Leyes de Newton

Inercia: un móvil en un sistema de referencia inercial, sobre el que no actúe ninguna fuerza externa, o permanece en reposo, o se mueve a velocidad constante.La tasa de cambio o el ritmo de cambio del momento p, o cantidad de movimiento, respecto al tiempo es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el cuerpo.

donde el momento p se define como p = mv. (producto de la masa por la velocidad) Si la masa del cuerpo permanece constante la ecuación se escribe

= ma

Ley de acción y reacción: Si el cuerpo X ejerce una fuerza Fxz sobre Z, Z ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre X, Fzx

Una fuerza, en general, es aquella causa o influencia que al actuar sobre un objeto hace que este cambie su estado de movimiento, y es aplicada por un objeto material sobre otro. La fuerza es un vector y por tanto se caracteriza por su módulo y por la dirección en que actúa.

F

Las magnitudes caracterizadas por un módulo (valor) y una dirección se denominan vectores. Se representan por una flecha, en la que su tamaño representa el valor del módulo, la línea que contiene al vector, su dirección, y la punta de la flecha su sentido.

Cuando sobre un cuerpo actúan dos o más fuerzas, el efecto es el mismo que el de una sola fuerza resultante de realizar la suma vectorial de las fuerzas individuales.

F1

F2

RR=F1+F2

Nota: Las magnitudes vectoriales como la fuerza (F) las representaremos en negrita, de lo contrario, nos referiremos sólo al valor de su módulo (F)

Fuerza y masa

De las leyes de Newton podemos extraer unas definiciones operacionales para los conceptos de masa y fuerza. Cuando un cuerpo en reposo se mueve o un cuerpo cambia su vector velocidad, es debido a la acción de una fuerza. La primera ley nos indica si alguna fuerza está presente, mientras que la segunda nos permite encontrar, o definir, las fuerzas que actúan en un sistema de referencia inercial. El concepto de masa puede definirse a partir de la segunda ley, así, si ejercemos la misma fuerza y en idénticas circunstancias sobre dos cuerpos distintos, el menos masivo cambia el valor de su velocidad respecto al tiempo más rápidamente que el otro, es decir, adquiere más aceleración.Aquí aparece la masa como una constante de proporcionalidad que relaciona fuerza y aceleración. Esta definición de masa es conocida como “masa inercial”, puesto que inercia es la resistencia al cambio en la velocidad (en general inercia es la resistencia al cambio de estado dinámico). Existe otra definición de masa como “masa gravitacional”. Aunque la masa sea una magnitud independiente, solo puede ser medida conjuntamente con la fuerza y la aceleración. Así, el peso de un cuerpo no es igual a su masa, sino al producto de su masa por la aceleración que siente debido a la atracción de la tierra peso = mg, donde g sobre la tierra se supone constante y de valor aproximado g = 9.81m/s2.Las propiedades intrínsecas de la masa permiten que pueda ser tratada como una cantidad escalar, y así obedece las reglas de la aritmética y álgebra. En unidades:Masa en kilogramos Kg

DinámicaLa dinámica estudia las causas del movimiento. El momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula se define como , donde es un vector y m (la masa) una cantidad escalar cuyo valor es independiente de las coordenadas del sistema. El momento puede ser grande si lo es la velocidad o si lo es la masa. Cuanto mayor sea el momento lineal de un objeto mayor será la dificultad para alterar su movimiento. El valor del momento nos define el estado dinámico de un objeto.

La fuerza se define como el ritmo de cambio de momento respecto al tiempo, Es decir, la fuerza es necesaria para cambiar el momento. En otras palabras, si el estado dinámico de un objeto cambia (pasa de un valor de a otro en cierto tiempo), es debido a la actuación de una o varias fuerzas. Por otra parte, un cambio de momento (impulso) implica la acción de una fuerza durante cierto tiempo.

Aceleración en m/s2.La unidad de fuerza es el Newton (N).1N = 1kg.x1m/1seg2

1Dina=1grx1cm/1s2=10-5 NUna medida de fuerza más antigua es el kilopondio o kilogramo-fuerza, que se define como la fuerza atrae al kilogramo (unidad de masa) patrón situado a nivel del mar.

Conservación momento.

