ÁLGEBRA LINEAL (Matrices y determinantes. Sistemas de...

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ÁLGEBRA LINEAL

(Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales)

Curso 2009-2010

-Enunciados: pg. 2.

-Soluciones: pg 3.

Curso 2010-2011

-Enunciados: pg. 5.

-Soluciones: pg 6.

Curso 2011-2012

-Enunciados: pg. 8.

-Soluciones: pg 9.

Curso 2012-2013

-Enunciados: pg. 12.

-Soluciones: pg. 13.

Curso 2013-2014 A partir del curso 2013-2014 dejaron de

publicarse los exámenes de reserva.



Curso 2014-2015



Curso 2015-2016



Este compendio se hizo, en parte, en colaboración con el grupo de segundo de bachillerato de ciencias del

IES Guadalerzas de la promoción 2014-2015. Mi reconocimiento.

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2009-2010 Enunciados

Junio 2009-2010

Septiembre 2009-2010

Reserva I 2009-2010

iii

Reserva II 2009-2010

2009-2010 SOLUCIONES

Junio 2009-2010

3A) a) -Si 1k , SCIArgArg 1* .

-Si 2k , SIArgArg 2,3* .

-Si 2,1k , SCDArgArg 3* .

b) Como sólo tenemos una ecuación para 3 incógnitas, la solución debe tener 2 parámetros (nota: en

los SCI se cumple nº de parámetros = nº de incógnitas – rango):

z

y

x 1

3B) 4,2,1 cba .

Septiembre 2009- 2010

3A) a) para 𝜆 ≠ −1,−2.

b)

319

4212

002

2 1MFX

3A) a) -Si 2 , SCD.

-Si 2 , SI.

b) 2,2,2 zyx .

iv

Reserva I 2009-2010

3A) a) -Si 4k , SCIArgArg 2* .

-Si 4k , SCDArgArg 3* .

b)

z

y

x

200

3

2

1

2

150

3B) a) 12

IABX

b)

120

210

101

X


3A) a) para ℝ 1 . Es decir, para cualquier 1 .

b)

101

110

110

X ,

003

010

111

X .

3B) a) det = 3.

b) det = 10.

c) det = 10.

v

2010-2011 ENUNCIADOS

Junio 2010-2011


Reserva I 2010-2011

vi



Junio 2010- 2011

3A) a)

46

24X ,

45

34Y .

b)

impar es si,

par es si,

nB

nIBn

3B) a) -Si 2 , SCD.

-Si 2 , SCI.

b)

tz

ty

tx

8

1

2

1

8

3

2

1

vii


3A) a) -Si 1 ó 1 kk , 2Arg .

-Si 1k , 3Arg .

b) No (el sistema es homogéneo).

c) Para 1y 1 kk .

3B) a) -Si 7m , SCD.

-Si 7m , SCI.

b)

z

y

x

23

34

Reserva I 2010-2011

3A) a)

12

02/2

023

0

zyx

zyx

zyx

zyx

SCDnrgArgA 3*

b)

5

2

3

z

y

x

3B) Se demuestra que:

2 tAArg

(porque 010det 24 kkAA t , que no tiene solución). Y que:

2 AArg t

(porque 0det AAt para cualquier valor de k). Por tanto, AArgAArg tt .


3A) a) 1 MIAX , siendo ABM . Es decir, 1 ABIAX .

b)

200

230

122

X

3B) a) Teorema de Rouché-Fröbenius: Consideremos un sistema BAX con m ecuaciones y n

incógnitas, y sea BAA * la matriz ampliada, bla, bla, bla.

b) B tiene orden 3x1.

c) No puede ser SCD, porque 3Arg , pero hay 4 incógnitas.

d) En ese caso debe ser 3* Arg (como A* es 3x5, tiene rango, a lo sumo, 3).

viii


Junio 2011-2012


ix

Reserva I 2011-2012



Junio 2011- 2012

3A) a) -Si 2m , SCD.

-Si 2m , SI.

b) Para 2m la solución es: 0,0,0 zyx (el sistema es homogéneo).

x

3B) a) 3/1/1 AB .

Como 0B , el rango es máximo: nBrg .

b) 1X .


3A) det1 = –10.

det2 = 5.

3B) a) -Si 1a , SCIArgArg 2* .

-Si 3a , SIArgArg 2,3* .

-Si 3,1a , SCDArgArg 3* .

b)

z

y

x

1

31

Reserva I 2011- 2012

3A) a) IAn , si n es par.

b) BMX 1 , siendo AIM 36 . Es decir, BAIX1

36

.

Nota: como IB 3 , se puede deducir que 12

AIX .

201

010

102

3

1X

3B) a) -Si 3m , SCIArgArg 2* .

