LIBRO Acústica y elementos de protección sonora8 ACÚSTICA Y ELEMENTOS DE PROTECCIÓN SONORA...

A cústica y elementos de protección sonora

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A cústica y elementosde protecciónsonoraLuis Suances García-Consuegra

© Luis Suances García-Consuegra

© EDITORIAL SÍNTESIS, S. A.Vallehermoso, 34. 28015 Madrid

Teléfono: 91 593 20 98www.sintesis.com

ISBN: 978-84-9171-158-2Depósito Legal: M-16.997-2019

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de Editorial Síntesis, S. A.

Índice

Índice

PRESENTACIÓN ............................................................................................................................................................... 11

1. EL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE LOS MEDIOS MATERIALES .......................................... 13

Objetivos .................................................................................................................................................................... 13Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 14Glosario ....................................................................................................................................................................... 141.1. Introducción ............................................................................................................................................. 151.2. La materia ................................................................................................................................................... 15

1.2.1. Definición .................................................................................................................................... 151.2.2. Origen ........................................................................................................................................... 161.2.3. Estados ......................................................................................................................................... 171.2.4. Propiedades ............................................................................................................................... 24

1.3. Comportamiento elástico de la materia .................................................................................. 261.3.1. En sólidos .................................................................................................................................... 261.3.2. En fluidos .................................................................................................................................... 32

1.4. Energía elástica........................................................................................................................................ 32Resumen ..................................................................................................................................................................... 34Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 34Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 35Debate en clase ..................................................................................................................................................... 36Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 36

2. MOVIMIENTOS PERIÓDICOS ......................................................................................................................... 39

Objetivos .................................................................................................................................................................... 39Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 40Glosario ....................................................................................................................................................................... 40

6 AcústicA y elementos de protección sonorA

Índice

2.1. Introducción ............................................................................................................................................. 412.2. Movimiento circular uniforme ........................................................................................................ 422.3. Movimiento armónico simple ......................................................................................................... 43

2.3.1. Representación de Fresnel del movimiento armónico simple ............................... 432.3.2. Estudio de algunos sistemas ............................................................................................... 462.3.3. Velocidad y aceleración del movimiento armónico simple ................................... 542.3.4. Energía del movimiento armónico simple ..................................................................... 54

2.4. Superposición de movimientos armónicos simples......................................................... 562.4.1. Movimientos paralelos ........................................................................................................... 562.4.2. Movimientos perpendiculares ............................................................................................ 61

2.5. Oscilación amortiguada ..................................................................................................................... 632.6. Oscilación forzada y resonancia .................................................................................................. 65Resumen ..................................................................................................................................................................... 66Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 67Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 68Debate en clase ..................................................................................................................................................... 69Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 69

3. MOVIMIENTO ONDULATORIO ..................................................................................................................... 71

Objetivos .................................................................................................................................................................... 71Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 72Glosario ....................................................................................................................................................................... 72 3.1. Introducción ............................................................................................................................................. 73 3.2. Ecuación general del movimiento ondulatorio .................................................................. 73 3.3. Ondas periódicas y armónicas ...................................................................................................... 74 3.4. Tipos de ondas ........................................................................................................................................ 77

3.4.1. Según la dirección de la vibración ................................................................................... 773.4.2. Según su propagación ........................................................................................................... 77

3.5. Velocidad de propagación de las ondas ............................................................................... 78 3.6. Energía de la onda ................................................................................................................................ 79 3.7. Debilitamiento de la onda ............................................................................................................... 80

3.7.1. Amortiguamiento del foco ................................................................................................... 803.7.2. Atenuación por la distancia ................................................................................................. 823.7.3. Absorción por el medio ....................................................................................................... 83

3.8. Superposición de ondas................................................................................................................... 843.8.1. Superposición de ondas de la misma frecuencia angular....................................... 843.8.2. Superposición de ondas de diferente frecuencia angular ...................................... 923.8.3. Teorema de Fourier .................................................................................................................. 943.8.4. Principio de Huygens-Fresnel .............................................................................................. 953.8.5. Onda de choque. Onda Mach .......................................................................................... 96

3.9. Fenómenos fronterizos ...................................................................................................................... 973.9.1. Difracción .................................................................................................................................... 973.9.2. Ley de Snellius ........................................................................................................................... 983.9.3. Reflexión ...................................................................................................................................... 99