Según la tercera ley, dos objetos aislados de su entorno, (no actúan fuerzas externas), experimentan sólo fuerzas mutuas, y la suma de sus momentos permanecen constantes en el tiempo: p1+p2= cte. La idea detrás de este hecho es que si uno de los cuerpos aumenta su momento, p.e. ganando velocidad, el otro lo pierde al mismo ritmo.

Si la suma de fuerzas exteriores es cero,

Algunos tipos de fuerzas

Rozamiento y Arrastre.

Entre dos cuerpos en contacto existe una resistencia que se opone al movimiento relativo de los cuerpos entre sí. Por ejemplo si empujamos una caja sobre una mesa y le damos cierta velocidad v, inicialmente le hemos comunicado un momento p1 = mv. Una vez la caja queda libre se irá frenando hasta pararse, y su momento llegará a ser p2 = 0. Esta pérdida de momento, como hemos visto, indica que ha actuado una fuerza que se ha opuesto al movimiento. Este tipo de fuerzas son conocidas como fricción por deslizamiento. En la práctica, consideraremos que la fuerza de fricción es proporcional a la normal

N , que es la

fuerza responsable de presionar un cuerpo contra otro, F Nr d . es una constante que

depende de las superficies de contacto.En realidad, ningún sistema real en nuestro entorno está completamente libre de fricciones, aunque muchos sistemas se pueden estudiar sin tratar con ella. De todas formas, téngase en cuenta que sin rozamiento, p.e. entre el zapato y el suelo, uno no podría andar. La fricción en este caso es una fuerza en el sentido opuesto a nuestro movimiento y nos evita resbalar. Este tipo de fuerza depende de la naturaleza de las dos superficies que intervienen y de la fuerza de contacto entre las superficies.

Supongamos que tiramos de un bloque de masa m con una cuerda como muestra la figura. T es la tensión de la cuerda, y fk la fuerza de rozamientoNota: Las fuerzas ejercidas por cuerdas (cordel, cinta,hilo, tendón,...) se denominan tensiones. Se

transmiten sólo en sentido longitudinal. La tensión suele ser la misma a lo largo de toda la cuerda.

En este otro ejemplo la masa m caería debido a su peso, pero la fuerza F presiona contra la pared y la fuerza de rozamiento fs evita que caiga. En este caso la normal FN es igual a la Fuerza F. Al la derecha se dibuja el diagrama de fuerzas

EJERCICIO: En la figura siguiente, entre las masas m1 y m2 existe un rozamiento k, explicar el diagrama de fuerzas que se muestra a la derecha y calcular la aceleración de m1

EJERCICIO: En el plano inclinado de la figura hay una masa m y una constante de rozamiento . Completa el enunciado de este problema. Dibujar el diagrama de fuerzas y calcula la aceleración.

m

Fuerza de un muelle o resorte (Ley de Hooke):

La cantidad que se alarga un muelle, en primera aproximación, es proporcional a la fuerza aplicada. F=kx. k es una constante (constante de recuperación o elástica) que depende de la naturaleza del resorte.

Fuerzas proporcionales a la velocidad (movimiento en el seno de un fluido) En algún caso, como en el movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido (movimiento en el aire, agua, etc...), la fricción es una fuerza opuesta al movimiento y proporcional a la velocidad del objeto: F bv , b es el coeficiente de arrastre y tiene dimensión de masa por tiempo. Este coeficiente dependerá del tamaño y forma del objeto y de la viscosidad del medio. Para una esfera de radio R, este coeficiente vale bo = 6R gr/s, siendo la viscosidad del medio en gr/cm.s (La medida de viscosidad es el poise, 1 poise = 0,1 Kg.m-1.s-1). Para cuerpos con otras formas geométricas no tan simétricas, se define un “factor de forma” b/bo y se considera el volumen del objeto como si este fuese una esfera y multiplicando luego por su factor de forma. Veamos como ejemplo la molécula de la inmunoglobulina G. Su factor de forma es aproximadamente 1.5 y su volumen es aproximadamente V = 2.10-19 cc. Supongamos que cae dentro de un fluido de viscosidad .02g/cm.s, el radio de una esfera equivalente seria R = (3V/4)-1/3 = 3.63.10-7cm., y el coeficiente de arrastre b0 = 6R = 1.37.10-7 gr/s. El coeficiente de arrastre de la molécula es, por tanto, b = 1.5.b0 = 2.05.10-7gr/s.El coeficiente de arrastre de una sustancia se puede dar también en función de la temperatura y su constante de difusión: b = kT/D, donde k=1.38.10-16

erg/K es la constante de Boltzmann, T es la temperatura en Kelvin y D es la constante de difusión en cm2/s. La constante de difusión mide el ritmo al que las cosas son difundidas a través de un medio, y dependerá de la sustancia, el medio y la temperatura. De esta manera, la forma del cuerpo y la viscosidad están ocultas en la constante de difusión.

