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Proceso de admisión 2019 – Curso de matemáticas Lógica computacional Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 20 de mayo de 2019 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 1 / 80

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Proceso de admisión 2019 – Curso de matemáticasLógica computacional

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

20 de mayo de 2019

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 1 / 80

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostración

Inferencia y deducción son procesos muy importantes en la lógicaproposicional

Deducción. Inicia con un conjunto de fórmulas lógicas(proposiciones simbolizadas) que se denominan premisas y sebusca entonces usar reglas de inferencia para que estas premisasnos conduzcan a otras fórmulas denominadas conclusiones

La idea principal de la inferencia lógica es que de premisasverdaderas se obtienen sólo conclusiones que son verdaderas

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus ponendo ponens

La regla de inferencia llamada modus ponendo ponens (en latín: el modo que, alafirmar, afirma) permite demostrar Q A partir de P → Q y P

Ejemplo:

Premisa 1: Si él está en partido de fútbol, entonces él está en elestadioPremisa 2: Él está en el partido de fútbolConclusión: Él está en el estadio

Sea

P = “Él está en el partido de fútbol”Q = “Él está en el estadio”

Entonces

Premisa 1: P → Q (antecedente P , consecuente Q)Premisa 2: PConclusión: Q

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus ponendo ponens

Otros ejemplos:

a. R → SR

∴ S

b. PP → ¬Q

∴ ¬Q

c. P ∧Q → RP ∧Q

∴ R

Observe que en el ejemplo b. la condicional (P → ¬Q) está como segundapremisa y P es el antecedente

Cuando el modus ponendo ponens (o cualquier otra regla de inferencia) seaplica el orden de las premisas es indiferente

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónDemostraciones

Cuando se emplea una regla de inferencia para pasar de unconjunto de proposiciones a otra proposición (conclusión) sedemuestra que la última proposición es consecuencia lógica delas otras

También puede expresarse como que se ha derivado laconclusión de las premisas, o que la conclusión se infiere de (esimplicada por) las premisas

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónDemostraciones

Un ejemplo de demostración:

R → S P(1)R P(2)S PP(3)

Cada línea de la demostración está numerada

Las premisas están identificadas con P

La línea (3) se deduce a partir de ellas usando el modus ponendo ponens,indicado con PP

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónDemostraciones de dos pasos

Algunas veces no es posible ir directamente de las premisas a laconclusión en un solo paso

Cada vez que se deduce una proposición por medio de una regla,esta proposición puede utilizarse junto con las premisas paradeducir otra proposición

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónDemostraciones de dos pasos

Ejemplo de demostración de dos pasos:

Se requiere probar la proposición C, para ello se requieren dos pasos, cada unousando el modus ponendo ponens

Estos dos pasos son las líneas (4) y (5) de la siguiente demostración

A → B P(1)B → C P(2)A P(3)B PP 1, 3(4)C PP 2, 4(5)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónDemostraciones de dos pasos

Un ejemplo más de demostración de dos pasos:

Se requiere probar la proposición R

S → ¬T P(1)S P(2)

¬T → R P(3)¬T PP 1, 2(4)R PP 3, 4(5)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónRegla de la doble negación

Es una regla simple que permite pasar de una premisa única a laconclusión

Por ejemplo:No ocurre que Ana no es una estudiante

¿Qué conclusión podemos sacar de esta premisa?Ana es una estudiante

Esta regla también actúa e sentido contrario Por ejemplo, de laproposición:

Juan toma taxi para ir a la escuela

Se puede concluir la negación de su negación:No ocurre que Juan no toma taxi para ir a la escuela

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónRegla de la doble negación

La regla de la doble negación (abreviada DN) tiene dos formassimbólicas:

P∴ ¬¬P

¬¬P∴ P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónRegla de la doble negación

Ejemplo 1:

R P(1)¬¬R DN 1(2)

Ejemplo 2:

¬¬(P ∧Q) P(1)P ∧Q DN 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo tollens

La regla de inferencia llamada modus tollendo tollens (en latín: elmodo que, al negar, niega) permite pasar de dos premisas (a) unaproposición condicional, y (b) una proposición que niega elconsecuente, a una conclusión que niega el antecedente

Se abrevia TT y simbólicamente se representa así:

P → Q¬Q

∴ ¬P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo tollens

Ejemplo:

Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrellaPremisa 2: El astro no es una estrellaConclusión: Por lo tanto no tiene luz propia

Sea

P = “Tiene luz propia”Q = “El astro es una estrella”

Entonces

Premisa 1: P → QPremisa 2: ¬QConclusión: ¬P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo tollens

Ejemplo 1:

Q ∧R → S P(1)¬S P(2)

¬(Q ∧R) TT 1, 2(3)

Ejemplo 2:

P → ¬Q P(1)¬¬Q P(2)¬P TT 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo tollens

Veamos un ejemplo donde se empleen las tres reglas vistas hastaahora. Se quiere demostrar ¬¬R:

P → Q P(1)¬Q P(2)¬P → R P(3)¬P TT 1, 2(4)R PP 3, 4(5)

¬¬R DN 5(6)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo tollens

Otro ejemplo adicional. Se quiere demostrar A:

¬A → ¬B P(1)B P(2)

¬¬B DN 2(3)¬¬A TT 1, 3(4)

A DN 4(5)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

Se tienen dos proposiciones como premisas:Jorge es adultoMaría es adolescente

Si ambas son verdaderas, entonces se podrían juntar en unaproposición molecular con el operador de enlace y (∧)

Esto daría lugar a la proposición verdadera siguiente:Jorge es adulto y María es adolescente

Si ambas premisas son ciertas, la conclusión será cierta

La regla que permite hacer esto se denomina regla de adjunción(abreviada A)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

La regla de adjunción simbólicamente se representa así:

PQ

∴ P ∧Q o también Q ∧ P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

Ejemplo 1:

Q ∧ S P(1)¬T P(2)¬T ∧ (Q ∧ S) A 1, 2(3)

Ejemplo 2:

A ∨B P(1)B ∨ C P(2)

(A ∨B) ∧ (B ∨ C) A 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

La regla de simplificación (abreviada S) permite pasar de unaconjunción a cada una de las dos proposiciones que están unidascon el operador de enlace y (∧)

Suponga que se tiene la premisa:El cumpleaños de María es el viernes y el mío es el sábado

De esta premisa se pueden deducir dos proposiciones(conclusiones):

El cumpleaños de María es el viernesEl mío es el sábado

Si la premisa es cierta, ambas conclusiones también lo serán

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

La regla de simplificación simbólicamente se representa así:

P ∧Q∴ P o también Q

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

Ejemplo 1:

(P ∨Q) ∧R P(1)R S 1(2)

Ejemplo 2:

Q ∧ S P(1)Q S 1(2)

Ejemplo 3:

(P ∨Q) ∧R P(1)P ∨Q S 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónAdjunción y simplificación

Ejemplo 4:

(P ∧Q) ∧R P(1)(P ∧Q) S 1(2)

Ejemplo 5:

T ∧ ¬V P(1)¬V S 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo ponens

La regla de inferencia llamada modus tollendo ponens (en latín: elmodo que, al negar, afirma) establece que negando un miembrode una disyunción se afirma el otro miembro

Se abrevia TP y simbólicamente se representa así:

P ∨Q¬P

∴ Q

P ∨Q¬Q

∴ P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo ponens

Ejemplo:

Premisa 1: Esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígenoPremisa 2: Esta sustancia no contiene hidrógenoConclusión: Esta sustancia contiene oxígeno

Sea

P = “Esta sustancia contiene hidrógeno”Q = “Esta sustancia contiene oxígeno”

Entonces

P ∨Q P(1)¬P P(2)Q TP 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo ponens

Ejemplo 1:

(P ∧Q) ∨ S P(1)¬S P(2)P ∧Q TP 1, 2(3)

Ejemplo 2:

¬S ∨ T P(1)¬T P(2)¬S TP 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas básicas de inferencia y demostración

Reglas básicas de inferencia y demostraciónModus tollendo ponens

Ejemplo 3:

¬P ∨ ¬Q P(1)¬¬P P(2)¬Q TP 1, 2(3)

Ejemplo 4:

(P ∧Q) ∨ (R ∧ S) P(1)¬(P ∧Q) P(2)

R ∧ S TP 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

Deducción proposicional

Hasta ahora hemos aprendido a efectuar deducciones simples

Consideremos ahora algunas un poco más avanzadas

Si la ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Sitoma oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. Laballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto, nonecesita branquias.

