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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Simmetrie e leggi di conservazione

Lezione 5

Simmetrie in meccanica classica

•  Un sistema classico è descritto dal suo insieme di coordinate:

•  Simmetrie sono trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la

lagrangiana (o l’hamiltoniana) del sistema. –  Trasformazioni continue

–  Trasformazioni discrete

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2

–  formalismo hamiltoniano

•  In forma differenziale

•  Inversione temporale

–  formalismo lagrangiano

•  Traslazioni •  Rotazioni

•  Traslazione temporale

•  Parità:

L(q, !q) = T −Uddt∂L∂ !q

−∂L∂q

= 0

H (q,p) = T +U

!q = ∂H∂p, !p = −∂H

∂q

x→ x+ x0 x→ x+δx

x→Rx x→ x+δω× x

t→ t + t0 t→ t +δt

x→−x t→−t

Simmetrie in meccanica classica

•  Esempi: –  T ed U indipendenti dal tempo:

•  simmetria per traslazione ed invarianza temporale

–  Moto di una particella in un campo centrale:

•  simmetria per rotazioni e parità

–  Sistema di due particelle interagenti tra loro

•  simmetria per traslazioni •  e per rotazioni e parità se U dipende solo da |ra-rb|


L(x, !x) = 12m!x2 −U(| x |)

L(ra,rb, !ra, !rb ) =12ma !ra

2 +12mb !rb

2 −U(ra − rb )

Teorema di Noether

•  Introduciamo le parentesi di Poisson:

•  La derivata rispetto al tempo di una quantità g(p,q) è

•  Se per una data trasformazione definiamo un g in modo tale che •  per una simmetria abbiamo che: •  Se per trasformazioni infinitesimali possiamo scrivere g=εG, G è detto

generatore della trasformazione e:

•  Alla simmetria posso associare una quantità conservata.


F,G{ }=∂F∂q

∂G∂p

−∂F∂p

∂G∂q

g,H{ }=∂g∂q

∂H∂p

−∂g∂p

∂H∂q

=∂g∂q!q+ ∂g

∂p!p = !g

δH = g,H{ }δH = g,H{ }= 0

!G = G,H{ }= 0

Teorema di Noether (più noto nel formalismo lagrangiano)

Simmetrie formalismo hamiltoniano

•  Esempi: –  Traslazione

–  Rotazioni


δH =∂H∂x

δx =∂(δx ⋅p)∂p

∂H∂x

=∂(δx ⋅p)∂p

∂H∂x

−∂(δx ⋅p)∂x

∂H∂p

= − δx ⋅p,H{ }

G = p

=0

=∂ p ⋅ (δω× x)( )

∂p∂H∂x

+∂ x ⋅ (δω×p)( )

∂x∂H∂p

δH =∂H∂x

δω× x( )+ ∂H∂p

δω×p( )

=∂ δω⋅ (x×p)( )

∂p∂H∂x

+∂ δω⋅ (p× x)( )

∂x∂H∂p

=∂ δω⋅ (x×p)( )

∂p∂H∂x

−∂ δω⋅ (x×p)( )

∂x∂H∂p

= − δω⋅ (x×p),H{ }

G = x×p

Simmetrie in meccanica quantistica

•  In meccanica quantistica le considerazioni sono analoghe al caso classico, sostituendo le parentesi di Poisson con il commutatore.

•  L’evoluzione temporale del valore di aspettazione di una variabile Q è data dal suo commutatore con l’Hamiltoniana:

•  In particolare Q è una quantità conservata se e soltanto se: •  L’applicazione di una trasformazione U, lascia invariata l’Hamiltoniana

se:

•  In generale se una trasformazione infinitesima si può scrivere:

G è una quantità conservata. Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2015/16 6

ddt

Q =1i!