xF=kx

F=mg

En general, para un cuerpo que se mueve en un medio viscoso bajo la acción de una fuerza F=ma, se tiene ma = F-bv. Fuerza implica aceleración, y ésta aumento de la velocidad, por tanto aumento de bv, lo cual implica disminución de la aceleración. Para cierto valor de la velocidad, la aceleración se anula, a = 0 y, por tanto, vl = F/b, vl se conoce como velocidad límite y depende de b. Para un cuerpo que cae por su propio peso en el seno de un fluido, y si no tenemos en cuenta la fuerza de flotación debida al principio de Arquímedes, se tiene ma = mg-bv, pues en este caso F=mg

, ,

Como hemos visto, la velocidad crece rápidamente al principio, y por tanto lo hace –bv. Para cierto valor de la velocidad vl, sucede que mg-bvl=0, a partir de aquí, la aceleración es cero y el

cuerpo se mueve a velocidad constante (velocidad límite), ; pudiendo escribirse la

ecuación anterior en términos de la velocidad límite . Nótese que si b crece, la

velocidad límite disminuye.Supongamos un cuerpo que se hunde lentamente en una piscina. Como es

evidente, se hunde debido a la fuerza de gravedad Fg = mg. A la gravedad se opone el empuje del agua, es decir, la flotabilidad de todo cuerpo sumergido en un líquido. Esta “fuerza de flotabilidad” o empuje, es igual, por el principio de Arquímedes, al peso del fluido desalojado por el cuerpo: Fa = -m.g, done es el volumen específico del objeto (Volumen/unidad de masa), es la densidad del medio y g la aceleración de la gravedad. mserá el volumen V del objeto y g será la fuerza gravitacional por unidad de volumen del líquido.

Así la fuerza resultante, es decir, la suma de las fuerzas debido a la gravedad, a la flotabilidad y al arrastre o fricción viscosa Fb, será igual a la masa por la aceleración.Fg + Fa + Fb = m.a; m.g - m...g - b.v = m.a; m.g.(1-.) - b.v = m.a.Puede comprobarse que si el volumen especifico del objeto es mayor que 1 cc por gramo, el objeto flotará. (del agua = 1 y V=0 cuando está fuera de esta).Como a = dv/dt; despejando e integrando v(velocidad) = (1-.) .(m.g/b)(1-e-bt/m). Para tiempos grandes relativos a b/m queda la velocidad final vf = (1-) .m.g/bSe puede definir una “constante de sedimentación” s = v.t/g = (1-) .m/b, la cual depende sólo de las características del objeto y del fluido, pero no de la gravedad. La utilidad de esta magnitud reside en el hecho de que no sólo estamos interesados en la gravedad como única fuerza externa, como en el caso de cuerpos que caen en la piscina o en el aire, sino también para objetos, por ejemplo, en una centrifugadora.Una centrifugadora es un dispositivo para separar, por rotación, materiales de distintas masas que se encuentran en suspensión en algún fluido.

Fa Fb

Fg

Los objetos dentro de la centrifugadora experimentan una fuerza que les aleja del centro de rotación (Fuerza Centrífuga). Esta fuerza es análoga a la que se siente cuando un coche a cierta velocidad toma una curva pronunciada. La fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de curvatura de la carretera, que se realiza gracias al rozamiento de las ruedas del coche con el suelo (si las ruedas del coche no “agarran” bien en la curva, sin esa fricción, el coche no podría tomar la curva), permite que el vehículo describa la curva. Como la persona se encuentra en ese momento en un sistema en rotación, y para propósitos prácticos, sentirá una fuerza en el sentido opuesto. El valor numérico de la fuerza centrífuga viene determinado por el valor de la aceleración centrífuga: ac = v2/r = r.2 = r.

