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LÓGICA MATEMÁTICA
Prezado (a) Aluno (a),
Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica
Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de
várias ciências, como informática, Engenharia, Física etc.
Sabe-se que quando há diálogo entre professor e aluno (vice-
versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em
decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com
o seu professor.
O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o
alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da
compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da
linguagem matemática visando disciplinas futuras que
utilizam algoritmo e programação.
• Sistemas numéricos
• Definição:
São sistemas de notação usados para representar
quantidades abstratas denominadas números. Um sistema
numérico é definido pela base que utiliza. A base é o
número de símbolos diferentes, ou algarismos,
necessários para representar um número qualquer, dos
infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema
decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez
símbolos diferentes ou dígitos para representar um
número e é, portanto, um sistema numérico na base 10.
• Valores posicionais
• Em um sistema de número posicional, um número é
representado por uma seqüência de dígitos onde
cada posição de dígito tem um peso associado.
Tomando como exemplo o sistema decimal, ou base
10, que é sistema numérico que utilizamos
diariamente (0, 1, 2, ... 9), o valor D de um número
decimal de 4 dígitos d3d2d1d0 é D = d3*103 + d2*102+
d1*101 + d0*100. Cada dígito di tem um peso de 10i.
Por exemplo, o número 3.098.323 (base 10) é a
representação de 3*106 + 0*105 + 9*104 + 8*103 +
3*102 + 2*101 + 3*100.
Aritmética Binária
Esta seção apresenta as quatro operações básicas no
sistema binário: adição, subtração, divisão e
multiplicação.
• Sistema Binário
O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente
dois dígitos: 0,1. Neste sistema a contagem é
realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,
111, 1000, ...
Conversão Binário para Decimal
Sendo binário um sistema de número posicional, o
valor B de um número binário de 7 dígitos
b6b5b4b3b2b1b0 é B = b6*26+ b5*2
5 + b4*24 + b3*2
3 +
b2*22+ b1*2
1 + b0*20. Cada dígito bi tem um peso de 2i.
Assim o valor binário 10101010b é calculado como
segue 10101010b =
0*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25+0*26+1*27 = 170d. Esta
é a conversão de um número binário para decimal.
Outro exemplo 10011001b = 1+8+16+128=153d.
Conversão Decimal para Binário
No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde
a 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas. Para verificar isto,
divide-se o número pela sua base (que é 10):
654/10 = 65 Resto 4 (*1)
65/10 = 6 Resto 5 (*10)
6/10 = 0 Resto 6 (*100)
Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo
processo. Por exemplo, para obtermos o correspondente
binário do número 200d, dividimos primeiramente este valor
por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida,
dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 2
e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a
última divisão, conforme abaixo:
• 200/2=100 Resto 0
• 100/2= 50 Resto 0
• 50/2 = 25 Resto 0
• 25/2 = 12 Resto 1
• 12/2 = 6 Resto 0
• 6/2 = 3 Resto 0
• 3/2 = 1 Resto 1
• 1/2 = 0 Resto 1
• O correspondente binário de 200d é obtido unindo-se os restos
da divisão por 2 na ordem inversa, assim 200d=11001000b.
• Ex: 1) Transformar:
• a) 190d em binário b) 100101b em decimal
• c) 50d em binário d) 1100011b em decimal
• Sistema Octal
• O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste sistema, a contagem é realizada
como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 20,...
• Conversão Octal para Decimal
• Sendo o sistema octal um sistema de número
posicional, o valor O de um número octal de 4 dígitos
o3o2o1o0 é O = d3*83 + d2*8
2+ d1*81 + d0*8
0. Cada dígito
oi tem um peso de 8i. Assim o valor octal 1758 é
calculado como segue 1758 = 5*80+7*81 +1*82 = 12510.
Esta é a conversão de um número octal para decimal.
