integral no es evaluable y la función es divergente.
xy
1
1 0
1
2
1
xy
xy
2
1
1
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
89
Ejemplo 3) Sea: xey Calcula el valor de la integral en el intervalo 0, .
10100
000
eeee
edxedxe
tlímt
txlím
tt
xlímt
x
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo [b, α).
Ejemplo: Sea: 2
1
xy Calcula el valor de la integral en el intervalo ,1
11
111
1
1
1
11
12
1 2
tt
lím
xt
lím
x
t
límdxx
t
límdx
x
t
tt
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (-α, α).
Ejemplo: Sea: 1
12
x
y Calcular el valor de la integral en el intervalo: ,
022
0
0tantantan0tan
tantan
1
1
1
1
1
1
21
00
0
0 222
21
2
211
1
2
21
arctarctarcarc
xarcxarc
dxx
dxx
dxx
límt
límt
tlímtt
límt
t
tlímt
límt
0
1
0
xey
1
12
x
y
2t1t
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
90
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de [a, b) y discontinuidad en b.
Ejemplo: Sea: x
y
1
Calcula el valor de la integral en el intervalo .0,4
t lím
t
lím
t
b
a
t
a
lím
bt
dxxdxx
bax
xf
dxxfdxxf
dxx
4
0
42
1
00
0
4
1)1(1
0;4
1)(
)()(
1
4420)4(2)0(22
1 00
0
4
21
0
lím
t
lím
t
lím
t
x
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de (b, c] y discontinuidad en b.
Ejemplo: Sea: x
y1
1 Calcula el valor de la integral en el intervalo: .1,0
3)00()21(
21212
11
11
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ttxx
dxx
dxx
dxx
lím
ttlím
t
t
lím
tt
lím
t xy
11
1t0
4 t 0
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
91
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b.
Ejemplo: Sea: 3 2 44
3
xxy Calcula el valor de la integral en el intervalo: 4,0
4
3 220 3 22
4
2 3 2
2
0 3 2
4
0 3 2
4
0 3 2
12
1
1 )2(3
)2(3
)2(3
)2(3
)2(
3
44
3
t
lím
t
tlím
t x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
6786.22)03393.11()3393.110(2)(92)0(9
2)4(92)(92929
31
)2(3
31
)2(3
)2(3
)2(3
322
32
32
312
43
20
32
4
31
2
0
31
2
4
3 220 3 22
21
212
2
1
1
2
2
1
112
1
1
t
txx
xx
x
dx
x
dx
lím
t
lím
t
lím
t
lím
tt
lím
t
tlím
t
t
lím
t
t
lím
tt
lím
t
tlím
t
Ejercicios:
Tipo I. Dada la función y extremos de intervalos: a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda.
;0;1;1
)1 xxxx
y 1;0;1
1)4
xxx
xy
0;1;1
)2
xxxx
y
xxxx
y ;0;11
1)5
xxxxxx
y ;10;1;4
4)3
2
Tipo II. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (α, a]; en el intervalo que se indica.
1,1
)1 x
y 0,1
1)4
xy
2,1
)2 x
y 2,4
1)5
2
xy
1,1
)3
x
y 4,32
10)6
2
xy
420 21 tt
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
92
Tipo III. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo [b, α); en el intervalo que se indica.
,11
)1x
y ,11
)3x
y ,24
1)5
2
xy
,11
)2x
y ,01
1)4
xy
Tipo IV. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (-α, α); en el intervalo que se indica.
,9
1)1
2
xy ,
4
1)2
2
xy
Tipo V. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo[a, b) y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
0,11
)1 x
y 0,31
)3
x
y 1,01
1)4
xy
0,21
)2 x
y
Tipo VI. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo (b, c] y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
2,01
)1x
y 3,01
)3x
y 0,11
1)4
xy
1,01
)2x
y
Tipo VII. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
2
0 3 2 12
5)1
xx
dx 2,21
)22
x
y 3,2)12(
3)3
3 2
xy
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
93
Evaluaciones tipo: Unidad 3
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 3
Clave: Evaluación tipo 1
4
12)1 dxx
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
1
1
2 4)2 dxxIndicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
dxx 0
1413)3
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
dxx
2
0 2cos3
)4 Indicadores a evaluar:
- Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
dxx
2
4 3 2)2(
2)5
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Estructurar la integral impropia.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 3
Clave: Evaluación tipo 2
1
14)1 dx
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
1
21)2 dxx
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
dxx 0
122)3
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
dxxSen
0 4)4
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
3
0 2 9410
)5x
dx Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
94
Formulario de integración definida de funciones elementales: Unidad 3.
Propiedades de la integral definida de funciones elementales:
b
abadxxf 0)()1
c
a
b
a
c
bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4
b
a
a
bdxxfdxxf )()()2
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5
b
a
b
adxxfkdxxfk )()()3
Fórmulas de integración definida de funciones elementales:
Algebraicas:
b
adx 00)1
b
a
b
akxdxk)3 b
a
b
axdx
xln
1)5
b
a
b
axdx)2
b
a
b
a
xdxx
2)4
2
Exponenciales:
b
a
b
axx edxe)1
b
a
b
a
xx
a
adxa
ln)2
Logarítmicas:
ba
b
axxdxx 1lnln)1
b
a
b
a
aa e
xxdxx loglog)2
Trigonométricas:
b
a
b
axdxxsen cos)1
b
a
b
axsendxx lncot)4
b
a
b
axsendxxcos)2
b
a
b
axxdxx tanseclnsec)5
b
a
b
axdxx coslntan)3
b
a
b
axxdxx cotcsclncsc)6
Trigonométricas inversas:
b
a
b
axxarcsenxdxxarcsen 21)1
b
a
b
a
xxarcxdxxarc 1ln2
1cotcot)4 2
b
a
b
axxxdxx 21arccosarccos)2 b
a
b
axxxarcxdxxarc 1lnsecsec)5 2
b
a
b
a
xxxdxx 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
axxxarcxdxxarc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
95
Hiperbólicas:
b
a
b
axdxxsenh cosh)1 b
a
b
axsenhdxx lncoth)4
b
a
b
axsenhdxxcosh)2b
a
b
a
xdxxh
2tanharctan2sec)5
b
a
b
axdxx coshlntanh)3
b
a
b
a
xdxxh
2tanhlncsc)6
Hiperbólicas inversas:
b
a
b
axxarcsenhxdxxarcsenh 1)1 2
b
a
b
a
xxxarcdxxarc 1ln2
1cothcoth)4 2
b
a
b
axxhxdxxh 1arccosarccos)2 2b
a
b
a x
xxhxarcdxxharc
21arctansecsec)5
b
a
b
a
xxhxdxxh 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
axxhxxarcdxxharc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
96
Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u: Unidad 3.
Propiedades de la integral definida de funciones que contienen xn y u.
b
abadxxf 0)()1
c
a
b
a
c
bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4
b
a
a
bdxxfdxxf )()()2
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5
b
a
b
adxxfkdxxfk )()()3
Fórmula de funciones algebraicas que contienen “xn. 011
)11
nn
xdxx
b
a
b
a
nn
Fórmulas de integración definida de funciones que contienen u.
Algebraicas: b
a
b
audu)1
b
a
b
a
nn
n
uduu
1)2
1 b
a
b
audu
uln
1)3
Exponenciales: b
a
b
auu edue)1
b
a
b
a
uu
a
adua
ln)2
Logarítmicas: b
a
b
auuduu 1lnln)1
b
a
a
b
a a e
uuduu
loglog)2
Trigonométricas:
b
a
b
auduusen cos)1
b
a
b
auduuu sectansec)7
b
a
b
ausenduucos)2
b
a
b
auduuu csccotcsc)8
b
a
b
auduu coslntan)3
b
a
b
auduu tansec)9 2
b
a
b
ausenduu lncot)4
b
a
b
auduu cotcsc)10 2
b
a
b
auuduu tanseclnsec)5
b
a
b
a
uuuuduu tansecln2
1tansec
2
1sec)11 3
b
a
b
auuduu cotcsclncsc)6
Trigonométricas inversas:
b
a
b
auuarcsenuduuarcsen 21)1
b
a
b
auuarcuduuarc
1ln2
1cotcot)4 2
b
a
b
auuuduu 21arccosarccos)2 b
a
b
auuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2
b
a
b
auuuduu
1ln2
1arctanarctan)3 2 b
a
b
auuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
97
Hiperbólicas:
b
a
b
auduusenh cosh)1
b
a
b
auduuh tanhsec)7
2
b
a
b
ausenhduucosh)2
b
a
b
auduuh cothcsc)8
2
b
a
b
auduu coshlntanh)3
b
a
b
ahuduuuh sectanhsec)9
b
a
b
ausenhduu lncoth)4
b
a
b
auhduuuh csccothcsc)10
b
a
b
a
uduuh
2tanharctan2sec)5
b
a
b
a
uduuh
2tanhlncsc)6
Hiperbólicas inversas:
b
a
b
auuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2
b
a
b
a
uuuarcduuarc 1ln2
1cothcoth)4 2
b
a
b
auuhuduuh 1arccosarccos)2 2
b
a
b
au
uuhuarcduuharc
21arctansecsec)5
b
a
b
a
uuhuduuh 1ln2
1arctanarctan)3 2
b
a
b
auuuharcuduuharc 1lncsccsc)6 2
Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au : Unidad 3.
b
a
b
aa
u
aau
duarctan
1)1 22
b
a
b
aa
uarcsendu
ua
du22
)6
b
a
b
aau
au
aau
duln
2
1)2
22
b
a
b
au
aua
aauu
du 22
22ln
1)7
b
a
b
aau
au
aua
duln
2
1)3
22
b
a
b
aauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)8
b
a
b
aauu
au
du 22
22ln)4
b
a
b
aauu
aau
uduau 22
22222 ln
22)9
b
a
b
aauu
au
du 22
22ln)5
b
a
b
aa
uarcsen
aua
uduua
22)10
22222
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
98
Formulario de integrales impropias: Unidad 3.
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de a, :
∫∫ )()(- ∝-→
a
t
a límt dxxfdxxf
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de ,b :
t
bb
límt dxxfdxxf )()(
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de , :
∫ ∫∫∫∫
1
2
21)()(
)()()(
→∝-t
--
c
t
t
c
límt
lím
c
c
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de ba, y
discontinuidad en :b
t
a
b
a
lím
btdxxfdxxf )()(
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de cb, y
discontinuidad en a:
c
t
c
b
lím
btdxxfdxxf )()(
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de cba y
discontinuidad en .b
1
221)()(
)()()(
t
a
c
t
lím
bt
lím
bt
c
b
b
a
c
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
t a
tb
ta
Asíntota vertical
b
)(xfy
t cb
Asíntota vertical
)(xfy
Asíntota vertical
2ta b c
1t
)(xfy
2t1t c
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
99
Es difícil y a veces hasta imposible, poder coexistir en una sociedad donde impera la corrupción.
La simulación es otra forma mas de mentir, sólo que ahora se encuentra potenciada con el engaño y es el principio de ser perverso.
Lo bueno de las matemáticas, es que no permiten el uso de estas deficiencias humanas.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.
Clases:4.1 Cálculo de longitud de curvas.4.2 Cálculo de áreas.4.3 Cálculo de volúmenes.4.4 Cálculo de momentos y centros de masa.4.5 Cálculo del trabajo.
- Evaluaciones tipo.- Formulario de aplicaciones de la integral.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
100
Clase: 4.1 Cálculo de longitud de curvas. Guía:- Conceptos básicos.- Integral para el cálculo de longitud de curva. - Ejemplos.- Método. - Ejercicios.
Conceptos básicos:
Curva: Es una porción de la gráfica de una función limitada por un intervalo.Arco: Es una porción limitada de la curva.Cuerda: Es la recta que toca los puntos extremos de un arco.Curva rectificable; (Definición):
Sean:2R Un plano rectangular.
],[ ba un intervalo cerrado en el eje de las “X”.
f la gráfica de una función continua baxfy ,)( .
n,,3,2,1 las particiones del intervalo ],[ ba de tal forma que
bxyxxxxax nn ;; 2100
una partición en el intervalo ],[ ba
1 iii xxx una iésima partición de ],[ ba
iL la cuerda de ix
iL la longitud de la cuerda de ix
n
iiL
1
la sumatoria de las longitudes de todas de la cuerdas en ],[ ba .
Sí nxi 0 que transformada a límites quedaría:
10
ni
límx x
iSí el límite existe entonces se dice que la curva es rectificable.
Integral para el cálculo de longitud de curva.
Sean:)(xfy una curva rectificable.
ix un iésimo subintervalo de ],[ ba
iy un iésimo subintervalo en el eje “Y” como resultado de las imágenes de ix
iL la iésima hipotenusa del triángulo cuyos catetos son ii yyx
n
iix
1
es la longitud aproximada de la curva en el intervalo ., ba
Sí nxi 0 entonces:
10
ni
límx xL
i es la longitud exacta de la curva en el intervalo ],[ ba
Curva
nn xxxxx
ba
1210
iL
a bix
iL
a b
iyix
Intervalo
Arco
Cuerda
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
101
Como:
)(12
2
2
2
22222
ii
ii
i
i
i
i
i
iiiiii x
x
yx
x
y
x
x
x
xyxyxL
Entonces: in i
ilímx
ni
límx x
x
yxL
ii
1
2
01
0 1
Que traducido a una integral, esta quedaría: b
adxxfL 2)(1
De la misma forma y por paráfrasis matemática d
cdyyfL 2)(1
Método:
1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique la longitud de la curva a calcular.
2) Identifique )()(,, yfóxfba3) Formule la integral para el cálculo de la longitud de la curvas.4) Calcule la longitud de la curva.
Ejemplos:
1.- Calcular la longitud de la recta 2y entre el intervalo 31 xyx :
413)1()3(
101
0)(
0)(
2)(
3
1
)(1
3
1
3
1
31
2
2
xdxdx
xf
xf
xf
b
a
dxxfLb
a
2.- Calcular la longitud de la recta xy entre el intervalo 21 xyx :
2
1
2
1
2
2 4142.1211
1)(
1)(
)(
2
1
)(1 xdx
xf
xf
xxf
b
a
dxxfLb
a
3.- Calcular la longitud de la curva 22 xy entre el intervalo 21 xyx :
b
adxx
xxf
xxf
xxf
b
a
dxxfL2
1
2
22
22 1256.641
4)(
2)(
2)(
2
1
)(1
2y
3-1
xy
21
22 xy
-1
2
d
c
a b
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
102
4.- Calcular la longitud de la curva 32 xy entre el intervalo de intersección con
la recta 1 xy :
b
a
dxx
xxfxxf
xxf
ba
xxxx
dxxfL
1256.6
41
4)(;2)(
3)(
2;1
2;1;13
)(1
2
1
2
22
2
212
2
5.- Calcular la longitud de la curva xy 4 entre el intervalo 10 xyx :
dxx
xfxf
xxf
ba
dxxfLb
a
xxx
1
0121
42
2 11
)(;)(
4)(
1;0
)(1
El resultado es una integral que parece difícil de resolver en ausencia de software, sin embargo al calcular la longitud de la curva con respecto al eje “Y”, se observa que la integral es solucionable con métodos ya conocidos, como lo veremos a continuación.
2
0
22
0 4
4
2
24
4
4
4
2
2956.242
11
)(;)(;)(
221
000
4
)(1
2
22
2
2
2
dyydy
yfyfyf
dycomo
cycomo
xxySí
dyyfL
y
d
c
yyy
y
y
y
Ejercicios:
Tipo I. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:
1) 1 xy Intervalo: 40 xyx 2) 24 xy Intervalo: 02 xyx
Tipo II. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:
1)1 2 xy entre el intervalo de intersección con la recta 3y23)2 xy entre el intervalo de intersección con la curva
22xy 2)3 2 xy entre el intervalo de intersección con la curva xy
Tipo III. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:
1) xy Intervalo: 21 xyx 3) xy 3 Intervalo: 41 xyx
2) xy 21 Intervalo: 20 xyx
4
2yx
2
xy 4
1
-1
2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
103
Clase: 4.2 Cálculo de áreas. Guía:- Clasificación de las áreas.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2.- Cálculo de áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.- Ejemplos.- Ejercicios.
Clasificación de las áreas:
Las áreas para efectos de cálculo se clasifican según sus características y localización, así tenemos:
Clasificación Localización Representación gráfica Estructuración de la integral
Tipo I Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.
b
adxxfA )(
Tipo II Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.
b
adxxfA )(
Tipo III Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.
c
b
b
adxxfdxxf
AAA
)()(
21
Tipo IV Las áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2. dxxgxfA
b
a )()(
Tipo V Áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.
dyygyfAd
c )()(
ba
)(xfy
A
a
A
ba
)(xgy
)(xfy
ba
)(xfy
A
c
)(xfy
1A2Ab
A
d
c )( yfx
)( ygx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
104
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.
Por definición de la integral definida, se entiende que el valor de la integral de la función )(xfy para 0)( xf es el área bajo la gráfica de la función
entre las rectas ;bxyax entonces podemos concluir:
b
adxxfA )(
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.
Sí para una función )(xfy en el intervalo ba, para 0)( xf es el área
bajo la gráfica de la función, entonces para 0)( xf podemos inferir que:
b
adxxfA )(
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.
De las dos inferencias anteriores podemos concluir la presente fórmula para el cálculo del valor del área, y desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos similares. Así en el presente caso tenemos:
c
b
b
adxxfdxxfAAA )()(21
Cálculo de áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2.
Al analizar la función )(xfy en el intervalo ba, para 0)( xf es el área
bajo la gráfica de la función con signo positivo, y que para 0)( xf también
es el área pero con signo negativo, ahora podemos inferir una nueva fórmula para el caso de áreas limitadas entre dos ó más gráficas y que desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos en todo el espacio rectangular.
b
adxxgxfA )()(
Método; (áreas limitadas por una función y el eje de las “X”): 1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).(; xfyba
Notas: a) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de )( xfy y el eje de las “X”
b) Para el caso en que el área se localice en la parte superior e inferior del eje “X” también será necesario identificar u obtener el punto c . 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.
Método; (áreas limitadas por dos funciones) 1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).()(;; xgyxfba Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de )( xfy y )(xgy 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.
ba
)(xfy
A
ba
)(xfy A
ca
)(xfy
1A2Ab
A
ba
)(xgy
)(xfy
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
105
Ejemplos:
1) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 0; x = 1; y x = 5
5
1
51 8)1(2)5(222
2)(
5
1
)( xdx
xf
b
a
dxxfAb
a
Nota: Esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: 8)2()4( ladoxladoA ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas mas complejos
como lo veremos a continuación.
2) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
01 2 yyxy
b
a xx
dxx
xxfba
xxxdxxfA
3
4
3
1
1)(;1;1
1;101)( 1
1
3
1
1
2
2
212
3) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
4;0; xyyxy
4
0
4
0
3
3
16
3
2
)(
4;0)(
xdxx
xxf
badxxfA
b
a
4) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: 11;0; xyxyxy
0
1
1
0
20
1
21
0
21
122
)(
1;0;1)()(
xxdxxdxx
xxf
cbadxxfdxxfAAA
b
a
c
b
5) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 1; x = 1; y x = 5
4)1()5(12
1)(
2)(
5
1
)()( 51
5
1
xdx
xg
xf
b
a
dxxgxfAb
a
Nota: Nuevamente insistimos que esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: 4)1()4( ladoxladoA ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas
mas complejos como lo veremos a continuación.