(2..n)2, n es el número de revoluciones por segundo y r la distancia al centro de rotación.Sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, por el de la gravedad, tendremos el resultado en función de estos parámetros. Valores típicos en este caso son n=55000rpm y distancias de 10cm, así la ac = 3.32.106m/s2. Mucho mayor que el efecto de la gravedad que en estos casos se puede despreciar.TrabajoEl concepto físico de trabajo y el término coloquial difieren en algunos aspectos. Un transportista de cajas haría un gran trabajo, pero a lo mejor un médico en su consulta no. En general, el trabajo hecho por una fuerza es la componente de la fuerza en la dirección del movimiento multiplicada por la distancia recorrida. Así, el trabajo se representaría matemáticamente como el producto escalar entre la fuerza ejercida y el vector desplazamiento. En los sistemas biológicos, se pueden considerar muchas formas distintas de trabajo: mecánico, eléctrico, químico, termodinámico (presión-volumen). En general, por trabajo suele entenderse el desplazamiento o movimiento de algún objeto por una fuerza. Las formas de trabajo toman la misma forma generalW = Fuerza x desplazamientoPor convección, el trabajo hecho sobre un sistema se considera positivo. Si por el contrario, el sistema ejerce una fuerza sobre el medio que lo rodea causando un desplazamiento, el trabajo se considera negativo.Por ejemplo es conocido que el agua, al congelarse, se expande (aumenta su volumen), realizando un trabajo sobre el medio que le rodea. Esto es fácil de experimentar si llenamos de agua una botella de cristal y la dejamos en el congelador.Cuando un objeto de masa m es elevado desde una altura h1 hasta otra h2, se ha de realizar una fuerza igual a su peso mg. Por tanto el trabajo será W=mg(h2-h1).Hay tipos de fuerzas especiales, como la ley de Hook vista anteriormente, donde el sistema (p.e. un muelle o resorte) se opone al desplazamiento mediante una fuerza restauradora, es decir: la fuerza aplicada es directamente proporcional al cambio producido en el tamaño del objeto, en este caso un muelle F=-kx, siendo x la distancia que el muelle se ha comprimido o expandido.Cuando se produce un desplazamiento muy pequeño dx, el trabajo se definedW=Fdx, por tanto

en el caso anterior, con F=-kx

; o más en general , siendo c una constante a determinar.El trabajo es también energía transferida: Si empujas un carro, haces trabajo sobre él, es decir transfieres energía desde ti al carro. Tu adquieres esa energía, p.e., a través de la comida, la comida la adquiere (si es vegetal) a través de la luz solar y los materiales que toma del suelo, el sol la adquiere a partir de complejos procesos de fusión nuclear, etc. Así la energía es transferida de unos cuerpos a otros. En las ruedas del carro que empujas (supongamos que es por un terreno llano) existen fuerzas de rozamiento que actúan sobre él y este rozamiento produce calor, que es otra forma de energía. Este calor se pierde en el aire, aumentando la energía cinética de sus moléculas. Así, desprendiéndote de parte de la energía que tienes acumulada en el cuerpo, has conseguido desplazar el carro y has producido calor. En realidad has quemado parte de tu energía corporal para añadir calor al ambiente. Si el terreno no es llano, y subes el carro por una rampa hasta alcanzar cierta altura, la energía que has quemado se ha invertido además en elevar el cuerpo a una cierta altura. Como para elevar el cuerpo hay, además, que vencer la fuerza gravitatoria, tú has luchado contra dos fuerzas: el rozamiento de las ruedas y la gravedad. La energía que has gastado contra el rozamiento se esfuma en forma de calor, pero la gastada en elevar el cuerpo no se ha perdido, queda almacenada en el carro en forma de energía potencial. Si alcanzada cierta altura el carro se suelta, caerá por la rampa con una velocidad cada vez mayor. De esta manera la energía potencial que el carro acumuló es transformada en energía cinética. Las dos formas de energía más importante en mecánica son la cinética y la potencial. La energía cinética, o energía del movimiento, tiene como valor mv2/2. Retornando al caso del carro en recorrido horizontal, y suponiendo que no exista rozamiento, si haces sobre el una fuerza

multiplicando y dividiendo por ds; como ;

;

de donde Fds=mvdv; Fds es el trabajo; integrando la expresión; ;

resulta que si inicialmente v0=0 ; ; vemos, por un milagro matemático, que el trabajo que hacemos sobre el carro es de

. En ausencia de rozamiento la energía que perdemos al empujar el carro se invierte en movimiento de este (energía cinética), mientras que, por ejemplo, la energía potencial que adquiere un cuerpo al elevarse una altura h, es mgh. Conservación de la energía.