El primer paso es simbolizar el razonamiento anterior

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

Deducción proposicional

Sea

W = “La ballena es un mamífero”

O = “Toma oxígeno del aire”

G = “Necesita branquias”

H = “Habita en el océano”

Entonces las premisas y la conclusión quedan de la siguiente forma:

Premisa 1: W → O

Premisa 2: O → ¬G

Premisa 3: W ∧H

Conclusión: ¬G

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

Deducción proposicional

La deducción proposicional se puede escribir así:

W → O P(1)O → ¬G P(2)W ∧H P(3)W S 3(4)O PP 1, 4(5)

¬G PP 2, 5(6)

Así puesto que ¬G representa la proposición “No necesita branquias” se ha

demostrado que la conclusión del razonamiento es válida. Esto es un ejemplo dededucción formal.

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

Deducción proposicional

Veamos otro ejemplo más

Si la enmienda no fue aprobada entonces la Constitución quedacomo estaba. Si la Constitución queda como estaba entonces nopodemos añadir nuevos miembros al comité. O podemos añadirnuevos miembros al comité o el informe se retrasará un mes. Peroel informe no se retrasará un mes. Por lo tanto la enmienda fueaprobada.

Simbolicemos este razonamiento

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Deducción proposicional

Deducción proposicionalSea

A = “La enmienda fue aprobada”

C = “La Constitución queda como estaba”

M = “Podemos añadir nuevos miembros al comité”

R = “El informe se retrasará un mes”

Entonces la deducción proposicional se puede escribir así:

¬A → C P(1)

C → ¬M P(2)

M ∨R P(3)

¬R P(4)

M TP 3, 4(5)

¬C TT 2, 5(6)

A TT 1, 6(7)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionales

Hasta ahora hemos visto sólo algunas reglas básicas deinferencia

Esto limita un poco las deducir que podemos realizar

Por esta razón a continuación estudiaremos reglas de inferenciaadicionales

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de la adición

La ley de la adición (abreviada LA) expresa el hecho que si setiene una proposición cierta, entonces la disyunción de esaproposición y otra cualquiera será también cierta

Dado P , entonces la proposición P ∨Q es consecuencia

Ejemplo: suponga que la siguiente premisa es ciertaEste libro es azul

Entonces se sabe que la proposición siguiente ha de ser tambiéncierta

Este libro es azul o es nuevo

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de la adición

Ejemplo 1:

Q P(1)Q ∨ ¬R LA 1(2)

Ejemplo 2:

¬R P(1)S ∨ ¬R LA 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de la adición

Ejemplo 3:

T ∧ S P(1)(T ∧ S) ∨R LA 1(2)

Ejemplo 4:

T ∨R P(1)(P ∧ S) ∨ (T ∨R) LA 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo hipotético

La ley del silogismo hipotético es una forma de argumento válidoque consiste en un silogismo con una sentencia condicional parauna o ambas de sus premisas

Se abrevia HS y se representa simbólicamente así:

P → QQ → R

∴ P → R

Recordemos: un silogismo es un tipo de argumento lógico que aplica razonamiento deductivo para llegar a una conclusión

basado en dos o más proposiciones que asume son verdaderas

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo hipotético

Ejemplo: de las premisasPremisa 1: Si hace calor, entonces José va nadarPremisa 2: Si José va a nadar, entonces arregla la casa despuésde comer

Se puede obtener la conclusión: Si hace calor, entonces arregla la casadespués de comer

Para simbolizar el razonamiento, seaD = “Hace calor”S = “José va a nadar”H = “Arregla la casa después de comer”

Entonces

D → S P(1)

S → H P(2)

D → H HS 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo hipotético

Ejemplo 1:

¬P → ¬Q P(1)¬Q → ¬R P(2)¬P → ¬R HS 1, 2(3)

Ejemplo 2:

¬P → ¬Q ∨R P(1)¬Q ∨R → ¬T P(2)

¬P → ¬T HS 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo hipotético

Ejemplo 3:

S → T P(1)T → R ∨Q P(2)S → R ∨Q HS 1, 2(3)

Ejemplo 4:

(P → Q) → R P(1)R → (Q ∧ T ) P(2)

(P → Q) → (Q ∧ T ) HS 1, 2(3)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo disyuntivo

La ley del silogismo disyuntivo empieza con una disyunción y doscondicionales que tienen como antecedente a cada una de laspremisas de la disyunción. La conclusión es otra disyunción delos consecuentes de las condicionales.