2A
1A 1x
1x
x=5x=1
y=2
y=0
A
0y
21 xy
A
4x
A 0y
)(xfy
xy
x=1
y=2
x=5
y=1A
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
106
6) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
xyyxy ;2
3
1
33
2
)(;)(
1;0
1;0)()( 1
0
33
1
0
2
2
21
2
xx
dxxx
xxgxxf
ba
xx
xx
dxxgxfAb
a
7) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
2;2 2 yyxy
3
32
34
4
)2()2(
2)(;2)(
2;2
2;2
22
)()(2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
21
2
x
x
dxx
dxx
xgxxf
ba
xx
x
dxxgxfAb
a
Cálculo de áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.
Aplicando los conocimientos sobre cálculo de áreas de dos ó más funciones localizadas en cualquier parte de R2 y por paráfrasis matemática podemos inferir que:
dyygyfA
d
c )()(
Método; (para una ecuación y el eje “Y”):1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).(;; yfyba Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de )( yfx y el eje de las “Y”.
4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.
Método; (para dos ecuaciones):1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).()(;; ygyyfbaNota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de )( yfx y de )( ygx 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.
Ejemplos:
1) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
0;22 xyyyx
d
c yy
dyyy
yyyfdc
yyyydyyfA
3
4
3
2
2)(;2;0
2;002)( 2
0
32
2
0
2
2
2
A
22 xy
2y
A
2xy xy
A
0y
2y
A
d
c )( yfx
)( ygx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
107
2) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
0;22 xyyyx
d
c yy
dyyy
yyyfdc
yyyydyyfA
3
42
3
2
2)(;0;2
0;202)( 2
0
3
2
0
2
2
212
3) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
yxyyx 22
5.4223
2)2()(
2)(;)(;2;1
2;12)()(
2
1
2
1
2
1
2322
2
212
yyy
dyyydyyy
yygyyfdc
yyyydyygyfA
d
c
Ejercicios:
Tipo I. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
1) y = 3 y = 0 x = 0 x = 5
4
0
)4
x
y
xy
0
2
1)7 3
y
x
xy2
)10
xy
xy
2
4)13 2
xy
xy
0
0
24)2
x
y
xy
8
0
)5 3
x
y
xy
5
2
3
1)8
x
x
y
y
xy
xy
22)11
0
4)3 2
y
xy
4
0
0
1)6
x
x
y
xy
1
1
1)9
x
y
xy
2
2)12 2
xy
xy
Tipo II. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
0
2)1 2
x
yyx
2
0
)2 2
y
x
yx
0
2)3 2
x
yx
1
)4 2
x
yx
2
)5 2
x
yx
A0y
2y
1
2
A
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
108
Clase: 4.3 Cálculo de volúmenes. Guía:- Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función.- Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones.- Métodos de investigación.- Ejemplos.- Ejercicios.
Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función.
Sean:
-2R
- ba , un intervalo cerrado X- A el área limitada por las gráficas de las funciones )(xfy y
0y definidas en ba , y las gráficas de las ecuaciones
ax y bx .
- Si giramos el área A alrededor del eje de las X se forma un volumen cilíndrico llamado "Sólido de revolución".- 'A el área transversal del cilindro en bx - h la altura del cilindro.
- r el radio del cilindro en bx .
- Si r es constante entonces el cilindro es recto, y su volumen es: hAV ' ; como 2' rA hrV 2
- Si r es variable entonces )(xfr ; 22 ))(( xfr y
b
adxabh
b
adxxfV 2))(( Llamado método de los discos.
Método de investigación:
1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. 2) Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”.3) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas.4) Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes.5) Formule la integral específica.6) Calcule el volumen.
Ejemplos:
1) Calcular el volumen del sólido de revolución, generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: .3;1;0;2 xyxyy
Paso 1) Paso 2) Paso 3) No es necesario. Paso 4); 5) y 6).
3
1
3
1
2
2
844
4)(
2)(
3;1
)(
xdx
xf
xf
ba
dxxfVb
a
2y
0y3x1x
b
A
a
r
h
Ar
h
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
109
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada
por las gráficas cuyas ecuaciones son: .4;0; xyyxy
.00 1 xx
82
0
2
16
2
)(
)(
4;0
)(
4
0
4
0
2
2
2
xdxx
xxf
xxf
ba
dxxfVb
a
Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones.
En la clase anterior estudiamos el volumen generado al girar el área bajo la gráfica de una función y obtuvimos que para el cálculo del volumen la ecuación
era: b
adxxfV 2))((
Sí ahora el área A es limitada por las gráficas de las funciones:
)()( xgyyxfy tales que )()( xgxf y por las rectas bxyax entonces:
b
adxxgxfV 22 ))(())((
Llamado método de las arandelas.
Método de investigación:
1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. 2) Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”.3) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas.4) Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes.5) Formule la integral específica.6) Calcule el volumen.
Ejemplos:
1) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada
por las gráficas cuyas ecuaciones son: 4;2;1;5 xyxyy
4
2
4
2
42
2
222
482424125
1)(;1)(
25)(;5)(
4
2
))(())((
xdxdx
xgxg
xfxf
b
a
dxxgxfVb
a
A
a b
A'h)(xfy
)(xgy
0y
xy
4x
5y
2 4
1y
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
110
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada
por las gráficas cuyas ecuaciones son: .4;1;1; xyxyxy
4
1
4
1
32
2
2222
183
1
1))((;1)(
))((;)(
4;1
))(())((
xx
dxx
xgxg
xxfxxf
ba
dxxgxfVb
a
3) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar el área alredor del eje de las “X” el área
limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: .1;2 2 yyxy
Paso 1) Paso 2) Paso 3)
1;1
112
21
22
xx
xx
Pasos 4): 5) y 6)
15
563
3
4
5
)1()44(
1)(;1)(
442)(
2)(;1;1
))(())(( 1
1
35
1
1
24
2
24222
2
22
xxx
dxxx
xgxg
xxxxf
xxfba
dxxgxfVb
a
Ejercicios:
Tipo I. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s
el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
.42;0;2)1 xyxyy .04)3 2 yyxy
.31;0;)2 xyxyxy .80;)4 3 xyyxy
Tipo II. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s
el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
.52;1;3)1 xyxyy .)3 2 xyyxy
31;)2 xyyxy
1y
22 xy
xy
1y
4x1x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
111
Clase: 4.4 Cálculo de momentos y centros de masa. Guía:- Conceptos básicos.- Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función.- Método de investigación.- Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones.- Método de investigación.- Ejemplos.- Ejercicios.
Conceptos básicos:
Masa: es la cantidad de materia de un cuerpo.
Densidad de masa: Es la masa por unidad de volumen.
V
mm Donde: m es la densidad de masa en:
3mkgm ; 3ftlbm ; etc..
m la masa en: ..;; etclbkg mm
V el volumen en: ..;; 33 etcftm
Fórmula para el cálculo de la masa: Sí Vm
V
mmm
A continuación se presenta una tabla de densidades de masa de los materiales más comunes.
Tabla: Densidades de masa "" m .
Material 3mkgm 3ft
lbm Material 3mkgm
3ftlbm Material 3m
kgm 3ftlbm
Acero 7800 487 Hierro 7850 490 Plata 10500 654Aluminio 2700 169 Latón 8700 540 Plomo 11300 705Cobre 8890 555 Madera (Roble) 810 51 Vidrio 2600 162Hielo 920 57 Oro 19300 1 204
Lámina: Es una placa de material con densidad de masa uniforme, cuyo espesor “h” es despreciable con respecto a las dimensiones de la área, y por lo tanto la masa por área es la medida que usaremos; como extensión a este concepto observemos que el manejo comercial para la adquisición de estos materiales se
efectúa en ..;/;/ 22 etcftlbmkg ; es de aclarar, que aunque el kg es una
medida de fuerza y no de masa, haremos los cálculos en kilogramos masa mkgpor ser estos mas cercanos a la realidad profesional.
Región laminar: Es el área de una lámina localizada en el plano rectangular.
Centro de masa laminar: Es el punto de equilibrio de la lámina; entendiéndose este como el punto de apoyo donde tiene su efecto una fuerza hipotética perpendicular a la lámina que la mantiene estable. En realidad es el “centro de área” de la lámina, con la particularidad de que su espesor es despreciable.
h
A
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
112
Densidad laminar: Es la masa por unidad de área.
A
ml Donde: l es la densidad laminar en: ;;
22 ft
lb
m
kg mm m la masa en: ;; mm lbkg y
A es el área en: .; 22 ftm
Otra fórmula para el cálculo de la densidad laminar:
Sí hhA
AhAhVcomo
A
VVmcomo
A
mmlm
mmml ::
Fórmula para el cálculo de la masa: Si AmA
mll
Momentos de masa:
Momentos de masa con respecto a un punto:
Definición: Es la masa por la distancia a un punto de referencia.
Fórmula del momento de masa con respecto a un punto: mxM donde: ""mes la masa y ""x es la distancia.Nota: La definición común de “Momento” relaciona a la fuerza por la distancia, sin embargo el peso de una masa es un tipo de fuerza que es variable por el lugar en que se encuentra con respecto a la atracción de la gravedad, por lo que hemos preferido definir el “Momento de masa” por ser constante.
Momento de masa con respecto al eje “Y”:
Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia horizontal entre el centro de masa laminar y el eje de las “Y”.
Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”;
b
al
b
all
y dxxfxdxxfAcomoxAAm
comomxM )()(:
:
Momento de masa con respecto al eje “X”:
Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia vertical entre el centro de masa laminar y el eje de las “X”.
Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”;
b
a
l
b
a
ll
x dxxfxf
y
dxxfAyA
Am
comomyM 2)(
22
)(
)(:
Centro de masa:
Definición: Es el centro del área de la región laminar.
Fórmula del centro de masa:
m
M
m
M
m
MymyMSí
m
MxmxMSí
yxmc xy
xx
yy
,,..x
a b
y..mc
Punto
x m
a b
x ..mc
a by
..mc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
113
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función.
2R un plano cartesiano.
ba, un intervalo cerrado en el eje “X”.
f la gráfica de una función )(xfy continua en ba,A el área de una región laminar de espesor ""h área bajo la gráfica de una función, y limitada por gráficas cuyas ecuaciones son: ;;;0);( bxyaxyxfy entonces:
b
adxxfA )( en
2m es el área.
hml en 2m
kg mes la densidad laminar.
Am l en mkg es la masa.
dxxfxMb
aly )( en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje Y .
b
a
lx dxxfM 2)(
2
en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje X .
m
M
m
Mmc xy ,..
en mm, es el centro de masa.
Observación: Como el Momento y la Masa contienen en su estructura formular la densidad laminar y dentro de esta a la densidad de masa y al tratarse de un cociente estas se eliminan por lo que al centro de masa tambiénes conocido con el nombre de “centroide”.
Método de investigación:
1) Haga el bosquejo del área.2) De ser necesario obtenga los puntos de intersección.3) Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes.4) Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo.
Ejemplos:
Ejemplo 1.- Dada la lámina de aluminio de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones
son: 4;1;2 xxy y el eje de las ;X con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad
laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y
)f El centro de masa.
4
1
241 0.622
2)(
4;1)() mxdx
xf
badxxfAa
b
a
2
10001
00.27)01.0)(2700(01.010
2700)
3
m
kg
mmmhhb m
mmm
m
kgm
ml
m
mm
kgl
l kgmA
Amcm
00.162)0.6)(00.27(0.6
00.27)
2
2
1x 4x
2y
A
a b
)(xfy
Aax bx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
114
mkgxdxxdxxdxxfxMd m
b
aly .40527227)2()27()()4
1
4
1
4
12
4
1
41
4
1
22 .00.1625442
272
2
)27()(
2) mkgxdxdxdxxfMe m
b
a
lx
),(1,5.2162
162,
162
405,..) mm
m
M
m
Mmcf xy
Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en )1,5.2(
Ejemplo 2.- Dada la lámina de latón de 6.0 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: 22 xy y 0y (el eje de las X), con medidas en metros; calcular: )a El área; )b La densidad laminar;
)c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El
centro de masa.
2
2
2
3
2
2
2
2
212
3
28
32
2
2)(
2;2
2;2;02
)()m
xx
dxx
xxf
ba
xxx
dxxfAab
a
2
10001
20.52)006.0)(8700(006.00.6
8700)
3
m
kg
mmmhhb m
mmm
m
kgm
ml
m
m
m
kgl
l kgmA
Amc
m
85.1963
28)20.52(
3
28
200.52
)2
2
mkgx
xdxxxdxxfxMd m
b
aly .00.04
20.52)2()20.52()()
2
2
422
2
2
mkgxxx
dxxdxxfMe m
b
a
lx .48.1574
3
4
52
20.522
2
)20.52()(
2)
2
2
352
2
222
),(8.0,085.196
48.157,
85.196
0,..) mm
m
M
m
Mmcf xy
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones:
En la sección anterior estudiamos los momentos y centros de masa para láminas con área bajo la gráfica de una función, y mostramos para el cálculo las ecuaciones correspondientes al área, la densidad laminar, la masa, los momentos y el centro de masa; Ahora consideraremos el área
"" A circunscrita por dos funciones y limitada por las gráficas cuyas
ecuaciones son: )(xfy ; )(xgy ; ax ; y bx )()( xgxf
Entonces por paráfrasis matemática obtenemos las siguientes fórmulas
1 ..mc
5.2
2
A
2
)(xgy
)(xfy
ba
A
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
115
b
adxxgxfA )()( en
2m es el área.
hml en 2m
kgm es la densidad laminar.
Am l en mkg es la masa.
b
aly dxxgxfxM )()( en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje Y .
b
a
lx dxxgxfM 22 ))(())((
2
en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje X .
m
M
m
Mmc xy ,..
en mm, es el centro de masa.
Método de investigación:
1.- Haga el bosquejo del área entre las gráficas.2.- Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes.3.- Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo.
Ejemplos:
1) Dada la lámina de cobre de 3.0 mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
;2;1;3 xyy ;5xy con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La
masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro
de masa.
25
2
5
2
5
2
0.62
213
1)(;3)(
5;2)()()
mx
dxdx
xgxf
badxxgxfAa
b
a
2
10001
67.26)003.0)(8890(003.00.3
8890)
3
mkg
mmmhhb m
mmm
m
kgm
ml
m
mm
kgl
l kgmA
Amcm
02.1600.6)67.26(0.6
67.26)
2
2
mkgxdxxdxxgxfxMd m
b
aly .07.56067.26)13()67.26()()()5
225
2
mkgxdxdxxgxfMe m
b
a
lx .04.3208
2
67.26)1()3(
2
)67.26()(())((
2)
5
2
5
2
2222
),(2.5,5.302.160
04.320,
02.160
07.560,..) mm
m
M
m
Mmcf xy
Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en )2,5.3(
3y
5x
1y
2x
A
2
5.3
..mc
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
116
Ejemplo 2.- Dada la lámina de plata de 2mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones
son: .; 2xyyxy con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )dEl momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.
2
1
0
32
1
0
2
2
2
12
6
1
32)(;)(
1;01
;0
)()()m
xx
dxxx
xxgxxf
bax
xxxSí
dxxgxfAab
a
2
10001
00.21)002.0)(10500(002.00.2
10500)
3
m
kg
mmmhhb m
mmm
m
kgm
ml
m
mm
kgl
l kgmA
Amcm
50.36
1)00.21(
00.21)
261
2
mkgxx
dxxxxdxxgxfxMd m
b
aly .75.143
00.21)()00.21()()()
1
0
431
0
2
mkgxx
dxxxdxxgxfMe m
b
a
lx .4.1
532
00.21)()(
2
)00.21()(())((
2)
1
0
531
0
22222
),(4.0,5.050.3
4.1,
50.3
75.1,..) mm
m
M
m
Mmcf xy
Ejercicios:
Tipo I. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y
)e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.
1) Lámina de acero; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada 20;0;2 xyxyy2) Lámina de vidrio; espesor 6.0 mm; gráficas del área limitada 42;0;2 xyxyy
3) Lámina de cobre; espesor 5.0 mm; gráficas del área limitada 0;4 2 yyxy .
4) Lámina de oro; espesor 2.0 mm; gráficas del área limitada 4;0; xyyxy
Tipo II. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada, con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y
)e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.
1) Lámina de roble; espesor 12.0 mm; gráficas del área limitada 11;1;2 xyxyy2) Lámina de hierro; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada 53;2;4 xyxyy
3) Lámina de cobre; espesor 4.0 mm; gráficas del área limitada 0;4 2 yyxy .
4) Lámina de oro; espesor 1.0 mm; gráficas del área limitada 4;1; xyyxy
2xy A
xy
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
117
Clase: 4.5 Cálculo del trabajo. Guía:- Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Ejemplos.- Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Ejercicios.- Trabajo realizado por un resorte elástico
- Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico.- Trabajo realizado por presión en los gases.
- Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases.
Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos:
Conceptos básicos:
Trabajo realizado por fuerza constante: Es el producto de la fuerza aplicada constantemente a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento.
FdW Donde: W es el trabajo en mkg f . .
F es la fuerza en kilogramos "" fkg
d es la distancia en metros ""m entre """" bya .
Trabajo realizado por fuerza variable: Es el producto de la fuerza variable aplicada a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento.
Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos.
b
ab
a
dxxfdxabdyxfF
iableesFcomoFdW )(
)(
var
b
adxxfW )(
Y por paráfrasis matemática también: d
cdyyfW )(
Nota: Para efectos de aprendizaje, durante el proceso de cálculo omitiremos las unidades y hasta el final las mismas serán especificadas.
Ejemplo 1) Movimiento de cuerpos por fuerza constante.
Calcular el trabajo realizado para deslizar un cuerpo sobre el piso, desde una posición mx 1 a otra posición mx 4 si se le ha aplicado una
fuerza constante de .10kg
Por ser de fuerza constante: mkgd
FFdW f .30)3()10(
314
10
y aplicando la integral del trabajo veremos que el resultado es el mismo:
b
a f mkgxdxxf
badxxfW
4
1
41 .301010
10)(
4;1)(
F
c
d
a b
F
41
kg10
10)( xf
41
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
118
Ejemplo 2) Movimiento de cuerpos por fuerza variable.
Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un
fuerza variable de comportamiento igual a fkgx entre una distancia
.41 mxotraamx
b
a f mkgx
dxxxxf
badxxfW
4
1
4
1
3
.3
14
3
2
)(
4;1)(
Observación: El ejemplo anterior al parecer es relativamente sencillo, sin embargo en la aplicación práctica los problemas no resultan ser así, ya que estos requieren de otras áreas del conocimiento un tanto ajenas al cálculo, llámense estos conocimientos de la física, de la química, etc., donde se hace necesario estructurar sus
propias integrales partiendo siempre de la fórmula fundamental b
adxxfW )(
Trabajo realizado por un resorte elástico.
Conceptos básicos:
Deformación.- Son los cambios relativos de las dimensiones de los cuerpos por fuerzas que operan sobre los mismos.
Esfuerzo.- Es la capacidad de resistencia a la deformación que tienen los cuerposA
FE .
