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Conceptos de Algebra Lineal importantes para el Simplex Álgebra Lineal - p. 1/17

Álgebra LinealMa843

Conceptos de Algebra Lineal importantes para el SimplexDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionCombinacionLinealBaseSBBases AdyacentesSBF AdyacentesDe SBF a SBF


Introducción

En esta lectura se comentan los resultadosimportantes en algebra lineal y que sonimportantes para entender el algoritmo Simplexutilizado en programación lineal.



Combinación lineal entre vectores

El curso de álgebra lineal puede a la vezconsiderarse aburrido por monotemático;




El curso de álgebra lineal puede a la vezconsiderarse aburrido por monotemático; elproblema fundamental del álgebra lineal esresolver sistemas de ecuaciones lineales.




El curso de álgebra lineal puede a la vezconsiderarse aburrido por monotemático; elproblema fundamental del álgebra lineal esresolver sistemas de ecuaciones lineales. Y porconsiguiente, prácticamente la totalidad de lostemas tiene como fin revisar los sistemas linealesy sus soluciones.




El curso de álgebra lineal puede a la vezconsiderarse aburrido por monotemático; elproblema fundamental del álgebra lineal esresolver sistemas de ecuaciones lineales. Y porconsiguiente, prácticamente la totalidad de lostemas tiene como fin revisar los sistemas linealesy sus soluciones. Después del concepto desistema de ecuaciones el segundo concepto enimportancia es el de combinación lineal. Veamoscómo se motiva este concepto.



Ejemplo

Supongamos el sistema de ecuaciones lineales:

1 x + (−1) y = 1

2 x + 1 y = 5



Ejemplo

Supongamos el sistema de ecuaciones lineales:

1 x + (−1) y = 1

2 x + 1 y = 5

Sabemos que cada ecuación representa unalínea recta en R

2 y que la solución a él coincidecon la intersección de las rectas.

Figura 1: Solución como intersección de rectas



Para buscar otra visión de la situación, sustituimosla solución x = 2 y y = 1:

1 (2) + (−1)(1) = 1

2 (2) + 1(1) = 5




1 (2) + (−1)(1) = 1

2 (2) + 1(1) = 5

En notación vectorial, lo anterior queda(

1 (2) + (−1) (1)

2 (2) + 1 (1)

)

=

(

1

5

)




1 (2) + (−1)(1) = 1

2 (2) + 1(1) = 5

En notación vectorial, lo anterior queda(

1 (2) + (−1) (1)

2 (2) + 1 (1)

)

=

(

1

5

)

o también(

1 (2)

2 (2)

)

+

(

−1 (1)

1 (1)

)

=

(

1

5

)



o también

2

(

1

2

)

+ 1

(

−1

1

)

=

(

1

5

)

En la figura 2 se muestran las columnas de lamatriz y el vector de constantes: el grid nos sirvepara indicar cómo obtener el vector de constantescombinando las columnas de la matriz �



Desde el punto de vista de las columnas de lamatriz de coeficientes y del vector de constantes:

la solución al sistema de ecuacionesrepresenta los coeficientes por los cuales hayque multiplicar a cada columna de la matrizde coeficientes para que al sumar resultadosse obtenga el vector de constantes

Si la matriz de coeficientes es A y el vector deconstantes es b, la relación dice

x (columna 1 de A)+y (columna 2 de A) = (vector de constantes)


Así al considerar el sistema

2x + y + s1 = 100

x + y + s2 = 80

x + s3 = 40

en su forma matricial

2 1 1 0 0

1 1 0 1 0

1 0 0 0 1

x

y

s1

s2

s3

=

100

80

40

resolverlo equivale a buscar x, y, s1, s2 y s3 que cumplan

x

2

1

1

+ y

1

1

0

+ s1

1

0

0

+ s2

0

1

0

+ s3

0

0

1

=

100

80

40



Base para Rn

Un conjunto de vectores de Rn: v1,v2,. . . ,vk se

dice una base para Rn o simplemente base si

cualquier vector de Rn se escribe como una

combinación lineal única de dichos vectores. Losresultados de desarrollados en álgebra linealindican que para ser base el total de vectoresdebe ser exactamente n, es decir, k = n y ademásla matriz formada poniendo como columnas losvectores vi debe ser una matriz invertible(alternativamente debe tener determinantediferente de cero).


Una pregunta frecuente en álgebra lineal es obtener una base de un conjunto devectores dado. Por ejemplo, sacar bases del conjunto de vectores:

v1 =

2

1

1

,v2 =

1

1

0

,v3 =

1

0

0

,v4 =

0

1

0

,v5 =

0

0

1

De acuerdo con lo anterior y de que los vectores tienen tres componentes, lasposibles bases sacadas deben tener tres vectores: de esos 5 vectores debemosquedarnos con 3 para constituir una base:

B1 = {v1,v2,v3} , B2 = {v1,v2,v4} , B3 = {v1,v2,v5}

B4 = {v1,v3,v4} , B5 = {v1,v3,v5} , B6 = {v1,v4,v5}

B7 = {v2,v3,v4}, B8 = {v2,v3,v5} , B9 = {v2,v4,v5}

B10 = {v3,v4,v5}

Un total de

5

3

=5!

