Libreremo - Uninettuno - Corso Propedeutico Di Matematica (Prof Paolo Boieri)

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Questo libro è il frutto di un percorso di lotta per l’accesso alle conoscenze e alla formazione promosso dal CSOA Terra Terra, CSOA Officina 99, Get Up Kids!, Neapolis Hacklab. Questo libro è solo uno dei tanti messi a disposizione da LIBREREMO, un portale finalizzato alla condivisione e alla libera circolazione di materiali di studio universitario (e non solo!).

Pensiamo che in un’università dai costi e dai ritmi sempre più escludenti, sempre più subordinata agli interessi delle aziende, LIBREREMO possa essere uno strumento nelle mani degli studenti per riappropriarsi, attraverso la collaborazione reciproca, del proprio diritto allo studio e per stimolare, attraverso la diffusione di materiale controinformativo, una critica della proprietà intellettuale al fine di smascherarne i reali interessi.

I diritti di proprietà intellettuale (che siano brevetti o copyright) sono da sempre – e soprattutto oggi - grosse fonti di profitto per multinazionali e grandi gruppi economici, che pur di tutelare i loro guadagni sono disposti a privatizzare le idee, a impedire l’accesso alla ricerca e a qualsiasi contenuto, tagliando fuori dalla cultura e dallo sviluppo la stragrande maggioranza delle persone. Inoltre impedire l’accesso ai saperi, renderlo possibile solo ad una ristretta minoranza, reprimere i contenuti culturali dal carattere emancipatorio e proporre solo contenuti inoffensivi o di intrattenimento sono da sempre i mezzi del capitale per garantirsi un controllo massiccio sulle classi sociali subalterne.

L’ignoranza, la mancanza di un pensiero critico rende succubi e sottomette alle logiche di profitto e di oppressione: per questo riappropriarsi della cultura – che sia un disco, un libro, un film o altro – è un atto cosciente caratterizzato da un preciso significato e peso politico. Condividere e cercare canali alternativi per la circolazione dei saperi significa combattere tale situazione, apportando benefici per tutti.

Abbiamo scelto di mettere in condivisione proprio i libri di testo perché i primi ad essere colpiti dall’attuale repressione di qualsiasi tipo di copia privata messa in atto da SIAE, governi e multinazionali, sono la gran parte degli studenti che, considerati gli alti costi che hanno attualmente i libri, non possono affrontare spese eccessive, costretti già a fare i conti con affitti elevati, mancanza di strutture, carenza di servizi e borse di studio etc...

Questo va evidentemente a ledere il nostro diritto allo studio: le università dovrebbero fornire libri di testo gratuiti o quanto meno strutture e biblioteche attrezzate, invece di creare di fatto uno sbarramento per chi non ha la possibilità di spendere migliaia di euro fra tasse e libri originali... Proprio per reagire a tale situazione, senza stare ad aspettare nulla dall’alto, invitiamo tutt* a far circolare il più possibile i libri, approfittando delle enormi possibilità che ci offrono al momento attuale internet e le nuove tecnologie, appropriandocene, liberandole e liberandoci dai limiti imposti dal controllo repressivo di tali mezzi da parte del capitale.

Facciamo fronte comune davanti ad un problema che coinvolge tutt* noi! Riappropriamoci di ciò che è un nostro inviolabile diritto!

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Corso Propedeutico di Matematica

Sommario

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 1 Data ultima revisione 23/05/00

Politecnico di Torino CeTeM

SOMMARIO

1. Insiemi, retta reale e piano cartesiano

2. Funzioni

3. Trasformazioni del piano e grafici

4. Equazioni, disequazioni e sistemi

5. Polinomi

7. Funzioni radice

8. Esponenziali e logaritmi

9. Funzioni trigonometriche


1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano



INSIEMI, RETTA REALE E PIANO CARTESIANO

RICHIAMI DI TEORIA SUGLI INSIEMI

Un insieme E è definito assegnando i suoi elementi, tutti distinti tra loro: se x è un elemento di E scriviamo x E∈ , mentre, se non lo è, si scrive x E∉ . Definizione: dato un insieme I, si dice che E è un sottoinsieme di I e si scrive E I⊆ se ogni elemento di E è anche un elemento di I. Se inoltre esiste almeno un elemento di I che non appartiene a E, si dice che E è un sottoinsieme proprio di I e si scrive E I⊂ . Definizione: dati due insiemi A e B, si definiscono i seguenti insiemi: • insieme unione = A B∪ è l'insieme degli x che appartengono ad A oppure appartengono a B;

• insieme intersezione = A B∩ è l'insieme degli x che appartengono ad A e a B;

• insieme differenza = A B\ è l'insieme degli x che appartengono ad A e non appartengono a B

• insieme differenza simmetrica = A B∆ è l'insieme degli x che appartengono ad A e non appartengono a B oppure che appartengono a B e non appartengono ad A.

Definizione: Dato un insieme A M⊆ , si dice complementare di A ( rispetto a M) e si scrive A l'insieme M A\ .





Definizione: l'insieme dei sottoinsiemi di E si chiama insieme potenza o insieme delle parti di E e si indica con ( )P E .

Definizione: dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano di A e B e si indica con A B× l'insieme delle coppie ordinate ( )a b, con a A∈ e b B∈ .

ESEMPI 1. Scrivere in notazione insiemistica l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari. Possiamo descrivere gli insiemi richiesti in due modi differenti: • Elencandone gli elementi

{ }P = 0 2 4 6 8 10, , , , , , ....... , { }D = 1 3 5 7 9 11, , , , , ,.......

• Utilizzando la loro proprietà caratteristica, vale a dire considerandoli come collezione di tutti gli elementi che appartengono

ad un certo insieme più grande che soddisfano una certa proprietà.

{ }P x x n n= ∈ = ∈N N: ,2 , { }D x x n n= ∈ = + ∈N N: ,2 1





2. Determinare unione, intersezione e differenza degli insiemi { }A x x= ∈ ≥ −Z: 3 e { }B x x= ∈ <N: 4 .

A è un sottoinsieme di Z ( A ⊂Z ) e contiene i numeri relativi che sono maggiori o uguali a -3, { }A= − − −3 2 1 0 1 2 3 4 5, , , , , , , , ,.... ,

B è un sottoinsieme di N ( B⊂N ) e contiene i numeri naturali minori di 4, { }B = 0 1 2 3, , , .

Osserviamo che B è sottoinsieme proprio di A ( B A⊂ ) e quindi:

{ }{ }

{ }

A B A

A B B

A B x x x

∪ = − − − =

∩ = =

= ∈ − ≤ < >

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3

3 0 3

, , , , , , , , , , .. ..

, , ,

\ :Z e

3. Determinare l'insieme delle parti degli insiemi { }A x Z x= ∈ = −: 3 8 , { }B x x= ∈ =Z: 2 1 . e { }C x x= ∈ ≤N: 2 .Tenendo conto dei

risultati ottenuti, quanti sono gli elementi dell'insieme delle parti di un insieme di n elementi? Gli insiemi A, B, e C contengono rispettivamente uno, due e tre elementi: { } { } { }A B C= − = − =2 1 1 0 1 2, , , , , .

( ) { }{ }P A = ∅ −, 2 P(A) ha 2 elementi

( ) { } { } { }{ }P B = ∅ − −, , , ,1 1 1 1 P(B) ha 4 = 22 elementi

( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }P C = ∅, , , , , , , , , , , ,0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 P(C) ha 8 = 23 elementi

E' facile verificare che, in generale, se E è un insieme di n elementi, P(E) contiene 2n elementi.





4.Dati gli insiemi { }A = 1 2 3, , e { }B = 3 4, determinare: A B B A A A B B× × × ×, , , .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

A B

B A

A A

B B

× =

× =

× =

× =

1 3 1 4 2 3 2 4 3 3 3 4

3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

3 3 3 4 4 3 4 4

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , ,

Osserviamo che A B B A× ≠ × in quanto le coppie sono ordinate.

Per la stessa ragione nell'insieme A A× gli elementi ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 3, , , , , sono distinti dagli elementi ( ) ( ) ( )2 1 3 1 3 2, , , , , e nell'insieme

B B× gli elementi ( )3 4, e ( )4 3, sono diversi.





RICHIAMI DI TEORIA SULLA RETTA REALE ED IL PIANO CARTESIANO

Gli intervalli della retta reale

[ ] { }( ] { }[ ) { }( ) { }

a b x a x b

a b x a x b

a b x a x b

a b x a x b

, :

, :

, :

, :

= ∈ ≤ ≤

= ∈ < ≤

= ∈ ≤ <

= ∈ < <

R

R

R

R

( ] { }( ) { }[ ) { }( ) { }

−∞ = ∈ ≤

−∞ = ∈ <

+ ∞ = ∈ ≥

+ ∞ = ∈ >

, :

, :

, :

, :

a x x a

a x x a

a x x a

a x x a

R

R

R

R

Definizione: fissato un punto P sulla retta reale la misura del segmento OP è data da x se x>0, da -x se x <0 ed è uguale a zero se P coincide con O: questa misura viene definita valore assoluto del numero reale x ed è indicata con |x|.

Formalmente: xx x

x x=

− <

≥

per

per

0

0

Distanza tra due punti P1 e P2 nel piano: ( ) ( ) ( )d P P x x y y1 2 2 1

2

2 1

2, = − + − dove ( ) ( )P x y P x y1 1 1 2 2 2= =, , ,

Punto medio del segmento P1 P2 : Mx x y y

=+ +

1 2 1 2

2 2, dove ( ) ( )P x y P x y1 1 1 2 2 2= =, , ,

Equazione della retta in forma esplicita: y mx q= + dove m è il coefficiente angolare e q l'intersezione della retta con l'asse y. Equazione della retta in forma implicita: ax by c+ + = 0 dove a b c, , ∈R

a b R a b R

a b R

a b R

a R a R a R a R





Equazione della retta passante per due punti P1 e P2 : x x

x x

y y

y y

−

−=

−

−1

2 1

1

2 1

dove ( ) ( )P x y P x y1 1 1 2 2 2= =, , ,

Condizione di parallelismo tra due rette: le rette r y m x q: = +1 1 e s y m x q: = +2 2 sono parallele se e solo se m m1 2= Condizione di perpendicolarità tra due rette: le rette r y m x q: = +1 1 e s y m x q: = +2 2 sono perpendicolari se e solo se m m1 2 1=− . Definizione: fissato un punto ( )C x y0 0, del piano e un numero reale positivo r , si dice circonferenza di centro C e raggio r il

luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza r da C. L'equazione è la seguente: ( ) ( )x x y y r− + − =0

2

0

2 2

Definizione: fissati due punti F e ′F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo 2a , con ( )2a d F F> ′, , si dice ellisse il

luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a 2a ,) la somma delle distanze dai fuochi.

Se i fuochi hanno coordinate ( )F c= ,0 e ( )′ = −F c,0 l'equazione dell'ellisse è x

a

y

b

2

2

2

21+ = dove b a c2 2 2= − .

Se i fuochi hanno coordinate ( )F c= 0, e ( )′ = −F c0, l'equazione dell'ellisse è x

b

y

a

2

2

2

21+ = dove b a c2 2 2= − .





Definizione: fissati due punti F e ′F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo 2a , con ( )2a d F F< ′, , si dice iperbole

il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a 2a ,) la differenza delle distanze dai fuochi.

Se i fuochi hanno coordinate ( )F c= ,0 e ( )′ = −F c,0 l'equazione dell'iperbole è x

a

y

b

2

2

2

21− = dove b c a2 2 2= − .

Se i fuochi hanno coordinate ( )F c= 0, e ( )′ = −F c0, l'equazione dell'iperbole è y

a

x

b

2

2

2

21− = dove b c a2 2 2= − .

Se i fuochi hanno coordinate ( )F a a= , e ( )′ = − −F a a, l'equazione dell'iperbole è xya

=2

2.

Definizione: fissata una retta r , detta direttrice, e un punto F r∉ , detto fuoco, si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano che hanno uguale distanza da F e da r .

Se il fuoco ha coordinate ( )F p= 0, e la direttrice ha equazione y p= − l'equazione della parabola è yp

x ax= =1

42 2 .

Se il fuoco ha coordinate ( )F p= ,0 e la direttrice ha equazione x p= − l'equazione della parabola è xp

y ay= =1

42 2 .





ESEMPI

1. Dati gli insiemi { }A x x= ∈ − < ≤R: 3 2 , { }B = − −R 1 e { }C x x e x= ∈ ≤ − >R: 3 2 , rappresentarli sulla retta reale,

esprimerli come intervalli e determinare A B A B A C A C B C B C∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩, , , , , . A B∪ = R : osserviamo che -3∉A ma -3∈B, quindi -3∈A∪B e che -1∉B, ma -1∈A, quindi -1∈A∪B.

( ) ( ]A B∩ = − − ∪ −3 1 1 2, ,

Osservando che C è il complementare di A rispetto a R, vale a dire C A= R \ , abbiamo A C∪ = R e A C∩ = ∅ . Osservando che C B⊂ , abbiamo B C B∪ = e B C C∩ = . 2. Disegnare le rette di equazione y kx= + 1 (1) essendo { }k z z∈ ∈ − ≤ ≤Z: 4 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

Osserviamo che tutte le rette passano per il punto ( )P 0 1, (si può facilmente verificare che le coordinate di P soddisfano

l'equazione (1) per qualsiasi valore del parametro k). L'equazione (1) rappresenta un fascio proprio di rette di centro P: al variare di k in R otteniamo tutte le rette passanti per P, tranne la retta per P perpendicolare all'asse x (in questo caso la retta di equazione x=0), che non si può ottenere dalla (1) per nessun valore di k

0 1 2 -1 -2 -3 3 R

0 1 2 -1 -2 -3 3 R

0 1 2 -1 -2 -3 3 R

A = (-3, 2] B = (-∞∞, -1) ∪∪ (-1, +∞∞) C = (-∞∞, -3] ∪∪ (2,+ ∞∞)





In generale l'equazione di un fascio proprio di rette con centro ( )P x y0 0 0= , è ( )y y k x x− = −0 0 (2): essa rappresenta, al variare

di k in R, tutte le rette passanti per P0 tranne la retta di equazione x x= 0 passante per P0 e perpendicolare all'asse x. Se il valore di k è fissato, la (2) rappresenta l'equazione della retta passante per il punto P0 di coefficiente angolare noto k. 3. Disegnare le rette di equazione y x k= +2 (2) essendo { }k z z∈ ∈ − ≤ ≤Z: 4 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

Osserviamo che tutte le rette hanno lo stesso coefficiente angolare m = 2 (quindi si tratta di rette parallele), mentre la loro intersezione con l'asse y dipende dal valore assegnato di volta in volta al parametro k. L'equazione (2) rappresenta un fascio di rette parallele o fascio improprio. In generale l'equazione di un fascio improprio di rette di coefficiente angolare fissato m è y m x k= + . 4. Sono assegnati i punti ( ) ( ) ( )P P P1 2 31 2 5 6 2 3 4, , , , ,− − . Verificare che il triangolo P P P1 2 3 è isoscele e determinare la sua area.

Il triangolo è isoscele se ha due lati uguali. Calcoliamo la lunghezza dei lati utilizzando la formula della distanza tra due punti:

( )( ) ( )P P1 2

2 21 5 2 6 10= − − + − − = ( ) ( )P P1 3

2 21 2 3 2 4 5 13 3= − + − − = = ( ) ( )P P2 3

2 25 2 3 6 4 5 13 3= − − + − =

L'altezza del triangolo è il segmento congiungente il punto medio M della base P1P2 con il vertice P3. Abbiamo:

( )M =− − +

= −1 5

22 62

2 2, , , ( ) ( )MP3

2 22 2 3 2 4103

= − − + − =/ e AreaP P MP

=⋅

=1 2 3

2503





5. Dati i punti ( ) ( ) ( )P P P1 2 32 1 1 3 2 4− −, , , , , , determinare l'equazione della retta r passante per P1 e P2 e la distanza tra r e P3..