Q,H[ ]

Q,H[ ] = 0

UHU −1 = H U,H[ ] = 0UH = HU

U = exp −iεG( )

Trasformazioni e generatori

•  Consideriamo una traslazione:

–  dove abbiamo usato l’operatore di momento

•  La serie è quella di un’esponenziale:

•  Si può quindi definire il generatore delle traslazioni: •  e se l’Hamiltoniana è invariante per traslazioni


ψ x( )→ψ x − ε( )

=ψ x( ) − εddxψ x( ) +

12ε2

d2

dx2ψ x( ) −

16ε3

d3

dx3ψ x( ) +

124ε4

d4

dx4ψ x( ) +…

=ψ x( ) − ε i px!

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ψ x( ) +

12ε2 i px

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2ψ x( ) −

16ε3 i px

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3ψ x( ) +

124ε4 i px

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4ψ x( ) +…

px = −i!ddx

ψ x − ε( ) =Uψ x( ) = exp −iε px!

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ψ x( )

G =px!

px,H[ ] = 0

Simmetrie e autovalori

•  Dalla relazione di commutazione segue che se ψ è autostato di H, anche Gψ lo è:

•  Se ψ è unico, allora necessariamente deve anche essere autostato di G: •  Se un certo livello energetico ha n autostati degeneri, ψ1, ψ2, ... ψn,

–  Il trasformato di un autostato deve potersi esprimere come sovrapposizione lineare degli altri:

–  Diagonalizzando la matrice Gm,i, si può creare una base di autostati sia di G che di H.

•  Esempio: –  Particella in potenziale a simmetria sferica:

sono conservati L2 e Lx, Ly, Lz, (generatori delle rotazioni). –  Gli autovalori di H, En,l dipendono da L2, con degenerazione n=2l+1

–  Tipicamente si scelgono come base autofunzioni: –  che sono i 2l+1 autostati di Lz con autovalore mħ


Gli autovalori di G possono venire usati per classificare gli autostati di H

H (Gψ) = (HG)ψ = (GH )ψ = EψGψ

Gψi = Gm,iψmm=1,…n∑

Gψ =ηGψ

Gm,i = ψm |G |ψi

ψn,l,m =un,l (r)r

Yl,m (θ,ϕ )

Simmetrie discrete

•  Oltre alle trasformazioni continue, in meccanica quantistica hanno particolare importanze le trasformazioni discrete: –  Parità P

–  Inversione temporale T

–  Coniugazione di carica C •  scambio di particelle con antiparticelle •  non ha un analogo classico

•  Tutte hanno la proprietà: P2=T2=C2=1 –  I possibili autovalori sono solo 1 e -1


r P⎯ →⎯ −r

t T⎯ →⎯ −t

Parità

•  Grandezze vettoriali possono comportarsi diversamente per trasformazioni i parità: –  Vettori polari: cambiano segno per parità

•  il vettore di coordinate cambia segno per definizione di trasformazione di parità;

•  allo stesso modo la velocità •  ed il vettore di momento

–  Vettori assiali: non cambiano segno per parità •  il momento angolare •  lo spin.

•  Analogamente esistono: –  grandezze scalari: non cambiano segno per parità

•  r2, p2/2m, L2, L⋅S –  grandezze pseudoscalari: cambiano segno per parità

•  p⋅S


Parità e momento angolare

•  Nel caso di una particella in un campo centrale:

•  Le funzioni Ylm(θ,φ) sono tali che:

•  In aggiunta possiamo assumere che una particella abbia una parità intrinseca, così come ha un momento angolare intrinseco.

•  Per cui •  Nel caso di due particelle ed interazione a simmetria sferica, il problemà

è esattamente analogo a quello di particella singola, a patto di prendere la massa ridotta:

•  Una volta definita la parità di una particella si possono ricavare le altre parità relative a partire da questa.


