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  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Storia della matematica

    Lezione 27

    Enrico Rogora rogora@mat.uniroma1.it

    Università di Roma

    8 Maggio 2017 - Roma

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 1 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Diagramma tempo/velocità e tempo/spazio

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 2 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Torricelli I

    Oresme introduce il diagramma tempo/velocità

    Galileo identifica il diagramma tempo/velocità relativo al moto di caduta dei gravi

    Galileo osserva che lo spazio percorso in un dato intervallo è uguale all’area del corrispondente diagramma tempo/velocità

    Galileo introduce il principio di composizione delle velocità

    Torricelli considera il diagramma tempo/velocità per un moto rettilineo qualsiasi e gli associa il diagramma tempo/spazio, come in figura

    Torricelli interpreta il diagramma tempo/velocità come traiettoria di un moto composto

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 3 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Torricelli II

    Torricelli osserva che se viene a mancare la forza acceleratrice, un corpo prosegue di moto uniforme lungo la tangente alla traiettoria seguita fino a quel momento Per caratterizzare geometricamente la velocità a partire dal diagramma tempo/spazio, Torricelli immagina di invertire la velocità del moto composto e osserva che il tempo necessario a raggiungere il punto A′ di intersezione della tangente con l’asse verticale è uguale a quello impiegato a raggiungere il punto J nel moto originario. Il legame geometrico osservato da Torricelli tra area del diagramma tempo/velocità e tangente nel diagramma tempo/spazio è equivalente al teorema di inversione. Torricelli non usa il teorema di inversione per calcolare gli integrali perché non è in possesso del calcolo delle derivate

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 4 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Osservazioni

    L’importanza del carattere reciproco della integrazione e della derivazione appare solo quando si possegga un metodo generale per derivare, o geometricamente, per costruire tangenti. (. . . ) Non ci sorprende che il T. tra il 1645 e il 1647 non abbia riconosciuta l’importanza del teorema di reciprocità, se teniamo presente che vent’anni dopo, il Barrow,che ha ritrovato lo stesso teorema per una via sostanzialmente analoga, sembra ignorare egli pure le fondamentali applicazioni di esso. Queste invece appaiono in piena luce poco dopo al giovane Newton. [C] p. 68.

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 5 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    La costruzione cinematica delle tangenti

    Oltre ai metodi di Cartesio e di Fermat esiste un terzo metodo per tracciare le tangenti ad una curva, quello della costruzione cinematica. Fu scoperto indipendentemente e contemporaneamente da Evangelista Torricelli e da Gilles Personne de Roberval (1602-1675). È necessario conoscere, per applicare questo metedo, la generazione cinematica della curva. Per esempio:

    la parabola è generata da un punto che si avvicina (o si allontana) al fuoco con la stessa velocità con cui si avvicina (o si allontana) dalla direttrice;

    l’ellisse è generata da un punto che si allontana da un fuoco con la stessa velocità con cui si avvicina all’altro;

    l’iperbole è generata da un punto che si avvicina (o si allontana) dai fuochi con la stessa velocità;

    la spirale di Archimede è generata da un punto che ruota intorno all’origine con la stessa velocità con cui se ne allontana;

    la cicloide è generata da un punto che ruota uniformemente intorno a un centro che trasla con velocità uniforme in una direzione fissata.

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 6 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Tangente ad una parabola

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 7 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Tangente ad una ellisse

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 8 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Tangente ad una iperbole

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 9 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Tangente ad una cicloide

    0 1 2 3 4 5 6

    -2 -1

    0 1

    2 3

    4

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 10 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Osservazioni sul metodo di Torricelli/Roberval (cfr. Giusti, piccola storia ...)

    Dice Roberval che la direzione del movimento di un punto che descrive una linea curva è la tangente alla linea curva in ogni posizione di quel punto, principio abbastanza intelleggibile che si accetterà facilmente una volta che lo si sarà considerato con un po’ di attenzione. Da qui discende la regola generale da seguire per il tracciamento delle tangenti. Per le proprietà specifiche della linea curva (che vi saranno date) esaminate i diversi movimenti che il punto che la descrive ha nel posto dove voi volete tracciare la tangente: componete tutti questi movimenti in uno solo, tracciate la linea del movimento composto e avrete la tangente della linea curva.

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 11 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    I centri della matematica si spostano in Inghilterra e Olanda

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 12 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow (1630-1667)

    Studiò a Cambridge Greco e Latino, scienze naturali, astronomia e geometria (con Wallis). Visitò l’Italia e fu profondamente influenzato dall’opera di Galileo e della sua scuola. Ebbe nel 1660 la cattedra di letteratura greca a Cambridge. Nel 1663 ottenne la cattedra lucasiana di matematica a Cambridge, che cedette nel 1669 al suo grande discepolo Isaac Newton. Dedicò gli ultimi anni della sua vita agli studi teologici.

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 13 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae I

    Pubblicate nel 1670 sono forse la prima esposizione organica dei nuovi metodi per il calcolo delle aree e delle tangenti ma, sotto l’aspetto espositivo, risultano antiquate sia rispetto agli scritti della scuola francese chee anche rispetto a quelli di Torricelli e Cavalieri. Nell’esposizione evita di utilizzare la geometria analitica cartesiana, che pure conosce. Una curva viene definita immaginando due rette che si muovono, l’una parallelamente all’asse y , di moto uniforme, l’altra parallelamente all’asse x di moto qualsiasi. Il punto di incontro descrive la curva, che noi descriveremmo con le equazioni parametriche x = at, y = f (t). Questa descrizione supera la necessità di introdurre il concetto di funzione. Viene studiato come si trasformano le tangenti quando a una curva si applicano trasformazioni elementari quali omotetie o

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 14 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae II

    rotazioni. Per questa via si stabiliscono, in maniera molto laboriosa, gli equivalenti geometrici delle regole derivazione di somme, prodotti ecc. Si dimostra per esempio, che se una funzione è media di altre due, le tangenti in punti di ugual ascissa si intersecano in un punto (cfr. figura).

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 15 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae III

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 16 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae IV

    Infatti, la tangente nel punto di ascissa x0 di una curva f è y − f ′(x0) + f ′(x0)x0 − f (x0) = 0 La condizione che le tangenti a tre punti con la stessa ascissa di tre curve concorrano in un punto è allora∣∣∣∣∣∣

    1 −f ′(x0) x0f ′(x0)− f (x0) 1 −g ′(x0) x0g ′(x0)− g(x0) 1 −h′(x0) x0h′(x0)− h(x0)

    ∣∣∣∣∣∣ = 0

    Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 17 / 24

  • Lezione 27

    Enrico Rogora

    Il teorema di inversione Torricelli Barrow

    Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae V

    Se h = 12(f (x) + g(x)), la condizione perché il determinante si annulli è che h′(x0) = 12(f

    ′(x0) + g ′(x0)).

    Il teorema di B. esprime adunque . sia pure in forma molto incomoda