-Si 0m , SIArgArg 1,2* .

-Si 3,0 m , SCDArgArg 3* .

b)

z

y

x

3

11

3

1

3

1

xi

Reserva II 2011- 2012

3A) a)

22

22

22

22

000

000

000

000

ba

ba

ba

ba

AA t

b) 02 4224 bbaaA para cualquier par de valores 0, ba .

3B) a)

1883

40,14345

40,15264

zyx

zyx

zyx

b) Queda un sistema incompatible, SI.

(Como las dos primeras ec’s son independientes, la tercera resulta incompatible con ellas, luego debe

existir un error en la cuenta del último día)

xii


Junio 2012-2013


xiii

Reserva I 2012-2013



Junio 2012- 2013

3A) a)

52

32

2

1A ,

32

30

2

1B .

b) 492 M , 282 M .

3B) a) det1 = 10.

det2 = 2.

b) Si dos parámetros fueran iguales, la matriz tendría dos columnas iguales, con lo que su

determinante sería 0, y no 2.

xiv


3A) a) 1 MBX , siendo IAM 2 . Es decir, 12

IABX .

b)

3711

244

012

X

3B) a) -Si 1m , SIArgArg 2,3* .

-Si 1m , SCIArgArg 2* .

b)

z

y

x

3

7

3

2

3

8

3

1

Reserva I 2012- 2013

3A) a) 12

BAX .

b)

142

010

163

X

3B) a) No, porque es un sistema homogéneo (y, por tanto *rgArgA ).

b) para 1m , pues en ese caso el sistema es SCI, y tiene infinitas soluciones.

c)

0

0

0

)(1 Si2/5

2/3

)(1 Si

z

y

x

SCDm

z

y

x

SCIm

Reserva II 2012- 2013

3A) a) -Si 6m , SCDArgArg 3* .

-Si 6m , SIArgArg 3,4* .

b)

2

4

5

z

y

x

3B) Sistema:

xyz

yzyx

zyx

924

3

78

Solución:

)(Ramanujan 32

(Abel) 26

(Galois) 20

z

y

x

xv


Junio 2013-2014


xvi


Junio 2013-2014

3A) a) 5 AA . 5/1/11 AA . 5 AAt . 125533 A .

b) 6det1 .

800det 2 .

3B) a) 8a . La solución es:

z

y

x

3

5

3

14

b) 3,5,5 zyx .


3A) a) -Si 6,0m , 3Arg .

-Si 0m , 2Arg .

-Si 6m , 2Arg .

b) Para cualquier m ℝ 6,0 ; es decir, para cualquier 6,0m .

3B)

1014

72

3

1A ,

118

417

3

1B .

xvii


Junio 2014-2015



Junio 2014-2015

3A) a) 1 BABX .

b)

136

043

213

X .

xviii

3B) a) zyxN 10100 .

SCD

zyx

zx

zyx

zyx

xyzzyx

zxy

12

2

02

12

19810100101002

b) 3,4,5 zyx . El número es 54334105100 N .


3A) a) Teorema de Rouché-Fröbenius:…

b) La discusión del sistema en función del parámetro a es la siguiente:

-Si 2a , entonces 2* ArgArg , luego el sistema es SCI.

-Si 2a , entonces 3* ArgArg , luego el sistema es SCD.

Es decir, puesto que para cualquier valor de a se cumple que *ArgArg , el sistema será

siembre compatible (ya sea determinado o indeterminado).

c) El sistema es compatible indeterminado cuando 2a . En tal caso, las soluciones son:

z

y

x

1

1

, ℝ

3B) a) AIAAAX 22 21 .

b)

100

032

403

X .

b)

100

1001101

201101X ,

100

100011000

0011000X .

xix


Junio 2015-2016


xx


Junio 2015-2016

3A) a) -Si 1m , entonces 2* ArgArg , luego el sistema es SCI.

-Si 1m , entonces 3* ArgArg , luego el sistema es SCD.

b) Para 1m , SCI, las soluciones son:

z

y

x

21

1

, ℝ

3B) 145

107010

5

7...det1

.

150101135...det 2 .


3A) a) 32 .

b) 11 BCDAX .

c)

203

122X .

3B) a) …

b) Un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas tiene como matriz A del sistema una matriz de orden

43 , que puede tener como mucho rango 3. Por tanto Arg nº de incógnitas, y por el teorema de

Rouche-Fröbenius el sistema es compatible indeterminado o incompatible.

c) Como 3Arg independientemente del valor de a, también debe cumplirse que 3* Arg , de

manera que º43* nArgArg de incógnitas. Por tanto, para cualquier valor de a el sistema

es SCI, y en ningún caso es un sistema incompatible.

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