LE PROIEZIONI ASSONOMETRICHELE PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

La proiezione assonometrica fa parte delle proiezioni parallele, o cilindriche.

Essa caratterizzata quindi dallavere il centro di proiezione allinfinito (SS), per cui generata da raggi proiettanti paralleli tra loro, che colpiscono loggetto nello spazio e vengono sezionati da un piano pipipipi, su cui si forma limmagine proiettata.

Affinch, per, si possa risalire alla posizione esatta delloggetto nello spazio, esso viene collocato allinterno di un sistema di riferimento, formato da una terna di piani pipipipipipipipi1, 1, pipipipipipipipi2, 2, pipipipipipipipi33 ortogonali tra loro a due a due, sui quali loggetto viene proiettato ortogonalmente; gli assi di intersezione tra i piani suddetti risultano anchessi ortogonali tra loro, convergono in un punto O, origine del sistema di riferimento, e vengono denominati assi di riferimento cartesiano x, y, z. Su ciascuno di essi inoltre identificata lunit di misura.

Pertanto dal centro di proiezione S vengono proiettati, oltre alloggetto anche le sue proiezioni sui piani pipipipi1, pipipipi2, pipipipi3, e la terna cartesiana x,y,z: sul quadro, quindi, si avr la vera proiezione assonometrica, sia delloggetto che del sistema di riferimento, ma anche le tre proiezioni assonometriche delle immagini delloggetto

In base alla direzione dei raggi proiettanti rispetto al quadro pi, si ha:

Ass. ortogonale, se la direzione SAss. ortogonale, se la direzione S ortogonale al quadro ortogonale al quadro

Ass. obliqua, se la direzione SAss. obliqua, se la direzione S obliqua al quadroobliqua al quadro

Nella proiezione del sistema di riferimento, in entrambi i casi di ass. obliqua e ortogonale lunit di misura (uu) di ciascuno degli assi pu avere unimmagine assonometrica di dimensioni diverse da quella vera.

Il rapporto di riduzione u/u in cui u il segmento dato e u la sua immagine, dipende solo dalla direzione della retta r, che lo contiene, rispetto al piano.

Nellassonometria obliqua si pu avere:u/u< uu/u< u oppure u/u> uu/u> u

Nellassonometria ortogonale si ha:u/u= cos rr < uu/u= cos rr < u

rapporto di accorciamento

ASSONOMETRIA ORTOGONALEASSONOMETRIA ORTOGONALE

IL TRIANGOLO DELLE TRACCEIL TRIANGOLO DELLE TRACCE

Nellassonometria ortogonale, si definisce triangolo delle tracce o fondamentalequello formato dalle tracce dei tre piani di riferimento sul quadro, o dai segmenti che congiungono le tracce dei tre assi di riferimento su pi. La proiezione dellorigine O, denominata O, risulta essere lortocentro del triangolo delle tracce (Tx, Ty, Tz). Per determinare ux, uy, uz sulle immagini x, y, z occorre ribaltare il punto O sul quadro, attorno ad almeno due dei lati del triangolo, per ottenere cos la vera unit di misura u.

Poich il triangolo TzOTy rettangolo in O, tale angolo dovr mantenersi tale su l piano p;dopo aver tracciato la semicirconferenza di diametro TzTy lintersezione di

TxO con tale semicirconferenza individua O* ribaltamento di O su pi. Unendo O* con Tz e Ty si determinano z* e y* ribaltamento di z e y, sui quali a partire da O* si riportano u*z e uy*.

Tra le immagini z, O, y, e i ribaltamenti z*, O*, y* intercorre una affinit omologica di ribaltamenti che ha per asse il lato TzTy, per centro U la direzione ad esso ortogonale e per elementi corrispondenti O e O* oppure z e z* etc.

Ricordando che punti corrispondenti sono allineati con il centro dellomologia, possibile definire le unit asson. uz e uy. Si procede analogamente per trovare ux.Applicando le regole della trigonometria, esse risultano funzione degli angoli , , che gli assi cartesiano formano con il quadro.

Il triangolo delle tracce e i rapporti di accorciamento possono essere determinati in funzione degli angoli che gli assi X,Y,Z formano con x, y,z.

ASSONOMETRIA ORTOGONALEASSONOMETRIA ORTOGONALE

Determinazione delle unita assonometriche noti gli angoli Determinazione delle unita assonometriche noti gli angoli aaaaaaaa,,bbbbbbbb,,gggggggg..

Il triangolo delle tracce e i relativi rapporti di accorciamento sulle immagini degli assi, x,yz, possono essere determinati in relazione agli angoli a b e g che gli assi x,y,z

formano con le loro immagini sul piano di quadro.

Si dimostra che il triangolo delle tracce acutangolo, per cui noti due angoli a e b il terzo angolo g

resta determinato.

Pertanto noti gli angoli possibile costruire il triangolo delle tracce graficamente;viceversa noto il

triangolo delle tracce possibile determinare gli angoli a,b,g.

In figura, posizionati glia assi x,y,z, e preso ad arbitrio Tz e O, si tracciato langolo g,

noto, e si ottenuto O* sulla retta passante per O perpendicolare a z, determinando cos uz. Procedendo graficamente costruendo gli angoli noti, a e b, si determinano le tracce Tx e

Ty e si individuano le altre unit assonometriche ux e uy.

