LEZIONE 16 25 5 2020

Matrici ortogonali

a Matrici ortogonalmente diagonalizzabili

Teorema spettrale

Decomposizione spettrale

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ESEMPIO

netto per l'origine H sporeQual è la matrice che rappresenta la porzioneortogonale su H

Bose on di H È È A

la matrice rappresentata della perenne è A At

età l'El l'EtnaE la natura che otteniamo è simmetrica

pt AAttt.CAT tt AAt P

Scorsa volta P è diagonaletrabileEsiste s invertibile tale che

D 5ps P SDSLa simmetria di P rinflette in s

Pe pt d SDS Sds 1 te s TD Tstf JD St

S St è vero

DEFINIZIONEUna matrice Q E Mir min si dice ORTOGONALE

se to Idea187

Proposizione

Q E Mirfu n le colonne di Q descrivano uno

è ortogonale base ortonormale di IraDimostrazione

mmm

Q 9 Ign e Miriam

atei ftp.t.j.fiE

9 In è una base ortonormale di MDied

Esempio

pocosa _sino

rotazione in senso antiorariosino casa

di un angolo di 0

Socod 20 nn zo

nn zo carosimmetria assiale

PROPRIETA delle matrici ORTOGONALI

0cm QEMirln.nl a ortogonale

Ida E 0cmQ.ae E blu QQ e 0cm

88

infattiQi a C O a Ed Oita Qatar

Idricaasta.ae a Cariai a a ailata.iqQEIdf.ae Qatar Idea

detto e Q E 0cmOita Id Ed delicata detto 1

det.cat detta Idea a21

Q E OG a e invertibile ed

invero desto a sinistra coincidonoQt è l'inverosimile ed è è

0cm è un gruppo rispetto al prodottorighepercolonne

esen Mo

pocaso ma

der Ro Lsignorinacosache il verso degli angoli

i è preservato dallaL Rotrasformazione

te D Ra è una trasformazione

conforme

189

Soco 20 senza

sirene sodetto 1 significa

re che so inverte il vasoA

d o degli angoli1 i

Salvid a

Safe

Le matrici ortogonali conservano i prodottiscaloni e le norme

Q E 0cm 1 E RT

QI 5101 ftp.ta xtI fx.Ie 1 1 daII Qi Qe e te hell

Q è una isometrie lineare noi cui applicazionelineare che presero le distanze

Q E 0cm 1 è un autovelox di a

111 1

autovettura associato a 1Q e de

Hell Il a Il 11 dell IN lietiCi IN hello

haie

DEFINIZIONE

Una matrice A E Mir min si dice ortogonalmentediagonalettabile se esiste una matrice ortogonaleche la diagonalezoo noi esiste a c 0 n

tale che D ATA Q

proposteUna matrice A ortogonalmente diagonalizzabileè simmetricoDIMOSTRAZIONE

mmm

Pci ipotesi 7 Q E 0cm tale che canta D

cioè A AD QtAt ad t 5 Dt Qt Date A

DI

Vale anche A At A è auto dig

terra Diana per buonoA At A ho un automaton reale

LENTIA At 1 µ sono due automaton distinti di A

in reputate di 1 ArtideE autovetture di µ AI ne

ta SI re 0 It e vi sono ortogonali

Diramazionemurmure

Ae re festa retata È ITARI vitasi dice che A è uno penetra auto aggiunte

IIII Chere fare E Area te.net fInDE

III e p few d patrieÈI see a te

Coratoin Va va antisepsi della matrice simmetrica A

TAI Va E VA e Vpn E Va

ten spettrale

AE Mirino è A Emir Cnn è

ortogonalmente diagonalizzabile simmetria AIA

Dimostrazionemmm

a Propensione già vista

f HP A A TH esiste una base ortonormaledi autovetture A

Dimostrazione per induzione su n

n 1 A an At ortogonalmenteBase del'indizione dragonalizzabbe

ke m i Supponiamo vero ipotesi induttiva

Prendiamo A c Mir min A è Iri

Per il primo lemma c'è un automaton reale 1

Prende l'autopsia corrispondente VA dine Vizi

Heck 1 H e H

1 EH eh II oVI E VIA 1 1 Ae 1,117

141,741,10 A ME e a

Questo dice che 1 ristretto ad It è

un'applicazione lineare autoggiuntafa 1 LAI he la thela matrice che rappresenta Al è

simmetricotratte dim H n dine VaPer ipotesi indulto l'applicazione lineare

Aly è ortogonalmente digeralizzastesia B a una base ortonormale di H

formata da antonetti di Aa di A

sia By una boa ortonormale di 4By v Ba è una boa ortonormale di R

Aggeo

COROLLARIO 1

A E Mr Inn AIA

li is detonatori tutti vedi di AAllora

Se Bai è una base ON di Vii Via a

Età112 Vi Vuoi a Vis

tt i j vii I kij

corollario 2 Decomposizione spettraleA E Mr Inn AIA

IE iIIIaiI maole pensioni ortogonali sugli automicioè Dai è la pensione ortogonale su Vii

Allorae A tapis 111 1 t Is Pas

i

Coispetto di una matrice ci si riferisce alla collezionedi auto valori della matrice

Dimostrazionemmm

A è ortogonalmente dragonalizzatale con bore on

diagonalmente Bau ar v Bis

a 9 9.1 _IL t.a.at Q dHa d Dat

Bda Bis

a adat fef la.it I ffII ftp.Hot of fattii HA QD è 1 9,9ft 129,9ft 1m79I

proiezione poveraSm su

Spenta Spencer

se 911 Asd è motore di V1

1 9ft 9,9 desina la personasi VA

a Ted e PA 1 t Das

pi e Vi VisPd 1 a Pd è lo induce di proiezionem V1 _a Uds Ri

Se proietto IN su se stesso ogni vettoreè immagine di se stesso Pd 1 Pd Ida

Pii Dai visto Pontepa Visto

Ripa eo Kia

RI È Daje E VI È Pai Pg I eo

perché Vi e vieterei Pdi

A cosa serve la decantazione spettralePosso calcolare potente e radici di matrici

e altre funzioniA At A 1,17 1 t ds Pds

Are 1 poi 1 1 Pastetipa t Is Das 1 p 1 Isbn1T Papa 1,12Pa Ma 1hadPapa di Pupa 1

tipi 1,120 A

11 O 1 17Pa 1

tipi t 1stPds

FA Ti Put tapasFAI ftp.pi fait pas A