• Conversão Decimal para Octal
• Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo
processo da conversão do sistema decimal para binário. Por
exemplo, para obtermos o correspondente octal do número
200d, dividimos primeiramente este valor por 8 e anotamos o
resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o
dividendo da operação anterior por 8 e anotamos novamente o
resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme
abaixo:
• 200/8= 25 Resto 0
• 25/8 = 3 Resto 1
• 3/8 = 0 Resto 3
• O correspondente octal de 200d é obtido unindo-se os restos da
divisão por 8 na ordem inversa, assim 200d=310o.
• Sistema Hexadecimal
• Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra
A até F. Estas letras representam os números 10d a 15d. Assim nós
contamos os dígitos hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, ..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D,
1E, 1F, 20, 21, ...
• Conversão Binário para Hexadecimal
• A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A
primeira coisa a fazer é dividir o número binário em grupos de 4
bits, começando da direita para a esquerda, os lugares que faltam
são complementados por zeros. Por exemplo, o número 101011b
(1+2+8+32 = 43d), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós
temos 10;1011. Nós completamos o último grupo com zeros:
0010;1011. Após nós tomamos cada grupo como um número
independente e nós convertemos estes em dígitos decimais:
• 0010;1011=2;11. Mas desde que nós não podemos
representar o número hexadecimal como 211 porque isto é
um erro, nós temos que substituir todos os números decimais
maiores que 9 pelas suas respectivas representações em
hexadecimal, com o que nós obtemos: 2Bh. A tabela abaixo
pode auxiliar na conversão de números binário para
hexadecimal
• Afim de obter um número hexadecimal em binário é
apenas necessário inverter os passos.
• Conversão Hexadecimal em Decimal
• Para converter um número hexadecimal em decimal, nós
utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão binário
para decimal, sendo que a base 2 é trocada por 16. Por
exemplo, para converter B2Ah em decimal:
• B -> 11*162 = 2816d
• 2 -> 2*161 = 32d
• A -> 10*160 = 10d
• 2858d
• Conversão Decimal para Hexadecimal
• Para converter um número decimal em hexadecimal,
nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na
conversão de um número decimal para binário,
dividindo por 16 em vez de 2. Por exemplo, para
converter 1069d em hexadecimal:
• 1069/16= 66 Resto 13d = Dh
• 66/16 = 4 Resto 2d = 2h
• 4/16 = 0 Resto 4d = 4h
R) 069d = 42Dh
EXERCÍCIOS
• 01) Represente os números na forma decimal:
• a) 4.209 b) 25.895 c) 130.654 d) 3.569.345
• 02) Converter número binário em número decimal:
• a) 110 b) 10011 c) 110001 d) 101110011
• 03) Converter número decimal em número binário:
• a) 459d b) 34685d c) 224034d d) 10d
• 04) Converter número octal em número decimal:
• a) 32o b) 137o c) 2456o d) 124653o
• 05) Converter número decimal em número octal:
• a) 120d b) 324d c) 4576d d) 20304d
• 06) Converter número binário em número hexadecimal:
• a) 1001 b) 110101 c) 1001101 d) 11001101
• 07) Converter número hexadecimal em número decimal:
• a) 3AEh b) ADC2h c) 5FE3h d) 5A7Dh
• 08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal:
• a) 135d b) 1432d c) 2567d d) 35564d
Aritmética Binária
Adição
Para somar dois números binários, fazem-se as contas
coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de
costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>)
quando for o caso. Para isto, observe as seguintes
operações básicas:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1)
1 + 1 + 1 = 1(1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1)
Exemplos:
*10,10012 + 110,012 = X2
10,10012
+ 110,01002
1000,1101 2
Converta para binário e efetue as seguintes operações:
a) 6810 + 4010 b) 9410 + 3210 c) 848 + 388 d) 488 + 298
e) B5D16 + A2C16 f) C4316 + 19516 g) E5D16 + 8F2A16
•As operações com números decimais segue o mesmo
princípio dos números inteiros, sendo necessário, agora, que
alinhem-se as “vírgulas” antes de fazer a operação.
• Subtração
• Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao
se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do
diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo
(diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtrai-se
uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no
diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a
0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que
corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o
dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos
dígitos consecutivos.