3.10. Efecto Ballot .............................................................................................................................................. 99Resumen ..................................................................................................................................................................... 101Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 101Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 102Debate en clase ..................................................................................................................................................... 103Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 103

7AcústicA y elementos de protección sonorA

Índice

4. SONIDO ...................................................................................................................................................................... 105

Objetivos .................................................................................................................................................................... 105Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 106Glosario ....................................................................................................................................................................... 1064.1. Introducción ............................................................................................................................................. 1074.2. ¿Qué es el sonido? .............................................................................................................................. 1084.3. Características del sonido ................................................................................................................ 109

4.3.1. Frecuencia ................................................................................................................................... 1094.3.2. Periodo ......................................................................................................................................... 1144.3.3. Velocidad ................................................................................................................................... 1144.3.4. Longitud de onda .................................................................................................................... 1154.3.5. Efectos atmosféricos .............................................................................................................. 1164.3.6. Timbre ........................................................................................................................................... 1174.3.7. Impedancia ................................................................................................................................ 1174.3.8. Admitancia ................................................................................................................................. 118

4.4. Fuentes de ondas sonoras .............................................................................................................. 1194.4.1. Planas ............................................................................................................................................ 1194.4.2. Puntuales ........................................................................................................... 1194.4.3. Lineales ......................................................................................................................................... 119

4.5. Representación del sonido ............................................................................................................. 1204.5.1. Oscilograma ............................................................................................................................... 1204.5.2. Espectrograma .......................................................................................................................... 1214.5.3. Sonograma .................................................................................................................................. 121

4.6. Energía de las ondas sonoras ........................................................................................................ 1224.6.1. Potencia acústica. Nivel de potencia ............................................................................... 1224.6.2. Intensidad. Nivel de intensidad ......................................................................................... 1234.6.3. Presión. Nivel de presión ...................................................................................................... 1234.6.4. Composición de niveles ....................................................................................................... 124

4.7. Infrasonidos y ultrasonidos .............................................................................................................. 1244.7.1. Infrasonidos ................................................................................................................................ 1254.7.2. Ultrasonidos ............................................................................................................................... 126

Resumen ..................................................................................................................................................................... 128Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 129Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 129Debate en clase ..................................................................................................................................................... 130Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 130

5. CAPTACIÓN, MEDICIÓN Y REPRODUCCIÓN DE LA ENERGÍA SONORA ............................ 133

Objetivos .................................................................................................................................................................... 133Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 134Glosario ....................................................................................................................................................................... 1345.1. Introducción ............................................................................................................................................. 1345.2. Captación del sonido: micrófonos ............................................................................................. 135

5.2.1. Características de los micrófonos ...................................................................................... 1355.2.2. Tipos de micrófonos............................................................................................................... 138

5.3. Filtros ............................................................................................................................................................. 1415.3.1. Filtros acústicos ......................................................................................................................... 1415.3.2. Curvas de ponderación ......................................................................................................... 142

5.4. Medición del sonido: sonómetro ............................................................................................... 144


Índice

5.4.1. Tipos de sonómetros atendiendo a la precisión ......................................................... 1455.4.2. Tipos de sonómetros atendiendo al modo de operación ...................................... 145

5.5. Reproducción del sonido: altavoces ........................................................................................ 1475.5.1. Características de los altavoces .......................................................................................... 1475.5.2. Tipos de altavoces ................................................................................................................... 148

5.6. Caja acústica ............................................................................................................................................. 1495.7. Auriculares ................................................................................................................................................. 150Resumen ..................................................................................................................................................................... 150Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 151Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 153Debate en clase ..................................................................................................................................................... 153Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 154

6. RUIDO Y CONTAMINACIÓN ACÚSTICA .................................................................................................. 157

Objetivos .................................................................................................................................................................... 157Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 158Glosario ....................................................................................................................................................................... 1586.1. Introducción ............................................................................................................................................. 1596.2. Tipos de ruido ......................................................................................................................................... 160

6.2.1. Según el tiempo de duración ............................................................................................. 1606.2.2. Según el contenido frecuencial ......................................................................................... 161