Elasticidad.- Es la capacidad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original cuando han sido deformados. Análisis del gráfico de elasticidad:
Experimento: Sí a un cuerpo se le aplica una fuerza creciente tal, que al final se rompe, se puede observar su comportamiento en el gráfico Deformación-Esfuerzo.
Conclusión (Llamada Ley de Hooke).- Dentro del límite elástico, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. Paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes, la fuerza ""F es
directamente proporcional a la distancia de estiramiento ""x , o sea:
x
FkkxFxFCuando
Donde: k es la constante de proporcionalidad en m
kg f
F es la fuerza en "" fkg .
x es la distancia de estiramiento en metros ""m .
Deformación
xy
1 4
Curva
Recta
Esfuerzo
Límite elástico.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar y recuperar su forma original.
Resistencia final.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar antes de romperse.
Zona de deformación proporcional y recuperable.
Zona de deformación permanente.
Deformación
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
119
Extensión de la paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes,la fuerza variable es directamente proporcional a la variable de la distancia de estiramiento.
xkxf )( Donde: )(xf es la función.
k es la constante de proporcionalidad.x es la variable de estiramiento.
Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico:
b
a
b
a
b
adxxkWdxxkkxxfdxxfWSí )()(
Ejemplo: Para estirar un resorte de 10 cm de longitud inicial a una longitud final de 15 cm se requieren de 20 kilogramos de fuerza; Calcular: a) La constante de proporcionalidad del resorte. b) El trabajo realizado durante el estiramiento de 10 cm a 15 cm. c) El trabajo realizado durante el estiramiento de 12 cm a 15 cm. d) Cuál sería el trabajo realizado si el resorte después de los 15cm se estiraría 5 cm más?.
m
kg
mcmx
kgF
x
Fka ff
40005.0
20
05.051015
20)
mkgxdxxmbma
kdxxkWb f
b
a
m
kg f
.5.020040005.0;0.0
400)
05.0
00.0205.0
0.0
mkgxdxxmbma
mkgkdxxkWc f
fb
a.42.0200400
05.0;02.0
/400)
05.0
02.0
05.0
02.02
mkgxdxxmbma
kdxxkWd f
m
kgb
a
f
.5.120040010.0;05.0
400)
10.0
05.0210.0
05.0
Trabajo realizado por presión en los gases:
Conceptos básicos:
Presión: Es la fuerza aplicada a un cuerpo por unidad de área. A
Fp
Ley de los gases: La presión es inversamente proporcional al volumen.
pvkvk
vkp
vpCuando
11
Donde: k es la constante de proporcionalidad.
p es la presión en 2m
kg f
v es el volumen correspondiente a una presión en 3m .
0 5
kg20
v
pv
kxf )(
xky
x
f
fvA
iv
F
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
120
Paráfrasis de la ley de los gases: Para áreas constantes, la fuerza variable es inversamente proporcional alvolumen.
v
kxf
vxfCuando )(
1)(
Donde:
k es la constante de proporcionalidad en mkg f .
v es la variable del volumen en 3m .
Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases:
f
i
f
i
v
v
b
a
v
v
fi
dvV
kWdvV
k
V
kxf
vbva
dxxfWSí11
)(
;
)(
Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de 31.0 m y presión de 212000
m
kg fsi se
expande hasta ocupar un volumen final de 32.0 m .
mkgvdvv
mvmv
mkgmv
ppvk
dvv
kW f
v
v
fi
fm
kg
f
i
f
.77.831ln12001
1200
2.0;1.0
.12001.0
120001 2.0
1.0
2.0
1.0
33
3
2
Ejercicios:
Tipo I. Calcular el trabajo según las indicaciones que se establezcan:
1) Calcular el trabajo realizado para levantar verticalmente un cuerpo sobre el piso, desde una posición
my 0.0 a otra posición my 0.5 si se le ha aplicado una fuerza constante de .20 fkg
2) Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un fuerza variable de
comportamiento igual a fkgx 24 entre una distancia .21 mxymx
3) Calcular el trabajo realizado al comprimir un resorte de longitud inicial lg20 pu , si la fuerza aplicada es
de flb1000 , y la longitud final fue de lg10 pu .
4) Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de 310 ft y presión de 100 lb/ft2 si se comprime
hasta ocupar un volumen final de .5 3ft
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
121
Evaluaciones tipo: Unidad 4.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 4
Clave: Evaluación tipo 1
1) Calcular la longitud de la recta: 2 xy
entre el intervalo 32 xyx
Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de la integral.c) Resultado.
Valor: 30 puntos.
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
.04 2 yyxy
Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de la integral.c) Resultado.
Valor: 40 puntos.
3) Calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo con fuerza variable de comportamiento igual a
fkgx3
2 entre una distancia inicial mx 2 y
una distancia final mx 5 .
Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de la integral.c) Resultado.
Valor: 30 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 4
Clave: Evaluación tipo 2
1) Calcular la longitud de la curva: 4
12x
y
entre el intervalo 22 xyx
Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de la integral.c) Resultado.
Valor: 40 puntos.
2) Dada la lámina de cobre de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
;01 2 yyxy con medidas en metros.
Calcular:
a) ?A (el área).
b) ?l (la densidad laminar).
c) ?m (la masa).
d) ?yM (el momento con respecto al eje “Y”).
e) ?xM (el momento con respecto al eje “X”).
f) ?.. mc (el centro de masa).
Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de las integrales.c) Resultado.
Valor: 60 puntos.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
122
Formulario de aplicaciones de la integral: Unidad 4.
Con respecto al Eje “X”: b
adxxfL 2)(1Integrales para el cálculo de la
longitud de curvas:
Con respecto al Eje “Y”: b
adyyfL 2)(1
Cálculo de áreas bajo la gráfica: b
adxxfA )(
Cálculo de áreas entre gráficas: b
adxxgxfA )()(
Integrales para el cálculo de áreas:
Cálculo de áreas entre gráficas que no son funciones:
d
cdyygyfA )()(
Cálculo de volúmenes generados al girar áreas bajo una gráficas:
b
adxxfV 2))((
Integrales para el cálculo de volúmenes:
Cálculo de volúmenes generados al girar áreas entre gráficas:
b
adxxgxfV 22 ))(())((
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función:
b
adxxfA )( es el área dxxfxM
b
aly )( es el momento con respecto al eje Y
hml es la densidad laminar b
a
lx dxxfM 2)(
2
es el momento con respecto al eje X
Am l es la masa
m
M
m
Mmc xy ,.. es el centro de masa
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones:
hml es la densidad laminar
b
aly dxxgxfxM )()( es el momento con respecto al eje Y
b
adxxgxfA )()( es el área
b
a
lx dxxgxfM 22 ))(())((
2
es el momento con el eje X
Am l es la masa.
m
M
m
Mmc xy ,.. es el centro de masa
Trabajo realizado por fuerza variable:
b
adxxfW )(
d
cdyyfW )(
Trabajo realizado por un resorte elástico:
b
adxxkW
x
Fk
Integrales para el cálculo del trabajo:
Trabajo realizado por presión en los gases: f
i
v
vdv
vkW
1 pvk
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
123
La pareja ideal de la verdad, es la matemática, porque ambas contienen inferencias que conducen al conocimiento exacto de la existencia humana.
José Santos Valdez Pérez
Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 5. INTEGRACIÓN POR SERIES.
Clases:
5.1 Definición, clasificación y tipos de series.5.2 Generación del enésimo término de una serie.5.3 Convergencia de series.5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias.5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia.5.6 Integración definida de funciones por series de potencia.5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.
- Evaluaciones tipo.- Formulario de integración por series.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
124
Clase: 5.1 Definición, clasificación y tipos de series. Guía:- Definición de una sucesión. - Ejemplos.- Definición de una serie. - Ejercicios.- Clasificación de las series.- Cálculo de los términos de una serie.- Tipos de series.
Definición de una sucesión.
Es un listado de números que obedecen a una regla de orden.
Ejemplos:
,16,9,4,1)1 es un listado de números que obedece la regla de orden Znn 2
24,6,2,1)2 es un listado de números que obedece la regla de orden 4! Znn
,,,,1)3 32 xxx es un listado de números (variable) que obedece la regla de orden Znxn 0
Notación: 321 kkkkknn aaaaa
Ejemplos: ,16,9,4,1)1 12
nn .24,6,2,1!)2 4
1 nn ,,,,1)3 320 xxxx n
n
Definición de una serie.
Es la sumatoria del listado de números de una sucesión.
Ejemplos: 16941)1 es la sumatoria del listado de números de la sucesión ,16,9,4,1 24621)2 es la sumatoria del listado de números de la sucesión 24,6,2,1 .
321)3 xxx es la sumatoria del listado de números de la sucesión ,,,,1 32 xxx
Clasificación de las series.
Sí el listado de números es ilimitado la serie es infinita; Ejemplo: 16641Sí el listado de números es limitado la serie es finita; Ejemplo: .24621
Para el propósito de nuestro estudio, a partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, siempre nos estaremos refiriendo a las series infinitas.
Notación: 321 kkkk
knn aaaaa
Donde: n Es cualquier número entero positivo ó el cero.
k Es el valor de n en que inicia la serie; donde Znyn 0 .
knEs el símbolo de la sumatoria de na desde kn hasta .
na Es la fórmula del enésimo término ó simplemente enésimo término de la serie y representa la regla de orden.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
125
knna Es la abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.
...,,,, 321 kkkk aaaa Son lo términos de la serie y a menos que otra cosa se indique la serie se
presentará con los primeros 4 términos.
ka Es el primer término de la serie.
1ka Es el segundo término de la serie.
2ka Es el tercer término de la serie.
. . . Nos indican continuidad de la serie.
Para el propósito de nuestro estudio diremos que una serie es completa, si esta representada por la sumatoria del enésimo término y los primeros cuatro términos no nulos.
Ejemplo:
En la serie 4
1
3
1
2
1
1
11
1
n n
Identificar:
a) Los términos de la serie. b) El valor de .kc) El segundo término. d) El término 2ka e) El enésimo término.
f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.g) La serie completa.
Solución: a) ,4
1,
3
1,
2
1,
1
1 1) kb ;
2
1)c ;
3
1) 2 kad
nae n
1)
1
1)
n nf
4
131
21
111
)1
n ng
Cálculo de los términos de una serie.
Cuando una serie se expresa únicamente por la fórmula del enésimo término, y se hace necesario calcular los términos de la serie, se parte de la siguiente afirmación:
La fórmula del enésimo término de una serie, es la fórmula matemática que obedece la siguiente regla: “Para cualquier valor de n el resultado nos muestra el valor del enésimo término”.
Nota: Con el propósito de realizar procesos inversos, y a menos que otra cosa se indique; cuando los términos de las series se presentan en cocientes, se tiene que respetar cada elemento del cociente no haciendo las operaciones de división. Para fortalecer el concepto anterior obsérvese que en los términos de la serie:
41
31
21
11
0
1
1
nn se presenta el término 1
1 sin haberse realizado la operación de división que sería uno.
Método de investigación para el cálculo de los términos de una serie:
1) Sustituya los valores de ""k en la fórmula del enésimo término hasta obtener los primeros cuatro términos no nulos.
Ejemplo 1.- Calcular los términos de la serie;
0 1n n
n
54
43
32
21
10
144
133
122
111
100
10
n nn
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
126
Ejemplo 2.- Calcular los términos de la serie;
1 12nn
n
154
73
32
11
124
123
122
121
12 43211
nn
n
Ejemplo 3.- Calcular los términos de la serie;
0 !n
n
n
x
!3!2
1!3!211
1
!3!2!1!0!
32323210
0
xxx
xxxxxxx
n
x
n
n
Observe que en las series que contienen variables, sí se realizan las operaciones 111 xy y además no se efectúan
las operaciones de !3!2 y .
Ejemplo 4.- Calcular los términos de la serie;
0
2
!)2(
)1(3
n
nn
n
x
!6!4
3
!2
3
1
3
!))3(2(
)1(3
!))2(2(
)1(3
!))1(2(
)1(3
!))0(2(
)1(3
!)2(
)1(3 642)3(2)3()2(2)2()1(2)1()0(2)0(
0
2 xxxxxxx
n
x
n
nn
Nota: Habrá ocasiones donde sea conveniente evaluar por separado cada uno de los términos de la serie, y al final representar la serie completa.
Ejemplo 5.- Calcular los términos de la serie;
1
)1(1n
n
0)1(1)1(1 11 a 2)1(1)1(1 2
2 a
0)1(1)1(1 33 a 2)1(1)1(1 4
4 a
2020)1(11
n
n
Ejemplo 6.- Calcular los términos de la serie;
12121 1;13
nnnn ffynfff
Paso 1) 111 fa 11 f ; 122 fa ; 21112231333 fffffa ;
31223241444 fffffa 52334251555 fffffa
Paso 2)
532111;131
2121
nnnn ffynfff
Nota: En el análisis del listado de los términos de la serie se observa, que cada término es la suma de sus dos antecesores (al listado de términos de la serie, se le llama Sucesión de Fibonacci).
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
127
Tipos de series:
Tipo Caracterización Ejemplo
p-serie Familia de series que presentan la forma:
01
pnkn
p
16
1
9
1
4
1
1
11
12
n n
Armónica Serie del tipo p-serie donde 1p , de tal
forma que su estructura final queda:
kn n
1
4
1
3
1
2
1
1
11
1
n n
Armónica general
Familia de series que presentan la forma:
01
abankn
7
3
5
3
3
3
1
3
12
3
1
n n
Alternantes Familia de series que presentan sus términos alternativamente en positivos y negativos:
kn
nna 1)1(
4
1
3
1
2
1
1
1)1(
1
1
n
n
n
Telescópicas: Familia de series que presentan la forma:
knnn aa )( 1
122 9
1
4
1
4
1
1
1
)1(
11
n nn
25
1
16
1
16
1
9
1
Geométricas Familia de series que presentan la forma:
Rryaran
n
00
a ""r se le llama la “razón de la serie” .
8
1
4
1
2
1
1
1
2
1
0
nn
Observe que:
n
n 2
11
2
1
2
11 rya
De potencias familia de series que presentan la forma:
0n
nn xa donde x es una variable.
6211
1
!3!2!1!0
1
!32
32
0
xxx
xxx
n
x
n
n
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
128
Nota: Para el caso especial donde 1x , se tendría lo siguiente:
enn
...718.2...04166.0...1666.05.01124
1
6
1
2
111
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1
!
1
0
De potencias centrada en c
Es una familia de series de potencia que presentan la forma:
0
)(n
nn cxa donde “c” es una
constante.
2
)2(
1
2
1
1
!2
)2(
!1
2
!0
1
!
)2(
2
2
0
xx
xx
n
x
n
n
Ejercicios:
Tipo I. En las siguientes series, identificar:
a) Los términos de la serie; b) El valor de k ; c) El segundo término; d) El término 2ka ;
e) El enésimo término; y f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.
86422)11
n
n 7
16
5
8
3
4
1
2
12
2)3
1
n
n
n
75311)21
n
n 16
15
8
7
4
3
2
1
2
12)4
nn
n
Tipo II. Calcular los términos de las siguientes series:
1
)1n
n2
1
1)4
n
n
n
1 2
3)7
n n
1
)10n
n
n
n
1
1
2)2
3)5
1
nsen
n
1
2
1
ln)8
n n
n
0
2
2
)1()11
n
nn
n
x
!
1)3
0 nn
1)6
2
1 n
n
n
1
)9n
ne
n
0
12
!
)1(2)12
n
nn
n
x
Tipo III. Dar al menos tres ejemplos de los siguientes tipos de series:1) Series p-serie.2) Armónica general.3) Series alternantes.4) Series telescópicas. 5) Series geométricas.6) Series de potencias.7) Series de potencias centrada en c.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
129
Clase; 5.2 Generación de la fórmula del enésimo término de una serie.Guía:- Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. - Ejemplos.- Enésimos términos elementales. - Ejercicios.- Operador de alternancia.- Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos.- Generación de la fórmula del enésimo término.
Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos:
Son estructuras genéricas de las series, que se transforman en fórmulas de enésimos términos al asignarles los valores específicos a cada una de sus componentes.
Ejemplo: Sea qna pn la estructura típica del enésimo término de una serie; Obtener la fórmula del
enésimo término para 12 qyp :
Solución: 1)1( 2)2( nnan la fórmula del enésimo término es: 12 nan
Enésimos términos elementales:
Son estructuras típicas que contienen """" nóp siendo "" p una constante y se caracterizan porque al
observar los términos de las series, directamente se presenta la fórmula del enésimo término.
Ejemplo: 4321 Para 1k nan
Operador de alternancia:
Es la estructura típica del enésimo término pn )1( que presenta una serie alternante.
Ejemplo: Obtener la serie completa cuya fórmula del enésimo términos es;
1
1)1(
n
n
n:
Solución:
4
1
3
1
2
1
1
1
4
1
3
1
2
1
1
1)1(
1
1
n
n
n
Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos.
A continuación se presenta una tabla de las estructuras típicas de fórmulas mas comunes, y que a la vez son punto de partida en el aprendizaje para generar fórmulas de enésimos términos de series mas complejas.
Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Zyqpn 0,,
Enésimos términos elementales Estructuras típicas de enésimos términos
Para: nóp Ejemplo: Para: pyn Para: qypn,
pan )1 2222na pnan )1 qpnan )1
pan )2 2222na pn na )2 qpnan )2
nan )3 4321na Para 1k nn pa )3 qna p
n )3
!)4 nan 6211na Para 0k pnan )4 qna pn )4
nn na )5 2562741na Para 1k pnan )5 qpa n
n )5n
na )1()6 1111na Para 0k npan )6 qpa nn )6
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
130
Generación de la fórmula del enésimo término:
Cuando una serie se expresa únicamente por sus términos, se supone que los términos subsecuentes (indicados por los tres puntos ) obedecen a la regla de orden implícita en los términos que sí están presentes. Es aquí donde se hace necesario generar la fórmula del enésimo término por lo que se ofrece el siguiente método.
Método de investigación para la generación del enésimo término:
1) Analizar cada estructura típica de enésimos términos de cuerdo a la “Tabla: Prueba de estructuras típicas” que se presenta, hasta encontrar la estructura que cumpla con todos y cada uno de los términos de la serie.
Notas: a) Esto no necesariamente implica que siempre se deban de probar en determinado orden todas las estructuras hasta encontrar la que estamos buscando, sino que una ves que se domina el método se pueden hacer saltos de estructuras típicas de acuerdo a la intuición de cada estudiante. b) Cocientes, múltiplos, potencias y operadores de alternancia se analizan por separado.
Ejemplo 1) 24
4
6
3
2
2
1
1 Se analizan por separado las series:
24621
4321 y
Ejemplo 2) 432 8642 xxxx Se analizan por separado las series:
4321
8642 y
2) Identificar la fórmula de la estructura típica del enésimo término.3) Generar la fórmula del enésimo término.4) Estructurar la serie completa (con el enésimo término incluido).
Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Valores
321 kkkk aaaa para ?k Estructura típica
p qkn ?1 a Cumple?
1 kn?2 a Cumple?
2 kn?3 a Cumple?
3 kn?4 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
pan pan
nan n
n na
qpa nn ?na
Ejemplo 1) Sea: 24621 Generar la fórmula del enésimo término de la serie para 1k .
