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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiUniversità degli Studi di Catania
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Instabilità locale
2
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Instabilità localeIntroduzione
3
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Instabilità localeIntroduzione
Le parti interessate sono quelle compresse della sezione trasversale dell’elemento
4
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comportamento elastico
5
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Carico critico elasticoTensioni normali
La deformata della lastra soggetta ad instabilità è espressa tramite la doppia serie di Fourier :
6
mn
m 1 n 1
m nx yw x ,y A sin sina b
dove :w spostamento fuori pianom, n numero di semionde sinusoidali
nelle direzioni longitudinali e trasversali Amn coefficienti incogniti rappresentanti spostamenti generalizzati
a
bx
Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti
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Carico critico elasticoTensioni normali
La tensione critica della lastra è :
7
22 2
cr 2
nm +m
D b at b a b
a
bx
Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti
dove :
t spessore della lastraD rigidezza flessionale della lastra
3
212 1Et
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Carico critico elasticoTensioni normali
8
2
cr 2212 1E
kb t
a
bx
Il valore minimo del carico critico della lastra si ha per n=1, ovvero quando trasversalmente si ha una sola semionda sinusoidale :
dove :
21
mm
b ak
a b
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Carico critico elasticoEsempio di lastra appoggiata sui bordi
9
Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1
1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico
cr,1=723.12 cr,2=1130.05 cr,3=2009.74
(m=1) (m=2) (m=3)
1 m
1 m 1 m 1 m
(spessore= 1cm) (spessore= 1cm) (spessore= 1cm)
(E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa)
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0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
10
Ⱶ Il valore piu` basso del carico critico si ottiene per un rapporto d`aspetto pari ad un numero intero.
21
mm
b ak
a b
a
bxm =
σ,min 4k
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0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
11
Ⱶ La dimensione delle semionde è comparabile con la dimensione trasversale della sezione
a
bxm =
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Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
12
k=k,min
a=b
bx
a=2b
bx
b
a=3b
x
k=k,min
k=k,min
Ⱶ Le lastre, pur se caratterizzate da un rapporto d’aspetto pari ad un diverso numero intero, hanno lo stesso carico critico
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Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
13
k=k,min
a=b
bx
a=2b
bx
b
a=3b
x
k=k,min
k=k,min
Ⱶ In lastre con rapporto d’aspetto pari ad un numero intero, l’uso di irrigidimenti trasversali con spaziatura equale alla larghezza della lastra non muta il valore del carico critico
irrigidimenti trasversali
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0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
14
Ⱶ L’uso di irrigidimenti trasversali è efficace solo se la loro spaziatura è minore della larghezza della lastra
a
bxm =
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0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata su 3 bordi
15
Ⱶ La modifica dei vincoli cambia la dipendenza del fattore di stabilità dal rapporto d’aspetto della lastra
a
bx
σ,min 0 425k .
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Carico critico elasticoTensioni tangenziali
16
cr ek
dove
2
e 2212 1Eb t
La tensione tangenziale critica della lastra è :
a
bSia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da tensioni tangenziali costanti sui lati
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Carico critico elasticoValutazione con metodi numerici
Con l’eccezione dei pochi casi per cui esiste una soluzione analitica, il carico di instabilità locale delle lastre è usualmente valutato mediante metodi numerici.
17
Il metodo più utilizzato è quello di Rayleigh‐Ritz, basato sulle variazioni dell’energia di deformazione elastica della lastra Up e del lavoro interno Wint.
Lo stato critico corrisponde all’equilibrio indifferente e dunque alla relazione :
2 22 2 2 2 2
p 2 2 2 20 0
2 1 d d2
a bD w w w w wU x y
x y x y x y
p int 0U Wdove :
2 22 2
p x y2 20 0
2 d d2
a bt w w w wW x y
x y x y
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità
Il fattore di stabilita` dipende da :
18
Ⱶ Condizioni di vincolo
Ⱶ Tipo di tensioni (normali o tangenziali)
Ⱶ Condizioni di carico (compressione uniforme, flessione o presso flessione)
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità secondo Eurocodice
L’Eurocodice 3 (parte 1‐5) fornisce i fattori di stabilità per alcune distribuzioni di tensioni normali e tangenziali su pannelli rettangolari interni o esterni, irrigiditi o non irrigiditi.