Se abrevia DS y se representa simbólicamente así:

P ∨QP → RQ → S

∴ R ∨ S o también S ∨R

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo disyuntivo

Ejemplo: de las premisas

Premisa 1: Llueve o el campo está secoPremisa 2: Si llueve, entonces jugaremos adentroPremisa 3: Si el campo está seco, entonces jugaremos baloncesto

Se puede obtener la conclusión: jugaremos adentro o jugaremos al baloncesto

Para simbolizar el razonamiento, sea

R = “Llueve”

D = “El campo está seco”

P = “Jugaremos adentro”

B = “Jugaremos al baloncesto”

Entonces

R ∨D P(1)

R → P P(2)

D → B P(3)

P ∨B DS 1, 2, 3(4)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo disyuntivo

Ejemplo 1:

¬P ∨Q P(1)¬P → ¬R P(2)Q → S P(3)

¬R ∨ S DS 1, 2, 3(4)

Ejemplo 2:

P ∨Q P(1)P → ¬R P(2)Q → ¬S P(3)

¬S ∨ ¬R DS 1, 2, 3(4)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey del silogismo disyuntivo

Ejemplo 3:

¬P ∨ ¬Q P(1)¬P → R P(2)¬Q → S P(3)R ∨ S DS 1, 2, 3(4)

Ejemplo 4:

P ∨ ¬Q P(1)P → ¬R P(2)

¬Q → S P(3)¬R ∨ S DS 1, 2, 3(4)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de simplificación disyuntiva

La ley de simplificación disyuntiva (abreviada DP) se representasimbólicamente así:

P ∨ P∴ P

Ejemplo de la proposición:“El equipo de los Pumas ganará o el equipo de los Pumas ganará”

Se puede concluir que “El equipo de los Pumas ganará”

Simbólicamente:

P ∨ P P(1)P DP 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de simplificación disyuntiva

Ejemplo 1:

¬Q ∨ ¬Q P(1)¬Q DP 1(2)

Ejemplo 2:

(P ∧Q) ∨ (P ∧Q) P(1)P ∧Q DP 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes conmutativas

Las leyes conmutativas (abreviadas CL) se aplican a conjuncionesy disyunciones. Expresan que el orden de las proposicionesatómicas no afectan el significado de la proposición molecular

Representadas en forma simbólica:

P ∧Q∴ Q ∧ P

P ∨Q∴ Q ∨ P

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes conmutativas

El razonamiento siguiente es un ejemplo del uso de las leyes conmutativas en laconjunción:

Galileo murió en 1642 y Newton nació en 1642Por lo tanto, Newton nació en 1642 y Galileo murió en 1642

Sea:

G = “Galileo murió en 1642”N = “Newton nació en 1642”

El razonamiento es:

G ∧N P(1)

N ∧G CL 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes conmutativas

El razonamiento siguiente es un ejemplo del uso de las leyes conmutativas en laconjunción:

x es mayor que cinco o x es igual a cincoPor lo tanto, x es igual a cinco o x es mayor que cinco

Sea:

M = “x es mayor que cinco”I = “x es igual a cinco”

El razonamiento es:

M ∨ I P(1)

I ∨M CL 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes conmutativas

Ejemplo 1:

P ∧ ¬Q P(1)¬Q ∧ P CL 1(2)

Ejemplo 2:

¬P ∨ ¬Q P(1)¬Q ∨ ¬P CL 1(2)

Ejemplo 3:

¬P ∧Q P(1)Q ∧ ¬P CL 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan (abreviadas DL) son un par de reglas deinferencia que permiten la expresión de conjunciones ydisyunciones puramente en términos una de otra vía la negación

Representadas en forma simbólica:

¬(P ∨Q)∴ ¬P ∧ ¬Q

¬(P ∧Q)∴ ¬P ∨ ¬Q

Se resumen en tres pasos:Cambiar ∧ por ∨ o ∨ por ∧Negar cada miembro de la conjunción o disyunciónNegar la fórmula completa