6.3. Índices acústicos .................................................................................................................................... 1636.3.1. Índice de ruido día-tarde-noche ....................................................................................... 1636.3.2. Índice de ruido máximo........................................................................................................ 1646.3.3. Índice de ruido continuo equivalente ............................................................................. 1646.3.4. Índice de ruido continuo equivalente corregido ....................................................... 1646.3.5. Índice de ruido continuo equivalente corregido promedio a largo plazo ...... 1666.3.6. Índice de contaminación acústica .................................................................................... 1676.3.7. Índices de exposición al ruido en el medio laboral .................................................. 167

6.4. Fuentes de contaminación acústica .......................................................................................... 1696.4.1. Externas a la edificación ........................................................................................................ 1706.4.2. Internas a la edificación ......................................................................................................... 186

6.5. Mapas de ruido y zonificación acústica .................................................................................. 1876.6. Exposición laboral al ruido .............................................................................................................. 1896.7. Efectos del ruido ................................................................................................................................... 191

6.7.1. Efectos fisiológicos ................................................................................................................. 1916.7.2. Efectos psicológicos .............................................................................................................. 192


7. ACÚSTICA DE SALAS .......................................................................................................................................... 199

Objetivos .................................................................................................................................................................... 199Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 200Glosario ....................................................................................................................................................................... 2007.1. Introducción ............................................................................................................................................. 200

9AcústicA y elementos de protección sonorA

Índice

7.2. Teoría estadística ................................................................................................................................... 2017.2.1. Fuente sonora ............................................................................................................................ 2017.2.2. Sucesos en los límites de la sala ........................................................................................ 2017.2.3. Recorrido libre medio ............................................................................................................ 2027.2.4. Campo sonoro .......................................................................................................................... 2037.2.5. Reverberación ............................................................................................................................ 205

7.3. Teoría geométrica .................................................................................................................................. 2097.4. Teoría ondulatoria ................................................................................................................................. 2117.5. Teoría psicoacústica ............................................................................................................................. 2127.6. Clasificación de las salas .................................................................................................................... 213

7.6.1. Salas de audición directa ..................................................................................................... 2147.6.2. Salas para transmisión sonora por medio de sistemas electroacústicos ........... 2147.6.3. Salas que utilizan sistemas de amplificación ................................................................ 2147.6.4. Salas anecoicas ......................................................................................................................... 2157.6.5. Salas sonoamortiguadas ........................................................................................................ 2157.6.6. Salas reverberantes .................................................................................................................. 217


8. AISLAMIENTO ACÚSTICO ................................................................................................................................ 223

Objetivos .................................................................................................................................................................... 223Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 224Glosario ....................................................................................................................................................................... 2248.1. Introducción ............................................................................................................................................. 2258.2. Aislamiento acústico ............................................................................................................................ 227

8.2.1. Aislamiento de paredes ........................................................................................................ 2278.2.2. Aislamiento de ventanas ....................................................................................................... 234

8.3. Material absorbente acústico ........................................................................................................ 2358.3.1. Medida del coeficiente de absorción del material absorbente ........................... 2358.3.2. Tipos de materiales absorbentes ....................................................................................... 2378.3.3. Coeficiente de reducción del sonido ............................................................................. 239

8.4. Equipos de protección individual .............................................................................................. 2408.4.1. Protectores pasivos ................................................................................................................. 2418.4.2. Protectores no pasivos ........................................................................................................... 242


9. PSICOACÚSTICA .................................................................................................................................................... 249

Objetivos .................................................................................................................................................................... 249Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 250Glosario ....................................................................................................................................................................... 2509.1. Introducción ............................................................................................................................................. 251


Índice

9.2. Percepción de la intensidad .......................................................................................................... 2519.2.1. Área de audición. Rango dinámico .................................................................................. 2519.2.2. Alteraciones del umbral de audición .............................................................................. 2549.2.3. Discriminación de intensidad ............................................................................................. 2569.2.4. Percepción de la sonoridad ................................................................................................ 2589.2.5. Enmascaramiento ..................................................................................................................... 260

9.3. Percepción de la frecuencia .......................................................................................................... 2639.3.1. Filtros auditivos ......................................................................................................................... 2639.3.2. Discriminación de frecuencias ............................................................................................ 2679.3.3. Selectividad de frecuencias en el nervio ....................................................................... 269

9.4. Percepción temporal .......................................................................................................................... 2709.4.1. Resolución e integración temporal.................................................................................... 2709.4.2. Localización de los sonidos ................................................................................................ 2719.4.3. Efecto de precedencia .......................................................................................................... 2729.4.4. La ilusión del ventrílocuo ...................................................................................................... 273