Ass. trimetrica, se il triangolo delle tracce scaleno uxuyuz

Ass. dimetrica,se il triangolo delle tracce isoscele ux=uyuz

Ass. isometrica, se il triangolo delle tracce equilatero == ux=uy=uz

Se le unit di misura assonometriche hanno valori tra loro uguali, lassonometria si dice isometricaisometrica.

Se su due assi le unit hanno valori uguali e sul terzo un valore diverso, si dice dimetricadimetrica

Se i tre valori sono tra loro distinti, lassonometria si dice trimetricatrimetrica

Rappresentazione di un solido in assonometria dimetrica assegnate le proiezioni ortogonali mediante ribaltamento

La pianta viene determinata per omologia di ribaltamento:

u=TxTy (asse dellomologia)

UTxTy

La quota riportata sullasse viene determinata per omologia:

u=TzTy (asse dellomologia)

UTzTy

Nel caso in cui la direzione di proiezione assonometrica S obliqua rispetto al piano di quadro pi, vale il cosiddetto teorema di Polke-Schwarz, secondo cui, presa una qualsiasi terna di assi, comunque orientati, convergenti in un punto, e tre valori di unit di misura, sempre possibile risalire ad una direzione assonometrica, a tre assi nello spazio mutuamente ortogonali ed a tre rispettive unit di misura, di cui quelle date risultino essere le proiezioni assonometriche.

ASSONOMETRIA OBLIQUAASSONOMETRIA OBLIQUA

In realt si utilizzano tipi di assonometria obliqua in cui il quadro pi risulti parallelo o coincidente con uno dei piani cartesiani.Questo tipo di assonometria detto ass. cavaliera.In tal modo, langolo formato dagli assi appartenenti al piano parallelo al quadro rimane invariato, ovvero di 90, per cui limmagine assonometrica conserva la forma e le dimensioni originarie.In particolare, quando il quadro pi parallelo a pi1, essa si chiama ass. cavaliera militare.Limmagine indeformata sar quindi un prospetto o una pianta, a seconda che si utilizzi la cavaliera o la cav. militare.

ASSON. ASSON. CAVALIERACAVALIERA

ASSONOMETRIA ASSONOMETRIA CAVALIERA MILITARECAVALIERA MILITARE

Per consuetudine si usano spesso terne di assi assonometrici che dividono langolo in gio in 90, 135, 135 oppure in 90, 120, 150, mentre per la uz i valori pi utilizzati sono quelli di 1 o di 1/3 o 2/3 rispetto allunit vera, ma ci viene fatto per comodit e non vincolante.

RAPPRESENTAZIONE DEGLI ENTI GEOMETRICI RAPPRESENTAZIONE DEGLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALIFONDAMENTALI

I VARI TIPI DI ASSONOMERIA NON COMPORTANO CONCETTI TEORICI DIVERSI PUR DETERMINANDO IMMAGINI DIFFERENTI.

SARA QUINDI INDIFFERENTE PARLARE DI ASSONOMETRIA ORTOGONALE O OBLIQUA.

DI UN ELEMENTO RIFERITO AD UNA TERNA TRIORTOGONALE DI RIFERIMENTO SI DOVRANNO DETERMINARE LE PROIEZIONI ORTOGONALI RISPETTO ALLA TERNA CARTESIANA STESSA

RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTORAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO

Assegnate le coordinate del punto, tenendo presente che i segmenti PP PP PP sono paralleli nello spazio alla terna cartesiana di riferimento, semplice determinare le proiezione del punto.

RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTARAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

Per raffigurare una retta occorre conoscere due sue proiezioni o due sue tracce distinte, per potere risalire a tutti gli elementi della retta stessa.

RAPPRESENTAZIONE DEL PIANORAPPRESENTAZIONE DEL PIANO

Per definire un piano basta dare due sole tracce. E noto per che un piano anche individuato assegnando tre suoi punti distinti e non allineati, una retta ed un punto non appartenenti, due rette sue rette incidenti, etc.

RAPPRESENTAZIONE DI UN SOLIDO IN ASSONOMETRIARAPPRESENTAZIONE DI UN SOLIDO IN ASSONOMETRIA

RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDRO IN ASSONOMETRIA RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDRO IN ASSONOMETRIA CAVALIERA MILITARECAVALIERA MILITARE

Rappresentazione di Rappresentazione di un cilindro sezionato un cilindro sezionato da un generico piano da un generico piano

Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico stato scelto in posizione radiale, ovvero facendolo ruotare n volte attorno al centro della circonferenza di base in modo da individuare n punti, che uniti daranno la figura di sezione cercata, ovvero, lellisse.

Rappresentazione di Rappresentazione di un cilindro sezionato un cilindro sezionato da un generico piano da un generico piano

Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico stato scelto in posizione parallela al paino zy, ovvero spostandolo n volte parallelamente al piano zy in modo da individuare n punti, che uniti daranno la figura di sezione cercata, ovvero, lellisse.

Rappresentazione di un Rappresentazione di un cilindro verticale intersecato cilindro verticale intersecato da un cilindro ad asse da un cilindro ad asse orizzontale di raggio inferioreorizzontale di raggio inferiore

Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico stato scelto in posizione parallela al paino xz, ovvero spostandolo n volte parallelamente al piano xz in modo da individuare n punti, che uniti daranno la curva di intersezione cercata.