A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e
realizar a soma de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado
método do complemento de dois. O complemento de dois transforma
um número positivo em negativo. Neste método, o diminuendo (a) é
somado com o complemento de dois do diminuidor (- b). Note que o
número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto
complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a
esquerda (antes do complemento). Para realizar o complemento de
dois, basta trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao
resultado. Por exemplo, a subtração de 1110-101 é feita da seguinte
maneira:
1 . Completa-se o número de dígitos do diminuidor: 0101
2. Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: 1010+1=1011.
3. Soma-se os dois operandos 1110+1011=11001
4. Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais
que os dois operandos: 1001
• Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma
(!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto,
devemos entender o que é o “Complemento de um Número” e
“Complemento de 2 de um Número”.
• Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a
quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da
atual potência.
• Vamos tomar como exemplo o número decimal 4178.
• Na atual potência – 103 – o maior valor é 9999. Para que o
número 4178 “alcance” o número 9999, faltam 5821 números,
ou seja, 5821 é o complemento de 4178.
• Tratando-se de números binários, para encontrarmos o
complemento de um número, basta invertermos todos os seus
bits.
• Tomando o número 101010112 como exemplo:
• Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o
Complemento de 101010112 é 010101002.
• Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a
quantidade que falta para este número chegar à próxima
potência, ou seja, é o Complemento do número +1.
• Exemplo para o número 101010112 novamente:
• O seu Complemento é 010101002 e o Complemento de
2 é 010101002 + 1 = 010101012
• Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal
é definido por um bit – o primeiro – que, quando ZERO quer
dizer que o número é positivo, e, quando UM, que o número é
negativo.
• Vejamos alguns exemplos:
• 2310 – 410 à 101112 – 1002 = X2
• Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de
bits e devemos achar o C2 do 2º termo, ou seja, seu oposto.
• 0 101112 – 0 001002 = X2
• C2(0 001002) = 111011+1 = 1 111002 Bit de Sinal
• 0 101112
+ 1 111002
10 100112
â
Overflow
• Em algumas subtrações pode acontecer um “Overflow”, ou seja,
ultrapassar o número de bits da subtração. O que devemos
fazer é desconsiderar este bit.
• Resultado: 0 100112 = 1910
• Um exemplo que dará resultado negativo:
• 9010 – 11610 = -11610 + 9010 = -2610
26/2=13 resto=0 13/2=6 resto=1 6/2=3 resto=0 3/2=1 resto=1 ½=0 resto=1
• 2610 = 1 110102
• (1 significa negativo e 0 positivo)
• Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em
binário com números não binários. Para isso, basta
convertermos o número para a base binária antes de fazer a
operação.
• 25,468 - B,4916 = X2
• 25,468 à 0 10101,1001102
B,4916 à 0 01011,010010012 à C2 = 1
10100,101101112
0 10101,100110002
+ 1 10100,101101112
1 0 01010,010011112
• Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações:
• a) 3710 – 3010 b) 8310 – 8210 c) 638 – 348
d) 778 – 118 e) BB16 – AA16 f) C4316 – 19516
g) 9810 – 14010 h) 24510 - 46410
•
• Multiplicação
• Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto
pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as
seguintes igualdades devem ser respeitadas:
• 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1
• Exemplos:
• - Multiplicar os números 1011 e 1101.
• Converta para binário efetue as seguintes operações:
Resolva:
a) 13610 * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128
• Divisão
• A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à
divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações
internas ao processo serem feitas em binário.
• Exemplo:
• Dividir 11011 por 101.
• Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes
operações:
• a) 1010102 / 1102 b) 3710 / 410 c) 110011102 / 11012
ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE
CIRCUITOS LÓGICOS.
• Existem duas constantes booleana: 0(zero) ou 1(um).
• Variável booleana é representada por letras que pode assumir valor
0 ou 1.
• Expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo
constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume dois
valores 0 ou 1.
