denariusLA TEORADEL EQUILIBRIOGENERAL WALRASIANO:UNANLISISINTRODUCTORIOJos D.Liquitaya Briceo1Gerardo GutirrezJimnezIResumenEn este trabajo se ofrece una primera lectura de la Teora del Equi-librio General Walrasiano(TEGW) para una economa de intercambiopuro, intentandososlayar las dificultades que entraa suridodesa-rrollolgicojormal. Esteempeotieneuncostoentrminos de preci-sin yobliga arestringir al mnimo necesario el planteamiento formal;pero tambinlibera delanecesidad de examinar inextensulas pecu-liaridades deestateora.El artculo se divide en cuatro secciones. Enla primera se estable-cen los supuestos yconsideraciones que constituyen el punto de partidadelaTEGW. Enlas siguientes tres se explican las soluciones que ofrecealos problemas de laexistencia, unicidad y estabilidad dinmica delequilibrio, respectivamente.IntroduccinLaTeoradel EquilibrioGeneral Walrasiano (TEGW) constituye,hoy enda, la contribucin mselaborada frentealproblema central delaEconomaPoltica; estoes, explicar cmo, atravsdela interaccindedistintos individuos movidosporintereses diversos, se mantienelacohesinsocial yse resuelveel problemadelaasignacinderecursosen unaeconomademercado.La influencia questa tieneesevidente en todoslos campos de lateora ortodoxa- lams desarrollada desde el punto de vista dela prec-1Profesores del Departamento de Economa de laUniversidad Autnoma Metropolitana UnidadIztapalapa.187LaTeoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. Liquitaya BriceoGerardo GutirrezJimnezsindesusproposiciones- ylos enfoquesmacroeconmicosdominan-res-la reconocen como la teora ms general y satisfactoria e invocan a lamisma enapoyodesusmodelos.Infelizmente, ensupresentacinformal estateoraestconfiguradaconmatemticas tanavanzadasqueresultaincomprensiblepara unestu-diantedelicenciaturaenEconoma. Asimismo, tenemoslasensacindeque, inclusive,lasexposiciones mssencillasdelas que conocemos -sosla-yandolasextremadamenteelementales, comoaquellasqueseofrecenenlostextos de microeconoma bsica- no son, en el mejor de loscasos, fcil-mente asimiladas;sobre todo, por la terminologa y formalizacinmatem-tica(ineludible en varioscasos)y la ausencia deuna explicacinmscom-prensibledel significadode algunashiptesisoproposiciones.Esjustamenteestasituacinlaquenosanimaaelaborarel pre-sentedocumento, puesnosproponemosallanar, hastadondeseapo-sible, lasdificultadesmencionadas, y ofrecer una primera lectura delaTEGWparael casoms sencillo: el deunaeconomadeintercambiopuro. Esteempeotendruncostoentrminos deprecisinynosobligar a restringir al mnimo necesario el planteamiento formal; perotambinnos liberardela necesidaddeexaminarconmayor detallelaspeculiaridades de laTEGW propuestas por los diversos autores queseocuparondesudesarrollo.Tenemos la esperanza deque, luego de esta primera aproximacin,el lectornoadvertidopuedaabordarconms facilidad (yalgunos ele-mentosdejuicio)laspresentacionesquetienen unmayor gradodepro-fundidady rigoranaltico'.El trabajo est organizado demanera muy sencilla: en la primera sec-cin seestablecen algunas consideraciones y supuestos queconstituyen elpunto departida de la TEGW. Las tressiguientes seocupan de explicar las2 Estoes, lasntesis neoclsica-keyncsianaylaescuelamonetarstamarcas Iy11 fsiguiendoladenominacinde Tobin(1980). A esta ltima marca!l-sela conoce tambin comolaescueladelas expectativas racionales].'Para un siguientenivel deanlisis recomendamosla obra de Ludlow (1987) Una presentacinmsextensase encuenrraen QuirkySaposnik(1968). Para unanlisisdela 'integracinde lamoneda enla Teora del Equilibrio General, sesugiere Harris(1985)y, sobre todo, Benetti (1990).188denarius soluciones que ofrecena losproblemas de la existencia, unicidad y estabi-lidaddinmicadel equilibriowalrasiano, respectivamente.LEI Equilibrio Walrasiano:agentes, bienes yplanesHemos sealado en laintroduccincul esel objetivo de laTEGW.Entrminosmsconcretospuededefinirsecomoconsistenteen"expli-car la forma enqueseasignanlos bienes entre losdistintosagenteseco-nmicos, demodoquese mantengalacoherenciaexistenteentrelasdecisionesindividualesy aparentementeseparadas entornoalacompray venta de bienes".Para esto,elanlisis seasienta en dosprincipios: 1)elcomportamientooptimizador delos agentes individuales antepreciostomados como dados y 2)la fijacindeprecios detalmodo que la ofertaigualea la demanda entodos y cada uno de los mercados.Trataremos de explicar sistemticamente en qu consisten esos prin-cipios y cmo searriba al objetivo propuesto para elcaso de una economade intercambiopuro.A. Supuestosacerca delosagentesy losbienes.Consideremosunsistemaeconmicodondeexistenmagentesynbienes. SeaJSh la cantidad del bien i poseda inicialmente por elindividuo h(cantidad quepuede ser igual a cero para uno omsbienes), yla dota-cin inicialdel agente h -que lelleg como el man del cielo-.Los agentesen este sistema seproponencomerciar entre s, pero enel contexto de lossiguientessupuestos:1. El nicotipodeagenteeconmicoes el consumidorysteseencuentradefinidocompletamente por sufuncindeutilidad, Vh(o por sus preferencias,h) Ypor sudotacin inicial de bienes, CDh2. Todos los consumidores se conducencompetitivamente; es de-cir, tomanlos precios comodados independientementedesusacciones. Estoequivaleadecir quecadaagente, parala formula-cindesusplanesdecompraventa, i)debetomarcada vector depreciosquele suministrael Subastadorcomosi fueradeequili-brio; es decir, debeactuar comosi carecieradememoria; ii) se189LaTeoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. Liquitaya BriceoGerardo GutirrezJimnezencuentraaisladodelos dems, loqueevitala posibilidaddecolusin entre grupos deagentesparaintluir sobrelosprecios.3. Todoslosconsumidorestienencomoobjetivomaximizarsuspreferencias.4. Cada unodelosnbienesexistentes enlaeconoma es suscepti-ble de convertirse en mercanca y sediferencia de losdems porsufecha, localizaciny estadodelmundo.5. Existeunmercadoparacadamercanca, dondese determinasuprecio.6. Existe para las n mercancas unvector inicial de precios PI' P2,''''PO' respectivamente.Enestecontexto, losagentessepresentan enel mercado y, alospreciosdados inicialmente, cadaunodeelloseligelacombinacindesuconjuntodeconsumo, XI" quemaximizasus preferencias; es decir,cadaconsumidorhactacomosi tuvieraqueresolver el problemasi-guiente:sujeto a: PX" = Pco"[1][2]La solucinaesteproblemaconstituye unhiper puntodelafun-cindedemandadel consumidor, X,,(P).El subastador walrasiano.Pero, paraquelosagentesformulensusplanesdecompraventa,deben estar informados de los precios que rigen en los mercados. Cmose enteran de estos los agentes? Para garantizar tal hecho la TEGW imbricaenel sistemaunaentidadabstracta, denominadaSubastador. Espuesesta entidad la encargada de centralizar la informacin relativa a lasofer-190denariustasy demandasdelosconsumidoresydecomunicarlospreciosperti-nentes a cada agente por separado. Susfuncionessepueden resumir enlos siguientespuntos:1. El Subastador comunica, mediante'boletas', los preciosiniciales alos agentes.2. A esosprecios, los agentesefectan susclculos de lascantidadesofrecidasy demandadasmedianteel procesodemaximizacin desufuncindeutilidad, sujeta asurestriccin depresupuesto.3. Los agentes manifiestan al Subastador, tambin por medio de'bo-letas', susplanesdecompraventa.4. El Subastador agrega lascantidades que, a los precios dados, cadaagenteaceptacomprary vender.5. Si el Subastadorobservaque, enalgunosmercados-lademandadeseadanoes igual ala ofertaplaneada, cambialos preciosdeacuerdoalasiguienteregla: incrementael delosqueacusanunexceso de demanda y disminuye el deaquellos dondesepresentaunexcesodeoferta.6. El Subastador comunicael nuevovector de precios a losagentes ... y sereanudael procesodeclculo y formulacindelascantidades ofrecidas y demandadas, de recepcin y agregacin porpartedel Subastador.Ladinmicadescritacontinuarhasta el momentoenque elSubastador encuentreel vectordepreciosquevacetodos losmerca-dos; esdecir, que en todosellos la demanda sea igual a laoferta. Mien-tras estono suceda, cada agente -carente dememoria y sincomunica-4 Que, como mnimo habrn de ser dos para ser congruente conla ley de Walras; puesto que, sidelos nmercados, n-2seencuentran en equilibrio yel mercadon-l acusa un excesodedemanda,enel ensimo deberhaber, necesariamente,unexceso deoferta por exactamenteel mismo valordel excesodedemandadel mercadon-1. Msadelanteexpresamosformalmenteestaley.191La Teoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. Liquitaya Briceno Gerardo Gnttrrex fintenexcinconlosdems-efectuarsusclculosconbaseencadavectordeprecios queel Subastador lesuministre, y elaborar sus planesele com-praventa, verificndose parael conjuntodelos bienesdemandadosyofrecidos que:[3]dondeZh(P) es lafuncindeexcesodedemandanetadel consu-midorh.Si las ofertas las definimos comodemandas negativas entonces,para laisima mercancael excesodedemanda netaagregada, Z(P), seobtienesumandolosexcesosdedemandasnetasdelosagentesindivi-dualesy es, comoloindicamos, unafuncindetodoslosprecios.H. La existencia del equilibrioLosaspectosconsideradosenlaseccinanterior planteanlaideade que, si biennohayinterrelacinentrelos agentes, existe interde-pendencia entreellos, porqueel Subastadorcambialospreciosdebidoaquelosplanes individuales nosoncompatibles. Estonos llevaalasiguiente interrogante: cxiste un vector de precios P ~ : que compatibilicelosplanesindividuales; dicho de otromodo, queigualelaoferta conlademanda en todos los mercados? La respuesta dela TEG\V esafirmativa,siemprequesecumpla conlossiguientesrequisitos:1. En el equilibrionopuedeserpositivoel excesodedemandadeningnbien.2. Si el excesoele elemandaes negativo, el bienes librey supreciodebeserigual acero.Formalmenteestospuntos puedenexpresarsedel modosiguiere:Unconjuntoelepreciosnonegativos p*, p/', ... , p.," constituyenun equilibrio si:Z(. , . ~ . *)< () d .~ i PI"" P2"',,,, Pn" - ; para to 01.192[4]denariusfftinakelOllOmioyadmini_iII[5]Perolademandanopuedesuperaralaofertaporque, deocurriresto, habra demandasinsatisfechas y nosecompatibilizaranlosplanesindividuales. Enel segundocaso, sepuedepensar enbienestanabun-dantes, como el aire, quesetornan gratuitosonosecobra nada por suuso.Conlasdefiniciones [4] y[5] las siguientes hiptesis sonsuficien-tespara laexistencia delequilibrio:H. (Homogeneidad): Las funcionesZ(ppP2'"'' Pn) son homogneasde gradocero; estoes, Z;(APl>AP2"'" Ap,) = Z;(Pl' P2"'" Po);paratodoA >Oy para todo Pr- P2"'" Pn O.w. (Ley deWalras): 2:PZ(Pl' P2"'" p.) = Opara todoslosconjuntosdeprecios; es decir, lasuma del valor delosexcesos dedemandaes igualacero.C. (Continuidad): Las funcionesZ;(Pl' P2"'" Pn) soncontinuas.A. (Acotamiento): Las funcionesZi(Pl' P2''' Po) estn acotadas haciaabajo>.El supuestodehomogeneidadconstituyeunelementotpicodelateora delademanda del consumidor, lacual establece quelarestric-cindel presupuestodelos consumidores novarasi semultiplicantodoslos preciospor unaconstantepositiva. Estosignificaquela fun-cindedemanda delconsumidoreshomognea de gradocero enpre-cios. Comolasumadefuncioneshomogneases tambinhomognea,la funcin deexceso de demanda Z/Pl' P2"'" Po)eshomognea degra-docero enlosprecios.La Ley deWalrasseala simplementeque, si cadaagentecumplecon su restriccin presupuestaria, de modo que elvalor de su exceso de, Como lo indicaBenetti (1990), habraqueafiadir la hptesis S: Ladotacininicial de losagentesabarcauna canastade bienesque les permitesobrevivir sin intercambiar. Estaestcnicamentetilparaevitar unacausa posible de discontinuidad.193La Teoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. Liquitaya BriceoGeranioGutirrezJimnezdemandaseacero, el valor delasuma delosexcesosdedemandaserobviamentenulo. Unaimplicacindeestaley puededefinirsecomosi-gue: "si, para un conjunto deprecios estrictamentepositivos, n-Ide losmercadossevacan, entoncesel mercadoensimose vacatambin".La hiptesisdecontinuidadimplica, enestecaso, convexidaddelaspreferencias. Intuitivamente estosignifica(por ejemplo)que, sia unconsumidor le es indiferenteelegirentreunabotelladebrandy yotradetequila, leser igualmenteindiferente elegir una botella queconten-gauna mezcla deambasbebidas.Formalmentelaconvexidadse puedeexpresarcomosigue:Sea X, = Conjunto de posibilidades de consumo abiertas alcon-sumidorh.Xl h'X2h= Vectoresquerepresentanlas cantidadesdebienesquepuededemandarel consumidorh.Entonces, como:Porltimo, lahiptesisdeacotamientosignifica queseexcluyelaposibilidad de una oferta ilimitada de bienes,locual espatente desde elmomento en que se define una cantidad finita de dotaciones iniciales debienesparalosagentes.Normalmente laspruebas que, con base en lashiptesis sealadas,definen laexistencia de unequilibrio competitivo, hacen usodel Teore-madel PuntoFijodeBrouwer. Estepodemosexpresarlodel modosi-guiente:Supongamos un conjunto A, convexo ycompacto,yAe R".Si f A ->A(si Fes una funcincontinuadel conjuntoensmisma), entonces existe un punto x EA. tal que f(x) =x.194denarius.... irtlldeeo:DJlOmn y adminirnlldflLa demostracindeesteteoremaparael casogeneral es arduaycompleja. Aqu nos limitaremos a ilustrarlo geomtricamente para el casomssencillo:Supongamosunafuncincontinuaf: [0,1] --f [0,1] Y deseamosprobar que existe un x en[0,1] tal que x=f(x) , como indica el Teoremade Brouwer. Geomtricamente se puede constatar que alguna curva con-tinua, cuyo origen parte delalnea x = y termina enlalnea x= 1(osea, confinada enel productocartesiano1 xJ), debeintersectar ladia-gonal al menos unavez.GRFICA 1.f(x)11 xLa Grfica1 muestra unejemplo deunafuncincontinuaf[0,1]en[0,1] contrespuntosfijos: a,byc. Estoesevidente, puestoqueladiagonal es lagrfica delafuncinf(x) =x; por tanto, un punto fijodestapuedeidentificarsecomoel punto deinterseccin de la grfica delafuncincon ladiagonal.195LaTeoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. LquitayaBriceo Gerardo GutirrezJimnezNtesequeel TeoremadeBrouwer enunciala existenciadealmenos un punto fijo. Estosignifica que puede haber 2, 3, ... , hasta infini-tonmerode talespuntos (paralo cual bastaquesedla igualdadf(x) = x en unpequesimointervalo); es decir, unnmeroinfinitodeprecios deequilibrio. Comosever enseguida, laposibilidad delaexis-tencia de ms de un vector de precios deequilibrio constituye el segun-doproblema esencialal queseenfrenta laTEGW.III. La unicidad del equilibrioEnesencia, launicidaddel equilibriosignificaqueexisteslounvectordepreciosdeequilibrioyslounestadodela economaresul-tante del despeje de los mercados. Sinembargo, un equilibrio puede noser nico, tanto si la relaciones de oferta y demanda son funcioneso soncorrespondencias. Enotrostrminos, existelaposibilidaddequehayams deunvector deprecios consistentesconla maximizacinindivi-dualy el despejedelosmercadosoquesepresentemsde unestadodelaeconomaasociadoal conjuntodepreciosdeequilibrio".Paraevitar estadificultadlaTEGWsuponequeel excesodede-mandaagregadaparacadamercancaes unafuncinmontonadecre-cientedesupreciorelativoo, entrminos matemticos, queZ{P) escontinuamentediferenciable (si estafuncinposeyerapuntos angula-res, habraintervalosenquetodoslospreciosseran deequilibrio).La demostracinque asegura la unicidad del equilibrio parte de lahiptesis de que todos los bienes son sustitutos brutos, locual constitu-yeunarestriccinsobreZi(P), Estasepuedeexpresar comosigue:El bieni ser unsustituto bruto del bienj si un incremento en Ppmantenindosetodos losdems preciosconstantes, incrementaZ{P).Del supuestodehomogeneidadsesigueque, si todoslosbienesson sustitutos brutos, todos lostrminos de lamatriz jacobiana de Z(P)quenopertenecenasudiagonal principal sonpositivos. En trminosformales:"Una explicacinmsexhaustivasobreestepuntopuedeverseenArrowyI1ahn (1977).196denarius OZ(P)/OPi2: o ; para todoi cF j(Vaselademostracin en Varian, 1992, pg. 464)Suponiendo quelademostracin de unicidad delequilibrioes sa-tisfactoria,queda an pendientela cuestin de suestabilidad. Estees eltercer problemaesencial delaTEGW.IV. La estabilidad del equilibrioEnuncontextogeneral, el problemadelaestabilidaddel equili-brio puedeplantearseenlossiguientestrminos:Ante una situacin en que los preciosprevalecientes nopermi-ten el despeje de los mercados, eexistiranfuerzas inductoras de loscambios necesarios en los precios, de manera tal que se logre compa-tibilizar los intereses individuales?Los tericos dela TEGW abordanesteproblemadesde distintasperspectivas. Aqu simplemente sedescribir una de lasms vigentes -eldelaestabilidad dinmica-formalizadapor PASamuelson(1947).Enrealidad, la 'explicacinliteral' del procesodeajustehaciaelequilibrio ya se desarroll en laseccin1 cuando sehizo la resea de lasfuncionesdel Subastador; portanto, slose aadiranalgunasprecisio-nes:a). Entantolos precios calculados por el Subastador noseandeequilibrio, nose permiteel comercioentrelosagentes.b). Sesuponequetodoslosbienessondeseablesysi el preciodecualquiera deelloses nulo, tendr unexcesodedemanda.Estas condiciones adicionales permitengarantizar quela econo-malogrequetodoslosmercadossevacen[Z(P*) =O; paratodoi] apartir decualquier vectorinicial depreciosdedesequilibrio.197LaTeoradel EquilibrioGeneral Walrasiano: unanlisisintroductorioJosD. Liqutaya BriceoGerardo GutirrezJimnezComo ya semencion,se supone que los precios seajustan bajo lainfluencia delosexcesos dedemanda; especficamente, seincrementancuando elexceso de demanda espositivo y bajan en el caso opuesto.Deacuerdoal sistemapropuesto porSamuelson, sepresenta formalmenteel siguienteproceso:dondeG esunafuncincrecientedel excesodedemanda, Z(P),para i=1, 2, ... , n; y 't'denota eltiempo.Comose puedeapreciar, estesistemase plantea entrminosdeecuacionesdiferenciales. Sus solucionessontrayectoriasdelospreciosen eltiempo partiendo de una situacin inicial -estado de laeconoma-caracterizada por unvector deprecioscualquiera, PI' y asignacionesco-rrientes de lasdotaciones, X. Precisando, a partir de cualquier vector depreciosanunciadopor el Subastador, enel lmite (cuandot tiendeainfinito) lospreciosseaproximanalvectordeequilibrio, p*7.7 Arrow, Block y lIurwicz(1959)demostraronque, si todaslasmercancas son sustitutas brutas,el sistemaes globalmenteestable.198denarius,nill. d ,,,,.oo,,,., ~ d m i n i m u nBibliografaArrow, K. J. (1972). "El Equilibrio Econmico General: Propsito, Tcni-cas Analticas, Eleccin Colectiva". ConferenciapronunciadaenhomenajeaAlfredNobel el 12dediciembre. Reproducido en LosPremios Nobel de Economa 1969 - 1977, lecturas delFCE, Vol. 25,Mxico, 1978.Arrow, BlockyHurwicz (1959). "Onthe Stabilityof theCompetitiveEquilibrium II",Econometrica, No. 27.Benetti, C. (1990). Moneda y Teora delValor, FCE, Mxico.Harris, L. (1985). Teora Monetaria, FCE, Mxico.Ludlow, J. A. (1987). Economa Matemtica11, Limusa, Mxico.Quirk, J. y Saposnik, R. (1968). 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