10. FISIOLOGÍA AUDITIVA ....................................................................................................................................... 277

Objetivos .................................................................................................................................................................... 277Mapa conceptual .................................................................................................................................................. 278Glosario ....................................................................................................................................................................... 27810.1. Introducción ............................................................................................................................................. 27910.2. Fisiología del oído externo .............................................................................................................. 279

10.2.1. Pabellón auricular ..................................................................................................................... 27910.2.2. Conducto auditivo externo .................................................................................................. 280

10.3. Fisiología del oído medio ................................................................................................................. 28110.3.1. El tímpano ................................................................................................................................... 28110.3.2. Cadena osicular ........................................................................................................................ 28210.3.3. Músculos ..................................................................................................................................... 28210.3.4. Trompa de Eustaquio ............................................................................................................. 283

10.4. Fisiología del oído interno ............................................................................................................... 28310.4.1. Mecánica coclear ..................................................................................................................... 28410.4.2. Micromecánica coclear ......................................................................................................... 28510.4.3. Transducción.............................................................................................................................. 286

10.5. Fisiología de la vía auditiva .............................................................................................................. 28610.6. Fisiología de la corteza auditiva ................................................................................................... 287Resumen ..................................................................................................................................................................... 288Ejercicios propuestos ......................................................................................................................................... 289Supuesto práctico ................................................................................................................................................ 289Debate en clase ..................................................................................................................................................... 290Actividades de autoevaluación ................................................................................................................... 290

2

3 Entender las características de los movimientos periódicos.3 Describir las características del movimiento vibratorio armónico.3 Aprender que el movimiento armónico simple es consecuencia del compor-

tamiento elástico de la materia.3 Comprender la superposición de movimientos armónicos.3 Conocer cómo se produce la amortiguación del movimiento armónico simple.3 Saber las posibles consecuencias de la resonancia.

Objetivos

Movimientos periódicos

40 aCÚstiCa Y elementos de proteCCiÓn sonora

CapÍtUlo 2

EL MOVIMIENTO PERIÓDICO

al fenómeno de la resonancia

Amplitud. Elongación máxima que alcanza el cuerpo al separarse de su punto de reposo cuando realiza un movimiento armónico simple. Su unidad es el metro, m.

Elongación. Distancia que separa el cuerpo de su posición de reposo cuando realiza un movimiento armónico simple. Su unidad es el metro.

Frecuencia. Magnitud inversa del periodo. Número de veces que se repite un suceso por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia es el hercio, Hz, que es equivalente al in-verso de la unidad de tiempo, s–1.

Movimiento armónico simple. Movimiento lineal que realiza un cuerpo a un lado y otro de su posición de reposo cuando está sometido a aceleración variable.

Movimiento oscilatorio. Movimiento de vaivén. El cuerpo se separa de su posición de reposo hasta que alcanza una distancia máxima, la amplitud, y luego vuelve hacia la posición de reposo.

Glosario

Mapa conceptual

es

aquel que repite la misma posición, velocidad y aceleracióndespués de tiempos regulares, a los que se denomina periodos

como, por ejemplo:

es un movimiento lineal sometido a una aceleración variable

está descrito por una función armónica:

seno o coseno

se puede superponer con otro u otros movimientos

armónicos simples

pudiendo dar lugar

El movimiento circular uniforme

El movimiento armónico simple

que

41MoviMientos periódicos

capítulo 2

Movimiento periódico. Movimiento en el que el cuerpo se encuentra en la misma posi-ción, con la misma velocidad, aceleración y todas sus componentes, cuando ha pasado un tiempo al que se denomina periodo.

Periodo. Tiempo que tarda un cuerpo en estar en la misma posición, con la misma velo-cidad y la misma aceleración. En el Sistema Internacional de Unidades, su unidad es el segundo, s.

Resonancia. Aumento de la amplitud como consecuencia de una fuerza externa al cuer-po que realiza un movimiento armónico simple.

2.1. Introducción

Un cuerpo realiza un movimiento periódico cuando su posición, velocidad, aceleración y todos sus componentes presentan el mismo valor a intervalos iguales de tiempo, denominados perio-dos; por ejemplo, el movimiento de las agujas de un reloj, de una noria (figura 2.1), de un disco compacto o de un péndulo.