Augustus De Morgan (1806-1871) matemático y lógico británico

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes de De Morgan

Ejemplo 1:

¬(P ∧ ¬Q) P(1)¬P ∨ ¬¬Q DL 1(2)

Ejemplo 2:

¬(¬P ∧ ¬Q) P(1)¬¬P ∨ ¬¬Q DL 1(2)

Ejemplo 3:

¬¬P ∨ ¬Q P(1)¬(¬P ∧Q) DL 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLeyes de De Morgan

Ejemplo 4:

¬(P ∨ ¬Q) P(1)¬P ∧ ¬¬Q DL 1(2)

Ejemplo 5:

¬¬P ∧ ¬Q P(1)¬(¬P ∨Q) DL 1(2)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Reglas de inferencia adicionales

Reglas de inferencia adicionalesLey de las proposiciones bicondicionales

La ley de las proposiciones bicondicionales (abreviadas LB)permite deducir de una bicondicional dos proposicionescondicionales

Representadas en forma simbólica:

P ↔ Q∴ P → Q

P ↔ Q∴ Q → P

P ↔ Q∴ (P → Q) ∧ (Q → P )

P → QQ → P

∴ P ↔ Q

Se adoptará la convención de que la bicondicional tieneprecedencia que cada uno de los otros términos de enlace

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Árboles de verdad

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Árboles de verdad

Árboles de verdad

Independientemente de la longitud de una proposición molecular,es posible encontrar sus valores de verdad si se conocen losvalores de verdad de sus partes

Una forma de analizar el valor de verdad de una proposiciónmolecular es estableciendo un árbol de verdad (también llamadosdiagramas de certeza)

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Árboles de verdad

Árboles de verdad

Veamos un ejemplo con la proposición (P ∨Q) ∧R donde P esuna proposición cierta, Q es falsa y R es una proposición cierta

(P ∨Q) ∧R

T F T

T

T

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Árboles de verdad

Árboles de verdad

Consideremos ahora otro ejemplo con la proposición(P ∧Q → P ) ∧ (R ∨ S) donde P es cierta, Q es cierta, R es falsay S es falsa

(P ∧Q → P ) ∧ (R ∨ S)

T T T

T

T

F F

F

F

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Conclusiones no válidas

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Conclusiones no válidas

Conclusiones no válidas

Hasta ahora en todo los ejemplos que hemos realizado se pedíadeducir a partir de premisas dadas una conclusión que eraefectivamente válida

En lógica a veces se requiere también probar que una conclusiónno es consecuencia lógica de las premisas dadas

O que un razonamiento particular es no válido

Una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando toda interpretación que hace verdaderas a las premisastambién hace verdadera a la conclusión

Un razonamiento es válido sólo si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Conclusiones no válidas

Conclusiones no válidas

Veamos a través de un ejemplo un método para probar que unrazonamiento particular es no válido

Suponga el siguiente razonamiento:Si usted es un habitante de Cd. Victoria, entonces usted es unhabitante de MéxicoUsted es un habitante de MéxicoPor lo tanto, usted es un habitante de Cd. Victoria

Sea:V = “Usted es un habitante de Cd. Victoria”M = “Usted es un habitante de México”

Simbolizando:

V → MM

∴ V

La forma del razonamiento nos permite deduciruna conclusión falsa de premisas verdaderas (Vfalsa, M verdadera)

Se demuestra entonces que el razonamientoes no válido

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Conclusiones no válidas

Conclusiones no válidas

El método (denominado de asignación de certeza) para demostrarque una inferencia es no válida se puede resumir en dos pasos:

1 Simbolizar las premisas y conclusiones2 Encontrar una asignación de valores de verdad para las

proposiciones atómicas tales que todas las premisas sean ciertas yla conclusión sea falsa

V → M

F T T

T

Premisas

M

Conclusion

F

V

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Conclusiones no válidas

Conclusiones no válidas

Un ejemplo un poco más largo

P ∧Q → (P → R) ∨ S

T T

T

Premisas

P ∧ ¬RConclusion

¬P ∨ ¬QT T

F F

F

T F

F

T

T

T

T FF

T

T

El razonamiento es no válido por que la conclusión no es unaconsecuencia lógica de las premisas

