CHAPITRE 3-B : AUTOMATIQUE : LES S.L.C.I.

Les Systèmes Linéaires Continus InvariantsRecherche du modèle mathématique: MODELISATION

ou IDENTIFICATIONOutil de résolution de l’équation différentielle:

Transformée de LAPLACEFonction de TRANSFERT

Schémas BLOCS

Les systèmes Linéaires Continus Invariants

But de l’automatique : Pour aborder l'étude d'un système de commande, il faut maîtriser le comportement dynamique du système c'est à dire établir les relations existant entre les évolutions temporelles des entrées et des sorties.

Ces relations se déduisent de l'application des lois de la physique qui aboutissent généralement à l'écriture d'équations différentielles. L'ensemble de ces équations constitue un modèle mathématique du système

Grandeurs d’entrée

oucommande (consigne)

Grandeurs de sortie

ouobservations

(réponse)

Perturbations

SYSTEME

DYNAMIQUE

e(t)s(t)

On appelle système dynamique, un système dont l’étude prend en compte les

phénomènes d’inertie (inertie mécanique, thermique...). Les

grandeurs de sortie dépendent des valeurs

présentes et passées des grandeurs d’entrées.

Les signaux d’entrée sont des fonctions du temps. Nous faisons l’hypothèse qu’ils ne sont pas aléatoires; on connaît leurs causes. C’est-à-dire e(t < 0) = 0.

Généralement on forme les grandeurs d’entrées ainsi :

est appelée fonction existence, elle est telle que :

pour pour Cette combinaison permet d’annuler

pour les temps négatifs.

)(te

)().()( tutfte

)(tu

1)( tu0)( tu

0t

0t)().( tutf )(te

Les systèmes Linéaires Continus Invariants

Afin de faciliter la modélisation des systèmes de commande, nous ferons par la suite l'hypothèse de systèmes continus, linéaires et invariants.

Continu : les grandeurs physiques évoluent de façon continue dans le temps

Invariant : Un système est invariant, s’il garde le même comportement au cours du temps (pas de détérioration de ses caractéristiques)

Exemple: Pas d’usure.

Linéaire : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants.

)(.)(....)(.)(.)(...)(. 0101 txatxdtdatx

dtdatybty

dtdbty

dtdb m

m

mn

n

n

Variable de commandeSortie (grandeur à mesurer)

m<n et n est appelé « ordre du système »

Les systèmes Linéaires Continus Invariants

Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par 2 propriétés: • la proportionnalité • l’additivité.

La proportionnalité : l’effet est proportionnel à la cause

La caractéristique d’un système linéaire est une droite :

Le rapport est appelé GAIN du système

Ktx

ty

)(

)(

Systèmelinéaire

Systèmelinéaire

Entrée x Sortie y

Entrée x

Sortie y

Sortie .ySystèmelinéaire

Systèmelinéaire

Entrée .x

Entrée .x

Sortie .y

L’additivité:

Système linéaire)()( 21 txtx )()()( 21 tytyty

Entrée x1 Entrée x2

Entrée x1+x2

Sortie y1Sortie y2

Sortie y1+y2

Limites du modèle :

courbure Seuils (ex : frottements)

Saturation(ex : butée mécanique)

Hystérésis(ex : jeu dans un système

vis/écrou)

Représentation d’un système linéaire

X(t)

Y(t)

Non linéarités rencontrées sur des systèmes physiques

Toutefois, ces systèmes peuvent être représentés, moyennant une certaine imprécision sur le modèle, par des systèmes linéaires : par exemple, linéarisation autour d’un point de fonctionnement.

Point de fonctionnement

Les systèmes Linéaires Continus Invariants

Recherche du modèle mathématique

Modélisation :

Chaque sous-ensemble a une équation différentielle connue, il suffit de les composer pour trouver l’équation différentielle entrée-sortie. La modélisation nécessite une bonne connaissance du système et des lois physiques qui le régissent.

L’identification :

On soumet le système à des entrées connues. Les réponses du système sont alors comparées à un catalogue de réponses-types. On parle d’indentification. Ici le système est considéré comme une boite noire.