• Exemplos: a) S = A.B B) S= A + B.C
• Existem propriedades da negação (complemento, inversor),
multiplicação(PORTA AND = E) e soma (porta OR = OU)
• Demonstra-se cada uma através de tabelas-verdade, constatando a
equivalência lógica.
Propriedades
1ª) Absorção:
1.1) A + (A.B) = A 1.2) A . ( A+ B) = A
2ª) Outras Identidades:
2.1) A + Ᾱ . B = A + B 2.2) (A + B) . ( A + C) = A + BC
3ª) Regras de Morgan:
3.1) (A . B)’ = A’ + B’ 3.2) (A + B)’ = (A . B)’
3.3) (A.B.C. ... .N)’ = A’+B’+C’+ ... + N’
3.4) (A+B+C+ ... +N)’ = A’.B’+C’. ... . N’
Eemplo: Utilizando transformações algébricas, mostre as
identidades:
a) A + A.B =A b) A . (A + B) = A
c) (A+B) . (A + C) = A + B.C d) A.B.C+.A.C’+A.B’ = A
FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS)
- Toda expressão booleana pode ser escrita em forma
padronizada denominada de Forma Normal ou Forma
Canônica, que se apresentam de duas maneiras:
- 1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas
ou Produto de Maxtermos.
- 2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou
Produto de Mintermos.
- Maxtermos: sua negação e variáveis de uma mesma linha
são conevariável com valor 0 é deixada intacta; com valor
1 é alterada pela ctadas por adição (+).
- Mintermos (ou minitermos): variável com valor 1 é deixada
intacta; com valor 0 é alterada pela sua negação e
variáveis de uma mesma linha são conectadas por
multipicação (.).
• A B C Maxtermo Mintermo
• 0 0 0 A + B + C A’ . B’ . C’
• 0 0 1 A + B + C’ A’ . B’ . C
• 0 1 0 A + B’ + C A’ . B . C’
• 0 1 1 A + B’ + C’ A’ . B . C
• 1 0 0 A’ + B + C A . B’ . C’
• 1 0 1 A’ + B + C’ A . B’ . C
• 1 1 0 A’ + B’ + C A . B . C’
• 1 1 1 A’ + B’ + C’ A . B . C
• Obs.: FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e
FNC só com saída 0 (produto das somas).
MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH
É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das
expressões booleanas.
DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS:
Ex.: 1) Simplifique usando Karnaugh.
a) A B S b) A B S
0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0
S = A + B S = A’ + B’ = (A . B)’
a) A B S b) A B S
0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0
S = A + B S = A’ + B’ = (A . B)’
S = A + B S = A’ + B’
A / B 0 1
0 1
1 1 1
A / B 0 1
0 1 1
1 1
• c) A B C S d) A B C S
• 0 0 0 1 0 0 0 0
• 0 0 1 0 0 0 1 1
• 0 1 0 1 0 1 0 0
• 0 1 1 1 0 1 1 1
• 1 0 0 1 1 0 0 1
• 1 0 1 0 1 0 1 1
• 1 1 0 1 1 1 0 1
• 1 1 1 0 1 1 1 0
• S = C’ +A’.B S = A’.C + A.B’ + A.C’
• S = B.’C’ + A’.B + B.C’ S = A’.C + A.B ’ + B’.C
• S = C’ + A’.B
A/BC 00 01 11 10
0 1 1 1
1 1 1
A/BC 00 01 11 10
0 1 1
1 1 1 1
• - PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA
• A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo
objetivo é de compreender as relações que se
estabelecem entre as proposições. Esses princípios são:
• 10) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro,
então é verdadeiro.
• 20) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
• 30) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e
nunca um terceiro.
• Para compreender melhor esses princípios da Lógica,
devemos observar os seguintes conceitos.
- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo.
03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a
proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é
falsa.
Ex.: Determine o valor lógico de cada proposição:
a) Belém é a capital do Estado do Pará.
b) Sen 300 = ½
c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
d) 9 é primo.
e) < 3,34...
f) (a – b)2 = a2 – b2
g) Log3 81 = 4
h) 52/52 = 0
As respostas a) V; b) V; c) V; d) F; e)V; f) F; g) V; h) F
• - PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES
COMPOSTAS
• - Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas
uma proposição, sendo representada por letras minúsculas
denominadas de letras proposicionais.