Paso 1)
Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Valores
Serie: 24621 para 1k .
Estructura típica p q
1n11 a Cumple?
2n22 a Cumple?
3n63 a Cumple?
4n244 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
pan 1 11 a Sí 12 a No
pan 11 a No
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
131
nan 11 a Sí 22 a Sí 33 a No
nn na 111
1 a Sí 4222 a No
!nan 1!11 a Sí 2!22 a Sí 6!33 a Sí 24!44 a Sí !nan
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: !nan Paso 3) Fórmula del enésimo término: !nan
Paso 4) Serie completa:
24621!1
n
n
Ejemplo 2)
Sea: 321 xxxGenerar la fórmula del enésimo término de la serie para 0k .
Observe que 10 x de donde la serie similar sería 3210 xxxxPaso 1)
Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Valores
Serie: 3210 para 0k .
Estructura típica p q
0n01 a Cumple?
1n12 a Cumple?
2n23 a Cumple?
3n34 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
pan 1 11 a Sí 12 a No
pan No
nan 01 a Sí 12 a Sí 23 a Sí 33 a Sí nan
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: n
n xa
Paso 3) Fórmula del enésimo término: n
n xa
Paso 4) Serie completa:
32
0
1 xxxxn
n
Ejemplo 3.- Sea: 7
16
5
8
3
4
1
2 Generar la fórmula del enésimo término para de la serie
para 1k
Paso 1)
Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Valores
Serie 16842 Para 1k
Estructura típica p q
1n21 a Cumple?
2n42 a Cumple?
3n83 a Cumple?
4n164 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
nan 11 a No
nn na 111
1 a No
!nan 1!11 a No
pnan 2 21.21 a SÍ 42.22 a Sí 63.23 aNo
n
n pa 2 2211 a Sí 522
2 a Sí 8233 a Sí 1624
4 a Sín
na 2
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132
Valores
Serie: 7531 Para 1k
Estructura típica p q
1n11 a Cumple?
2n32 a Cumple?
3n53 a Cumple
?
4n74 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
nan 11 a Sí 22 a No
nn na 111
1 a Sí 4222 a No
!nan 1!11 a Sí 2!22 a No
qpnan 2 1 111.21 a
Sí
312.22 a
Sí
513.23 a Sí
714.21 a Sí
12 nan
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: qpn
pa
n
n
Paso 3) Fórmula del enésimo término: 12
2
na
n
n
Paso 4) Serie completa:
7
16
5
8
3
4
2
1
12
2
1
n
n
n
Ejemplo 4.- Sea: 5
15
4
7
3
3
2
1 Generar la fórmula del enésimo término para de la serie para
1k
Paso 1) Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Valores Serie: 15731 Para 1k
Estructura típica p q
1n11 a Cumple?
2n32 a Cumple?
3n73 a Cumple
?
4n154 a Cumple
?
Fórmulaenésimo término
nan 11 a Sí 22 a No
nn na 111
1 a Sí2
2 2a No
qpc nn 2 1
Sí
a
1
1211
Sí
a
3
1222
Sí
a
7
1233
Sí
a
15
1244
12 n
na
Tabla: Prueba de estructuras típicas.Valores Serie: 5432 Para 1k
Estructura típica p q
1n21 a Cumple
?
2n31 a Cumple?
3n41 a Cumple?
4n51 a Cumple?
Fórmulaenésimo término
nan 11 a Sí 22 a No
nn na 111
1 a Sí2
2 2a No
1 nan
Sí
a 2111 Sí
a 3122
Sí
a 4133
Sí
a 5144 1 nan
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133
Paso 2) Formula de la estructura típica del enésimo término: 1
n
qpa
n
n
Paso 3) Fórmula de enésimo término: n
n
na2
12
Paso 4) Serie completa:
16
15
8
7
4
3
2
1
2
12
1
nn
n
Ejemplo 5)
Sea: !3!2
132 xx
x
Generar la fórmula del enésimo término de la serie para 0k .
Observe que una serie similar es: !3!2!1!0
3210 xxxx
Paso 1) Observe que los signos cambias de positivo a negativo alternativamente, por lo que n
na )1(
Para la serie 3210 xxxx el enésimo término es: n
n xa Para la serie !3!2!1!0 el enésimo término es: !nan Paso 2) La fórmula de la estructura típica del enésimo término es:
!
)1(
n
xa
nn
n
Paso 3) La fórmula del enésimo término es: !
)1(
n
xa
nn
n
Paso 4) La serie completa es:
!3!21
!
)1( 32
0
xxx
n
x
n
nn
Ejercicios:
Tipo I. Generar el enésimo término de las siguientes series:
18642)1 k 19
3
7
3
5
3
3
3)6 k
16543)2 k 16
1
2
1
1
1
1
1)7 k
14
1
3
1
2
1
1
1)3 k 0
!3!2)8
432 k
xxxx
0!3!2
1)432
kxx
x 18
1
4
1
2
1
1
1)9 k
116
1
9
1
4
1
1
1)5 k 0
!3!21)10
32
kxx
x
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134
Clase: 5.3 Convergencia de series. Guía:- Sumas parciales de una serie. - Ejemplos.- Estrategias para investigar la convergencia de series. - Ejercicios.- Intervalo y radio de convergencia de series de potencias:
Sumas parciales de una serie:
Sí se tiene una serie: 321 kkkk
knn aaaaa
entonces las sumas parciales de la serie infinita son:
kas 1
12 kk aas
213 kkk aaas
...21 kkkn aaas llamada enésima suma parcial de la serie infinita na
Sí a las sumas parciales le asociamos una serie de sumas parciales entonces tenemos:
knn sssssS 4321
kn
ssssS 4321 De donde podemos inferir que:
La suma ""S de la serie infinita
knna es el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales,
siempre y cuando el límite exista ó sea:
RssS nlímnn
límn
Estrategias para investigar la convergencia de series.
Debido a que el proceso de investigación de la convergencia de series en algunos casos resultan ser de un grado de complejidad apreciable, a continuación se describen las estrategias mas conocidas para simplificar la investigación y acceder a las que presenten mayores dificultades.
Convergencia de series por la definición:
La definición de convergencia de una serie afirma que: Una serie es convergentes, si el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales existe, ó bien es divergente si el límite no existe.
Método para investigar la convergencia de series por la definición:
1) Calcular los términos de la serie2) Calcular las sumas parciales.3) Estructurar la serie de sumas parciales.4) Obtener el enésimo término de la serie de sumas parciales ó determinar por observación directa de los términos la existencia ó no del límite 5) Obtener el límite del enésimo término de las sumas parciales.6) Declarar aplicando la definición si la serie es convergente ó divergente.
Ejemplo 1. Investigar por la definición la convergencia de la serie:
1
1)1(n
n
Paso 1)
20201)1(1
n
n
Paso 2) 01 S ; 2202 S ; 20203 S ; 420204 S ,4,2,2,0S
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135
Paso 3)
1
4220n
S
Paso 4) Por observación directa se declara que no hay límite.Paso 5) No hay límite.Paso 6) La serie es divergente.
Ejemplo 2. Investigar por la definición la convergencia de la serie:
n
n
1 2
1
Paso 1)
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
2
1
1
n
n
Paso 2) 2
11 S ;
4
3
4
1
2
12 S ;
8
7
8
1
4
3
8
1
4
1
2
13 S ;
16
15
16
1
8
7
16
1
8
1
4
1
2
14 S
Paso 3)
1 16
15
8
7
4
3
2
1
n
S
Paso 4) n
n
2
12 ya resuelto en el apartado: “Generación del enésimos término de una serie”.
Paso 5) 12
11
2
12
n
límnn
nlímn por lo tanto el límite existe.
Paso 6) La serie es convergente. Es de observarse que:
121
992188.0128
1641
321
161
81
41
21
21
11
n
n
lìmn
n
n
S
Convergencia de series por el criterio de la raíz:
El criterio establece que si se tiene una serie na entonces se puede afirmar lo siguiente:
1º. na es convergente si 1n
nlímn a
2º. na es divergente si 1n
nlímn a
3º. El criterio no decide si 1n
nlímn a
Ejemplo: Investigar por el criterio de la raíz la convergencia ó divergencia de la serie
12
2
nn
n
n:
0002222
222
nnnn
nlímnn
n
nlímnn
n
nlímn nnn
Como 1n
nlímn a se concluye que la serie es convergente.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
136
Convergencia de series por el criterio del cociente:
El criterio establece que si se tiene una serie na con términos no nulos, entonces se puede afirmar:
1º. Sí 11
n
nlímn a
a La serie converge.
2º. Sí 11
n
nlímn a
a La serie converge.
1.3 1
n
nlímn a
aSío
El criterio no decide.
Método para investigar la convergencia de series por el criterio del cociente:
1. Obtener los términos de la serie na y verificar que sus términos sean no nulo.
2. A partir de na obtenga 1na
3. Obtenga el n
nlímn a
a 1
4. Aplique el criterio del cociente.
Ejemplo: Investigar por el criterio del cociente la convergencia de la serie
0 !
2
n
n
n:
Paso 1) Análisis: 6
8
2
4
1
2
1
1
!
2
0
n
n
n se concluye que
0 !
2
n
n
nno tiene términos no nulos.
Paso 2) Análisis: si
0 !
2
n
n
n na
0
1
1 !)1(
2
n
n
n na
Paso 3) 01
2
1
2
!)1(2
!2 1
!2
!)1(2
1
1
nn
n
a
a límnn
nlímn
n
nlímn
n
nlímn n
n
Paso 4) 11
n
nlímn a
a se concluye que la serie es convergente.
Ejercicios:
Tipo I. Investigar la convergencia de las siguientes serie:
1
2)1n
n
0 32
)3n
n
0
1)5
n
n
n
e
1
1)2
n nn
0
2)4n
n
1 2
13)6
n
n
n
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
137
Clase: 5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. Guía:- Intervalo y radio de convergencia de series de potencias.- Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia:- Ejemplos.- Ejercicios.
Intervalo y radio de convergencia de series de potencias:
El intervalo de convergencia es el conjunto de valores donde la serie converge.
El teorema de convergencias de una serie de potencias centrada en “c” afirma que: “Existe un número real 0R ( ""R es el radio de convergencia) en la serie
0
)(n
nn cxa en la cual:
1º. Sí la serie converge, para toda ""x ; entonces R y su intervalo de convergencia es: ),(
2º. Sí la serie converge, solo cuando cx ; entonces (por convención) 0R y su intervalo de
convergencia consta de un solo punto y es el punto ""c ; ó sea: ),( cc
3º. Sí la serie converge, para Rcx ; entonces Rcx 1 y Rcx 2 son su puntos extremos y su
intervalo de convergencia tiene cuatro posibilidades: 21212121 ,;,;,;, xxyxxxxxx
Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia:
1.- Seleccione alguna estrategia para investigar la convergencia de la serie. 2.- Identificar el radio de convergencia.3.- Investigar el intervalo de convergencia.
Ejemplo 1. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;
0
1
!
)1(
n
nn
n
x
Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1.
!4!3!1!0!
)1( 432
0
1 xxxx
n
x
n
nn
No tiene términos nulos.
Paso 1.2. !)1(
)1(
!
)1( 21
1
1
n
xa
n
xa
nn
n
nn
n
Paso 1.3. 011)1(!)1(
)1(!1
21
!)1(
!)1()1(
11
21
x
n
x
xn
xn
a
a límnnn
nnlímn
nx
nx
límn
n
nlímn nn
nn
Paso 1.4. La serie converge para toda ""x ; según el criterio del cociente.
Paso 2. El radio de convergencia es: R
Paso 3. El intervalo de convergencia es: ),(
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
138
Ejemplo 2. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;
1 2n
n
n
x
Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1. 86422
432
1
xxxx
n
x
n
n
No tiene términos nulos.
Paso 1.2. )1(22
1
1
n
xa
n
xa
n
n
n
n
Paso 1.3. xxx
n
xn
xn
xn
a
a
n
límn
nnn
nxn
lómn
límnn
nlímn
nx
nx
límn
n
nlímn n
n
0111)1(2
211
1
2
)1(21
1
Paso 1.4. La serie converge para 1x según el criterio del cociente.
Paso 2. El radio de convergencia es: 1RPaso 3. Sí la serie es convergente en 1x entonces los puntos extremos de ""x Son: 11 xyx
Para 1x 4
1
3
1
2
1
1
1)1(
1
n
n
n la serie converge; y por lo tanto su intervalo es cerrado.
Para 1x 4
1
3
1
2
1
1
1)1(
1
n
n
n la serie diverge; y por lo tanto su intervalo es abierto.
Conclusión: El intervalo de convergencia es: 1,1
Ejemplo 3. Investigar el radio de convergencia de la serie;
0
2n
nx
Paso 1) La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1.
3210
0
)2()2()2()2()2( xxxxx n
n
donde se observa que no tiene
términos nulos en )2( x , excepto para 2x de donde para 2x el criterio es aplicable.
Paso 1.2.
0
11
0
)2(2n
nn
n
nn xaxa
2)2(
)2(
)2(3.1 0
1
1
xx
x
x
a
aPaso lím
nnn
n
límn
n
nlímn
Paso 1.4. se concluye que la serie es convergente en 212 xx
Paso 2) Se concluye que: 1R según el criterio del cociente. de ""x
Paso 3) Sí la serie es convergente en 212 xx entonces los puntos extremos son: 31 xyx
Para 1x
1111)21(0
n
n
la serie diverge; y su intervalo es abierto.
Para 3x
1111)23(0
n
n
la serie converge; y su intervalo es cerrado.
Por lo tanto el intervalo de convergencia es: 23,1 x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
139
Ejemplo 4. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;
0
2
1
)1(
n
nn
n
x
Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1.
43211
)1( 5432
0
2 xxxx
n
x
n
nn
No tiene términos nulos.
Paso 1.2. 2
)1(
1
)1( 31
10
2
n
xa
n
xa
nn
nn
nn
n
Paso 1.3.
xn
xn
xn
xn
xn
a
a lómn
límnnn
nnlímn
nx
nx
límn
n
nlímn nn
nn
2
11
2
)1(
)1()2(
)1)(1(2
31
1)1(
2)1(
12
31
Paso 1.4. La serie converge para 1 x según el criterio del cociente.
Paso 2. El radio de convergencia es: 1R
Paso 3. Sí 1 x entonces los puntos extremos son 11 y .
Para 1x
4
1
3
1
2
1
1
1
1
)1()1(
0
2
n
nn
n la serie diverge; y su intervalo es abierto.
Para 1x
4
1
3
1
2
1
1
1
1
)1()1(
0
2
n
nn
n la serie converge; y su intervalo es cerrado.
Por lo tanto se concluye que; el intervalo de convergencia es: 1,1
Ejercicios:
Tipo I. Investigar el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series:
1)
0 1)1(
n
nn
n
x3)
0
1
2)1(
n
nn
n
x
2)
0 !
)3(
n
n
n
x4)
0 !2
3
n
n
n
x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
140
Clase: 5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. Guía:- Derivación e integración indefinida de series de potencias.- Ejemplos.- Ejercicios.
Derivación e integración indefinida de series de potencias:
Sí f es una función que tiene una representación en la serie de potencia, entonces:
0
33
2210)(
n
nn xaxaxaaxaxf y si f es derivable e integrable, se infiere que:
0
34
2321
1 432)(n
nn xaxaxaaxnaxf es decir, el proceso se lleva a cabo derivando
cada término de la serie.
32)(
3
2
2
10
xa
xaxacdxxf o sea, el proceso se lleva a cabo integrando
cada término de la serie.
Método de derivación e integración indefinida de series de potencia:
1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la serie.2. Derive la serie.3. Integre la serie.
Ejemplo 1. Derivar e integrar la serie;
0
)(n
nxxf
0
321n
n xxxx
0n
nx = 32 4321)(' xxxxf 432
432 xxxxcdxxn
Ejemplo 2. Derivar e integrar la serie;
0
)(n
n
n
xxf
432
432
1
xxxx
n
x
n
n
42
1
1 1)(' xxxxxfn
n
201262
5432 xxxxcdx
n
xn
Ejemplo 3. Derivar e integrar la serie;
0
2
!)3()(
n
n
n
xxf
!9!6!3!0
1
!)3(
642
0
2 xxx
n
x
n
n
!12
8
!9
6
!6
4
!3
2
!)3(
2)(
753
0
12 xxxx
n
nxxf
n
n
)!6(5)!3(3)!0(1!)3(
532 xxxcdx
n
x n
Ejercicios:
Tipo I. Derivar e integrar las siguientes series:
0
)2()1n
nx
1
1
2
)1()3
n
nn
n
x
1
131
13
)1()5
n
nn
n
x
0 !2
5!)3()2
n
nxn
1
1
1
)3()4
n
n
n
xn
0
2
!)6
n
n
n
x
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
141
Clase: 5.6 Integración definida de funciones por series de potencias. Guía:- Representación de funciones en series de potencias. - Ejemplos.- Integración definida de funciones por series de potencias. - Ejercicios.
Representación de funciones en series de potencias:
Ya hemos definido que:
0
321n
n xxxx es una serie de potencia y además x
xxx
1
11 32 1 x
De donde podemos inferir que la serie de potencia también es una función por lo que concluimos que:
0
3211
1)(
n
n xxxxx
xf 1 x
Para fortalecer estas afirmaciones se presenta el siguiente análisis:
Evaluar la función x
xf
1
1)( y la serie
0
321n
n xxxx para 5.0x .
Solución: 2)5.0(1
1)5.0(
f ;
0
432 2)5.0()5.0()5.0()5.0(1)5.0(n
n
Método de investigación para representar funciones en series de potencia:
1.- Acoplar la función a investigar en el modelo x1
1
2.- Identificar el nuevo valor de ""x3.- Sustituir el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos.
Ejemplos: Expresar las siguientes funciones en series de potencias:
xxf
1
1)()1 : Paso 1)
)(1
1
1
1
xx
;
Paso 2) el nuevo valor de ""x es "" x
Paso 3)
3232
0
1)()()(1)()( xxxxxxxxfn
n
3
1)()2
xxf ; Paso 1)
313
1
3
1
3
1
xxx;
Paso 2) el nuevo valor de ""x es""
3
x
Paso 3)
812793
1
3331
3
1
33
1)(
3232
0
xxxxxxxxf
n
n
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
142
x
xxf
1)()3
3
; Paso 1)
x
xx
x
1
1
13
3
Paso 2) el nuevo valor de ""x es ""x y la serie multiplica a "" 3x
Paso 3)
6543323
0
333
11
1
1xxxxxxxxxx
xx
x
x
n
n
12
2)()4
2
xx
xxf ;
Paso 1)
2
222 )(1
1
)(1
12
)(1
2
)(1
2
)1(
2
1
2
12
2
xxxxxxxx
x
Paso 2) el nuevo valor de ""x es: "" x y la serie multiplica a "2"
Paso 3)
0
642322 1212)()(2x
nn xxxxxxxx
64364322 211(2 xxxxxxxxxx
Integración definida de funciones por series de potencia:
Introducción: Es una técnica que se utiliza para integrar funciones del tipo nxk
ky
2
1
Fundamentos: Sí x
y
1
1 y
0
32 1,111
1
n
nxxxxx
yab
b
a
b
adxxxxdx
x1
1321
1
1
Método de integración definida de funciones por series de potencia:
1) Acople la función a integrar en el modelo x11 .