Cuando un cuerpo que realiza un movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y en otro sobre la misma trayectoria, realiza un movimiento de vaivén y su movimien-to recibe el nombre de oscilatorio; por ejemplo, el movimiento de un muelle, del pistón de un motor de explosión o del carro de una máquina de escribir (figura 2.2). En los movimientos oscilatorios, la distancia al origen o elongación pasa por un valor máximo, denominado amplitud, y por uno mínimo, al pasar por el origen.

Figura 2.1 El movimiento de una noria

es un ejemplo de movimiento periódico.

Figura 2.2 El carro de una máquina

de escribir es un ejemplo de movimiento oscilatorio.

En el capítulo 1 se estudiaron los comportamientos elásticos de la materia. La consecuencia de los mismos es que, cuando el cuerpo se deforma, las fuerzas elásticas entran en acción para


cApítulo 2

llevar al cuerpo a su posición inicial. En este capítulo se verá que, cuando el cuerpo pasa por este punto inicial, lleva la máxima velocidad y, en lugar de pararse, sigue moviéndose y se de-forma en sentido contrario. Ahora, el cuerpo genera unas fuerzas elásticas que tratan de llevar el cuerpo hacia su posición inicial, repitiéndose el ciclo. En consecuencia, el cuerpo se mantendrá en esta oscilación mientras tenga la energía que se le imprimió en la primera deformación y no existan otras fuerzas, como las de rozamiento, que hagan disminuir la energía inicial. Si, debido al rozamiento, se va perdiendo esta energía en forma de calor, el cuerpo con comportamiento elástico llegará a pararse en su forma inicial.

2.2. Movimiento circular uniforme

Es un movimiento periódico en el que un cuerpo describe una circunferencia (figura 2.3). En este mo-vimiento, el cuerpo recorre un ángulo θ, expresado en radianes, en un tiempo t, medido en segundos, de forma que la velocidad angular ω, expresada en radianes por segundo, rad · s–1, se puede calcular según la ecuación:

(2.1)t

ωθ

=

Se puede calcular la posición del cuerpo en cual-quier momento, tan solo conociendo su velocidad angular y la posición inicial cuando se comienza a observar el fenómeno:

(2.2)t t 0θ ω θ( ) = ⋅ +

donde:

l θ(t)/rad es la posición del cuerpo, medida por el ángulo θ(t) en el instante t.l ω/rad · s–1 es la velocidad angular, el ángulo recorrido por unidad de tiempo.l t/s es el tiempo.l θ0/rad es la posición del cuerpo en el inicio, cuando t = 0 s, es decir, cuando se empieza

a mirar.

toma nota

El radián es la unidad del ángulo plano, es el ángulo que soporta una longi-tud de arco igual al radio de la circunferencia del arco, y equivale a 57° 17’ 44,806’’. Se estableció como unidad suplementaria del Sistema Internacional de Unidades durante la XI CGPM, celebrada en 1960. En la XX CGPM, en 1995, se incluyó el radián como unidad derivada sin dimensiones.

θ

Figura 2.3Movimiento circular uniforme.


capítulo 2

Como el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, la posición del cuer-po cuando pasa un periodo de tiempo será:

(2.3)t t Tθ θ( ) ( )= +

La ecuación (2.3) expresa que el cuerpo se encuentra en la misma posición cuando trans-curre una cantidad de tiempo igual a un periodo. Es decir, en el tiempo de un periodo T, el cuerpo habrá recorrido un ángulo de 2 · π radianes, habrá dado una vuelta completa a la cir-cunferencia, por lo que, despejando el tiempo de la ecuación (2.1):

(2.4)t T2 πθ

ω ω= =

⋅=

Al tiempo descrito en la ecuación (2.4) se le denomina periodo, que es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. El periodo es una unidad de tiempo y en el Sistema Internacional de Unidades su unidad es el segundo.

Se define una nueva variable, frecuencia ν, como el número de vueltas que el cuerpo describe en la unidad de tiempo, un segundo, y que es el inverso del periodo:

(2.5)νω

= =⋅T

12 π

La unidad de la frecuencia es inverso de tiempo, s–1, denominada hercio, o hertz, símbolo Hz, adoptada en la XI CGPM, en 1960, como unidad derivada del Sistema Internacional de Unidades.