• Exemplo:
• p: 3 é um número primo. b) √2 é um número racional.
• - Proposição Composta (ou Molecular): é formada por
mais de uma proposição, sendo representada por letras
maiúsculas denominadas de letras proposicionais.
• Exemplo:
• João é rico e José é estudioso.
• Se Arero é Paysandu, então é feliz.
• CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos
usados para formar novas proposições a partir de outras.
• Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual)
e na linguagem simbólica, respectivamente.
• não (~ ou ), e, mas (, , ), ou- inclusive (), ou ...
ou...- exclusive, mas não ambos (), se ... então ... ()
e, ... se e somente se, ... ()
• a) Antonio não é gordo. b) Paulo é rico e João é vaidoso.
• c) Fátima é alegre e não é vaidosa. d) Adolfo é médico ou
José é professor. - ou inclusive: pode acontecer ao mesmo
tempo.
• e) Adolfo é paulista ou é mineiro.
• - ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo.
• f) Se Pedro é rico, então é feliz.
• g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar.
• LÓGICA DOS PREDICADOS:
• 1) Qualquer que seja; Todo →
• 2) Existe pelo menos um, alguns ᴲ
• 3) Existe um e um só ᴲΙ
• Ex.:
• 1) Qualquer que seja o número, sete é primo.
• 2) Existe pelo menos um número par entre 3 e 7.
• 3) Existe um e um só número ímpar pertencente ao conjunto A=
{0,2,5,8}.
• TABELA-VERDADE
• É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se
um fórmula é válida.
• - Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte
procedimento:
• Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula
L = 2n, onde n é o número de proposições simples.
•
• OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
• Negação (~): é uma proposição p representada por “não p” cujo valor
lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira.
• Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo.
• p ~p palavra não (~) uso para proposição simples (frente o verbo)
• V F palavras Não é verdade que /É falso que simples ou composta.
• F V (na frente da proposição)
• ~V = F e ~F = V
• V(~p) = ~V(p)
• Exemplos:
• a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade
(V).
• ~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade
(F).
• V(~p) = ~V(p) = ~V = F
• b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log 1000 ≠ 10 (V)
• V(~p) = ~V(p) = ~F = V
• Exemplo:
• a) p: Maria é feliz ~p: Maria não feliz o ou Não é verdade que
maria é feliz .
• b) p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil. ~p: Não é verdade (ou É falso
que) que o Lobo é feroz e o Carneiro é dócil.
• c) p: Maria é bonita ~p: Maria é feia.
• Conjunção (): conjunção de duas proposições p e q é a proposição
representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as
proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais
casos. Coloca-se as palavras e ou a palavra mas entre as proposições
• p q p ^ q p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil
• V V V q: Paula é bonita, mas é gorda
• V F F
• F V F
• F V F
• V V = V, V F = F, F V = F e F F = F
• Disjunção (): disjunção de duas proposições p e q é a proposição
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando
ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F)
quando ambas são falsas.
• p q pq
• V V V p: Saulo é rico ou é feliz
• V F V
• F V V
• F F F
• V V = V, V F = V, F V = V e F F = F
• Disjunção Exclusiva (): disjunção exclusiva de duas
proposições p e q é a proposição representada
simbolicamente por p q, que se lê: “ou p ou q”, cujo
valor lógico é a verdade (V) somente quando p é
verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são
ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são
ambas verdadeiras ou ambas falsas.
• p q p v q
• V V F p: ou Igor é paraense ou paulista
• V F V
• F V V
• F F F V V = F, V F = V, F V = V e F F = F
• Condicional (): é a proposição representada por “se p então
q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é
verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos.
• p q p q
• V V V p: Se Igor é paraense, então é feliz;
• V F F p (antecedente) e q (conseqüente)
• F V V
• F F V
• Bicondicional (): é a proposição representada por “p se e
somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são
verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso.