Equazione di r: ( )( )

x y x yy x

− −− − −

=−−

↔+

=−

↔ = +2

1 2

1

3 1

2

1

1

22 5

Distanza tra P3 e r: • determiniamo la retta s ⊥ r passante per P3, utilizzando l'equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare

noto (sappiamo infatti che m ms r= − = −1 1 2/ / ): ( )s y x s y x: / : /− = − − ↔ = − +4 1 2 2 1 2 5.

• determiniamo il punto di intersezione P(x,y) tra r e s: il punto P deve appartenere ad entrambe le rette, quindi le sue coordinate devono soddisfare contemporaneamente le equazioni di r y x: = +2 5 e s y x: /= − +1 2 5. Per confronto, otteniamo

2 5 1 2 5 0x x x+ = − + ↔ =/ ; il valore y = 5 si ricava andando a sostituire in una delle equazioni x=0: quindi ( )P = 0 5, .

• La misura del segmento PP3 5= fornisce la distanza richiesta. 6. Determinare l'equazione della circonferenza di diametro AB, dove ( )A = 1 3, e ( )B = 2 2, .

Il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B: C =+ +

=

1 22

3 22

32

52

, , .

Il raggio r è dato, ad esempio, dalla misura del segmento AC = −

+ −

=1

3

23

5

2

13

6

2 2

L'equazione della circonferenza è: x y−

+ −

=

3

2

5

2

13

36

2 2





7. Determinare le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza di equazione x y x y2 2 6 2 3 0+ − + + = .

Dobbiamo ricondurci ad una equazione del tipo ( ) ( )x x y y r− + − =0

2

0

2 2 , manipolando algebricamente l'espressione data

completando i quadrati. Ricordiamo che ( )a b a ab b± = ± +2 2 22 .

( ) ( ) ( ) ( )x y x y x x y y x x y y x y2 2 2 2 2 2 2 26 2 3 6 2 3 6 9 9 2 1 1 3 3 1 7 0+ − + + = − + + + = − + − + + + − + = − + + − = e quindi

( ) ( )( ) ( )x y− + − − =3 1 72 2 2

equazione di una circonferenza di centro C(3,-1) e raggio r=√7

8. Determinare l'equazione della circonferenza passante per i punti A(-1, 2) e B(1, 4) ed avente il centro sulla retta r: y=5x. Il centro C della circonferenza è il punto di intersezione tra la retta r e l'asse della corda AB. Ricordiamo che l'asse di un segmento è il luogo dei punti P(x,y) equidistanti dagli estremi del segmento dato; determiniamo l'asse a del segmento AB:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

PA PB x x y y x x y y x x y y x x y y

x y x y x x y y x x y y x y

A A B B A A B B= ↔ − + − = − + − ↔ − + − = − + − ↔

+ + − = − + − ↔ + + + − + = − + + − + ↔ + − =

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 4 2 1 4 4 2 1 8 16 3 0.





Il punto C intersezione tra le rette r e a è C =

1

2

5

2, .

Il raggio è dato, ad esempio, dalla misura del segmento AC = − −

+ −

=11

22

5

2

10

2

2 2

.

L'equazione della circonferenza è: x y−

+ −

=

1

2

5

2

5

2

2 2

9. Determinare la lunghezza dei semiassi e le coordinate dei fuochi dell'ellisse di equazione 4 9 162 2x y+ = .

Dobbiamo scrivere l'ellisse nella forma canonica x

a

y

b

2

2

2

21+ = :

( )4 9 16

4

16

9

161

4 169

12 4

3

12 2 2 22 2 2

2

2

2x y x yx y x y

+ = ↔ + = ↔ + = ↔ +

= , quindi a b c a b c= = = − = ↔ =243

209

23

52 2 2, ,

I fuochi si trovano sull'asse x ed hanno coordinate F F=

′ = −

2

35 0

2

35 0, , ,





10.Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per il punto ( )A = 2,2 ed avente i fuochi nei punti ( ) ( )F F= − ′ =2 0 2 0, , , .

Determinare inoltre le equazioni dei suoi asintoti.

I fuochi sono sull'asse x e sono simmetrici rispetto all'origine, quindi l'equazione dell'iperbole è x

a

y

b

2

2

2

21− = .

Possiamo ricavare la misura dell'asse traverso applicando la definizione di iperbole come luogo di punti: infatti se A appartiene alla curva dovrà essere: AF AF a− ′ = 2 .

Abbiamo AF = + =4 2 2 52 2 e AF ′ = 2 , da cui 2 2 5 2 5 1a a= − ↔ = − .

Il semiasse non traverso b si ricava usando la relazione ( )b c a b2 2 2 4 5 2 5 1 2 5 1 2 5 1= − = − − + = − ↔ = −( ) ( ) .

Gli asintoti sono le rette di equazione ( )

yb

ax y x= ± ↔ = ±

−

−

2 5 1

5 1.


2 Funzioni



FUNZIONI

RICHIAMI DI TEORIA

Il concetto di funzione Definizione 1: siano X e Y due insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y ( )f X Y: → è una relazione tra i due insiemi che ad

ogni x∈ X fa corrispondere uno ed un solo y ∈ Y ;diciamo che y è immagine di x mediante la funzione f ed utilizziamo la scrittura y=f(x). Il dominio (dom f) della funzione f è l'insieme di tutti i possibili valori reali che si possono attribuire a x∈ X affinché esista il corrispondente valore y ∈ Y. L'insieme di tutte le immagini è detto insieme immagine (Im f). Definizione 2: si dice funzione f da X in Y un sottoinsieme non vuoto G del prodotto cartesiano X × Y tale che, se due coppie ( )x y, ′ e ( )x y, ′′ appartengono a f, si ha ′ = ′′y y ; preso un qualsiasi punto ( )x y G, ∈ , l'elemento y è il valore di f nel punto x. Il

dominio di f è l'insieme di tutte le prime componenti degli elementi di G ( ovvero la proiezione di G su X); l' insieme immagine di f è costituito dalla proiezione di G su Y. Definizione: una funzione è detta reale di variabile reale se ha come insieme di partenza e come insieme di arrivo l'insieme R.


2 Funzioni



Alcuni tipi di funzione:

• funzioni costanti: cy= -5 0 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Graf ico del la funz ione y = 3

x

y

O x

y

O

• funzioni lineari: y mx= -5 0 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Graf ico de l la funz ione y = 2x

x

y

O

k = 1 k = 2 k = - 1 k = - 2

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = m x

x

y

O


2 Funzioni



• funzioni di proporzionalità inversa:

ykx

k= ≠, con 0

• funzioni quadratiche: y kx= 2

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Grafico della funzione y = 2/x

x

y

O

k = 1 k = 2 k = -1 k = -2

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3Graf ico del le funzioni y = k/x

x

y

O

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Grafico della funzione y = 1/2*x^2

x

y

O

k = 1 k = 2 k = - 1 k = - 2

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3Graf ico de l le funz ion i y = k x^2

x

y

O


2 Funzioni



• funzioni del tipo y x n= , con n ∈Z

y = x^2 y = x^4 y = x^6 y = x^8

-2 -1 0 1 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Graf ico del le funzioni y = x^n, con n par i e posi t ivo

x

y

O

y = x^3 y = x^5 y = x^7 y = x^9

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Grafico delle funzioni y = x^n, con n dispari e positivo

x

y

O

y = 1/x^2 y = 1/x^4 y = 1/x^6 y = 1/x^8

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Graf ico del le funzioni y = x^n, con n par i e negat ivo

x

y

O

y = 1 / x y = 1 / x ^ 3 y = 1 / x ^ 5 y = 1 / x ^ 7

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3G r a f i c o d e l l e f u n z i o n i y = x ^ n , c o n n d i s p a r i e n e g a t i v o

x

y

O


2 Funzioni



• la funzione valore assoluto: y x=

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.5

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3Graf ico de l la funz ione y = |x |

x

y

O


2 Funzioni



ESEMPI

1. Dire se i seguenti grafici rappresentano delle funzioni:

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

G r a f i c o A

x

y

O

- 3 - 2 - 1 0 1 2

- 1

-0 .5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

G r a f i c o B

x

y

O

- 2 -1 .5 - 1 -0 .5 0 0.5 1 1.5 2

- 2

-1 .5

- 1

-0 .5

0

0.5

1

1.5

2

G r a f i c o C

x

y

O

Ricordiamo che un semplice criterio per stabilire se un sottoinsieme G⊆ R2 è il grafico di una funzione è il seguente: un sottoinsieme G di R2 è il grafico di una funzione se ogni parallela all'asse y lo interseca al più in un punto. Utilizzando il precedente criterio , abbiamo: Grafico A: funzione Grafico B: funzione Grafico C: non è una funzione (ad esempio la retta x =1/2 interseca il grafico in due punti)


2 Funzioni



2. Dedurre dominio e immagine delle funzioni rappresentate nei grafici seguenti:

d o m i n i o i m m a g i n e

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 1

0

1

2

3

4

5

G r a f i c o A

x

y

O


- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

G r a f i c o B

x

y

O


- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

G r a f i c o C

x

y

O

Ricordiamo che possiamo ottenere il dominio e l'insieme immagine di una funzione proiettando il suo grafico sull'asse delle ascisse e delle ordinate rispettivamente. In base a questa considerazione, abbiamo: Grafico A: dominio [-2 2]; immagine = [0 3] Grafico B: dominio = (-∞ 0) ∪ (0 +∞); immagine = (-∞ 0) ∪ (0 +∞) Grafico C: dominio = R; immagine = [0 +∞)


2 Funzioni



3. Data la seguente funzione, determinarne il dominio, l'immagine e disegnarne il grafico.

( )f xx se x

xse x

=≤ −

> −

2 2

12

La funzione f è definita a tratti, vale a dire la sua espressione amalitica cambia a seconda dell'intervallo che consideriamo: in

questo caso ( )f x x= 2 se ( ]x I∈ = −∞ −1 2, e ( )f xx

= 1 se ( )x I∈ = − + ∞2 2, .

La funzione ( )f x x1 2= è definita su tutto l'insieme R dei numeri reali (possiamo "calcolare" 2⋅x per qualsiasi x ∈ R): il dominio

di f1 ristretta all'intervallo I1 è dom f1 / I1 = dom f1 ∩ I1 = R ∩ (-∞, -2] = (-∞, -2].

La funzione ( )f xx2

1= è definita in R-{0} (fissato x ∈ R, possiamo "calcolare" 1/x tranne quando x = 0 ): restringendo f2

all'intervallo I2, abbiamo dom f2 / I2 = R-{0} ∩ (-2, +∞) = (-2, 0 ) ∪ (0 , +∞). Il dominio della funzione f è l'unione dei domini delle restrizioni di f1 all'intervallo I1 e di f2 all'intervallo I2, vale a dire: ( ) ( )dom f = −∞ ∪ + ∞, ,0 0

-2 0 dom f1 / I1 dom f2 / I2


2 Funzioni



f1(x) è una retta passante per l'origine di coefficiente angolare m = 2; f2(x) è una iperbole equilatera riferita a propri asintoti.

domin io immag ine

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Grafico della funzione y=f(x)

x

y

O

(-2, -4)

(-2, -1/2)

Abbiamo ( )Im , ,f = −∞ −

∪ + ∞1

20


3 Trasformazioni del piano e grafici



TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI

RICHIAMI DI TEORIA

Definizione: consideriamo il piano R 2 munito di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Una trasformazione del piano è una legge che consente di associare ad ogni punto P = (x, y)∈ R 2 un punto P' = (X, Y)∈ R2 . Esempi di trasformazioni del piano

• Le traslazioni

( ) ( )τ τp qX x p

Y y qp q

x X p

y Y q, : , :

= +

= +

= −

= −

−1

∗ Noto il punto ( )Q x y0 0, , otteniamo le coordinate del punto trasformato ′Q (utilizzando la trasformazione τ) mediante la

sostituzione x x p

y y q0 0

0 0

→ +

→ +

: ( ) ( ) ( )Q x y Q x p y qp q= → ′ + +0 0 0 0, ,,τ

∗ Nota la funzione ( )y f x= , otteniamo l'espressione della sua trasformata (utilizzando la trasformazione inversa τ-1) mediante la

sostituzione x x p

y y q

→ −

→ −

: ( ) ( ) ( ) ( )y f x y q f x p y f x p qp q= → − = − ↔ = − +τ ,

Il parametro p indica lo spostamento lungo l'asse x: se p>0 si ha una traslazione verso destra, se p<0 una traslazione verso sinistra. Il parametro q indica lo spostamento lungo l'asse y: se q>0 si ha una traslazione verso l'alto, se q<0 una traslazione verso il basso.





• Le dilatazioni

( ) ( )δ δm nX mx

Y nym n

xm

X

yn

Ym n, : , : , ,

=

=

=

=

∈− +1

1

1R

∗ Noto il punto ( )Q x y0 0, , otteniamo le coordinate del punto trasformato ′Q mediante la sostituzione x mx

y ny0 0

0 0

→

→

:

( ) ( ) ( )Q x y Q mx nym n= → ′0 0 0 0, ,,δ

∗ Nota la funzione ( )y f x= , otteniamo l'espressione della sua trasformata mediante la sostituzione x

mx

yn

y

→

→

1

1:

( ) ( )y f xn

y fxm

y n fxm

m n= → =

↔ = ⋅

δ , 1

Il parametro m indica la dilatazione lungo l'asse x: se m>1 il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ascisse), se 0<m<1 il piano viene compresso. Il parametro n indica la dilatazione lungo l'asse y: se n>1 il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ordinate), se 0<n<1 il piano viene compresso.





• Le simmetrie rispetto agli assi e all'origine

Simmetria rispetto

Equazione Nota la funzione ( )y f x= , otteniamo l'espressione

della sua trasformata mediante la sostituzione asse x

σ x

X x

Y y:

=

= −

x x

y y

→

→ −

( ) ( )y f x y f xx= → = −σ

asse y σ y

X x

Y y:

= −

=

x x

y y

→ −

→

( ) ( )y f x y f xy= → = −σ

origine σo

X x

Y y:

= −

= −

x x

y y

→ −

→ −

( ) ( )y f x y f xo= → = − −σ

• Le affinità

( )α m nX mx

Y nym n, : ,

=

=

≠ 0

Proposizione: un'affinità, nel caso in cui almeno uno dei due coefficienti sia negativo, è la composizione di una dilatazione e di una simmetria.





• Simmetrie rispetto alle bisettrici

Simmetria rispetto a y=x σ y x

X y

Y x=

=

=

:

Simmetria rispetto a y= -x σ y x

X y

Y x=−

= −

= −

:

Funzioni pari e funzioni dispari Definizione: una funzione reale di variabile reale è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x∈ dom f risulta ( ) ( )f x f x− = .

Una funzione reale di variabile reale è dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x∈ dom f risulta ( ) ( )f x f x− = − .

Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, se è dispari il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.





ESEMPI

1. Applicare la traslazione τ (1, 2) alla parabola γ: y = x2, determinando i trasformati dei suoi punti A= (0, 0), B=(1, 1), C=(2, 4) e l'equazione della sua traslata γ'.