2) Identifique el nuevo valor de ""x .
3) Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos 4) Integre.
Ejemplos:
1. dxxxxxesx
denuevoeldx
xdx
x
5.0
0
32222
2
5.0
0 2
5.0
0 2)()()(12
)("")(1
12
1
2
9269.0753
212
5.0
0
7535.0
0
642
xxxxdxxxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
143
dxxxx
xdxxdxx
xdxx
xx
32
5.0
0
35.0
03
2
3
23
5.0
023
35.0
0
3
3
2
3
2
3
21
3
5
1
1
)2(
51
2
5
23
5)2
0356.0)27)(7(
8
)9)(6(
4
)3)(5(
2
43
5
27
8
9
4
3
2
3
55.0
0
76545.0
0
6543
xxxxdx
xxxx
4853.01074
1)()()(1)(1
1
1
1)3
5.0
0
1074
5.0
0
9635.0
0
5.0
0
332333
5.0
0 3
xxxx
dxxxxdxxxxdxx
dxx
Ejercicios:
Tipo I. Representar en serie de potencias las siguientes funciones:
xxf
21
1)()1
x
xxf
2)()4
3
12
3)()7
2
xx
xxf
21
1)()2
xxf
2)1(
1)()5
xxf
1
23)()8
2
x
xxf
2
2)()3
xxf
21
1)()6
xxf
241
21)()9
x
xxf
Tipo II. Integrar las siguientes funciones:
dxx
5.0
0 2
4)1 dx
x
5.0
0 31
10)2 dx
x
x
1.0
0 241
21)3
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
144
Clase: 5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía:- Serie de Maclaurin. - Ejemplos.- Serie de Taylor. - Ejercicios.- Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor.Tabla: Lista básica de funciones representadas en series de Maclaurin y series de Taylor.- Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas.- Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.
Serie de Maclaurin:
Definición: Es una función representada por la serie
0n
nn xa (serie de potencia)
donde !
)0()(
n
fa
n
n y "" )(n es el orden de la derivada de la función y además )0()0()0( ff
por lo tanto: !3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0(
!
)0()(
3'''2'''
0
)( xfxfxff
n
xfxf
n
nn
Para observar que la igualdad se cumple se presenta la función 2)( xxf donde al aplicar la serie de
Maclaurin tenemos: 2
222
0
2)(2
2
2
2
2
1
0
1
0
!2
2
!1
)0(2
!0
)0(
!
)()( x
xxxx
n
xxxf
n
nn
Serie de Taylor:
Definición: Es una función representada por la serie
0
)(n
nn cxa (serie de potencia centrada en “c”)
donde !
)()(
n
cfa
n
n y "" )(n es el orden de la derivada de la función y además )()()0( cfcf
Por lo tanto:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)(
!
)()()(
3'''2'''
0
)( cxcfcxcfcxcfcf
n
cxcfxf
n
nn
Para corroborar lo afirmado anteriormente; se presenta la función 12)( cxxf donde al aplicar la serie
de Taylor tenemos: xxxx
n
xxxf
n
n
22221
22
1
2
!1
)1(2
!0
)1(2
!
)1(2)(
0
Es de observarse, que la serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor donde 0c .Al abordar un problema se inicia generalmente con la aplicación de la serie de Maclaurin, y la serie de Taylor se utiliza cuando al evaluar el primer término de la serie de Maclaurin la función es indefinida; cuando esto pasa, se busca un número (el mas censillo para efectos de cálculos) donde la función evaluada en ese número es definida.
Ejemplo 1) 1)0(cos)( fxxf (la función es definida) se aplica la serie de Maclaurin.
Ejemplo 2) Indefinidofx
xf 0
1)0(
1)( el número buscado es “ "1" c y se aplica la serie de Taylor.
Por lo tanto: 11
1)1( f (la función es definida)
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
145
Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor:
Método de investigación:
1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental.
Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor de ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf
2. Forme la serie: Para la serie de Maclaurin:
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0( 32 xfxfxff
Para la serie de Taylor:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)( 32 cxcfcxcfcxcfcf
3.- Obtenga el enésimo término de la serie.
4.- Forme la serie completa:
Para la serie de Maclaurin: !3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0(
!
)0()(
3'''2'''
0
)( xfxfxff
n
xfxf
n
nn
Para la serie de Taylor:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)(
!
)()()(
3'''2'''
0
)( cxcfcxcfcxcfcf
n
cxcfxf
n
nn
5.- Sí lo desea y si es posible; obtenga de la nueva serie el nuevo enésimo término.
Ejemplo 1. Representar la serie de la función elemental x
xf1
)( :
!3
)1(6
!2
)1(2
!1
)1(1
!0
12
6)1(
2)1(
1)1(
1)1(
1;)0(
.1
1 32
)1(6
1
6
1
)3(
)(2
)1(2
1
2
1
)2(
)(1
)1(1
1
1
)1(1
01
44
2
23
3322
22
xxxPaso
f
f
f
f
cesbuscadonúmeroelindefinidof
Paso
x
xxx
x
x
xxx
x
x
xx
Paso 3) Para 6,2,1,1 se cumple la fórmula: !)1( nn
Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es nn
n
n)1(
!
!)1(
Paso 4) )(xf
0
432 )1()1()1()1(1)1()1(1
n
nn xxxxxx
Ejemplo 2. Representar la serie de la función elemental xexf )( :
!3!21
!3
)1(
!2
)1(
!1
)1(
!0
12
1)0(
1)0(
1)0(
1)0(
.1
3232
)0(0
)0(0
)0(0
)0(
xxx
xxxPaso
eef
eef
eef
ef
Paso
e
xx
xx
xxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
146
Paso 3) Para 3210 xxxx se cumple la fórmula nx .
Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es !n
x n
Paso 4)
0
432
!4!3!2!1!0
1
!n
nx xxxx
n
xe
Ejemplo 3. Representar la serie de la función elemental xxf cos)( .
!6
)1(
!5
)0(
!4
)1(
!6!4!21
!3
)0(
!2
)1(
!1
)0(
!0
12
1)0cos()(cos)0(
0)0()()0(
1)0cos()cos()0(
0)0()0(
1)0cos(cos)0(
0)0()0(
1)0cos()0(
.1
cos654
642
32
06
05
04
0
0
0
xxx
xxx
xxxPaso
xf
senxsenf
xf
senxsenf
xf
senxsenf
f
Paso
x
x
x
x
x
x
x
Paso 3) Para 1111 se cumple la fórmula n)1(
Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es !
)1(
n
n
Paso 4)
!6!4!2!0
1
!
)1(cos
642
0
xxx
n
xx
n
n
n
Paso 5) Para 6420 xxxx se cumple la fórmula: nn x2)1(
Para !6,!4,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !)2( n el nuevo enésimo término es !)2(
)1( 2
n
x nn
Y finalmente queda
!6!4!2!0
1
!)2(
)1(cos
6422
0
xxx
n
xx
n
n
n
Nota: Mediante éste método, se obtienen representaciones de funciones elementales1 y similares2 para formar una lista básica de funciones representadas en series, cuya utilidad hace mas amigable la representación de otras funciones mas complejas, por lo que a continuación se presenta dicha lista:
(1) Entenderemos como función elementales de otra función a calcular, la que contiene en su estructura una sola ""x ; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función elemental sin alterar el valor de la función a calcular.
(2) Entenderemos como función similar de otra función a calcular, aquella que contiene un valor diferente pero mantiene la misma estructura; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función similar sin alterar el valor de la función a calcular.
Ejemplo 1) Función a calcular: x
xf2
1)( La función elemental es
xy
1
Ejemplo 2) Función a calcular: xxf cos)( La función elemental es xy cos Ejemplo 3) Función a calcular:
2)21()( xxf La función similar es kxy )1(
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
147
Tabla: Lista básica de funciones representadas en series.
Función Intervalo de convergencia
32
0
)1()1()1(1)1()1(1
)( xxxxx
xf n
n
n
)2,0(
0
321)1(1
1)(
n
nn xxxxx
xf )1,1(
0
32
!3!21
!)(
n
nx xx
xn
xexf ),(
4
)1(
3
)1(
2
)1()1(
)1()1(ln)(
432
0
1 xxxx
n
xxxf
n
nn
2,0
4321
)1()1(ln)(
4321 xxxx
n
xxxf
on
nn
1,1
0
75312
!7!5!3!)12(
)1()(
n
nn xxxx
n
xxsenxf ),(
0
6422
!6!4!21
!)2(
)1(cos)(
n
nn xxx
n
xxxf ),(
0
753
2
12
7.6.4.2
5.3.1
5.4.2
3.1
3.2)12()!2(
!)2()(
nn
n xxxx
nn
xnxarcsenxf 1,1
75312
)1(arctan)(
753
0
12 xxxx
n
xxxf
n
nn
1,1
!7!5!3!)12()(
753
0
12 xxxx
n
xsenhxxf
n
n
),(
!6!4!2
1!)2(
cosh)(642
0
2 xxx
n
xxxf
n
n
),(
!3
)2()1(
!2
)1(1
!
)1()1()1()(
32
0
xkkkxkkxk
n
xnkkkxxf
n
nk
Zk
Zk
,
1,1
!3
)2()1(
!2
)1(1
!
)1()1()1()1()(
32
0
xkkkxkkxk
n
xnkkkkxxf
n
nnk
Zk
Zk
,
1,1
Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas:
Método:
1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”.2) Identifique el nuevo valor de ""x en la función a determinar.
3) Sustituya el nuevo valor identificado ""x en la serie de la función elemental ó similar identificada.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
148
Ejemplo 1) Representar en serie la función: x
xf2
1)(
Paso 1) Función elemental:
32
0
)1()1()1(1)1()1(1
)( xxxxx
xf n
n
n
Paso 2) El nuevo valor de ""x es "2" x
Paso 3) 32 )1)2(()1)2(()1)2((1)2(
1)( xxx
xxf
32 )12()12()12(1 xxx
Ejemplo 2) Representar en serie la función: xxf cos)(
Paso 1) Función elemental:
0
86422
!8!6!4!21
!)2(
)1(cos)(
n
nn xxxx
n
xxxf
Paso 2) El nuevo valor de ""x es "" x
Paso 3) !8!6!4!2
1!8
)(
!6
)(
!4
)(
!2
)(1cos
4328642 xxxxxxxxx
Ejemplo 3) Representar en serie la función: 2)21()( xxf
Paso 1) La función similar es:
!3
)2()1(
!2
)1(1
!
)1()1()1()(
32
0
xkkkxkkxk
n
xnkkkxxf
n
nk
Paso 2) El nuevo valor de "2""" xesx y de ""k es 2.
Paso 3) 2
322 441
!3
)2)(22)(12(2
!2
)2)(12)(2()2)(2(1)21( xx
xxxx
Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.
Un interés de las series de Maclaurin y de Taylor es la posibilidad de evaluar integrales de funciones que no han sido posible ser calculadas por los métodos hasta ahora conocidos, por lo que se convierte en una técnica de integración de mucha ayuda.
Fundamentación: Sí )(xfy y
)0(f es definido
b
a
b
a Rb
yRadx
ffxffdxxf
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0()(
)0(f es indefinido
b
a
b
a Rcb
yRcadx
cxcfcxcfcxcfcfdxxf
!3
))((
!2
))((
!1
)()(
!0
)()(
32
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
149
Método de integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor:
1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”.1.1. Sí la función elemental ó similar ya esta en la tabla, identifíquela y continúe en el paso 3.
1.2. Sí la función elemental ó similar no está en la tabla continúe en el paso 2.2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de Taylor: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental. Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf 2.1 Forme la serie:
Para la serie de Maclaurin:
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0( 32 xfxfxff
Para la serie de Taylor:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)( 32 cxcfcxcfcxcfcf
3) Identifique el nuevo valor de ""x de la función a calcular.
4) Sustituya el nuevo valor identificado ""x en la serie de la función elemental ó similar identificada u obtenida.5. Integre.6. Evalúe.
Ejemplo 1) Resolver la integral 1
0dxe x
con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;
(suponga que la representación de la función elemental no se encuentra en tablas).
9833.1
)6
)!4)(3()!3)(3(
2
)!2)(2(3
2
)5!4
)(
!3
)(
!2
)(1
)4
"":""
)3
!3!21
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1
1)0(
1)0(
1)0(
1)0(
)2
)1
1
0
32
522
3
2
1
432
3232
)0(0
0
)0(0
)0(0
)0(
1
0
Paso
xxxxx
Paso
dxxxx
x
Paso
xesxdevalornuevoel
Paso
xxx
xxx
esMaclaurindeseriela
eef
eef
eef
ef
Paso
eyelementalfunción
Paso
dxe
x
xx
xx
x
x
Ejemplo 2) Resolver la integral 2
1ln dxx con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;
(suponga que la representación en serie de la función elemental no se encuentra en tablas).
2
1
432
432
432
41
44
31
3
21
11
1
2
1
1927.0)6)5!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1()1()4
"":""
)3
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1()1(
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1(1
!1
)1(1
6)1(
66)1(2
)1(
22)1(
1)1(
1)1(1)1(
0)1ln()1(1)0ln()0(
)2
ln
)1
ln
2
yPasodxxxx
xPasoxesxdevalornuevoel
Paso
xxxx
xxxx
esTaylordeserienuevala
xf
xf
ff
fcinefinidof
Paso
xyelementalfunción
Paso
dxx
xx
xxxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
150
Ejemplo 3) Resolver la integral dxxsen1
0
2 con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras
(con uso de la tabla).
1
0
141062
1
0
7252322
2
7531
0
2
!7!5!3
!7
)(
!5
)(
!3
)()4
)3
!7!5!3)2
)1
dxxxx
x
dxxxx
x
Paso
xPaso
xxxxPaso
xsenyPaso
dxxsen
3102.0)6)!7(15)!5(11)!3(73
)51
0
151173
Paso
xxxxPaso
Ejemplo 4) Integrar la función: dxx1
0cos con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras.
(con uso de la tabla).
2
0
2
0
326426422
0 !6!4!21
!6
)(
!4
)(
!2
)(1)4
)3
!6!4!21)2
cos)1
cosxxx
dxxxx
Paso
xPaso
xxxPaso
xyPaso
dxx
1056.01)6)!6(4)!4(3)!2(2
)52
0
432
Paso
xxxxPaso
Ejercicios:
Tipo I. Integrar las siguientes funciones (suponga que la representación de la serie no se encuentra en la tabla):
1
1.0
3
2)1 dxe x 2
1
3ln5)2 dxx dxxsenh1
0)3
2
0
2cosh)4 dxx
Tipo II. Demostrar al comparar en la tabla “Lista básica de funciones representadas en series”; la representación de series de Maclaurin ó de Taylor las siguiente funciones:
xsenxf )()1 xxf cosh)()2 xxf arctan)()3
Tipo III. Integrar con uso de tablas las siguientes funciones con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras:
dxx
2
1 2
1)1 dxx2ln)4
2
1 dxx5.0
0arctan5)7
dxx
1
0 1
1)2 dxxsen
1
03)5 dxx
1
0cosh)8
dxex20
1)3 dxx
1
0
2cos2)6 5.0
0
31)9 dxx
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
151
Evaluaciones tipo: Unidad 5.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 5
Clave: Evaluación tipo 1
1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos
de la serie:
0
2
!2
15
n
nn
n
xIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
2) Calcular por series de potencia: 25.0
0 31
2dx
x
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 40 puntos.
3) Calcular por series de Maclaurin: 1
0
2cos dxxIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 5
Clave: Evaluación tipo 2
1) Obtener el enésimo término de la serie:
!3
2
!2
222
642 xx
x
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
2) Demostrar por series de Maclaurin que:
!6!4!2
1cosh642 xxx
x
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
3) Calcular por series de Taylor: 2
1ln dxx
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 40 puntos.
E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 5
Clave: Evaluación tipo 3
1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos
de la serie:
012
112
nn
nn xIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
2) Obtener el enésimo término de la serie:
!3
25
!2
25255
2xxx
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 30 puntos.
3) Calcular por serie de Maclaurin:
5.0
04 dxxarcsen
Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.
Valor: 40 puntos.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
152
Formulario de integración por series: Unidad 5.
Tipo Caracterización Tipo Caracterización
p-serie0
1
pnkn
p
Telescópicas:
knnn aa )( 1
Armónica
kn n
1 GeométricasRryara
n
n
00
Armónica general0
1
abankn
De potencias
0n
nn xa
Alternantes
kn
nna 1)1(
De potencias centrada en c
0
)(n
nn cxa
Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Zyqpn 0,,
Enésimos términos elementales Estructuras típicas de enésimos términos
Para: nóp Ejemplo: Para: pyn Para: qypn,
pan )1 2222na pnan )1 qpnan )1
pan )2 2222na pn na )2 qpnan )2
nan )3 4321na Para 1k nn pa )3 qna p
n )3
!)4 nan 6211na Para 0k pnan )4 qna pn )4
nn na )5 2562741na Para 1k pnan )5 qpa n
n )5n
na )1()6 1111na Para 0k npan )6 qpa nn )6
Serie de Maclaurin:
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
!0
)0(
!
)0()(
3'''2'''
0
)( xfxfxff
n
xfxf
n
nn
Serie de Taylor:
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)(
!
)()()(
3'''2'''
0
)( cxcfcxcfcxcfcf
n
cxcfxf
n
nn
Forma parte de este formulario: La tabla: Lista básica de funciones representadas en series.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
153
Decía un gran amigo: “Tanta fuerza tiene la verdad como la mentira”.¡ Admiro a las matemáticas porque encuentro imposible ser víctima de un engaño ¡
José Santos Valdez Pérez
ANEXOS:
A Fundamentos cognitivos del cálculo integral.A1. Funciones y sus gráficas.A2. Propiedades de los exponentes.A3. Propiedades de los logaritmos.A4. Funciones trigonométricas.A5. Identidades de funciones trigonométricas.A6. Funciones hiperbólicas.A7. Identidades de funciones hiperbólicas.A8. Funciones hiperbólicas inversas.
B Instrumentación didáctica.B1. Identificación:B2. Caracterización de la asignatura:B3. Competencias a desarrollar:B4. Análisis del tiempo para el avance programático.B5. Avance programático.B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje.B7. Apoyos didácticos:B8. Fuentes de información.B9. Calendarización de evaluación.B10. Corresponsabilidades.
C Simbología:C1. Simbología de caracteres.C2. Simbología de letras.C3. Simbología de funciones.
D Registro escolar.
E Formato de examen.
F Lista de alumnos.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
154
Anexo A. FUNDAMENTOS COGNITIVOS DEL CÁLCULO INTEGRAL.
Anexo A1: Funciones y sus gráficas:
Guía:- Plano rectangular: - Método de graficación de funciones básicas.
- Función. - Reglas fundamentales de graficación.
- Clasificación de funciones. - Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada.
- Estructuras de funciones. - Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada.
- Gráficas de funciones elementales - Ejemplos.
- Ejercicios.
Plano rectangular:
El plano cartesiano; es el conjunto cerrado de puntos que se encuentran en el plano generado por las rectas "X" e "Y".
Función:
Es una relación entre las variables """" yex del plano rectangular, cuya regla de correspondencia consiste en
asignar a cada elemento ""x uno y solamente un elemento "" y .