Actividad propuesta 2.1

Un niño da vueltas alrededor de una piedra atada con una cuerda. En un minuto cuenta 65 vueltas. ¿Cuál es la velocidad angular de la piedra?

2.3. Movimiento armónico simple

En este apartado se va a estudiar el movimiento armónico simple. Se comprobará que este mo-vimiento es el resultado de las perturbaciones provocadas a un material con comportamiento elástico, pero no se trata de eso solamente. A cada movimiento circular, como el estudiado en el apartado anterior, se le puede asociar un movimiento armónico simple; también el movimiento de un péndulo se puede estudiar como un movimiento armónico simple.

2.3.1. Representación de Fresnel del movimiento armónico simple

Se tomará el cuerpo que en el apartado 2.2 describe un movimiento circular uniforme y se proyectará su posición a lo largo de la circunferencia sobre uno de los diámetros de la misma;


cApítulo 2

se elige el diámetro vertical (figura 2.4). El cuer-po situado en el punto B tiene una trayectoria circular de radio r con una velocidad angular ω constante. El punto P es la proyección ortogonal de B sobre el diámetro vertical de la circunfe-rencia. Cuando pasa un tiempo t, el cuerpo gira, en sentido antihorario, desde la posición B hasta la posición B’, recorriendo un ángulo de ω · t radianes. En el mismo tiempo, la proyección or-togonal sobre el diámetro vertical se habrá des-plazado desde el punto P hasta la posición P’.

Puesto que el movimiento circular uniforme del cuerpo es periódico, el movimiento de la pro-yección sobre el diámetro vertical también lo es.

En el inicio, t = 0, el cuerpo se encuentra en la posición B, formando un ángulo φ con el diámetro horizontal. En un instante posterior t, el ángulo habrá modificado su valor en ω · t. La posición de la proyección del cuerpo sobre el diámetro vertical se puede calcular según la si-guiente ecuación:

(2.6)x t( ) = A sen t + ( )

donde:

l x(t)/m es la posición de la proyección del cuerpo sobre el diámetro vertical de la cir-cunferencia, elongación, en función del tiempo.

l A/m es la amplitud del movimiento de la proyección, máxima elongación, la máxima distancia que recorrerá la proyección medida desde el centro de la circunferencia, y que coincide con el radio de la misma.

l ( t + ) /rad es la fase del movimiento en el instante t.l φ/rad es la fase inicial, la fase en t = 0, la posición del cuerpo cuando se comienza a

mirar el movimiento.

Dependiendo de la elección que se haga del instante inicial, el valor de φ variará y la ecua-ción (2.6) podrá escribirse de diferentes maneras equivalentes:

(2.7)= 0 rad x(t) = A sen( t)

=2

rad x(t) = A sen t +2

= A cos( t)

= rad x(t) = A sen( t + ) = A sen( t)

=32

rad x(t) = A sen t +32

= A cos( t)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Figura 2.4Proyección del movimiento circular uniforme sobre el diámetro vertical.

O r

ωt

φ

B’

B

P’

P


capítulo 2

Se dice que el punto P realiza un movimiento armónico simple, un movimiento lineal de un cuerpo sometido a una aceleración variable, que en cada instante es proporcional y de signo opuesto al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, como se verá en el apartado 4.3.

Recurso web

En la página web enlazada en este código QR podrás ver una animación de la relación que existe entre el movimiento armó-nico simple y el movimiento circular uniforme.

Ejemplo 2.1

Un cuerpo realiza un movimiento circular uniforme de radio 5,3 m. Cada minuto da 364 vueltas. Además, se sabe que, al inicio del movimiento, la proyección sobre uno de los diámetros de la circunferencia tenía el valor 1,8 m. Escribir la ecuación del mo-vimiento de la proyección.

1. Datos

• Radio de la circunferencia r = A = 5,3 m.• Frecuencia angular:

364 vueltas

1minuto2 radiantes

1vuelta1minuto

60 segundos38,117 99 rad s 1.=ω

π⋅

⋅⋅ = ⋅ −

• Posición de la proyección en t = 0, x(0) = 1,8 m.

2. Incógnitas

• Fase inicial, φ/rad.• Ecuación del movimiento armónico simple de la proyección.

3. Ecuaciones, principios, teorías, etc.

• Ecuación (2.6) x(t) = A · sen (ω · t + φ).