Per determinare le coordinate dei punti trasformati usiamo la sostituzione x x

y y0 0

0 0

1

2

→ +

→ +

; otteniamo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

A A

B B

C C

= → ′ =

= → ′ =

= → ′ =

0 0 1 2

11 2 3

2 4 3 6

, ,

, ,

, ,

τ

τ

τ

Per determinare l'equazione della curva trasformata γ' utilizziamo la sostituzione x x

y y

→ −

→ −

1

2;

y=x^2 y=x^2-2x+3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

A '

B '

C '

otteniamo: ( )γ γτ: :y x y x y x x= → ′ − = − ↔ = − +2 2 22 1 2 3

E' semplice verificare che, come dovevamo aspettarci, i punti A', B', C' appartengono alla parabola γ'.





2. Assegnate la funzione γ: γ : | |y x= e le trasformazioni ( )τ 1 4,− e δ 31

2,

, determinare le equazioni ed i grafici delle curve ′γ e

′′γ , ottenute da γ applicando le trasformazioni composte T1 = ⋅τ δ e T2 = ⋅δ τ rispettivamente.

Definizione: il prodotto (o composizione) di due o più trasformazioni è l'applicazione successiva delle trasformazioni con la seguente regola: se t1 e t2 sono le due trasformazioni, il prodotto t1 ⋅ t2 impone che si applichi prima t1 e poi t2, mentre t2 ⋅ t1 esattamente il contrario. In generale il prodotto di trasformazioni non gode della proprietà commutativa.

La trasformazione T1, composizione della traslazione τ e della dilatazione δ, si ottiene applicando prima δ e poi τ; mentre la trasformazione T2 si ottiene applicando prima τ e poi δ.

• T1: γ γδ τ: | | :y x yx

yx

yx

yx

= → = ↔ = → ′ + =−

↔ =−

−23 6

41

6

1

64

• T2: γ γτ δ: | | :y x y x y x yx

yx

= → + = − ↔ = − − → ′ = − − ↔ = − −4 1 1 4 23

1 412 3

1 2

y=|x| y=1/6|x-1|-4 y=1/2|x/3-1|-2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5





3. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni indicando le trasformazioni che consentono di ottenerli a partire dal grafico di

opportune funzioni elementari.

• y x= −2 3 = 232

x −

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x= utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ Una dilatazione sulle y di rapporto n=2 ed una traslazione sulle x verso destra di modulo p = 3/2:

( )y x y x y x= → = → = −

δ

τ1 2

03

22 23

2,

,

∗ Una traslazione sulle y verso il basso di modulo q= -3 ed una compressione sulle x di rapporto m=1/2:

( )y x y x y x= → = − → = −−

τ

δ0 3

1

21

3 2 3,,

y=x y=2x y=2x-3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y=x y=x-3 y=2x-3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4





• y x x= +14

2 = ( ) ( ) ( )[ ] ( )14

414

4 4 414

2 414

2 12 2 2 2x x x x x x+ = + + − = + − = + −

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x= 2 utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ Una traslazione sulle x verso sinistra di modulo p=-2 e sulle y verso il basso di modulo q= -4 ed una compressione sulle y di rapporto n=1/4:

( ) ( ) ( )( )y x y x y x= → = + − → = + −− −

2 2 4 21

1

4 22 41

42 4τ

δ,

,

∗ Una dilatazione sulle x di rapporto m=2 ed una traslazione sulle x verso sinistra di modulo p = -2 e sulle y verso il basso di modulo q = -1:

( ) ( ) ( )y x yx

x y x= → =

= → = + −− −2 2 12

2 2 1 2

214

14

2 1δ τ, ,

y = x ^ 2 y = ( x + 2 ) ^ 2 - 4 y = 1 / 4 x ^ 2 + x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y=x^2 y = 1 / 4 x ^ 2 y = 1 / 4 x ^ 2 + x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5





• y x= − − +3 6 1 = − − + = − − −

3 2 1 3 213

x x

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x= utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ Una simmetria rispetto all'asse x, una dilatazione su y di rapporto n=3, una traslazione su x verso destra di modulo p=2 e su y verso l'alto di modulo q=1. ( ) ( )y x y x y x y xx= → = − → = − → = − − +σ δ τ1 3 2 13 3 2 1, ,

∗ Una traslazione su x verso destra di modulo p=2 e su y verso il basso di modulo q=-1/3, una simmetria rispetto all'asse x, una dilatazione su y di rapporto n=3:

( )y x y x y x y xx= → = − − → = − − −

→ = − − −

−

τ

σ δ2

1

3 1 321

32

1

33 2

1

3

,,

y=|x| y=-|x| y=-3|x| -|3x-6|+1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y=|x| y=|x-2|-1/3 y=-(|x-2|-1/3)-|3x-6|+1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5





• yxx

=++

6 22 3

= −+

+ = −+

+ = −+

+7

2 33

72

32

37

2

132

3x x x

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da yx

=1

utilizzando, ad esempio, la seguente trasformazione:

un'affinità di rapporti m=1, n=-7/2 ed una traslazione di moduli p=-3/2 e q=3.

yx

yx

yx

= → = − ⋅ → = − ⋅+

+−

−

1 7

2

1 7

2

13

2

31

7

2

3

23α τ, ,

4. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari:

• ( )f x x= +2 4 : è una funzione pari, poiché ( ) ( ) ( )f x x x f x− = − + = + =2 24 4

• ( )f x x= ⋅5 3 : è una funzione dispari, poiché ( ) ( ) ( )f x x x f x− = ⋅ − = − ⋅ = −5 53 3

• ( )f x x x= + +2 1: non è né pari né dispari, poiché ( ) ( ) ( ) ( )( )

f x x x x xf x

f x− = − + − + = − + ≠

−

2 21 1

y=1/x y=-7 /2*1 /x y= (6x+2 ) / ( 2x+3 )

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6


4 Equazioni, disequazioni e sistemi



EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme degli zeri della funzione: determinarli significa risolvere l' equazione, nell'incognita x, ( )f x = 0.

Gli elementi del dominio per cui f assume un prefissato valore reale k costituiscono l' insieme di livello k della funzione. L' insieme di positività della funzione è costituito dall'insieme degli x del dominio di f per cui risulta ( )f x > 0 , che è una

disequazione nell'incognita x. Analogamente si possono considerare l' insieme di negatività, definito da f(x)<0, l' insieme di non negatività, definito da f(x)≥0, e l' insieme di non positività, definito da f(x)≤0. Osservazione: graficamente l'insieme degli zeri di f è costituito dai punti di intersezione tra il grafico della funzione e l'asse x; l'insieme di livello k è costituito dai punti di intersezione tra il grafico della funzione e la retta y=k; l'insieme di positività è l'insieme degli x∈ dom f per cui il grafico di f si svolge "al di sopra" dell'asse x. Definizione: si ha un sistema di equazioni quando, assegnate due o più equazioni, si vuole determinare l'intersezione degli insiemi delle loro soluzioni. Definizione: due equazioni ( ) ( )f x g x= e ( ) ( )~ ~f x g x= si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è anche soluzione

della seconda e ogni soluzione della seconda è anche soluzione della prima. In modo analogo si definisce l'equivalenza di disequazioni, di sistemi di equazioni e di sistemi di disequazioni.





Proposizione: l'equazione ( ) ( )f x g x= (1) (che ha significato solo se x dom f dom g∈ ∩ ) si trasforma in una equazione

equivalente aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri una medesima funzione definita in R. Dall'equazione (1) si ottiene un'equazione equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima funzione definita in R e diversa da zero. Proposizione: la disequazione ( ) ( )f x g x> (2) (x dom f dom g∈ ∩ ) si trasforma in una disequazione equivalente aggiungendo o

sottraendo ad ambo i membri una medesima funzione definita in R. Dalla (2) si ottiene una disequazione equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima funzione definita in R e strettamente positiva. Moltiplicando o dividendo ambo i membri della (2) per una funzione h(x) definita in R e strettamente negativa si ottiene la disequazione equivalente ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x⋅ < ⋅ .

Analoghe considerazioni possono essere fatte per disequazioni in cui compaiono simboli< ≤ ≥, , oppure .

ESEMPI

Equazioni e disequazioni di primo grado

Un'equazione di primo grado ha la forma ax b+ = 0, dove a, b∈ R.

se a ≠ 0 l'equazione è determinata ed ha la soluzione xba

= − ;

se a = 0 e b ≠ 0 l'equazione non ha soluzioni e viene detta impossibile;

se a = 0 e b = 0 l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore di x e viene detta identità.





Graficamente l'equazione ax b+ = 0 rappresenta il punto di intersezione (se a≠0) tra la retta y ax b= + e l'asse delle ascisse. 1. Determinarne l'insieme degli zeri e l'insieme di positività della funzione ( )f x x= − +3 2 . Interpretare graficamente i risultati

ottenuti.

Per determinare l'insieme degli zeri di f risolviamo l'equazione ( )f x x x= ↔ − + = ↔ =0 3 2 023

Per determinare l'insieme di positività di f risolviamo la disequazione ( )f x x x x> ↔ − + > ↔ − > − ↔ <0 3 2 0 3 223

La retta ha un solo punto di intersezione con l'asse x P = (2/3,0 ). Il grafico di f si svolge al di sopra dell'asse delle ascisse per tutti gli x∈(-∞,2/3).

y= -3x+2 I ns ieme d i pos i t i v i tà i n t e r s e z i o n e c o n a s s e x

-3 -2 -1 0 1 2 3-15

-10

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

P=(2 /3 ,0 )





Equazioni e disequazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado ha la forma ax bx c2 0+ + = , dove a, b,c∈ R, con a≠0.

L'espressione ∆ = −b ac2 4 è detta discriminante. Abbiamo 3 casi possibili:

• se ∆ > 0 l'equazione ha due soluzioni distinte xb

a1 2 2, =− ± ∆

;

• se ∆ = 0 l'equazione ha un'unica soluzione (o due soluzioni coincidenti) xba

= −2

;

• se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali . Graficamente l'equazione ax bx c2 0+ + = rappresenta i punti di intersezione (se esistono) tra la parabola y ax bx c= + +2 e l'asse delle ascisse. 2. Risolvere, interpretandole graficamente, le seguenti disequazioni di secondo grado: • x x2 5 6 0− + >

Graficamente dobbiamo determinare i valori di x per cui la parabola 65: 2 +−= xxyγ sta al di sopra dell'asse delle ascisse.





y=x^2-5x+6 Intersezioni con asse x Insieme di positività

-1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

Osservazione : in generale, assegnata la parabola di equazione y ax bx c= + +2 , il vertice è il punto Vb

a a= − −

2 4

,∆

;

se a>0 la concavità è rivolta verso l'alto, se a<0 verso il basso.

Determiniamo gli zeri di γ risolvendo l'equazione x x2 5 6 0− + = :

( )∆ = − − ⋅ = =±

⇒=

=5 4 6 1

5 1

2

2

32

1 21

2

, ,xx

x

Dal disegno osserviamo che il grafico della parabola si svolge al di sopra dell'asse x per x∈(-∞,2) ∪ (3,+∞). Otteniamo il grafico di γ partendo dal grafico di y x= 2 con la seguente

trasformazione: y x y x x x= → = −

− = − +−

2

5

2

1

42

25

2

1

45 6

τ ,

Il vertice di γ è, quindi, il punto V = (5/2,-1/4).





• x x2 2 3 0+ + >

y = x ^ 2 + 2 x + 3 I ns i eme d i pos i t i v i t à

-5 0 5

-1

0

1

2

3

4

5

• x x2 4 4 0− + ≤

y = x ^ 2 - 4 x + 4 I n t e r s e z i o n e c o n a s s e x I n s i e m e d i n o n p o s i t i v i t à

-2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

La parabola γ : y x x= − +2 4 4 ha: - il vertice nel punto V = (2,0) - una sola intersezione con l'asse x nel punto x=2, essendo ∆= 0, - la concavità rivolta verso l'alto (a=1>0). Dobbiamo determinare gli x per cui la parabola γ sta al di sotto o interseca l'asse x: la soluzione della disequazione è x=2.

La parabola γ :y x x= + +2 2 3 ha il vertice nel punto V = (-1,2),

non ha intersezioni con l'asse x, essendo ∆= -8<0 e la concavità è rivolta verso l'alto (nel passaggio da y=x2 a γ non ci sono simmetrie). Quindi il grafico di γ si svolge al di sopra dell'asse x e pertanto la disequazione è verificata da qualsiasi x∈R.





• − + − ≥x x2 9 18 0

y = - x ^ 2 + 9 x - 1 8 I n t e r s e z i o n i c o n a s s e x I n s i e m e d i n o n n e g a t i v i t à

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Equazioni e disequazioni fratte

3. Determinare l'insieme dei numeri reali per cui risulta ( )f xxx

= −−

≥42 1

0 (3)

• Primo metodo L'insieme delle soluzioni della (3) è l'unione delle soluzioni dell'equazione f(x) = 0 e delle disequazione f(x)>0. Un quoziente è nullo se e solo se è nullo il suo numeratore: quindi ( )f x x x S= ↔ − = ↔ = =0 4 0 4 1 .

Un quoziente è strettamente positivo se il numeratore ed il denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi. Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione f(x)>0 corrisponde all'unione delle soluzioni dei sistemi I e II:

Consideriamo la parabola γ :y x x= − + −2 9 18; essa ha:

- il vertice nel punto V = (9/2, 9/4),

- due intersezioni con l'asse x (x1= 3, x2= 6) essendo ∆= 9>0,

- la concavità rivolta verso il basso (a = -1<0).

Il grafico della parabola si svolge al di sopra o interseca l'asse x

nell'intervallo chiuso [3, 6].





y=x -4 y=2x-1

- 1 0 -5 0 5 1 0- 1 0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 0

y=x -4 y=2x-1

- 1 0 -5 0 5 1 0- 1 0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 0

( ) ( )Ix

x

x

x: , , ,

− >

− >

↔>

>

↔ +∞ ∩ +∞

= +∞4 0

2 1 0

4

1

2

41

24

( )IIx

x

x

x: , , ,

− <− <

↔<

<

↔ −∞ ∩ −∞

= −∞

4 0

2 1 0

4

1

2

41

2

1

2





Unendo le soluzioni dei sistemi I e II otteniamo: ( )S 2

1

24= −∞

∪ +∞, , .

La soluzione S della disequazione (3) è, dunque: [ )S S S= ∪ = −∞

∪ +∞1 2

12

4, ,

• Secondo metodo Risolviamo la disequazione graficamente, cercando l'insieme di non negatività di f(x).

y= (x -4 ) / (2x -1 ) I n s i e m e d i n o n n e g a t i v i t à

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Otteniamo il grafico di f(x) partendo da y=1/x ed applicando la trasformazione τ(1/2,12)⋅α(1,-7/4).





• Terzo metodo

Risolviamo la disequazione algebricamente, studiando il segno del numeratore e del denominatore, per mezzo della tabella seguente: N x≥ ↔ ≥0 4

D x> ↔ >012

In generale il segno di una funzione razionale si può studiare in modo algebrico usando la regola seguente

1. Si studia la positività di ogni fattore di I o di II grado facendo corrispondere ad ogni disequazione un asse orizzontale della tabella.

2. Su ciascun asse si riportano le zone di positività (linea continua) e di negatività (linea tratteggiata) del corrispondente fattore.

3. Si esegue il prodotto dei segni dei fattori nei singoli intervalli: la soluzione è l'unione degli intervalli in cui si è ottenuto il segno +, se è richiesto l'insieme di positività, o il segno -, se è richiesto l'insieme di negatività.

