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Linea di influenzaDefinizione
Dicesi linea di influenza della grandezza G nella sezione S,Il diagramma che indica con la sua ordinata generica (x) il valore della grandezza in esame in S quando il carico F=1 agisce nella sezione di ascissa x.
3
S
F=1x
max
min
(x)
Linea di influenzaUtilizzo
Mediante le linee di influenza è possibile :
valutare l’effetto prodotto in una sezione da carichi mobili di vario tipo individuare le posizioni dei carichi per le quali si hanno i massimi ed i
minimi valori della grandezza G cercata
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S
F=1x
max
min
(x)
Linea di influenzaCarico concentrato isolato
• La grandezza G=F è proporzionale all’intensità del carico.• La posizione del carico F per cui si ha il massimo (o minimo) valore
della grandezza G è unica ed è quella della verticale corrispondente all’ordinata massima (o minima) della linea di influenza.
5
S
F=1x
max
min
(x)
Linea di influenzaTreno di carichi concentrati
• E’ possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per cui se 1, 2, 3 … sono rispettivamente le ordinate sotto i carichi F1, F2, F3 … la grandezza G sarà data da :
6
S
F1=1x1
max
min
(x)
F2=1 F3=1
(x)(x)
i ii
G F
Linea di influenzaCarico distribuito
• Nel caso di carico variabile q(x) si ha :
7
S
qx1
max
min
(x) (x)
2
1
( )x
xG q x dx
x2
• Nel caso di carico uniformemente ripartito q si ha : G q dove è l’area della linea di influenza sottostante la zona caricata.
Linea di influenzaCarico uniformemente distribuito
• Nel caso generale di carico uniformemente distribuito q è semplice l’individuazione della posizione di q per cui G è massimo.
Se, infatti, si sposta di dx il carico dalla posizione per cui l’effetto è massimo, si ha:
8
S
qx1
max
min
(x) (x)
x2
1 2d ( )d ( )dx x x x
Dovendosi avere un massimo, dovrà risultare :
1 2d 0 ( ) ( )d
x xx
ovvero, le ordinate della l.d.i. alle estremità del carico sono uguali.
Linea di influenzaCarico uniformemente comunque segmentabile
Un caso frequente di carico uniformemente distribuito è quello di carico comunque segmentabile, cioè di valore q fissato, ma di estensione arbitraria ed eventualmente a tratti, che dovrà quindi essere disposto opportunamente in sede di verifica.
9
S
q
max
minLa disposizione del carico risulterà evidente dall’esame delle linee di influenza, dovendosi caricare tutte le zone dello stesso segno.
Linea di influenzaTracciamento
Le linee di influenza possono essere tracciate con il metodo :
• DIRETTO
• INDIRETTO
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Linea di influenzaMetodo diretto
Il metodo diretto consiste nel costruire la linea di influenza per punti,calcolando G per diverse posizioni del carico.
Più vicini sono i punti cui si dispone il carico e più preciso è l’andamento delle linee di influenza nella sezione considerata.
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Nel caso delle sollecitazioni può essere conveniente determinare dapprima le linee di influenza delle reazioni vincolari e poi calcolare da queste le sollecitazioni nella sezione considerata.