• p q p q
• V V V VV = V, VF = F, FV = F e FF = V
• V F F p é condição necessária e suficiente para q
• F V F q é condição necessária e suficiente para q
• F F V
• Exercícios:
• 01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é
trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes
proposições:
• ~p q b) p q c) ~q p d) p q
• 02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita.
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
• Laura é forte e bonita
• Não é verdade que Laura é forte ou bonita
• Laura é forte ou é fraca e bonita.
• Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais
forte da seguinte maneira: ~, ˄v, → e ↔. O conectivo v deve
acompanhar parêntesis para identificar como sendo forte ou fraca.
• Uso do Parêntesis.
• Observe a expressão p q ~p.
• Ao acrescentar parêntesis, podemos transformar numa conjunção ou
numa condicional, da seguinte maneira:
• p (q ~p) conjunção b) (p q) ~p condicional
• Modificando as proposições através do uso do parêntesis;
• p q r s
• A proposição predominante é a última a ser resolvida.
• a) ((p q) r) s Bicondicional
• b) p ((q r) s) Condicional
• c) (p (q r)) s Bicondicional
• d) p (q (r s)) Condicional
• e) (p q) (r s) Conjunção
Obs.:Podemos também suprimir parêntesis de uma proposição, para simplificar
• Valor lógico de uma proposição composta.
• - É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição
composta P(p, q, r, ...), quando é conhecido o valor de cada
proposição simples p, q, r, .... Observe os exemplos:
• 1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q,
determine o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q).
• Solução:
P(p,q)=(p ~q)(~p q)=(V ~F)(~V F)=(V V)(F F)=VF = F
• 2) Dadas as proposições simples p: -2+6=4 e q: Log 2 64 = 5. Encontre
o valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q).
• Solução:
• P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V~F) = ~F(VV) =
VV = V
Exercícios:
1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q
d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r)
g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q
j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r
m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r)
2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine:
a) P(VV) b) P(VF)
c) P(FV) d) P(FF)
3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:
a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q)=(p v q) ~(p q)
d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q)
4) Determine P(VFV) em cada caso:
a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~v r) r)
c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q (r ~p)
5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são
respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta
P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r).
6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ˅ ~q r ˄ ~r é uma
bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em:
6.1) Condicional.
6.2) Disjunção.
6.3) Conjunção.
7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) ˅ q) ˄ (~q)) numa
proposição mais simples (subtrair parêntesis).
8) Dadas as proposições: p: 2 .(5 – 4) = 2, q: 2 . 5 – 4 = 6 e r: 5 – 4 . 2
= 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo:
a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r)
c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r):((~pq) r)(p ~r)
• CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES C0MPOSTAS
• Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última
coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade.
• Contradição ou Contraválida: é toda proposição composta que
apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor
lógico falsidade.
• Contingência ou Indeterminada: é toda proposição composta
que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore
lógicos verdade e falsidade.
• Exemplos:
• - Classifique as proposições em tautológica, contradição (ou
contraválida) e contingência (ou indeterminada):
• 1) P(p,q) = ~p (p ~q) 2) P(p,q) = (p q) (p ~q)
• 3) P(p,q) = ~p (p ˅~q) 4) P(p, q): ~p v (~q v p)
• - IMPLICAÇÃO LÓGICA ()
• Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a
condicional P → Q for uma tautologia.
• Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q.
• Ex.:1) Verifique se existe equivalência lógica entre as proposições
compostas:
• a) P: p; Q: q p b) P: q; Q: p ^ q p c) (p↔q)→(~p ˄~q)
2) Propriedades da Implicação Lógica.
i) Reflexiva: P Q
ii) Transitiva: P Q e Q R; P R
• Exemplos:
• 1) Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p,
verifique se:
• a) P Q b) P R c) Q R
• 2) Verifique se P = (p ˅ q) ˄ ~p implica Q = q→~p.
→
• EQUIVALÊNCIA LÓGICA ()
• Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma
proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as
proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica.