4 R

1/2

+ - +





4. Risolvere graficamente la disequazione x x2 2+ >

Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione y x x= +2 si svolge al di sopra del grafico della funzione y = 2 .

Osservazione: in generale il grafico della funzione ( )y f x= coincide con quello di f(x) nell'insieme dei punti in cui f è positiva o

nulla, mentre è ottenuto applicando a f una simmetria rispetto all'asse x nell'insieme dei punti in cui f è negativa.

y=|x^2+x|y = 2 so luz ione

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

x1 x2

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in due punti di ascissa x1 e x2. Il grafico della funzione y=|x2+x| si svolge al di sopra del grafico della funzione y=2 per ( ) ( )x x x∈ −∞ ∪ +∞, ,1 2 .

Otteniamo x1 e x2 intersecando il ramo di y=|x2+x| "non ribaltato" (y= x2+x) con y=2, vale a dire risolvendo l'equazione x x2 2+ = , le cui soluzioni sono x x1 22 1= − = e . Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è :

( ) ( )S = −∞ − ∪ +∞, ,2 1





5. Risolvere graficamente la disequazione x x4 23 4< + Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione y x= 4 si svolge al di sotto del grafico della funzione y x= +3 42 .

y=x^4 y=3x^2+4 soluzione

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

x1 x2

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in due punti di ascissa x1 e x2. Il grafico della funzione y=x4 si svolge al di sotto del grafico della funzione y=3x2+2 per ( )x x x∈ 1 2, .

Otteniamo x1 e x2 intersecando le due curve, vale a dire risolvendo l'equazione x x4 23 4= + (4). La (4) è una equazione biquadratica: si può ricondurre ad una equazione di secondo grado mediante la sostituzione x t2 = :

x x t tt x x

t xx t4 2 2 1

21 2

22

3 4 0 3 4 04 4 2

1 1

2

− − = ← → − − = →= → = → = ±= − → = − →

= ,

impossibile

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è : ( )S = −2 2,


5 Polinomi



POLINOMI

RICHIAMI DI TEORIA

Definizione: un polinomio ( o funzione polinomiale) nella variabile x di grado n a coefficienti reali ha la forma

( )A x a a x a xn nn= + + ⋅ ⋅ ⋅ +0 1 1 , dove a a a n0 1, , ... , sono numeri reali assegnati e a n ≠ 0. Ogni singolo addendo a xk

k si dice

monomio di grado k ed il numero a k si dice coefficiente del termine di grado k. Il grado di un polinomio è determinato dalla massima potenza di x il cui coefficiente è non nullo. Proposizione (Principio di identità dei polinomi): due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.

Definizione: dati due polinomi ( )A xn e ( )B xm , la funzione ( ) ( )( )

f xA x

B xn

n

= viene detta funzione razionale (o funzione razionale

fratta); essa è definita in tutto R esclusi gli eventuali punti x in cui ( )B xm = 0 .

Teorema: siano ( )A xn e ( )B xm due polinomi, rispettivamente di grado n ed m, con n m≥ . Esistono due polinomi ( )Q x e

( )R x tali che :

• il grado di ( )R x è strettamente minore di m;

• vale la relazione ( ) ( ) ( ) ( )A x B x Q x R xn m= ⋅ + . (1)

Il polinomio ( )Q x , di grado n-m, è detto quoziente della divisione e il polinomio ( )R x resto della divisione.


5 Polinomi



Definizione: se nella relazione (1) il polinomio ( )R x è il polinomio nullo allora si dice che ( )A xn è divisibile per ( )B xm o che

( )B xm è divisore di ( )A xn .

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio ( )A xn sia divisibile per x c− è che ( )A cn = 0.(2)

Definizione: un numero c tale che ( )A cn = 0 è detto radice o zero del polinomio ( )A xn . Le radici di ( )A xn si dicono anche

radici o soluzioni dell'equazione ( )A xn = 0 .

Definizione: un polinomio ( )A xn di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non esiste nessun divisore di ( )A xn che abbia grado m

con 0<m<n. Teorema: nell'insieme dei polinomi a coefficienti reali vi sono due tipi di fattori irriducibili: i binomi di primo grado e i trinomi di secondo grado a discriminante negativo. Ogni polinomio ammette una fattorizzazione del tipo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x a x c x c x p x q x p x qn n

m

k

m l

h h

lk h= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +12

1 121 1 (3)

I numeri c c ck1 2, , ... , sono le radici reali distinte di ( )A xn di molteplicità, rispettivamente, m m mk1 2, , ... , , mentre i trinomi di

secondo grado della (3) hanno discriminante negativo e vale la relazione m m m l l nk h1 2 12 2+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ = .


5 Polinomi



ESEMPI

Ricordiamo che:

• ( )a x b x a b xkk

kk

k kk+ = + somma di due monomi di uguale grado (monomi simili)

• ( )a x b x a b xkk

kk

k kk− = − differenza di due monomi di uguale grado

• a x c x a c xkk

pp

k pk p⋅ = + prodotto di due monomi

• a x

c x

a

cxk

k

pp

k

p

k p= − (se k ≥ p e cp ≠ 0) quoziente di due monomi


5 Polinomi



1. Eseguire le seguenti operazioni tra polinomi

• ( ) ( )3 2 4 2 5 2 33 2 3 2x x x x x− + − + − + = 3 2 4 10 2 4 63 2 3 2x x x x x− + − − + − = ( ) ( ) ( )3 10 2 2 4 4 63 2− + − − + + −x x x =

= − − + −7 4 4 23 2x x x .

• ( )[ ]{ }6 6 4 4 3 5 2 72 2x ax x ax ax x− − − + − − − + = [ ]6 6 4 4 3 5 2 72 2x ax x ax ax x− + + + − − + + =

= 6 6 4 4 3 5 2 72 2x ax x ax ax x− + + + − − + + = ( ) ( )6 3 4 2 7 6 4 52+ + − + + − + −x a a a x = ( )9 5 7 72x a x+ + −

• ( )− ⋅ + − −3 2 4 32 4 3x x x x = ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −3 3 2 3 4 3 32 4 2 3 2 2x x x x x x x = − − + +3 6 12 96 5 3 2x x x x

• ( ) ( )2 3 2 12x x x− + ⋅ − = ( ) ( ) ( )2 1 3 1 2 12x x x x x⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = 2 2 3 3 2 23 2 2x x x x x− − + + − = 2 5 5 23 2x x x− + −

• ( ) ( ) ( )x x x− ⋅ − ⋅ −1 2 3 3 5 = ( ) ( )2 3 2 3 3 52x x x x− − + ⋅ − = ( ) ( )2 5 3 3 52x x x− + ⋅ − = 6 10 25 25 9 153 2 2x x x x x− − + + − =

6 35 34 153 2x x x− + − .

• 4 3 5

2

5 3 2

2

x x x

x

+ − =

4

2

3

2

5

2

5

2

3

2

2

2

x

x

x

x

x

x+ − =

42

32

52

5 2 3 2 2 2x x x− − −+ − = 232

52

3x x+ −


5 Polinomi



Prodotti notevoli

• ( ) ( )x a x a+ ⋅ − = x a2 2− differenza di quadrati

• ( )x a+ 2 = x ax a2 22+ + quadrato di un binomio

• ( )x a+ 3 = x ax a x a3 2 2 33 3+ + + cubo di un binomio

• ( ) ( )x a x ax a+ ⋅ − +2 2 = x a3 3+ somma di cubi

• ( ) ( )x a x ax a− ⋅ + +2 2 = x a3 3− differenza di cubi

2. Calcolare i seguenti prodotti notevoli:

• ( ) ( )3 4 3 4x a x a− ⋅ + = ( ) ( )3 42 2x a− = 9 162 2x a−

• ( )2 5 2x − = ( )[ ]2 52

x + − = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 5 52 2x x+ ⋅ ⋅ − + − = 4 20 252x x− +

• ( )3 2 3x − = ( )[ ]3 23

x + − = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 3 2 3 3 2 23 2 2 3x x x+ − + − + − = 27 54 36 83 2x x x− + −

• ( )( )x x x− + +2 2 42 = x3 32− = x3 8−

• ( ) ( )2 4 22 2x a x ax a+ ⋅ − + = ( )2 3 3x a+ = 8 3 3x a+


5 Polinomi



3. Eseguire le seguenti divisioni applicando, se è possibile la regola di Ruffini.

• ( ) ( )3 4 7 1 14 3 2 2x x x x x x− + − + ÷ − +

Non è possibile applicare l'algoritmo di Ruffini, in quanto il polinomio divisore non è della forma x c− ; eseguiamo, quindi, la

divisione :

3 4 7 14 3 2x x x x− + − + x x2 1− +

( )Q x x x= − +3 32 , ( )R x x= −3 2 .

3 3 34 3 2x x x− + 3 32x x− +

/ / − + − +x x x3 24 1

− + −x x x3 2

/ / / /3 12x +

3 3 32x x− +

/ / + −3 2x

1. I polinomi A4(x) (dividendo) e B2(x) (divisore) sono ordinati secondo

potenze decrescenti.

2. Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A4(x) e

B2(x): 3x4/x2=3x2.

3. Calcoliamo il prodotto 3x2⋅ B2(x) = 3x4-3x3+3x2.

4. Calcoliamo R3(x) = A4(x)- 3x2⋅ B2(x)= -x3+4x2-x+1.

5. Ripetiamo il procedimento dividendo il monomio di grado più

elevato di R3(x) con il monomio di grado massimo di B2(x),

ottenendo il quoziente parziale Q1(x)= -x ed il resto parziale R2(x) =

3x2+1.

6. L'algoritmo termina quando il grado del resto ottenuto è minore del


5 Polinomi



• ( ) ( )x x x3 7 6 1− + ÷ +

Il polinomio divisore è di primo grado, riconducibile alla forma ( )x c− : ( ) ( )( )x x+ = − −1 1 ; possiamo, quindi, effettuare la

divisione utilizzando l'algoritmo di Ruffini :

1 0 -7 6

1

-1 -1

-1

1

-6

6

12

coefficienti del dividendo | termine noto

c =

coefficienti quoziente

( )Q x x x= − −2 6 resto R = 12


5 Polinomi



4. Scrivere la seguente funzione razionale come somma di un polinomio e di una funzione razionale il cui numeratore ha grado

minore del denominatore. ( )f xx x x

x=

+ + +−

3 10 3

2

5 3 2

3

Consideriamo la funzione razionale ( ) ( )( )

f xA x

B xn

n

= e supponiamo n ≥ m.

Dalla la relazione

( ) ( ) ( ) ( )A x B x Q x R xn m= ⋅ +

dividendo ambo i membri per ( )B xm , otteniamo:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )f x

A x

B xQ x

R x

B xn

m m

= = +

dove il grado di R(x) è minore di m.

Nel nostro caso ( )A x x x x55 3 23 10 3= + + + e ( )B x x3

3 2= − .

Dividendo A5 per B3, otteniamo ( )Q x x= +3 102 e ( )R x x= +7 232

Quindi : ( )f x xx

x= + +

+−

3 107 23

22

2

3


5 Polinomi



5. Dire se il polinomio ( )A x x x x x44 3 212 11 5 14 8= − + − + è divisibile per i seguenti polinomi di primo grado:

• ( )x − 3

Applicando il teorema (2), abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A4

4 3 23 12 3 11 3 5 3 14 3 8 972 297 45 42 8 686 0= − + − + = − + − + = ≠

A4 non è divisibile per ( )x − 3

• ( )x + 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A4

4 3 21 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 50 0− = − − − + − − − + = + + + + = ≠

A4 non è divisibile per ( )x + 1

• ( )x − 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A4

4 3 21 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 0= − + − + = − + − + =

A4 è divisibile per ( )x − 1


5 Polinomi



6. Scomporre in fattori i seguenti polinomi

• ( )x x x4 3 2+ + = ( )x x x2 2 1+ +

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore totale . Il trinomio di secondo grado ( )x x2 1+ + è irriducibile avendo il

discriminante ∆ = −3 negativo.

• ( )x x x3 23 4 12− − + = ( ) ( )x x x2 3 4 3⋅ − − ⋅ − = ( ) ( )x x x2 3 4 3⋅ − − ⋅ − = ( ) ( )x x− ⋅ −3 42 = ( ) ( ) ( )x x x− ⋅ − ⋅ +3 2 2 .

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore parziale e, successivamente, abbiamo usato il prodotto notevole differenza di quadrati.

• x 6 64−

Ricordiamo la seguente

Proposizione: il binomio x an n− è sempre divisibile per x a− ; se n è pari è divisibile anche per x a+ . Pertanto x 6 64− = x 6 62− risulta divisibile per x − 2 e per x + 2 .

Possiamo scomporre il binomio utilizzando, ad esempio, l'algoritmo di Ruffini oppure vedendolo prima come differenza di

quadrati e poi come somma e differenza di cubi:


5 Polinomi



( )x6 64− = ( ) ( )x x3 38 8− ⋅ + = ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x− ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +2 2 4 2 2 42 2 = ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x− ⋅ + ⋅ + + ⋅ − +2 2 2 4 2 42 2

I trinomi di secondo grado sono irriducibili avendo entrambi il discriminante negativo.

• x 5 243+

Ricordiamo la seguente: Proposizione: il binomio x an n+ è divisibile per x a+ ; se n è dispari; se n è pari non è divisibile né per x a− né per x a+ . Pertanto x 5 243+ = x5 53+ risulta divisibile per x + 3. Eseguiamo la divisione con l'algoritmo di Ruffini:

Quindi x 5 243+ = ( ) ( )x x x x x+ ⋅ − + − +3 3 9 27 814 3 2 .

1 0 0 243

1

-3 -3

-3

9

9

-243

0

( )Q x x x x x= − + − +4 3 23 9 27 81

0 0

-27 81

-27 81

R = 0


5 Polinomi



• ( )A x x x x33 23 25 21= + − +

Ricordiamo le seguenti regole :

Regola 1: le eventuali radici intere di ( )A x x a x ann

nn= + + ⋅ ⋅ ⋅ +−

−1

10 , dove a an−1 0, ..., sono interi, sono da cercare tra i

sottomultipli di a0, compresa l'unità, presi sia con il segno positivo, sia con il segno negativo.

Regola 2: le eventuali radici razionali di ( )A x a x a x ann n

nn= + +⋅⋅⋅ +−

−1

10 , dove a an ,..., 0 sono interi, sono da cercare tra i

razionali della forma ± p q/ , dove p è un sottomultiplo di a0, compresa l'unità, mentre q è un sottomultiplo di an, compresa

l'unità.

Applicando la regola 1: i sottomultipli del termine noto a0 = 21 sono ±1, ±3, ±7, ±21; Abbiamo ( )A3 1 0= , ( )A3 3 0= , ( )A3 7 0= ,

vale a dire 1, 3, 7 sono radici di A3; quindi A3 è divisibile per i polinomi di primo grado x-1, x-3, x-7:

x x x3 23 25 21+ − + = ( )( )( )x x x− − −1 3 7


7 Funzioni Radice



FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA

( )f x xn= dom f Im f grafici

n dispari R R

n = 3 n = 5

n = 7 n = 9

-2 -1 0 1 2-2

- 1 . 5

-1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

n pari [ )0,+∞ [ )0,+∞

n = 2 n = 4

n = 6 n = 8

- 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

Gra f i c i d i f unz ion i rad i c i con n pa r i


7 Funzioni Radice



Proposizione: le funzioni radice verificano le relazioni:

( ) [ )x x x nnn

= ∈ +∞ ≥ per ogni 0 1, ,

[ )x x x nnn = ∈ +∞ ≥ per ogni 0 1, ,

Proposizione: siano a e b numeri reali tali che a, b ≥ 0 e siano n ed m numeri naturali tali che n, m ≥ 1. Valgono le seguenti proprietà: 1. ab a bn n n= ⋅

2. a

b

a

bn

n

n=

3. ( )a anm mn=

4. a anm n m= ⋅

5. a am nn m= ⋅ Definizione:

se n∈N, n ≠ 0 e se x ≥ 0 definiamo x xn n1

= ;

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x ≥ 0 definiamo x xpq pq= ;

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x> 0 definiamo q

pq

p

x

x1

=−

.


