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Lezioni di fisicaPer TWM, 2008, Hans Grassmann,

Grassmann@fisica.uniud.it

La fisica e’ semplice, e sta diventando sempre più semplice: si spera di arrivare nel futuro alla formula di tutto – una unica formula semplice da cui segue tutto.

Basterebbe capire questa unica formula, per sapere tutta la fisica.

,...

,0

),ln(

,

mE

p

WS

hE

La fisica è complicata solo dove non la capiamo ancora bene.

Non ci siamo ancora, ma siamo abbastanza vicini:Oggigiorno la fisica può essere riassunta in ca. 10 o 20 formule semplici:

2

Essendo all’ inizio dell’ 21. secolo in 24 lezioni non si può fare tutta la fisica in modo completo.

Alternative: o 1) fare una parte piccola in modo completo o2) fare tanto, ma in modo incompleto

Scegliamo alternativa (2), perchè vedendo le connessioni fra i diversi campi della fisica, si capisce meglio la fisica e si vede meglio che é facile.

Per l’esame bastano questi lucidiNon sono permesso libri e appunti durante l’esame, chi copia verrà escluso

3

Alcune persone credono, che la fisica sia difficile

perché spesso vengono confuse fisica e matematica:

tanti problemi che le persone incontrano nella lezione di fisica non sono di fisica, ma di matematica. Ma visto che si incontra il problema in una lezione di fisica, si pensa sbagliatamente che sia un problema di fisica.

Se si identifica un problema in modo sbagliato, la sua soluzione é meno facile.

Perciò : quando incontrerete un problema, cercate sempre di capire di che tipo di problema si tratta.

Se si tratta di un problema di matematica è inutile cercare nel libro di fisica….

Libri consigliati:

• Ugo Amaldi, Fisica per Temi, Zanichelli, Bologna (molto di base)

• D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Fondamenti di Fisica, Casa Editricie Ambrosiana, Milano (Fundamentals of Physics, John Wiley&Sons) (2 volumi)

• Paul A. Tipler, Corso di Fisica, Zanichelli, Bologna (Physics for Scientists and Engineers, Worth Publishers) (3 volumi)

• wikipedia

• Gli appunti di questa lezione, li trovate sulla mia pagina web http://www.fisica.uniud.it/~grassmann/lezioni.htm

4

Ormai computer e internet esistono,

E programmatori, system manager, designer web etc esistono in grande quantità

In particolare in India (etc.) dove gli stipendi sono bassi …

Io penso :

la prossima rivoluzione accadrà quando il computer incontrerà il mondo fisico –

oggi i computer sanno comunicare fra di loro, ma non con il mondo fisico, non capiscono cosa sentono e non capiscono cosa vedono.

Nei prossimi anni i computer e internet cominceranno a capire cosa vedono e sentono, e chi accompagnerà questa rivoluzione avrà buone prospettive di carriera.

E per questo serve un po’ di fisica …

Fisica e studio TWM

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Un esempio dimostrativo (non scientifico), che aiuta ad immaginare cosa vuol dire “il computer capisce il mondo fisico” si trova nel film fantascientifico “Terminator 2” con A. Schwarzenegger, dove il regista fa finta di vedere il mondo fisico con gli occhi di un robot autonomo, che capisce cosa sta vedendo.

6

Il filmato mostrava effetti speciali, con la tecnologia attuale (senza fisica) un Terminator non sarebbe possibile.

Infatti, il film “terminator” prevedeva la nascita di questa tecnologia fantascientifica per l’anno 2029.

Con un po' di fisica, si può arrivare anche prima del 2029:

7

1) Requisiti di matematica

Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore

2) Spazio e tempo

Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili

v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, =d/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione

3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica

4) Relatività: c=const

5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici

6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione

6) Termodinamica di base

7) “La Fisica di TWM”

Programma

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1) Requisiti di matematica

Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore

2) Spazio e tempo

Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili

v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, =d/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione

3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica

4) Relatività: c=const

5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici

6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione

6) Termodinamica di base

7) “La Fisica di TWM” brevi cenni, non per l’esame

Tutto è connesso con tutto

=> Più facile

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1) Prerequisiti matematici

Differenziazione e integrazione

f)(xf

x

Sviluppato da Newton e Leibniz (e Gregory): importante per la

• fisica fondamentale

• applicazioni di fisica

• TWM (filtro di differenza)

f

x

x

xf )( “pendenza” di f nel “punto” x

Che punto x ?? =>)(

)()(0 xd

xdf

x

xfx

differenziale

10

Esempi

xdx

xdf )()(xf

x2

12xnx

)sin(x )cos(x

1 nxn

)cos(x )sin(xxe xe

11

Per fare il differenziale di funzione composte, ci sono alcune regole

baba

fdx

df :

bababa

bbaba )()(

fdx

fd

)sin()sin( 2 tt

)cos()'sin( tt

12

Il “contrario” della differenziazione è l’integrazione

)(xf

x1x

f

2x

)()()()( 122

1

2

1

xFxFxFdxxf xx

x

x

con )()( xfxF

xdxdxxf )( 2

21)( xxF esempio:

13

Esempio pratico: la seconda derivata del “Udine Terminator”

(parte dell’ immagine rimossa usando trasformazioni vettoriali)

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

50

100

150

200

250

inte

nsi

ty

1 2 3 4 5 6 7

j

i

j

guardando lungo questa riga (quindi i = 5)

= 0

= 255

Estrarre i contorni di una figura: “difference filter”

15

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

firs

t d

eriv

ativ

e

1 2 3 4 5 6

j

first_der (i,j) =

abs (intensity(i,j-1) –

intensity(i,j+1))

i

j

0

50

100

150

200

250

inte

nsi

ty

1 2 3 4 5 6 7

j

255

0

La stessa cosa si fa anche per le righe!

1° derivata dell’intensità

Soglia

16

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

firs

t d

eriv

ativ

e

1 2 3 4 5 6

j

i

jMigliorare il risultato..Si cercano massimi locali nella prima derivata

IF ( first_der(i,j) > first_der(i,j-1) AND

first_der(i,j) > first_der(i,j+1)) THEN

result (i,j) = 255

ELSE

result (i,j) = 0

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Funzioni trigonometriche

tanx

y

cosr

x

0 Asse x

Asse y

x

y

r

coty

x

sinr

y

Da Pitagora (570 a.C.):

222 ryx

1cossin 22

Un giro completo: 360 gradi o 2

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Importanti per

• La fisica fondamentale,

• in particolare la fisica di TWM,

• per applicazioni, sia di fisica, sia di software.

Per studenti di TWM molto ambiziosi, uno studio più profondo della matematica degli vettori assolutamente si raccomanda.

Per noi e per adesso vettori sono “frecce” nello spazio:

Vettori

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In due dimensioni:

),( yx aaa

Si riferisce nel nostro caso a un certo sistema di riferimento, da definire

xe

y

ye

a

xxa

ya

20

xe

y

ye

a

x

a

a

a

),( yx bbb

yy ba

),,( yx aaa

,xx ba

Due vettori

Sono uguali quando

21

a

c

b

),(),( yxyyxx ccbababac

22yx aaa

Somma di due vettori

modulo

ye

xe

22

• Definiamo i vettori spostamento

• Lo spostamento finale è la somma dei tre

• Per tornare alla casa, lo spostamento totale e’:

• Con modulo:

)0.4,0.0(1 s

)0.0,5.3(2 s

9.1,9.12

7.2,

2

7.23

s

1.2,4.5)9.10.00.4,9.15.30.0(321 ssss

)1.2,4.5( s

8.51.24.5 22 s (km)

E: Un robot parte da una base militare e cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE. In che direzione deve muoversi, e per che distanza

deve camminare per tornare alla stessa base?

23

Moltiplicazione con uno scalare ),( yx aaa

Prodotto scalare

yyxx babababa cos

b

a

b

a

cosbye

xe

24

E: Calcoliamo il prodotto scalare fra i vettori

E quindi i loro moduli e l’angolo compreso fra di essi.

• La definizione ci dà subito

• I moduli dei vettori si calcolano come prodotti scalari dei vettori per sé stessi. Dunque:

3.2,5.11 v 3.4,5.22 v

6.133.43.25.25.121 vv

75.23.25.1 2211 vv

97.43.45.2 2222 vv

cos2121 vvvv

998.097.475.2

6.13cos

21

21

vv

vv

06.3 063.0

25

E : Siano dati i vettori

Trovare la componente di a nella direzione di b.

• Effettuiamo il prodotto scalare

Il modulo di b è:

Infine:

0.0,0.4,0.3 a 0.2,0.3,0.1 b

a

b

a

b

0.1500.120.3 ba

74.30.40.90.1 b

0.474.3

0.15

b

baab

26

Prodotto vettoriale

a

b

sin bacba

Adesso anche c

e’ un vettore.

c

È normale su

ba

, cba

,, :indice, medio, pollice

zxyyxyzxxzxyzzy ebabaebabaebabacba

)()()(

ye

xe

))(),(),(( xyyxzxxzyzzy babababababacba

Formula solo per completezza, non serve per l’esame

27

a

sinb

b:sin baba

a

b

c

28

Il prodotto vettoriale è importante per discutere in modo più facile il moto rotatorio e per discutere forze che agiscono su una asse.