Nota: Todas las ecuaciones (modelos matemáticos) que obedecen ésta regla son funciones, y se diferencian por
su estructura: )(xfy significa que la parte )(xf debe estar expresada en términos de ""x y/ó números
reales.
La característica gráfica de las funciones es que: “Toda recta vertical toca la gráfica de una función a lo más una sola vez”.
Es funcion No es funcion Es funcion No es funcion
Clasificación de funciones:
Antes de iniciar el proceso de aprendizaje del cálculo integral, daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica.
La primera clasificación de interés presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden.
1) Funciones algebraicas.2) Funciones exponenciales.3) Funciones logarítmicas.4) Funciones trigonométricas.5) Funciones trigonométricas inversas.6) Funciones hiperbólicas.7) Funciones hiperbólicas inversas.
X
Y
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
155
La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera:
1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas.
Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.
Ejemplos: ..;;1
;4 etcxsenyx
yy
Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la
forma: 0, akbabaxy
Ejemplos: ).1cos();12ln(;23 xyxyxy
Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura uno
ó más polinomios de la forma:
Znykzbazbxaxxpy nn ,,)( 1
Ejemplo: 23 23 xxy
Estructuras de las funciones:
EstructuraFunción Nombre Elementales Básicas Metabásicas
Constante ky Identidad xy Binómica baxy Polinómica )(xpy Valor absoluto xy baxy )(xpy Raíz xy baxy )(xpy
Racional xy
1
baxy
1
)(
1
xpy
Algebraicas:
Racional raíz.x
y1
bax
y
1
)(
1
xpy
Exponencia de base “ e ”
xey )( baxey )( xpey
Exponenciales: Exponencial de base “ a ”
xay Ra
)( baxay )(xpay
Logaritmo de base “ e ”
xy ln )(ln baxy )(ln xpy
Logarítmicas Logarítmica de base “ a ”
xy alog Ra
)(log baxy a )(log xpy a
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
156
Seno xseny )( baxseny )(xpseny Coseno xy cos )(cos baxy )(cos xpy Tangente xy tan )(tan baxy )(tan xpy Cotangente xy cot )(cot baxy )(cot xpy Secante xy sec )(sec baxy )(sec xpy
Trigonométricas
Cosecante xy csc )(csc baxy )(csc xpy
Arco seno xsenarcy )( baxsenarcy )(xpsenArcy Arco coseno xy arccos )(arccos baxy )(cos xpArcy Arco tangente xy arctan )(arctan baxy )(tan xpArcy Arco cotangente xarcy cot )(cot baxarcy )(cot xpArcy Arco secante xarcy sec )(sec baxarcy )(sec xpArcy
Trigonométricasinversas
Arco cosecante xarcy csc )(csc baxarcy )(csc xpArcy
Seno hiperbólico xsenhy )( baxsenhy )(xpsenhy Coseno hiperbólico
xy cosh )(cosh baxy )(cosh xpy
Tangente hiperbólico
xy tanh )(tanh baxy )(tanh xpy
Cotangente hiperbólico
xy coth )(coth baxy )(coth xpy
Secante hiperbólico
xhy sec )(sec baxhy )(sec xphy
Hiperbólicas
Cosecante hiperbólico
xhy csc )(csc baxhy )(csc xphy
Arco seno hiperbólico
xarcsenhy )( baxarcsenhy )(xparcsenhy
Arco coseno hiperbólico
xarcy cosh )(cosh baxarcy )(cosh xparcy
Arco tangente hiperbólica
xarcy tanh )(tanh baxarcy )(tanh xparcy
Arco cotangente hiperbólica
xarcy coth )(coth baxarcy )(coth xparcy
Arco secante hiperbólica
xharcy sec )(sec baxharcy )(sec xpharcy
Hiperbólicas inversas
Arco cosecante hiperbólica
xharcy csc )(csc baxharcy )(csc xpharcy
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
157
Gráficas de funciones elementales:
Algebraicas:
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica
Constante ky ),( ),( kk
Identidad xy ),( ),(
Valor absoluto xy ),( ,0
Raíz xy ,0 ,0
Racional xy
1 ,0)0,( ,0)0,(
Racional raíz
xy
1
),0( ),0(
Exponenciales
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica representativa
De base ""e xey
),( ),0(
De base ""a xay Ra
),( ),0(
ky
xy
xey
xy
xy
1
xy
1
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
158
Logarítmicas
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica representativa
De base ""e xy ln ),0( ),(
De base ""a xy alog Ra
),0( ),(
Trigonométricas
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica
Seno xseny , 1,1
Coseno xy cos , 1,1
Tangente xy tan ,23,2 x ,
Cotangente xy cot ,2,,0 x ,
Secante xy sec ,23,2 x
),1(
)1,(
Cosecante xy csc ,2,,0 x
),1(
)1,(
xy ln
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
159
Trigonométricas inversas:
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica
Seno inverso xsenarcy 1,1 2,2
Coseno inverso
xarcy cos 1,1 ,0
Tangente inversa
xarcy tan ),( )2,2(
Cotangente inversa
xarcy cot ),( )2,2(
Secante inversa
xarcy sec ),1[]1,( ],2[]2,0[
Cosecante inversa
xarcy csc ),1[]1,( ]2,0()0,2[
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
160
Hiperbólicas:
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica
SenoHiperbólico
2
xx eexsenhy
),( ),(
Coseno hiperbólico 2
coshxx ee
xy
),( ),1[
Tangentehiperbólica
x
xsenhxy
coshtanh
),( )1,1(
Cotangentehiperbólica
0
tanh
1coth
x
xxy ),0()0,( ),1()1,(
Secantehiperbólica x
xhycosh
1sec ),( )1,0(
Cosecantehiperbólica
0
1csc
x
xsenhxhy ),0()0,( ),0()0,(
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
161
Hiperbólicas inversas:
Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica
Seno hiperbólico inverso 1ln 2 xxxarcsenhy ),( ),(
Coseno hiperbólicoinverso 1lnarccos 2 xxxhy ),1[ ),0[
Tangente hiperbólicainversa
x
xxhy
1
1ln
2
1arctan
)1,1( ),(
Cotangente hiperbólicainversa
1
1ln
2
1coth
x
xxarcy
),1(
)1,(
),0(
)0,(
Secante hiperbólicainversa
x
xxharcy
211lnsec
1,0( ),0
Cosecante hiperbólica inversa
x
x
xxharcy
211lncsc ),0(
)0,(
),0(
)0,(
Método de graficación de funciones básicas:
1) Identifique la función dada en la tabla: “Método de graficación de funciones básicas”.2) Determine el punto medio de graficación de acuerdo a la regla dada en la tabla.3) Evalúe la función en el intervalo mínimo de graficación de acuerdo a la tabla.4) Marque los puntos.5) Trace la gráfica.
Conceptos:
El punto central de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el centro de la traza de la función a graficar.
El punto tope de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el inicio de la gráfica de la función y a partir del cual se inicia la traza de la función.
El punto límite de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el valor
indefinido de ""x mas cercano a dicha gráfica; y cerca del cual se inicia la traza de la función.
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
162
El punto medio de graficación de una función básica “Pm”: Es el punto central ó punto tope ó punto límite de la gráfica de una función; Para identificar estos puntos observe la tabla "Reglas de graficación de funciones básicas".
Tabla: Método de graficación de funciones básicas: MP Punto medio de graficación
IPT Intervalo parcial de trazo
Función Regla: baxxp )( Intervalo de graficación IPT EjemploMP
Binómica 0MP ]3,3[ 1 2 xy 0MP
Valor absoluto xPM donde 0)( xp 3,3 12 xy 2MP
Raíz xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP
en el intervalo definido
1 3 xy 3MP
Racional xPM donde
0)( xp )3,3( MM PP 1 2
3
xy 2MP
Racional raiz xPM donde 0)( xp )3,3( MM PPen el intervalo definido
133
2
xy 3MP
Exponencial 0MP ]3,3[ 1 12 xey 0MP
Logarítmica xPM donde 0)( xp )3,3( LL PPen el intervalo definido
1 )2(ln xy 2MP
Trigonométrica xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP 1 )4(cos xy 4MP
Hiperbólica xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP 1 )3cosh( xy 3MP
Ejemplos:
1) Graficar la función
xy 3 x xy 3 0 1 2
3MP 4 5 6
1.73…1.41…10IndefinidoIndefinidoIndefinido
2) Graficar la función 3
1
xy
x
3
1
xy
0 1 2
3MP 4 5 6
- 0.333…- 0.5- 1Indefinido 1 0.5 0.333…
3
3
1
xy
PM
0
3
xy 3
PL
0
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
163
3) Graficar la función
2
1
xy
x
2
1
xy
5 4 3
2MP
1 0 1
IndefinidoIndefinido
IndefinidoIndefinido
1...707.0...577.0
4) Graficar la función )2(ln xy
x )2(ln xy - 1 0 1
2MP
3 4 5
1.09…0.69…0IndefinidoIndefinidoIndefinidoIndefinido
Reglas fundamentales de graficación de funciones.
1) Regla de la ecuación constante:
Sí x = k la gráfica es una recta que toca al eje “X” en (k, 0); y es paralela al eje “Y”. Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: x = 2
2) Regla de la función constante:
Sí y = k la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, k); y es paralela al eje “X”,
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 3
3) Regla de la función lineal:
Sí y = ax + b la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, b); y además es creciente si “a” es positiva“+” y decreciente si “a” es negativa “-“) Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x – 1
4) Regla de la función cuadrática y binómica:
Sí y = ax2 + b la gráfica es una parábola que toca al eje “Y” en (0, b); y es cóncava hacia arriba sí “a” es positiva “+”
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x2 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es par, presentan este bosquejo.
(2, 0)
x = 2
•
•
y = 2x2 + 1
(0, 1)
y = 3(0, 3)•
y = 2x - 1
(0, -1)•
PM 2
1
xy
- 20
)2(ln xy
PM
0
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
164
5) Regla de la función cuadrática y trinómica:
Sí dxacbxaxy ab 2
22
la gráfica es una parábola que toca el punto dab ,2 ; y es
cóncava hacia arriba sí “ a ” es positiva “+” ; y cóncava hacia abajo sí “ a ” es negativa “-“.
Ejemplo 1. Trazar la gráfica cuya ecuación es: 1162 xxy
23296?3116 2222 xxxxxxy
De donde 2,3,2 dab
Ejemplo 2. Trazar la gráfica cuya ecuación es: 842 2 xxy
1012)512(2
?1242284222
222
xxx
xxxxxy
De donde: 10,1,2 dab
6) Regla de la función cúbica:
Sí y = ax3 + b la gráfica es una curva que toca al eje “Y” en (0, b); similar a una ese “S” “ invertida sí “a” es positiva “+” y similar a una “S” normal sí “a” es negativa “-”. Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x3 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es impar > 1, presentan este bosquejo.
7) Regla de los desplazamientos:
Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente:
Sí y = f(x) + k la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia arriba.Sí y = f(x) - k la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia abajo.Sí y = f(x + k) la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia la izquierda.Sí y = f(x- k) la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia la derecha.
Ejemplo 1): Sea: y = x2 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k).
a) y = f(x) + k = x2 + 2 c) y = f(x + k) = (x + 2)2 = x2 + 4x +4b) y = f(x) – k = x2 - 2 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 = x2 – 4x +4
2
2
2 20
y = x2y = x2 + 2 y = (x - 2)2
y = (x + 2)2
•
y = 2x3 + 1
y = x2 - 2
(-1, -10)
y = 2x2 + 1
y = x2 + 6x+11
(-3, 2)
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
165
Ejemplo 2): Sea: y = x2 + 1 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k).
a) y = f(x) + k = (x2 + 1) + 2 = x2 + 3 c) y = f(x + k) = (x + 2)2 +1 = x2 + 4x + 5b) y = f(x) – k = (x2 +1) - 2 = x2 - 1 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 1
y = x2 + 1 y = x2 + 3 y = x2 -1 y = (x + 2)2 + 1 y = (x - 2)2 + 1
8) Regla de los estiramientos y compresiones:
Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente:
Sí y = k f(x) la gráfica y = f(x) se estira k veces en dirección vertical. Sí y = f(x)/k la gráfica y = f(x) se comprime k veces en dirección vertical. Sí y = f(kx) la gráfica y = f(x) se comprime k veces en dirección horizontal. Sí y = f(x/k) la gráfica y = f(x) se estira k veces en dirección horizontal.
Ejemplo: Sea: y = x2 para k = 2 bosquejar a) y = k f(x); b) y = f(x)/k; c) y = f(kx); d) y = f(x/k).
a) y = k f(x) = 2 (x2 ) = 2x2 c) y = f(kx) = (2x)2 =4x2
b) y = f(x)/k = (x2 )/2 = x2/2 d) y = f(x/k) = (x/2)2 = x2/4
9) Regla de las reflexiones:
Para y = f(x) se cumple lo siguiente:
Sí y = - f(x) la gráfica y = f(x) se refleja respeto al eje “X”.Sí y = f(-x) la gráfica y = f(x) se refleja respecto al eje “Y”.
Ejemplo: Sea: xy para k = 2 bosquejar a) y = - f(x); b) y = f(-x).
a) y = - f(x) = xb) y = f(-x) = x
xy xy xy
221
31
y = x2 y = 2x2 y = x2/2 y = 4x2 y = x2/4
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
166
Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada.
El criterio de la primera derivada establece:Cuando en f existen puntos estacionarios Icfc ))(,(tales que 0)( cf se infiere que:
a) Sí antes ó después de ))(,( cfc ; 0´f f es curva creciente.
b) Sí antes ó después de ))(,( cfc ; 0´f f es curva decreciente.
c) Si de antes a después de ))(,( cfc hay cambio de
af 0' 0'f ))(,( cfc es un máximo relativo.
d) Si de antes a después de ))(,( cfc hay cambio de
af 0' 0'f ))(,( cfc es un mínimo relativo.
e) Si de antes a después de ))(,( cfc no hay cambio de
'f ))(,( cfc es un punto de inflexión.
Ejemplo: Investigar números y puntos críticos de la función xxx
y 223
23
.
2´ 2 xxf 022 xx 0)2()1( xx
21 21 xyx Son los números estacionarios.
3/10,23/10)2(
6/7,16/7)1(
f
f Son los puntos estacionarios
1 x 21 x x2 - 2 0 3
)(02)2()2()2(' 2 f )(02)0()0()0(' 2 f )(02)3()3()3(' 2 f
Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada.
Primera parte: Si en f existen puntos estacionarios Icfc ))(,((obtenidos de la 1a. derivada); se infiere que:
a) Sí ))(,(0)(''0 cfccfóf es un máximo relativo
b) Sí ))(,(0)(''0 cfccfóf es un mínimo relativo
c) Sí 0)('' cf el criterio no decide.
0'f0'f
0'f
Mínimorelativo
Máximorelativo Punto de inflexión
Mínimorelativo
Máximorelativo
0)('' cf0)('' cf
Mínimorelativo
DecrecienteCreciente Creciente
(- 1, 7/6 ) - 1
(2, - 10/3) 2
Máximorelativo
cc
0)( cf
0'f0'f
0'f
0)( cf
67,1
310,2
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
167
Segunda parte: Si en f existen puntos Icfc ))(,( obtenido de la 2a. derivada, se infiere que:
a) Sí 0'' f antes o después de ))(,( cfc
f es cóncava hacia abajo nIb) Sí 0'' f antes o después de ))(,( cfc
f es cóncava hacia arriba nIc) Sí hay cambio de concavidad de antes a después de ))(,( cfc ))(,( cfc es un punto de inflexión.
Método de investigación:
1) Obtenga números y puntos estacionarios de la primera derivada.
2) Obtenga )('' cf de los números estacionarios de la 1a. derivada y aplique la 1a. parte del criterio.
3) Obtenga números y puntos estacionarios de la 2a. derivada.4) Elabore la matriz de intervalos abiertos y aplique la 2a. parte del criterio.5) Haga el bosquejo de la gráfica.
Ejemplo.- Por el criterio de la segunda derivada, graficar la función 3
62
x
y
22 )3(
12´
x
xf ; 0
)3(
1222
x
x; 0x es el número estacionarios de la 1ª derivada.
2,023)0(
6)0(
2
f es el punto estacionarios de la 1ª derivada.
32
2
3
3636
x
xf 00
3)0(
36)0(36)0( 32
2
fcomof 2,0 es un máximo relativo
0
3
363632
2
x
x; 11 21 xyx
estos son los números estacionario de la 2ª derivada.
)5.1,1(5.13)1(
6)1(
2
f
es un punto estacionario de la 2ª derivada.
)5.1,1(5.13)1(
6)1(
2
f
es otro punto estacionario de la 2ª derivada.
1 x 11 x x1 - 2 0 2
0
3)2(
36)2(36)2( 32
2
f
0
3)0(
36)0(36)2( 32
2
f
0
3)2(
36)2(36)2( 32
2
f
Punto deinflexión
Cóncavahacia abajo
Cóncavahaciaarriba
0'' f 0'' f
Punto deinflexión
Cóncavahacia abajo
Cóncava hacia arriba
Cóncavahacia arriba
(-1, 1.5) -1
(1, 1.5) 1
Punto deinflexión
5.1,1 5.1,1
2,0
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
168
Anexo: A2. Propiedades de los exponentes:
1)1 0 a xxx baab )()3 yxyx aa )5 xe x ln
yxy
x
aa
a )2 yxyx aaa )4 x
xx
b
a
b
a
)6 10log axa xa
Anexo: A3. Propiedades de los logaritmos:
Logaritmos de base ;""a 1, baSí
Logaritmos de base ;""e 1aSí
01log)1 a01ln)1
1log)2 aa1ln)2 e
yxxy aaa loglog)(log)3 yxxy lnlnln)3
yxy
xaaa logloglog)4
yx
y
xlnlnln)4
xnx an
a log)(log)5 xnxn ln)(ln)5
a
xx
b
ba log
loglog)6
e
xx
a
a
log
logln)6
ab
ba log
1log)7
ea
alog
1ln)7
10log)8 axa xa xe x ln)8
Anexo: A4. Funciones trigonométricas:
Las funciones trigonométricas son funciones que se definen por la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, cuyo ángulo de referencia tiene como vértice el origen del plano cartesiano.