ψn,l,m =un,l (r)r

Yl,m (θ,ϕ )

Pψn,l,m =ηψ (−1)lψn,l,m

Pψn,l,m =η1η2 (−1)lψn,l,m

P un,l (r)r

Yl,m (θ,ϕ )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

un,l (r)r

Yl,m (π −θ,ϕ +π ) = (−1)l un,l (r)r

Yl,m (θ,ϕ )

Parità del campo elettromagnetico

•  Il campo elettrico E è un vettore polare: •  Il campo magnetico B è un vettore assiale: •  Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di parità:

•  Le interazioni elettromagnetiche conservano la parità. •  L’interazione del campo elettromagnetico è di natura polare:

–  Forza elettromagnetica: –  Densità di quantità di moto (vettore di Poynting):

Il fotone ha parità negativa.


P(E) = −E

P(B) = B

∇ ⋅E = ρε0

∇ ⋅B = 0

∇×E + ∂B∂t

= 0 ∇×B − µ0ε0∂E∂t

= µ0J

-1 -1 +1 +1 -1

-1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

S = 1µ0E ×B

F = q E + v ×B( )

Violazione della parità

•  Abbiamo appena detta che le interazioni elettromagnetiche conservano la parità.

•  È sperimentalmente osservato che questo vale anche per le interazioni forti.

•  Non è così per le interazioni deboli •  L’osservazione sperimentale si basa sulla misura del valore di

aspettazione di un’osservabile pseudoscalare S: •  Se P è una simmetria, il valore di aspettazione prima e dopo

l’applicazione della trasformazione deve coincidere:

•  quindi se P è una simmetria:


S P⎯ →⎯ −S

S P⎯ →⎯ −S = − S

S = − S = 0

Esperimento di Wu et al.


•  Lo spin dei nuclei del 60Co è allineato al campo magnetico esterno B.

•  Critico raggiungere basse temperature (10-3 K): –  polarizzazione

•  Violazione di parità tramite osservazione di una correlazione on B degli elettroni emessi:

rivelatore elettroni

rivelatore fotoni

rivelatore fotoni

60Co 60Ni*

γ

β

B

non dipende dal segno di B

B ⋅ pe ≠ 0

dipende dal segno di B

= tanh B ⋅µ / kT( )

Eu152m

Elicità del neutrino (Goldhaber 1958)

•  Successivamente fu osservata l’elicità degli elettroni:

•  Diventa importante poter verificare anche •  Catena di decadimento:

–  Eu152m (0-) –  cattura elettronica Q=840 keV

ê –  Sm152* (1-) –  emissione γ Eγ*=960 keV �

ê

–  Sm152 (0+)

•  Fotoni emessi lungo la direzione di volo del nucleo: –  Hanno la stessa elicità del neutrino –  Sono più energetici


Sm152*

ν

hν

mz(Sm)=0,-hν

Sm152

γ

hγ=hν

Sm152

γhγ=-hν

pe ⋅ Se = −β

pν ⋅ Sν

Apparato sperimentale

•  Riassorbimento dei gamma soppresso: –  Righe di emissione ed assorbimento

leggermente spostate –  Emissione: parte dell’energia portata dal

nucleo di rinculo:

–  Assorbimeno: parte dell’energia va al nucleo per conservare il momento

•  L’effetto doppler del nucleo in movimento può compensare la distanza tra le righe. –  Solo i fotoni emessi nella direzione di

volo del Sm interagiscono con lo “scatterer”

•  Polarimetro –  Il ferro magnetizzato trasmette meglio

fotoni con spin parallelo a quello degli elettroni


Eγ = Eγ* 1− Eγ* / 2M (Sm)c2( )

Eγ = Eγ* 1+ Eγ* / 2M (Sm)c2( )

Elicità del neutrino: risultati

•  Invertendo il campo magnetico: –  Canali A e C non mostrano

cambiamento di rate –  Variazione osservata in B:

(dopo aver sottratto il fondo non risonante)

–  Atteso per elicità 100%:

•  <hν>=-(68±14)% –  Tenuto conto di effetti

depolarizzanti, compatibile con 100% nel decadimento


δ =N− − N+

12 N− + N+( )

= 0.017± 0.003

δ = 0.025

Violazione della parità

•  Il fatto che i neutrini abbiano un’elicità definita presenta una violazione massimale della parità:

•  che non esiste. •  Analogamente, le antiparticelle tendono ad avere elicità positiva:


P(νh=−1) = νh=+1

pe+ ⋅ Se+ = +β

pν ⋅ Sν = +1

P(νh=+1) = νh=−1

Coniugazione di carica

•  L’operatore di coniugazione di carica C scambia particelle con le rispettive antiparticelle. –  Es.: –  Tutti i numeri quantici vengono invertiti –  Es.:

•  Come per la Parità si ha che: –  C2=1 ⇒ autovalori possibili ηC=±1 –  Solo gli stati completamente neutri possono essere autostati di C

•  C del fotone: –  C inverte le cariche del sistema: tutti i campi E e B cambiano di

segno.


C(e− ) = e+ C(e+ ) = e−

n : numero barionico = +1, µ = −1.91µNC(n) = n : numero barionico = −1, µ = +1.91µN

C(γ ) = −γ

Positronio

•  Stato legato elettrone-positrone •  Equazione di Schrödinger identica a

quella dell’atomo di idrogeno –  unica differenza la massa ridotta:

–  Ci sono quattro possibili configurazioni di spin –  Si combinano in:

•  un tripletto con S=1, Sz=+1,0,-1 •  un singoletto con S=0

•  Parità: –  scambio della posizione relativa delle particelle –  parità intrinseca

•  Coniugazione di carica –  lo scambio di particelle corrisponde alla trasformazione di parità –  in aggiunta scambio anche degli spin: -1 per S=0, +1 per S=1


µ =me ⋅meme +me

=me2 ↑ ↓ ↑ ↓

↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓↑↓ ↓↑12

12

+

−

ηP = ηe−ηe+ (−1)l

ηC = ηP (−1)S+1

Positronio

•  Lo stato fondamentale ha l=0 –  Stato di singoletto: para-positronio 1s0

–  Stato di tripletto: orto-positronio 3s1 –  I due stati hanno la stessa parità

•  anche se i livelli differiscono di 8×10-4 eV non si può transire elettromagneticamente: emissione di un γ cambia parità ηγ=-1

–  Ma opposta coniugazione di carica

•  Il para-positronio decade in 125 ns in uno stato con 2γ: ηC=+1 •  L’orto-positronio decade in 140 µs in uno stato con 3γ: ηC=-1

–  ηP=ηe+ηe-=-1: parità di fermione ed antifermione sono opposte •  Risultato, al pari di g=2, predetto dalla meccanica quantistica relativistica •  Verificato direttamente dallo studio della correlazione tra le polarizzazioni ε1 e ε2

dei fotoni uscenti dal decadimento del parapositronio, discrimando i casi:


ηP = ηe−ηe+

ηC = ηP (−1)S+1

ψ(2γ )∝ ε1 ⋅ ε2 η2γ = +1 ψ(2γ )∝ ε1 × ε2( ) ⋅ k η2γ = −1

Termine scalare Termine pseudo-scalare momento del fotone

Violazione della coniugazione di carica

•  Nelle interazioni deboli viene anche violata C •  Sempre nel caso del neutrino:

•  che non esiste. •  Tuttavia funziona la trasformazione composta:

–  CP risulta una simmetria più fondamentale di C e P separatamente –  vedremo che anch’essa sarà violata dalle interazioni deboli, ma ad

un livello molto minore.