Esempio: un punto è in rotazione intorno ad un’asse.

Il tempo di cui ha bisogno per viaggiare

per un certo angolo

dipende solo dalla componente di

perpendicolare con

Una eventuale componente di

Parallelo a non importa

Si usa il prodotto vettoriale

per descrivere un moto rotatorio

rv

v

r

v

r

vr

29

rv

Simile ad una leva: il peso che si può

alzare dipende solo dalla forza

perpendicolare alla leva:

pesoforza

r

F

Fr

paralleloF

30

m11 , m12 , m13

m21 , m22 , m23

m31 , m32 , m33

M = v1

v2

v3

v =

Prodotto matrice-vettore

m11 v1 + m12 v2 + m13 v3

m21 v1 + m22 v2 + m23 v3

m31 v1 + m32 v2 + m33 v3

v’ = M * v =

31

v = 1 0 0

v’ = Rz(/4) * v = (0.711, 0.703, 0)

0.711, -0.703, 0 0.703, 0.711, 0 0, 0, 1

Rz(/4) =

cos(-), sin(- ), 0 -sin(- ), cos(- ), 0 0, 0, 1

Rz() =

32

33

La riflessione di onde elettromagnetiche (luce) è regolata da due leggi fondamentali:

- Il raggio incidente ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano - L'angolo di incidenza e l'angolo riflesso sono equivalenti

34

35

VectorNormal to mirror

south

array plane

Axis “A”(normal to solar plane)

mirror

Focal area

Sun ray

Drawing plane = solar plane

Axis “A”

Axis A

36

37

Axis A

VectorNormal to mirror

south

array plane

Axis “A”(normal to solar plane)

mirror

Focal area

Sun ray

Drawing plane = solar plane

Axis “A”

axis “A”

Axis of rotation

mirror

2

38

39

n

nn

ffffxfxfxxx ...

...

21

2211Media degli

La variabile possa assumere un numero di valori

con frequenza

x n nxxx ,..., 21

nfff ,..., 21

Con numero totale di misure nfffN ...21

f

1x 2x 3x 5x4x

Misura della deviazione dal valore medio:

Varianza

da la “incertezza” o l’ “errore” o la “precisione” della misura

Calcolo di errore

40

La deviazione standard si riferisce a una certa misura, che viene ripetuta N volte per determinare un valore fisico.

Spesso il risultato di un esperimento non si ottiene da una sola misura, ma da alcune misure diverse, di cui ognuna ha una sua deviazione standard. Per ottenere il risultato complessivo di queste misure, si deve eseguire una propagazione degli errori.

Una teoria completa della propagazione degli errori si deriva dalla matematica differenziale.

Per noi e per tante applicazione pratiche bastano alcuni casi semplificati:

Varianza di x =

n

nn

fff

fxxfxxfxxx

...

)(...)()()var(

21

22

221

21

Deviazione standard di x = = )var(x

41

Incertezza su una somma di misure

Abbiamo misurato : aaa bbb

Vogliamo sapere valore e incertezza di bac bac bac

L’incertezza di una somma di grandezze e’ pari alla somma delle incertezze

Esempio: La testa cilindrica di una vite e risultata alta a=(1.85±0.01)mm. La vite viene fissata su una lamiera piana, interponendo una rondella spessa b=(0.95±0.05)mm. Di quanto sporgerà la testa della vite?

a+b=(1.85+0.95)mm = 2.80 mm

(a+b)=a+b=(0.01+0.05)mm = 0.06 mm

risulatato: c=(2.80±0.06) mm

42

Incertezza su una differenza di misure

aaa bbb Come sopra:

sia bac bac

bac <= non cambia!

Anche l’incertezza di una differenza di grandezze è pari alla somma delle incertezze

Esempio:Si vuol trovare la quantità netta di birra contenuat in una lattina. La lattina piena è risultata di massa a=(350±2)g e, quandoi è stata pesata vuota, ha dato il valore b=(15±1) g.

(a-b)=a+b=(2+1)g=3g

Risultato: c=(335±3)g

43

Incertezza su un prodotto di misure

sia bac ,bac b

b

a

a

c

c

L’incertezza relativa di un prodotto è pari alla somma delle incertezze relative

Incertezza su un quoziente di misure

b

ac

b

ac

b

b

a

a

c

c

L’incertezza relativa del quoziente e’ pari alla somma delle incertezze relative

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Un esempio particolare per una media:

x1m 2m 3m

1x 2x 3x

Distribuzione di punti di massa su una asse

centro di massa:321

332211

mmm

xmxmxmxcdm

cdmx

In generale:

n

iiicdm xm

Mx

1

1nmmmM ...21con