4. Resolver

•

•

www

= arcsen x(0)A

= 0,339 623 rad

x t( ) = 5,3 sen 38,117 99 t + 0,339623( )


cApítulo 2

2.3.2. Estudio de algunos sistemas

Antes de leer este apartado, es recomendable repasar el apartado 1.3, ya que el comportamiento elástico de la materia va a ser el responsable de que, cuando es perturbada, realice un movimien-to armónico simple. En este apartado se estudiará el movimiento armónico simple como conse-cuencia de las perturbaciones realizadas sobre cuerpos que presentan comportamiento elástico. También se estudiará el movimiento del péndulo simple, que, por acción de la gravedad, realiza un movimiento armónico simple.

A) Péndulo simple

Un péndulo no es más que una masa puntual m suspendida de un punto fijo mediante una cuerda de longitud ℓ (figura 2.5). La masa se encuentra en reposo y la cuerda se mantiene en posición vertical. Se considera que la cuerda no se puede extender y que carece de masa. Sobre la masa actúan:

l El peso P, atracción gravitacional de la Tierra, definido por la ecuación (1.9).l La tensión de la cuerda T, que evita que la masa caiga al suelo.

Ahora, se separa la masa de su posición de equilibrio, haciendo que la cuerda forme con la vertical un ángulo θ. En este momento, el peso de la masa se puede descomponer en sus dos componentes:

l El componente radial, igual y opuesto a la tensión de la cuerda:

(2.11)θ= − ⋅ ⋅P m g cosr

l El componente tangencial, que será la fuerza F, causante del movimiento:

(2.12)θ= = − ⋅ ⋅P F m g sent

θ

m

Pr

T

– FP

Figura 2.5Péndulo simple.

Al soltarla, la masa oscila en torno a la vertical conservando el mismo plano de oscilación debido a la acción de la fuerza, del componente tangencial del peso de la masa, que tratará de

xℓ


capítulo 2

llevarla de nuevo a su posición original, lo que se indica mediante el signo negativo. Se sustituye, en la ecuación (2.12), el seno del ángulo θ por su definición:

(2.13)F m gx

= − ⋅ ⋅

donde:

l x/m es la distancia horizontal del cuerpo a la vertical.l ℓ/m es la longitud de la cuerda.

Es preciso recordar la segunda ley de Newton:

(2.14)F m a md xdt

2

2= ⋅ = ⋅

Se igualan las ecuaciones (2.13) y (2.14) y, reordenando, se llega a la ecuación del movi-miento del péndulo simple, que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal, con coeficientes constantes y homogénea; que permite calcular la distancia que se ha separado la masa del péndulo respecto de la vertical, en función del tiempo:

(2.15)x

tg

xdd

02

2

+ ⋅ =

Una solución de la ecuación (2.15) es:

(2.16)x t( ) = A seng

t +

donde:

l x(t)/m es la elongación, la distancia que separa el cuerpo respecto de la vertical, en función del tiempo.

l A/m es la amplitud, distancia máxima del cuerpo a la vertical.

l

g t + /rad es el argumento del seno, la fase del movimiento en el instante t.

l φ/rad es la fase inicial, la posición del cuerpo cuando se comienza a contar el tiempo. En el caso del péndulo, coincide con el ángulo θ, el ángulo que forma la cuerda con la vertical.

Otra forma de estudiar el movimiento del péndulo es mediante el teorema del momento cinético, que permite escribir la ecuación del péndulo en función del ángulo recorrido por el cuerpo respecto de la vertical a lo largo del tiempo:

(2.17)d2

dt2 +

g = 0

Una solución de la ecuación (2.17) es:

(2.18)t( ) = m seng

t +


cApítulo 2

donde:

l θ(t)/rad es el ángulo que indica la posición de la masa en función del tiempo.l θm/rad es el ángulo máximo del movimiento.