Grandeurs d’entrée

oucommande (consigne)

Grandeurs de sortie

ouobservations

(réponse)

Perturbations

RELATION ???

e(t)s(t)

Les signaux TESTS

Impulsion de DIRAC Ce signal noté (t) est une impulsion brève qui vaut 0 en tout point sauf au voisinage de t=0s.

t

e(t)

Cet essai permet de tester les performances du système face à des perturbations brèves et d’observer sa stabilité, c’est-à-dire de voir si la réponse du système ne s’écarte pas définitivement de sa position.

t

e(t)

S(t)

précision

e(t)

s(t)

précision

Echelon Cette fonction est définie de la manière suivante :e(t) = A.u(t) A étant une constante positive.Encore connu sous le nom de fonction d’Heaviside l’échelon peut être unitaire dans ce cas il se note :e(t) = 1.u(t)Rappel : u(t) est appelée fonction existence, elle est telle que :• u(t) =1 pour t 0• u(t) = 0 pour t < 0

t

e(t)

A

Dans le cas d’une entrée en échelon l’erreur permanente s(t) s’appelle écart statique ou précision: c’est l’écart entre la valeur du signal d’entrée et la réponse S(t) en régime définitif (t ) plus cet écart sera faible, plus le système sera précis.On peut également juger de la rapidité du système en mesurant le temps (t5%) au bout duquel la réponse ne s’écarte plus que de ±5% de la valeur finale S()

Les signaux TESTS

Rampe

t

e(t)

L’évolution d’un signal e(t) en rampe est donné ci-contre. Ce signal évolue linéairement avec le temps pour t>0. e(t )=A.t.u(t) 

A

Cet essai permet d’évaluer les capacités du système à suivre une consigne variable. L’erreur permanente mesurée s’appelle erreur de suivi ou erreur de traînage. Elle est notée : t (t ) .

Les signaux TESTS

Entrée sinusoïdaleLes entrées sinusoïdales sont très

utilisées pour étudier le comportement dynamique des systèmes. La sortie est appelée :REPONSE HARMONIQUE. Un signal sinusoïdal e(t) = e0 . sin (t) est caractérisé par son amplitude e0 et par sa pulsation

La réponse est sinusoïdale, de même période avec une amplitude s0 et un déphasage (correspondant à une erreur de suivi). Cet essai permet d’étudier la stabilité d’un système.

Les signaux TESTS

Résolution de l’équation différentielle: TRANSFORMEE DE LAPLACE

)(.)(....)(.)(.)(...)(. 0101 txatxdtdatx

dtdatybty

dtdbty

dtdb m

m

mn

n

n

Un système dynamique, continu, linéaire et invariant se représente par une équation différentielle linéaire à coefficients constants

n est appelé ordre du système (dans le cadre du programme n2)

Résolution classique:

Solution=

Solution générale équation sans second

membre

Solution particulière équation avec second

membre

+

Régime transitoire (ne dépend que du système et des C.I.)

Régime permanent (même nature que l’entrée du système)

Problème : La résolution permet de connaître l’évolution temporelle de la sortie s(t) en fonction de l’évolution de l’entrée e(t) et des C. I.Or en automatique, on veut déterminer l’évolution de l’entrée de commande e(t) permettant d’obtenir la sortie s(t) désirée: il faut « inverser le modèle »

Résolution de l’équation différentielle: TRANSFORMEE DE LAPLACE

Il existe une méthode qui permet de résoudre simplement de telles équations différentielles en les transformant en simples équations algébriques, cette méthode s’appelle TRANSFORMEE DE LAPLACE.

Equation différentielle avec second

membre(paramètre t)

TRANSFORMEE DE LAPLACE(paramètre p)

Fraction polynomiale

en p

Fraction décomposée en

éléments simplesen p

TRANSFORMEE INVERSE DE

LAPLACE(paramètre t)

Solution finale(paramètre t)

Propriétés de la TRANSFORMEE DE LAPLACEDéfinition

On appelle transformée de Laplace de la fonction f(t), supposée nulle pour t<0 la fonction F(p) définie par :

)()())((0

pFdttfetfL pt

Propriétés utiles pour le cours automatiqueTransformée d’une dérivée :

)0()()(

fppFdttdfL dt

dfpfpFpdttfdL )0()0()(²)(²

Dérivée première : Dérivée seconde :

Transformée d’une intégrale :

ppFdfL

t )()(0

Remarques:Si les conditions initiales sont nulles (conditions dites de Heaviside) :

•Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace.•Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace.