7 Funzioni Radice



ESEMPI

1. Ridurre allo stesso indice i radicali seguenti 5 , 24 , 38 , 712 . Calcoliamo il m.c.m tra gli indici dei radicali: ( )m c m. . , , ,2 4 8 12 24=

Utilizzando la proprietà (5) possiamo scrivere: 5 5 5 5242

2242 122 12 1224= = =

⋅⋅ , 2 2 24 64 6 624= =⋅ , 3 3 38 38 3 324= =⋅ ,

7 7 712 212 2 224= =⋅

2. Semplificare l'espressione a bm mm 2 2 13 3 + ++ ⋅ , dove a, b ≥ 0.

Utilizzando la proprietà (5), abbiamo:

( )( ) ( )( )a b a b a b a bm mm m mm mm2 2 13 3 2 1 13 1 2 13 1 23+ ++ + ++ ++⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

3. Ridurre 1

2x

xy ad un unico radicale, supponendo x>0 e y ≥0.

Applicando le proprietà delle radici otteniamo:

1

2

1

2

1

2

1

2 2

2 2

2x

xy

x

xy

x

xy

x

xy y

x=

⋅ =

⋅ = ⋅ =


7 Funzioni Radice



4. Date le seguenti espressioni, portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della radice.

• 50 2 5 3a b x con a, b, x ≥0

In generale, applicando le proprietà delle radici, abbiamo a b a b a bnn nn n n⋅ = ⋅ = , supponendo a, b ≥ 0. Cerchiamo di isolare nel radicando un fattore di esponente 2 (indice della radice):

( )50 2 5 5 2 5 22 5 3 2 2 4 2 2 2 2a b x a b b x x ab x bx ab x bx= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

• 8 2 3 4x y z

Osserviamo che, a differenza dell'esercizio precedente, in questo caso non è stato specificato il campo di variabilità di x e y: occorre, dunque, applicare le proprietà con una certa cautela (ricordiamo che le proprietà sono valide se i fattori che compongono il radicando sono positivi).

In generale, per ogni x∈R, xx x

x xx2 0

0=

≥− <

= se

se , poiché la radice quadrata, come ogni radice di indice pari, è una quantità

positiva.

Tenendo conto di questa osservazione abbiamo: ( )8 2 2 2 2 2 22 3 4 2 2 2 2x y z xyz y xyz y z xy y= ⋅ = ⋅ = ⋅


7 Funzioni Radice



5. Dire per quali valori di x la relazione ( ) ( ) ( )x x x x2 66 5 6 2 3+ + = + ⋅ + è corretta.

Ponendo, per comodità, x x y2 5 6+ + = , la relazione diventa: y y66 = .

Poiché yy y

y y66

0

0=

≥− <

se

se , deduciamo che i valori di x da considerare sono quelli per cui y ≥0,

vale a dire ( ] [ )x ∈ −∞ − ∪ − +∞, ,3 2

6. Determinare il dominio delle funzioni ( )f x x12 4= − , ( )f x x x2 2 2= − ⋅ + , ( )g x x1

33 1= − ,

( )g x x x x23 231 1= − ⋅ + + e dire per quali valori di x valgono le relazioni: ( ) ( )f x f x1 2= e ( ) ( )g x g x1 2= .

Il dominio di f1 è { }x x∈ − ≥R: 2 4 0 , vale a dire ( ] [ )dom f 1 2 2= −∞ − ∪ +∞, , .

La funzione f2 è il prodotto di due radici quadrate: il suo dominio è l'intersezione dei domini delle funzioni y x= − 2 e

y x= + 2 , vale a dire { } { } [ )dom f x x x x2 2 2 2= ∈ ≥ ∩ ∈ ≥ − = +∞R R: : , .

L'uguaglianza delle due funzioni f1 e f2 è verificata solo nell'intersezione dei loro domini:

( ) ( ) [ )f x f x x f f1 2 1 2 2= ↔ ∈ ∩ = +∞dom dom ,

Le radici cubiche, come tutte le radici di indice dispari, non danno problemi; abbiamo: dom g1 = R e dom g2 = R . quindi:

( ) ( )g x g x x g g1 2 1 2= ↔ ∈ ∩ =dom dom R


7 Funzioni Radice



7. Risolvere algebricamente ed interpretare geometricamente l'equazione irrazionale 2 6 1x x+ = − . Dobbiamo tenere conto del campo di definizione e della positività della radice a primo membro: - la radice quadrata esiste se e solo se il radicando è positivo o uguale a zero: 2 6 0 3x x+ ≥ ↔ ≥ − . - la radice quadrata è una quantità positiva, quindi il secondo membro dell'equazione deve essere positivo: x x− ≥ ↔ ≥1 0 1

L'equazione ha significato se queste condizioni sono verificate contemporaneamente: x

xx

≥ −≥

⇒ ≥3

11.

Elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione, otteniamo:

2 6 2 1 4 5 0 1 52 21 2x x x x x x x+ = − + ↔ − − = ↔ = − =,

Solo x2 verifica la condizione di esistenza, ed è, pertanto, l'unica soluzione accettabile.

y=rad(2x+6) y=x-1 pun to d i in te rsez ione

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Geometricamente, la soluzione dell'equazione rappresenta il punto (abbiamo visto, algebricamente, che l'equazione ha una sola soluzione) di intersezione

tra i grafici delle funzioni y x= +2 6 e y x= − 1.

Possiamo disegnare il grafico di ( )y x x= + = +2 6 2 3 partendo dal

grafico di y x= ed applicando le trasformazioni:

( ) ( )y x y x y x= → = → = +

−

δτ

1

21

3 02 2 3,

,


7 Funzioni Radice



8. Risolvere algebricamente ed interpretare geometricamente l'equazione irrazionale 7 63 x x− = . Geometricamente, la soluzione dell'equazione rappresenta il/i punto/i di intersezione tra i grafici delle funzioni y x= −7 63 e

y x= .

y = r a d c u b ( 7 x - 6 ) y=x p u n t i d i i n t e r s e z i o n e

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Dal disegno osserviamo che le due curve hanno 3 punti di intersezione: per determinarli risolviamo algebricamente l'equazione, elevando ambo i membri al cubo:

( )( )( )7 6 7 6 7 6 0 3 1 2 0 3 1 23 3 3x x x x x x x x x x x x− = ↔ − = ↔ − + = ↔ + − − = ↔ = − ∪ = ∪ =

Possiamo tracciare il grafico di

y x x= − = −

7 6 76

73 3 , partendo da quello di

y x= 3 , con le seguenti trasformazioni:

y x y x y x= → = → = −

3

1

71

3

6

70

37 76

7

δ τ, ,

.


7 Funzioni Radice



9. Risolvere graficamente e algebricamente la disequazione irrazionale 16 5 2− ≤ −x x . • soluzione grafica Disegniamo i grafici delle funzioni ( )f x x1 16 5= − e ( )f x x2 2= − . Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f1 si svolge al di

sotto del grafico di f2 o coincide con esso.

y = r a d ( 1 6 - 5 x ) y=x -2 p u n t o d i i n t e r s e z i o n es o l u z i o n e

-1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 6 / 5x1

Osserviamo che le due curve hanno un punto di intersezione x1 >0: il grafico di f1 sta al di sotto del grafico di f2 per x x∈

1

16

5, .

Per determinare x1 risolviamo l'equazione 16 5 2− = −x x ; elevando ambo i membri al quadrato si ha:

16 5 2 16 5 4 4 12 0 4 32 2− = − ↔ − = − + ↔ + − = ↔ = − ∪ =x x x x x x x x x

Poiché x1>0, abbiamo x1 3= .

Il grafico di ( )f x x x1 16 5 516

5= − = − −

si può ottenere al partire dal

grafico di y x= con le trasformazioni:

y x y x y x y xy= → = − → = − → = − −

σ δ τ

1

51

16

50

5 516

5

, ,


7 Funzioni Radice



• soluzione algebrica

Osservazione:

La disequazione irrazionale della forma ( ) ( )f x g xn < equivale a :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( )( ) ( )[ ]

f x g x f x g x n

f x g x

f x

g x

f x g x

n

nn

n

n

< ↔ <

< ↔

≥

>

<

se è dispari

se è pari

0

0

La disequazione irrazionale della forma ( ) ( )f x g xn > equivale a :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )[ ]

f x g x f x g x n

f x g xf x

g x

g x

f x g xn

nn

nn

> ↔ >

> ↔≥

<

∪≥

>

se è dispari

se è pari0

0

0


7 Funzioni Radice



Applicando le regole suddette alla nostra disequazione, otteniamo:

( )16 5 2

16 5 0

2 0

16 5 2

16

52

12 0

16

52

4 3

316

52 2

− ≤ − ↔− ≥

− >

− ≤ −

↔

≤

>

+ − ≥

↔

≤

>≤ − ∪ ≥

↔ ∈

x x

x

x

x x

x

x

x x

x

x

x x

x ,

10. Risolvere graficamente la disequazione x x2 4 4− > − .

Disegniamo i grafici delle funzioni ( )f x x12 4= − e ( )f x x2 4= − . Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f1 si svolge al di

sopra del grafico di f2 . Osserviamo che il grafico della funzione f1 non si può ottenere a partire da y=√x utilizzando le trasformazioni del piano. Per tracciarne il grafico proseguiamo nel seguente modo: - determiniamo ( ] [ )dom f1 2 2= −∞ − ∪ +∞, , e [ )Im ,f 1 0= +∞ .

- elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione y x= −2 4 otteniamo y x x y2 2 2 24 4= − ↔ − = , che è l'equazione di una iperbole equilatera riferita ai propri assi, con centro nell'origine del sistema di riferimento e vertici nei punti V1 = (-2, 0) e V2 = (2,0).


7 Funzioni Radice



- il grafico di f1 corrisponde ai rami di iperbole al di sopra dell'asse x (infatti [ )Im ,f 1 0= +∞ ).

y=rad(x^2-4)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

- il grafico di f2 si ottiene a partire dal grafico di y=|x| con la seguente trasformazione: ( )y x y x= → = −−τ 0 4 4, .

y=rad(x^2-4)y=|x|-4 so luz ione

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Osserviamo che non vi sono punti di intersezione tra le due curve. Il grafico di f1 si svolge al di sopra del grafico di f2 per ogni

( ] [ )x f f∈ ∩ = −∞ − ∪ +∞dom dom 1 2 2 2, ,


7 Funzioni Radice



11. Risolvere graficamente la disequazione x x− < +1 2| |

Tracciamo i grafici delle funzioni ( )f x x= − 1 e. ( )g x x= +| |2

Osservazione: per costruire il grafico di ( )y f x= a partire da quello di y = f(x) si ripete senza modifiche il grafico di y=f(x) per

x≥0 e lo si estende ai valori negativi di x in modo simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

y=rad( |x | -1 )

y= rad( | x+2 | ) p u n t i d i i n t e r s e z i o n es o l u z i o n e

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

x1

• Grafico di ( )f x x= − 1 : applichiamo la traslazione τ(1,0) a y x= ,

ottenendo ( )f x x1 1= − ; si ha ( ) ( )f x f x= 1

• Grafico di ( )g x x= +| |2 : partendo da g x x1( ) = , abbiamo

( ) ( )g x g x x2 1= = | | ; otteniamo g(x) applicando a g2(x) la traslazione

τ(-2,0). La soluzione della disequazione è ( ] [ )x1 1 1, ,− ∪ +∞ dove x1 è la soluzione

dell'equazione f(x) = g(x). Per risolverla eleviamo al quadrato ambo i membri, ottenendo l'equazione

x x x− = + ↔ = −1 232

| | ,


8 Esponenziali e logaritmi



ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA

dom f Im f grafico

Funzione esponenziale in base a

( )f x a ax= >, 0 R ( )0,+∞

y= (1 .5 ) ^x y=2^x

y=e^x

y=3^x

-5 0 5-1

0

1

2

3

4

5

F u n z i o n i e s p o n e n z i a l i y = a ^ x c o n a > 1

y=(7/10)^x y=(1/2)^x y=(1/3)^x y=(1/4)^x

-5 0 5-1

0

1

2

3

4

5

Funzioni esponenziali y=a^x con 0<a<1

Funzione logaritmo in base a ( )f x x a aa= > ≠log , e 0 1 ( )0,+∞ R

y=log_1.5(x) y=log_2(x) y=log_3(x) y=log_4(x)

-1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Funzioni logaritmo y=log_a(x) con a>1

y=log_2/3(x) y=log_1/2(x) y=log_1/3(x) y=log_1/4(x)

-1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Funzioni logaritmo y=log_a(x) con 0<a<1





Proposizione: la funzione esponenziale e la funzione logaritmo verificano le relazioni:

• a ya ylog 00= per ogni ( )y0 0∈ +∞,

• ( )logaxa x0

0= per ogni x0 ∈R

Proposizione: siamo a, x, y numeri reali positivi, con a≠1; sia z un numero reale; Valgono le seguenti proprietà:

1. log log loga a axy x y= +

2. log log loga a a

xy

x y= −

3. log logaz

ax z x= ⋅

Se, inoltre, b è reale e positivo, b≠1, vale la formula del cambiamento di base dei logaritmi loglog

logba

a

xx

b= .





ESEMPI

1. Calcolare log3

1243

e log53 25

Possiamo procedere in due modi: • usando la definizione di logaritmo:

x xx x= ↔ = ↔ = ↔ =−log351

2433

1243

3 3 5; x xx x= ↔ = ↔ = ↔ =log53 23

2

325 5 5 5 52

3

• utilizzando le proprietà dei logaritmi e l'uguaglianza loga a a a= > ≠1 0 1 per ogni e :

log log log3 35

3

1243

3 5 3 5= = − ⋅ = −− ; log log log53

5

2

3525 5

2

35

2

3= = =

2. Applicando le proprietà dei logaritmi trasformare l'espressione ln , ,x z

ycon x y z

⋅

>

3

54

2

0 in somme algebriche.

( )ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnx z

y

x z

yx z y x z y x z y x z y

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ + −

= ⋅ + −

= + −3

54

23

54

35

4 32 2 25

42 3

5

42 6

5

2





3. Applicando le proprietà dei logaritmi scrivere l'espressione ( ) ( )3 2 1 0ln ln ln ,x y x y con x y− + − + >

Osserviamo che ln(x+y) è ben definito in quanto x+ y>0, essendo per ipotesi x>0 e y>0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 3 32

2 2

3 3 3

6ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnx y x y x y e x ye x

yx y

e x

yx y

e x

y x y− + − + = − + − + =

⋅− + =

⋅

− + =⋅+

4. Determinare il dominio delle funzioni ( ) ( )f x x x12 12= − −ln , ( ) ( ) ( )f x x x2 4 3= − + +ln ln e dire per quali valori di x vale la

relazione: ( ) ( )f x f x1 2= .