Linea di influenzaMetodo diretto – trave semplicemente appoggiata
La linea di influenza (l.d.i.) delle reazioni vincolari è :
12
S
F=1x
L
1l.d.i. di RA
A B
l.d.i. di RB 1
RA RB A B+ 1R R
B 1 0R L x
A 1R x L
BR x L
Equazioni di equilibrio
Linea di influenza delle reazioni
RA
Linea di influenzaMetodo diretto – trave semplicemente appoggiata
Linea di influenza del taglio
13
S SL xM x
L
S A 1V R x L
S BV R x L
x
LA B
l.d.i. di MS
RB
Linea di influenza del momento
S S SL xM x x x
L
Sx x
Sx x
S
Sx x
Sx x
-+
+
l.d.i. di VS
F=1
xs
RA
Linea di influenzaMetodo diretto – trave a sbalzo
Linea di influenza del taglio
14
S SM x x
S 0V
S 1V F=1x
LA
Linea di influenza del momento
S 0M Sx x
Sx x
S
Sx x
Sx x
+
-
xs
l.d.i. di MS
l.d.i. di VS
MA
RA
Linea di influenzaMetodo diretto – trave incastrata ‐ appoggiata
Linea delle reazioni vincolari
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A B 1R R
3
B 3
312
x L xRL x
F=1x
LAS
+
xs
l.d.i. di RA
l.d.i. di RB
B
RB
MA
A BM R L x
l.d.i. di MA+ -
RA
Linea di influenzaMetodo diretto – trave incastrata ‐ appoggiata
16
F=1x
LA
Linea di influenza del taglio
S
+
xs
l.d.i. di MS
l.d.i. di VS
B
RB
MAS BV RS AV R
Sx xSx x
Linea di influenza del momento
S S SBM R L x x x
S SBM R L x Sx x
Sx x
+
-
Linea di influenzaMetodo indiretto
Il metodo indiretto fa uso dei principi di reciprocità(che sono validi nell’ipotesi di validità del principio di sovrapposizione degli effetti)
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Primo principio (teorema di Betti):«Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo insieme per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»
Secondo principio (teorema di Land‐Colonnetti):«Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo»
Terzo principio (teorema di Volterra):«Dati due insiemi di distorsioni agenti separatamente sulla struttura, i due lavori mutui generalizzati sono uguali»
Linea di influenzaMetodo indiretto
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(teorema di Betti generalizzato):«Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del primo insieme per gli spostamenti e sollecitazioni indotti dal secondo insieme è uguale al lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»
Linea di influenzaDistorsioni
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Si definisce «distorsione» di un volume elementare una qualsiasi sestupla dideformazioni eij di origine non elastica, ossia non generata da alcun insiemedi tensioni.
Nell’ambito della teoria delle travi, ci si limiterà alle cosiddette «distorsioni di Volterra»,
per cui il generico concio elementare di larghezza ∆s si deforma conservandola planeità delle sezioni rette. Considerando fissa la faccia di sinistra delconcio l’effetto delle distorsioni si riduce ad uno spostamento assoluto ∆sGdel baricentro della sezione di destra, e ad una rotazione assoluta ∆φ dellasezione di destra intorno ad un asse passante per il suo baricentro.
Linea di influenzaDistorsioni distribuite
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Si presuppone che esistano, e siano finiti, i limiti :
I due vettori δ(s) e µ(s) si chiamano distorsione distribuita di traslazionerelativa, e distorsione distribuita di rotazione relativa, rispettivamente,mentre l’insieme delle loro sei componenti secondo gli assi si chiamano lecaratteristiche della distorsione distribuita.
0
lims
ss
GΔs
0lims
ss
Δ
Linea di influenzaDistorsioni concentrate
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Si consideri la sezione generica S, situata all’ascissa s, e si consideri un concioelementare di larghezza ∆s, centrato in S. Siano DG(s) = δ(s)∆s e Dφ(s) =µ(s)∆s i vettori dello spostamento relativo da distorsione tra le due facce delconcio elementare. Se ∆s tende a zero, mentre δ e µ vanno all’infinito, inmodo che il loro prodotto resti costante, si genera nella sezione S unadistorsione concentrata le cui caratteristiche sono, in base alle formuleprecedenti, uguali e contrarie allo spostamento assoluto ∆sG del baricentrodella sezione retta S alla rotazione assoluta ∆φ della sezione stessa, intornoad un asse passante per il suo baricentro:
Le caratteristiche della sollecitazione interna compiono lavoro negativo per effetto di distorsioni positive.
s s GΔsGD s s ΔD
Linea di influenzaDistorsioni in sistemi monodimensionali piani
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Le distorsioni distribuite δ si riducono a due: la distorsione distribuita di traslazione assiale relativa λ e la distorsione distribuita di scorrimento relativo θ. Delle tre componenti della distorsione distribuita µ sopravvive solo la componente secondo l’asse ortogonale al piano della struttura.
Analogamente, le componenti della distorsione concentrata DG si riducono a Dη e Dξ, mentre l’unica componente non nulla della distorsione concentrata Dφ sarà Dφ.