Propriétés de la TRANSFORMEE DE LAPLACE

Théorème de la valeur initiale :

Théorème de la valeur finale :0 pF(p)

)()( pFetfLp

)(.lim)(lim0

pFptfpt

)(.lim)(lim0

pFptfpt

Théorème du retard :

Nota : Le théorème de la valeur initiale ne s’applique que si le degré du numérateur de est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Le théorème de la valeur finale s’applique uniquement si les pôles de sont à partie réelle strictement négative. On appelle pôles d’une fonction les racines de l’équation . Autrement dit : les pôles sont les valeurs qui annulent le dénominateur de . Les zéros sont les valeurs qui annulent le numérateur.

)(. pFp

)(

)()(

pD

pNpH

)(. pFp

0)( pD)( pH

Fonction de TRANSFERTUn système linéaire est représenté par une équation différentielle du

type :

)(.)(....)(.)(.)(...)(. 0101 txatxdtdatx

dtdatybty

dtdbty

dtdb m

m

mn

n

n

Transformée de LAPLACE de l’équation

On suppose C. I. sont nulles

)(.)(.....)(..)(.)(.....)(.. 0101 pXapXpapXpapYbpYpbpYpb mm

nn

)()(

..........

)()()(

01

01

pDpN

bpbpbapapa

pXpYpH n

n

mm

FONCTION DE TRANSFERT

Fonction de TRANSFERT

))...().(())...().((.

)()()(

21

21

n

m

ppppppzpzpzpK

pXpYpH

• Les zi sont les zéros de la fonction transfert

• les pi sont les pôles de la fonction transfert.

• Le degré n du dénominateur D (p) est appelé ordre de la fonction transfert H (p).

• K est appelé le gain statique

Les schémas BLOCSUn système élémentaire monovariable possédant une entrée e(t), une sortie s(t) et une fonction de transfert H(p) peut être représenté par un bloc :

H(p)E(p) S(p)

S(p)= H(p) . E(p)Un système complexe peut donc être représenté par un agencement de blocs reliés entre eux

-+ H(p)

(p)G(p)

S(p)

R(p)

F(p)

E(p) C(p)

(capteur)

(correcteur) (système dynamique)

Point de prélèvement

ComparateurBLOC

S(p)E1(p)

E2(p)

++

E3(p)

-S(p)E1(p)

E2(p)

+-

Les schémas BLOCS

E(p) S(p)

Schéma Bloc équivalent

Recherche de la Fonction de TRANSFERT

-+ H(p)

E(p)

G(p)

S(p)

R(p)

(p)

?

-+ H(p)

E(p)

G(p)

S(p)

R(p)

(p)

FTBO FTBO(p)=

FTBF(p) /FTBF(p)Cas du retour unitaire :

-+ H(p)

E(p) S(p)

R(p)

Un système asservi se ramène facilement à un système à retour unitaire :

-+ H(p)

E(p)

G(p)

S(p)

R(p)

-+ H(p)

E(p)G(p)

S(p)

R(p)

1/G(p)

Les schémas BLOCS FTBO(p)/FTBF(p)

-+ H(p)

(p)G(p)

S(p)

R(p)

F(p)

E(p) C(p)

(capteur)

(correcteur) (système dynamique)

FTBF(p)

)().()(1)().(pFpHpG

pGpH

E(p) S(p)

FTBO(p)

)().().( pFpGpHE(p) R(p)

FTBO(p)

Algèbre des schémas-blocsH1(p) H2(p) H3(p)

E(p) S(p)H1(p) . H2(p) . H3(p)

E(p) S(p)

H1(p)

H2(p)

H3(p)

E(p) S(p)+

++ H1(p) + H2(p) + H3(p)

E(p) S(p)

H1(p)E(p) S1(p)

S2(p)

H1(p)E(p) S1(p)

S2(p)1/H1(p)

H1(p)E(p) S1(p)

S2(p)

H1(p)E(p) S1(p)

S2(p)H1(p)

Algèbre des schémas-blocs

S(p)+

+ H1(p)E1(p)

E2(p)

S(p)+

+H1(p)E1(p)

E2(p)

S(p)H1(p)

E1(p)

E2(p)H1(p)

++

S(p)+

+

1/H1(p)

E1(p)

E2(p)

H1(p)

FIN DU CHAPITRE 3-B