Il dominio di f1 è { } ( ) ( )dom f x x x12 12 0 3 4= ∈ − + > = −∞ − ∪ +∞R: , , ;

f2 è somma di due funzioni: il suo dominio si trova facendo l'intersezione tra i domini delle funzioni ( )y x= −ln 4 e ( )y x= +ln 3 ,

vale a dire { } { } ( ) ( ) ( )dom f x x x x2 4 0 3 0 4 3 4= ∈ − > ∩ ∈ + > = +∞ ∩ − +∞ = +∞R R: : , , ,

La relazione ( ) ( )f x f x1 2= è soddisfatta per ( )x f f∈ ∩ = +∞dom dom1 2 4, : infatti, possiamo applicare la proprietà (1) dei logaritmi

se e solo se i fattori che compongono l'argomento del logaritmo sono tutti strettamente positivi. Quindi per x∈(4,+∞) si ha:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x x x x x x x f x12

212 4 3 4 3= − + = − ⋅ + = − + + =ln ln ln ln





5. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

• 3

27

1

3

1

2 52

x

x x

+

+=

I denominatori sono entrambi non nulli (la quantità ax è positiva per qualsiasi valore di x), quindi non vi sono condizioni di esistenza da porre.

( ) ( )3

27

1

3

3

33 3 3 1 5 5 5 6 0 2 3

1

2 5

1

65

11 6 5 2 2

2

2 2x

x x

x

xx x x x

x x x x x x+

+

++

−+ − − +

= ↔ = ↔ = ↔ − = − − ↔ − + = ↔ = ∪ =

• 2 2 3 2 32 1x x x x+ +− = + ⋅ Si ha: 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 5 32 1 2x x x x x x x x x x+ +− = + ⋅ ↔ ⋅ − = ⋅ + ⋅ ↔ ⋅ = ⋅ Poiché entrambi i membri dell'equazione sono positivi possiamo applicare il logaritmo (di base qualsivoglia) ad ambo i membri dell'equazione

( ) ( ) ( )ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnln ln

ln ln

ln

ln3 2 5 3 3 2 5 3 2 3 5 3 2 3 5 3

5 3

2 3

5323

⋅ = ⋅ ↔ + = + ↔ − = − ↔ − = − ↔ =−−

=x x x x x x x x





• 2 8 2 9 02x x+ ⋅ − =

Possiamo ricondurci ad una equazione di secondo grado mediante la sostituzione 2 x t= : t t t t2 8 9 0 1 9+ − = ↔ = ∪ = − . t xx= ↔ = ↔ =1 2 1 0 t x= − ↔ = −9 2 9 impossibile , essendo 2x > 0 per ogni x∈ R 6. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali: • 3 2 01x− − >

Si tratta di trovare l'insieme di positività della funzione y x= −−3 21 .

y = 3 ^ ( x - 1 ) - 2 i n t e r s e z i o n e a s s e x i n s i e m e d i p o s i t i v i t à

- 1 0 1 2 3 4- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

x1

Otteniamo il grafico della funzione partendo da y=3x ed applicando la traslazione τ(1,-2). Il grafico della funzione si svolge al di sopra dell'asse delle ascisse per ( )x x∈ +∞1 , .

Per determinare x1 risolviamo l'equazione: 3 2 0 3 2 1 2 2 11 1

3 3x x x x− −− = ↔ = ↔ − = ↔ = +log log





• 8 322 4 1x x+ +> Risolviamo la disequazione in modo algebrico.

Osservazione: ricordiamo che la disequazione esponenziale della forma ( ) ( )a af x g x> (1) equivale a ( ) ( )( ) ( )

f x g x a

f x g x a

> ><

se

se < <

1

0 1.

Possiamo ricondurre la disequazione nella forma (1) utilizzando le proprietà delle potenze:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 32 2 2 2 2 3 2 5 4 11

172 4 1 3 2 5 4 1 3 2 5 4 1x x x x x x x x x+ + + + + +> ↔ > ↔ > ↔ + > + ↔ <

• 14

4

2

1

≥ −x

Una volta ricondotta la disequazione nella forma (1), osserviamo che occorre cambiare il verso quando si passa alla disuguaglianze tra gli esponenti in quanto la base dell'esponenziale è minore di 1.

14

414

14

1 1 1

2 2

1 2

≥ ↔

≥ ↔ ≤ ↔ − ≤ ≤−x x

x x





7. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:

• ( )log32 16 2x − =

Affinché esista il logaritmo al primo membro deve essere ( ) ( )x x2 16 0 4 4− > ↔ ∈ −∞ − ∪ +∞, , .

Applicando la definizione di logaritmo otteniamo:

( )log32 2 216 2 16 3 5x x x− = ↔ − = ↔ = ±

entrambe le soluzioni sono accettabili perché comprese nell'insieme di esistenza. • log x− =1 3 2

Affinché esista il logaritmo a primo membro dobbiamo imporre che x x− > − ≠1 0 1 1 e (la base del logaritmo è una quantità maggiore di zero e diversa da 1), vale a dire ( ) ( )x ∈ ∪ +∞1 2 2, , .

Applicando la definizione di logaritmo, si ha:

( )logx x x x x x− = ↔ − = ↔ − − = ↔ = − < ∪ = + >1

2 23 2 1 3 2 2 0 1 3 0 1 3 2

La condizione di esistenza è verificata solamente dalla soluzione x = +1 3.





8. Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche: • ( )log1

3

1 2x + > −

La condizione di esistenza del logaritmo a primo membro è x>-1. Si tratta di determinare gli intervalli in cui il grafico della funzione ( )y x= +log1

3

1 si svolge al di sopra del grafico di y = −2 .

y= log_1 /3 (x+1 ) y=-2 pun to d i i n te rsez ioneso luz ione

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x1

La soluzione della disequazione è ( )x x∈ −1 1, , dove

x1 è la soluzione della equazione ( )log1

3

1 2 8x x+ = − ↔ =





• ( ) ( )log log12

212

3 4 12x x x− > −

Osservazione: ricordiamo che la disequazione logaritmica della forma ( ) ( )log loga af x g x> equivale a

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

se

se

a

f x

g x

f x g x

a

f x

g x

f x g x

>

>

>

>

< <

>

>

<

1

0

0

0 1

0

0

.

Nel nostro caso, essendo la base a=1/2 < 1, si ha:

( )x x

x

x x x

x

2

2

3 0

4 12 0

3 4 12

3 4

− >− >

− < −

↔ ∈ ,





• ( )2 3 1 42⋅ − >log x

- soluzione algebrica

( ) ( )

3 1 0

3 1 2

3 1 0

3 1 4

135

3

5

32 2 2

x

x

x

x

x

xx

− >

− >

↔− >

− >

↔>

>

↔ ∈ +∞

log log log

,

- soluzione grafica

La condizione di esistenza è x>1/3.Tracciamo i grafici delle funzioni ( )y x= ⋅ −2 3 12log e y = 4:

y=2 log_2(3x-1) y=4 punto di intersezionesoluzione

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2-2

0

2

4

6

8

1 0

x1

Il grafico di ( )y x x= ⋅ − = ⋅ −

2 3 1 2 31

32 2log log si può ottenere dal grafico di

y x= log2 applicando la trasformazione:

y x y x y x= → = ⋅ → = ⋅ −

log log log

, ,

2

1

32

2

1

30

22 3 2 31

3

δ τ

La soluzione della disequazione è ( )x1 ,+∞ , dove x1 è la soluzione dell'equazione

( )2 3 1 4532⋅ − = ↔ =log x x





• ln ln2 2 0x x− − ≤

La condizione di esistenza è x > 0 Possiamo ricondurci ad una disequazione di secondo grado mediante la sostituzione ln x t= : t t t2 2 0 1 2− − ≤ ↔ − ≤ ≤ . Risolviamo la disequazione − ≤ ≤1 2ln x in modo grafico:

y=log(x)

y= -1 y = 2 pun t i d i i n te rsez ioneso luz ione

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x1 x2

Il grafico di y = ln x è compreso tra le rette y=-1 e y=2 per [ ]x x x∈ 1 2, .

Abbiamo

x x x e

x x x e1

1

22

1

2

: ln

: ln

= − ↔ =

= ↔ =

−


9 Funzioni Trigonometriche



FUNZIONI TRIGONOMETRICHE RICHIAMI DI TEORIA

Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano descritti dai punti di r nella rotazione antioraria che porta r a sovrapporsi con r'.

Definizione: si dice misura in radianti dell'angolo positivo (r,r') il numero reale t =′misura dell' arco AP

raggio di C

Definizione: una funzione f reale di variabile reale è detta periodica di periodo T se per ogni t∈ dom f risulta anche t+T ∈ dom f e ( ) ( )f t f t T= + .

Definizione: Consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro l'origine e raggio 1). Consideriamo un punto P su di essa e l'angolo t formato dal raggio OP e dall'asse delle ascisse. L'ascissa e l'ordinata del punto P sono rispettivamente il coseno ed il seno dell'angolo t: ( )P t t= cos ,sin .

Definizione: la funzione tangente è definita come tgsin

per tt

tt k k= ≠ + ∈

cos,

ππ

2Z . Geometricamente rappresenta l'ordinata

del punto di intersezione tra la retta parallela all'asse delle ordinate e passante per A=(1,0) con la retta congiungente l'origine con il punto P= (cos t, sin t).

r

r'

A

P'

O

C

P=(cos t, sin t)

O t

cos

sin t





dom f im f periodo grafico

( )f x x= sin R [-1 1] 2π

-6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Grafico della funzione y=sin(x)

( )f x x= cos R [-1 1] 2π

-6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Grafico della funzione y=cos(x)

( )f x x= tg { }R Z− = + ∈x x k k: / ,π π2 R π

-6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Grafico della funzione y=tg(x)





Formule trigonometriche fondamentali

• Angoli notevoli

αα sin αα cos αα tg αα 0 0 1 0

π/2 1 0 /∃ π 0 -1 0

3π/2 -1 0 /∃ π/6 1/2 √3/2 1/√3 π/4 1/√2 1/√2 1 π/3 √3/2 1/2 √3

• Relazione fondamentale: cos2 2 1t t+ =sin

• Archi associati

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos cos

cos cos

cos cos

cos coscos

cos cos

π π π

π π

π π ππ π π

π π π

+ = − + = − + =

= − = = − = − = −

− = − − = − = −

+

= − +

= +

= −

−

= −

= −

=

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t t t

t t t t ttt

t

t t t t t t

sin sin tg tg

cos -t sin - sin sin tg - tg

sin sin tg tg

sin sin tgsin

= -cotg

sin sin tg cotg

2 2

2 2 2

2 2 2





• Formule di addizione:

( )( )( )( )

( )

( )

cos cos cos

cos cos cos

cos

cos

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

t tt t

t t

t tt t

t t

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 2 1

1 21 2

1 2

1 21 2

1 2

1

1

− = +

+ = −

− = −

+ = +

− =−

+ ⋅

+ =+

− ⋅

sin sin

sin sin

sin sin sin cos

sin sin sin cos

tgtg tg

tg tg

tgtg tg

tg tg

• Formule di duplicazione

sin sin

sin

tgtg

1- tg2

2 2

2

22

2 2

t t t

t t t

tt

t

= ⋅

= −

=⋅

cos

cos cos





Proprietà dei triangoli

• Triangoli rettangoli • Triangoli qualunque

Teorema dei seni: in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:a b c

sin sin sinα β γ= = .

Teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei due altri lati diminuito del doppio del prodotto delle misure di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato:

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

cos

cos

cos

α

β

γ

a b

c

ββ

γγ

αα

a b

c ββ

γγ

b a a

c a a

b c

c b

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅

= ⋅

sin

sin

tg

tg

β γ

γ β

β

γ

cos

cos





ESEMPI

1. Calcolare il valore dell'espressione sin sinπ

ππ

π3

256

43

116

− + +cos cos .

Osservando che 56 6

43 3

116

26

π ππ π

ππ

π ππ

= − = + = −; ; , utilizzando gli archi associati e gli angoli notevoli otteniamo:

sin sin sin sinπ

ππ

ππ π π π

32

5

6

4

3

11

6 32

6 3 62

3

2

3

2

3 3

2− + + = − −

+ −

+ = + =cos cos cos cos

2. Calcolare l'espressione ( ) ( ) ( )

( ) ( )

cos

cos cos

π α π α α

π α απ

α

− − + + −

− − −

− −

tg sin

tg2

.

Utilizzando gli archi associati, otteniamo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

cos

cos cos

cos

cos

π α π α α

π α απ

α

α α αα α α

− − + + −

− − −

− −=

− − −− −

=tg sin

tg

tg sin

-tg sin2

1





3. Semplificare l'espressione sin

sin

sin

sin

2

1 2

1 2

2 2

2αα

αα

αα+

+−

−cos

cos.

Utilizzando la relazione fondamentale e le formule di duplicazione otteniamo:

=+ + −

++ − +

− = + − =2

2 2

1

2

3

22 2 2 2

2 2 2 2 2sin

sin sin

sin sin

sin

sin

sintg tg tg tg

α αα α α α

α α α αα α

αα α

α α α αcos

cos cos

cos cos

cos cos

4. Risolvere in R le seguenti equazioni elementari:

• sinx =3

2

y=sin(x) y=rad(3) /2 x=p i /2 Pun t i d i i n te rsez ione

-3 .1416 -1 .5708 0 1 . 5 7 0 8 3 . 1 4 1 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1 x2

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione seno e la retta y=√3/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<√3/2<1). Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π π]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. Indicando con x1 la soluzione contenuta nell'intervallo [-π/2 , π/2], la seconda soluzione x2 è la simmetrica di x1 rispetto alla retta x= π/2: x x2 1= −π .

Abbiamo x1 3=

π e x2 3

23

= − =ππ

π .

Le soluzioni in R sono: x k x k= + = +π

ππ

π3

223

2e , con k∈Z.





• cos x =12

y=cos(x) y=1/2 Punt i d i intersezione

-3.1416 -1.5708 0 1 .5708 3 .1416-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1x2

• tg x = 1

y=tg(x) y=1 Punto di intersezione

-1.5708 -0.7854 0 0 .7854 1 .5708-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione coseno e la retta y=1/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<1/2<1). Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π π]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. Indicando con x1 la soluzione contenuta nell'intervallo [0, π], la seconda soluzione x2

è la simmetrica di x1 rispetto alla retta x= 0 x x2 1= − . Abbiamo x1 3=

π e x2 3

= −π

.

Le soluzioni in R sono: x k x k= + = − +π

ππ

π3

23

2e , k∈Z.

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione tangente e la retta y=1. Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π/2 π/2]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. L'equazione ha una sola soluzione x1 nell'intervallo [-π/2, π/2].

Abbiamo x1 4=

π . Le soluzioni in R sono: x k= +

ππ

4, con k∈Z.





5. Risolvere le seguenti equazioni:

• sin sin24 3

x x−

= +

π π

E' semplice verificare che si ha sin sinα β α β π α π β π= ↔ = + ∪ = − +2 2k k , con k∈Z. Quindi:

24 3

27

122

24 3

211

36

2

3

x x k x k

x x k x k

− = + + ↔ = +

∪

− = − − + ↔ = +

π ππ π π

ππ

ππ π π

, con k∈Z.

• ( )cos cosx x−

= −

ππ

53

In generale si ha cos cosα β α β π α β π= ↔ = + ∪ = − +2 2k k ,con k∈Z. Quindi

x x k x k

x x k x k

− = − + ↔ = +

∪

− = − + + ↔ = +

ππ π π π

ππ π π

π

53 2

2

5

53 2

3

10 2

, con k∈Z.