• P(p,q, ...) Q(p, q, ...)
• Exemplos:
• 1) Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são
equivalentes.
• 2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q?
• Nota: os símbolos , , e são distintos, onde os dois primeiros
fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação.
•
• Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições
compostas:
• 1a) Reflexiva: P Q
• 2a) Simétrica : Se P Q, então Q P
• 3a) Transitiva : Se P Q e Q R, então P R
• Proposições Associadas a uma Condicional.
• - Denominam-se proposições associadas a condicional p q as
três seguintes proposições condicionais que contêm p e q:
• 1- Proposição recíproca de p q: q p.
• 2- Proposição contrária de p q: ~p ~q.
• 3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p.
• Exemplo:
• 1- Construindo a tebela-verdade das proposições P: p q, Q:q
p, R: ~p ~q e S: ~q ~p, verifique se existe equivalência.
• 2- Encontre a contrária e a contrapositiva da condicional P: Se
Paulo é Paysandu, então é feliz.
R) A contrária da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo não é
Paysandu, então é infeliz.
A contrapositiva da condicional p q é ~q ~p: Se Paulo é
infeliz, então não é Paysandu,
• Negação Conjunta de duas Proposições
- Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não
p e não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:
• Negação Disjunta de duas Proposições
- Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p
ou não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q.
• Exercícios:
1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade:
1.1- ~p p p
1.2- p q (p q) (p q)
2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das
proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes
proposições:
2.1- (p ~q) (q ~r)
2.2- (~p ~q) ((q p) (r p))
3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.
- Álgebra das Proposições
1.1- Propriedades da Conjunção
1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)
Exemplo: a = 7 a = 7 a = 7
Idempotência: é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser
aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação
inicial.
2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)
Exemplo: x = 2 + 3 x < 7 x < 7 x = 2 + 3
3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)
Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5)
4a) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a
encerra somente a verdade e b a falsidade).
Exemplo:
x 2 /x/ ≥ 0 x 2
x 2 /x/ < 0 /x/ < 0
1.2- Propriedades da Disjunção
1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)
Ex: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2
2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)
Exemplo: a = 4 - 5 a < 2-3 a < 2-3 a = 4 – 5
3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)
Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6)
4a) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade).
Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 /x/ ≥ 0
x 2 /x/ < 0 x 2
1.3- PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO
1a) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são
proposições simples.
– p (q r) (p q) (p r)
– p (q r) (p q) (p r)
Exemplo:
1- A proposição “João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia” é
equivalente a proposição “João pratica esporte e Carlos estuda” ou “João
pratica esporte e Carlos passeia”.
2- “chove ou faz vento e frio” é equivalente a “chove ou faz vento” e
“chove ou faz frio”
02) Absorção:
2.1- p (p q) p
2.2- p (p q) p
Regras de Morgan:
1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é
equivalente a disjunção das negações das proposições.
~(p q) ~p ~q
“é inteligente e estuda” é equivalente a não é inteligente ou não estuda”
2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é
equivalente a conjunção das negações das proposições.
~(p q) ~p ~q “é médico ou professor” é equivalente a “não é
médico e não é professor”
• 03- Negação da Condicional
• Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo,
negando a condicional temos:
• p q ~p q
• ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~q, logo:
• ~( p q) p ~q
• 04- Negação da Bicondicional
• Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo:
• p q (p q) (q p)
• p q (~p q) (~q p)
• Negando, temos:
• ~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q)
(~p q)
• Logo: ~(p q) (p ~q) (~p q)
• Ex- Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências:
a) p q (p ~q) b) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan)
• FEITOSA, Hércules de Araújo. PAULOVICH, Leonardo. Um
Prelúdio à Lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.
• ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São
Paulo: Nobel, 2008.
• GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da
Computação. Ed. LTC, 2004.
• ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Jameiro: Editora
Campus, 2005.
• CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São
Paulo: Nobel, 1984.
• http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/nocoes-
de-logica/implicacao-logica.html#ixzz3QmLUZqWb
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Idempot%C3%AAncia