C(νh=−1) = νh=−1

CP(νh=−1) = C(νh=+1) = νh=+1

Inversione temporale

•  Classicamente l’operatore di inversione temporale T: t→-t

•  La versione quantistica è tale che:

–  Partendo dall’equazione di Schrödinger:

–  Facendone il coniugato:

–  E poi l’inversione t→-t

–  ψ*(r,-t) è solutione dell’equazione di Schrödinger con la stessa energia di ψ(r,t) se THT-1=H

•  Sotto T cambiano segno v, p=mv, L=r×p, S –  Es.: particella libera: –  Es.: momento angolare:


Tψ r, t( ) =ψ* r,−t( )

i!∂ψ r, t( )∂t

= Hψ r, t( )

−i!∂ψ* r, t( )∂t

= Hψ* r, t( )

i!∂ψ* r,−t( )∂t

= Hψ* r,−t( )

ψ(p) = ei!(p⋅r−Et)

→ψ*(p) = e−i!(p⋅r−Et)

→ Tψ(p) = ei!(−p⋅r−Et)

=ψ(−p)Yl,m (θ,ϕ )∝ eimϕ T⎯ →⎯ e−imϕ = Yl,−m (θ,ϕ )

Principio del bilancio dettagliato

•  Una conseguenza significativa dell’invarianza temporale è l’invarianza dell’elemento di matrice:

•  nelle probabilità di transizione:

–  Se vale l’invarianze per inversione temporale: |<f|U|i>|=|<i|U|f>| –  la differenza di probabilità è dovuta solamente ai termini di densità di stati.

•  In una situazione di equilibrio:

Principio del bilancio dettagliato.


f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫ T⎯ →⎯ drψ f r( )U r( )ψi

* r( )∫ = i U f

P(i→ f ) = 2π!

f U i 2 ρ Ef( )

P( f → i) = 2π!

i U f 2 ρ Ei( )

dN f

dt= NiP(i→ f )− N f P( f → i) = 0

NiN f

=P( f → i)P(i→ f )

=ρ(Ei )ρ(Ef )

Invarianza di crossing

•  Il principio del bilancio dettagliato viene spesso applicato insieme all’invarianza di crossing: –  reazioni derivate spostando una particella da stato iniziale a stato finale (o

viceversa) e trasformandola in antiparticella. –  Se ha elemento di matrice:

funzione dei momenti delle particelle. –  Allora:

•  •  •  •  ... e tutte le altre permutazioni

•  Il tasso delle reazioni è poi determinato dal termine di densità di stati.


A + B→ C + D M (pA,pB,pC,pD )

A→ B +C + D → M (pA,−pB,pC,pD )A + D→ B +CA +C→ B + DB +C→ A + D

→ M (pA,−pB,pC,−pD )→ M (pA,−pB,−pC,pD )→ M (−pA,pB,−pC,pD )

Decadimento β inverso

•  (anti)neutrini vengono prodotti dai decadimenti β±

–  –  dove il Q-valore della reazione è Q=M(A,Z)-M(A,Z±1)-me

•  I processi di interazione si ottengono applicando: –  inversione temporale:

–  crossing: •  L’elemento di matrice del decadimento β:

–  si applica anche al decadimento β inverso –  dall’espressione della larghezza di decadimento:


ZAX → Z−1

A ʹX + e+ +ν ZAX → Z+1

A ʹX + e− +νMasse nucleari!

Z−1A ʹX + e+ +ν → Z

AX Z+1A ʹX + e− +ν → Z

AX

Z−1A ʹX +ν → Z

AX + e− Z+1A ʹX +ν → Z

AX + e+

f HW i = GF (!c)3

VdrψA,Z+1(r)* OX( )ψA,Z (r)

V∫ =

GF !c( )3

VM fi

Γ=!τ=GF2 M fi

2mec

2( )5

2π 3 f Z,Q( )

f Z,Q( ) = d Temec

2

!

"#

$

%&pemec

1+ Temec

2

!

"#

$

%&Q−Temec

2

!

"#

$

%&

2

F Z,Te( )0

Q/mec2

∫f HW i 2 = Γ

(!c)6

V 22π 3

(mec2 )5 f (Z,Q)

•  Tasso di transizione:

•  Confrontando con la relazione per la sezione d’urto:

–  L’espressione per il tasso di transizione:

–  Il termine di densità di stati, se trascuriamo la piccola quantità di energia portata via dal nucleo:

–  dove: Ee=Eν-Q-me

–  dalla condizione Ee≥me, abbiamo l’energia di soglia del neutrino: Eν>Q+2me

–  Esercizio: dimostrare che la relazione relativistica corretta è:

Decadimento β inverso

•  Calcoliamo la sezione d’urto del decadimento β inverso.


λ =2π!

f HW i 2 ρ Ef( )

ρ(Ef ) =dNdEf

=V × 4π pe

2

(2π!)3dpedEf

pc( )d pc( )=EdE⎯ →⎯⎯⎯⎯V × 4π peEe

(2π!)3c2dEe

dEf

=1

=V × 4πβeEe

2

(2π!c)3

λ =2π!(!c)6

V 22π 3!

(mec2 )5τ f (Z,Q)V × 4πβeEe2

(2π!c)3

= 2π 2 (!c)3

VβeEe2

(mec2 )5τ f (Z,Q)

dndt

= IonTdσFascio di una particella: dn/dt = λ

Un (anti)neutrino percorre lo spessore d con velocità c: I0=c/d

Un bersaglio nel volume V: nT=1/V

σ = 2π 2 βeEe2

(mec2 )5 f (Z,Q)!τ(!c)2

Rapporto delle densità di stati.

=0 alla soglia

Eν ≥ Q + 2me( ) 1+Q + 2me

2M (A,Z ±1)⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Teorema CPT

•  Abbiamo visto che C e P sono violate dalle interazioni deboli. –  tali simmetrie non sono simmetrie fondamentali della natura

•  Si può invece dimostrare che: –  Una teoria quantistica:

•  invariante per trasformazioni di Lorenz •  locale •  con Hamiltoniana hermitiana

–  deve essere invariante rispetto al prodotto delle tre trasformazioni C, P, T

•  Conseguenze della simmetria CPT: –  particelle ed antiparticelle devono avere la stessa massa –  particelle ed anti-particelle devono avere la stessa vita media totale

•  Verifiche di tale simmetria si effettuano: –  nelle proprietà di particelle –  nella ricerca di violazioni all’invarianza per trasformazioni di Lorentz –  arxiv:0801:0287 per una rassegna dello stato sperimentale


FORMULE PER SCATTERING COMPTON POLARIZZATO

Appendice

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2015/16

Scattering Compton polarizzato

•  Nel sistema di riferimento in cui l’elettrone è in quiete:

•  dove re è il raggio classico dell’elettrone:

•  e l’energia E del fotone uscente è collegata all’angolo di emissione θ dalla relazione:

•  è la sezione d’urto non polarizzata

•  Polarizzazione lineare: φ angolo azimutale tra direzione di scattering e polarizzazione del fotone.

•  Polarizzazione longitudinale •  ξ=±1 elicità del fotone

•  ζ=vettore di spin dell’elettrone (ζ2=1)


dσdΩ

=12re2 EE0

"

#$$

%

&''

2

Φ0 +Φ1 +Φ2( )

2

20

1 2.8 fm4e

e

erm cπε

= =

( )( )0 0

11 / 1 cose

EE E m θ

=+ −

200

0

sinEEE E

θΦ = + −

21 sin cos2θ φΦ = −

Φ2 = −ξ1− cosθme

ζ ⋅k cosθ + !

k( )

e

E0 ,k( ) = E0 ,0,0,E0( )

e

E,!k( ) =

E,E sinθ cosφ,E sinθ sinφ,E cosθ( )

E0 +me − E,k −!k( )

me ,0( )γ

γ

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