Las ecuaciones (2.16) y (2.18) describen el mismo movimiento. En cualquiera de los dos casos, se introduce una nueva variable, que es la frecuencia angular:

(2.19)g

ω =

y se pueden reescribir las ecuaciones (2.16) y (2.18):

(2.20)x t( ) = A sen t + ( )

t( ) = m sen t + ( )Por lo tanto, el movimiento del péndulo, tal como se ha descrito, es un movimiento armó-

nico simple y, por definición, periódico, ya que la elongación o el ángulo adquieren el mismo valor al transcurrir una cantidad de tiempo igual al periodo:

(2.21)x t x t T

t t Tθ θ

( ) ( )

( ) ( )

= +

= +

Se desarrollan las ecuaciones (2.21):

(2.22)A sen t + ( ) = A sen t + T( ) + [ ]

m sen t + ( ) = m sen t + T( ) + [ ]

En ambas ecuaciones se puede observar que, puesto que los senos tienen que ser iguales, los ángulos también tienen que ser iguales o múltiplos de 2 · π. El periodo, en ambos casos, será:

(2.23)Tg

2 π

= ⋅ ⋅

Y se observa que el periodo es independiente de la masa y del tiempo, únicamente depende de la longitud de la cuerda. Por ser independiente del tiempo, se dice que es un movimiento isócrono.

Ejemplo 2.2

Calcular la longitud de la cuerda de un péndulo del que cuelga una masa de 1 kg y que tiene una frecuencia de oscilación de 0,3 Hz.

1. Datos

• Masa colgada del péndulo m = 1 kg.


capítulo 2

• Frecuencia de oscilación ν = 0,3 Hz ≡ 0,3 s–1.• Aceleración de la gravedad g = 9,806 65 m · s–2.

2. Incógnitas

• Longitud de la cuerda ℓ/m.

3. Ecuaciones, principios, teorías, etc.

• Ecuación (2.5) T1

ν =

• Ecuación (2.23) Tg

2 π

= ⋅ ⋅

4. Resolver

= g 1

2 π

2

= 2,76 m

La ecuación (2.23) es válida para ángulos menores de 9 rad. Para ángulos mayores, el mo-

vimiento sigue siendo periódico, pero deja de ser armónico, y el periodo depende, además, del ángulo, y se calcula según (2.24):

(2.24)

B) TracciónSobre una barra fijada por uno de sus extremos, se ejerce una fuerza de tracción para alar-

garla (ver subapartado 1.3.1A). Aparece una fuerza elástica que se opone al alargamiento y que es proporcional a la deformación producida, al alargamiento Δl:

(2.25)Fe = Ke l

Igualando la ecuación (2.25) a la segunda ley de Newton (2.14) y llamando x al alargamien-to de la barra (Δl), se llega a la ecuación del movimiento de la barra cuando se la alarga, que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal, con coeficientes constantes y ho-mogénea; que permite calcular el incremento de la longitud de la barra en función del tiempo:

(2.26)x

tKm

xdd

02

2e+ ⋅ =

Una solución de (2.26) es:

(2.27)x t( ) = A senKe

m t +


cApítulo 2

donde:

l A/m es la amplitud, el máximo alargamiento de la barra al aplicarle la fuerza deformadora.

lKe

m t + /rad es la fase del movimiento en el instante t.

Si se compara la ecuación (2.27) con las ecuaciones (2.20) se observa la similitud de sus términos, por lo tanto, en la (2.27) lo que multiplica al tiempo en el argumento del seno será la frecuencia angular, que en este caso se calcula:

(2.28)Km

eω =

Y se reescribe la ecuación (2.27); así se tiene el movimiento de la barra al intentar alargarla en función del tiempo:

(2.29)x t( ) = A sen t + ( )

Es decir, el movimiento producido al intentar alargar la barra es un movimiento armónico simple que, por definición, es periódico; cuando pasa un tiempo igual al periodo T, se repiten todos los valores de posición, velocidad, aceleración y sus componentes. La elongación en cual-quier tiempo será igual que después de pasado un periodo:

(2.30)x t x t T( ) ( )= +

Sustituyendo en la ecuación del movimiento de la barra (2.29):

(2.31)A sen t + ( ) = A sen t + T( ) + [ ]

Reordenando, se observa que los senos son iguales, por lo que los ángulos deben ser iguales. Despejando el periodo:

(2.32)T = 2 π mKe

El periodo solamente depende de la masa del cuerpo y de su constante elástica. Es indepen-diente de la amplitud y, puesto que no depende del tiempo, se dice que es un movimiento isócrono. De la ecuación (2.5) se puede despejar el valor de la frecuencia:

(2.33) = 1T

= 1

2 π

Ke

m

Actividad propuesta 2.2

Una barra a la que se aplica una fuerza de tracción tiene una masa de 864 mg, y su constante elástica tiene un valor de 1,648 kg · s–2. Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo del movimiento.

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