19
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi
20
=2/1 1<≤0 0<≤‐1 ‐1<≤‐3
k 8.2/(1.05+) 7.81 ‐ 6.29 5.98(1‐)2
k
b
1
2>0
1
2a
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.1)
Tensioni normali
4.07.81
23.9
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli esterni non irrigiditi
21
=2/1 1 0 ‐1<≥‐3
k 0.43 0.57 0.57‐0.21 2
1
2>0
1
2
1
2<0
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=2/1 1 1>≥0 0>≥‐1
k 0.43 0.578/(0.34+) 0.57‐0.21 2
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.2)
Tensioni normali
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi
Tensioni tangenziali
22
a
b
=a/b ≥1 <1
k 5.34 + 4.0/² 4.0 + 5.34/²
k
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.3)
9.34
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni irrigiditi
Tensioni normali
23
b
1
2=1≥ 0.5 1
1
2
≤
> a ≥ 0.5 b
2
,p 2
2 1 11 1
k
,p
4 11 1
k
sl pI I sl pA A
dove :
Ap = b t
Asl somma delle aree degli irrigidimentiIsl momento d’inerzia dell’intero piatto irrigidito
Ip momento d’inerzia del piatto 3
212 1bt
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.1)
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Carico critico elasticoLastre irrigidite
L’instabilità di lastre irrigidite può essere valutata con il metodo numerico di Rayleigh‐Ritz aggiungendo i contributi degli irrigidimenti all’energia di deformazione elastica e al lavoro interno :
24
2 22 2nx nx
sxi sxist 2
i 1 i 10 0y=yi y=yi
d d2 2
a aEI w GJ wU x x
x x y
2nx
sxisx xi
i 1 0 y=yi
d2
aA wW x
x
dove :
Asx area trasversale dell’irrigidimentoIsx momento d’inerzia dell’irrigidimentoJsx costante torsionale dell’irrigidimento
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Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
25
b=2.0 m
1=10 MPa 1
22=5 MPa a =3.0 m
spessore lastra e irrigidimenti = 10 mmaltezza irrigidimenti = 150 mm
cr,1=38.193
(E=200000 MPa)
Valutazione numerica del moltiplicatore critico
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Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
26
x=10 MPa x x x x x
1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico
cr,1=38.193 cr,2=38.427 cr,3=40.781
2 m
3 m 3 m 3 m
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Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
27
Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3
p 200 1 200 cm²A
3 3
4p 2 2
200 118 31 cm
12 1 12 1 0 3b s
I ..
Lastra
Irrigidimento sl 15 1 15 cm²A
sl 3 15 45 cm²A
sl p 45 200 0 225A A .
4sl 3211 44 cmI .
sl p 3211 44 18 31 175 39I I . . .
Momento d’inerzia del pannello non irrigidito
Momento d’inerzia del pannello irrigidito
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Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
28
Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3
4300 200 1 5 3 64a b . .
2 1 5 10 0 5.
2 2
,p 2 2
2 1 1 2 1 1 5 175 39 189 47
1 1 1 5 0 5 1 0 225 1. .
k .. . .
22
e 22
1189800 4 75MPa20012 1
E .b t
cr,p σ,p e 89 47 4 75 424 98MPak . . .
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Carico critico elasticoCondizioni di carico combinate
Lo stato critico per un carico combinato x,Ed, z,Ed, Ed è raggiunto quando le tensioni raggiungono i seguenti valori :
29
cr,x cr x,Ed
dove : cr moltiplicatore dei carichi corrispondenti al carico critico
cr,z cr z,Ed cr cr Ed
In alternativa, il moltiplicatore critico può essere valutato come :
2
x z x z x z2 2 2
cr cr,x cr,z cr,x cr,z cr,x cr,z cr,
1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 2
cr,x cr,x x,Eddove : cr,z cr,z z,Ed cr, cr Ed
x rapporto di tensione normale in direzione longitudinale
z rapporto di tensione normale in direzione trasversale
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Carico critico elasticoAssemblaggi di lastre
L’instabilità di insiemi di lastre può essere valutata assumendo che le lastre siano incernierate lungo i bordi comuni (ovvero siano semplicemente appoggiate lungo i bordi connessi e libere lungo i bordi non connessi)
30
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FINE
31