Función Nombre Gráfico
C
Bxseny )1 Seno
C
Axy cos)2 Coseno
A
Bxy tan)3 Tangente
B
Axy cot)4 Cotangente
A
Cxy sec)5 Secante
B
Cxy csc)6 Cosecante
A
C
x
B
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
169
Anexo: A5. Identidades de funciones trigonométricas:
Seno:x
xsencsc
1)1 xsenxxsen 2
2
1cos)5 xxsen 22 cos1)7
xsenxsen )()2 xx
xsentan
cos)6 xxsen 2cos
2
1
2
1)8 2
xxsen
csc1
)3 xxsen cos2
1
2
1
2
1)9 2
xxsenxsen cos22)4 1cos)10 22 xxsen
Coseno:xSec
x1
cos)1 xsenx 2212cos)5 xsenx 22 1cos)9
xx cos)cos()2 xSenxx 22cos2cos)6 xx 2cos2
1
2
1cos)10 2
xx
seccos
1)3 xsenxxsen 2
2
1cos)7 xx cos
2
1
2
1
2
1cos)11 2
1cos22cos)4 2 xx xx
xsentan
cos)8 1cos)12 22 xxsen
Tangente:x
xcot
1tan)1
x
xsenx
costan)4 1sectan)5 22 xx
xx tan)(tan)2 1tansec)6 22 xx
xx
cottan
1)3
Cotangente: xx
tan
1cot)1 x
xtan
cot
1)3 1csccot)6 22 xx
xx cot)(cot)2 xsen
xx
coscot)5 1cotcsc)7 22 uu
x
xx
2tan1
tan22tan)4
Secante:x
xcos
1sec)1 x
xcos
sec
1)3 xx 22 tan1sec)4
xx sec)(sec)2 1tansec)5 22 xx
Cosecante:xsen
x1
csc)1 xsenx
csc
1)3 xx 22 cot1csc)4
xx csc)(csc)2 1cotcsc)5 22 uu
José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
170
Anexo: A6. Funciones hiperbólicas:
Es una clase de funciones exponenciales que surgió al observar la relación del área de un semicírculo con el área de una parábola, quedando definida de la siguiente forma:
Función Nombre Función Nombre
2)1
xx eexsenhy
Seno
hiperbólicoxx
xx
ee
ee
xtghxy
1
coth)4 Cotangente hiperbólica
2cosh)2
xx eexy
Coseno
hiperbólicoxx eex
xhy
2
cosh
1sec)5 Secante
hiperbólica
xx
xx
ee
ee
x
xsenhxy
cosh
tanh)3 Tangente hiperbólica
xx eexsenhxhy
21
csc)6 Cosecante hiperbólica
Anexo: A7. Identidades de funciones hiperbólicas:
Seno hiperbólico xsenhxsenh )()1 2
2cosh1)4 2 x
xsenh
xxsenhxsenh cosh22)2 1cosh)5 22 xsenhx
12cosh2
12)3 xxsenh
Coseno hiperbólicoxx cosh)cosh()1
2
2cosh1cosh)4 2 x
x
xsenhxx 22cosh2cosh)2 1cosh)5 22 xsenhx
12cosh2
12cosh)3 xx
Tangente hiperbólica x
xsenhx
coshtanh)1 1sectanh)2 22 xhx
Cotangente hiperbólica
xsenh
xx
coshcoth)1 1csccoth)2 22 xhx
Secante hiperbólicax
xhcosh
1sec)1 1sectanh)2 22 xhx
Cosecante hiperbólica
xsenhxh
1csc)1 1csccoth)2 22 xhx
Anexo: A8. Funciones hiperbólicas inversas:
Función Nombre
1ln)1 2 xxxsenharcy Seno hiperbólico inverso
1lnarccos)2 2 xxxhy Coseno hiperbólico inverso
x
xxhy
1
1ln
2
1arctan)3 Tangente hiperbólico inverso
1
1ln
2
1coth)4
x
xxarcy Cotangente hiperbólico inverso
x
xxharcy
211lnsec)5
Secante hiperbólico inverso
x
x
xxharcy
211lncsc)6 Cosecante hiperbólico inverso
171
Anexos: B. INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA.
B1. Identificación.B2. Caracterización de la asignatura.B3. Competencias a desarrollar:B4. Análisis del tiempo para el avance programático.B5. Avance programático.B6. Instrumentación didáctica.B7. Apoyos didácticos.B8. Fuentes de información.B9. Calendarización de evaluación.B10. Corresponsabilidades.
Anexo: B1. Identificación:
Asignatura: Cálculo integralDescripción: Cálculo integral.Clave: Sin.
Carrera: Todas las ingenierías.Horas teóricas: 3Horas prácticas: 2Unidades: 5
Versión: Agosto del año 2010.
Anexo: B2. Caracterización de la asignatura:
- Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación.- Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral.
Anexo: B3. Competencias a desarrollar:
- Contextualizar el concepto de Integral.- Discernir método más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo.- Resolver problemas de cálculo de longitud de arco, áreas, volúmenes de sólidos de revolución, y centroides.- Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.
Anexo: B4. Análisis del tiempo para el avance programático.
No Indicador Subindicador Hrs. Hrs.1 Horas programadas por semestre 16 Semanas programadas por 5 horas/semana 80
Subtotal +80
2 Horas no impartidas: Suspensiones de ley (promedio) - 4Eventos institucionales - 3Faltas del maestro - 3Juntas de academia - 2Juntas departamentales - 2Juntas sindicales - 2 Subtotal -16
3 Horas reales -644 Total -80 +80
172
Anexo: B5. Avance programático:
UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. Avance programático
Clase Tema T/h T/h/a %
0.0 Presentación del programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación.
1 1 2
1.1 Diferenciales. 1 2 31.2 Diferenciación de funciones elementales. 2 4 61.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 5 81.4 Diferenciación de funciones que contienen “u”. 2 7 111.5 La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. 2 9 141.6 Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 10 161.7 Integración indefinida de funciones que contiene “u”. 2 12 19
Evaluación de la unidad. 1 13 20 Subtotal: 13
UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Avance programático
Clase Tema T/h T/h/a %
2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen
las formas: 22 au .
1 14 22
2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 1 15 232.3 Técnica de integración por partes. 1 16 252.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. 2 18 282.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 1 19 302.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 1 20 312.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. 2 22 342.8 Técnica de integración de fracciones parciales. 2 24 372.9 Técnica de integración por series de potencia. 1 25 392.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. 2 27 42
Evaluación de la unidad. 1 28 44 Subtotal: 15
UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. Avance programático
Clase Tema T/h T/h/a %
3.1 La integral definida. 1 29 453.2 Teoremas de cálculo integral. 1 30 473.3 Integración definida de funciones elementales. 3 33 523.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 34 533.5 Integración definida de funciones que contienen “u”. 3 37 583.6 Integración definida de funciones que contienen las formas: 22 au a 0 2 39 61
3.7 Integrales impropias. 3 42 66Evaluación de la unidad. 1 43 67 Subtotal: 15
173
UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Avance programático
Clase Tema T/h T/h/a %
4.1 Cálculo de longitud de curvas. 1 44 694.2 Cálculo de áreas. 2 46 72
4.3 Cálculo de volúmenes. 2 48 754.4 Cálculo de momentos y centros de masa. 2 50 784.5 Cálculo del trabajo. 2 52 81
Evaluación de La unidad. 1 53 83 Subtotal: 10
UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES. Avance programático
Clase Tema T/h T/h/a %
5.1 Definición, clasificación y tipos de series. 1 54 845.2 Generación del enésimo término de una serie. 2 56 875.3 Convergencia de series. 1 57 895.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 1 58 915.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. 1 59 925.6 Integración definida de funciones por series de potencia. 2 61 955.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. 1 62 970.0 Evaluación y clausura del curso. 1 63 98
Evaluación de la unidad. 1 64 100 Subtotal: 11
174
Anexo: B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje.
Identificación:
No. de unidad: 1.Tema: La integral.
Competencias específicas:
- Solución de las diferenciales necesarias para el cálculo de integrales.- Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral.- Solucionar las integrales indefinidas como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.
Criterios de evaluación:
- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.
Actividades de enseñanzaClase
Descripción NActividades de aprendizaje Competencias genéricas
hrs%
- Con la dinámica de presentación, promover la identificación del grupo.
C2 Participar en la dinámica de presentación.
- Comunicar ideas. 112
- Por el método globalizado y con la técnica expositiva; presentar el programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación.
C2 Participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.
- Interpretar conceptos.- Establecer generalizaciones.- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Coordinar la formación de equipos que participarán en la exposición de temas y elaboración de tareas.
C2 Formar equipos de investigación para la elaboración de tareas y presentación de exposiciones.
- Tomar decisiones.
0.0
- Por el método psicológico y con la técnica de la comisión, asignar a los equipos los temas sujetos a investigación y presentación ante el grupo.
C2 Tomar notas y participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.
- Interpretar conceptos.- Establecer generalizaciones.- Tomar decisiones.
1.1 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C2 Haber investigado el tema “Diferenciales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
123
1.2 Por el método heurístico y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciación de funciones elementales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 Haber investigado el tema “Diferenciación de funciones elementales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
246
175
1.3 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
158
1.4 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
2711
1.5 Por el método activo y con la técnica expositiva presentar el tema “La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales”.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Resolver problemas.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
2914
1.6 Por el método psicológico hacer una introducción al tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se organiza al grupo en discusión circular, luego se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 Los equipos participantes presentan el tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. El resto del grupo haber investigado el tema y organizado en discusión circular participan haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
11016
1.7 Por el método sistematizado y por la técnica de la exposición presentar el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4Haber investigado el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.- Analizar la factibilidad de las soluciones.- Resolver problemas.- Establecer generalizaciones.- Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
21219
Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes.- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
11320
176
Identificación:
No. de unidad: 2.Tema: Técnicas de integración.
Competencias específicas:
- Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral dada y aplicarlo.- Solucionar las integrales indefinidas de cierto grado de dificultad como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.
Criterios de evaluación:
- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.
Actividades de enseñanzaClase
Descripción NActividades de aprendizaje Competencias genéricas
hrs%
2.1 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienenlas formas u2 ± a2”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.
C3 El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen las formasu2 ± a2”. Realizan la investigación y entregan el informe.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
11422
2.2 Por el método sistematizado hacer una introducción al tema “Técnica de integración por cambio de variable”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hace una exposición del tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 El equipo participante presenta el tema “Técnica de integración por cambio de variable”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
11523
2.3 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por partes”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por partes”, y formar parejas para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
11625
2.4 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
21828
177
2.5 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; y por la técnica de la caja de entrada a continuación se plantea al grupo problemas a los que tiene que dar solución.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4Haber investigado el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y npotencia”, y dar solución y exponer problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
11930
2.6 Por el método inductivo hacer una introducción al tema “”Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y npotencia. A continuación se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Los equipos participantes presentan el tema “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
12031
2.7 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación hacer una introducción al tema “Técnica de integración por sustitución trigonométrica”; y por la técnica de la comisión un equipo presenta el tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 El equipo comisionado presentael tema “Técnica de integraciónpor sustitución trigonométrica”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
22234
2.8 Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
22437
2.9 Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de potencia”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
12539
178
2.1 0
Por el método analógico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
- Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
22742
Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes.- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
12844
Identificación:
No. de unidad: 3.Tema: La integral definida.
Competencias específicas:- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver una integral definida y aplicarlo.- Evaluar las integrales definidas como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.
Criterios de evaluación:
- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.
Actividades de enseñanzaClase
Descripción NActividades de aprendizaje Competencias genéricas
hrs%
3.1 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Definición de la integral definida”.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 Haber investigado el tema “Definición de la integral definida”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
12945
3.2 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Teoremas de cálculo integral”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.
C3 El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Teoremas de cálculo integral”. Realizan la investigación y entregan el informe.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
13047
3.3 Empleando el método lógico y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones elementales”. A continuación se forman equipos quienes por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones elementales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
33352
179
3.4 Por el método deductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se forman parejas de alumnos que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”, y formar parejas de alumnos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
13453
3.5 Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen u”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen u”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
33758
3.6 Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen las forma u2 ± a2”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2” y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
23961
3.7 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integrales impropias”.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3 Haber investigado el tema “Integrales impropias”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.- Resolver problemas.- Potenciar las habilidades para el uso de software.
34266
Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes. - Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
14367
180
Identificación:
No. de unidad: 4.Tema: Aplicaciones de la integral
Competencias específicas:
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver problemas prácticos del campo de la ingeniería.
- Solucionar problemas específicos del campo de la ingeniería.
Criterios de evaluación:
- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.
Clase Actividades de enseñanza Actividades de aprendizaje Competencias genéricas
hrs%
4.1 Por el método especializado hacer una introducción al tema “Cálculo de la longitud de curvas”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C2
El equipo participante presenta el tema “Cálculo de la longitud de curvas”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar preguntando y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.
- Resolver problemas.
14469
4.2 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de áreas”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
Haber investigado el tema “Cálculo de áreas”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.
- Resolver problemas.
24672
4.3 Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de volúmenes”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
Haber investigado el tema “Cálculo de volúmenes”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.
- Resolver problemas.
24875
4.4 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
Haber investigado el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.
- Resolver problemas.
- Potenciar las habilidades para el uso de software.
25078
181
4.5 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo del trabajo”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4
Haber investigado el tema “Cálculo del trabajo”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.
- Resolver problemas.
25281
Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes.- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
15383
Identificación:
No. de unidad: 5.Tema: Integración por series.
Competencias específicas:
- Discernir sobre métodos para resolver problemas.- Evaluar las integrales definidas por series como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.
Criterios de evaluación:
- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.
Clase Actividades de enseñanza Actividades de aprendizaje Competencias genéricas
hrs%
5.1 Por el método especializadohacer una introducción al tema “Definición, clasificación y tipos de series”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
El equipo participante presenta el tema “Definición, clasificación y tipos de series”. El resto del grupo haber investigado el temay participar preguntando y aclarando dudas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
15484
5.2 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Generación del enésimo término de una serie”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
Haber investigado el tema “Generación del enésimo término de una serie”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
25687
5.3 Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Convergencia de series”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C3
Haber investigado el tema “Convergencia de series”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
15789
182
5.4 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4
Haber investigado el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
15891
5.5 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Haber investigado el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
15992
5.6 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4
Haber investigado el tema “Integración definida por series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.
- Analizar la factibilidad de las Soluciones y resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
- Potenciar las habilidades para el uso de software.
26195
5.7 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
C4
Haber investigado el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos.- Resolver problemas.
- Establecer generalizaciones.
- Comunicar ideas en el lenguaje Matemático.
- Potenciar las habilidades para el uso de software.
16297
0.0 Evaluación y clausura del curso. Participar haciendo comentarios.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
16398
Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.
164100
Anexo: B7. Apoyos didácticos:
- Aula básica.- Cañón electrónico
- Fuentes de información.- Lap-top
- Proyector de acetatos.- Software
183
Anexo: B8. Fuentes de información:
Clave AUTOR TÍTULO EDITORIAL
Bibliografia del Maestro:
BM/1 José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Integral
Trafford, 2010.
BM/2. Wolfram Research, Inc Mathematica 7 (Software ).
BM/3. José Santos Valdez Pérez
Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Diferencial: Versión 2008
Trafford, 2008.
Bibliografia del Programa de estúdio:
BP/1 Stewart, James B. Cálculo con una variable. Thomson
BP/2 Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo integral) McGraw-Hill, 2009.
BP/3. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, 2009
BP/4. Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica Oxford University Press, 2009.
BP/5. Purcell, Edwing J. Cálculo Pearson, 2007.
BP/6. Ayres, Frank. Cálculo McGraw-Hill, 2005
BP/7. Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol 1. Trillas, 2009.
BP/8. Courant, Richard. Introducción al cálculo y Análisis matemático Vol 1.
Limusa, 2008.
Anexo: B9. Calendarización de evaluación:
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Tiempo
Planeado Ed Eu1 Eu2 Eu3 Eu4 Eu5 Eo2 Eo3
Tiempo Real
Anexo: B10. Corresponsabilidades:
Autor de elaboración Nombre: Fecha: Día: Mes: Año:
Docente Nombre: Firma:
Jefe del Departamento Nombre: Vo.Bo.
Presidente de academia Nombre: Vo.Bo.
184
Anexos: C. SIMBOLOGÍA:
C1. Simbología de caracteres.C2. Simbología de letras.C3. Simbología de funciones.
Anexo: C1. Simbología de caracteres:
SÍMBOLO SIGNIFICADO SÍMBOLO SIGNIFICADO
Aproximadamente ,b Intervalo infinito y cerrado por la izquierda
Aproximadamente ó igual ba, Intervalo semiabierto por la derecha
Beta ba, Intervalo semiabierto por la izquierda
l Densidad laminar + Más; Signo de suma
m Densidad de masa Más ó menos
Diferente > Mayor que Entre; Signo de división Menor ó igual que Es, está, existe, pertenece < Menor que= Igual Mayor ó igual que Implica; tiende a - Menos, Menor que; Signo de resta
Incremento, delta Menos infinito
x Incremento de “x” No existe, no pertenece
y Incremento de “y” Para todo
Infinito, alfa Perpendicular
Integral indefinida Pi 1416.3
b
a
Integral definida Por; Signo de multiplicación
¿ Interrogación (apertura). . Por; Signo de multiplicación? Interrogación (cierre). Por lo tanto; de donde Intersección Raíz cuadrada
n Raíz enésima
Sí y sólo sí
ba, Intervalo cerrado Sumatoria
, Intervalo infinito
b
a
Sumatorio que inicia en ""a y termina en "."b
a, Intervalo infinito y abierto por la derecha
Unión
,b Intervalo infinito y abierto por la izquierda
a Valor absoluto de a
a, Intervalo infinito y cerrado por la derecha
185
Anexo: C2. Simbología de letras:
SÍMBOLO SIGNIFICADO SÍMBOLO SIGNIFICADO
a Límite inferior de la integral definida NA No aprueba
A Área p Punto “ p ”, Presión
b Límite superior de la integral definida abPM Punto medio entre """" byac Punto “c”; Punto límite “c”; Constante de
integraciónP(x, y) Punto “P”
cm Centímetros )(xp Polinomio de variable “x”
c.m. Centro de masa Q Punto “Q”
du Diferencial de “u” r Radio
dv Diferencial de “v” R Números reales positivos
dy Diferencial de “y” 2R Plano cartesiano
d Distancia s Espacio
e Número 71828.2"" ee t Tiempo
f Función; T Recta tangente
F Fuerza0T Tarea evaluada con cero puntos
ft Pies1T Tarea evaluada con cinco puntos
h Altura2T Tarea evaluada con diez puntos
I Intervalo; 3T Tarea evaluada con quince puntos
k Constante; Constante de proporcionalidad4T Tarea evaluada con veinte puntos
lb Libras u Cualquier función; Unidades
lím Límite v Cualquier función; Velocidad
ln Logaritmo natural V Volumen
lt Litro W Trabajo
L Límite; Longitud de arco x Coordenada “x” ó absisa
L Límite lateral izquierdo X Recta horizontal; Eje de las “xs”
L Límite lateral derecho xc “x” tiende a “c”
m Pendiente; masa; eme xc+ “x” tiende a “c” por la derecha
Tm Pendiente de la recta tangente xc- “x” tiende a “c” por la izquierda
Sm Pendiente de la recta secante (x, y) Pareja ordenada “x” e “y”; Punto en R2
xM Momento con respecto a “x” y Coordenada “y” ú ordenada
yM Momento con respecto a “y” Y Eje de las “Ys”
""n Ene potencia Z Números enteros
!n n factorial Z- Números enteros negativos
N Números naturales Z+ Números enteros positivos
186
Anexo: C3. Simbología de funciones:
SÍMBOLO SIGNIFICADO SÍMBOLO SIGNIFICADO
f Función; xy cos Función coseno
)(xf Función f de variable ""x xy cosh Función coseno hiperbólico
'f Primera derivada de la función f xy csc Función cosecante
''f Segunda derivada de la función f xy cot Función cotangente
nf Enésima derivada de la función f xy coth Función cotangente hiperbólica
)(' xf Derivada de la función )(xfy xhy csc Función cosecante hiperbólica
)('' xf Segunda derivada de la función f xtrigfy Función elemental trigonométrica
)(xf n Enésima derivada de la función f )(xphiperfy Función hiperbólica
)( xkf Función múltiplo escalar xhiperfy Función elemental hiperbólica
))(( xfg Función producto )(log xpfy Función logarítmica de )(xp
)()( xgf Función cociente xfy log Función elemental logarítmica
))(( xgf Función composición )(xptrigfy Función trigonométrica
)(xg Función g de variable ""x )(exp xpfy Función exponencial
u Cualquier función; Unidades xfy exp Función elemental exponencial
v Cualquier función; Velocidad )(xfy Función
xay Función elemental exponencial de base ""a
xhy sec Función secante hiperbólica
)( xpay Función exponencial de base ""a . xseny Función seno
xarcy cos Función inversa del coseno )(ln xpy Función logaritmo naturalde )(xp
xhy arccos Función inversa del coseno hiperbólico
xy ln Función logaritmo natural de x
xarcy coth Función inversa de la cotangente hiperbólica
)(log xpy a Función logaritmo de base ""a
xarcy csc Función inversa de la cosecante xy alog Función elemental logaritmo de
base ""axharcy csc Función inversa de la cosecante
hiperbólicaxsenhy Función seno hiperbólico
xarcy sec Función inversa de la secante xy tan Función tangente
xharcy sec Función inversa de la secante hiperbólica
xtghy Función tangente hiperbólica
xsenarcy Función inversa del seno )(log10 xpy Función logaritmo común base "10"
xarcsenhy Función inversa del seno hiperbólico
xy 10log Función elemental logaritmo común de base "10"
xarcy tan Función inversa de la tangente xy sec Función secante
xhy arctan Función inversa de la tangente hiperbólica
187
Anexo D: REGISTRO NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA No. de lista: ___________
ESCOLAR Registro escolar Fecha: ___/___/___
C á l c u l o I n t e g r a l Hora de clase: _____/_____Años cumplidos: ___________
Alumno: Sexo: M O F O
Apellido Paterno Apellido Materno Nombre (s) Recursando: Si O No O
1. INFORMACIÓN PERSONAL:
Semestre que cursas: ___ Especialidad:______________ Correo electrónico:__________________________________________________
Si estas recursando la materia, con qué Maestro la reprobaste?____________________________________________________________Cuáles consideras las tres causas de reprobación:1ª_________________________2ª_______________________3ª__________________Es la especialidad que tu elegiste ? Si O No O Si la respuesta es no entonces cuál te gustaría cursar?____________________Trabajas?: Sí O No O Si la respuesta es sí donde y en qué?_______________________________________________________________
Realizas otros estudios: Si O No O Si la respuesta es sí donde y qué?____________________________________________________Lugar de nacimiento: Población:_______________________________________ Estado:___________________________________________
Estudios de bachillerato: Nombre de la escuela:_________________________________________________________________________Población:__________________________________________Estado:____________________________________Especialidad del bachillerato:___________________________________________________________________
1. Tiene un método para estudiar: Si O Más o menos O No O 8. Tienes Internet en tu casa: Si O No O 2. Tienes un horario de estudio: Si O Más o menos O No O 9. Tienes correo electrónico: Si O No O 3. Sabes estudiar en libros: Si O Más o menos O No O 10. Tiene calculadora científica: Si O No O4. Sabes estudiar en computadora: Si O Más o menos O No O 11. Tienes calculadora graficadora: Si O No O5. Sabes estudiar en equipo: Si O Más o menos O No O 12. Tienes computadora personal: Si O No O 6. Tienes cuarto de estudio: Si O No O 13. Tienes computadora portátil: Si O No O 7. Tienes un lugar de estudio: Si O No O 14. Tienes mini laptop: Si O No O
2.- EXPECTATIVAS:
Qué esperas del curso? Qué esperas del Maestro?:
1. 1.2. 2.3. 3.