6. Risolvere in R l'equazione sinx x+ − =3 1 0cos

Le equazioni della forma a x b x c a b csin con + = ∈cos , , R sono dette equazioni lineari in seno e coseno. Vi sono diversi modi per risolverle: descriviamo quello che si basa sull'idea di scriverle sotto la forma ( )sin sin sinx h x x h+ = ↔ + =α α αcos cos .

Dobbiamo fare in modo che i coefficienti del seno e del coseno siano in modulo minori di 1, al fine di poterli considerare seno e coseno di uno stesso angolo α. Per comodità possiamo supporre quest'ultimo compreso tra 0 e 2π. Dividiamo, quindi, ambo i

membri dell'equazione per la quantità non nulla ( )a b2 2 2 21 3 2+ = + = :

1

2sin x x+ =

3

2

1

2cos .

Quindi deve essere cosα

αα

π=

=

→ =

1

2

3

2

3sin

e l'equazione diventa:

1

2sin sin sin sinx x x x x

x k x k

x k x k

+ = ↔ + = ↔ +

= ↔

+ = + ↔ = − +

∪

+ = − + ↔ = +

3

2

1

2 3 3

1

2 3

1

2

3 62

62

3 62

22

cos cos cosπ π π

π ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

, con k∈Z.





7. Risolvere in R l'equazione 5 2 3 22 2sin sinx x x x− − =cos cos Si tratta di un' equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, che, in generale, ha la forma a x b x x c x d a b c dsin sin con 2 2+ + = ∈cos cos , , , , R Possiamo ricondurci ad una equazione con secondo membro nullo grazie alla relazione fondamentale:

( )5 2 3 2 5 2 3 2 3 2 3 3 02 2 2 2 2 2 2 2sin sin sin sin sin sin sinx x x x x x x x x x x x x x− − = ↔ − − = + ↔ − − =cos cos cos cos cos cos cos

Dividendo ambo i membri per cos2 x (si verifica facilmente che, se a≠d, gli x per cui cos x=0 non sono soluzioni), otteniamo:

3 2 3 3 0 3 2 3 3 0 3 2 3 3 01

33

2

2 2

2

22sin sin

tg tg tg 2x

x

x x

x

x

xx x t t t tx t

cos

cos

cos

cos

cos− − = ↔ − − = ← → − − = ↔ = − ∪ ==

Quindi

tg x x k

tg x x k

= − ↔ = − +

∪

= ↔ = +

1

3 6

33

ππ

ππ

, con k∈Z.





8. Risolvere in R la disequazione ( )2 3 1cos x >

Risolviamo la disequazione in modo grafico, disegnando la funzioni ( ) ( )f x x= 2 3cos e la retta y = 1.

Osserviamo che f(x) è una funzione periodica di periodo T=2π/3: possiamo dunque limitare lo studio all'intervallo [-π/3 π/3] di ampiezza T.

y = 2 c o s ( 3 x ) y = 1

P u n t i d i i n t e r s e z i o n es o l u z i o n e

- 1 . 0 4 7 2 - 0 . 5 2 3 6 0 0 . 5 2 3 6 1 . 0 4 7 2- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

x1x2

Otteniamo il grafico di f(x) a partire dal grafico di y=cos x con una dilatazione δ(1/3,2). La soluzione della disequazione nell'intervallo [-π/3 π/3] è x2<x<x1. x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione ( )2 3 1cos x = in [-π/3 π/3]:

x1 9=

π e x2 9

= −π

.

La soluzione della disequazione in R è x k x k k: ,− + < < + ∈

ππ

ππ

9

2

3 9

2

3Z





ESERCIZI PROPOSTI

1. Dati gli insiemi { } { } { }A x x B x x C x x= ∈ < < = ∈ ≤ ≤ = ∈ + =N Z N: , : , :5 10 1 25 3 122 , determinare:

• A B∪ { }[ ]R. ± ± ± ± ±1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , ,

• A B∩ [ ]R. ∅

• A\C { }[ ]R. 6 7 8, ,

• ( )A B C∪ ∩ { }[ ]R. 9

• ( )A B C∪ ∩ [ ]R. A

2. Sia { }A = 1 3 5 7 11, , , , e { }B x x= ∈N: è un numero primo . Dire se A B⊂ e determinare:

• A B∪ [ ]R. B

• A B∩ [ ]R. A

• B\A { }[ ]R. Nx x x∈ >: 11 e è primo

3. Dati gli insiemi { }A = 2 3 4, , e { }B a b= , , determinare:

• A A× ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]R. 2 2 2 3 2 4 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4, , , , , , , , , , , , , , , , ,

• A B× ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]R. 2 2 3 3 4 4, , , , , , , , , , ,a b a b a b

• B A× ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]R. a a a b b b, , , , , , , , , , ,2 3 4 2 3 4

• B B× ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]R. a a a b b a b b, , , , , , ,





4. Determinare l'insieme delle parti dell'insieme { }A a b c d= , , , .

( ){ } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { } { }R. ℘ =

∅

Aa b c d a b a c a d b c

b d c d a b c a b d a c d b c d A

, , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , ,

5. Determinare: • [ ] [ ]− ∩2 3 1 6, , [ ][ ]R. 1 3,

• ( ) [ )−∞ ∪, ,5 5 7 ( )[ ]R. −∞,7

• ( ) [ )− ∩ −9 3 9 4, , ( )[ ]R. −9 3,

6. Esprimere come unione di intervalli i seguenti insiemi:

• ( ]R − 0 6, ( ] ( )[ ]R. −∞ ∪ +∞, ,0 6

• { }R − 1 ( ) ( )[ ]R. −∞ ∪ +∞, ,1 1

• { }R − 1 2, ( ) ( ) ( )[ ]R. −∞ ∪ ∪ +∞, , ,1 1 2 2

• [ ]R − 1 3, ( ) ( )[ ]R. −∞ ∪ +∞, ,1 3

7. Trovare l'equazione della retta congiungente i seguenti punti: • A(1,2) B(3,5) [ ]R. 3 2 1 0x y− + =

• A(1,-2) B(-3,-4) [ ]R. x y− − =2 5 0

• A(3,4) B(3,-7) [ ]R. x − =3 0





8. Trovare l'equazione della retta passante per il punto P(-1,5) e perpendicolare alla retta di equazione y x= − + 7 .

[ ]R. y x= + 6

9. Trovare l'equazione della retta passante per il punto P(2,1) e parallela alla retta di equazione x y− + =2 7 0. [ ]R. x y− =2 0

10.Dati i punti A(3,5), B(1,-2), C(-2,4), determinare il perimetro e l'area del triangolo ABC.

[ ]R. 2 26 53 3 5 33 2p Area= + + =, /

11.Determinare il baricentro G ( punto di incontro delle mediane) del triangolo avente i vertici nei punti A(1,2), B(3,3), C(-1,4).

( )[ ]R. G = 1 3,

12.Determinare centro C e raggio r delle seguenti circonferenze:

• x y2 2 49+ = ( )[ ]R. C r= =0 0 7, ,

• x y x2 2 6 0+ − = ( )[ ]R. C r= =3 0 3, ,

• x y x y2 2 6 3 0+ − + + = ( )[ ]R. C r= − =3 1 2 5 2, / , /

• 3 3 8 6 1 02 2x y x y+ − + − = ( )[ ]R. C r= − =4 3 1 2 7 3/ , , /

• 2 2 1 02 2x y x y+ + + − = ( )[ ]R. C r= − − =1 4 1 4 5 2/ , / , /





13.Scrivere l'equazione della circonferenza che soddisfa alle seguenti condizioni:

• Passa per il punto P(1,2) e ha centro C= (-1,3). [ ]R. x y x y2 2 2 6 5 0+ + − + =

• Passa per i punti P1 (4,-1), P2(-3,-2), P3(1,2). [ ]R. x y x y2 2 3 10 0+ − + − =

• Ha centro nel punto C(1,-2) ed è tangente alla retta di equazione y x= − + 4 . [ ]R. 2 2 4 8 15 02 2x y x y+ − + − =

• Passa per i punti P1 (-1,2), P2(3,3) ed ha il centro sulla retta di equazione y x= 2 [ ]R. 6 6 13 26 9 02 2x y x y+ − − + =

14.Determinare i semiassi ed i fuochi delle seguenti ellissi:

• x y2 2

16 251+ = ( )[ ]R. a b Fuochi= = ±5 4 0 3, , ,

• x y2 2

9 41+ = ( )[ ]R. a b Fuochi= = ±3 2 5 0, , ,

• 9 1 02 2x y+ − = ( )[ ]R. a b Fuochi= = ±1 1 3 0 2 2 3, / , , /

• x y2 24 4 0+ − = ( )[ ]R. a b Fuochi= = ±2 1 3 0, , ,

• 4 3 12 02 2x y+ − = ( )[ ]R. a b Fuochi= = ±2 3 0 1, , ,





15. Scrivere l'equazione dell'ellisse che soddisfa alle seguenti condizioni:

• Ha due vertici nei punti ( )±5 0, ed i fuochi nei punti ( )±4 0, . R.x y2 2

25 91+ =

• Ha centro nell'origine degli assi, fuochi sull'asse x, ha l'asse minore lungo 2 e passa per il punto P(9/2, 1).

R.x y2 2

27 41+ =

16.Determinare i vertici, i fuochi e gli asintoti delle seguenti iperboli:

• x y2 2

36 251− = ( ) ( )R. V F y x± ± = ±

6 0 61 05

6, , , ,

• x y2 2

4 91− = ( ) ( )R. V F y x± ± = ±

2 0 13 03

2, , , ,

• 9 4 362 2x y− = − ( ) ( )R. V F y x0 3 0 133

2, , , ,± ± = ±

17.Scrivere l'equazione dell'iperbole, con i fuochi sull'asse x, passante per il punto P (3, 2) ed avente per asintoti le rette

2 0x y+ = e 2 0x y− = . [ ]R. 4 322 2x y− =





18.Determinare fuoco e direttrice delle seguenti parabole:

• y x= 2 2 ( )[ ]R. F d y0 1 8 1 8, / , : /= −

• 2 2y x= − ( )[ ]R. F d y0 1 2 1 2, / , : /− =

• 3 2 2x y= ( )[ ]R. F d x3 8 0 3 8/ , , : /= −

• 3 22y x= ( )[ ]R. F d x1 6 0 1 6/ , , : /= −


2 Funzioni



ESERCIZI PROPOSTI

1. Dire se i seguenti grafici rappresentano delle funzioni, e, in caso affermativo, determinare dominio e immagine.

-4 -2 0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Graf ico A

x

y

O

-2 0 2 4 6 8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Gra f i co B

x

y

O

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Graf ico C

x

y

O

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Graf ico D

x

y

O

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gra f i co E

x

y

O

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Graf ico F

x

y

O

Risultati

Grafico A: funzione. Dom f = R-{2} Im f = (-1, +∞) Grafico B: non è una funzione Grafico C: funzione Dom f = R Im f = (-2, 2) Grafico D: non è una funzione

Grafico E: funzione Dom f = (0, +∞) Im f = R Grafico F: funzione Dom f = R Im f = [-4, 4]


2 Funzioni



2. Determinare dominio, immagine e grafico delle seguenti funzioni

• ( )f x xse x

x se x

=>

≤

11

1

2

2

[ )[ ]R. om ;Im ,d f R f= = + ∞0

• ( )f xx se x

x se x=

+ ≤ ≤

− >

2 1 1 3

3 [ ) ( ) [ ][ ]R. om , ; Im , ,d f f= + ∞ = −∞ − ∪1 3 3 7

• ( )f xx se x

x se x=

− < −

≥ −

2

3

1

1 [ ]R. om ; Imd f R f R= =

• ( )f xx

se x

se x

xse x

=

− ≤ −

− < <

≥

11

1 1 1

11

3

3

( ][ ]R. om ; Im ,d f R f= = 0 1

• ( )f xx se x

xse x

=− + − < < −

− < ≤

3 3 1

11 24

( ) ( ) ( ]R. om , , , ; Im ,d f f= − − ∪ − ∪ = +∞

3 1 1 0 0 2

1

16


3 Trasformazioni del pieno e grafici



ESERCIZI PROPOSTI

1. Applicare alle funzione seguenti le trasformazioni a fianco indicate.

• y x= ( )τ 2 1,− [ ]R. y x= − 3

• y x= −1

2

2

5 ( )τ 1 2,− R. y x= −

1

2

29

10

• y x=2

5 δ

1

5

1

2,

[ ]R. y x=

• y x= ( )τ −1 3, [ ]R. y x= + +1 3

• yx

=1

( )τ 2 2, R. yx

x=

−−

2 3

2

• y x x= − +2 4 δ 21

2,

R. y

xx= − +

2

8

• y x x= − +2 4 62 σ o [ ]R. y x x= − − −2 4 62

• y x= 3 ( )τ 1 2,− [ ]R. y x x x= − + −3 23 3 3

• y x= 2 ( ) ( )δ τ2 2 1 0, ,⋅ R. y x x= − +

1

22 22

• yx

=1

( ) ( )σ τ δo ⋅ ⋅11 3 2, , R. yx

x= −

−+

5

2





• yx

x=

−−

3 1

2 ( )δ τ1

1

52 3, ,

⋅ − − R. yx

=

1

• y x= ( ) ( )τ σ δ− ⋅ ⋅2 1 1 2, ,x [ ]R. y x= − + +2 2 1

2. Utilizzando le trasformazioni del piano disegnare i seguenti grafici. (Nei risultati sono indicate la funzione elementare di

partenza ed una possibile trasformazione).