Linea di influenzaPrimo principio di reciprocità (Betti, 1872)
23
Si consideri una struttura, e due insiemi di forze e che su di essa possono agire.'iF ' '
jF
Si faccia agire prima l’insieme 1 (forze )
'iF
'is
'iF
Il lavoro compiuto da tale insieme è :
' '1 i i
i
12
L Fs
Si faccia agire poi l’insieme 2 (forze )' 'jF' 'jF
' 'js
Il lavoro compiuto da tale insieme è :
' ' ' '2 j j
j
12
L F s
1 2
Quindi le forze compiono un ulteriore lavoro :
Linea di influenzaPrimo principio di reciprocità (Betti, 1872)
24
Durante l’azione delle le sono presenti in tutto il loro valore.'
iF
Pertanto, il lavoro totale è :
' ''12 i i
i
L F s
3' 'jF
' 'is
'iF
'iF
spostamenti indotti dal sistema di forze 2 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 1
1 2 1 2 12L L L L
( se agisce prima il sistema 1 e poi il sistema 2 )
Linea di influenzaPrimo principio di reciprocità (Betti, 1872)
25
Se si ipotizza di fare agire prima il sistema 2 e poi il sistema 1 si ha:
2 1 1 2 21L L L L
' ' '21 j j
j
L F sdove : spostamenti
indotti dal sistema di forze 1 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 2
Se il sistema è conservativo L1+2=L2+1e quindi :
21 12L L
Primo principio (teorema di Betti):«Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»
, da cui …………………………
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza degli spostamenti
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Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) l’abbassamento wsp della sezione S per un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps della sezione P per il carico unitario posto in S.
F’=1xp
S
xs
P
wsp
F’’=1xs
S
xp
P
wps
Quindi, il diagramma degli spostamenti w in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. dello spostamento w in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla forza unitaria in S.
' '' '' 'P PS S SPF s F s
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza degli spostamenti
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Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) la rotazione sp della sezione S per un carico verticale unitario posto in P è uguale alla rotazione ps della sezione P per la coppia unitaria posta in S.
F’=1xp
SP
sp
xp
P
wps
Quindi, il diagramma della rotazione in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. della rotazione in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla coppia unitaria in S.
SM’’=1
' '' '' 'P PS S SP F s M
Linea di influenzaSecondo principio di reciprocità (Colonnetti)
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Si consideri una struttura, e due insiemi di forze e distorsioni che su di essa possono agire.
iF k
Si faccia agire prima l’insieme 1 (forze )
iF
'is
iF
Il lavoro compiuto da tale insieme è :
'1 i i
i
12
L F s
Si faccia agire poi l’insieme 2 ( )
' 'kS
Il lavoro compiuto da tale insieme è :
' '2 k k
k
12
L S
1 2
k
k
Linea di influenzaSecondo principio di reciprocità (Colonnetti)
29
Per il teorema di Betti generalizzato
' ' ' ' ' ' '' ' ' ' 'i i k k j j h h
i k j h
Fs S F s S
Dunque, essendo e deve essere : ' 'j 0F '
h 0
' ' ' ' ' 'i i k k
i k
0Fs S Secondo principio(teorema di Land‐Colonnetti):«Dati due insiemi di forze e distorsioniagenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo»
12 0L , da cui …………………………
ovvero :
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle sollecitazioni
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Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land‐Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) prodotta nella sezione S da un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps prodotto nella sezione P da una distorsione unitaria (che compie lavoro per la sollecitazione cercata) in S.
F=1xp
S
xs
P
Msp=1
xs
S
xp
P
wps
Quindi, il diagramma del momento flettente M in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione angolare unitaria in S.
' '' ' ''P PS S SP 0 F s S
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle sollecitazioni
31
F=1xp
S
xs
P
Vsp=1
xs
S
xp
P
Vps
Quindi, il diagramma del taglio V in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione trasversale unitaria in S.
Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land‐Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) prodotta nella sezione S da un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps prodotto nella sezione P da una distorsione unitaria (che compie lavoro per la sollecitazione cercata) in S.
' '' ' ''P PS S SP 0 F s S
Linea di influenzaMetodo indiretto
32
La linea d’influenza di un qualsiasi ente E in S, per effetto di un ente V viaggiante, è il diagramma dell’ente V’ corrispondente a V, provocato dall’ente E’=±1 corrispondente a E ed agente in S; E’=+1 se E e V sono equivalenti, E’=‐1 se E e V non sono equivalenti.
Si precisa che l’ente V’ corrispondente ad un ente V è quello per cui V può compiere lavoro; per esempio, ad Fy corrisponde v e a x corrisponde Mx.