Si uno considera todas las formas posibles de energía, la cantidad de ésta no cambia. Cuando la energía parece desaparecer (p.e. un coche que se detiene desapareciendo la energía cinética) posiblemente se esté transformando en calor. Si este calor no se disipa al ambiente, puede afectar al sistema (como veremos en termodinámica). El cuerpo humano tiene mecanismos, como veremos, para realizar las tareas de eliminar el excedente de calor producido por nuestro metabolismo. En un ordenador el calor, que puede resultar peligroso para su funcionamiento, es disipado por un ventilador, o bien manteniendo ventanas para que se ventile por convección. En otros casos, lo que se pretende es que la energía se pierda lo menos posible.El principio de conservación de la energía nos permite tener una idea de como van las cosas en general sin preocuparnos de los detalles. Es como una contabilidad de entradas y salidas de capital, pero sin entrar en los detalles de cada ingreso o cada gasto en particular. El trabajo hecho por el sistema transfiere energía fuera de él, mientras que el trabajo hecho contra el sistema hace que su energía aumente. Puede haber otras formas de transferir energía a un sistema, además de hacer trabajo contra él, por ejemplo comer para un sistema de tipo animal, o llenar el tanque de gasolina de un coche. En general la ecuación de conservación de la energía no es más que una ecuación de balance Etotal inicial=Etotal final. Otras dos variables dinámicas interesantes son: presión y potencia.Presión es la fuerza realizada por unidad de área, y se mide en el SI en Pascales: 1Pa=1N/m2

La potencia es la energía, o trabajo, consumida o producida por unidad de tiempo

. Se mide en Watios, energía por unidad de tiempo. 1Watio=1J/1s.

Es interesante notar que cuando una fuerza es constante, como el trabajo realizado es dW=Fds;

En algunos casos las componentes de la fuerza pueden escribirse como la derivada respecto a la posición de una función U(x,y,z) llamada Energía Potencial, con signo menos

FdUdxx , F

dUdyy

Una fuerza así definida se conoce como Fuerza Conservativa.Por ejemplo, una fuerza conservativa típica es F = -kx, que se puede obtener como la derivada de la función U x kx c( )

12

2 , esta función sería su Energía Potencial. (Nótese la relación con el concepto de trabajo)La energía potencial es energía de posición, a diferencia de la energía cinética, que es la que tiene un cuerpo debido a su movimiento Ec mv

12

2 ,

siendo v la velocidad. Ambas son magnitudes escalares y su unidad en el Sistema Internacional es el Julio. 1Julio = 1N . m . Nótese también que al valor de U(x) se le puede añadir una cantidad c, una constante arbitraria, sin que el resultado en la fuerza cambie. Esto significa que la posición elegida para el nivel de energía potencial donde dicha constante sea cero es arbitraria (aunque en cada problema nosotros hemos de elegir un nivel de energía potencial). Un ejemplo donde el concepto de energía potencial es útil lo encontramos en el caso de la gravedad. Suponiendo que nos encontramos siempre cerca de la superficie terrestre y que la gravedad g es constante, la fuerza gravitatoria es

F mg . La energía potencial será U(y)=mgy+c, siendo y la posición, en este caso la altura. Así, vemos que la energía potencial de un cuerpo aumenta a medida que su altura es mayor y si tomamos la superficie de la tierra como nivel de referencia (y=0, c=0), U(0)=0. Otro hecho importante es que U(y) sólo depende de la altura a la que se encuentra el cuerpo y no del camino recorrido hasta alcanzar esta. Si en el proceso hay rozamiento de algún tipo, que será lo más probable, este razonamiento ya no es válido. La fricción o el rozamiento hace que un objeto consuma una cierta cantidad de energía adicional para alcanzar cierta posición. Si el trayecto es más largo el efecto producido por el rozamiento será mayor. Observamos pues, que la fricción es incompatible con nuestra noción de energía potencial, que sólo depende de la posición del objeto.

Recordemos que la fuerza, en la dirección x, se obtiene como FdUdxx y por

tanto es necesario conocer el valor de U para cada valor de x, o el valor de F en todos los puntos. Una función de este tipo, que toma un valor numérico en cada punto del espacio, se denomina Campo (Campo de fuerzas: alrededor de la Tierra tenemos el Campo Gravitatorio). Veremos más adelante funciones como esta, pero en las que su valor en cada punto es un vector: Campo Vectorial. Cualquier cuerpo en el seno de un campo de potencial, sentirá una fuerza actuando sobre él.

EQUILIBRIO ESTATICO

La condición para el equilibrio en traslación (considerando sólo cambios en la posición del objeto, e ignorando los cambios en su orientación), se escribe

, donde i indica las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o bien

.

Conservación del Momento Lineal (cantidad de movimiento)

El momento lineal de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad p=mv, y es, por tanto, un vector. Si la fuerza neta resultante que actúa sobre el cuerpo es cero (o no actúa ninguna), el momento total (suma vectorial de todos los momentos) se mantiene constante. Este teorema de Física es aplicable especialmente a problemas de colisiones (choques). Durante un proceso de colisión entre dos cuerpos, las fuerzas que se ejercen son iguales y opuestas siendo, por tanto, su suma cero. De esta manera, la suma de los momentos pi un instante antes de la colisión será igual a la suma de los momento pf un instante después (debemos suponer que el resto de las fuerzas o no intervienen pues el tiempo duración del impacto es muy pequeño o suman cero). Un resultado también importante en el caso de cuerpos no puntuales es el siguiente: Si la fuerza neta externa es cero, el centro de masas del sistema mantendrá su velocidad constante.La segunda Ley de Newton F=mdv/dt es equivalente a que el impulso, definido como fuerza por intervalo de tiempo: I=Fdt, es igual al cambio en el momento p, puesto que Fdt = mdv = dp. Este concepto es útil en casos en que el tiempo de actuación de las fuerzas es corto -podemos imaginar un golpe seco: un empujón, un golpe de Karate, una patada a un balón, etc. En este tipo de análisis se suele considerar el promedio de las fuerzas que actúan multiplicadas por el tiempo durante el han actuado. El impulso I también es un vector y se puede considerar una suma de vectores impulso.Un caso particularmente importante en Física es la colisión elástica. El choque ideal. En el caso de un choque frontal, la velocidad relativa de aproximación entre los cuerpos es igual a la velocidad relativa de alejamiento de estos.

P=mgF1F2

Una persona, por ejemplo, que permanezca de pié apoyada sobre ambas piernas, esta sometida a la fuerza de la gravedad, su peso, P=mg, mientras que la reacción del suelo empuja hacia arriba con las fuerzas F1 y F2 sobre cada pierna. En esta situación de equilibrio se cumple que P-F1-F2=0.

Para que un cuerpo este en equilibrio es, por tanto, necesario que la suma de todas las

fuerzas que actúen sobre el se anulen, es decir . Se debe distinguir entre

equilibrio estable e inestable. Supongamos que tenemos una configuración en la que la fuerza total es cero y, por tanto, el sistema esta en equilibrio. A continuación desplazamos ligeramente el sistema desde el punto de equilibrio. Si las fuerzas presentes tienden a conducir el sistema a su estado previo, el equilibrio es estable. Si por el contrario, las fuerzas presentes tienden a amplificar la perturbación, el equilibrio es inestable.

En la figura se muestran estos casos. Como ejercicio estudia lo que sucedería si desplazas ligeramente la caja en los dos casos.

Momento, par de fuerzas o torque

Nos podemos preguntar como se modificaría la definición de equilibrio en el caso de un cuerpo extenso (no puntual, con la masa distribuida en una geometría determinada), como un sólido o un sistema de partículas ligadas entre sí de alguna forma (p.e. una molécula).En este caso para que esté en equilibrio queremos que no tenga movimiento traslacional ni tampoco rotacional (un cuerpo extenso puede rotar alrededor de algún eje). En este caso tenemos dos condiciones, F=0 y =0. representa el momento de una fuerza respecto a un eje y como sabemos vale F.r.sin(), siendo el ángulo que forma r (o el vector r) con la dirección de la fuerza ( el vector fuerza). O bien M=F.L siendo L el “brazo de palanca” o la línea que saliendo del punto en torno al cual se produciría el giro, corta perpendicularmente a la línea de fuerza. El par o momento, debe ser cero alrededor de cualquier eje. También podemos definir un equilibrio estable e inestable respecto al momento, definido de igual forma que respecto a la fuerza.

Equilibrioinestable No equlibrio

Equilibrioestable

EQUILIBRIO ROTACIONAL

El equilibrio rotacional significa que el cuerpo no puede realizar ningún giro o rotación en torno a algún eje o punto. Para conseguirlo, hemos de añadir otra condición sobre las fuerzas que actúan.

Consideremos una barra apoyada en un pivote como muestra la figura. De nuevo P representa el peso de la barra, F1 y F2 son dos fuerzas (en este caso pesos), aplicados en sus extremos. F3 representa la reacción del pivote. d, d1 y d2, son las distancias respectivas de cada fuerza al pivote. La fuerza F3 que ejerce el pivote es necesaria para mantener el equilibrio traslacional, el cual requiere que F3-P-F1-F2=0.Pero ahora además hemos de evitar que la barra gire en torno al pivote. Experimentalmente se demuestra que la condición que hemos de añadir para que no exista la rotación es que F1d1-Pd-F2d2=0.La condición para el equilibrio rotacional se establece a partir del concepto de momento de una fuerza o par (torque), i=diFi en este caso. Convenimos, respecto a los signos, que el momento es positivo si tiende a producir un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo en el caso contrario. El equilibrio se consigue si la suma de los momentos es cero

Notamos que F3 no contribuye al momento total pues su distancia al punto de giro es cero. En este caso las fuerzas son perpendiculares a la barra. Cuando esto no sucede hemos de tener en cuenta los ángulos.

O

r

F

r

F

Fcos()

Fsen()

P

F2

F3

P=mg

F1

d

d1d2P

La definición de momento es más general, y afecta a cualquier tipo de vectores, no sólo a fuerzas. Supongamos una fuerza F aplicada a un objeto en un punto P a distancia r de O. El objeto puede girar libremente en torno al punto O. Los vectores r y F determinan un plano.La fuerza F puede expresarse como suma vectorial de dos componentes, una paralela a r, de módulo Fcos() y otra perpendicular de módulo Fsen(). La componente paralela a r no produce ninguna rotación en torno a O. El momento, torque o par, entonces tiene como valor el producto =rFsen(). es el ángulo de rotación desde la dirección de r a la de F y se considera positivo si la rotación es contra las agujas del reloj. De otra manera, cuando se encuentra entre 0º y

180º , caso a, sin() es positivo y por tanto lo es el momento. Para valores de entre 180º y 360º , caso b el momento es negativo.El momento o torque , es de hecho un vector siendo rFsen() su módulo. Su dirección es perpendicular al plano formado por lo vectores r y F. En general, se obtiene como el producto vectorial entre r y F.t = r x F. Si los vectores r y F se encuentran en el plano X Y, el valor del módulo de es= rxFy-ryFx

Si el cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional, el momento puede ser evaluado en cualquier punto. La fuerza de la gravedad (peso) siempre actúa en el centro de gravedad del cuerpo. Este punto coincide con el centro geométrico cuando la masa está homogéneamente distribuida por toda la geometría del cuerpo.

Una manera de encontrar el centro de gravedad de un cuerpo de dos dimensiones de forma irregular, es como sigue: Suspendemos el cuerpo de un punto A y dibujamos una línea vertical AB. Repetimos el proceso suspendiendo el cuerpo de otro punto C y dibujamos una segunda línea CD. El centro de gravedad será la intersección de las líneas AB CD.

Un cuerpo extenso, como el de la figura puede rotar libremente en torno a un eje. Si tomamos momento en torno al pivote, las

F

r r

F

a

b

fuerzas de reacción que actúan sobre el pivote no ejercen momento y en la figura, el único momento surge debido solo a la fuerza de gravedad.

MAGNITUDES ANGULARES.

En este apartado discutiremos la dinámica de objetos obligados a moverse en un círculo. En este caso las distancias se medirán en longitud de arco. La longitud de un arco de circunferencia es el producto del radio del circulo por el ángulo que este arco abarca, s = r., medido en radianes.Recordemos que 2 radianes = 360º. 1radián=360º/2 =57,3º

Momento de una fuerza, par (par de torsión) (en inglés torque).

Todos nosotros hemos estado haciendo pares de fuerza desde antes de nacer. El par es necesario para realizar una torsión (conseguir que algo gire respecto a un punto o un eje). Para conseguir la torsión debemos aplicar una fuerza a cierta distancia del eje de rotación y por supuesto en cualquier dirección que no pase por el centro de rotación. El momento de la fuerza o par, se define como el producto de la fuerza por la distancia a la línea de fuerza a lo largo de la perpendicular a dicha línea de fuerza.Esto es conocido como el producto vectorial del vector distancia por el vector fuerza. El centro de rotación es un punto cualquiera del cuerpo, en general la elección de este punto es bastante obvia y queda perfectamente definido por la rotación particular que pensemos realizar. En la mayor parte de los problemas reales el centro de rotación será un eje perfectamente definido que puede estar en el cuerpo a rotar o fuera de él.

Así, la distancia recorrida alrededor de una circunferencia es s = r., donde s es la longitud de arco recorrido. La velocidad angular se define

ddt

, y es el ritmo al que el ángulo varía con el tiempo. De igual modo, la aceleración angular se define

ddt

. La velocidad tangencial, será v = .r y la aceleración tangencial a

= r. Si la aceleración es constante, = 0 + t + 12

t2; = 0 + t, análogas al movimiento lineal uniformemente acelerado, lo que es posible ya que el movimiento sobre un círculo es un problema de movimiento en una dirección y el ángulo es una buena variable como distancia. Si definimos el momento de inercia de una partícula puntual como I=mr2, podemos definir la energía cinética de rotación como Ec=I2/2. El objeto además de rotar puede también trasladarse, en este caso la energía cinética será la suma de la de ambos movimientos. Desde el punto de vista dinámico (causas del movimiento) las magnitudes angulares que interesan son el momento angular L=I y el momento de la fuerza o par , y por tanto, hemos de señalar algún cambio. Lo relativo a la masa es ahora el momento de inercia I (no confundir con impulso I), y en cuanto a la velocidad hemos de pensar en velocidad angular . Esta, como es sabido, mide el cambio de la rotación de un cuerpo en radianes por segundos. De esta forma, podemos decir que el papel que antes jugaba el momento lineal, lo tiene ahora el momento angular que es el producto de I por En lugar de fuerza, ahora usamos el concepto de par de rotación, momento de la fuerza o simplemente par (M o ). Así, podemos escribir = y de aquí obtenemos el principio de conservación del momento angular. Si es 0, Ipermanece constante. En general, estamos considerando sistemas cuya masa no varia, en este caso, el equivalente a la masa es el momento de inercia, magnitud mucho más compleja al tener en cuenta, sobre todo, como de distribuye la masa del cuerpo en torno al eje de rotación (por ejemplo un patinador que gira sobre si mismo con los brazos abiertos tiene un momento de inercia mayor que si lo hace con los brazos pegados al cuerpo). Así, en ausencia de momentos de fuerzas o pares externos la magnitud I permanece constante. De igual forma que una fuerza es necesaria para cambiar la velocidad lineal, un par es necesario para cambiar la velocidad angular.

Ejemplos:

Un atleta corre con una velocidad constante de 9,9m/s sobre una pista circular de radio 30m. Su aceleración centrípeta es ac=v2/R=3,3m/s2

Sea un péndulo de longitud L, del que cuelga una masa m, que se encuentra en el punto P1 en un determinado momento. Supongamos que el ángulo es pequeño. El desplazamiento desde el punto de equilibrio es d=Lsen(). La aceleración será a=gsen(), proporcional al desplazamiento=t, a=2Lsen(t), y como a=gsen(t), w=(g/L)1/2

T=2(L/g)1/2 solo función de g y L

Un bloque de peso P=10N esta suspendido del techo por dos cuerdas que forman 60 y 30º. Cacular tensiones T1 y T2

10N/sin(90)=T1/sin(60)=T2/sin(30)T1=8,7N T2=5N

La rueda de la figura tiene de radio 5m y pesa 300 N. Que fuerza hay que hacer para que la rueda supere el borde de altura 2m, a) si la fuerza actúa sobre el centro de masas o b) sobre el punto A perpendicular al diámetro.R=(5*5-3*3)1/2=4;el peso hace un par resistente de T=FxR =300x4=1200Nm contra agujas reloj

a) F=1200/3=400Nb) F=1200/10=120N