3. INFORMACIÓN ACADÉMICA:
En el bachillerato cursaste cálc. Integral?____ Promedio de matemáticas en el bachillerato:___ Qué calificación esperas:____
Materias cursadas en el tecnológico Habilidades tecnológicas:
1. _______________________ Cal_____ 1. Sabes usar Internet: Sí O No O2. _______________________ Cal_____ 2. Sabes usar la calculadora científica: Sí O No O3. _______________________ Cal_____ 3. Sabes usar una calculadora graficadora: Sí O No O4. _______________________ Cal_____ 4. Sabes obtener una derivada con calculadora: Sí O No O5. _______________________ Cal_____ 5. Sabes obtener un límite con software de matemáticas: Sí O No O6. _______________________ Cal_____ 6. Sabes obtener una derivada con software de matemáticas: Sí O No O7. _______________________ Cal_____ 7. Sabes usar software: Mathematica; Derive, Maple; Matlab; Otro? Sí O No O
Conoces lo siguiente:1. Números reales: Si O Más o menos O No O 7. Derivadas básicas: Si O Más o menos O No O 2. Factorización: Si O Más o menos O No O 8. Derivadas (productos y cocientes): Si O Más o menos O No O 3. Funciones: Si O Más o menos O No O 9. Integral indefinida: Si O Más o menos O No O 4. Límites: Si O Más o menos O No O 10. Integral definida: Si O Más o menos O No O 5. Graficación básica: Si O Más o menos O No O 11. Calcular áreas con cálculo integral: Si O Más o menos O No O 6. Reglas de graficación:
Si O Más o menos O No O 12. Calcular volúmenes con cálculo integral:
Si O Más o menos O No O
4.- DEPORTE Y/O CULTURA:
Practicas deporte: Sí O No O Para el tecnológico Sí O No O Nivel: Inicial O Medio: O Selección: OPracticas cultura: Sí O No O Para el tecnológico Sí O No O Nivel: Inicial O Medio: O Avanzado: O
5.- Algún comentario o recomendación que quieras hacer:________________________________________________________________
188
Anexo: E. FORMATO DE EXÁMEN.
ITS EXÁMEN DE CALCULO INTEGRAL Unidad: Tema:Oportunidad: 1a.O 2a.O 3a.O
Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Fecha: Hora: No. de lista
Examen Participaciones Tareas Otras Calificación final
Anexo: F. LISTA DE ALUMNOS.
NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
LISTA DE ALUMNOS Materia: Cálculo integral
Semestre: Hora: Aula: Maestro:
A L U M N O U N I D A D E S No N o m b r e Esp Op 1 2 3 4 5
Promedio Op
Califi-cación final
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1415
16
17
18
19
20
21
2223
24
25
CLAVES: 1a oportunidad Participación A Asistencia Esp Especialidad 2a oportunidad T Tarea F Falta Exe Examen sorpresa 3a oportunidad C Conferencia Op Oportunidad NP No presento
189
ÍNDICE:
CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Anexos 153 - Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn 9
- Antiderivada 16- Diferenciación de funciones elementales 4
- Aplicaciones de la integral: 99 . algebraicas 4 . cálculo de áreas 103 . exponenciales 5 . cálculo de la masa 113,114 . hiperbólicas 7 . cálculo de longitud de curvas. 100 . hiperbólicas inversas 7 . cálculo de momentos 111 . logarítmicas 5 . cálculo de volúmenes 108,109 . trigonométricas 5 . cálculo del centro de masa 111, 113,114 . trigonométricas inversas 6 . cálculo del trabajo 117, 119,120 . formulario 122 - Diferenciación de funciones que
contienen u: 11- Arco 100 . algebraicas 11
. exponenciales 12- Bibliografía 183 . hiperbólicas 13
. hiperbólicas inversas 14- Cálculo de áreas: 103 . logarítmicas 12 . clasificación 103 . trigonométricas 12 . localización 103 . trigonométricas inversas 13 . representación gráfica 103 . estructuración de la integral 103 - Diferenciales: 2
. Definición 2- Centro de masa 112 . Interpretación geométrica 2
. Por fórmulas 3- Centro de masa laminar 111 . Propiedades 2
- Centroide 113 - Evaluaciones tipo: . Unidad 1 (La integral indefinida) 29
- Contenido (del libro) xiii . Unidad 2 (Técnicas de integración) 61 . Unidad 3 (La integral definida) 93
- Constante de integración 17 . Unidad 4 (Aplicaciones de la integral) 121 . Unidad 5 (Integración por series) 151
- Cuerda 100- Formato de examen 188
- Curva 100
- Curva rectificable 100
- Densidad de masa 111
- Densidad laminar 112
190
CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Formulario de aplicaciones de la integral 122 - Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn 76
- Formulario de diferenciales de: . funciones algebraicas que contienen xn 30 - Fórmulas de integración definida de . funciones que contienen u 30 funciones elementales: 68
. algebraicas 68- Formulario de integración definida de: 94 . exponenciales 69 . funciones elementales 94 . hiperbólicas 73 . funciones algebraicas que contienen xn 96 . hiperbólicas inversas 74 . funciones que contienen u 96 . logarítmicas 70 . funciones que contienen las formas . trigonométricas 71 22 au 97 . trigonométricas inversas 72 . integrales impropias 98
- Fórmulas de integración definida de - Formulario de integración indefinida de: 31 funciones que contienen las formas u2 ± a2 84 . funciones algebraicas que contienen xn 31 . funciones que contienen u 31 - Fórmulas de integración definida de
funciones que contienen u: 78- Formulario de series 152 . algebraicas 78
. exponenciales 79- formulario de técnicas de integración 62 . hiperbólicas 82
. hiperbólicas inversas 82- Formularios de unidades: . logarítmicas 79 . unidad 1 (La integral indefinida) 30 . trigonométricas 80 . unidad 2 (Técnicas de integración) 62 . trigonométricas inversas 81 . unidad 3 (La integral definida) 94 . series de Maclaurin 144 . unidad 4 (Aplicaciones de la integral) 122 . series de potencia 142 . unidad 5 (Integración por series) 152 . series de Taylor 144
- Formulas de diferenciales de - Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn 9 integrales impropias 98 - Fórmulas de diferenciales de - Funciones: 154 funciones elementales: 4 . básicas 3 . algebraicas 4 . clasificación 154
. exponenciales 5 . definición 154 . hiperbólicas 7 . familia 16 . hiperbólicas inversas 7 . identidades 169,170 . logarítmicas 5 . metabásicas 3 . trigonométricas 5 . estructuras 155 . trigonométricas inversas 6 . reglas fundamentales de graficación de 163
- Fórmulas de diferenciales de - Funciones elementales: 3 funciones que contienen u: 11 . algebraicas. 157 . algebraicas 11 . exponenciales 157 . exponenciales 12 . hiperbólicas 160,170 . hiperbólicas 13 . hiperbólicas inversas 161,170 . hiperbólicas inversas 14 . logarítmicas 158 . logarítmicas 12 . trigonométricas 158,168 . trigonométricas 13 . trigonométricas inversas 159 . trigonométricas inversas 13
191
CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Fundamentos cognitivos del cálculo - Integración definida de funciones: integral 153 algebraicas que contienen xn 76 . funciones y sus gráficas 154 . propiedades de los exponentes 168 - Integración definida de funciones . propiedades de los logaritmos 169 elementales: 68 . funciones trigonométricas 168 . algebraicas 68 . identidades de funciones . exponenciales 69 trigonométrica 169 . hiperbólicas 73 . funciones hiperbólicas 170 . hiperbólicas inversas 74 . identidades de funciones hiperbólicas 170 . logarítmicas 70 . funciones hiperbólicas inversas 170 . trigonométricas 70
. trigonométricas inversas 71- Identidades de funciones: . hiperbólicas 170 - Integración definida de funciones . trigonométricas 169 que contienen las formas u2 ± a2 84- Incrementos: 2 . de “x” 2 - Integración definida de funciones que . de “y” 2 que contienen u: 78 . definición 2 . algebraicas 78 . interpretación geométrica 2 . exponenciales 79- Indice 189 . hiperbólicas 82
. hiperbólicas inversas 82- Instrumentación didáctica viii,171 . logarítmicas 79 . identificación 171 . trigonométricas 80 . caracterización de la asignatura 171 . trigonométricas inversas 81 . competencias a desarrollar 171 . formulario . análisis del tiempo para el avance programático 171 - Integración definida de funciones . avance programático 172 impropias 86 . actividades de enseñanza aprendizaje 174 .. unidad 1 174 - Integración definida de funciones por:
. Series de Maclaurin 144 .. unidad 2 176 - Series de potencia 141 .. unidad 3 178 - Series de Taylor 144 .. unidad 4 180 .. unidad 5 181 - Integración indefinida de funciones: . apoyos didácticos 182 . Definición 2 . fuentes de información 183 . Propiedades 2 . calendarización de evaluaciones 183 . corresponsabilidades 183 - Integración indefinida de funciones
algebraicas que contienen xn 21- Integración definida de funciones: 63 . definición 64 - Integración indefinida de funciones . interpretación de resultados 65 elementales: 17 . formulario 64 . algebraicas 17 . propiedades 94 . exponenciales 18
. hiperbólicas 19 . hiperbólicas inversas 19 . logarítmicas 18 . trigonométricas 18 . trigonométricas inversas 19
192
CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Integración indefinida de funciones - Método de derivación de series de que contienen u: 23 potencia 140 . algebraicas 23 . exponenciales 24 - Método de graficación: . hiperbólicas 26 . a través del criterio de la 2ª. derivada 167 . hiperbólicas inversas 27 . de funciones básicas 161 . logarítmicas 25 . trigonométricas 25 - Método de integración definida por: . trigonométricas inversas 26 . series de Maclaurin 149
. series de potencia 142- Integración indefinida de funciones por . series de Taylor 149 . Series de Maclaurin 59 - Series de potencia 58,140 - Métodos de técnicas de integración: - Series de Taylor 59 . de fracciones parciales 54
. de la cotangente y cosecante 47- Integral definida de funciones: 63 . de la tangente y secante 44 . definición 64 . del Seno y coseno 41 . propiedades 64 . por cambio de variable 36 . interpretación de resultados 65 . por partes. 38
. por sustitución trigonométrica 50- Integral: . por uso de tablas de fórmulas 33 . para el cálculo de áreas 103 . por series de Maclaurin 59 . para el cálculo de la longitud de curva 100 . por series de potencia 58 . para el cálculo de la masa 113,114 . por series de Taylor 59 . pra el cálculo del centros de masa 113,114 . para el cálculo del momentos 113,114 - Método para el cálculo de: . para el cálculo del trabajo 117, 119,120 . longitud de curvas 101 . para el cálculo del volumen 108,109 . áreas 104,106
. volúmenes 108,109- Integrales impropias: 86 . momentos 113,115 . definición 86 . centros de masa 113,115 . cálculo 88 . los términos de una serie 125 . clasificación 86 . tipo 1 con intervalo de (-α, a] 88 - Método para investigar la convergencia . tipo 1 con intervalo de [b, α) 89 . de series por el criterio del cociente 136 . tipo 1 con intervalo de (-α, α) 89 . de series por definición 134 . tipo 2 con intervalo de [a, b) 90 . tipo 2 con intervalo de (b, c] 90 - Método para investigar: . tipo 2 con intervalo de a < b <c 91 . el intervalo de convergencia de una serie 137
. el radio de convergencia de una serie 137- La integral definida 63
- La integral indefinida 1 - Método para la generación de la fórmula del enésimo término 130
- Lámina 11Método para representar: 141
- Lista de alumnos 188 . series de Maclaurin 145,147 . series de potencia
- Masa 111 . series de Taylor 145,147
- Momento de masa 112
193
CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Plano rectangular 154 - Series: 123 . definición 124
- Propiedades de la integral definida 64 . clasificación 124 . notación 124
- Propiedades de la integral indefinida 17 . cálculo de los términos 125 . tipos 127
- Propiedades de las diferenciales: 2 . p-series 127 . de la constante 2 . armónica 127 . de la suma y/ó diferencia 2 . armónica general 127
. alternantes 127- Propiedades de los exponentes 168 . telescópica 127
. geométrica 127- Propiedades de los logaritmos de base “a” 168 . de potencias 127
. de potencias centrada en c 128- Propiedades de los logaritmos de base “e” 168 . generación del enésimo término 129,130
. estructuras típicas de enésimos- Recomendaciones a los alumnos ix términos 129
. operador de alternancia 129- Región laminar. 111 . tabla de estructuras típicas de
Enésimos términos 129- Registro escolar 187 . convergencia 134
. estrategias para investigar la - Reglas fundamentales de graficación 163 convergencia 134 . de la ecuación constante 163 .. por definición 134 . de la función constante 163 .. por el criterio de la raíz 135 . de la función lineal 163 .. por el criterio del cociente 136 . de la función cuadrática y binómica 163 . sumas parciales 134 . de la función cuadrática y trinómica 164 . de la función cúbica 164 Series de potencia: 127 . de los desplazamientos 164 . centrada en c 128 . de los estiramientos y compresiones 165 . derivación 140 . de las reflexiones 165 . integración definida 142
. integración indefinida 140 . representación de funciones 141 . técnica de integración 58
Series de Maclaurín 144 . definición 144 . integración definida 144 . integración indefinida 58 . representación de funciones 145 . técnica de integración 59
Series de Taylor 144 . definición 144 . integración definida 144 . integración indefinida 58 . representación de funciones 145 . técnica de integración 59
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CONCEPTO Página CONCEPTO Página
- Series de potencia: 127,128 - Técnica de estudio ix . intervalo y radio de convergencia 137 - Técnica de graficación a través del: . derivación 140 . criterio de la primera derivada 166 . integración indefinida 140, . criterio de la segunda derivada 166 . representación de funciones 141, . integración definida por 142 - Técnicas de integración: 32 . técnica de integración 58 . de fracciones parciales 54
. de la cotangente y cosecante 47- Series de Maclaurin: 144 . de la tangente y secante 44 . definición 144 . del seno y coseno 41 . integración indefinida por 59 . formulario de 62 . representación de funciones en 145,147 . por cambio de variable 36 . tabla de representación de funciones 147 . por partes. 38 . integración definida 148 . por uso de tablas de fórmulas 33 . técnica de integración por 59 . por series de Maclaurin 59
. por series de potencia 58- Series de Taylor: 144 . por series de Taylor 59 . definición 144 . por sustitución trigonométrica 50 . integración indefinida 59 . representación de funciones en 145,147 - Técnica de los aprendizajes: vii . tabla de representación de funciones 147 . por justificandos Vii . integración definida 144 . por agrupamiento vii . técnica de integración por 59
- Teorías de los aprendizajes: vi- Simbología 184 . tornado vi . de caracteres 184 . constructivista Vi . de letras 185 . aprendizajes equiparables Vi . de funciones 186 . bao cognitivo Vi
. biogenéticas Vi- Sobre el libro x,xii- Sucesión: 124 - Teoremas de cálculo integral: . definición 124 . de existencia para integrales definidas 67 . notación 124 . fundamental del cálculo integral 65
. del valor medio para integrales 67- Suma de Riemann 64
- Trabajo realizado por:- Supuestos pedagógicos viii . desplazamiento de cuerpos 117
. fuerza constante 117- Tipos de series: 127 . fuerza variable 117 . p-series 127 . presión en los gases 119 . armónica 127 . resorte elástico 118 . armónica general 127 . alternantes 127 . telescópica 127 . geométrica 127 . de potencias 127 . de potencias centrada en c 128