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración condicional

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración condicional

Demostración condicional

Una demostración condicional (abreviada CP) permite usar partede la conclusión como una premisa que se puede usar paraprobar el resto de la conclusión

Para demostrar la validez de un argumento cuya conclusión tienela forma X → y (i.e., cualquier declaración condicional) se puedenseguir los siguientes pasos:

1 Separe el antecedente X de la condicional2 Agregue ese antecedente X a la lista de premisas (como una

premisa supuesta AP)3 Se prueba el consecuente y como si fuera la conclusión

Veamos un ejemplo a continuación

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración condicional

Demostración condicional

Dadas las premisas P → Q, R → ¬Q; deseamos probar la conclusión R → ¬P

P → Q P(1)

R → ¬Q P(2)

R AP(3)

¬Q PP 2, 3(4)

¬P TT 1, 4(5)

R → ¬P CP 3, 5(6)

En (3) se introduce el antecedente de la condicional (se recorre a la derecha -no es premisa original)

En (5) se deduce el consecuente de la condicional

La línea (6) se recorre a la izquierda por que es conclusión de las premisasoriginales

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración condicional

Demostración condicional

Ejemplo 2. Dadas las premisas A → (B → C), ¬D ∨A, B; deseamos probar laconclusión D → C

A → (B → C) P(1)

¬D ∨A P(2)

B P(3)

D AP(4)

A TP 2, 4(5)

B → C PP 1, 5(6)

C PP 3, 6(7)

D → C CP 4, 7(8)

La parte de la demostración que se ha corrido a la derecha se denominademostración subordinada

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 72 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Consistencia

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 73 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Consistencia

Consistencia

Como hemos visto ya, una contradicción (representada ⊥) es unaproposición que siempre es falsa, independientemente de losvalores de verdad de sus constantes

Un ejemplo de contradicción es la proposición P ∧ ¬P

Cada dos o más proposiciones que lógicamente no pueden serciertas a la vez se dice que son inconsistentes

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 74 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Consistencia

Consistencia

En ocasiones no se requiere deducir una conclusión particular,sino deducir si un conjunto de proposiciones es consistente oinconsistente

Para demostrar que un conjunto de premisas son inconsistentesse deduce una contradicción (i.e., las premisas no pueden sertodas ciertas a la vez)

Veamos un ejemplo

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Consistencia

Consistencia

Dadas las premisas D → J , D, ¬J ; deseamos probar que soninconsistentes

D → J P(1)D P(2)¬J P(3)J PP 1, 2(4)J ∧ ¬J A 3, 4(5)

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 76 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración indirecta

1 Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicionalReglas básicas de inferencia y demostraciónDeducción proposicionalReglas de inferencia adicionalesÁrboles de verdadConclusiones no válidasDemostración condicionalConsistenciaDemostración indirecta

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 77 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración indirecta

Demostración indirecta

Una demostración indirecta1 (abreviada RAA) permite demostrarla negación del antecedente de una condicional cuando se sabeque el consecuente es falso (i.e., es una contradicción)

Representados en forma simbólica:P → (Q ∧ ¬Q)

∴ ¬P

1También puede denominarse demostración por contradicción o demostración por reducción al absurdo.

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 78 / 80

Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración indirecta

Demostración indirecta

Para ello se seguen los siguientes pasos:1 Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva

premisa2 Con la premisa nueva y las premisas dadas se deduce una

contradicción3 Se establece la conclusión deseada como una inferencia lógica

deducida de las premisas originales

Veamos un ejemplo a continuación

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Teoría de inferencia y demostración en lógica proposicional Demostración indirecta

Demostración indirecta

Dadas las premisas (1)-(3), se desea llegar a la conclusión ¬D

D → W P(1)

A ∨ ¬W P(2)

¬(D ∧A) P(3)

D P(4)

W PP 1, 4(5)

A TP 2, 5(6)

¬D ∨ ¬A DL 3(7)

¬A TP 4, 7(8)

A ∧ ¬A A 6, 8(9)

¬D RAA 4, 9(10)

Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa, línea (4)

Con la premisa nueva y las premisas dadas se deduce una contradicción, líneas (5) a (9)

Se establece la conclusión deseada como una inferencia lógica deducida de las premisas originales, línea (10)

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 80 / 80