• y x= − +5 3 ( )R. , ,y x x=

⋅ ⋅

τ δ σ

3

50 1 5

• y x= −2 3 ( )[ ]R. ,y x y= ⋅3 0 2τ σ

• y x= − + +2 1 4 ( )R. , ,y x x= −

⋅ ⋅

τ δ σ

1

24 1 2

• ( )

yx

=−

−1

12

4 ( )R. y

x= −

11 2

4τ ,

• y x x= − +2 4 52 ( ) ( )[ ]R. y x= ⋅2 1 3 12τ δ, ,

• yxx

=−+

2

3 1 R. , ,y

x x= −

⋅

⋅

1 1

3

1

31

7

9τ δ σ

• y x= − +4 12 ( ) ( )[ ]R. y x x= ⋅ ⋅2 01 14τ δ σ, ,

• y x x x= − + +3 23 3 2 ( )[ ]R. ,y x= 3 13τ





3. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari

• y x= −2 1 [ ]R. pari

• y x x= − +4 2 3 [ ]R. pari

• yx

=−1

1 [ ]R. né pari né dispari

• y x x= −5 3 [ ]R. dispari

• y x= −2 3 [ ]R. pari

• yx

=2

5 [ ]R. dispari





ESERCIZI PROPOSTI

1. Risolvere algebricamente in R le seguenti equazioni:

• xx x

xx

+−

+−

= −−2

12

5 2

43

1

3 R. x = −

4

3

• ( )xx x

xx

− ++

−−

= −−

22

4

1

3

49 58

122 2 [ ]R. identità

• ( ) ( )1

22 1

1

4

2

61

1

3x x

x xx x+ +

−=

++ − +

R. x =

1

5

• 4 11 6 02x x− + = R. x x= ∪ =

3

42

• ( ) ( )x x− + − − =2 2 2 3 02

[ ]R. x x= − ∪ =1 3

• x x x x21

27

1

21 12−

− = −

+ [ ]R. ∅

• 4 35 9 04 2x x− − = [ ]R. x = ±3

• x x4 2100 29= − + [ ]R. x x= ± ∪ = ±2 5

• ( )3 3 42 6 2x x x+ = − [ ]R. ∅

• x x8 45 6 0− + = [ ]R. x x= ± ∪ = ±2 34 4





2. Risolvere algebricamente ed interpretare geometricamente le seguenti equazioni e disequazioni: • 2 3 3 1x x− = + [ ]R. x = −4

• x x2 7 12− = − [ ]R. x x= ∪ =3 4

• 3 1− =x [ ]R. x x= ∪ =2 4

• 2 3x x− = [ ]R. x x= ∪ =1 3

• 5 3 2x + ≥ − [ )[ ]R. ,− +∞1

• 1 2 5− ≤ −x x R. ,−∞ −

1

3

• x x2 > ( ] [ )[ ]R. , ,−∞ ∪ +∞0 1

• ( )x x2 24 2+ > + ( )[ ]R. ,−∞ 0

• 2 6 5 2 32x x x+ + ≥ − − ( )[ ]R. ,−∞ +∞

• x x x2 4 3 2 5+ + < + ( )[ ]R. ,− − − +1 3 1 3

• xx

−+

≥3

20 ( ) [ )[ ]R. , ,−∞ − ∪ +∞2 3





• 2

35

−−

≤ −x

xx ( )[ ]R. ,3 +∞

• 3 1 32 4x x+ < − ( ) ( )[ ]R. , ,−∞ − ∪ +∞2 2

• x + ≤2 1 [ ][ ]R. ,−31

• x x− ≥3 2 ( ][ ]R. ,−∞ 1

• x x2 9 3− > + ( ) ( )[ ]R. , ,−∞ ∪ +∞2 4


5 Polinomi



ESERCIZI PROPOSTI

1. Semplificare le seguenti espressioni

• ( ) ( ) ( )[ ]x a ax a x ax x2 2 2 2 24 7 5 2 5 1+ − − + − + − + [ ]R. 4 2 82 2x ax a− − +

• ( )21

28 7

6

51

5

6

1

22 2 2x x x x x x+ + − −

− − +

− +

R .41

3022x x+

• [ ] ( )[ ]{ }ax a x a a ax ax a x a− − + − − − −2 7 2 82 2 2 2 2 2 [ ]R.ax2

2. Eseguire le seguenti moltiplicazioni

• ( )( )4 5 6 32 2x ax a ax− − − [ ]R. − + +12 15 183 2 2 3ax a x a x

• ( )( )x x− +1 5 [ ]R. x x2 4 5+ −

• ( )( )4 2 2 14 3 2x x x x x− − + − + [ ]R. 8 6 5 3 5 3 26 5 4 3 2x x x x x x− + − + − +


5 Polinomi



3. Calcolare i seguenti prodotti notevoli

• ( )( )3 5 3 5x x+ − [ ]R. 9 252x −

• 1

22 2

2

x a−

R .

1

44 2 2 4x a x a− +

• ( )( )2 1 4 2 12x x x− + + [ ]R. 8 13x −

• ( )13− x [ ]R.1 3 3 2 3− + −x x x

• ( )x a+ − 32 [ ]R. x a ax x a2 2 9 2 6 6+ + + − −

• ( )( )x a x a+ + − +1 1 [ ]R. x a a2 2 2 1− + −


5 Polinomi



4. Eseguire le seguenti divisioni applicando, se è possibile la regola di Ruffini.

• ( ) ( )x x x x3 22 9 4 4+ − − ÷ + ( )[ ]R. ,Q x x x R= − − =2 2 1 0

• ( ) ( )12 11 5 14 8 3 24 3 2x x x x x− + − + ÷ − ( )[ ]R. ,Q x x x x R= − + − =4 4 03 2

• ( ) ( )2 5 2 2 33 2x x x x+ + + ÷ + ( )[ ]R. ,Q x x x R= + − =2 1 5

• ( ) ( )x x x3 34 1 1+ + ÷ − ( )[ ]R . ,Q x R x= = +1 4 2

• ( ) ( )5 2 2 14 2 2x x x x x+ − + ÷ − − ( )[ ]R. ,Q x x x R x= + + = +5 5 12 16 142

5. Scrivere le seguenti funzioni razionali come somma di un polinomio e di una funzione razionale il cui numeratore ha grado

minore del denominatore.

• ( )f xx x x

x=

− + −+

4 5 9

2

3 2

( )R . f x x xx

= − + −+

4 13 2763

22

• ( )f xx x

x=

− −−

2

2

4 7

1 ( )R . f x

xx

= −+−

14 6

12

• ( )f xx x

x x=

+ −−

5

3

3 1 ( )R . f x x

xx x

= + +−−

2

31

4 1


5 Polinomi



6. Scomporre in fattori:

• 25 2− x ( )( )[ ]R . 5 5+ −x x

• 3 484x − ( )( )( )[ ]R . 3 2 2 42x x x− + +

• − +a x2 4 144 ( )( )[ ]R . 12 122 2+ −ax ax

• x 3 125+ ( )( )[ ]R . x x x+ − +5 5 252

• x x x5 3 24 4+ + + ( )( )( )[ ]R . x x x x+ − + +1 1 42 2

• 1

4

5

49 453 2x x x+ − − ( )R . x x x+ −

+

5

1

23

1

23

• − + −x x4 218 81 ( ) ( )[ ]R . − + −x x3 32 2

• ( )x a2 22− − ( )( )[ ]R . x a x a− + + −2 2

• x x2 5 6− + ( )( )[ ]R . x x− −2 3

• x x x x4 3 28 11 32 28+ + + + ( )( )( )[ ]R . x x x+ + +1 7 42


7 Funzioni Radice



ESERCIZI PROPOSTI

1. Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali.

• 3 5 24 6, , [ ]R. , ,3 5 2612 312 212

• 2 5 10 63 4 6, , , [ ]R. , , ,2 5 10 6612 412 312 212

• b b b b35 56 610 0, , , ≥ [ ]R. , ,b b b1830 2530 1830

2. Scrivere le seguenti espressioni sotto forma di un unico radicale, dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

• 3 54 [ ]R. 4054

• a a3 ⋅ [ ]R. a73

• 3 2

2 3

b x

y

xy

b R.

9 3

3

bx

y

• ( )x y x y− −2 24 ( ) ( )[ ]R. x y x y− ⋅ +54


7 Funzioni Radice



3. Portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della radice, dopo aver determinato le

condizioni di esistenza:

• 243 [ ]R. 9 3

• x y z4 2 53 [ ]R. x z xy z⋅ 2 23

• a x a x2 2 2 6+ [ ]R. a x x⋅ +1 4

• x x x5 4 32− + [ ]R. x x x⋅ −1

• x x y y

x y

4 2 2 42− +−

[ ]R. x y x y+ −

• x x x

x

4 3

33

2 2 1

1

− + −+

( )R. xx x

−− +

1

1

123

4. Determinare il dominio delle seguenti funzioni.

• ( )f x xx

= − +912 3 [ ) ( ][ ]R. , ,− ∪3 0 0 3

• ( )f x x x= − ⋅ +3 54 4 [ )[ ]R. ,3 +∞

• ( )f x x x= + −24 2 15 ( ] ( ][ ]R. , ,−∞ − ∪ +∞5 3

• ( )f xx

xx

=−

+ − −+

1

41

1

126

23 ( )[ ]R. ,4 +∞


7 Funzioni Radice



5. Risolvere algebricamente e, dove è possibile, graficamente le seguenti equazioni e disequazioni irrazionali.

• x x+ = −3 1 3 R. x = −

2

9

• x + =4 23 [ ]R. x = 4

• x4 3= − [ ]R. ∅

• ( )( )x x x− + + − =2 3 4 024 [ ]R. x = 2

• x x− = −1 2 3 [ ]R. x = 2

• 9 2 22− =x [ ]R. x = ±1

• x x2 1 1+ = − [ ]R. x = 0

• 2 1− ≤x [ ][ ]R. ,1 2

• x − >4 0 ( )[ ]R. ,4 +∞

• x x+ < −1 2 1 R. ,5

4+∞


7 Funzioni Radice



• x x− + − <2 1 03 3 R. ,−∞

3

2

• x

x

−+

<4

22 ( ) [ )[ ]R. , ,−∞ − ∪ +∞4 4

• 2 2 3− ≥ −x x R. ,−∞

7

4

• 4 1 6x x− ≥ − [ )[ ]R. ,6 +∞

• ( )− − + ≥ −x x x2 5 4 1 R. ,15

2

• 11

2

1

213 + ≤ +x x [ ] [ )[ ]R. , ,− − ∪ +∞4 2 0

• x

x

−

−≥

1

20 [ ] ( )[ ]R. , ,0 1 4∪ +∞

• x + ≥2 2 ( ] [ )[ ]R. , ,−∞ − ∪ +∞6 2





ESERCIZI PROPOSTI

1. Applicando le proprietà dei logaritmi trasformare le seguenti espressioni in somme algebriche:

• ln , ,2

0⋅ ⋅

>

x y

zx y z con R. ln ln ln ln2

1

2+ + −

x y z

• lnx y

xx y x

2 2

3 −

− < < con ( ) ( )R. ln ln ln

1

3

1

3

1

3x y x y x− + + −

• ( )ln x y x y x y x− + − < < con ( ) ( )R. ln ln1

2

1

4x y x y− + +

2. Applicando le proprietà dei logaritmi scrivere ciascuna delle seguenti espressioni sotto forma di un unico logaritmo.

• 2 41

20ln ln ln , ,x y z x y z− + > con R. ln

x z

y

2

4

• ( ) ( ) ( )2 3 91

21 32ln ln lnx x x x− − − + + > con

( )R. ln

x x

x

− ++

3 1

3

• 1

43 5 7 2 0ln ln ln ln , ,x y z x y z− + − > con R. ln

x y

z

4 7

2125

⋅





3. Stabilire per quali valori di x sono vere le seguenti uguaglianze:

• ( ) ( ) ( )ln ln ln2 5 2 2 2 12x x x x− + = − + − ( )[ ]R. ,2 +∞

• ( ) ( )ln lnx x− = −1 2 12

( )[ ]R. ,1 +∞

• ( )ln lnx x− = −1 2 12

( ) ( )[ ]R. , ,−∞ ∪ +∞1 1

• ( )ln ln ln ln2 5

12

5

21

x

xx x

−−

= + −

− − [ ]R. ∅

• ( )ln ln ln ln2 5

12

5

21

xx

x x−

−= + −

− − R. ,15

2

4. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

• 5 3 1x x= − R.ln

ln lnx =

−

3

3 5

• 4 5 3 21 2 3⋅ = ⋅+ +x x R.ln

lnx =

6 5

5 4

• 2 1 71x+ − = [ ]R. x = 2





• 3 93 2x x− ≤ ( ] [ )[ ]R. , ,−∞ ∪ +∞1 2

• 1

21

4

>+x

( )[ ]R. ,−∞ −4

• 9 12 3 27 0x x− ⋅ + ≤ [ ][ ]R. ,1 2

• 7 5 7 6 02x x− ⋅ + > ( ) ( )[ ]R. ,log log ,−∞ ∪ +∞7 72 3

• 2 3

10

e e

e

x x

x

− + −−

≥ ( ) ( ][ ]R. , ,ln−∞ ∪0 0 2

• logx

5

32= − R. x =

3

5

• ( ) ( )log log10 102 3 1 2 2 5x x+ + = + R. x = ±

5

2

• ln ln3 2 0x x− = [ ]R. x x e= ∪ =1

• ( )ln 9 0− <x ( )[ ]R. ,8 9

• ( )log 1

2

3 5 2 0x − − > R. ,5

3

7

4





• log log1

5

1

5

1

1

x

xx

+−

< ( )[ ]R. ,11 2+

• ( ) ( )log log42

42 3 2 4 0x x+ − + − > ( )R. , ,− −

∪ +∞

2

7

4254

• 1 13 3− < +log logx x ( )[ ]R. ,1 +∞

• ( )log 1

2

2 9 0x − > ( ) ( )[ ]R. , ,− − ∪10 3 3 10

• 3

40

1

2

2

−

+≤

log

log

x

x R. ,

1

16

1

8





ESERCIZI PROPOSTI

1. Calcolare i valori delle seguenti espressioni:

• ( )5sin tgπ π π

π2

2

3 4

1

4 35+ − +cos cos R.

13

24

• 33

5

6

1

2 42

3sin tg

π π π π− + −

+cos cos R.4 5 3

2

+

• ( )cos2

3

5

6 43

7

6

π π ππ

π- sin tg tg - tg−

− + + −

R. −+

3 3

3

2. Verificare le seguenti identità

• ( ) ( ) ( )cos cos cos cosπ

π π2

3 2−

+ − + + = − + −x x x x xsin

• ( ) ( )sin sinπ

ππ

π2 2

+

− = +

+x x x xcos cos

• ( )cos 2 1 2 2x x= − sin

• ( )cos cos2 2 12x x= −

• tg tgπ π4 4

1−

⋅ +

=x x





• ( )( )

tg 2 1 2

1 2x

x

x=

−

+

cos

cos

• cos2

2

1

1x

x=

+ tg

• sintg

tg2

2

21x

x

x=

+

• ( )

( )cos 2

1 2

1

1

x

x

x

x+=

−+sin

cotg

cotg

• cos cos cosπ π3 3

−

+ +

=x x x

3. Risolvere in R le seguenti equazioni:

• 2 1cosx = − R. x k= ± +

2

32π π

• ( )2 2 3sin x = R. x k x k= + ∪ = +

ππ

ππ

3 6

• 2 12cos x = R. x k x k= ± + ∪ = ± +

ππ

ππ

42

3

42





• sinπ4

3

2−

=x R. x k x k= − + ∪ = − +

ππ

ππ

122

5

122

• cos cosx x+

= −

π π6

24

R. x k x k= + ∪ = − +

5

122

36

2

3

ππ

π π

• t x xg tgπ π6

2 33

−

= −

R. x k= +

π π10 5

• 6 13 5 02sin sinx x− + = R. x k x k= + ∪ = +

ππ

ππ

62

5

62

• ( ) ( )2 2 2 02cos cosx x+ = R. x k x k= + ∪ = ± +

π π ππ

4 2 3

• sinx x+ − =cos 1 0 R. x k x k= + ∪ =

ππ π

22 2

• 3sinx x= cos R. x k= +

ππ

6

• 4 2 3 2 1 02 2sin sinx x x x− − − =cos cos R. x k x k= − + ∪ = +

ππ

ππ

6 3

• 2 12sin x x− =cos R. x k x k= ± + ∪ = +

ππ π π

32 2





4. Risolvere le seguenti disequazioni negli intervalli a fianco indicati:

• 2 3sinx > [ ]0 2, π R. , ,03

2

32

π ππ

∪

• cosx > π [ ]0 2, π [ ]R. ∅

• cos x ≥ −1

2 [ ]−π π, R. ,−

2

3

2

3

π π

• tgx ≤ −1 [ ]0,π R. ,π π2

3

4

• 3 12tg x < −

π π2 2

, R. ,−

π π6 6

• cos2 3

4x ≤ [ ]0 2, π R. , ,

π π π π6

5

6

7

6

11

6

∪

• 2 5 3 02cos cosx x− − > [ ]0 2, π R. , ,03

5

32

π ππ

∪

• 2 0sinx x xcos cos− ≥ [ ]0 2, π R. , ,π π π π6 2

5

6

3

2

∪

• 1

3 10

−−

<cos x

xtg [ ]−π π, R. , , , ,− −

∪ −

∪

∪

π

π π π ππ

5

6 20 0

6 2

Libreremo - Uninettuno - Corso Propedeutico Di Matematica (Prof Paolo Boieri)

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