Classe forza Classe distorsioni
V(causa
viaggiante)
Fx Fy Fz Dsx Dsx Dsx
Mx My Mz Dx Dx Dx
E(effetto in S)
u v w Vx Vy N
x x x Mx My Mz
Linea di influenzaMetodo indiretto
33
AyF
x z
Ad esempio:
1yAv zM
A
xDx z 1xA
xM zM
AyF
xM z 1xADv z
AyF
yv z 1yAFv z (Teorema di Betti)
(Teorema di Betti)
(Teorema di Colonnetti)
(Teorema di Colonnetti)
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle sollecitazioni
34
F=1xd
SA CB D
P
1
xsa b
xs a/Lxd /L
L
xs /L xd b/L
xd a/L xs b/L
xd
Esempio
Trave appoggiata con sbalzo.
xs
xs xd /L
Linea di influenza di V per la sezione S
Linea di influenza di M per la sezione S
SFV z
SFM z
v
v
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle sollecitazioni
35
Esempio
Trave Gerber
Linea di influenza di V per la sezione S3
Linea di influenza di M per la sezione S3
F=1xs
A EB F
P
L
C DS3
1
xd
xd
xd/L
xs/L
xs
S3FV z
S3FM z
v
v
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle reazioni
36
F=1xp
P
RB
Esempio
Trave isostatica
Linea di influenza della reazione RB
v=1
A C D
(x)
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle reazioni
37
F=1
A CB D
=1
Esempio
Trave continua
Linea di influenza della reazione MB
MB=1
P
(x)
Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle reazioni
38
F=1
BA
Carichi indiretti
Quando le strutture secondarie sono costituite da travi semplicemente appoggiate, la l.d.i. cercata di ottiene da quella della struttura principale supposta direttamente caricata, congiungendo con tratti rettilinei tutte le ordinate di detta linea posti sulla verticale per i punti di applicazione del carico. Infatti :
=RA A + RB B
P
(xp)
xp
Poiché RA e RB variano linearmente, anche seguirà la stessa legge essendo una combinazione lineare dei primi due.
Linea di influenzaMetodo indiretto – sollecitazioni massime e minime
39
F=1
A CB D
=1
+
E FP
(x)+
-+
-
S
M+max
Linea di influenzaMetodo indiretto – sollecitazioni massime e minime
40
F=1
A CB D
=1
+
E FP
(x)+
-+
-
S
M -max
Linea di influenzaMetodo indiretto – sollecitazioni massime e minime
41
F=1
A CB D
=1
-
E FP
(x)+
- -+
M -max
Linea di influenzaMetodo indiretto – sollecitazioni massime e minime
42
Calcolando le l.d.i. per un certo numero di sezioni e riportando in corrispondenza di ciascuno di queste sezioni il valore massimo o minimo dell’ente si hanno i diagrammi
dei massimi e dei minimi relativi a quel carico variabile.
Se a questi diagrammi si sommano quelli relativi ai carichi permanenti si hanno i diagrammi
dei massimi e dei minimi assoluti.
x1/L
LA BS
l.d.i. di VS
x2x1
x2/L
LA B
Diagramma dei massimi e minimi di VS
Carico uniforme segmentabile
21 2qx L
-
+ 22 2qx L
Linea di influenzaSuperfici di influenza
44
Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni dalla funzione di influenza della freccia di inflessione w, calcolata nel punto (x0,y0) in cui si vogliono eseguire le verifiche.
Per esempio :2 2
2 2xw wm Dx y
2 2
2 2xw wq D
x x y
3
212 1EsD
dove : ( rigidezza flessionale della piastra )
Linea di influenzaSuperfici di influenza
45
La deformata si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine :
I vari metodi di calcolo delle superfici di influenza si differenziano nel modo di risolvere questa equazione.
4 4 4
4 2 2 42w w w qx x y y D
3
212 1EsD
dove : ( rigidezza flessionale della piastra )
Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,) per un carico unitario posto in (x0,y0).
Linea di influenzaSuperfici di influenza
46
mxymx
ad un estremo vincolato
my ad un estremo
liberomx
Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento
qxqx
ad un estremo vincolato
qy ad un estremo
libero
tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.
Linea di influenzaSuperfici di influenza
47tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.
Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti
y
x
y
x
Superficie di influenza del momento flettente mx al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti
Linea di influenzaSuperfici di influenza
48
Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente vincolate.
L’utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati.
Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per una piastra di riferimento di lati e tale che sia si dovrà calcolare il rapporto di similitudine :
0xl
0yl
0 0y y x xl l l l
0 0y y x xk l l l l
e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k².
Linea di influenzaSuperfici di influenza
49
Successivamente a Pucher, Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza piastre di lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile.
Linea di influenzaSuperfici di influenza
50
x
y
x
1.0 1.0
tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag
Linea di influenzaSuperfici di influenza
51
x
y
x
1.0 1.0
tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag