Ley de Gauss Problemas Resueltos

40 Ley de Gauss

Problemas resueltos

Problema 1. Objetivos 1 y 2

Un campo eléctrico constante, y unlforrne dado por E = E o excruza un hemisferio de radio a. D~termine el flujo eléctrico quecruza el hemisferio. (figura 2.1)Solución:

De la ecuación 2.2 tenemos que:

~== fE. dsde donde;

~ = J E. cos 8 ds

donde ds = 2 rr Y dl,

de la figura 2.2 vemos que:

r ,= B sen (J y dI = a d O

Por lo tanto, ds = 2 tt a sen a a d eSustituyendo ds por su valor en la

ecuación 2.2 tenemos que:

Integrando y evaluando obtenemos que el flujo está dado por:

Problemas resueltos 41

De este resultado observamos, que el área efectiva es el áreatransversal al campo.


Dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y b, como semuestran en la figura 2.3 tienen cargas de -7Q y +2Q respec-tivamente, calcule el flujo eléctrico para a) r < a, b) a < r <b,c) r < b.

Solución:

a) De la ecuación 2.3 obtenemos el

flujo eléctrico:

f ,-.J ,-.J4> = E . ds

E .

y de la ley de Gauss, ecuación 2.4 obtenemos que:

Por lo tanto el flujo eléctrico es Igual a la carga neta encerrada en-tre la constante de permitividad, esto es:

Figura 2.1 Figura 2.2

dJ

4> J Ea cos 8 2 .". asen 8 ad 8 IY ds=

.~ E."./2 E

= f E 2.". a2 sen 8 cos 8 d 8oa

X

42 Ley de Gauss

-7Q

eab

Por lo tanto para r < a la carga encerrad)a por una superficiegaussiana de r < a , es cero y:

4> = OE

Figura 2.3

\

b) Por las razones expresadas en el inciso anterior la carga netaencerrada por una superficie gaussiana de radio a < r < b, es- 70, por consiguiente:

4> = -70/t:E o

e) El flujo eléctrico para, > b es igual a:

<PE

(-7 0+ 2O)Ea

o

-50


Por las razones expuestas en el inciso a.

Un cilindro de longitud infinita de radio a con una distribución decarga p = A l r donde A es constante, tiene una cavidad cilín-drica coaxial de radio b. Determine el campo eléctrico para r <b, b < r < a y para, > a. (figura 2.4)

Solución:

a) Para, < b

Problemas resueltos ':;3

----- ..---- ----- <, '<"'"-

-\..--"-- \»> \----

- I -._____--r __--- /..--..----- ¿..-

Figura 2.4

Vemos que para una superficie gaussiana cilíndrica, la carga en-cerrada es cero, entonces de la ecuación 2.4:

E = O

b) Para a > r > b, podemos determinar el campo eléctrico de laecuación 2.6, esto es:

roJ

ds =

donde p = Al' Y dv = 2 tr rl dr .para un diferencial de volumen cilíndrico. (Apéndice IV del texto)

Sustituyendo:

f AroJ

ds = 2-rrrld,r

Integrando:

E2-rr,/=

Evaluando y d p jond

A (r h)E = . /'

44 Ley de Gauss

c) Para, > a.

De la ecuación 2.6 tenemos que:

~ E . ds = ~ f p dvo

Adonde p = -- y dv = 2 7r , Id,,Sustituyendo e integrando:

G 2 tt r J : ..~~ AG • rJ:Evaluando y despejando el campo:

AE=

go


Una esfera metálica maciza de radio b, con una cavidad esféricaconcéntrica de radio a, como se muestra en la figura 2.5 tiene.una carga O (positiva). Calcule el campo eléctrico para a) r < a,b) a < r < b, e) r > b.

Solución:

a) Para una superficie gaussiana de radio, <a tiene una carganeta encerrada O. De la ecuación 2.4 tenemos que:

rh '-' '-''j' E. ds = 01 -,

de donde: E 4 tt ,2 = O!« o

despejando el campo eléctrico tenemos que:

OE =

b) Debido a que la esfera es metálica se induce una carga deigual rnaqnltud y slqno contrario como se indica en la figura, por


consiguiente la carga neta encerrada por una superficie gaussia-na de radio, (a < , < b) es' cero y de la ecuación 2.4:

de donde:

E = O

e) la carga encerrada por una superficie cerrada con radio r > b.la carga neta encerrada es +0, de la ecuaclón 2.4 tenemos que:

Integrando:

E 4 7r ,2 = Oleo

de donde:

O

Lo que era de esperarse· ya que la carga de la esfera metálicaes cero y sólo tenemos una carga puntual +O.

Problema 5. Objetivo 4

Deducir la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss, para unpar de cargas aisladas. q, Y qz separadas una distancia r. figu-ra 2.6.

Solución:

De la Ley de Gauss (Ec. 2.4) tenemos que:

de donde obtenemos el campo eléctrico, dado que el vector del' campo y el vector área son colineales, podemos integrar fácil-

mente y evaluar para un radio r esto es:

E 4 tt ,Z = q, /100

(46 Ley de Gauss .

de donde:

E =

De la ecuación 1.11 del texto obtenemos la fuerza coulumbiana en-tre las cargas:

Problema 6. Objetivo 5,

Una esfera maciza de radio a, tiene una densidad carga dada por(l = A / r para o < r ;;;;; a donde A es constante. Determine elvalor de la constante A si el campo eléctrico para o < r < aes

r--'

igual a E = Eo é r (su magnitud es constante).Solución:

De la ecuación 2.6 tenemos que: ~ E ds = ~ f p dv del

,...-apéndice IV tenemos que ds = r' sen O d O d er y dv = 4 7T r2 drcomo E es independiente de r, (~ . ~) = 1 Y p sólo varía con elradio. entonces la ecuación 2.6 se puede escribir como:

eo

Integrando y evaluando para un radio r:

de donde:

A = 2 e Eo o



Un cilindro infinitamente largo de radio R, tiene una densidad decarga p constante. Determine el campo eléctrico para r < R Yr > R.

Solución:

De la ecuación 2.6 tenemos que: ~ E ds = ~ f p dv comoo

el vector campo y el vector área son colineales, y del apéndiceIV tenemos que dv = 2 7T r I dr para un radio r, entonces:

J-""- ,...-'Y E . ds = f E ds = ~ p f 2 7T r I d r

o

Integrando y evaluando para r < R obtenemos:

1E 2 7T r I = -- P 7T r'

eo

de donde:

1 .E = --- p r ; donde r < R.2 eo

Para r > R obtenemos al integrar y evaluar la ecuación 2.6 que:x'·

de donde:

E2 e r

t:J

Observe que paro out n r la rga sólo se integra de O a R·ya que sólo exl t nron on I Int rlor del cilindro.

48 Ley de Gauss

Problema 8. Objetivos 1 y 2.

Calcule el flujo eléctrico que cruza una de las caras laterales delprisma rectangular de sección cuadrada de lado a y largo b, cuan-do por su eje longitudinal pasa una línea de carga positiva dedensidad de carga lineal '\, como se muestra en la figura 2.7.Solución:

Para calcular el flujo de la ecuación 2.3, primeramente obtene-mos la carga encerrada por el prisma, una vez obtenida la carga,podemos obtener el flujo total que cruza la superficie del prisma,el flujo. que cruza las tapas del prisma es cero ya que el vectorárea es perpendicular al vector campo eléctrico, entonces:

g; -Ecfi =E

ds

J,...... ,......E . dssuperficielateral

+JEtapas E a

dsq encerrada

,d ndo la carga encerrada está dada por:

b

q en J '\b,\ dxFa E

a QEa

Como el flujo que cruza cada una de las caras es igual. entoncesel flujo de la cara lateral es el flujo' total entre cuatro, esto es:

CPE ,\ bcp -----

E (1 cara) 4 4 Eo

++

++++++

++

Figura 2.5

-cc


-,\\\\I

+q, + q"Of---------;7>-----+-· F

/I

l./

/,/

Figura 2.6

I

+ + + + +1 + +I a +cc~~---------~1.•..•.•.... . <,- - .',

l· >. b .1

Figura 2.7

Probiema 9. Objetivos 1, 2 Y 3

Un cascarón esférico no conductor de radio "4a" tiene una car-ga-O, uniformemente distribuida, dentro de este cascarón existeotro cascarón esférico no conductor de radio "a" excéntrico y conuna carga +O uniformemente distribuida, como se muestra en la..fiqura 2.8, determine el campo eléctrico y el flujo eléctrico en lospuntos A y B.

Solución:

Para calcular el campo eléctrico en el punto A, tomamos unasuperflcle gaussiana esférica que su centro coincida con el cen-

50 Ley de Gauss

-Q

Figura 2.8

tro de la esfera de radio a y tenga un radio de 3a, que encierra I

unicamente +O, esto es:

ds+0

Eo

De donde:+0

E 4 tt (3a)2eo

Despejando el campo tenemos que:

EO

36 rr F a2o

Para el cálculo del flujo eléctrico determinamos la carga ence-rrada por la superficiegaussiana, entre la constante de perrnl-tividad:

O

'" =E eo

b) Para 'determinar el campo eléctrico en el punto B, primerocalculamos el campo producido por el cascarón de radio "a" to-mando una superficie gaussiana que pase por B y sea concén-trica a este cascarón, esto es:

~ E . ds =+0


valuando:

[ 4 • (78),J+0

Ee

o

ue donde:

+0E, =

196 7r " a2o

Ahora calculamos el campo eléctrico en B producido por el cas-carón de radio 4a; para esto, tomamos una superficie qausstanaesférica con radio de "6a" concéntrica al cascarón de radio "4a",esto es:

rh'-'" ,-...'j' E . ds

-Oe o

Evaluando para r = 6a:

-O"o

De donde:-o

144 tr e a2o

Para obtener el campo en B, sumamos los campos obtenidos (prin-cipio de superposición).

El flujo eléctrico es cero ya que la carga neta encerrada poruna superficie gaussiana que pase por B es cero.

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