3!(5−3)!= 10 posibles bases sacada del conjunto original.



Solución Básica

Para un sistema de ecuaciones Ax = b, una solución básica (SB)

es una solución obtenida de resolver el sistema eliminando algunas

columnas de A para quedarse con aquéllas que forman una base;

las incógnitas cuyas columnas constituyen la base que se utilizó se

llaman variables básicas; mientras que aquéllas cuyas columnas se

eliminaron se llaman variables no-básicas y para construir una

solución se les da el valor cero. Una solución básica se llama

solución básica factible si es una solución básica cuyos valores de

las incógintas son todos mayores o iguales que cero (son

no-negativos).


Siguiendo el ejemplo:■ B1: Da SB pero no SBF; base pero en la solución salen negativos,

x = 40, y = 40, s1 = −20, s2 = 0, s3 = 0.

■ B2: Da SBF; dan base con solución x = 40, y = 20, s2 = 20, s1 = 0, s3 = 0.

■ B3: Da SBF; dan base con solución x = 20, y = 60, s3 = 20, s1 = 0, s2 = 0.

■ B4: Da SBF; dan base con solución x = 40, s1 = 20, s2 = 40, y = 0, s3 = 0.

■ B5: Da SB pero no SBF; dan base pero en la solución salen negativosx = 80, s1 = −60, s3 = −40, y = 0, s2 = 0.

■ B6: Da SB pero no SBF: dan base pero en la solución salen negativosx = 50, s2 = 30, s3 = −10, y = 0, s1 = 0.

■ B7: No SB; no dan base.

■ B8: Da SBF; dan base con solución y = 80, s1 = 20, s3 = 40, x = 0, s2 = 0.

■ B9: Da SB pero no SBF; dan base pero en la solución salen negativosy = 100, s2 = −20, s3 = 40, x = 0, s1 = 0.

■ B10: Da SBF; dan base con solución s1 = 100, s2 = 80, s3 = 40, x = 0, y = 0.



Bases Adyacentes

Dos bases B1 y B2 para Rn se dicen bases adyacentes si tienenen común n− 1 elementos. Es decir, deben tener la forma

B1 = {x,y1,y2, . . . ,yn−1}

B2 = {z,y1,y2, . . . ,yn−1}

Cuando uno cambia la base B2 por la base B1 se dice que elelemento básico saliente es x y el entrante es z; O bien cuando unocambia la base B1 por la base B2 se dice que el elemento básicosaliente es z y el entrante es x. Revise la adyacencia de lassiguientes bases:

B1 = {v1,v2,v3} , B2 = {v1,v2,v4} , B3 = {v1,v2,v5}

B4 = {v1,v3,v4} , B5 = {v1,v3,v5} , B6 = {v1,v4,v5}

B8 = {v2,v3,v5} , B9 = {v2,v4,v5}

B10 = {v3,v4,v5}



SBF Adyacentes

Dos SBFs se dicen SBF adyacentes si las bases a las cuales ellascorresponden son bases adyacentes.

Indique la adyacencia de las SBFs del ejemplo:■ B2 = {v1,v2,v4}: SBF1; x = 40, y = 20, s2 = 20, s1 = 0, s3 = 0.

■ B3 = {v1,v2,v5}: SBF2; x = 20, y = 60, s3 = 20, s1 = 0, s2 = 0.

■ B4 = {v1,v3,v4}: SBF3; x = 40, s1 = 20, s2 = 40, y = 0, s3 = 0.

■ B8 = {v2,v3,v5}: SBF4; y = 80, s1 = 20, s3 = 40, x = 0, s2 = 0.

■ B10 = {v3,v4,v5}: SBF5; s1 = 100, s2 = 80, s3 = 40, x = 0, y = 0.



Moviendose entre SBF AdyacentesConsidere el sistema en su forma matricial Ax = b:

x y s1 s2 s3

2 1 1 0 0 100

1 1 0 1 0 80

1 0 0 0 1 40

Esto dice que teniendo la base B10 que da la SBF5:

0v1 + 0v2 + 100v3 + 80v4 + 40v5 = b

2v3 + 1v4 + 1v5 = v1

1v3 + 1v4 + 0v5 = v2


Si queremos cambiar el elemento de la base v3 para que ingrese v1 despejamosv3 de la ecuación de en medio:

12v1 − 1

2v4 − 1

2v5 = v3

y sustituimos en otras relaciones tenemos:

50v1 + 0v2 + 0v3 + 30v4 − 10v5 = b

12v1 − 1

2v4 − 1

2v5 = v3

12v1 +

12v4 − 1

2v5 = v2

Desafortunadamente, esta solución no es SBF al tener un coeficiente negativo en

el primer renglón.


Si queremos cambiar el elemento de la base v4 para que ingrese v2 despejamosv4 de la última ecuación :

v2 − v3 + 0v5 = v4

y sustituimos en otras relaciones tenemos:

0v1 + 80v2 + 20v3 + 0v4 + 40v5 = b

1v2 + 1v3 + 1v5 = v1

1v2 − 1v3 + 0v5 = v4

Esta e la SBF4. Pregunta clave: Cómo organizar estos cálculos en forma

eficiente??

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